Как говорилось и было обосновано во введении, мы исходим из того, что вообще все макроскопически возможные наблюдения могут быть совершены одновременно. Их операторы коммутируют, следовательно, между собой, а потому существует полная ортогональная система $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$ волновых функций, которые для каждого оператора являются собственными функциями (ср. прим. *) на стр. 328). При этом следует ожидать, что среди $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$ имеются группы многих $\omega_{n}$, для которых макроскопические операторы имеют одни и те же собственные значения: ведь в противном случае проведение
*) Cp. по этому поводу рассуждения Schrödinger’a, Ann. d. Phys. 83, 15 (1927), в особенности в последнем параграфе. Наши результаты позволяют провести его рассуждения без допускаемого им «статистического предположения» (гипотезы о беспорядке), т. е. свести во всей строгости к обычной статистической интерпретации квантовой механики. Тем самым дается ответ на поднятый Шредингером 1. с. вопрос, надо ли и в квантовой механике бороться с эргодическими туудностями.
**) Правда, квантовая механика знает один необратимый элементарный процесс, а именно, процесс измерения. Этот процесс необратим (ср. 1. с., определение указанных процессов дается там в прим. ${ }^{21}$ ), стр. 283), но, имеет ли он какое-нибудь отношение к необратимости реально происходящего, остается невыясненным. В этой работе мы не будем больше останавливаться на этом.
***) L. Nord h e i m, Proc. Roy. Soc. 119 (1928).
****) W. P a uli, Sommerfeld-Festschrift, 1928, S. 30-45.
22 и. Нейман
всех макроскопически возможных наблюдений позволяло бы добиться полного различения между $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$ (т. е. абсолютно точного определения состояния, что, вообще говоря, не так). Эти группы будем обозначать (заменяя применявшуюся до сих пор простую систему индексов $n=1,2, \ldots$ двоиной $p=1,2, \ldots$ и $\lambda=1, \ldots, s_{p}$ ) через $\left\{\omega_{1, p}, \ldots, \omega_{s_{p}, p}\right\}, p=1,2, \ldots$, так что для всех макроскопических величин $*$ ) группы $\omega_{1, p}, \ldots, \omega_{s_{p}, p}$ представляют собой взаимно вырожденные функции. Поэтому система $\omega_{1, p}, \ldots, \omega_{s_{p}, p}$ равнозначна любой системе $\omega_{1, p}^{\prime}, \ldots, \omega_{s_{p}, p}^{\prime}$, когорая получается из первой с помощью линейного унитарного преобразования.

Если все состояния одной группы $\left\{\omega_{1, p}, \ldots, \omega_{s p}, p\right\}$ смешиваются с весами $1: \ldots: 1$, то получается статистический ансамбль со статистическим оператором $\frac{1}{s_{p}} \boldsymbol{E}_{p}=\frac{1}{s_{p}} \sum_{\lambda=1}^{s_{p}} \boldsymbol{P}_{\omega_{\lambda}, p}$, причем этот оператор $\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{p}}$ не изменяется при замене $\omega_{\lambda, p}$ на любые $\omega_{\lambda, p}^{\prime}$ (ср. выше), в чем легко убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет $\omega_{\lambda, p}$ в качестве собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операторов $\boldsymbol{P}_{\omega_{\lambda, p}}$ с коэффициентами, равными собственным значениям **), а поскольку все $\omega_{\lambda, p}$ с одним $v$ тем же $p$ имеют одно и то же собственное значение, то будет также линейной комбинацией $\boldsymbol{E}_{p}$, 一 отметим это для дальнейшего.

В остальном $\frac{1}{s_{p}} E_{p}$ является, как это видно из его построения, статистическим оператором ансамбля, для которого все макроскопические величины имеют значения, относящиеся к $p$-й группе (при этом все из $s_{p}$ квантовых орбит обладают одними и теми же весами), -он соответствует таким образом р-й из альтернатив, относящихся к свойствам састемы, которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических измерений. Тем самым он является эквивалентом «фазовых ячеек» ста-
*) Макроскопической величиной является такая величина, значения которой могут быть точно установлены с помощью макроскопических измерений. Итак, если $A$ может принимать все значения от – до $+\infty$, а макроскопическая неопределенность характеризуется тем, что эти значения можно различить между собой лишь для различных интервалов $k, k+1$ $(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$, то тогда макроскопически измеримой будет лишь $f(A)$, где $f(x)$ является следующей функцией: $f(x)=k$ для $k \leqq x<k+1$ $(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$. Cр. также дискуссию во введении 2 и прим. *) на cтp. 327 .
**) Эрмитов оператор с собственными функциями $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ и с соответствующими собственными знатениями $w_{1}, w_{2}, \ldots$ должен равняться $\sum_{n} w_{\chi n} P_{n^{*}}$ Cp. также 1. с., прим. *) на стр. 330.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0340.jpg.txt

