Вторая замечательная особенность, отмеченная в конце III.1, была связана с тем, что $\boldsymbol{W}$. объясняло не только вероятности, с которыми некоторая величина $\mathfrak{R}$ принимает те или иные числовые значения, но и указывало вероятностные взаимозависимости между
*) В настоящее время точка зрения, противоположная взглядам автора, разрабатывается группой de Broglie’я (Vigler, Lochak и др.) во Франции, а также Вӧн’ом в Америке и Терлецким у нас. – Прим. ред.
122) Z. Physik 37 (1926). Все дальнейшее развитие (ср. прим. ${ }^{2}$ ) на стр. 10) основывается на этом представлении.
несколькими величинами $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}-W_{\text {. }}$, определяло вероятность того, что эти величины одновременно примут некоторые заданные значения (точнее, что эти значения попадут в некоторые интервалы $I_{1}, \ldots, I_{l}$ ). (Все относится к заданному состоянию $\varphi$.) Но эти величины $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}$ были подчинены своеобразному ограничению: их операторы $R_{1}, \ldots, R_{l}$ должны были коммутировать. В случае же некоммутирующих $R_{1}, \ldots, R_{l}$, напротив, $W$. не давало совершенно никаких сведений о вероятностных взаимозависимостях между $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}$ и его можно было использовать лишь для определения распределения вероятностей каждой из этих величин самой по себе, безотносительно к остальным.

Скорее всего, тут хотелось бы допустить, что утверждение $W$. неполно и что должна существовать более общая формула, охватывающая и эти случаи. Действительно, даже если квантовая механика и дает лишь статистические сведения о природе, все же мы могли бы по меньшей мере ожидать от нее описания не только статистики индивидуальных величин, но и корреляции между ними.

Однако в противовес этому представлению, которое на первыи взгляд кажется разумным, мы убедимся вскоре, что подобное обобщение $\boldsymbol{W}$. невозможно и что наряду с формальными (основанными на структуре математического аппарата теории) в пользу ограничения говорят и веские физические причины. Необходимость этого ограничения и его физическое толкование позволят нам даже глубже заглянуть в сущность природы элементарных процессов.

Прежде всего, сошлемся на важный эксперимент, поставленный Compton’oм и Simons’ом еще до создания квантовой механики ${ }^{123}$ ). В этом опыте свет рассеивался на электронах и количественное изучение процесса рассенния состояло в том, что рассеянный свет и рассеянные электроны перехватывались и проводилось измерение их импульсов и энергий, т. е. между квантами света и электронами происходили столкновения, и наблюдатель мог, измеряя пути после столкновения, проверить, удовлетворяются ли законы упругого удара. (Нужно рассматривать только упругие удары, так как нельзя представить себе, чтобы кванты света или электроны могли воспринимать энергию в форме, отличной от кинетической. Ведь весь опыт говорит за то, что и те и другие являются однозначными жестко установленными структурами. Естественно, что расчет столкновения нужно вести релятивистски ${ }^{123}$ ).) Такой математический контроль был возможен на самом деле: так как траектории до столкновения были известны, а после столкновения наблюдались, то тем самым задача о столкновениях была переопределена. Ведь чтобы фиксировать
${ }^{123}$ ) Phys. Rev. 26 (1925). Сравни также исчерпывающий обзор W. B ot he в Handbuch der Physik 23 (Quanten), Berlin, 1926, глава 3, в особенности § 73 .

ее с точки зрения механики, достаточно двух из этих четырех путей и «центральной линии» удара (направления передачи импульса), т. е.; во всяком случае, достаточно знать три пути, а четвертый можно использовать для проверки. Эксперимент полностью подтвердил механические законы удара.

Если считать законы удара справедливыми, а траектории до столкновения известными, то этот результат можно сформулировать также следующим образом. Как измерения траектории кванта света после столкновения, так и измерения такой траектории для элекгрона достаточно, чтобы определить место и центральную линию столкновения. Эксперимент Комптона – Симонса показывает, что оба эти наблюдения дают один и тот же результат.

Обобщая, можно сказать: одна и та же физическая величина (именно, какая-либо координата точки столкновения или же направление центральной линии) измеряется двумя разными способами (с помощью захвата квантов света или электронов), а результат получается всегда один и тот же.

Эти два измерения происходят не совсем одновременно (квант света и электрон приходят не сразу, и надлежащим изменением измерительной аппаратуры люђой из них можно поймать первым конечно, речь идет о $10^{-9}-10^{-1 с}$ сек). Назовем более раннее измерение $M_{1}$, а более позднее $-M_{2}$, а измеряемую величину $-\mathfrak{R}$. Теперь существенно следующее. Хотя вся установка такого рода, что до измерения можно делать только статистические утверждения относительно $\mathfrak{A}$, т. е. относительно $M_{1}$ и $M_{2}$ (см. ссылку в прим. ${ }^{123}$ )), статистическая корреляция между $M_{1}$ и $M_{2}$ оказывается совершенно резкой (причинной): значение $\mathfrak{\Re}$ для $M_{1}$ наверняка равно значению $\mathfrak{R}$ для $M_{2}$. Итак, до измерений $M_{1}$ и $M_{2}$ оба результата совершенно неопределенны. После же выполнения $M_{1}$ (но еще не $M_{2}$ ) результат $M_{2}$ уже определен причинным и единственным образом.

