Мы хотим определить здесь некоторые важные инварианты операторов.

Для одной матрицы $\left\{a_{\mu
u}\right\}$ из $\Re_{n}$ таким инвариантом будет шпур $\sum_{\mu=1}^{n} a_{\mu \mu}$. Он унитарно-инвариантен т. е. $^{2}$ не меняется, если преобразовать $\left\{a_{\mu
u}\right\}$ к другой (декартовой) системе координат ${ }^{113}$ ). Если же заменить матрицу $\left\{a_{\mu
u}\right\}$ соответствующим оператором
\[
A\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}=\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}, \quad y_{\mu}=\sum_{
u=1}^{n} a_{\mu
u} x_{
u},
\]

то элементы $a_{\mu
u}$ выразятся через $A$ следующим образом. Векторы $\varphi_{1}=\{1,0, \ldots, 0\}, \varphi_{2}=\{0,1, \ldots, 0\}, \ldots, \varphi_{n}=\{0,0, \ldots, 1\}$ образуют полную и нормированную ортогональную систему, и, очевидно, $a_{\mu
u}=\left(A \varphi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)$ (ср. II. 5, в особенности прим. ${ }^{60}$ ) на стр. 75 ). Итак, шпур выражается формулои $\sum_{\mu=1}^{n}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$, и его инвариантность утверждает, что его значение будет одним и тем же во всякой полной нормированной ортогональной системе.

Такое образование понятия шпура можно немедленно перенести по аналогии в $\Re_{\infty}$ : если $A$ – линейный оператор, то мы выбираем
113) Матрица $\left\{a_{\mu .
u}\right\}$ представляет преобразование (т. е. оператор) $\eta_{\mu}=\sum_{
u=1}^{n} a_{\mu
u} \xi_{
u} \quad(\mu=1, \ldots, n$, ср. выводы в II. 7). Если мы будем преобразовывать координаты по формулам
\[
\xi_{\mu}=\sum_{
u=1}^{n} x_{y \mu} \mathfrak{r}_{
u}, \quad \eta_{\mu}=\sum_{
u=1}^{n} x_{
u \mu} \mathfrak{y}_{
u} \quad(\mu=1, \ldots, n),
\]

то из этого получится
\[
\mathfrak{y}_{\mu}=\sum_{1}^{n} \mathfrak{a}_{\mu
u} \mathfrak{x}_{v} \quad(\mu=1, \ldots, n)
\]
c
\[
a_{\mu
u}=\sum_{\rho, \sigma=1}^{n} a_{\rho \sigma} \bar{x}_{\mu \rho} x_{v \sigma} \quad(\mu, v=1, \ldots, n),
\]

где $\left\{\mathfrak{a}_{\mu
u}\right\}$ – преобразованная матрица. При этом, очевидно, будет
\[
\sum_{\mu=1}^{n} a_{\mu \mu}=\sum_{\mu, \rho, \sigma=1}^{n} a_{\rho \sigma} \bar{x}_{\mu \rho} x_{\mu \sigma}=\sum_{\rho, \sigma=1}^{n} a_{\rho \sigma}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\mu \rho} x_{\mu \sigma}\right)=\sum_{\rho=1}^{n} a_{\rho \rho},
\]
т. е. щпур останется инвариантным.
какую-нибудь полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ для которой все $A \varphi_{\mu}$ имеют смысл (этого, безусловно, можно добиться, если область определения $A$ всюду плотна – достаточно взять в ней плотную последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ и ортогонализировать ее с помощью теоремы 8. из II. 2) и полагаем $\operatorname{Spur}(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$. Надо показать, что так образованная величина денствительно зависит только от $A$ (но не от $\varphi_{\mu}$ !).

Для этой цели введем сперва две полные ортонормированные системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ и положим
\[
\operatorname{Spur}(A ; \varphi, \psi)=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right) .
\]

Из теоремы 7. раздела II. 2 следует, что это выражение равняется $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$, т. е. зависит от $\psi_{
u}$ только кажущимся образом. Далее $\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left(\varphi, A^{*} \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)=\overline{\sum_{\mu,
u}^{\infty}\left(A^{*} \psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)\left(\varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)}$, т. е. Spur $(A ; \varphi, \psi)=\overline{\operatorname{Spur}\left(A^{*} ; \psi, \varphi\right)}$. Поскольку правая часть зависит, согласно сказанному выше, от $\varphi_{\mu}$ только кажущимся образом, то это же должно быть справедлизо и для левой она зависит, следовательно, только кажущимся образом и от $\varphi_{\mu}$ и от $\psi_{
u}$, в действительности же есть функция только от $A$. Поэтому мы можем обозначать $\operatorname{Spur}(A ; \varphi, \psi)$ просто как Spur $A$. Поскольку он равен $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$, то желаемое доказательство инвариантности завершено. При этом из последнего равенства следует еще и $\operatorname{Spur}(A)=\overline{\operatorname{Spur}\left(A^{*}\right)}$. Соотношения
\[
\operatorname{Spur}(a A)=a \operatorname{Spur}(A), \quad \operatorname{Spur}(A \pm B)=\operatorname{Spur}(A) \pm \operatorname{Spur}(B)
\]

