Теперь мы в достаточной мере познакомились с геометрическими отношениями в бесконечномерном (гильбертовом) пространстве $\Re_{\infty}$, чтобы можно было обратиться к линеиным операторам в нем, т. е. к линейным отображениям $\mathfrak{R}_{\infty}$ на самого себя. С этой целью придется ввести некоторые понятия, которые по существу уже были предвосхищены в некоторой мере в последних разделах.

В предыдущих разделах мы уже имели дело с операторами; мы определим их (в соответствии со сказанным там перед тео ремой 11.) следующим образом:
Определение 6. Оператор $R$ есть функция, определенная на подмножестве $\mathfrak{R}$, со значениями из $\mathfrak{R}$, т. е. соответствие, которое сопоставляет некоторым элементам $f$ из $\Re$ элементы $R f$ из $\Re$.
(Мы допустили здесь и $\Re_{n}$ в дополнение к $\Re_{\infty}$. Следует обратить внимание на то, что если $\Re_{\infty}$ есть $F_{2}$, то оператор $R$ определен
для элементов $F_{\Omega}$, т. е. обычных функций в конфигурационном пространстве, причем его значениями будут такие же функции. Итак, операторы оказываются так называемыми «функциями от функций» или «функционалами». Сравни примеры в 1.2,4). Класс $f$, для которых определено $R f$ – область определения $R$ – не обязан включать в себя все $\mathfrak{A}$, если же он включает все $\Re$, то $R$ называется определенным повсюду. Кроме того, нет никакой необходимости, чтобы множество всех $R f$ – область изменения $R$ (отображение области определения, осуществляемое $R$ ) – содержалась в области определения $R$, т. е. если $R f$ определена, то из этого еще не следует с необходимостью, что $R(R f)=R^{2} f$ имеет смысл ${ }^{58}$ ).

B предыдущем разделе мы уке установили, что надо понимать под $R \pm S, a R, R S$ или $R^{m}(R, S$ – операторы, $a$-комплексное число, $m=0,1,2, \ldots)$ :
\[
\begin{array}{c}
(R \pm S) f=R f \pm S f, \quad(a R) f=a \cdot R f, \quad(R S) f=R(S f), \\
R^{0}=1, \quad R^{1}=R, \quad R^{2}=R R, \quad R^{3}=R R R, \ldots
\end{array}
\]

Для установления областей определения этих операторов следует заметить, что левые стороны (т. е. операторы $R \pm S, a R, R S$ ) определены только, если определены также и правые части. Таким образом, например, $R \pm S$ определено лишь в общей части областей определения $R$ и $\mathcal{S}$, и т. д. Если $R f$ принимает каждое из своих значений лишь однажды, то $R$ обладает обратным оператором $R^{-1}$ : $R^{-1} f$ имеет смысл, если $R g=f$ имеет решение $g$, и $g$ есть его значение $\left(R^{-1} f=R^{-1} R g=g\right.$ ). В предыдущем разделе уже шла речь о законах счета для операторов $R \pm S, a R, R S$, здесь мы добавим еще несколько слов относительно соответствующих областей. Oлераторы, определенные там в качестве равных, имеют также совпадающие области определения, однако такие операторные уравнения, как $0 \cdot R=0$, несправедливы для областей определения. Выраже-
58) Так, например, если $\mathfrak{R}_{\infty}$ есть $F_{Q}$, где $Q$ – пространство всех вещественных $x,-\infty<x<\infty$, то $d / d x$ есть функция от функции, т. е. оператор, определенный, однако, в нашем смысле только для тех $f(x)$, которые, во-первых, дифференцируемы и, во-вторых, обладают конечным $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} f(x)\right|^{2} d x$ (ср. II. 8, где этот вопрос обсуждается подробнее). Естественно, что тогда в общем случае $\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x)$ не обязана существовать и $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x)\right|^{2} d x$ не обязан быть конечным. Например, такого рода поведение будет у функции $f(x)=|x|^{\frac{3}{2}} e^{-x^{2}}$.

ние $0 \cdot f$ имеет смысл всегда, а $(0 \cdot R) f$, по определению, имеет смысл только когда определено $R f$ (если, однако, оба они определены, то оба $=0$ ). С другой стороны, когда выполнено $1 \cdot R=$ $=R \cdot 1=R$ и $R^{m} \cdot R^{l}=R^{m+l}$, то это же верно для соответствующих областен определения.

