Подведем итог достигнутому до сих пор. Мы показали:
Пусть $\psi$ — некоторое состояние, ${\psi }_t$ — состояние, вытекающее из него с течением времени $t$ ( 0 ), $U_{\psi }$-его микроканонический ансамбль (ср. I. 3.), $\mathit{H}$ — оператор энергии, $W_{\rho ,\mathit{a}}$ — его собственные значения ( $a=1,2,\dots ;\rho =1,\dots ,S_a;$ макроскопически различимы лишь собственные состояния с различными $a$, ср. I. 2.), -как $\psi$ так и $\mathit{H}$ являются точными (не макроскопическими!) выражениями. Относительно $\mathit{H}$ мы делаем допущение, что (при фиксированном $a$ ) все $W_p,a$ различны между собой, а также все разности $W_{\rho ,a}-W_{\sigma ,a}$, т. е. что $\mathit{H}$ не обладает вырождением внутри макроскопически неразличной группы термов и резонансами с другими (виртуальными) такими же
23 и. Неййан
системами *). (Не слишком частые нарушения этого запрета допустимы.) Тогда для математического ожидания каждой макроскопически измеримой величины $\mathit{A}$ и для энтропии в среднем по времени имеют место
$$\begin{array}{c}{M}_t\left\{{(E_A\left({\mathit{U}}_{\psi }\right)-E_A\left({\psi }_t\right))}^2\right\}\leqq \overline{{\eta }^2}\cdot {\mathrm{Max}}_{a=1,2,\dots }\left(\sum _{v=1}^{N_a}\frac{S_a}{s_{v,a}}({\mathit{M}}_{v,a}+{\mathbf{N}}_{v,a})\right),\\ M_t\{\mid S\left({\mathit{U}}_{\psi }\right)-S\left({\psi }_t\right)\}\leqq {\mathrm{Max}}_{a=1,2,\dots }\left(\sum _{v=1}^{N_a}\frac{S_a}{s_{v,a}}({\mathit{M}}_{v,a}+{\mathbf{N}}_{v,a})\right).\end{array}$$
[Cp. II. 3.; достаточно образовывать Мах лишь по тем $a$ (макроскопические), энергетические поверхности которых входят в микроканонический ансамбль ${\mathit{U}}_{\psi }(u_a=({\mathrm{\Delta }}_a\psi ,\psi )eq0)$ — на практике чаще всего это сводится к лишь одному $a$. $\overline{{\eta }^2}$ является микроканоническим средним от ${\mathit{A}}^2$, т. е. является мерой порядка его величины.]

Эргодическая теорема и $H$-теорема справедливы, таким образом, без исключении (т. е. для всех $\psi$ ), если эти $\sum _{u=1}^{N_a}\frac{S_a}{s_{u,a}}({\mathbf{M}}_{v,a}+{\mathbf{N}}_{v,a})$ малы. Относительно выполнимости этого условия, в которое помимо $S_a,N_a,s_{v,a}$ (и ${\mathbf{\Delta }}_a$ ) входит также ${\omega }_{\lambda ,v,a}$ (в ${\mathbf{M}}_{u,a}$ и ${\mathbf{N}}_{u,a}$ ), можно сказать следующее: Если имеет место
$$\sum _{v=1}^{N_a}\frac{1}{s_{v,a}}\ll \frac{1}{\ln {\overline{s}}_a}({\overline{s}}_a=\frac{1}{N_a}\sum _{v=1}^{N_a}{s}_{v,a}=\frac{S_a}{N_a}),$$
т. е. если фазовые яченки ${\mathit{E}}_{\mathrm{y},a}$ велики по отношению к их числу на энергетической поверхности ${\mathrm{\Delta }}_a$, то это условие выполняется для подавляющего большинства ${\omega }_{\lambda ,v,a}$, т. е. среднее по ${\omega }_{\lambda ,y,a}$ от $\sum _{v=1}^{N_a}\frac{S_a}{s_{v,a}}({\mathbf{M}}_{v,a}+{\mathbf{N}}_{v,a})$ мало̀**$)$.

