Временна́я эволюция $\psi_{t}$ исходного состояния $\psi$ определяется из зависящего от времени дифферєнциального уравнения Шредингера
\[
\psi_{0}=\psi, \frac{\partial}{\partial t} \psi_{t}=\frac{2 \pi i}{h} H \psi_{t}
\]
$\left(\boldsymbol{H}\right.$ – оператор энергии, $\left.=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{\rho=1}^{S_{a}} W_{\rho, a} \cdot \boldsymbol{P}_{\varphi_{\rho}, a}\right)$. Таким образом, если
\[
\psi=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a} e^{l \alpha_{\rho}, a} \cdot \varphi_{\rho, a} \quad\left(r_{\rho, a} \geqq 0,0 \leqq \alpha_{\rho, a}<2 \pi\right),
\]
то будем иметь
\[
\psi_{t}=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{\rho=1}^{s_{a}} r_{\rho, a} e^{i\left(\frac{2 \pi}{h} W_{\rho, a^{t+a}, a}\right)} \cdot \varphi_{\rho, a} .
\]
Положим для краткости
\[
x_{v, a}=\left(E_{v, a} \psi_{t}, \psi_{t}\right), \quad u_{a}=\left(\Delta_{a} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)
\]
(оба последних выражения равны друг другу, потому что
\[
\left(\boldsymbol{\Delta}_{a} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{\rho=1}^{S_{a}}\left(\boldsymbol{P}_{\varphi_{\rho}, a} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{\rho=1}^{S_{a}}\left|\left(\psi_{t}, \varphi_{\rho, a}\right)\right|^{2}=\sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2}
\]
не зависит от $t$ ). Как видно, $\sum_{v=1}^{N} x_{v, a}=u_{a}, \sum_{a=1}^{\infty} u_{a}=1, x_{v, a}$ зависит от $t$, а $u_{a}$ не зависит*). Из определений энтропии нам известно, что $x_{v, a}, u_{a}$ неотрицательны и что имеют место соотношения
\[
S\left(\psi_{t}\right)=-\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{N_{a}} x_{v, a} \ln \frac{x_{v} \cdot a}{s_{v}, a}, \quad S\left(\boldsymbol{U}_{\psi}\right)=-\sum_{a=1}^{\infty} a_{a} \ln \frac{u_{a}}{S_{a}} .
\]
*) Так что микроканонический ансамбль $U_{\psi}=\sum_{1}^{\infty} \frac{u_{a}}{S_{a}} \Delta_{a}$ также не изменяется при замене $\psi$ на $\psi_{t}$.
Так как сумма всех $x_{y, a}$, как и всех $u_{a}$, равна 1 , то все они $\geqq 0$, $\leqq 1$ и вместе с тем обе энтропии всегда 0 . Займемся теперь подробнее соотношением между их величинами.
Имеем $0 \leqq x_{v, a} \leqq u_{a}$; заменим $x_{v, a}$ переменной $z$ и примем сначала $0 \leqq z \leqq \frac{2 s_{v, a}}{S} u_{a}$, так что $\left|\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right| \leqq 1$. Тогда будет $-z \ln \frac{z}{s_{v, a}}=-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\left(1+\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a^{1 l_{a}}}} z-1\right]\right)\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+\right.$ $\left.+\ln \left(1+\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]\right)\right)=-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\left(1+\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]\right) \times$
\[
\begin{array}{c}
\times\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]-\frac{1}{2}\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]^{2}+\right. \\
\left.+\frac{1}{3}\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]^{3}-\ldots\right)=-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}} \ln \frac{u_{a}}{S_{a}}- \\
-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+1\right)\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]- \\
-\frac{s_{v, a} u_{a}}{1 \cdot 2 \cdot S_{a}}\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]^{2}+\frac{s_{v, a} u_{a}}{2 \cdot 3 \cdot S_{a}}\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]^{3}-\ldots
\end{array}
\]
В силу $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots=1$, сумма последних членов по абсолютной величине $\leqq \frac{s_{\mathrm{v}, a} u_{a}}{S_{a}}\left[\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1\right]^{2}$, поэтому можем написать $\begin{array}{l}\left|-\frac{s_{v, a}}{S_{a}} \cdot u_{a} \ln \frac{u_{a}}{S_{a}}-\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+1\right)\left[z-\frac{s_{v, a}}{S_{a}} u_{a}\right]+z \ln \frac{z}{s_{v, a}}\right| \leqq \\ \leqq \frac{S_{a}}{s_{v}, u_{a}}\left[z-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2} .\end{array}$
Чтобы доказать это для остальных значений $z$, сравним левую часть (без $|\ldots|$ ) с половиной правой. Для $z=\frac{s_{y}, a u_{a}}{S_{a}}$ обе исчезают, вообще же производные равны
\[
-\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+1\right)+\left(\ln \frac{z}{s_{v, a}}+1\right)=\ln \frac{S_{a}}{S_{v, a} u_{a}} z
\]
и
\[
\frac{S_{a}}{S_{\gamma, a} u_{a}}\left[z-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]=\frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}} z-1 .