Если $R, S$ имеют обратные операторы, то $R S$ также обладает обратным оператором, которын, как легко видеть, имеет вид $(R S)^{-1}=$ $=S^{-1} R^{-1}$. Далее, для $a
eq 0,(a R)^{-1}=\frac{1}{a} R^{-1}$. Если существует $R^{-1}$. то мы можем образовать и другие отрицательные степени $R$ :
\[
R^{-2}=R^{-1} R^{-1} ; \quad R^{-3}=R^{-1} R^{-1} R^{-1}, \ldots
\]

После этих общих замечаний мы перендем к более детальному исследованию тех специальных классов операторов, которые представляют для нас особын интерес.
Определение 7. Оператор $A$ называется линейным, если область его определения есть линеиное многообразие, т. е. если она содержит все $a_{1} f_{1}+\ldots+a_{k} f_{k}$ вместе с $f_{1}, \ldots, f_{k}$, и если
\[
A\left(a_{1} f_{1}+\ldots+a_{k} f_{k}\right)=a_{1} A f_{1}+\ldots+a_{k} A f_{k} .
\]

В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы и именно лишь такие, область определения которых всюду плотна.
Последнее замечание позволяет найти – во многих случаях эффективную – замену требования об определенности оператора повсюду, от которого в квантовой механике нам приходится отказаться. Это обстоятельство достаточно важно для нас, чтобы рассмотреть его более подробно. Для примера рассмотрим конфигурационное пространство в волновой механике Шредингера, которое для простоты возьмем одномерным: $-\infty<q<+\infty$. Волновыми функциями будут $\varphi(q)$ с конечным $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q$, они образуют пространство Гильберта (cр. II. 3). Рассмотрим операторы $q, \ldots$ и $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}, \ldots$ Они, очевидно, линейны, но их области определения ни в коей мере не охватывают все гильбертово пространство. Для $q$,… это не так, потому что
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|q \varphi(q)|^{2} d q=\int_{-\infty}^{\infty} q^{2}|\varphi(q)|^{2} d q
\]
может легко оказаться бесконечным, даже при конечном $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q$, так что $q \varphi(q)$ не будет принадлежать более гильбертову пространству. Это не так и для $\frac{h}{2 \pi i} \frac{d}{d q}$, поскольку существуют недифференцируемые функции, так же как и такие, для которых $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q$ конечен, а
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{h}{2 \pi i} \frac{d}{d q} \varphi(q)\right|^{2} d q=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}} \int\left|\frac{d}{d q} \varphi(q)\right|^{2} d q
\]

не конечен (например, $|q|^{\frac{1}{2}} e^{-q^{2}}$ или $e^{-q^{2}} \sin \left(e^{q^{2}}\right)$ ). Однако их области определения всюду плотны: Оба оператора, разумеется, применимы к каждой $\varphi(q)$, которая $
eq 0$ лишь в конечном интервале $-C \leqq q \leqq C$ и всюду непрерывно дифференцируема; а такое множество функций повсюду плотно ${ }^{59}$ ). Определим далее:
Определение 8. Два оператора $A$ и $A^{*}$ назовем сопряженными, если они имеют одну и ту же область определения, причем в этой области
\[
(A f, g)=\left(f, A^{*} g\right), \quad\left(A^{*} f, g\right)=(f, A g) .
\]
(Заменяя взаимно $f, g$ и производя комплексное сопряжение с обеих сторон равенства, убеждагмся, что каждое из этих соотношенић следует из другого. Далее ясно, что связь $A$ с $A^{*}$ симметрична, т. е. что $A^{*}$ и $A$ также сопряженные, так что $A^{* *}=A$.)
${ }^{59}$ ) В соответствии с изложением II. 3 (при обсуждении условия $E$.) нам достаточно уметь аппроксимировать с любой точностью все линейные комбинации следующих функций: $f(x)=1$ на множестве, состоящем из конечного числа интервалов, и равно 0 всюду вне их. Это удается, если мы будем уметь аппроксимировать каждую из этих функций в отдельности; в свою очередь достаточно научиться делать это для функций с общим 1 -интервалом (остальные функции будут суммами таких). Пусть, например, интервалом будет $a<x<b$. Функция
\[
\begin{array}{l}
f(x)=0 \quad \text { для } \quad x<a-\varepsilon \text { или } x>b+\varepsilon \text {, } \\
f(x)=\cos ^{2} \frac{\pi}{2} \frac{a-x}{\varepsilon} \text { для } a-\varepsilon \leqq x \leqq a \text {, } \\
f(x)=\cos ^{2} \frac{\pi}{2} \frac{x-b}{\varepsilon} \text { для } b \leqq x \leqq b+\varepsilon, \\
f(x)=1 \quad \text { для } a<x<b \\
\end{array}
\]

