Рассмотрим, как в III. 1, физическую систему $S$ с $k$ степенями свободы, конфигурационное пространство которой описывается $k$ координатами $q_1,\dots ,q_k$ (cр. также I. 2). Все физические величины $\mathfrak{R}$, которые могут быть построены для системы $\mathit{S}$, являются, в рамках классической механики, функциями от $q_1,\dots ,q_k$ и от сопряженных импульсов $p_1,\dots ,p_k:\mathfrak{H}=\mathfrak{P}(q_1,\dots ,q_k,p_1,\dots ,p_k)$ (например, энергия является гамильтоновой функциен $H(q_1,\dots ,q_k,p_1,\dots ,p_k)$ ). С другой стороны, в квантовой механике, как уже было указано в III. 1 , величины $\mathfrak{A}$ взаимно однозначно сопоставлены гипермаксимальным эрмитовым операторам $R$; в частности, $q_1,\dots ,q_k$ соответствуют операторам $Q_1=q_1\cdots Q_k=q_k\cdots$, а $p_1,\dots ,p_k$ — операторам $P_1=\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial q_1}\cdots ,P_k=\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial q_k}\cdots$ В общем случае, как было пояснено в I. 2 на примере гамильтоновой функции, нельзя из-за неперестановочности $Q_l$ и $P_l$ определить $R$ как $R=\mathfrak{R}(Q_1,\dots ,Q_k$, $P_1,\dots ,P_k)$. Не будучи в состоянии высказать что-либо вполне определенное о соотношении между ве.ичиной $\mathfrak{A}(q_1,\dots q_k,p_1,\dots ,p_k)$ и ее оператором $R$, мы тем не менее установили в III. 1 и III. 3 следующие частные правила.
$\mathit{L}$. Если операторы $R,S$ соответствуют одновременно наблюдаемым величинам $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{E}$, то оператор $aR+bS$ ( $a,b$ — вещественные числа) соответствует величине $a\mathrm{\Re }+b\mathcal{S}$.
$\mathit{F}$. Если оператор $R$ соответствует величине $\mathfrak{A}$, то величине $F(\mathrm{\Re })(F(\lambda )$ — произвольная вещественная функция) соответствует оператор $F(R)$.
L., F. допускают еще некоторое обобщение. Оно вынуждается свойством $\mathit{F}$. и гласит:
$F^{\ast }$. Если операторы $R,S,\dots$ соответствуют одновременно измеримым величинам $\mathfrak{R},{\mathcal{O}}_1\dots$ (следовательно, коммутируют, пусть их число конечно), то величине $F(\mathfrak{R},\mathfrak{G},\dots )$ соответствует оператор $F(R,S,\dots )$.
При этом мы примем, что $F(\lambda ,\mu ,\dots )$ — это вещественный полином по $\lambda ,\mu ,\dots$ так чтобы смысл выражения $F(R,S,\dots )$ не вызывал вопросов ( $R,S,\dots$ коммутируют), хотя $F^{\ast }$. можно было бы обосновать и для произвольной функции $F(\lambda ,\mu ,\dots )$ (относительно определения общего выражения $F(R,S,\dots )$ см. ссылку в прим. ${}^{94}$ ) на стр. 110). Тогда, так как любоћ полином можно получить повторением трех операций $a\lambda ,\lambda +\mu ,\lambda \mu$, достаточно рассмотреть лишь эти последние, а поскольку $\lambda \mu =\frac{1}{4}((\lambda +\mu {)}^2-(\lambda -\mu {)}^2)$, т. е. равно
$$\frac{1}{4}\cdot (\lambda +\mu {)}^2+(-\frac{1}{4})\cdot (\lambda +(-1)\cdot \mu {)}^2,$$

то указанные три операции можно заменить также операциями $a\lambda$, $\lambda +\mu ,{\lambda }^2$. Но две первые принадлежат к типу $\mathit{L}$, , а последняя — к $\mathit{F}$. Следовательно, ${\mathit{F}}_{\ast }$. доказано.

C другой стороны, L. распространяется в квантовой механике даже на те случаи, когда $\mathfrak{R}$, 厄 ке измеримы одновременно. Мы оСсудим этот вопрос позже (в IV. 1), а сейчас ограничимся замечанием, что даже смысл выражения $a\mathfrak{R}+b\mathbf{⨀}$, если $\mathfrak{N}$, ( одновременно не измеримы, вовсе не представляется ясным.