С принципиальной точки зрения можно сказать: a priori мыслимы три степени причинности или непричинности. Во-первых, значение величины $\mathfrak{A}$ могло бы быть полностью статистическим, т. е. результат измерения можно было бы предсказать лишь статистически; и если бы непосредственно вслед за первым было выполнено второе измерение, то оно могло бы опять обладать некоторым распределением, совершенно не зависящим от значения, найденного при первом измерении, например столь же широким, как и у первого 124). Во-вторых, мыслимо, что значение величины $\mathfrak{R}$ может иметь дисперсию в первом измерении, но что каждое непосредственно за ним следующее измерение вынуждено
124) Одна статистическая теория элементарных процессов была создана Воhr’ом, Kramers’oм и State r’ом на основе таких представлений. См. Z. Physik 24 (1924), а также прим. ${ }^{123}$ ) на стр. 159. Эксперимент Комптона Симонса можно рассматривать как опровержение этого взгляда.
давать результат, согласующийся с первым. В третьих, $\mathfrak{\ell}$ могло бы быть определено причинным образом с самого начала.

Эксперимент Комптона – Симонса показывает теперь, что в статистической теории возможен лишь второй случай. Поэтому, если первоначально система находилась в некотором состоянии, в котором значение $\mathfrak{R}$ не может быть предсказано с достоверностью, то это состояние переходит при измерения $M$ величины $\mathfrak{R}$ (в вышеприведенном примере – $M_{1}$ ) в другое состояние: а именно в такое, в котором значение величины $\mathfrak{A}$ однозначно определено. Кроме того, новое состояние, в которое $M$ переводит систему, зависит не только от установки для получения $M$, но также от результата измерения $M$ (который не может быть предсказан причинным образом в первоначальном состоянии), поскольку значение $\mathfrak{A}$ в новом состоянии должно быть как раз равно этому $M$-результату.

Пусть теперь $\mathfrak{A}$ – некоторая величина, оператор которой $R$ имеет чисто дискретный спектр $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ с соответствующими собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ которые, следовательно, образуют полную ортонормированную систему. Кроме того, пусть каждое собственное значение будет простым (т. е. кратности 1, ср. II.6), т. е. $\lambda_{\mu}
eq \lambda_{
u}$ при $\mu
eq
u$. Предположим, что мы измерили $\mathfrak{\Re}$ и нашли значение $\lambda^{*}$. В каком состоянии окажется система после этого измерения?

В силу предыдущей дискуссии это состояние $\varphi$ должно быть таким, чтобы возобновленное измерение $\mathfrak{R}$ давало бы результат $\lambda^{*}$ с достоверностью. (Конечно, это изиерение нужно делать немедленно, так как через $\tau$ секунд $\varphi$ перейде? в $e^{-\frac{2 \pi l}{h} \tau \mathrm{H}} \varphi$. Cp. III. $2, \mathrm{H}-э$ то оператор энергии.)

На этот вопрос – когда измерение величины $\mathfrak{A}$ в состоянии $\varphi$ с достоверностью дает значение $\lambda^{*}$ – мы ответим в общем случае, без ограничительных предположений относительно оператора $R$.

Пусть $E(\lambda)$ – относящееся к $R$ разложение единицы, а $I$ – интервал $\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\}$. Наше допущение можно сформулировать и так: величина $\mathfrak{R}$ попадает в интервал $I$ с веэоятностью 0 , если этот интервал не содержит $\lambda^{*}$, или с вероятностью 1 , если $\lambda^{*}$ принадлежит $I$, т. е. если $\lambda^{\prime}<\lambda^{*} \leqq \lambda^{\prime \prime}$.

Согласно $W$. это означает, что $\|E(I) \varphi\|^{2}=1$, или, так как $\|\varphi\|=1$, что $\|E(I) \varphi\|=\|\varphi\|$. Так как $E(I)$ – проекционный оператор, так же как и $1-E(I)$ (теорема 13., II. 4), то
\[
\begin{array}{r}
\|\varphi-E(I) \varphi\|^{2}=\|\varphi\|^{2}-\|E(I) \varphi\|^{2}=0, \\
\varphi-E(I) \varphi=0, \\
E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) \varphi-E\left(\lambda^{\prime}\right) \varphi=E(I) \varphi=\varphi .
\end{array}
\]
11 и. Нейман
Предельный переход $\lambda^{\prime} \rightarrow-\infty$ дает $E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) \varphi=\varphi$, а переход $\lambda^{\prime \prime} \rightarrow+\infty$ дает $E\left(\lambda^{\prime}\right) \varphi=0$ (cp. $S_{1} .$, II. 7). Поэтому
\[
E(\lambda) \varphi=\left\{\left.\begin{array}{ccc}
\varphi & \text { для } & \lambda \geqq \lambda^{*}, \\
0 & \text { для } & \lambda<\lambda^{*} .
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]

Но, согласно II. 8, это условие как раз характеризует $R \varphi=\lambda^{*} \varphi$. Другой способ доказать, что $R \varphi=\lambda^{*} \varphi$, основан на $\boldsymbol{E}_{1}$. (т. е. на $\boldsymbol{E}_{2}$.). То обстоятельство, что величина $\mathfrak{A}$ принимает с достоверностью значение $\lambda^{*}$, означает, что математическое ожидание величины $\left(\mathfrak{A}-\lambda^{*}\right)^{2}$ равно 0 . Это означает, что оператор $F(R)$, где $F(\lambda)=$ $=\left(\lambda-\lambda^{*}\right)^{2}$, т. е. оператор $\left(R-\lambda^{*} \cdot 1\right)^{2}$, имеет то же математическое ожидание. Поэтому, должно быть
\[
\begin{aligned}
\left(\left(R-\lambda^{*} \cdot 1\right)^{2} \varphi, \varphi\right) & =\left(\left(R-\lambda^{*} \cdot 1\right) \varphi,\left(R-\lambda^{*} \cdot 1\right) \varphi\right)= \\
& =\left\|\left(R-\lambda^{*} \cdot 1\right) \varphi\right\|^{2}=\left\|R \varphi-\lambda^{*} \varphi\right\|^{2}=0,
\end{aligned}
\]
т. е. $R \varphi=\lambda^{*} \varphi$.