Итак, истинное условие справедливости обеих теорем может нарушаться и при $\sum _{v=1}^{N_a}\frac{1}{s_{v,a}}\ll \frac{1}{\ln {\overline{s}}_a}$, т. е. даже и в этом случае
*) Именно, если $W_{\rho ,a}-W_{\sigma ,a}=W_{{\rho }^{\prime },a}-W_{{\sigma }^{\prime },a}$, то состояние ${\phi }_{\rho ,a}$ первой и состояние ${\phi }_{{\sigma }^{\prime }},a$ второй системы имеют ту же суммарную энергию, что и состояние ${\phi }_{{\rho }^{\prime },a}$ первой и ${\phi }_{\sigma ,a}$ второй системы.
**) Заметим: мы доказали не то, что для каждого данного $\psi$ или $A$ эргодическая теорема и $H$-теорема имеют место для большинства ${\omega }_{\lambda },y,a$, а то, что для большинства ${\omega }_{2,u},a$ они вообще справедливы, т. е. для всех $\psi$ и $\mathit{A}$. Последнее, естественно, намного больше, чем первое.
можно так искусно выбрать макроскопическую измерительную технику $\left({\omega }_{\lambda ,v,a}\right)$, что обе теоремы не будут справедливы. Но для подавляющего большинства макроскопических точек зрения обе теоремы справедливы без исключений (т. е. для всех $\psi$ и $\mathit{A}$ ).
2. Присмотримся внимательнее к условию $\sum _{v=1}^{N_a}\frac{1}{s_v,a}\ll \frac{1}{\ln {\overline{s}}_a}$.

Если бы все $s_{v,a}$ (a фиксировано!) были примерно равны, то это условие означало бы, что $\frac{N_a}{\overline{s_a}}\ll \frac{1}{\ln \overline{s_a}},\frac{\overline{s_a}}{\ln {\overline{s}}_a}\gg N_a$, т. е. немногим больше, чем $\overline{s_a}\gg N_a$, т. е. утверждение, что фазовые ячейки велики по сравнению с их числом на энергетической поверхности. Если же среди $s_{v,a}$ попадаются существенно различные, то нужна максимальная осторожность: одно-единственное $s_{v,a}$, которое не $\gg 1$, уже приводит к тому, что $\sum _{v=1}^{N_a}\frac{1}{s_v,a}$ не $\ll 1$, т. е. к нарушению нашего условия. С другой стороны, $s_{v,a}$ сильно отличаются друг от друга: ибо $\ln s_{v,a}$ надо считать энтропией смеси $\frac{1}{s_v,a}{E}_{v,a}$, которая характеризует общую систему, находящуюся в фазовой ячейке $E_v,a^{\ast })$, 一и достаточно представить себе соотношения из теории газов, чтобы понять, что на энергетической поверхности, вообще говоря, лежат фазовые ячейки с существенно различными энтропиями. (Как раз их наличие делает ия $H$-теоремы глубокое утверждение!) Если самая большая из встречающихся (макроскопически воспринимаемая!) разница энтропии равна $\sigma$, то всегда $|\ln s_{\mu ,a}-\ln s_{\text{v, }}|\leqq \sigma$, так что
$$s_{\psi ,a}\geqq {\overline{s}}_a{e}^{-\sigma },\sum _{v=1}^{N_a}\frac{1}{s_v,a}\leqq \frac{e^{\sigma }{N}_a}{{\overline{s}}_a},$$

ввиду чего надо потребовать, чтобы $\frac{{\overline{s}}_a}{\ln {\overline{s}}_a}\gg e^{\circ }{N}_a$.
Впрочем, это соотношение показывает, что опасность оказывается только кажущеннся: в силу малости $h$, которое входит в левую часть (при $h\to 0,s_a\to \mathrm{\infty }$, ср. введение, 6.), но не в правую, это соотношение при нормальных обстоятельствах выполняется. Нам кажется, что здесь нет нужды вдаваться в дальнейшие подробности.
*) Это следует, с одной стороны, из приведенных выше рассуждений, а с другой — это ясно также и из смысла больцмановского определения энтропии: ведь фазовая ячейка ${\mathit{E}}_{v,a}$ содержит $s_{y,a}$ состояний.
${23}^{\ast }$
3. Остается еще разобраться в смысле условий на собственные значения $\mathit{H}$, приведя известные классические примеры и контрпримеры к эргодической теореме и $H$-теореме.