Наряду с физическими величинами $\mathfrak{A}$ существует еще нечто, являющееся предметсм физики: именно альтернативные свойства*) системы $S$. Альтернативным свойством будет, например, что некоторая величина $\mathfrak{A}$ принимает определенное значение $\lambda$, или что значение величины $\mathfrak{A}$ положительно, или что значения двух одновременно измеримых величин $\mathfrak{R}$ и $\mathcal{E}$ равняются соответственно $\lambda$ и $\mu$, или что сумма квадратов этих значений и т. п. Мы обозначали величины вами (E, $\mathfrak{J},\dots$ Величинам отвечают, как мы только что установили, гипермаксимальные эрмитовы операторы $R,S,\dots$ что же будет соответствовать альтернативным свойствам?

Мы можем сопоставить каждому альтернативному свойству (5 величину, определив ее так: каждое измерение, разрешающее альтернативу наличия или отсутствия свойства (F, рассматривается как измерение этой величины; при этом ее значение равно 1 , если ( имеет место, и нулю в противнои случае. Величину, которая соответствует альтернативному свойсту (\&, будем также обозначать через (
*) Мы решили воспользоваться для перевода немецкого «Eigenschaften» таким оборотом, который точнее передаст по-русски смысл дальнейших рассуждений. Ради краткости мы будем говорить и просто об «альтернативах»- Прим. ред.
Такие величины принимают лишь зачения 0 и 1 , и обратно, любая величина $\mathfrak{R}$, принимающая лишь эти значения, соответствует альтернативному свойтву (E), которое, очевидно, состоит в следующем: «Значение величины $\mathfrak{R}$ не равно 0». Поэтому для величин (E, сопоставляемых альтернативным свойствам, этот признак является характерным.

То обстоятельство, что (E принимает лишь значения 0,1 , может быть сформулировано также следующим образом: его подстановка в полином $F(\lambda )=\lambda -{\lambda }^2$ тождественно обращает последний в нуль. Если величине (E соответствует оператор $E$, то величине $F(\mathbb{E})$ соответствует оператор $F(E)=E-E^2$; поэтому наше условие гласит: $E-E^2=0$, или $E=E^2$. Иными словами: оператор $E$ величины E — это проекционный оператор.

Итак, альтернативным свойствам \& (через посредство соответствующих величин (F, которые мы только что определили) сопоставляются проекционные операторы $E$ или замкнутые линейные многообразия $\mathfrak{R}$, если рассматривать наряду с проекционными операторами

Рассмотрим теперь более подробно вычисления с взаимно соответствующими друг другу (E, $E$ и $\lambda$.

Если мы хотим рассудить альтернативу, обладает или нет состояние $\phi$ свойством (\&, то мы должны измерить величину \& и установить, равно ли ее значение 1 или 0 (это-то же самое по определению). Тем самым вероятность первого, т. е. того, что (E имеет место, равна математическому ожиданию (E, т. е.
$$(E\phi ,\phi )=\Vert E\phi {\Vert }^2={\Vert P_{\text{粈 }\phi }\Vert }^2,$$

а вероятность второго, т. е. того, что \& не имеет места, равна математическому ожиданию 1 -(E, т. е.
$$((1-E)\phi ,\phi )=\Vert (1-E)\phi {\Vert }^2={\Vert \phi -P_n\phi \Vert }^2.$$
(Сумма, конечно, равна ( $\phi ,\phi$ ), т. е. единице.) Следовательно, (\& наверняка имеет место/не имеет места, если соответственно вторая / первая вероятность равна нулю, т. е. при $P_{\text{м }}\phi =\phi /P_{\text{м }}\phi =0$. Иными словами, если $\phi$ принадлежит к $\mathfrak{M}$ / ортогонально к $\mathfrak{M}$ или же если $\phi$ принадлежит к $\mathfrak{M}/$ к ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}-\mathfrak{M}$.

Стало быть, $\mathfrak{M}$ может быть определено как множество всех $\phi$, с достоверностью обладающих своћством ( $F$. (Собственно, этим определяется лишь подмножество $\mathfrak{R}$, пежащее на поверхности $\Vert \phi \Vert =1$. Само $\mathfrak{M}$ получается отсюда умножением на положительные константы и добавлением нуля.)