Итак, мы видим, что в частном случае, который мы рассматривали прежде, должно быть $R \varphi=\lambda^{*} \varphi$. Как было указано в II. 6, это приводит к следствию, что $\lambda^{*}$ должно равняться одному из $\lambda_{\mu}$ (так как $\|\varphi\|=1$, то $\varphi
eq 0$ ), а $\varphi=a \varphi_{\mu}$. Так как $\|\varphi\|=\left\|\varphi_{\mu}\right\|=1$, то и $|a|$ должно быть $=1$, и, значит, его можно опустить, не изменяя состояния. Итак, $\lambda^{*}=\lambda_{1}, \varphi=\varphi_{\mu}$ для какого-либо из $\mu=1,2, \ldots$ (утверждение относительно $\lambda^{*}$ можно было бы получить и непосредственно из $W$., но не утверждение о $\varphi !$ ).

Итак, при сделанных допущениях относительно оператора $R$ измерение величины $\mathfrak{P}$ имеет своим следствием превращение любого состояния $\psi$ в одно из состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, соответственно связанных с результатами измерения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ Вероятности этих переходов равны поэтому вероятностям измерения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ так что их можно вычислить из $W$. .

Вероятность того, что значение величины $\mathfrak{R}$ лежит в интервале $I$, дается тогда, согласно W., выражением $\|E(I) \psi\|^{2}$. Отсюда, если учесть, что, согласно II. 8, $E(I)=\sum_{\lambda_{n} \mathbf{B}} P_{\left[\varphi_{n}\right]}$, будет следовать
\[
W=\|E(I) \psi\|^{2}=(E(I) \psi, \psi)=\sum_{n_{n} B}\left(P_{\left[\varphi_{n}\right]} \psi, \psi\right)=\sum_{\lambda_{n} B}\left|\left(\psi, \varphi_{n}\right)\right|^{2} .
\]

Значит, можно ожидать, что вероятность найти $\lambda_{n}$ равна $\left|\left(\psi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$. Если можно выбрать интервал $I$ так, чтобы он содержал только одно $\lambda_{m}$, которое тогда и есть как раз $\lambda_{n}$, то высказанное предположение непосредственно следует из вышеприведенной формулы. Если же это не так (т. е. если другие $\lambda_{m}$ сгущаются к $\lambda_{n}$ ), то можно рассуждать, например, следующим образом: Пусть $F(\lambda)=1$ для $\lambda=\lambda_{n}$ и $=0$ в остальных случаях. Тогда искомая вероятность $W_{n}$
будет математическим ожиданием величины $F(\mathfrak{\Re})$ и, согласно $\boldsymbol{E}_{2}$. (или $\boldsymbol{E}_{\mathbf{1}}$ ), равна ( $F(R) \psi, \psi$ ). Ну, а согласно определению (Il. 8),
\[
(F(R) \psi, \psi)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\lambda) d\left(\|E(\lambda) \psi\|^{2}\right) .
\]

Вспоминая определение интеграла Стильтьеса, легко заметить, что это выражение равно 0 , если $E(\lambda) \psi$ непрерывно (по $\lambda$ !) при $\lambda=\lambda_{n}$ и, вообще говоря, равно скачку (монотонно возрастающей) $\lambda$-функции $\|E(\lambda) \psi\|^{2}$ в точке $\lambda=\lambda_{n}$. Но этот скачок равен $\left\|P_{, 2} \psi\right\|^{2}$, где $\mathfrak{M}$ замкнутое линеиное многообразие, растягиваемое всеми решениями уравнения $R \psi=\lambda_{n} \psi$ (ср. II. 8). В рассматриваемом случае $\mathfrak{R}=\left[\varphi_{n}\right]$ и поэтому
\[
W_{n}=\| P_{\left[\varphi_{n}\right]} \psi^{2}=\left|\left(\psi, \varphi_{n}\right)\right|^{2} .
\]

Мы ответили таким образом пэи сделанных предположениях относительно оператора $R$ на вопрос о том, «что» происходит при измерении его величины $\mathfrak{R}$. Конечно, вопрос «как» остается пока невыясненным. Этот разрывный, скачкообразный переход из $\psi$ в одно из состоянић $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (которые не зависят от $\psi$, поскольку $\psi$ входит лишь в соответствующие вероятности $W_{n}=\left|\left(\psi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$, $n=1,2, \ldots$ этих скачков) – это, конечно, не переход типа, описываемого временны́м уравнением Шредингера. Ведь это уравнение всегда приводит к непрерывному изменению $\psi$, при котором конечный результат однозначно определен и зависит от $\psi$ (ср. сказанное в III. 2). В дальнеИшем мы попытаемся перебросить мост через эту пропасть (ср. VI) ${ }^{125}$ ).