\]
Первое выражение, очевидно, всегда $z \gtreqless \frac{S_{y, a} u_{a}}{S_{a}}$, поэтому левая сторона $z \gtreqless \frac{s_{v_{0} u_{a}}}{S_{a}}$, но она всегда $\geqq 0$. Тем самым имеем всегда
$0 \leqq-\frac{s_{v, a}}{S_{a}} \cdot u_{a} \ln \frac{u_{a}}{S_{a}}-\left(\ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+1\right)\left[z-\frac{s_{v, a}}{S_{a}} u_{a}\right]+z \ln \frac{z}{s_{v, a}} \leqq$
\[
\leqq \frac{S_{a}}{s_{y, a} u_{a}}\left[z-\frac{s_{v, a^{u_{a}}}}{S_{a}}\right]^{2} .
\]
Положим теперь $z=x_{v, a}$ и просуммируем по всем $
u=1, \ldots, N_{a}$; в силу $\sum_{\gamma=1}^{N_{a}} s_{v, a}=S_{a}, \sum_{v=1}^{N_{a}} x_{v, a}=u_{a}$ получим
\[
0 \leqq-u_{a} \ln \frac{u_{a}}{S_{a}}+\sum_{v=1}^{N_{a}} x_{v, a} \ln \frac{x_{v, a}}{s_{v, a}} \leqq \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2} .
\]
Если теперь просуммировать еще по $a=1,2, \ldots$, то будет
\[
0 \leqq S\left(\boldsymbol{U}_{\varphi}\right)-S\left(\psi_{t}\right) \leqq \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2} .
\]
Эта оценка позволит нам доказать $H$-теорему. Перейдем теперь к эргодической теореме. Окажется, что и для нее дело сведется к оценке того же выражения.
2. Пусть $A$ – макроскопически наблюдаемая величина, т. е.
\[
A=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{y=1}^{N_{a}} \eta_{\psi, a} E_{v, a} .
\]
Функции $\omega_{\lambda,
u, a}$ фазовой ячейки $E_{
u, a}$ являются собственными функциями $A$, соответствующими собственным значениям $\eta_{y, a}$, т. е. $\eta_{v, a}$ является значением $\boldsymbol{A}$ в фазовой ячейке $\boldsymbol{E}_{\mathrm{v}, a}$.
В состоянии $\psi_{t}$ и в микроканоническом ансамбле $\boldsymbol{U}_{\Psi}$ величина $A$ будет иметь математические ожидания
\[
\left(\boldsymbol{A} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \eta_{v, a}\left(E_{v, a} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \eta_{\psi, a} x_{v, a}
\]
и
$\operatorname{Spur}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{U}_{\psi}\right)=\operatorname{Spur}\left(\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{N_{a}} \eta_{
u, a} \boldsymbol{E}_{
u, a} \cdot \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{u_{a}}{S_{a}} \boldsymbol{E}_{
u, a}\right)=$
\[
=\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \eta_{v, a} \frac{s_{y, a} u_{a}}{S_{a}} *
\]
соответственно. Назовем их $E_{A}(\psi)$ и $E_{A}\left(\boldsymbol{U}_{\psi}\right)$, тогда можем дать оценку (привлекая неравенство Шварца):
\[
\begin{array}{l}
\left(E_{A}\left(\psi_{k}\right)-E_{A}\left(U_{\psi}\right)\right)^{2}=\left(\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{N_{a}} \eta_{
u, a}\left[x_{
u, a}-\frac{s_{
u, a} u_{a}}{S_{a}}\right]\right)^{2}= \\
=\left(\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \sqrt{\frac{s_{
u, a} u_{a}}{S_{a}}} \eta_{
u, a} \cdot \sqrt{\frac{S_{a}}{s_{v, a^{u_{a}}}}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{
u, a} u_{a}}{S_{a}}\right]\right)^{2} \leqq \\
\leqq \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}} \eta_{v_{,} a}^{2} \cdot \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a^{u_{a}}}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2} . \\
\end{array}
\]
Назовем первый множитель $\overline{\eta^{2}}$, в силу