Если мы назовем свойство, противоположное свойству (E (отрицание (E), «не (£», то из сказанного выше непосредственно будет следовать, что если $E$ или $\mathfrak{R}$ огносятся к (E, то к «не (F» относятся $1-E$ или ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}-\mathfrak{\text{ . }}$
Как и в отношении величин, эдесь также возникает вопрос одновременной измеримости (или, вернее, одновременной рассудимости*) свойст). Ясно, что (\&, $\mathit{F}$ одновременно рассудимы тогда и только тогда, когда соответствующие величины ( $\mathfrak{F}$ одновременно измеримы (неважно, абсолютно точно или с произвольно большой точностью, поскольку они ведь могут принимать лишь значения 0 и 1), т. е. если $E,F$ коммутируют. Аналогично обстоит дело в случае нескольких свойств (F, $\mathfrak{G},\dots$

Из одновременно рассудимых своиств ( $\mathcal{F}$ можно образовать ствующая свойству «Е и $\mho$ », равна 1, если обе величины, соответствующие (E и $\mathfrak{F}$, равны 1, равна 0 , если одна из них равна нулю, т. е. произведению этих величин. Согласно $F^{\ast }$. ее оператором будет произведение операторов величин ( и $\mathfrak{F}$, т. е. $EF$. По теореме 14. из II. 4, соответствующее замкнутое линейное многообразие будет общей частью $\beta$ многообразий $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{N}$.
С другой стороны, свойство «Е или Ғ»» можно записать как «не ((не ( ) и (не $\mathbf{3}$ ) )»,

и, следовательно, его оператором будет
$$1-(1-E)(1-F)=E+F-EF$$
(по способу построения это, конечно, тоже проекционный оператор). Так как $F-EF$ является проекционным оператором, то линеинны многообразием, принадлежащим к $E+F-EF$, будет $\mathfrak{M}+(\mathfrak{N}-\mathfrak{P})$ (теорема 14. из II. 4). Оно является подмножеством $\{\mathfrak{M},\mathfrak{N}\}$ и, очевидно, содержит $\mathfrak{M}$, значит, по симметрии также и $\mathfrak{N}$, а следовательно, и $\{\mathfrak{M},\mathfrak{N}\}$. Следовательно, оно равно $\{\mathfrak{M},\mathfrak{M}\}$, которое, как

Если ( является свойством, которое всегда имеет место (т. е. пустым), то соответствующая величина равна тождественно 1, т. е. $E=1,\mathfrak{M}={\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$. С другой стороны, если ( никогда не имеет места (т. е. невозможно), тогда соответс вующая ему величина тождественно равна 0, т. е. $E=0,\mathfrak{R}=0$. Если два своиства (E, $\mathit{F}$ несовместны, то во всяком случае они должны быть одновременно рассудимы и свойство «ほ и Ғ» должно быть невозможно, т. е. $E$ и $F$ должны коммутировать, а $EF=0$. Но поскольку из $EF=0$ вытекает перестановочность (теорема 14. из II. 4), то это свойство характерно само по себе. Если предположить, что $E$ и $F$ коммутируют, то тогда $EF=0$ означает попросту, что общее подмножество множеств $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$ состоит лишь из 0 , однако из одного последнего условия перестано-
*) Мы переводим словами «рассудить», «рассудимость» используемую автором терминологию «entscheiden», «Entscheidbarkeit», не имеющую аналога в нашей литературе. Прим. перяв вочность $E$ и $F$ следовать не будет. Напротив, в общем случае $EF=0$ утверждает для $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$, что всё $\mathfrak{R}$ ортогонально ко всему $\mathfrak{R}$ (теорема 14. из II. 4).

Если $\mathfrak{A}$ — это величина с оператором $R$, которому принадлежит разложение единицы $E(\lambda )$, то оператором свойства «भ лежит в интервале $I=\{{\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }\}»,({\lambda }^{\prime }\leqq {\mu }^{\prime })$ будет сператор $E\left({\mu }^{\prime }\right)-E\left({\lambda }^{\prime }\right)$. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, например, что вероятность сделанного утверждения равна $((E\left({\mu }^{\prime }\right)-E\left({\lambda }^{\prime }\right))\phi ,\phi )$ (ср. W. в III. 1 ). Другой способ: величина, соответствующая рассматриваемому своиству, равна $\mathcal{F}=F(\mathfrak{H})$, где
$$F(\lambda )=\{\begin{array}{lll}1& \text{ при }{\lambda }^{\prime }& lt;\lambda \leqq {\mu }^{\prime },\\ 0& \text{ в остальных случаях }\end{array}|$$

так что $F(R)=E\left({\mu }^{\prime }\right)-E\left({\lambda }^{\prime }\right)$ (ср. II. 8 или III. 1). В III. 1 этот оператор обозначался через $E(I)$.