Предположим опять, что оператор $R$ обладает чисто дискретным спектром, но не будем больше требовать, чтобы все собственные значения были бы простыми. Тогда снова можно образовать последовательности $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ но среди $\lambda_{n}$ могут встречаться равные. После измерения вәличины $\mathfrak{A}$ с достоверностью осуществляется состояние $\varphi$, для которого $R \varphi=\lambda^{*} \varphi \quad\left(\lambda^{*}\right.$ – результат измерения). Отсюда будет следовать, что $\lambda^{*}$ равно одному из $\lambda_{n}$, но относительно $\varphi$ можно сказать лишь следующее. Обозначим те из $\lambda_{n}$, которые равны $\lambda^{*}$, через $\lambda_{n_{1}}, \lambda_{n_{2}}, \ldots$ (их число конечно или бесконечно). Тогда
\[
\varphi=\sum_{
u} a_{
u} \varphi_{n_{
u}} .
\]
(Если имеется бесконечно много $n_{v}$, то сумма $\sum\left|a_{v}\right|^{2}$ должна быть конечной.) Две таких $\varphi$ описывают одно и то же состояние, только
125) То обстоятельство, что эти скачки связаны с представлением o «квантовых скачках» старой теории квант Бора, обнаружил Jordan. Z. Physik 40 (1924).
$11 *$

если они отличаются лишь численным множителем, т. е. если отношение $a_{1}: a_{2}: \ldots$ у них одно и то же. Поэтому, коль скоро имеется больше чем одно $n_{
u}$, т. е. коль скоро собственное значение $\lambda^{*}$ кратно, то состояние $\varphi$ после измерения не определяется однозначно и знанием результата измерения.

Вероятность значения $\lambda^{*}$ (согласно $\boldsymbol{W}$. или, соответственно, $\boldsymbol{E}_{\mathbf{1}}$. или $\boldsymbol{E}_{2}$.) вычисляется в точности так же, как и раньше. Она равна
\[
W\left(\lambda^{*}\right)=\sum_{\lambda_{n}=\lambda^{*}}\left|\left(\psi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}=\sum_{
u}\left|\left(\psi, \varphi_{n_{v}}\right)\right|^{2} .
\]

Если спектр оператора $R$ не чисто дискретен, то возникает следующая ситуация.

Все решения $f$ уравнения $R f=\lambda f$ растягивают замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{M}_{\lambda}$, все $\mathfrak{M}_{\lambda}$ вместе – в свою очередь многообразие $\overline{\mathfrak{M}}$ и для несуществования чисто дискретного спектра характерно $\overline{\mathfrak{M}}
eq \mathfrak{R}_{\infty}$, т. е. $\overline{\mathfrak{R}}=\Re_{\infty}-\overline{\mathfrak{M}}
eq(0)$ (ср. по этому поводу, а также и по поводу нижеследующего, II. 8). $\mathfrak{M}_{\lambda}
eq(0)$ в краннем случае для некоторой последовательности $\lambda$, и такие $\lambda$ образуют дискретный спектр оператора $R$. Когда мы измеряем величину $\mathfrak{A}$ в состоянии $\psi$, то вероятность того, что в результате измерения будет получено значение $\lambda^{*}$, равна

Разумнее всего доказать это с помощью применявшейся выше аргументации, основанной на $\boldsymbol{E}_{2}$. (или $\boldsymbol{E}_{1}$.) и на функции
\[
F(\lambda)=\left\{\left.\begin{array}{ccc}
1 & \text { для } & \lambda=\lambda^{*} \\
0 & \text { для } & \lambda
eq \lambda^{*}
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]

Вероятность того, что значением величины $\mathfrak{A}$ окажется некоторое $\lambda^{*}$ из дискретного спектра $\mathfrak{P}$ оператора $R$, будет соответственно равна

в чем можно убедиться непосредстзенно с помощью функции
\[
F(\lambda)=\left\{\left.\begin{array}{ll}
1 & \text { для } \lambda^{*} \text { из } \mathfrak{P}, \\
0 & \text { в остальных случаях. }
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]

Если, однако, $\mathfrak{R}$ измеряется точно, то после этого должно осуществиться состояние $\varphi$, удовлетворяющее $R \varphi=\lambda^{*} \varphi$, и поэтому результат измерения $\lambda^{*}$ должен принадлежать $\mathfrak{\beta}$, – вероятность удачи точного измерения равна поэтому (в лучшем случае) $\left\|P_{\text {没 }} \psi\right\|^{2}$. Но это число не всегда равно 1 и в случае $\psi$ из $\bar{\Re}$ даже равно 0 , значит, точное измерение возможно не всегда.
Мы видели, что величина $\mathfrak{A}$ всегда (т. е. в любом состоянии $\psi$ ) может быть точно измерена тогда и только тогда, когда эта величина обладает дискретным спектром. Если она не обладает дискретным спектром, то она может быть взмерена лишь с ограниченной точностью. Именно, можно разделить числовую прямую – $-\lambda<+\infty$ на интервалы $\ldots, I^{(-2)}, I^{(-1)}, I^{(0)}, I^{(1)}, I^{(2)}, \ldots$ (пусть точками деления будут $\ldots, \lambda^{(-2)}, \lambda^{(-1)}, \lambda^{(0)}, \lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \ldots ; I^{(n)}=\left\{\lambda^{(n)}, \lambda^{(n+1)}\right\} ;$ максимальная длина интервала $\varepsilon=\operatorname{Max}\left(\lambda^{(n+1)}-\lambda^{(n)}\right)$, расстояние между точками деления является тогда мєрой точности) и указать, в каком интервале лежит величина $\mathfrak{A}$. Математическое рассмотрение этого процесса можно продолжить и дальше. Именно, пусть $F(\lambda)$ обозначает функцию ( $\lambda_{n}^{\prime}$ – некоторое промежуточное значение из интервала $I^{(n)}$, выбираемое для каждого $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ произвольным, но в интересах дальненшего, фиксированным образом):
\[
F(\lambda)=\lambda_{n}^{\prime} \text {, если } \lambda \text { лежит в } I^{(n)} \text {. }
\]