в самом деле удовлетворяет нашим требованиям регулярности и вместе с тем приближает заданную функцию произвольно точно при достаточно малых $\varepsilon$.

Заметим дальше, что для $A$ может быть найден лишь один сопряженный оператор $A^{*}$, т. е. если $A$ есть сопряженный к $A_{1}^{*}$ и к $A_{2}^{*}$, то $A_{1}^{*}=A_{2}^{*}$. В самом деле, для всех $g$, для которых определено $\mathrm{Ag}$,
\[
\left(A_{1}^{*} f, g\right)=(f, A g)=\left(A_{2}^{*} f, g\right) \text {, }
\]

и поскольку эти $g$ всюду плотны, $A_{1}^{*} f=A_{2}^{*} f$. И так как это выполняется всегда, то $A_{1}^{*}=A_{2}^{*}$. Следовательно, $A^{*}$ определено по $A$ однозначно, так же как и $A$ по $A^{*}$.

Мы немедленно можем убедиться в том, что 0,1 и вообще все проекционные операторы $E$ самосопряжены (ср. теорему 12.), т. е. для них $0^{*}, 1^{*}, E^{*}$ существуют и равны соответственно $0,1, E$. Далее, $(a A)^{*}=\bar{a} A^{*}$ и, если только $A \pm B$ может быть вообще определено (т. е. если их области определения всюду плотны), то $(A \pm B)^{*}=$ $=A^{*} \pm B^{*}$. Наконец, при ограничениях на область определения, которые могут быть легко установлены, $(A B)^{*}=\left(B^{*} A^{*}\right)$ (ведь $(A B f, g)^{*}=$ $\left.=\left(B f, A^{*} g\right)=\left(f, B^{*} A^{*} g\right)\right)$, равно как и $\left(A^{-1}\right)^{*}=A^{*-1}$, так как
\[
\left.\left(A^{-1} f, g\right)=\left(A^{-1} f, A^{*} A^{*-1} g\right)=\left(A A^{-1} f, A^{*-1} g\right)=\left(f, A^{*-1} g\right)\right) \text {. }
\]

В частности, для случая волновои механики Шредингера (которую мы рассматривали и раньше, но здесь будет иметься в виду $k$-мерное конфигурационное пространство), когда гильбертово пространство состоит из $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ с конечными
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k},
\]

мы имеем для операторов $q_{l}, \ldots$ и $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}}, \ldots$
\[
\left(q_{l}\right)^{*}=\left(q_{l}\right), \quad\left(\frac{h}{2 \pi l} \frac{\partial}{\partial q_{l}}\right)^{*}=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}} .
\]

Первое очевидно, поскольку
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} q_{l} & \cdot\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \cdot \overline{\Psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{*}= \\
& \left.=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \cdot \overline{q_{l} \cdot \Psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right.}\right) d q_{1} \ldots d q_{k} .
\end{aligned}
\]
Второе утверждает
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \cdot \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k}= \\
\quad=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \cdot \overline{\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}} \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k},
\end{array}
\]
т. е.
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left\{\frac{\partial}{\partial q_{l}} \varphi\left(q_{1}, \ldots q_{k}\right) \cdot \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)}+\right. \\
\left.+\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial q_{l}} \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)}\right\} d q_{1} \ldots d q_{k}=0,
\end{array}
\]
т. e.
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\substack{A \rightarrow+\infty \\
B \rightarrow+\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left[\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\Psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)}\right]_{q_{l}=-B}^{q_{l}=+A} \times \\
\times d q_{1} \ldots d q_{l-1} d q_{l+1} \ldots d q_{k}=0 .
\end{array}
\]