Итак, мы пришли к следующим выводам относительно связи между свойствами (E, их проекционными операторами $E$ и замкнутыми линейными многообразиями $\mathfrak{M}$ этих операторов:
$\mathit{\alpha })$ Вероятности того, что свойство (E имеет или не имеет места в состоянии $\phi$, равны
$$(E\phi ,\phi )=\Vert E\phi {\Vert }^2={\Vert P_n\phi \Vert }^2$$

или
$$((1-E)\phi ,\phi )=\Vert (1-E)\phi {\Vert }^2={\Vert \phi -P_m\phi \Vert }^2.$$
$\beta )$ ( с достоверностью имеет или не имеет места в состояниях $\phi$, принадлежащих $\mathfrak{M}$ или ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}-\mathfrak{M}$ соответственно, и только в таких состояниях.
$\gamma$ ) Для одновременной рассудимости нескольких свойств (E, F. … перестановочность их операторов $E,F,\dots$ является характерной.
б) Если $E,\mathfrak{M}$ принадлежат свойству (E, то $1-E,{\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}-\mathfrak{R}$ принадлежат свойству «не (F».

ะ) Если $E,\mathfrak{R}$ принадлежат свойству $\mathcal{E}$, а $F,\mathfrak{R}$ — свойству $\mathfrak{f}$ и если $\mathcal{E}$ и $\mathfrak{F}$ одновременно рассудимы, то $EF$ и общая часть $\mathfrak{M}$,
$\eta )(\mathrm{\&}$ всегда имеет место, если $E=1$ или же если $\mathfrak{M}={\mathfrak{N}}_{\mathrm{\infty }}$, и никогда не имеет места, если $E=0$ или же если $\mathfrak{M}=(0)$.

ๆ) (E, $\mathfrak{F}$ несовместны, если $EF=0$ или, также, если всё $\mathfrak{M}$ ортогонально всему $\mathfrak{R}$.
५) Пусть величине $\mathfrak{P}$ соответствует оператор $R$ и пусть $I$ — некоторый интервал. Пусть $E(\lambda )$ — разложение единицы, принадлежащее $R,I=\{{\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }\}({\lambda }^{\prime }\leqq {\mu }^{\prime }),E(I)=E\left({\mu }^{\prime }\right)-E\left({\lambda }^{\prime }\right)$ (cp. III. 1). Тогда оператор $E(\overline{\stackrel{―}{(I)}}$ принадлежит свойству «९ лежит в $I»$.

С помощью предложений $\alpha$ ) — ) можно вывести указанные выше вероятностные утверждения ${\mathit{W}}_{.},{\mathit{E}}_{\mathbf{1}},,{\mathit{E}}_2$., а также утверждения из III. 3 относительно одновременной измеримости. Ясно, что последявляются его следствиями.

Мы видим, что связь между свойствами физической системы, с одной стороны, и проекционныии операторами, с другой, делает возможным некое логическое исчисление над ними. Однако в противоположность исчислению обычной логики эта система обогащена характерным для квантовой механики понятием «одновременнои рассудимости».

Это, основанное на проекционных операторах, исчисление предложений имеет, пожалуй, определенные преимущества над исчислением величин, опирающимся на совокупность всех (гипермаксимальных) эрмитовых операторов, состоящие в том, что понятие «одновременной рассудимости» является уточнением понятия «одновременной измеримости». Например, чтобы вопросы «лежит ли $\mathfrak{A}$ в $I$ ?» и «лежит ли ( в $J$ ?» [ $\mathfrak{R}$ и $\mathcal{C}$ обладают операторами $R$ и $\mathcal{S}$, а эти в свою очередьразложениями единицы $E(\lambda )$ и $F(\mu );I=\{{\lambda }^{\prime },{\lambda }^{\prime \prime }\},J=\{{\mu }^{\prime },{\mu }^{\prime \prime }\}]$ были бы одновременно рассудимы, мы требуем лишь (согласно $\gamma$ ), Ђ)), чтобы операторы $E(I)=E\left({\lambda }^{\prime \prime }\right)-E\left({\lambda }^{\prime }\right)$ и $F(J)=F\left({\mu }^{\prime \prime }\right)-F\left({\mu }^{\prime }\right)$ коммутировали. Для одновременной же измеримости $\mathfrak{A}$, 厄 необходима перестановочность всех $E(\lambda )$ со всеми $F(\mu )$.