Тогда приближенное измерение величины $\mathfrak{R}$ будет эквивалентно точному измерению величины $F(\mathfrak{R})$. Значит,
\[
\begin{array}{c}
F(R)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\lambda) d E(\lambda)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\lambda^{(n)}}^{\lambda^{(n+1)}} F(\lambda) d E(\lambda)= \\
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \lambda_{\infty}^{\prime} \int_{\lambda^{(n)}}^{(n+1)} d E(\lambda)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \lambda_{n}^{\prime} E\left(I^{(n)}\right) .
\end{array}
\]

Очевидно, что для всех $f$ из принадлежащего $E\left(I^{(n)}\right)$ замкнутого линеинного многообразия имеет мєсто уравнение $F(R) f=\lambda_{n}^{\prime} f$, т. е. для оператора $F(R)$ многообразие $\mathfrak{M}_{\lambda_{n}^{\prime}}$ содержит это линейное многообразие. Следовательно, $P_{\mathfrak{n}_{R_{n}^{\prime}}} \geqq E\left(I^{(n)}\right)$ и поэтому
\[
P_{\bar{M}} \geqq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} P_{\text {测 }} \sum_{n} \geqq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} E\left(I^{(n)}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(E\left(\lambda^{(n+1)}\right)-E\left(\lambda^{(n)}\right)\right)=1-0=1
\]

Отсюда следует, что
т. е. $F(R)$ имеет чисто дискретный спектр, которыи состоит из $\lambda_{n}^{\prime}$.
Поэтому $F(\mathfrak{\Re})$ дейстительно точно измерима, и вероятность того, что ее значение равно $\lambda_{n}^{\prime}$, т. е. что значение $\mathfrak{R}$ лежит в $I^{(n)}$, равна
\[
\left\|P_{\text {设 }_{n}^{\prime}} \psi\right\|^{2}=\left\|E\left(I^{(n)}\right) \psi\right\|^{2},
\]

в согласии с утверждением $\boldsymbol{W}$. для $\mathfrak{R}$.
Этот результат может быть ингерпретирован и физически, и при этом выясняется хорошее согласие теории с обычной физической наглядной точкой зрения.

В свойственном классической механике методе рассмотрения (без каких бы то ни было квантовых устовий) хотя и приписывают каждой величине $\mathfrak{A}$ в любом состоянии совершенно определенное значение, но в то же время считают, что любой мыслимый измерительный аппарат, как следствие несовершенства человеческой способности наблюдать (которая позволяет прочесть указание стрелки или же локализовать почернение фотографической пластинки лишь с ограниченной точностью), может дать это значение лишь в пределах некоторой, никогда не исчезающей, ошибки. Правда, пределы этой ошибки удается за счет достаточного уточнения метода измерения сдвинуть сколь угодно близко к 0 , но точно нулем они никогда не будут. Можно ожидать, что это будет так же и в квантовой теории для тех величин $\mathfrak{R}$, которые, согласно сложившимся для них (в особенности до открытия квантовой механики) ғаглядным представлениям, не квантованы, например, для декартовьх координат электрона (которые могут принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$ и операторы которых имеют непрерывный спектр). С другой стороны, для тех величин, которые (согласно нашему наглядному представлению о них) «квантованы», верно обратное положение: поскольку они способны принимать лишь дискретные значения, то достаточно наблюдать их лишь с такой точностью, чтобы не возникало более сомнения, какое именно из этих «квантованных» значений было наблюдено, – оно-то уж наверняка будет абсолютно точным. Например, если мы знаем о водородном атоме, что у него меньше энергии, чем нужно для второго снизу энергетического уровня, то мы знаем его энергию с абсолютной точностью: это энергия низшего уровня.

Но такое деление на «квантозанные» и «неквантованные» величины соответствует, как мы видели при анализе матричной теории (ср. I. 2 и II. 6), делению на величины $\mathfrak{A}$ с оператором $R$, обладающим чисто дискретным спектром, и такие, для которых это не имеет места. И как раз для величин первого рода, и только для них, мы нашли возможность абсолютно точного наблюдения, тогда как величины второго рода можно наблюдать лишь со сколь угодно хорошећ (но никогда не абсолютной) точностью ${ }^{126}$ ).
126) Во всех таких случаях мы делаем предположение, что структура наблюдаемой системы и измерительной аппаратуры (т. е. все действующие

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0168.jpg.txt

3] ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗ’МЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЦЕ
167
(Отметим кстати, что упомянутре во введении, равно как и в І.3. привлечение «несобственных» или не принадлежащих гильбертову пространству собственных функции, – ср. также II. 8, в особенности прим. $\left.{ }^{84}\right),{ }^{86}$ ) на стр. 98 и 101 , – как раз здесь передает действительность хуже, чем наш метод, вводя нас в заблуждение о существовании таких состояний, в которых велнчины с непрерывными спектрами принимают в точности определенные значения, хотя как раз этого никогда не бывает. Хотя такие идеализации и предлагались многократно, мы считаем, что их надо отклонить и по этой причине, не говоря уже об их математической несостоятельности.)

Тем самым мы достигли некоторой, пока достаточной, ясности в вопросе о процессах, происходящих при измерении одной величины, и мы можем обратиться к одновременному измерению нескольких величин.

Пусть сперва $\mathfrak{A}$ и $\mathscr{\Xi}$ будут две величины с операторами $R, S$ соответственно. Примем, что они одновременно измеримы. Что отсюда следует?