\[
\frac{S_{v, a} u_{a}}{S_{a}} \geqq 0, \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}=1, \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}} \eta_{v, a}^{2}=\overline{\eta^{2}},
\]
это – среднее значение значений $\eta_{h, a}^{2}$ величины $A^{2}$, а именно, микроканоническое математическое ожидание: $\boldsymbol{U}_{\psi}$ как раз является смесью $\frac{1}{S_{a}} \boldsymbol{\Delta}_{a}(a=1,2, \ldots)$ с весами $u_{a}$, т. е. смесью $\frac{1}{s_{
u, a}} E_{v, a}(a=1,2, \ldots$; $
u=1, \ldots, N_{a}$ ) с весами $\frac{s_{
u, a} u_{a}}{S_{a}}$ и $A^{2}$, как мы знаем, имеет в $\frac{1}{s_{
u, a}} \boldsymbol{E}_{
u, a}$ значение $\eta_{
u, a}^{2}$. Поэтому в любом случае $\bar{\eta}$ является разумной мерой порядка величины для величины $\boldsymbol{A}$. Итак, имеем
\[
\left(E_{A}\left(\psi_{t}\right)-E_{A}\left(U_{\psi}\right)\right) \leqq \overline{\eta^{2}} \cdot \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{y, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{y, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2} .
\]
*) Число членов уменьшается благодаря тому, что $\boldsymbol{E}_{v, a} \boldsymbol{E}_{i, b}=0$, если только не имеют места равенства $
u=\mu, a=b$, а в этом последнем случае произведение равно $\boldsymbol{E}_{v, a}$ и его шпур равен $s_{v}, a$.
3. Усредним теперь по времени $t$, что будем обозначать через $M_{t}$.
Тогда
\[
\begin{array}{c}
M_{t}\left\{\mid S\left(U_{\psi}\right)-S\left(\psi_{t}\right)\right\} \leqq M_{t}\left\{\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2}\right\}, \\
M_{t}\left\{\left(E_{A}\left(U_{\psi}\right)-E_{A}\left(\psi_{t}\right)\right)^{2}\right\} \leqq \overline{\eta^{2}} M_{t}\left\{\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{\gamma, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2}\right\} .
\end{array}
\]
Тем самым эргодическая теорема и $H$-теорема будут доказаны единым махом, как только мы покажем, что $M_{t}\{\cdots\}$, стоящие справа, равномерно малы для всех начальных состояний $\psi$ (т. е. для всех $r_{\rho, a}, a_{\rho, a}, \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2}=|\psi|^{2}=1$ ). (Заметим, что в $x_{v, a}$ входят $t$, $r_{\rho, a}, a_{\rho, a}$, в $u_{a}$ входит лишь $r_{\rho, a}$, все остальное – константы.)
Чтобы это показать, подсчитаем сначала $x_{v}, a$. Будет
\[
\begin{array}{l}
=\sum_{\rho, \sigma=1}^{S_{a}} r_{\rho, a} r_{\sigma, a} e^{i\left(\frac { 2 \pi } { h } \left(W_{\rho,} a^{\left.\left.-W_{\sigma, a}\right) t+\left(\alpha_{\rho,}, \alpha_{\sigma, a}\right)\right)} \cdot\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)\right.\right.} \\
\end{array}
\]
и дальше (мы учитываем, что $\sum_{\rho=1}^{s_{a}} r_{\rho, a}^{2}=u_{a}$ )
\[
\begin{aligned}
x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}= & \sum_{\substack{\rho, \sigma=1 \\
\rho
eq \sigma}}^{S_{a}} r_{\rho, a} r_{\sigma, a} e^{i\left(\frac{2 \pi}{h}\left(W_{\rho}, a^{-W_{\sigma, a}}\right)^{\left.t+\left(\alpha_{\rho, a}-\alpha_{\sigma, a}\right)\right)}\right.} \times \\
& \times\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)+\sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2}\left\{\left(E_{
u, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right\} .