Предел должен существовать, поскольку сходимость всех интегралов
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \ldots d q_{1} \ldots d q_{k}
\]

несомненна (так как $\varphi, \psi, \frac{\partial}{\partial q_{l}} \varphi, \frac{\partial}{\partial q_{l}} \psi$ принадлежат пространству Гильберта), так что важно только именно его равенство нулю. Но если бы он не был равен нулю, то (несомненно существующин) предел при $q_{l} \rightarrow+\infty$ (или при $q_{l} \rightarrow-\infty$ ) выражения
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{l-1} d q_{l+1} \ldots d q_{k}
\]

был бы не равен нулю, что несовместимо с абсолютной сходимостью интеграла
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{l-1} d q_{l} d q_{l+1} \ldots d q_{k}
\]
( $\varphi, \psi$ принадлежат пространству Гильберта!).
Если $A$ есть интегральный оператор
$A \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=$
\[
=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} K\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime},
\]

то непосредственно получаем следующее утверждение: $A^{*}$ есть также интегральный оператор, однако ядро его не $K\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right)$, но
\[
\overline{\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime} ; q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} .
\]

Рассмотрим теперь положение вещей в матричной теории, где пространство Гильберта состоит из последовательностей $x_{1}, x_{2}, \ldots$ с конечной $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left|x_{\mu}\right|^{2}$. Линенный оператор $A$ переводит $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ в $\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right\}$
\[
A\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}=\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right\},
\]

где вследствие линеиности $A, y_{1}, y_{2}, \ldots$ должны зависеть от $x_{1}, x_{2}, \ldots$ линейно
\[
\left.y_{\mu}=\sum_{
u=1}^{\infty} a_{\mu
u} x_{
u}{ }^{60}\right) .
\]

во) Это рассуждение не точно, поскольку оно оперирует понятием линейности в случае бесконечных сумм и прочего. Но оно может быть улучшено таким образом: Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ будет полной ортонормированной системой, а $A$ и $A^{*}$ – сопряженными операторами. Пусть $f=\sum_{v=1}^{\infty} x_{v} \varphi_{\gamma}, A f=\sum_{v=1}^{\infty} y_{
u} \varphi_{
u}$. Тогда
\[
y_{\mu}=\left(A f, \varphi_{\mu}\right)=\left(f, A^{*} \varphi_{\mu}\right)=\sum_{
u=1}^{\infty}\left(f, \varphi_{
u}\right)\left(\overline{A^{*} \varphi_{\mu}, \varphi_{
u}}\right)=
\]
[в силу теоремы 7., $\gamma$ ]
\[
=\sum_{
u=1}^{\infty} x_{
u}\left(\overline{\varphi_{\mu}, A \varphi_{
u}}\right)=\sum_{
u=1}^{\infty}\left(A \varphi_{
u}, \varphi_{\mu}\right) x_{
u} .
\]

Если мы теперь положим $a_{\mu
u}=\left(A \varphi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)$, то получим формулу из текста $y_{\mu}=\sum_{
u=1}^{\infty} a_{\mu
u} x_{
u}$, где уже обеспечивается абсолютная сходимость.

В гильбертовом пространстве последовательностей $x_{1}, x_{2}, \ldots$ последовательности $\varphi_{1}=1,0,0, \ldots ; \varphi_{2}=0,1,0, \ldots ; \ldots ; \ldots$ образуют полную ортонормированную систему (в чем можно легко убедиться). Тогда для $f=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ имеем $f=\sum_{
u=1}^{\infty} x_{
u} \varphi_{
u}$, а для $A f=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots\right)$ имеем $A f=\sum_{
u=1}^{\infty} y_{
u} \varphi_{
u}$, чем достигается полное согласие с текстом.
Если мы образуем $a_{\mu
u}^{*}$ для $A^{*}$, то увидим, что
\[
a_{\mu
u}^{*}=\left(A^{*} \varphi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)=\left(\varphi_{\gamma}, A \varphi_{\mu}\right)=\overline{\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)}=\overline{a_{
u \mu}} .
\]
Следовательно, оператор ${ }_{-}$характеризуется заданием матрицы $a_{\mu
u}$. Легко видеть, что матрица $\bar{a}_{
u \mu}$ (комплексно-сопряженная транспонированная!) соответствует оператору $A^{*}$ (см. прим, ${ }^{60}$ )).