Будем сначала требовать абсолютно точной измеримости, так что оба оператора $R$ и $S$ должны будут обладать чисто дискретным: спектрами: $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ и $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ Пусть соответствующие полные ортонормированные системы состоят из собственных функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$

Чтобы начать обсуждение с простейшего случая, мы предположим сперва, что у одного из этих опеэаторов, скажем у $R$, есть только простые собственные значения, т. е. $\lambda_{m}
eq \lambda_{n}$ для $m
eq n$.

Если $\mathfrak{A}$ и ( измеряются одновременно, то после этого возникает состояние, в котором как $\mathfrak{R}$, так и ( наверняка имеют только что измеренные значения, скажем $\lambda_{-m}$ и $\mu_{n}$, а состояние $\psi$, которое тогда возникает, должно удовлетворять уравнениям $R \psi=\lambda_{-} \cdot, \quad S \psi=\mu_{n} \psi$. Из первого из них следует, что $\psi=\varphi_{\bar{m}}$ (с точностью до численного множителя, которым можно пренебрегать), тогда как из второго что $\psi=\sum_{
u} a_{
u} \psi_{n_{
u}}$, если $\mu_{n_{1}}, \mu_{n_{2}}, \ldots$ представляют собой все $\mu_{n}$, равные $\mu_{\bar{n}}$. Если начальным состоянием было $\varphi$, то $\lambda_{\bar{m}}, \varphi_{\bar{m}}$ имеет

силовые поля и т. д.) известна точно и ищется лишь состояние, т. е. мгновенные значения координат. Если это (идеализированное) предположение окажется неверным, то, конечно, появятся дополнительные источники неточности.

Даже и в нашем методе описания неточного измерения содержалась некоторая идеализация. Мы предположили, что оно состоит в том, что мы с абсолютной достоверностью решаем, принадлежит рассматриваемое значение интервалу $I=\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\}, \lambda^{\prime}<\lambda^{\prime \prime}$ или нет. На самом деле границы $\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}$ размыты, т. е. необходимое решение происходит лишь с определенной вероятностью. Тем не менее наш метод описания представляется математически наиболее удобным, во всяком случае в настоящее время.
вероятность $\left|\left(\varphi, \varphi_{\bar{m}}\right)\right|^{2}$. Для $\varphi=\varphi_{m}$ будет поэтому наверняка $\bar{m}=m$, так что для каждого $m$ можно сказать, что $\varphi_{m}$ равно сумме $\sum_{v} a_{v} \psi_{n_{v}}$ с равными $\mu_{n_{y}}$, т. е. $S \varphi_{m}=\bar{\mu} \varphi_{m}$ (где $\bar{\mu}=\mu_{n_{1}}=\mu_{n_{2}}=\ldots$ ). Следовательно, для $f=\varphi_{m}$ будет выполняться $R S f=S R f$ (обе части соотношения равны $\lambda_{m} \bar{\mu} \varphi_{m}$ ). Так что это равенство справедливо также и для их линеиных комбинаций и, если $R$ и $S$ непрерывны, то и для предельных точек этих комбинаций, т. е. для всех $f$. Следовательно, $R$ и $S$ коммутируют.

Если $R$ и $S$ не непрерывны, то рассуждать надо следующим образом. Разложения единицы $E(\lambda), F(\mu)$, принадлежащие операторам $R$ и $S$, определяются соотношениями
\[
E(\lambda)=\sum_{\lambda_{m} \Im \lambda} P_{\left[\varphi_{m}\right]}, \quad F(\mu)=\sum_{\mu_{n} \leqq \mu} P_{\left[\psi_{n}\right]} .
\]

Следовательно, $F(\mu) \varphi_{m}=\varphi_{m}$ или $=0$ в зависимости от того, $\mu \geq$ или $<$ введенного выше $\bar{\mu}$. Далее, $E(\lambda) \varphi_{m}=\varphi_{m}$ или $=0$ в зависимссти от того, $\lambda \geqq$ или $<\lambda_{m}$. Поэтому в любом случае $E(\lambda) F(\mu) \varphi_{m}=$ $=F(\mu) E(\lambda) \varphi_{m}$ для всех $\varphi_{m}$. Отсюда, как и выше, следует коммутативнссть $E(\lambda), F(\mu)$ и, значит (согласно II. 10), коммутативность $R$ и $S$.

Но, согласно II. 10, существует полная ортонормированная система собственных функций, общих для $R$ и $S$, т. е. можно принять, что $\varphi_{m}=\psi_{m}$. Так как $\lambda_{m}
eq \lambda_{n}$ для $m
eq n$, то можно построить функцию $F(\lambda)$, для которои
\[
F(\lambda)=\left\{\begin{array}{l}
\mu_{n} \text { для } \lambda=i_{n}, n=1,2, \ldots, \\
\text { произвольна при других значениях } \lambda,
\end{array}\right.
\]

и тогда $S=F(R)$, т. е. $\boldsymbol{C}=F(\mathfrak{R})$. Это значит, что $\mathfrak{R}$ и $\boldsymbol{\mathcal { C }}$ не только измеримы одновременно, но каждое измерение $\mathfrak{M}$ является также изобразом определяется через $\mathfrak{R}^{127}$ ).

Перейдем теперь к более общему случаю, когда не делается никаких предположений относительно кратности собственных значений $R, S$. В этом случае мы применим совершенно другой метод.