очевидны. Далее, выполняется (и для некоммутирующих $A$ и $B$ ) соотношение
\[
\operatorname{Spur}(A B)=\operatorname{Spur}(B A) .
\]

Оно доказывается так:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Spur}(A B)=\sum_{\mu=1}^{\infty}( & \left.A B \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(B \varphi_{\mu}, A^{*} \varphi_{\mu}\right)= \\
=\sum_{\mu,}^{\infty}\left(B \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, A^{*} \varphi_{\mu}\right) & =\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(B \varphi_{\mu}, \psi_{\mu}\right)\left(A \psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right),
\end{aligned}
\]
где $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ можно считать двумя произвольными полными ортонормированными системами, и симметрия последнего выражения в $A$ и $B$ (при одновременной перестановке $\varphi$ и $\psi$ ) очевидна. Таким образом, для эрмитозых операторов $A$ и $B$ :
\[
\operatorname{Spur}(A B)=\overline{\operatorname{Spur}\left((A B)^{*}\right)}=\overline{\operatorname{Spur}\left(B^{*} A^{*}\right)}=\overline{\operatorname{Spur}(B A)}=\overline{\operatorname{Spur}(A B)} \text {, }
\]

следовательно, Spur $(A B)$ веществен (для шпура $\operatorname{Spur}(A)$ это естественно так).

Если $\mathfrak{R}$-замкнутое линейное многообразие, а $E$-его проекционный оператор, то $\operatorname{Spur}(E)$ определяется следующим образом. Пусть $\psi_{1}, \ldots, \psi_{k}$ – ортонормированная система, на которую натягивается линейное многообразие $\mathfrak{R}$, а $\chi_{1}, \ldots, \chi_{l}$ – система, растягивающая $\mathfrak{R}_{\infty}-\mathfrak{M}$ (естественно, что или $k$, или $l$, или же оба они бесконечны). Тогда $\psi_{1}, \ldots, \psi_{k}, \chi_{1}, \ldots, \chi_{l}$ растягивают в совокупности все $\Re_{\infty}$, т. е. образуют полную ортонормированную систему (теорема 7. $\alpha$. из II. 2). Поэтому
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Spur}(E)=\sum_{\mu=1}^{k}\left(E \psi_{\mu}, \psi_{\mu}\right)+\sum_{\mu=1}^{l}\left(E \chi_{\mu}, \chi_{\mu}\right)=\sum_{\mu=1}^{k}\left(\psi_{\mu}, \psi_{\mu}\right)+\sum_{\mu=1}^{l}\left(0, \chi_{\mu}\right) & = \\
= & \sum_{\mu=1}^{k} 1=k,
\end{aligned}
\]
т. е. Spur $(E)$ равен числу измерений многообразия $\mathfrak{M}$.

Если оператор $A$ дефинитен, то все $\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right) \geqq 0$ и, следовательно, Spur $A \geqq 0$. Если при этом $\operatorname{Spur}(A) \stackrel{\mu_{\mu}}{=}$, то должны обращаться в нуль и все ( $A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}$ ), и поэтому $A \varphi_{\mu}=0$ (теорема 19. из II. 5). Если $\|\varphi\|=1$, то можно подыскать полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ с $\varphi_{1}=\varphi$ (если последовательность $f_{1}$, $f_{2}, \ldots$ всюду плотна, то мы «ортогонализуем» $\varphi, f_{1}, f_{2}, \ldots$ – ср. доказательство теоремы 7. в II. 5 -, благодаря чему возникнет начинающаяся с $\varphi$ полная ортонормированная система), следовательно, будет $A \varphi=0$. Если теперь $f$ произвольна, то для $f=0$ конечно будет $A f=0$, для случая же $f
eq 0$ то же следует из предыдущего, если положить $\varphi=\frac{1}{\|f\|} f$. Итак, $A=0$. Это значит, что если $A$ дефинитен и $
eq 0$, то Spur $A>0$.

При всей краткости и простоте наших рассуждений относительно шпура, математически они не безукоризнены. Действительно, мы рассматривали ряды $\sum_{p, v=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{v}, \varphi_{\mu}\right)$ и $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$ не обращая внимания на их сходимость, преобразовывали их друг в друга (меняли порядок суммирования) – короче, делали все, что при корректном обращении делать нельзя. Хотя неряшливость такого рода допускается в теоретической физике и в других случаях, и хотя данная небрежность и не приведет в дальнейших применениях к квантовой механике ни к какой беде, – надо все-таки ясно заявить, что дело идет о неряшливости.