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И $H$-ТЕОРЕМЫ
339
тистической механики Гиббса. Число $s_{p}=\operatorname{Spur} E_{p}$ (Spur означает шпур, ср. прим.*****) на стр. 330) является числом истинных (микроскопических) состояний, т. е. квантовых орбит в этой ячейке, – его величина является, таким образом, мерой грубости макроскопического способа рассмотрения.
2. Рассмотрим теперь оператор энергии $\boldsymbol{H}$ с собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и собственными значениями $W_{1}, W_{2}, \ldots$ соответственно, так что $\boldsymbol{H}=\sum_{n} W_{n} \boldsymbol{P}_{\varphi_{n}}$. Следует подчеркнуть, что $\boldsymbol{H}$ должен быть точным оператором энергии, а вовсе не каким-нибудь макроскопическим приближением.

Функции $\varphi_{n}$, в общем, не являются функциями $\omega_{\lambda, p}$ и $\boldsymbol{H}$ не есть линейная комбинация $E_{p}$, так как энергия, не будучи макроскопической величиной, не может быть измерена абсолютно точно с помощью макроскопических средств *). Но с известной (незначительной) точностью это все же возможно, т. е. можно подразделить собственные значения энергии $W_{1}, W_{2}, \ldots$ системы на группы $\left\{W_{1, a}, \ldots, W_{s_{a}, a}\right\}$ (мы здесь снова заменяем простую нумерацию $W_{n}, \varphi_{n}$ с $n=1,2, \ldots$ на двойную $W_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}$ с $a=1,2, \ldots, p=1, \ldots, S_{a}$ ) таким образом, что все $W_{p, a}$ с одним и тем же $a$ расположены близко друг к другу и лишь те из них, для которых $a$ отличаются между собой (т. е. полные группы) могут быть различены макроскопически. Как сформулировать теперь, что уже сама принадлежность значений энергии к одной группе $\left\{W_{1, a}, \ldots, W_{S_{a}, a}\right\}$ макроскопически измерима?