\end{aligned}
\]
*) Число членов уменьшится из-за того, что ( $\left.E_{v}, a \varphi_{\rho}, b, \varphi_{\sigma}, c\right)=$ $=\left(\varphi_{\rho}, b, \boldsymbol{E}_{v}, a \varphi_{\rho}, c\right)=0$, если только не имеет места равенство $a=b=c$. Достаточно показать, что $E_{y, a} \varphi_{\rho}, b=0$ при $a
eq b$ или же (в силу $\boldsymbol{E}_{v, a} \Delta_{a}=E_{v}, a$, ср. I., 2.) $\Delta_{a} \varphi_{\rho}, b=0$. Это следует из $\Delta_{a}=\sum_{\sigma=1}^{S_{a}} P_{\varphi_{\sigma}, a}$, так как $\varphi_{\rho, b}$ ортогонально ко всем $\varphi_{\sigma}, a$.
Это выражение надо возвести в квадрат и усреднить по $t$, тогда выпадут все члены с $e^{i c \cdot t}$, где $c
eq 0$. Если поэтому выполняется
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } \rho
eq 0 & \frac{2 \pi}{h}\left(W_{\rho}-W_{\sigma}\right)
eq 0, \\
\text { при } \rho
eq \sigma, \rho^{\prime}
eq \sigma^{\prime} & \frac{2 \pi}{h}\left(W_{\rho}-W_{\sigma}\right)-\frac{2 \pi}{h}\left(W_{\rho^{\prime}}-W_{\sigma^{\prime}}\right)
eq 0,
\end{array}
\]
если только не $p
eq \rho^{\prime}, \sigma
eq \sigma^{\prime}$, -т. е. если для каждого фиксированного $a$ все $W_{\rho, a}(p=1,2, \ldots)$ отличны друг от друга, и равным образом все $W_{\rho, a}^{\rho, a}-W_{\sigma, a}(\rho
eq \sigma, \rho, \sigma=1,2, \ldots)$, – то мы получим
\[
\begin{aligned}
M_{t}\left(\left[x_{
u, a}-\frac{S_{
u, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2}\right)= & \sum_{\substack{\rho, \sigma=1 \\
\rho
eq \sigma}}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2} r_{\sigma, a}^{2}\left|\left(E_{
u, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)\right|^{2}+ \\
& +\left(\sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2}\left\{\left(E_{
u, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{\psi, a}}{S_{a}}\right\}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]
Положим теперь
\[
\begin{array}{r}
\operatorname{Max}_{\rho
eq \bullet, \rho, \sigma=1, \ldots, s_{a}}\left(\left|\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)\right|^{2}\right)=\mathbf{M}_{v, a}, \\
\operatorname{Max}_{\rho=1, \ldots, s_{a}}\left(\left\{\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right\}^{2}\right)=\mathrm{N}_{v, a} .
\end{array}
\]
где $\mathbf{M}_{
u, a}, \mathbf{N}_{v, a}-$ константы, т. е. не зависят от $t, r_{\rho, a}$ и $\alpha_{\rho, a}$ (т. е. от $\psi_{t}$ ). В силу $\sum_{p=1}^{S_{a}} r_{p, a}^{2}=t_{a}$ будет тогда
\[
\begin{aligned}
M_{t}\left(\left[x_{v, a}-\frac{s_{y, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2}\right)= & \sum_{\substack{\rho, \sigma=1 \\
\rho
eq \sigma}}^{S_{\rho}} r_{\rho, a}^{2} r_{o, a}^{2} \mathbf{M}_{y, a}+\left(\sum_{\rho=1}^{S_{a}} r_{\rho, a}^{2} \sqrt{\mathbf{N}_{v, a}}\right)^{2} \leqq \\
& \leqq u_{a}^{2} \cdot\left(\mathbf{M}_{
u, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)
\end{aligned}
\]
и поэтому
\[
M_{t}\left\{\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{S_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a} u_{a}}\left[x_{v, a}-\frac{s_{v, a} u_{a}}{S_{a}}\right]^{2}\right\} \leqq \sum_{a=1}^{\infty} \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a} u_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathrm{N}_{v, a}\right) .
