Подведем итог достигнутому до сих пор. Мы показали:
Пусть $\psi$ — некоторое состояние, $\psi_{t}$ — состояние, вытекающее из него с течением времени $t$ ( 0 ), $U_{\psi}$-его микроканонический ансамбль (ср. I. 3.), $\boldsymbol{H}$ — оператор энергии, $W_{\rho, \boldsymbol{a}}$ — его собственные значения ( $a=1,2, \ldots ; \rho=1, \ldots, S_{a} ;$ макроскопически различимы лишь собственные состояния с различными $a$, ср. I. 2.), -как $\psi$ так и $\boldsymbol{H}$ являются точными (не макроскопическими!) выражениями. Относительно $\boldsymbol{H}$ мы делаем допущение, что (при фиксированном $a$ ) все $W_{p}, a$ различны между собой, а также все разности $W_{\rho, a}-W_{\sigma, a}$, т. е. что $\boldsymbol{H}$ не обладает вырождением внутри макроскопически неразличной группы термов и резонансами с другими (виртуальными) такими же
23 и. Неййан
системами *). (Не слишком частые нарушения этого запрета допустимы.) Тогда для математического ожидания каждой макроскопически измеримой величины $\boldsymbol{A}$ и для энтропии в среднем по времени имеют место
\[
\begin{array}{c}
M_{t}\left\{\left(E_{A}\left(\boldsymbol{U}_{\psi}\right)-E_{A}\left(\psi_{t}\right)\right)^{2}\right\} \leqq \overline{\eta^{2}} \cdot \operatorname{Max}_{a=1,2, \ldots}\left(\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\boldsymbol{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)\right), \\
M_{t}\left\{\mid S\left(\boldsymbol{U}_{\psi}\right)-S\left(\psi_{t}\right)\right\} \leqq \operatorname{Max}_{a=1,2, \ldots}\left(\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\boldsymbol{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)\right) .
\end{array}
\]
[Cp. II. 3.; достаточно образовывать Мах лишь по тем $a$ (макроскопические), энергетические поверхности которых входят в микроканонический ансамбль $\boldsymbol{U}_{\psi}\left(u_{a}=\left(\Delta_{a} \psi, \psi\right)
eq 0\right)$ — на практике чаще всего это сводится к лишь одному $a$. $\overline{\eta^{2}}$ является микроканоническим средним от $\boldsymbol{A}^{2}$, т. е. является мерой порядка его величины.]

Эргодическая теорема и $H$-теорема справедливы, таким образом, без исключении (т. е. для всех $\psi$ ), если эти $\sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{
u, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)$ малы. Относительно выполнимости этого условия, в которое помимо $S_{a}, N_{a}, s_{v, a}$ (и $\boldsymbol{\Delta}_{a}$ ) входит также $\omega_{\lambda, v, a}$ (в $\mathbf{M}_{
u, a}$ и $\mathbf{N}_{
u, a}$ ), можно сказать следующее: Если имеет место
\[
\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v, a}} \ll \frac{1}{\ln \bar{s}_{a}} \quad\left(\bar{s}_{a}=\frac{1}{N_{a}} \sum_{v=1}^{N_{a}} s_{v, a}=\frac{S_{a}}{N_{a}}\right),
\]
т. е. если фазовые яченки $\boldsymbol{E}_{\mathrm{y}, a}$ велики по отношению к их числу на энергетической поверхности $\Delta_{a}$, то это условие выполняется для подавляющего большинства $\omega_{\lambda, v, a}$, т. е. среднее по $\omega_{\lambda, y, a}$ от $\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{S_{a}}{s_{v, a}}\left(\mathbf{M}_{v, a}+\mathbf{N}_{v, a}\right)$ мало̀**$)$.