Мы сделаем это, применив упомянутыи выше и неоднократно используемый в 1. с., прим. *), стр. 330, искусственный прием. Пусть $f_{a}(x)$ – функция, которая для $x=W_{1, a}, \ldots, W_{S_{a}, a}$ (a фиксировано) принимает значение 1 , а в остальных случаях – 0 . Тогда $f_{a}(\boldsymbol{H})$ будет величиной, которая имеет значение 1 , когда значение энергии принадлежит к указанной группе, и 0 в остальных случаях, – следовательно, она макроскопически измерима. Из $\boldsymbol{H}=\sum_{n} W_{n} P_{\varphi_{n}}$ следует $f_{a}(\boldsymbol{H})=\sum_{n} f_{a}\left(W_{n}\right) \boldsymbol{P}_{\varphi_{n}}$ (ср. 1. с.. прим. **), стр. 329), так что $=\sum_{\rho=1}^{s} \boldsymbol{P}_{\varphi_{\rho}, a}$, а эта последняя группа должна быть линейной комбинацией $E_{p}$. Далее $\sum_{\rho=1}^{S_{a}} P_{\varphi_{\rho}, a}$, а также и каждый $E_{p}=\sum_{\lambda=1}^{S_{p}} P_{\omega_{\lambda, p}}$ равняется своему квадрату, а произведение любых двух различных $\boldsymbol{E}_{p}$
*) Вспомним хотя бы условия наблюдения обычного газа! Конечно, в принципе энергия с дискретным спектром (ср. стр. 332) при благоприятных обстоятельствах измерима с абсолютной точностью: можно, например, рассудить, находится осциллятор в основном состоянии или нет.
$22^{*}$
равно $0 *$ ); отсюда следует, что в упомянутой линеиной комбинации $\boldsymbol{E}_{p}$ каждый из коэффициентов равен своему собственному квадрату, т. е. равен 0 или 1. Итак, $\sum_{\rho=1}^{S_{a}} P_{\varphi_{\rho}, a}$ является просто суммой нескольких $\boldsymbol{E}_{p}$, которые можно назвать $E_{1, a}, \ldots, E_{N_{a}, a}$ :
\[
\sum_{\rho=1}^{S_{a}} P_{\varphi_{\rho}, a}=\sum_{v=1}^{N} E_{v, a} .
\]
(Взяв шпур от этого равенства, получим $S_{a}=\sum_{v=1}^{N_{a}} s_{v, a}$.) Поскольку, согласно сказанному выше, произведение сумм $\sum_{v=1}^{N_{a}} E_{v, a}$ и $\sum_{v=1}^{N_{b}} E_{v, b}$ $(a
eq b)$ равно сумме слагаемых $E_{p}$, общих обеим суммам, и поскольку, с другой стороны, это произведение равно произведению сумм $\sum_{\rho=1}^{S_{a}} \boldsymbol{P}_{\varphi_{\rho}, a}$ и $\sum_{\rho=1}^{S_{b}} P_{\varphi_{\rho}, b}$, которое обращается в нуль, то сумма общих $E_{p}$ равна 0 . Итак, общих слагаемых нет, потоиу что сумма нескольких $\boldsymbol{E}_{p}$, т. е. нескольких $\boldsymbol{P}_{\omega_{n}}$, никогда не исчезает**). Наконец, $\boldsymbol{E}_{v, a}$ исчерпывают $\boldsymbol{E}_{p}$ (до сих пор мы знали только, что они образуют взаимно однозначную систему индексов некоторого подмножества), что, согласно только что сделанному замечанию, будет гарантировано, если только будет доказано равенство $\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} E_{v, a}=\sum_{p=1}^{\infty} E_{p}$. Левая часть является суммой всех $E_{v, a}$, т. е. всех $\boldsymbol{P}_{\varphi_{p}, a}$, т. е. 1 (в случае полной ортогональной системы $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ сумма всех $\boldsymbol{P}_{\chi_{n}}$ равняется $\left.1{ }^{* * *}\right)$, а $\varphi_{\rho, a}$ образуют полную ортогональную систему); правая часть является суммой всех $\boldsymbol{E}_{p}$, т. е. суммой всех $\boldsymbol{P}_{\omega_{\lambda, p}}$, т. е. тоже 1 ( $\omega_{\lambda, p}$ также
*) Это будет доказано, если мы сможем показать, что для произвольных двух (но различных) элементов $\varphi$, $\psi$ некоторой ортогональной системы функций имеют место соотношения $P_{\varphi}^{2}=P_{\varphi}, P_{\varphi} P_{\psi}=0$. Пусть $f$-какая-нибудь волновая функция, тогда (ср. введение, 3.)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}_{\varphi}^{2} f & =((f, \varphi) \cdot \varphi, \varphi) \cdot \varphi=(f, \varphi) \cdot(\varphi, \varphi) \cdot \varphi=(f, \varphi) \cdot \varphi=P_{\varphi} f, \\
\boldsymbol{P}_{\psi} \boldsymbol{P}_{\psi} f & =((f, \psi) \cdot \psi, \varphi) \cdot \varphi=(f, \psi) \cdot(\psi, \varphi) \cdot \varphi=0 . \\
\left.*^{* *}\right) \text { Из } \boldsymbol{P}_{\omega^{\prime}} & +\boldsymbol{P}_{\omega^{\prime \prime}}+\ldots=0\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}, \ldots \text { взаимно ортогональны }\right), \text { если }
\end{aligned}
\]
$\left.{ }^{* * *}\right)$ Из $\boldsymbol{P}_{\omega^{\prime}}+P_{\omega^{\prime \prime}}+\ldots=0\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}, \ldots\right.$ взаимно ортогональны), если умножить его на $P_{\omega^{\prime}}$, следует равенство $P_{\omega^{\prime}}=0$, что заведомо неверно.
***) Если привлечь матричное определение оператора $P_{\chi}$ (введение, 3.), то можно убедиться, что это тождественно обычной форме соотнощений полноты. Ср. также 1. с., прим. *) на стр. 330.
образуют полную ортогональную систему), – вместе с тем все доказано.

Таким образом, $\boldsymbol{E}_{v, a}, s_{v, a}$ с $a=1,2, \ldots,
u=1, \ldots, N_{a}$ – это просто заново перенумерованные $E_{p}, s_{p}$ с $p=1,2, \ldots$ Соответственно будем писать $\omega_{\lambda,
u, a}$ вместо $\omega_{\lambda, p}$. Положим
\[
\Delta_{a}=\sum_{\rho=1}^{S_{a}} P_{\varphi_{\rho, a}}=\sum_{
u=1}^{N_{a}} E_{v, a} .
\]

Как видно, $\frac{1}{S_{a}} \Delta_{a}$ является смесью состоянии $\varphi_{1, a}, \ldots, \varphi_{S_{a}, a}$ с весами $1: \ldots: 1$ или же смесью обсуждавшихся выше смесей $\frac{1}{s_{1, a}} E_{1, a}, \ldots, \frac{1}{s_{N_{a}, a}} E_{N_{a}}$, , соответствующих фазовым ячейкам с весами $s_{1, a}: \ldots: s_{N_{a}, a}$.