\]
В силу $\sum_{a=1}^{\infty} u_{a}=1$ это также $\leqq \operatorname{Max}_{a=1,2, \ldots}\left(\sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)\right), \quad$ при этом достаточно ограничить $\operatorname{Max}$ такими $a$, для которых $a_{a}
eq 0$, $a=1,2, \ldots$
т. е. энергетические в микроканонический если мы покажем, что
\[
\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathrm{M}_{v, a}+\mathrm{N}_{v, a}\right)
\]
мало для таких $a$, причем тогда наш результат будет иметь место для всех таких $\psi$ : поскольку названное выражение является константой, т. е. не зависит от $\psi\left(t, r_{\rho, a}, \alpha_{\rho, a}\right)$ – него входят лишь $\boldsymbol{E}_{\mathrm{v}, \boldsymbol{a}}$ (и тем самым $S_{a}, N_{a}, s_{v, a}, \boldsymbol{\Delta}_{a}$, равно как и $\omega_{\lambda, \mathrm{v}, a}$ ). Для того чтобы оценить это выражение, надо оценить $\mathbf{M}_{v, a}, \mathbf{N}_{v, a}$.
4. Мы считаем $\boldsymbol{H}$, а вместе с ним $W_{\rho, a}$, $\varphi_{\rho}, a$ фиксированными (и удовлетворяющими условиям из $3 . *$ )), так же как и $\mathcal{S}_{a}, N_{a}, s_{y, a}$, и $\boldsymbol{\Delta}_{a}$, и варьируем лишь $\boldsymbol{E}_{v, a}$ внутри этих границ. Это означает, что мы варьируем ортогональную систему $\omega_{\lambda, v, a}\left(
u=1, \ldots, N_{a} ; \lambda=1, \ldots, s_{
u, a}\right)$, которая связана лишь условием $\sum_{
u=1}^{N} \sum_{\lambda=1}^{s_{y}, a} \boldsymbol{P}_{\lambda, y, a}=\boldsymbol{\Delta}_{a}$, и полагаем $E_{
u, a}=\sum_{i=1}^{s_{v}, a} \boldsymbol{P}_{\omega_{\gamma}, v, a},
u=1, \ldots, N_{a^{\prime}}$ Заметим, что все такие ортогональные системы $\omega_{\lambda,
u}, a$ возникают из одной из них, скажем из $\vec{\omega}_{\lambda,
u}, a$, с помощью линейных унитарных преобразований (поскольку $a$ фиксировано, в $\sum_{v=1}^{N_{a}} s_{v, a}=S_{a}$ измерениях)! (Можно вспомнить, например. матричное определение $\boldsymbol{P}_{\omega}$, введение, 3..) $\mathbf{M}_{
u, a}, \mathbf{N}_{
u, a}$ зависят тогда еще лишь от $\omega_{\lambda, v, a}$ и их никоим образом нельзя сделать настолько малыми, как это нам нужно при каждом выборе системы (этого нельзя также избежать с помощью каких бы то ни было разумных условий на $S_{a}, N_{a}, S_{
u, a}$ ). Если, например, $\omega_{\lambda,
u, a}$ совпадают с $\varphi_{\rho, a}$ ( $a$ фиксировано, обеих имеется по $S_{a}$ штук), то мы видим, что
*) Эти условия можно слегка ослабить. Так, можно было бы полностью отказаться от различия самих $W_{\rho, a}$ и потребовать от $W_{\rho, a}-W_{\sigma, a}$ только следующее: должно существовать такое разбиение пар $\rho, \sigma$ с $\rho
eq \sigma$, $\rho, \sigma=1, \ldots, S_{a}$ на $k$ групп, что внутри каждой из этих групп разности $W_{\rho, a}-W_{0, a}$ отличаются друг от друга,-будет ли $k$ для всех $a$ фиксированным числом и будут ли далее достаточно хорошо выполнены указанные ниже условия относительно соотношений между величинами $S_{a}, N_{a}, s_{y}, a$, не играет никакой роли. Это означает: небольшие нарушения наших условий не причиняют вреда. Мы не будем останавливаться на этом более подробно. (В частности, отказ от первого условия не дает большого выигрыша: ведь из $W_{\rho, a}=W_{\sigma, a}, W_{\rho^{\prime}, a}=W_{\sigma^{\prime}, a}$ сейчас же следует, что $W_{\rho, a}-W_{\sigma, a}=$ $\left.=W_{p^{\prime}, a}-W_{\sigma^{\prime}, a^{*}}\right)$
поверхности которых на самом деле входят ансамбль. Тем самым цель будет достигнута, ансамбль. Тем самым цель будет достигнута,
\[
\sum_{v=1}^{N} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(M_{v, a}+N_{v, a}\right)
\]
$\left(E_{v} \varphi_{\rho}, a, \varphi_{\sigma, a}\right.$ ) принимает среди прочих и значение 1 , так что будет $\mathbf{N}_{v, a} \geqq\left(1-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right)^{2} \geqq \frac{1}{4}$ (если, что всегда имеет место, все $\left.s_{v, a} \leqq \frac{1}{2} S_{a}\right)$, и потому $\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathrm{N}_{v, a}\right) \geqq N_{a} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{N_{a}}{2}$, т. е. для больших $N_{a}$ произвольно велико. Неблагоприятный результат в этом случае зависит, естественно, от того, что подобный выбор $\omega_{\lambda,
u, a}$ вообще не является разумным: $E_{v, a}$. имеют тогда те же собственные функции, что и $\boldsymbol{H}$, а потому перестановочны с ним, – э этого не может быть (ср. I. 2.)!