Тем существеннее подчеркнуть, что в основных статистических утверждениях квантовой механики используется только шпур операторов $A B$, если и $A$ и $B$ оба дефинитны, и что это понятие может быть обоснованно и совершенно точным образом. Поэтому в оставшенся части параграфа мы установим те свойства шпура, которые доказываются с абсолютной математической строгостью.

Рассмотрим сперва шпур произведения $A^{*} A$ ( $A$-произволен, $A^{*} A$ в силу II. 4 эрмитов и вследствие $\left(A^{*} A f, f\right)=(A f, A f) \geqslant 0$ дефинитен). Мы имеем:
\[
\operatorname{Spur}\left(A^{*} A\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A^{*} A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, A \varphi_{\mu}\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2} .
\]

Поскольку этот ряд содержит лишь члены $\geq 0$, то он либо сходится, либо расходится к $+\infty$, т. е. в любом случае имеет смысл. Покажем теперь независимо от предыдущих рассуждений. что его сумма не зависит от выбора $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ При этом мы встретимся лишь с рядами, все члены которых $\geq 0$, поэтому все будет иметь смысл и любое изменение порядка суммирования будет дозволено.

Если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ – две полные ортонормированные системы, то определим
\[
\Sigma\left(A ; \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)=\sum_{\mu, i=1}^{\infty}\left|\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2} .
\]

Согласно теореме 7. $\gamma$. из II. 2 это выражение равняется $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2}$, т. е. $\Sigma\left(A ; \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)$ зависит от $\psi_{
u}$ только кажущимся образом. Далее (как $A \varphi_{\mu}$, так и $A^{*} \psi_{
u}$ должны иметь смысл),
\[
\begin{aligned}
\Sigma\left(A ; \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2} & =\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(\varphi_{\mu}, A^{*} \psi_{
u}\right)\right|^{2}= \\
& =\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(A^{*} \psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)\right|^{2}=\Sigma\left(A^{*} ; \psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому зависимость от $\varphi_{\mu}$ тоже только кажущаяся, поскольку так обстоит дело для крайнего правого выражения. Тем самым оказывается, что $\Sigma\left(A ; \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)$ зависит вообще только от $A$, и мы назовем ее $\Sigma(A)$. Согласно доказанному выше,
\[
\Sigma(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2}=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2}
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0141.jpg.txt

140
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[гл. ‘II
и $\Sigma(A)=\Sigma\left(A^{*}\right)$. Таким образом, $\operatorname{Spur}\left(A^{*} A\right)$ определяется заново (и теперь корректно) как $\Sigma(A)$.

Докажем еще независимо некоторые свойства $\Sigma(A)$, которые следовали бы и из уже выведенных общих свойств шпура.

Из определения следует, что всегда $\Sigma(A) \geqq 0$, а для $\Sigma(A)=0$ должны все $A \varphi_{\mu}=0$, откуда, как и раньше, следует, что $A=0$. Это значит, что для $A
eq 0$ будет $\Sigma(A)>0$.
Ясно, что $\Sigma(a A)=|a|^{2} \Sigma(A)$. Если $A^{*} B=0$, то выполняется:
\[
\begin{aligned}
\left\|(A+B) \varphi_{\mu}\right\|^{2}-\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2}- & \left\|B \varphi_{\mu}\right\|^{2}=\left(A \varphi_{\mu}, B \varphi_{\mu}\right)+\left(B \varphi_{\mu}, A \varphi_{\mu}\right)= \\
& =2 \operatorname{Re}\left(A \varphi_{\mu}, B \varphi_{\mu}\right)=2 \operatorname{Re}\left(\varphi_{\mu}, A^{*} B \varphi_{\mu}\right)=0,
\end{aligned}
\]

следовательно, после суммирования $\sum_{\mu=1}^{\infty}$ :
\[
\Sigma(A+B)=\Sigma(A)+\Sigma(B) .
\]

Это соотношение не изменится, если переставить в нем $A$ и $B$. Следовательно, оно будет справедливым и для $B^{*} A=0$. Далее, мы можем заменить $A, B$ на $A^{*}$ и $B^{*}$; следовательно, в равной степени достаточно и условий $A B^{*}=0$ или $B A^{*}=0$. Для эрмитова $A$ (или $B$ ), мы можем поэтому написать $A B=0$ или $B A=0$.

Если $E$-проекционный оператор замкнутого линейного многообразия $\mathfrak{M}$, то для рассматривавшихся при определении шпура Spur $(E)$ функций $\psi_{1}, \ldots, \psi_{k}, \chi_{1}, \ldots, \chi_{l}$ :
\[
\Sigma(E)=\sum_{\mu=1}^{k}\left\|E \psi_{\mu}\right\|^{2}+\sum_{\mu=1}^{l}\left\|E \chi_{\mu}\right\|^{2}=\sum_{\mu=1}^{k}\left\|\psi_{\mu}\right\|^{2}+\sum_{\mu=1}^{l}\|0\|^{2}=\sum_{\mu=1}^{k} 1=k .
\]

Иными словами, и $\Sigma(E)$ оказывается равным числу измерений $M$ (из-за $E^{*} E=E E=E$ ничего другого и нельзя было ожидать).