Вполне понятно, с другой стороны, что̀ является аналогом этих представлений в гиббсовой теории: $\frac{1}{S_{a}} \Delta_{a}$ соответствует энергетической поверхности, т. е. микроканоническому ансамблю, $N_{a}$ является числом фазовых ячеек $E_{v, a}$ на энергетической поверхности и $S_{a}=$ $=\operatorname{Spur} \boldsymbol{\Delta}_{a}$ является числом истинных состояний, т. е стационарных квантовых орбит на энергетической поверхности.

Макроскопически возможные измерения энергии разбивают тем самым множество мыслимых состояний на энергетические поверхности, соответствующие $\Delta_{a}, a=1,2, \ldots$; дальнейшие измерения энергии (которые разбили бы $\Delta_{a}$ на $\varphi_{\rho, a}, p=1, \ldots, S_{a}$ ) с этими средствами невозможны. Если же дальнейшие измерения все-таки макроскопически возможны, то они должны относиться к таким величинам, операторы которых не коммутируют с $\boldsymbol{H}$, т. е. к величинам, которые не могут быть измерены одновременно (с микроскопической) энергией. На классическом языке это означает, что они относятся к неинтегралам движения, к изменяющимся во времени величинам*). Эти измерения разбивают энергетическую поверхность $\Delta_{a}$ на фазовые ячейки $\boldsymbol{E}_{y, a},
u=1, \ldots, N_{a}$. Дальнейее разбиение (которое разбивало бы $\boldsymbol{E}_{v, a}, \boldsymbol{\text { на }} \omega_{\lambda, v, a} ; \dot{\lambda}=1, \ldots, s_{y, a}$ ) макроскопически вообще невозможно.

Тем самым величина $N_{a}$ является мерой того, насколько сильно пересекаются макроскопические методы измерения величин, неизмеримых одновременно с энергией, т. е. в какой мере неточность макроскопических измерений энергии обусловлена естественным образом
*) Например, в случае газа, заключенного в сосуде $K$, полная энергия молекул, находящихся в левой половине $K$, с известной точностью макроскопически измерима, но она не является иңтегралом и колеблется во времеңи, соотношениями неопределенностей. Напротив, величина $s_{v, a}$ (т. е. величина фазовых ячеек $E_{y, a}$ ) является мероћ петочности макроскопических методов как таковых, т. е. вытекающей из их неполноты. Неточность, связанная с $N_{t}$, компенсируется знанием неинтегралов, она не является слабой стороной нашей измерительной аппаратуры, но зато неточность, связанная с $s_{v, a}$, таковой является. Наконец, $S_{a}=\sum_{v=1}^{N_{a}} S_{v, a}$ является мерой для произведения обеих неточностей для полной, настоящей неточности измерения энергии.
3. Пусть теперь задано произвольное состояние $\psi$ (волновая функция $\psi$ нормирована, т. е. $|\psi|^{2}=(\psi, \psi)=1$ ). Вероятность того, что при макроскопическом измерении в этом состоянии будет получено значение из фазовой яченки $\boldsymbol{E}_{v, a}$, равняется, как известно, сумме вероятностей переходов из этого состояния в состояния описываемые собственными функциями $\omega_{1, y}, a, \ldots, \omega_{s_{y}, a}$, , $a$, образующими $E_{v, a}$, т. е.
\[
\sum_{\lambda=1}^{s_{y, a} a}\left|\left(\psi, \omega_{\lambda,
u, a}\right)\right|^{2}=\sum_{\lambda=1}^{s_{y, a}}\left(\boldsymbol{P}_{\omega_{\lambda, y, a}} \psi, \psi\right)=\left(E_{v, a} a^{\psi,} \psi\right) .
\]

Можно сказать, что настолько плотно занята ячейка $\boldsymbol{E}_{\gamma, a}$ в состоянии $\psi$. Для того чтобы значение энергии относилось к группе $\left\{W_{1, a}, \ldots, W_{s_{a}, a}\right\}$, получается соответственно выражение
\[
\sum_{\rho=1}^{s_{a}}\left|\left(\psi, \varphi_{\rho, a}\right)\right|^{2}=\sum_{\rho=1}^{s_{a}}\left(P_{\varphi_{\rho}, a} \psi, \psi\right)==\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right) .
\]