Пусть $K$-ящик, в котором беспорядочно движутся $N$ частиц $k_1,\dots ,k_N$, т. е. какой-то газ; примем альтернативно, что:
a) между частицами нет никаких взаимодейстий, так что даже соударений никогда не бывает (это значит, что они могут беспрепятственно проходить друг через друга);
$\beta$ ) имеются взаимодействия и соударения.
В случае (а) оба предложения, как известно, не справедливы (так как любое распределение скоростей, а не только максвелловское, может существовать произвольно долгое время), в случае $\beta$ ) надеются, напротив, что они имеют место. (Совершенно аналогична ситуация в случае излучения в полости, в которой имеется лишь отражение.) Как следует понимать такое поведение с точки зрения наших условий?

Поскольку в отношении ${\mathcal{S}}_a,N_a,s_{v,a}$ и ${\mathit{E}}_{v,a}$ едва ли имеется какое-нибудь различие между $\mathit{\alpha }$ ) г. $\beta$ ), то в качестве причины этого различия остается $\mathit{H}$-условие. Будем рассматривать сначала каждую частицу в $K$ саму по себе, тогда ее собственные значения энергии будут ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots {}^{\ast }$ ). Собственными значениями энергии всего $K$ будут тогда в случае $\alpha$ все $\sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_v{\epsilon }_v(z_v=0,1,\dots ,\sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_v=N)$, в случае $\beta$ ) они еще немного изменятся — тем иеньше, чем слабее взаимодействие. В силу тождественности частиц здесь собственно возникает, вообще говоря, $N$ !-кратное «обменное вырождение»**), т. е. нарушение первого условия на собственные значения энергии. Поскольку, однако, имеет место или статистика Ферми — Дирака, или же статистика Бозе — Эиннштеинн, т. е. допустимы только антисимметричные, соответственно симметричные во всех частицах волновые функции***), то эти вырождения снова отпадают ****). Таким образом, здесь не возникает трудностей. Напротив, в случае $\mathit{\alpha }$ ) существует ряд соотношений вида, запрещенного вторым условием:
$({\epsilon }_1+{\epsilon }_3+\dots )-({\epsilon }_2+{\epsilon }_3+\dots )=({\epsilon }_1+{\epsilon }_4+\dots )-({\epsilon }_2+{\epsilon }_4+\dots )$ ит. д.
*) Мы считаем $k_1,\dots ,k_N$ тождественными и принципиально неразличимыми между собой. Если же они различны, то каждая частица $k_n$ $(n=1,\dots ,N)$ обладает своим собственным, отличным от других спектром термов ${\epsilon }_{n1},{\epsilon }_{n2},\dots$ Обсуждение остается тогда таким же, как в тексте, только не будет требующей рассмотрения опасности вырождения, а) снова будет противоречить второму условию на собственные значения $H$, а $\beta$ ) не будет.
**) В случае $\alpha$ ), в случае же $\beta$ ) порядки вырождения совпадают с порядками неприводимых представлений симметрической группы из $N$ элементов. Cp. E. Wigner, Zs. f. Phys. 40 н 43 (1927).
${}^{\ast \ast }$ ) Cp. W. H eisen berg, Zs. f. Phys. 41 (1927), а также P. A. M. Dirac, Proc. Roy, Soc. (A) 112 (1926).
****) В случае статистики Ферми — Дирака допустимы, конечно, лишь ${\mathit{z}}_{\gamma }=0,1$, но это не вредит нашим соображениям.
В случае $\beta$ ) это невозможно, так как четыре заданных терма $K$ возмущаются совершенно по-разному, причем это утверждение, очевидно, нисколько не зависит от абсолютной величины возмущения (т. е. взаимодействия).

Таким образом, внутренняя причина различного характера случаев $\mathit{\alpha }$ ) и $\mathit{\beta }$ ) лежит в поведении по отношению к условию
$$W_{\rho ,a}-W_{\sigma ,a}eq{W}_{{\rho }^{\prime },a}-W_{{\sigma }^{\prime },a}.$$