Итак, истинное условие справедливости обеих теорем может нарушаться и при $\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v, a}} \ll \frac{1}{\ln \bar{s}_{a}}$, т. е. даже и в этом случае
*) Именно, если $W_{\rho, a}-W_{\sigma, a}=W_{\rho^{\prime}, a}-W_{\sigma^{\prime}, a}$, то состояние $\varphi_{\rho, a}$ первой и состояние $\varphi_{\sigma^{\prime}}, a$ второй системы имеют ту же суммарную энергию, что и состояние $\varphi_{\rho^{\prime}, a}$ первой и $\varphi_{\sigma, a}$ второй системы.
**) Заметим: мы доказали не то, что для каждого данного $\psi$ или $A$ эргодическая теорема и $H$-теорема имеют место для большинства $\omega_{\lambda}, y, a$, а то, что для большинства $\omega_{2,
u}, a$ они вообще справедливы, т. е. для всех $\psi$ и $\boldsymbol{A}$. Последнее, естественно, намного больше, чем первое.
можно так искусно выбрать макроскопическую измерительную технику $\left(\omega_{\lambda, v, a}\right)$, что обе теоремы не будут справедливы. Но для подавляющего большинства макроскопических точек зрения обе теоремы справедливы без исключений (т. е. для всех $\psi$ и $\boldsymbol{A}$ ).
2. Присмотримся внимательнее к условию $\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v}, a} \ll \frac{1}{\ln \bar{s}_{a}}$.

Если бы все $s_{v, a}$ (a фиксировано!) были примерно равны, то это условие означало бы, что $\frac{N_{a}}{\overline{s_{a}}} \ll \frac{1}{\ln \overline{s_{a}}}, \frac{\overline{s_{a}}}{\ln \bar{s}_{a}} \gg N_{a}$, т. е. немногим больше, чем $\overline{s_{a}} \gg N_{a}$, т. е. утверждение, что фазовые ячейки велики по сравнению с их числом на энергетической поверхности. Если же среди $s_{v, a}$ попадаются существенно различные, то нужна максимальная осторожность: одно-единственное $s_{v, a}$, которое не $\gg 1$, уже приводит к тому, что $\sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v}, a}$ не $\ll 1$, т. е. к нарушению нашего условия. С другой стороны, $s_{v, a}$ сильно отличаются друг от друга: ибо $\ln s_{v, a}$ надо считать энтропией смеси $\frac{1}{s_{v}, a} E_{v, a}$, которая характеризует общую систему, находящуюся в фазовой ячейке $\left.E_{v}, a^{*}\right)$, 一и достаточно представить себе соотношения из теории газов, чтобы понять, что на энергетической поверхности, вообще говоря, лежат фазовые ячейки с существенно различными энтропиями. (Как раз их наличие делает ия $H$-теоремы глубокое утверждение!) Если самая большая из встречающихся (макроскопически воспринимаемая!) разница энтропии равна $\sigma$, то всегда $\left|\ln s_{\mu, a}-\ln s_{\text {v, }}\right| \leqq \sigma$, так что
\[
s_{\psi, a} \geqq \bar{s}_{a} e^{-\sigma}, \quad \sum_{v=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v}, a} \leqq \frac{e^{\sigma} N_{a}}{\bar{s}_{a}},
\]

ввиду чего надо потребовать, чтобы $\frac{\bar{s}_{a}}{\ln \bar{s}_{a}} \gg e^{\circ} N_{a}$.
Впрочем, это соотношение показывает, что опасность оказывается только кажущеннся: в силу малости $h$, которое входит в левую часть (при $h \rightarrow 0, s_{a} \rightarrow \infty$, ср. введение, 6.), но не в правую, это соотношение при нормальных обстоятельствах выполняется. Нам кажется, что здесь нет нужды вдаваться в дальнейшие подробности.
*) Это следует, с одной стороны, из приведенных выше рассуждений, а с другой — это ясно также и из смысла больцмановского определения энтропии: ведь фазовая ячейка $\boldsymbol{E}_{v, a}$ содержит $s_{y, a}$ состояний.
$23^{*}$
3. Остается еще разобраться в смысле условий на собственные значения $\boldsymbol{H}$, приведя известные классические примеры и контрпримеры к эргодической теореме и $H$-теореме.