Между тем такое поведение является лишь сингулярным и исключительным, для преобладающего большинства систем $\omega_{\lambda,
u, a}$, о которых шла речь, $\mathbf{M}_{v, a}, \mathbf{N}_{v, a}$ имеют правильный порядок величины. Но прежде чем доказывать это, мы хотим (неточно!) сориентироваться в том, чего мы могли бы ожидать в лучшем случае для $\mathbf{M}_{v, a}, \mathbf{N}_{v, a}$. C этой целью мы поступим так: вместо того чтобы усреднять
\[
\begin{array}{l}
\left.\mathbf{M}_{v, a}=\left.\operatorname{Max}_{\rho
eq \sigma, \rho, \sigma=1, \ldots, s_{a}}\left(\mid E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)\right|^{2}\right), \\
\mathbf{N}_{v, a}=\operatorname{Max}_{\rho=1, \ldots, s_{a}}\left(\left\{\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right\}^{2}\right)
\end{array}
\]
по всем возможным системам $\omega_{\lambda, v, a}$ (т. е. установить, какие значения преимущественно принимаются; как определяется усреднение и как оно осуществляется, будет детально показано в приложении; ср. также дискуссию в III.1.), мы усредним сами $\left|\left(E_{v, a} \varphi_{\rho}, a, \varphi_{p}, a\right)\right|^{2}$ $\left(\rho
eq \sigma, \rho, \sigma=1, \ldots, S_{a}\right)$ и $\left\{\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right\}^{2}\left(\rho=1, \ldots, S_{a}\right)$, а затем возьмем максимум. Мы заменяем, таким образом, среднее от максимума максимумом среднего-так получаются неправильные, причем слишком заниженные (т. е. слишком благоприятные) числа, но для первой ориентировки этим можно удовлетвориться.
Как будет показано в приложении к этой работе, средние от $\left.\mid E_{v, a} \varphi_{\rho, a} \varphi_{\sigma, a}\right)\left.\right|^{2} \quad(\rho
eq \sigma), \quad\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right), \quad\left\{\left(E_{v, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\rho, a}\right)-\frac{s_{v, a}}{S_{a}}\right\}^{2}$ равны соответственно $\frac{s_{
u, a}\left(S_{a}-s_{
u, a}\right)}{S_{a}\left(S_{a}^{2}-1\right)}, \frac{s_{v, a}}{S_{a}}, \frac{s_{v, a}\left(S_{a}-S_{y, a}\right)}{S_{a}^{2}\left(S_{a}+1\right)}$, так что если $s_{\mathrm{v}, a} \ll S_{a}$ (как и бывает на самом деле), то будем иметь для средних $\sim \frac{S_{v, a}}{S_{a}^{2}}, \frac{S_{v, a}}{S_{a}}, \frac{S_{v, a}}{S_{a}^{2}}$. Подставим поэтому в виде опыта
вместо $\mathbf{M}_{
u, a}, \mathbf{N}_{v, a}$ величину $\frac{S_{v, a}}{S_{a}^{2}}$, тогда
\[
\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{S_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{
u, a}+\mathbf{N}_{
u, a}\right)=2 \sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{1}{S_{a}}=\frac{2 N_{a}}{S_{a}} .
\]
Это мало́, если $\frac{N_{a}}{S_{a}}$ мало́, т. е. если $\frac{\sum_{
u=1}^{N_{a}} s_{
u}, a}{N_{a}}=\frac{S_{a}}{N_{a}}$ велико. Итак, $s_{v, a}$, а значит, фазовые ячейки должны в среднем быть большими. Этот результат совершенно разумен, мы перећдем поэтому к корректному усреднению $\mathbf{M}_{v, a}, \mathbf{N}_{v}, a$ по $\omega_{\lambda, v, a}$.