Аналогия с положением в матричной теории, которую мы сейчас обнаружили, подсказывает нам способ ввести понятие эрмитова оператора, которым мы сећчас и воспользуемся. Одновременно мы введем два других понятия, которые окажутся существенными для наших дальнейших целей.
Определение 9. Оператор $A$ назовем эрмитовым, если $A^{*}=A$. Назовем его также дефинигным, если всегда ( $A f, f) \geqq 0{ }^{61}$ ). Оператор $U$ назовем унитарным, если $U U^{*}=U^{*} U=1{ }^{62}$ ).
Для унитарных операторов мы таким образом, имеем $U^{*}=U^{-1}$. По определению,
\[
(U f, U g)=\left(U^{*} U f, g\right)=(f, g),
\]

значит, в частности, (при $f=g$ ), $\|U f\|=\|f\|$. Напротив унитарная природа оператора следует из последних свойств, если $U$ определен повсюду и принимает все значения (ср. прим. ${ }^{62}$ )). Мы доказываем это следующим образом: во-первых, если верно, что

то, значит,
\[
\|U f\|=\|f\|,
\]
\[
(U f, U f)=(f, f) ; \quad\left(U^{*} U f, f\right)=(f, f) .
\]

Если мы заменим здесь $f$ на $\frac{f+g}{2}$ и другой раз на $\frac{f-g}{2}$ и вычтем их друг из друга, то, как легко подсчитать,
\[
\operatorname{Re}(U f, U g)=\operatorname{Re}(f, g) .
\]

Если мы подставим if вместо $f$, то получим Im вместо Re. Итак, вообще справедливо, что
\[
(U f, U g)=(f, g), \quad \text { т. е. } \quad\left(U^{*} U f, g\right)=(f, g) .
\]

При данном $f$ это верно для всех $g$, значит, $U^{*} U f=f$, и поскольку это выполняется для всех $f$, то $U^{*} U=1$. Мы должны еще показать, что $U U^{*}=1$ также. Для каждого $f$ существует $g$ такое, что $U g=f$, значит, $U U^{*} f=U U^{*} \cdot U g=U \cdot U^{*} U g=U g=f$, следовательно, $U U^{*}=1$.
Поскольку вследствие линеиности
\[
\|U f-U g\|=\|U(f-g)\|=\|f-g\|,
\]
61) $(A f, f)$ вещественно в любом случае, так как равно
\[
\left(A^{*} f, f\right)=(f, A f)=(\overline{A f, f)} .
\]
${ }^{\text {62) }}$ Следовательно, $U, U^{*}$ лолжны быть определены повсюду. Далее они обратны друг другу и, следовательно, принимают каждое значение один и только один раз.
то каждый унитарный оператор непрерывен, что отнодь не обязательно для эрмитовых операторов. Например, операторы $q \ldots$ и $\frac{h}{2 \pi l} \frac{\partial}{\partial q} \ldots$, столь важные для квантовой механики, – не непрерывны ${ }^{63}$ ).

Из наших формальных правил исчисления для $A^{*}$ немедленно следует, что если $U, V$ унитарны, то будут унитарны и $U^{-1}, U V$, следовательно, и все степени $U$. Если $A, B$ эрмитовы, то $A \pm B$ также эрмитовы. Напротив, $a A$ – эрмитов лишь при вещественных $a$ (исключая $A=0$ ), а $A B$ эрмитов, лишь если $A$ и $B$ коммутируют, т. е. если $A B=B A$. Далее мы знаем, что все проекционные операторы (и в частности 0,1) эрмитовы и что эрмитовы операторы $q_{l}, \ldots$ и $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}}, \ldots$ теории Шредингера. Вместе с $A$ эрмитовы и все его степени (так же, как и $A^{-1}$, если он существует), равно как и все полиномы с вещественными коэффициентами. Замечательно, что при эрмитовом $A$ и произвольном $X$ оказывается эрмитовым и оператор $X A X^{*}$ :
\[
\left(X A X^{*}\right)^{*}=X^{* *} A^{*} X^{*}=X A X^{*} .
\]

Следовательно, например, эрмитовы все $X X^{*}(A=1)$ и $X^{*} X$ ( $X$ – заменяется на $X^{*}$ ). При унитарном $U, U A U^{-1}$ эрмитов, поскольку $U^{-1}=U^{*}$.