Пусть $K$-ящик, в котором беспорядочно движутся $N$ частиц $k_{1}, \ldots, k_{N}$, т. е. какой-то газ; примем альтернативно, что:
a) между частицами нет никаких взаимодейстий, так что даже соударений никогда не бывает (это значит, что они могут беспрепятственно проходить друг через друга);
$\beta$ ) имеются взаимодействия и соударения.
В случае (а) оба предложения, как известно, не справедливы (так как любое распределение скоростей, а не только максвелловское, может существовать произвольно долгое время), в случае $\beta$ ) надеются, напротив, что они имеют место. (Совершенно аналогична ситуация в случае излучения в полости, в которой имеется лишь отражение.) Как следует понимать такое поведение с точки зрения наших условий?

Поскольку в отношении $\mathcal{S}_{a}, N_{a}, s_{v, a}$ и $\boldsymbol{E}_{v, a}$ едва ли имеется какое-нибудь различие между $\boldsymbol{\alpha}$ ) г. $\beta$ ), то в качестве причины этого различия остается $\boldsymbol{H}$-условие. Будем рассматривать сначала каждую частицу в $K$ саму по себе, тогда ее собственные значения энергии будут $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots{ }^{*}$ ). Собственными значениями энергии всего $K$ будут тогда в случае $\alpha$ все $\sum_{
u=1}^{\infty} z_{v} \varepsilon_{v}\left(z_{v}=0,1, \ldots, \sum_{
u=1}^{\infty} z_{v}=N\right)$, в случае $\beta$ ) они еще немного изменятся — тем иеньше, чем слабее взаимодействие. В силу тождественности частиц здесь собственно возникает, вообще говоря, $N$ !-кратное «обменное вырождение»**), т. е. нарушение первого условия на собственные значения энергии. Поскольку, однако, имеет место или статистика Ферми — Дирака, или же статистика Бозе — Эиннштеинн, т. е. допустимы только антисимметричные, соответственно симметричные во всех частицах волновые функции***), то эти вырождения снова отпадают ****). Таким образом, здесь не возникает трудностей. Напротив, в случае $\boldsymbol{\alpha}$ ) существует ряд соотношений вида, запрещенного вторым условием:
$\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}+\ldots\right)-\left(\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}+\ldots\right)=\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}+\ldots\right)-\left(\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}+\ldots\right)$ ит. д.
*) Мы считаем $k_{1}, \ldots, k_{N}$ тождественными и принципиально неразличимыми между собой. Если же они различны, то каждая частица $k_{n}$ $(n=1, \ldots, N)$ обладает своим собственным, отличным от других спектром термов $\varepsilon_{n 1}, \varepsilon_{n 2}, \ldots$ Обсуждение остается тогда таким же, как в тексте, только не будет требующей рассмотрения опасности вырождения, а) снова будет противоречить второму условию на собственные значения $H$, а $\beta$ ) не будет.
**) В случае $\alpha$ ), в случае же $\beta$ ) порядки вырождения совпадают с порядками неприводимых представлений симметрической группы из $N$ элементов. Cp. E. Wigner, Zs. f. Phys. 40 н 43 (1927).
${ }^{* *}$ ) Cp. W. H eisen berg, Zs. f. Phys. 41 (1927), а также P. A. M. Dirac, Proc. Roy, Soc. (A) 112 (1926).
****) В случае статистики Ферми — Дирака допустимы, конечно, лишь $\boldsymbol{z}_{\gamma}=0,1$, но это не вредит нашим соображениям.
В случае $\beta$ ) это невозможно, так как четыре заданных терма $K$ возмущаются совершенно по-разному, причем это утверждение, очевидно, нисколько не зависит от абсолютной величины возмущения (т. е. взаимодействия).

Таким образом, внутренняя причина различного характера случаев $\boldsymbol{\alpha}$ ) и $\boldsymbol{\beta}$ ) лежит в поведении по отношению к условию
\[
W_{\rho, a}-W_{\sigma, a}
eq W_{\rho^{\prime}, a}-W_{\sigma^{\prime}, a} .
\]