Теперь, к $\Sigma$ можно свести $\operatorname{Spur}(A B)$ для двух дефинитных (эрмитовых) операторов $A$ и $B$. Именно, существуют два таких же оператора $A^{\prime}, B^{\prime}$ со своиством ${A^{\prime}}^{2}=A,{B^{\prime}}^{2}=B^{114}$ ) – мы назовем их $\sqrt{A}$ и $\sqrt{B}$. Чисто формально пишем:
\[
\begin{array}{r}
\operatorname{Spur}(A B)=\operatorname{Spur}(\sqrt{A} \sqrt{A} \sqrt{B} \sqrt{B})=\operatorname{Spur}(\sqrt{B} \sqrt{A} \sqrt{A} \sqrt{B})= \\
=\operatorname{Spur}\left((\sqrt{A} \sqrt{B})^{*}(\sqrt{A} \sqrt{B})\right)=\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B}) .
\end{array}
\]
114) Точно это утверждение формулируется так: Если $A$ гипермаксимален и дефинитен, то существует один и только один такой же оператор $A^{\prime}$ с $A^{\prime 2}=A$. Докажем существование.
Теперь эта $\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B})$ обладает, – на основании собственного определения и без какого бы то ни было учета связей со шпуром, всеми свойствами, которые мы ожидаем для шпура $\operatorname{Spur}(A B)-$ именно:
\[
\begin{aligned}
\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B}) & =\Sigma(\sqrt{B} \sqrt{A}), \\
\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B+C}) & =\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B})+\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{C}), \\
\Sigma(\sqrt{A+B} \sqrt{C}) & =\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{C})+\Sigma(\sqrt{B} \sqrt{C}) .
\end{aligned}
\]

Первое следует из того, что $\Sigma(X Y)$ в $X$ и $Y$ симметрично:
\[
\Sigma(X Y)=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(X Y \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2}=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|\left(Y \varphi_{\mu}, X \psi_{
u}\right)\right|^{2},
\]

второе следует с помощью первого из третьего, следовательно, остается доказать лишь его, т. е. что $\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B})$ аддитивна в $A$.

Пусть $A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E(\lambda)$ – представление оператора $A$ через его собственные значения. Поскольку $A$ дефинитен, то $E(\lambda)$ для $\lambda<0$ постоянно (следовательно, согласно $\bar{S}_{1}$, равно 0 ), поскольку иначе для соответственно выбранных $\lambda_{1}<\lambda_{2}<0$ было бы $E\left(\lambda_{2}\right)-E\left(\lambda_{1}\right)
eq 0$, значит, можно было бы выбрать $f
eq 0$ с $\left(E\left(\lambda_{2}\right)-E\left(\lambda_{1}\right)\right) f=f$. Но отсюда следовало бы, как мы уже многократно заключали,
\[
E(\lambda) f=\left\{\begin{array}{lll}
f & \text { для } \lambda \geqq \lambda_{2}, \\
0 & \text { для } \lambda \leqq \lambda_{1},
\end{array}\right.
\]

следовательно,
\[
\begin{aligned}
(A f, f) & =\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, f)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \lambda d(E(\lambda) f, f) \leqq \int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \lambda_{2} d(E(\lambda) f, f)= \\
& =\lambda_{2}\left(\left(E\left(\lambda_{2}\right)-E\left(\lambda_{1}\right)\right) f, f\right)=\lambda_{2}(f, f)<0 .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E(\lambda)=\int_{0}^{\infty} i d E(\lambda)=\int_{0}^{\infty} \mu^{2} d E\left(\mu^{2}\right),
\]

и $A^{\prime}=\int_{1}^{\infty} \mu d E\left(\mu^{2}\right)$ представляет собсй желаемый оператор.
Подчеркнем: из дефинитности мы заключили о том, что $E(\lambda)=0$ для $\lambda<0$. Так как из последнего естественно следует дефинитность, то это, т. е. то обстоятельство, что весь спектр $\geq 0$, – является характерным для дефинитности.
Но в последнем мы убедимся, если запишем $\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B})$ в виде
\[
\begin{aligned}
\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B}) & =\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|\sqrt{A} \sqrt{B} \varphi_{\mu}\right\|^{2}=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sqrt{A} \sqrt{B} \varphi_{\mu}, \sqrt{A} \sqrt{B} \varphi_{\mu}\right)= \\
& =\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sqrt{A} \cdot \sqrt{A} \sqrt{B} \varphi_{\mu}, \sqrt{B} \varphi_{\mu}\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \sqrt{B} \varphi_{\mu}, \sqrt{B} \varphi_{\mu}\right) .
\end{aligned}
\]

Тем самым строгое обоснование понятия шпура в том объеме, который мы признали выше желательным, проведено.