Непрерывность для операторов, так же как и для численных функций обычного анализа, является свойством первостепенной важности. Мы поэтому хотим сформулировать несколько характерных условий существования этого свойства для случая линейных операторов. Теорема 18. Линейный оператор $R$ непрерывен всюду, если он непрерывен в точке $f=0$. Необходимым и достаточным условием для этого опять является существование постоянной $C$ такой, что всегда $\mid R f\|\leqq C \cdot\| f \|$. В свою очередь, это условие эквивалентно тому, что всегда справедливо
\[
|(R f, g)| \leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\| .
\]

Для эрмитовых $R$ этого достаточно потребовать только для $f=g:|(R f, f)| \leqq C \cdot\|f\|^{2}$ или, поскольку $(R f, f)$ вещественно (прим. ${ }^{61}$ ) на стр. 76 ),
\[
-C \cdot\|f\|^{2} \leqq(R f, f) \leqq C \cdot\|f\|^{2} .
\]
63) При данном $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q$ как $\int q^{2}|\varphi(q)|^{2} d q$, так и $\int\left|\frac{d}{d q} \varphi(q)\right|^{2} d q$ можно сделать произвольно большими. Возьмем, например, $\varphi(q)=a e^{-b q^{2}}$. Все три интеграла конечны ( $b>0$ !), но пропорциональны соответственно $a^{2} b^{-1 / 2}, a^{2} b^{-3 / 2}, a^{2} b^{1 / 2}$, так что любым двум из них могут быть предписаны произвольные значения.
Замечание. Концепция непрерывности операторов восходит к Hilbert’y ${ }^{64}$ ). Он характеризовал это свойство как «ограниченность» и определял его предпоследним из данных выше критериев. Если в последнем критерии всегда выполняется только одно из неравенств, то $R$ называется полуограниченным: сверху или снизу. Например, всякий дефинитный оператор полуограничен снизу (с $C=0$ ).
Доказательство. Непрерывность в $f=0$ означает, что для каждого \& $>0$ существует такое $\delta>0$, что из $\|f\|<\delta$ следует $\|R f\|<\varepsilon$. Тогда из $\left\|f-f_{0}\right\|<\delta$ следует, что
\[
\left\|R\left(f-f_{0}\right)\right\|=\left\|R f-R f_{0}\right\|<\varepsilon,
\]
т. е., что $R$ непрерывно также в $f=f_{0}$ и, следовательно, всюду. Если выполняется $\|R f\| \leqq C \cdot\|f\|$ (конечно $C>0$ ), то мы можем доказать непрерывность, положив $\delta=\frac{\varepsilon}{C}$. Напротив, если имеется непрерывность, мы можем определить $\delta$ для $\varepsilon=1$ и положить $C=\frac{2}{\delta}$. Ибо
\[
\|R f\| \leqq C \cdot\|f\|
\]

выполняется для $f=0$ без дальнейшего. Для $f
eq 0$, т. е. $\|f\|>0$ пусть $g=\frac{\frac{1}{2} \delta}{\|f\|} f$. В этом случае $\|g\|=\frac{1}{2} \delta$ и, следовательно,
\[
\|R g\|=\frac{\frac{1}{2} 8}{\|f\|}\|R f\|<1, \quad\|R f\|<\frac{\|f\|}{\frac{1}{2} \delta}=C \cdot\|f\| .
\]