Это является также числом заполнения энергетической поверхности $\boldsymbol{\Delta}_{a}$. В духе этих представлений имеем
\[
\sum_{
u=1}^{N_{a}}\left(E_{y}, a^{\psi}, \psi\right)=\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right), \quad \sum_{a=1}^{\infty}\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)=(\psi, \psi)=1 .
\]

Теперь мы можем определить микроканонический ансамбль, принадлежащий состоянию $\psi$, т. е. задать его статистический оператор. Если бы одно только ( $\Delta_{a} \psi, \psi$ ) равнялось 1 , а все остальные были бы равны $\left.0^{*}\right)$, то мы должны была бы, конечно, выбрать в качестве статистического оператора оператор $\frac{1}{S_{a}} \Delta_{a}$, рассматривающићся уже в 2.**). Если же несколько (или все) $\left(\Delta_{a} \psi, \psi j
eq 0\right.$, то надо определять
*) Отметим, что все наши «числа заполнения» по своему построению $\geqq 0$.
**) В 1.с., прим. *) на стр. 330 приводились общие основания для того, чтобы всегда этот статистический сператор принадлежал тому статистическому ансамблю, о котором известно лишь то, что его энергия лежит в $a$-й группе.
по-другому, а именно установим, что тогда должна браться смесь $\frac{1}{S_{1}} \boldsymbol{\Delta}_{1}, \frac{1}{S_{2}} \boldsymbol{\Delta}_{2}, \cdots$ с весами $\left(\boldsymbol{\Delta}_{1} \psi, \psi\right):\left(\boldsymbol{\Delta}_{2} \psi, \psi\right): \ldots$. Микроканонический ансамбль будет иметь тогда следующий статистический оператор:
\[
\boldsymbol{U}_{\psi}=\sum_{a=1}^{\infty} \frac{\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)}{S_{a}} \Delta_{a} .
\]

Собственно, оправданием этого определения является лишь последующий успех: эргодическая теорема и $H$-теорема справедливы лишь в этом случае. (Во всех практических случаях, конечно, все $\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)$, кроме одного-единственного, очень малы.)

Остается еще определить энтропии для $\psi$ и $\boldsymbol{U}_{\psi}$ (самого состояния и относящегося к нему (виртуального) микроканонического ансамбля). Не имеет смысла пользоваться здесь выражениями для энтропии, данными автором, так как они вычислены с точки зрения наблюдателя, который может проделать все принципиально возможные измерения, т. е. безотносительно к макроскопии (например, каждое состояние («чистый случай») имеет там энтропию 0 и лишь смеси имеют энтропию > >!). Если принять во внимание, что наблюдатель способен измерять только в макроскопическом смысле, то придем к другим выражениям для энтропии (имеющим бо́льшие значения, так как наблюдатель теперь менее удачлив и при определенных обстоятельствах может отнимать у системы лишь меньшую механическую работу); но теорию можно построить также и в этом случае. Е. Вигнер рассмотрел, каким образом надо поступать*). формулы для энтропий $S(\psi), S\left(\boldsymbol{U}_{\psi}\right)$ состояния $\psi$ и микроканонического ансамбля $\boldsymbol{U}_{\psi}$ соответственно имеют вид
\[
\begin{array}{l}
S(\psi)=-\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}}\left(E_{v, a} \psi, \psi\right) \ln \frac{\left(E_{v, a} \psi, \psi\right)}{S_{v, a}}, \\
\left.S\left(U_{\psi}\right)=-\sum_{a=1}^{\infty}\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right) \ln {\frac{\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)}{S_{a}}}^{* *}\right) .
\end{array}
\]

Впрочем, эти формулы для энтропии тождественны с обычными формулами, основанными на больцмановском определении энтропии (с использованием формулы Стирлинга). Стоит лишь заметить, что
*) Е. Вигнер устно сообщил автору относящиеся сюда результаты, до сих пор еще не опубликованные. Здесь будут использованы лишь формулы, требуемые для наших целей, нет необходимости обсуждать общую теорию. ${ }_{*}^{*}$ ) Мы опустили обычный множитель $k$ (постоянная Больцмана), т. е. за единицу температуры принимается эрг на степень свободы.

$\left(E_{v, a} \psi, \psi\right),\left(\boldsymbol{\Delta}_{a} \psi, \psi\right)$ являются числами заполнения фазовых ячеек, энергетических поверхностей соответственно, а $s_{v, a}, S_{a}$ – числа находящихся в них квантовых орбит, т. е. их так назьваемые априорные веса