Рассмотрим сначала величину $\mathfrak{R}+\mathscr{C}$. Одновременное измерение $\mathfrak{\Re}, \boldsymbol{C}$ является также измерением $\mathfrak{H}+\mathcal{E}$, так как сложение результатов измерений дает значение $\mathfrak{P}+$ Є. Вследствие этого математическое ожидание $\mathfrak{P}+\mathfrak{E}$ в любом состоянии $\psi$ является суммой математических ожиданий $\mathfrak{A}$ и ( С. Заметим, что это имеет место независимо
${ }^{127}$ ) Последнее предложение можно проверить с помощью $W . !$ Разложения единицы, принадлежащие $R$ и $S$, можно построить, следуя II. 8.
от того, являются ли $\mathfrak{H}$ и с статистически независимыми или же между ними существует какая-нибудь корреляция, так как закон

Математическое ожидание суммы = сумме математических ожиданий, как известно, справедлив всегда. Поэтому, если $T$ есть оператор величины $\mathfrak{A}+\boldsymbol{C}$, то рассматриваемое математическое ожидание равняется, с одной стороны, $(T \psi, \psi)$, а с другой –
\[
(R \psi, \psi)+(S \psi, \psi)=((R+S) \psi, \psi),
\]
т. е. для любого $\psi$
\[
(T \psi, \psi)=((R+S) \psi, \psi) .
\]

Поэтому $T=R+S$. Следовательно, величине $\mathfrak{N}+\mathcal{S}$ соответствует оператор $R+S^{128}$ ). Таким же способом можно показать, что величина $a \mathfrak{R}+b \odot$ ( $a, b$ – вещественные числа) имеет оператор $a R+b S$. (Это следует и из первой формулы, если мы подставим $\mathfrak{R}$, ( и $R, S$ в функции $F(\lambda)=a \lambda, G(\mu)=b \mu$.)
Одновременное измерение $\mathfrak{A}$, е является также измерением величин

Операторами этих величин (если воспользоваться еще тем обстоятельством, что если $T$ – оператор величины $\mathfrak{Z}$, то у величины $F(\mathfrak{E})$ будет оператор $F(T)$, откуда у величины $\mathfrak{2}^{2}$ – оператор $T^{2}$ ) будут, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\frac{R+S}{2}, \quad\left(\frac{R+S}{2}\right)^{2}=\frac{R^{2}+S^{2}+R S+S R}{4}, \frac{R-S}{2}, \\
\left(\frac{R-S}{2}\right)^{2}=\frac{R^{2}+S^{2}-R S-S R}{4},\left(\frac{R+S}{2}\right)^{2}-\left(\frac{R-S}{2}\right)^{2}=\frac{R S+S R}{2} .
\end{array}
\]

Это значит, что $\mathfrak{R} \cdot \mathscr{\sigma}$ имеет оператор $\frac{R S+S R}{2}$. Это справедливо также для всех $F(\mathfrak{R}), G(\boldsymbol{\mathscr { S }})$ (которые ведь тоже измерились вместе с $\mathfrak{N}$ и (્), и поэтому $F(\mathfrak{R}) \cdot G(\mathscr{C})$ имеет оператор
\[
\frac{F(R) G(S)+G(S) F(R)}{2} .
\]

Пусть теперь $E(\lambda)$ и $F(\mu)$ – разложения единицы, соответствующие $R$ и $S$. Пусть, далее,
\[
F(\lambda)=\left\{\begin{array}{ccc}
1 & \text { для } & \lambda \leqq \bar{\lambda}, \\
0 & \text { для } & \lambda>\bar{\lambda}
\end{array} \left\lvert\,, \quad G(\mu)=\left\{\left.\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & \mu \leqq \bar{\mu}, \\
0 & \text { для } & \mu>\bar{\mu} .
\end{array} \right\rvert\, .\right.\right.\right.
\]
128) Мы доказали этот закон, согласно которому оператором величины р.мых Я, С. С., что говорится по эгому поводу в конце IV. 1 и IV. 2.
Как мы знаем, $F(R)=E(\bar{\lambda}), G(\mathcal{S})=F(\bar{\mu})$, поэтому $F(\mathfrak{\Re}) \cdot G(\boldsymbol{\Theta})$ имеет оператор $\frac{E F+F E}{2}$ (для краткости мы пишем $E$ и $F$ вместо $E(\bar{\lambda})$ или $F(\bar{\mu})$ ). Поскольку $F(\mathfrak{\Re})$ всегда равно 0,1 , то $F(\mathfrak{\Re})^{2}=F(\mathfrak{\Re})$, и поэтому
\[
F(\mathfrak{H}) \cdot(F(\mathfrak{H}) \cdot G(\boldsymbol{\Im}))=F(\mathfrak{H}) G(\mathfrak{S}) .
\]

Применяя теперь нашу формулу умножения к $F(\mathfrak{R})$ и $F(\mathfrak{\Re}) \cdot G(\boldsymbol{\Xi})$ (все они измеримы одновременно), получим для этого произведения оператор
\[
\frac{E \frac{E F+F E}{2}+\frac{E F+F E}{2} E}{2}=\frac{E^{2} F+2 E F E+F E^{2}}{2}=\frac{E F+F E+2 E F E}{4} .
\]

Это выражение должно равняться $\frac{E F+F E}{2}$, откуда следует, что
\[
E F+F E=2 E F E \text {. }
\]

Умножая слева на $E$, получаем
\[
E^{2} F+E F E=2 \cdot E^{2} F E, \quad E F+E F E=2 \cdot E F E, \quad E F=E F E,
\]

а умножение справа дает
\[
E F E+F E^{2}=2 \cdot E F E^{2}, \quad E F E+F E=2 \cdot E F E, \quad F E=E F E,
\]
т. е. $E F=F E$, т. е. все $E(\bar{\lambda}), F(\bar{\mu})$ коммутируют и, следовательно, в свою очередь коммутируют и $R, S$.