Последняя формула позволяет сделать и следующее заключение: если $A$ и $B$ дефинитны, то $A B=0$ является следствием равенства $\operatorname{Spur}(A B)=0$. Действительно, последнее утверждает, что $\Sigma(\sqrt{A} \sqrt{B})=0$, следовательно, и $\sqrt{A} \sqrt{B}=0$ (ср. сказанное на стр. 140 или следующее ниже рассмотрение $\Sigma$ ); следовательно, $A B=\sqrt{A} \cdot \sqrt{A} \sqrt{B} \cdot \sqrt{B}=0$.

Для дефинитного эрмитова оператора $A$ вычисления со шпуром корректны и в первоначальной форие. В самом деле, если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ полная ортонормированная система, то $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$ (сумма, которая была призвана определить шпур!) будет суммой с только неотрицательными членами и, следовательно, будет или сходиться, или собственно (к $+\infty$ ) расходиться. Теперь могут встретиться два случая: или эта сумма бесконечна при любом выборе $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, тогда шпур действительно определен независимо от $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, а именно равен $+\infty$, – или же она по крайней мере при одном выборе $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ пусть при $\bar{\varphi}_{1}, \bar{\varphi}_{2}, \ldots$ конечна, но тогда из-за
\[
\left(\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \bar{\varphi}_{\mu}, \bar{\varphi}_{\mu}\right)\right)^{2}=\sum_{\mu, v=1}^{\infty}\left(A \bar{\varphi}_{\mu}, \bar{\varphi}_{\mu}\right)\left(\overline{A \varphi_{
u}}, \bar{\varphi}_{
u}\right) \geqq \sum_{\mu, v=1}^{\infty}\left|\left(A \bar{\varphi}_{\mu}, \bar{\varphi}_{\mu}\right)\right|^{2}=\Sigma
\]

будет конечной и $\Sigma(A)$, пусть, например, равной $C^{2}$. Если теперь $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ – какая-либо полная ортонормированная система, то
\[
\Sigma(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \psi_{\mu}\right\|^{2}=C^{2}, \quad\left\|A \psi_{1}\right\|^{2} \leqq C^{2}, \quad\left\|A \psi_{1}\right\| \leqq C .
\]

Поскольку каждое $\psi$ с $\|\psi\|=1$ можно выбрать за $\psi_{1}$ такой системы, то из $\|\psi\|=1$ следует $\|A \psi\| \leqq C$. Тем самым в общем случае будет $\|A f\| \leqq C\|f\|$ : для $f=0$ это очевидно, а для $f
eq 0$ достаточно положить $\varphi=\frac{1}{\|f\|} f$. Но тем самым $A$ удовлетворяет условию St. из II. 9, т. е. $A$ будет непрерывным оператором. Однако можно утверждать и значительно больше.
Именно, из-за конечности $\Sigma(A)$ оператор $A$ принадлежит к классу так называемых полностью непрерывных операторов, для которых Гильберт показал, что проблема собственных значений разрешима для них в первоначальной форме, т. е. что существует полная ортонормированная система $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ с $A \psi_{\mu}=\lambda_{\mu} \psi_{\mu}$ (и притом еще $\lambda_{\mu} \rightarrow 0$ для $\left.\mu \rightarrow \infty\right)^{115}$ ). Из дефинитности $A$ следует, что $\lambda_{\mu}^{\mu}=\left(A \psi_{\mu}, \Psi_{\mu}\right) \geqslant 0$, далее
\[
\sum_{\mu=1}^{\infty} \lambda_{\mu}^{2}=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \psi_{\mu}\right\|^{2}=\Sigma(A)=C^{2} .
\]