Из $\|R f\| \leqq C \cdot\|f\|$ следует, ‘что $|(R f, g)| \leqq\|R f\| \cdot\|g\| \leqq$ $\leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\|$. Напротив, из $|(R f, g)| \leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\|$ мы получим . $\|R f\|^{2} \leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\|$, если положим $g=R f$, и, следовательно, $\|R f\| \leqq C \cdot\|f\|$. Еще остается показать, что для эрмитовых $R$ из $|(R f, f)| \leqq C \cdot\|f\|$ следует $|(R f, g)| \leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\|$. Подставляя $\frac{f+g}{2}$ и $\frac{f-g}{2}$ вместо $f$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
|\operatorname{Re}(R f, g)|=\left|\left(R \frac{f+g}{2}, \frac{f+g}{2}\right)-\left(R \frac{f-g}{2}, \frac{f-g}{2}\right)\right| \leqq \\
\left.\leqq C\left(\left\|\left.\frac{f+g}{2}\right|^{2}+\right\| \frac{f-g}{2} \|^{2}\right)=C \frac{\|f\|^{2}+\|g\|^{2}}{2}{ }^{65}\right) .
\end{array}
\]
$\left.{ }^{64}\right)$ Göttingen Nachrichten, 1906.
65) В приведении к этому виду важна эрмитовость оператора $R$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(R \frac{f+g}{2}, \frac{f+g}{2}\right)-\left(R \frac{f-g}{2}, \frac{f-g}{2}\right)= \\
=\frac{(R f, g)+(R g, f)}{2}=\frac{(R f, g)+\overline{(f, R g)}}{2}=\operatorname{Re}(R f, g)
\end{array}
\]
(в третьем шаге).
Подставляем теперь $a f, \frac{1}{a} g$ вместо $f, g$, как при доказательстве теоремы 1.. Минимизируя правую сторону, получим $|\operatorname{Re}(R f, g)| \leqq$ $\leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\|$. Затем, заменяя $f$ на $e^{i \alpha} f$ ( $\alpha$ – вещественно), получим в качестве максимума левой части
\[
|(R f, g)| \leqq C \cdot\|f\| \cdot\|g\| .
\]

Конечно, это справедливо только, если $R g$ определено, но поскольку эти $g$ всюду плотны, а $R g$ вовсе не входит в окончательный peзультат, то в силу непрерывности это выполняется всегда.
Докажем еще одну теорему о дефинитных операторах:
Теорема 19. Если $R$ эрмитов и дефинитный оператор, то всегда
\[
|\overline{(R f, g)}| \leqq \sqrt{(R f, f)(R g, g)}
\]

и, значит, из $(R f, f)=0$ тогда следует, что $R f=0$.
Доказательство. Приведенное неравенство следует из справедливости $(R f, f) \geqq 0$ (дефинитность) совершенно так, как в теореме 1. доказывалось неравенство Шварца $|(f, g)| \leqq \sqrt{(f, f)(g, g)}$ (т. е. $\leqq\|f\| \cdot\|g\|)$, исходя из $(f, f) \geqq 0$. Если теперь $(R f, f)=0$. то из этого неравенства следует также, что $(R f, g)=0$, если $R g$ имеет смысл. Следовательно, оно выполнено для всюду плотного множества $g$ и, значит, в силу аргументов непрерывности, для всех $g$. Значит, $R f=0$.

Наконец, мы коснемся важного понятия коммутативности двух операторов $R, S$, т. е. отношения $R S=S R$.
Из $R S=S R$ следует, что
\[
S \ldots S S R=S \ldots S R S=S \ldots R S S=\ldots=R S \ldots S S .
\]
т. е. $R$ и $S^{n}$ коммутируют ( $n=1,2, \ldots$ ). Поскольку $R \cdot 1=1 \cdot R=R$ и $S^{0}=1$, то это верно и для $n=0$. Если существует $S^{-1}$, то $S^{-1} \cdot S R \cdot S^{-1}=S^{-1} \cdot R S \cdot S^{-1}$ и, поскольку
\[
\begin{array}{l}
S^{-1} \cdot S R \cdot S^{-1}=S^{-} S \cdot R \cdot S^{-1}=R S^{-1}, \\
S^{-1} \cdot R S \cdot S^{-1}=S^{-1} R \cdot S S^{-1}=S^{-1} R,
\end{array}
\]

то и $S^{-1} R=R S^{-1}$. Так что $n=-1$ и, значит, и $n=-2,-3, \ldots$ также допустимы, т. е. $R$ коммутирует со всеми степенями $S$. Повторные рассуждения показывают, что все степени $R$ коммутируют со всеми степенями $S$. Если $R$ коимутирует с $S$ и с $T$, то он, очевидно, коммутирует со всеми $a S$, а также с $S \pm T, S T$. Вместе с результатами, полученными выше, это означает, что если $R, S$ коммутируют, то коммутируют также любые полиномы из $R$ с любыми полиномами из $S$. В частности, при $R=S$ все полнномы по $R$ коммутируют между собоћ.