Согласно II. 10, это условие, т. е. коммутативность $R$ и $S$, означает то же самое, что и требование существования некоторого эрмитова оператора $T$, функциями которого являются $R$ и $S: R=F(T)$, $S=G(T)$. Если этот оператор соответствует величине $\mathfrak{I}$, то будет также $\mathfrak{A}=F(\mathfrak{2}), \boldsymbol{C}=G(\mathfrak{z})$. Поэтому это условие оказывается и достаточным для одновременной измеримости, поскольку измерение $\mathfrak{z}$ (абсолютно точное, так как $\mathfrak{I}$ обладает чисто дискретным спектром, cp. II. 10) измеряет одновременно также и его функции $\mathfrak{N}$ и $\boldsymbol{\Xi}$. Итак, коммутативность $R$ и $S$ является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости.

Если дано несколько величин $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{C}, \ldots$ (но конечное число) с операторами $R, S, \ldots$ и снова требуется абсолютно точная измеримость, то положение с одновременной измеримостью будет обстоять следующим образом. Если все величины $\mathfrak{A}, \ldots$ одновременно измеримы, то то же должно выполняться и для всех образованных из них пар, т. е. все операторы $R, S, \ldots$ должны коммутировать друг с другом. Обратно, если $R, S, \ldots$ коммутируют друг с другом, то тогда, согласно II. 10, существует оператор $T$, функциями которого все они являются: $R=F(T), S=G(T), \ldots$ и поэтому для соответствующен величины $\mathfrak{x}: \mathfrak{A}=F(\mathfrak{I}), \boldsymbol{\mathfrak { C }}=G(\mathfrak{z})$. Точное измерение величины $\mathfrak{z}$ ( $\mathfrak{2}$ снова обладает чисто дискретным спектром, ср. II. 10) является, следовательно, одновременным измерением величин $\mathfrak{R}, \mathfrak{C}$, т. е. коммутативность операторов $R, S, \ldots$ необходима и достаточна для одновременной измеримости величин $\mathfrak{A}$, Є, …

Рассмотрим теперь такие измерения, которые не абсолютно точны, но выполняются с (произвольно большой) заранее заданной точностью. Тогда $R, S, \ldots$ уже не обязаны иметь чисто дискретный спектр.

Поскольку измерения величин $\mathfrak{A}, \boldsymbol{C}, \ldots$ с ограниченной точпостью означают то же самое, что и абсолютно точные измерения величин $F(\mathfrak{\Re}), G(\boldsymbol{\Xi}), \ldots$, где $F(\lambda), G(\lambda), \ldots$ – известные функции, способ построения которых был описан в начале этого параграфа (при обсуждении измерения ограниченной точности; там, разумеется, было дано лишь построение $F(\lambda)$ ), тогда $\mathfrak{A},(, \ldots$ наверняка измеримы одновременно, если все $F(\mathfrak{R}), G(\Xi), \ldots$ измеримы одновременно с абсолютной точностью. Но последнее эквивалентно требованию коммутативности операторов $F(R), G(S), \ldots$, которая в свою очередь следует из коммутативности операторов $R, S, \ldots$ Поэтому коммутативность операторов $R, S, \ldots$ во всяком случае, достаточна.

Обратно, если считать величины $\mathfrak{R}, \boldsymbol{\Xi}, \ldots$ одновременно измеримыми, то поступим следующим образом. Достаточно точное измерение величины $\mathfrak{M}$ позволит решнть, является ее значение $>\bar{\lambda}$ или $\leqq \bar{\lambda}$ (ср. наше определение «ограниченной точности», обсуждавшееся, в частности, в прим. ${ }^{126}$ ) на стр. 166). Тогда, если $F(\lambda)$ определено так, что $F(\lambda)=1$ для $\lambda \leqq \bar{\lambda}$ и $=0$ для $\lambda>\bar{\lambda}$, то $F(\mathfrak{\Re})$ измеримо абсолютно точно. Соответственно если $G(\mu)=1$ при $\mu \leqq \bar{\mu}$ и $=0$ при $\mu>\vec{\mu}$, то $G(\widetilde{\Xi})$ измеримо с абсолютной точностью и, более того, обе величины измеримы одновременно. Следовательно, $F(R)$, $G(S)$ коммутируют. Пусть теперь $E(\lambda)$ и $F(\mu)$ – разложения единицы, принадлежащие $R$ и $S$. Тогда $F(R)=E(\bar{\lambda}), G(S)=F(\bar{\mu})$ и, следовательно, $E(\bar{\lambda})$ и $F(\bar{\mu})$ коммутируют для всех $\bar{\lambda}$ и $\bar{\mu}$. Следовательно, $R$ и $S$ коммутируют, и так как это должно иметь место для любой пары из $R, S, \ldots$ то и все $R, S, \ldots$ должны коммутировать друг с другом. Таким образом, это условие также и необходимо.

Итак, мы видим, что характеристическим условием одновременной является коммутативность их операторов $R, S, \ldots$ Действительно, это верно как для абсолютно точных измерений, так и для измерений с произвольной точностью, только в первом случае надо еще потребовать, чтобы операторы обладали чисто дискретными спектрами, что характеристично для возможности абсолютно точного измерения. Тем самым мы построим математическое доказательство того, что $W$. – это наиболее далеко идущее утверждение, которое вообще возможно в этой (т. е. во включающей $W$.) теории. Ведь оно предполагает лишь коммутативность операторов $R_{1}, \ldots, R_{l}$, а без этого условия относительно результатов одновременных измерений величин $\mathfrak{\Re}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}$ вообще ничего сказать нельзя, так как одновременное измерение этих величин вообще невозможно.