Если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ образуют некоторую полную ортонормированную систему, то
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)= & \sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sum_{
u=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sum_{
u=1}^{\infty}\left(\varphi_{\mu}, A \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)\right)= \\
= & \sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda_{
u}\left(\varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\left(\psi_{
u}, \varphi_{\mu}\right)\right)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda_{\mu}\left|\left(\varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
$\left.{ }^{115}\right)$ Ср. прим. ${ }^{64}$ ) на стр. 78. Прямое доказательство удается провести следующим образом. Пусть $\lambda_{0}<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}$, все они $\geqslant \varepsilon$ или же все $\leqslant-\varepsilon, E\left(\lambda_{0}\right)
eq E\left(\lambda_{1}\right)
eq E\left(\lambda_{2}\right)
eq \ldots
eq E\left(\dot{\lambda}_{n}\right)$. Тогда $E\left(\lambda_{v}\right)-E\left(\lambda_{
u-1}\right)
eq 0$, следовательно можно выбрать $\varphi_{
u}
eq 0$ с $\left(E\left(\lambda_{
u}\right)-E\left(\lambda_{
u-1}\right) \varphi_{
u}=\varphi_{
u}\right.$, откуда сказанного следует, что $\left(\varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)=0^{-1}$ для $\mu
eq
u$. Тем самым функции $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$, образуют ортонормированную систему и мы можем расширить ее до полной $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}, \varphi_{n+1}, \ldots$
Выполняется ( $v=1, \ldots, n)$
\[
\begin{aligned}
\left\|A \varphi_{
u}\right\|^{2} & =\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\left\|E(\lambda) \varphi_{
u}\right\|^{2}=\int_{\lambda_{
u-1}}^{\lambda_{
u}} \lambda^{2} d\left\|E(\lambda) \varphi_{
u}\right\|^{2} \geqslant \int_{\lambda_{
u-1}}^{\lambda_{
u}} \varepsilon^{2} d\left\|E(\lambda) \varphi_{
u}\right\|^{2}= \\
& =\varepsilon^{2}\left(\left\|E\left(\lambda_{
u}\right) \varphi_{
u}\right\|^{2}-\left\|E\left(\lambda_{
u-1}\right) \varphi_{
u}\right\|^{2}\right)=\varepsilon^{2}\left\|\varphi_{
u}\right\|^{2}=\varepsilon^{2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2}=\left\{\begin{array}{l}
\geqslant \sum_{\mu=1}^{n}\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2} \geqslant n \varepsilon^{2}, \\
=\Sigma(A)=C^{2},
\end{array}\right.
\]

что значит, что $n \leqslant \frac{C^{2}}{\varepsilon^{2}}$. Таким образом, для $|\lambda| \geqslant \varepsilon E(\lambda)$ вообще может принять только $\leqslant 2 \cdot \frac{C^{2}}{\varepsilon^{2}}$ различных значений, т. е. меняется лишь конечным числом скачков, между которыми лежат интервалы постоянства. Но это значит, что при $|\lambda| \geqslant \varepsilon$ имеется только дискретный спектр. Поскольку это справедливо для всех $\varepsilon>0$, то и всобще существует только дискретный спектр.
Поскольку всё $\geqslant 0$, мы вправе переменить порядок суммирования
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right) & =\sum_{\mu,
u=1}^{\infty} \lambda_{
u}\left|\left(\varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2}=\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda_{
u}\left(\sum_{\mu=1}^{\infty}\left|\left(\varphi_{\mu}, \psi_{
u}\right)\right|^{2}\right)= \\
& =\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda_{
u}\left\|\psi_{
u}\right\|^{2}=\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda_{
u} .
\end{aligned}
\]

Итак, и в этом случае $\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)$ оказывается не зависящей от $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ а именно равной сумме собственных значений Поскольку для системы $\bar{\varphi}_{1}, \bar{\varphi}_{2}, \ldots$ она конечна, то, значит, она конечна и всегда. Итак, Spur $A$ опять окажется однозначным, только теперь конечным.
Тем самым мы обосновали обращение со шпуром в обоих случаях.
Получим еще несколько результатов, относящихся к шпуру $\operatorname{Spur}(A)$ и к $\Sigma(A)$. Для всех $A$ с конечной $\Sigma(A)$ выполнялось $\|A f\| \leqslant \sqrt{\Sigma(A)} \cdot\|f\|$, для всех дефинитных (эрмитовых) $A$ с конечным шпуром – $\|A f\| \leqslant \operatorname{Spur}(A) \cdot\|f\|$. Пусть теперь $A$ – дефинитный оператор, $\operatorname{Spur}(A)=1$ и для соответственно подобранной $\varphi$ с $\|\varphi\|=1\|A \varphi\|^{2} \geqslant 1-\varepsilon$ или $(A \varphi, \varphi) \geqslant 1-\varepsilon$. Поскольку из-за $(A \varphi, \varphi) \leqslant\|A \varphi\| \cdot\|\varphi\|=\|A \varphi\|$ первое условие следует из второго (с $(1-\varepsilon)^{2} \geqslant 1-2 \varepsilon$ вместо $1-\varepsilon$, значит с $2 \varepsilon$ вместо $\varepsilon$ ), то достаточно рассмотреть только его.