5. Для средних от $\mathbf{M}_{v, a}, \mathbf{N}_{v, a}$ по всем $\omega_{\lambda, v, a}$
\[
\left(\text { при } \sum_{
u=1}^{N} \sum_{\lambda=1}^{s_{
u,} a} P_{\omega_{\lambda, v, a}}=\Delta_{a}\right)
\]
в приложении будут найдены верхние границы $\frac{\ln S_{a}}{S_{a}}$ и $\frac{9 S_{v}, a \ln S_{a}}{S_{a}^{2}}$ соответственно. Как видно, они в $\frac{S_{a} \ln S_{a}}{s_{v, a}}$ и соответственно в $9 \ln S_{a}$ раз больше использовавшихся в 4. чисел (полагаем $1 \ll s_{\gamma, a} \ll S_{a}$ !), в частности, первая оценка существенно хуже второй. Возможно, что наши оценки допускают существенное улучшение и могут быть приближены к оценкам из 4., – это следует подчеркнуть, чтобы правильно оценитть условия, которые мы получим для соотношения между величинами $S_{a}, N_{a}, S_{v, a}$ : они во всяком случае достаточны, но возможно не необходимы.
Подставляя приведенные выше выражения, для среднего от
\[
\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)
\]
находим, . что оно
\[
\leqq \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{S_{v, a}}\left(\frac{\ln S_{a}}{S_{a}}+\frac{9 s_{v, a} \ln S_{a}}{S_{a}^{2}}\right)=\ln S_{a} \cdot\left(\frac{9 N_{a}}{S_{a}}+\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v, a}}\right) .
\]
Введем арифметическое и гармоническое средние от $s_{v, a}\left(v=1, \ldots, N_{a}\right)$ :
\[
\bar{s}_{a}=\frac{1}{N_{a}} \sum_{
u=1}^{N_{a}} s_{\mathrm{v}, a}=\frac{s_{a}}{N_{a}}, \quad \frac{1}{\overline{\overline{s_{a}}}}=\frac{1}{N_{a}} \sum_{\mathrm{v}=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v, a}},
\]
тогда указанное выше выражение равно $\ln S_{a} \cdot\left(\frac{9}{\bar{s}_{a}}+\frac{N_{a}}{\overline{\bar{s}_{a}}}\right)$. Поскольку $\bar{s} \leqq \bar{s}_{a}$ и $N_{a} \gg 1$ (это выражает оправданное допущение, что на энергетической поверхности лежи? много фазовых ячеек), то это $\sim \ln S_{a} \cdot \frac{N_{a}}{\overline{\bar{s}_{a}}}$. Когда это выражение мало̀?
Во всяком случае должно быть $\overline{s_{a}} \geqq \overline{s_{a}} \gg N_{a}, \ln \overline{s_{a}} \geqq \ln N_{a}$, так что $\ln S_{a}=\ln \widehat{s}_{a}+\ln N_{a}$, можно заменить на $\ln \bar{s}_{a}$. Итак, условием будет
\[
\ln \overline{s_{a}} \cdot \frac{N_{a}}{\overline{\bar{s}_{a}}} \ll 1, \quad \frac{N_{a}}{\overline{\overline{s_{a}}}} \ll \frac{1}{\ln \overline{s_{a}}},
\]
т. е.
\[
\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v, a}} \ll \frac{1}{\ln \bar{s}_{a}} .
\]
Это означает, что $s_{y, a}$ должны быть велики и по отношению к их числам $N_{a}$ (т. е. фазовые ячейки по отношению к их числу на энергетической поверхности), а не только, как в 4., просто велики. Что̀ это означает более точно в применении к распределению $s_{v, a}$, будет еще показано.
Следует еще раз указать на предварительный характер наших оценок. Возможно, что данное выше усиление требования относительно величины фазовых ячеек необходимо на самом деле для того, чтобы эргодическая теорема и $H$-теорема были справедливы. Может оказаться также, что оно вытекает лишь из неполноты наших методов оценки, так что в дейстительности достаточно уже условия $\overline{s_{a}} \gg 1$ из 4.. Было бы интересно внести ясность в этот вопрос.