Пусть $\psi$ ортогональна $\varphi,\|\psi\|=1$. Тогда можно найти полную ортонормированную систему $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ с $\chi_{1}=\varphi, \chi_{2}=\psi$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left\|A_{\mu}\right\|^{2}=\left\{\begin{array}{l}
=\Sigma(A) \leqslant(\operatorname{Spur}(A))^{2}=1, \\
\geqslant\|A \varphi\|^{2}+\|A \psi\|^{2} \geqslant 1-2 \varepsilon+\|A \psi\|^{2},
\end{array}\right. \\
\|A \psi\|^{2} \leqslant 2 \varepsilon, \quad\|A \psi\| \leqslant \sqrt{2 \varepsilon} . \\
\end{array}
\]

Для произвольной ортогональной к $\varphi$ функции $f$ отсюда следует $\|A f\| \leqslant \sqrt{2 \varepsilon}\|f\|$ (для $f=0$ это ясно, в противном случае $\left.\psi=\frac{1}{\|f\|} f\right)$. Если учесть еще, что ( $A f, g)=(f, A g$ ), то мы сможем сказать, что $|(A f, g)| \leqslant \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\|f\| \cdot\|g\|$, если $f$ или $g$ ортогональна к $\varphi$.
Если теперь $f$ и $g$ произвольны, то
\[
f=\alpha \varphi+f^{\prime}, \quad g=\beta \varphi+g^{\prime},
\]

где $f^{\prime}$ и $g^{\prime}$ ортогональны к $\varphi$, а $\alpha=(f, \varphi)$ и $\beta=(g, \varphi)$. Таким образом,
\[
(A f, g)=\alpha \bar{\beta}(A \varphi, \varphi)+\alpha\left(A \varphi, g^{\prime}\right)+\bar{\beta}\left(A f^{\prime}, \varphi\right)+\left(A f^{\prime}, g^{\prime}\right),
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0146.jpg.txt

$11]$
шпур
145
следовательно, если положить $(A \varphi, \varphi)=c$,
\[
|(A f, g)-\alpha \bar{\beta} c| \leqslant|\alpha| \cdot\left|\left(A \varphi, g^{\prime}\right)\right|+|\beta| \cdot\left|\left(A f^{\prime}, \varphi\right)\right|+\left|\left(A f^{\prime}, g^{\prime}\right)\right|
\]

і, согласно полученным выше оценкам,
\[
\begin{array}{l}
|(A f, g)-c \alpha \vec{\beta}| \leqslant \sqrt{2 \varepsilon}\left(|\alpha| \cdot\left\|g^{\prime}\right\|+|\beta| \cdot\left\|f^{\prime}\right\|+\left\|f^{\prime}\right\| \cdot\left\|g^{\prime}\right\|\right) \leqslant \\
\leqslant \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\left(|\alpha|+\| f^{\prime} \mid\right)\left(|\beta|+\left\|g^{\prime}\right\|\right) \leqslant \\
\leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon} \cdot \sqrt{|\alpha|^{2}+\left\|f^{\prime}\right\|^{2}} \sqrt{|\beta|^{2}+\left\|g^{\prime}\right\|^{2}}=2 \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\|f\| \cdot\|g\| .
\end{array}
\]

С другой стороны,
\[
(A f, g)-c \alpha \bar{\beta}=(A f, g)-c(f, \varphi)(\varphi, g)=\left(\left(A-c P_{\lceil\varphi\rceil}\right) f, g\right) .
\]

Поэтому всегда выполняется $\left|\left(\left(A-c P_{[\varphi]}\right) f, g\right)\right| \leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\|f\| \cdot\|g\|$. а значит, как мы знаем из II. 9 , и
\[
\left\|\left(A-c P_{|\varphi|}\right) f\right\| \leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\|f\| .
\]

Для $f=\varphi$ это дает ( $c=(A \varphi, \varphi)$ вещественно и $\geqslant 0$ ):
\[
c=\|c \varphi\|=\left\{\begin{array}{c}
\|A \varphi-c \varphi\| \leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon}, \\
\leqslant\|A \varphi-c \varphi\|+\|A \varphi\| \leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon}+1, \\
\geqslant-\|A \varphi-c \varphi\|+\|A \varphi\| \geqslant-2 \sqrt{2 \varepsilon}+(1-\varepsilon), \\
1-(\varepsilon+2 \sqrt{2 \varepsilon}) \leqslant c \leqslant 1+2 \sqrt{2 \varepsilon} .
\end{array}\right.
\]

Поэтому
\[
\begin{aligned}
\left\|\left(A-P_{[\varphi]}\right) f\right\| & \leqslant\left\|\left(A-P_{[\varphi]}\right) f\right\|+\left\|(c-1) P_{[\varphi]} f\right\| \leqslant \\
& \leqslant 2 \sqrt{2 \varepsilon} \cdot\|f\|+(\varepsilon+2 \sqrt{2 \varepsilon})\left\|P_{[\varphi]} f\right\| \leqslant(\varepsilon+4 \sqrt{2 \varepsilon})\|f\| .
\end{aligned}
\]

Итак, для $\varepsilon \rightarrow 0 A$ равномерно сходится к $P_{[\varphi]}$.
В заключение рассмотрим еще шпур $\operatorname{Spur}(A)$ и $\Sigma(A)$ в реализациях $F_{Z}$ и $F_{2}$ пространства $\Re_{\infty}$ (ср. I. 4 и II. 3 ), поскольку именно в них будут получаться физические следствия.

В $F_{Z}\left(\right.$ множество всех $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ с конечнои $\left.\sum_{\mu=1}^{\infty}\left|x_{\mu}\right|^{2}\right)$ оператор $A$ описывается матрицен $\left\{a_{\mathrm{r} y}\right\}$ :
\[
A\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}=\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right\}, \quad y_{\mu}=\sum_{\mu=1}^{\infty} a_{\mu
u} x_{
u} .
\]

Векторы $\{1,0,0, \ldots\},\{0,1,0, \ldots\}, \ldots$ образуют полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $A \varphi_{\mu}=\left\{\alpha_{1 \mu}, a_{2 \mu}, \ldots\right\}=$ $=\sum_{\rho=1}^{\infty} a_{\rho \mu} \varphi_{\rho}, \quad$ следовательно, $\quad\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{\mu}\right)=a_{\mu \mu}, \quad\left\|A \varphi_{\mu}\right\|^{2}=\sum_{\rho=1}^{\infty}\left|a_{\rho \mu}\right|^{2}$.
10 и. Ненман
Отсюда сећчас же получаем
\[
\operatorname{Spur}(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty} a_{\mu \mu}, \quad \Sigma(A)=\sum_{\mu,
u=1}^{\infty}\left|a_{\mu
u}\right|^{2} .
\]

В $F_{\Omega}$ (множестве всех определенных в $\Omega$ функций $f(P)$ с конечным $\left.\int_{\Omega}|f(P)|^{2} d v\right)$ мы рассматриваем тслько интегральные операторы
\[
A f(P)=\int_{\Omega} a\left(P, P^{\prime}\right) f\left(P^{\prime}\right) d v^{\prime}
\]
( $a\left(P, P^{\prime}\right)$ – определенная в $\mathbf{Q}$ функция двух переменных, «интегральное ядро», ср. I. 4). Если $\varphi_{1}(P), \varphi_{2}(P), \ldots$ – некоторая полная ортонормированная система, то
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Spur}(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(A \varphi_{\mu}(P), \varphi_{\mu}(P)\right) & = \\
= & \sum_{\mu=1}^{\infty} \int_{\Omega}\left[\int_{\Omega} a\left(P, P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right) d v^{\prime}\right] \overline{\varphi_{\mu}(P)} d v
\end{aligned}
\]

и, поскольку всегда выполняется (теорема 7.ß.) из II. 2 в применении к $\overline{g(P)}$ )
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\int_{\Omega} \overline{g\left(P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right)} d v^{\prime}\right) \varphi_{\mu}(P)=\overline{g(P)}, \\
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left(\int_{\Omega} g\left(P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right) d v^{\prime}\right) \overline{\varphi_{\mu}(P)}=g(P),
\end{array}
\]

тo
\[
\operatorname{Spur}(A)=\int_{\Omega} a(P, P) d v .
\]

Далее имеет место
\[
\Sigma(A)=\sum_{\mu=1}^{\infty} \int_{\Omega}\left|\int_{\Omega} a\left(P, P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right) d v^{\prime}\right|^{2} d v .
\]

значит из-за (теорема 7.ү. из II.2)
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu=1}^{\infty}\left|\int_{\Omega} g\left(P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right) d v^{\prime}\right|^{2}=\sum_{\mu=1}^{\infty}\left|\int_{\Omega} \overline{g\left(P^{\prime}\right) \varphi_{\mu}\left(P^{\prime}\right)} d v^{\prime}\right|^{2} & = \\
=\int_{\Omega}\left|\overline{g\left(P^{\prime}\right)}\right|^{2} d v^{\prime} & =\int_{\Omega}\left|g\left(P^{\prime}\right)\right|^{2} d v^{\prime}
\end{aligned}
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0148.jpg.txt

11]
Шпур
147
и
\[
\Sigma(A)=\int_{\Omega} \int_{\Omega}\left|a\left(P, P^{\prime}\right)\right|^{2} d v d v^{\prime} .
\]

Мы видим, что операции $\operatorname{Spur}(A)$ и $\Sigma(A)$ производят то, что было достигнуто в разделе I. 4 ценой применения математически весьма рискованных искусственных приемов: при переходе от $F_{Z}$ к $F_{2}$ сумма $\sum_{\mu=1}^{\infty} \cdots$ заменяется интегралом $\int_{\Omega} \cdots d v$.

Мы продвинулись теперь в математическом изучении эрмитовых операторов достаточно далеко. Дальнейшие сведения по этому предмету интересующићся математической стороной читатель найдет в примыкающе литературе ${ }^{116}$ ).
116) Кроме упоминавшихся по ходу рассуждений оригинальных исследований сюда в первую очередь относится статья Хеллингера и Теплица в энциклопедии математических наук (ср. прим. ${ }^{33}$ ) на стр. 29).