Первый вопрос, возникающий в связи с нашей формулировкой проблемы собственных значений, состоит в том, что $\overline{\boldsymbol{S}}_{1 .}-\overline{\boldsymbol{S}}_{3}$. звучат совершенно не так, как задача, с которой мы начинали предыдущий раздел, и их взаимоотношение больше не прослеживается. Правда, мы вывели $\boldsymbol{S}_{1}$. $\boldsymbol{S}_{3}$. в $\mathfrak{R}_{n}$ из первоначальной формулировки, но в $\mathfrak{R}_{\infty}$ все соотношения существенно видоизменились. Обе формулировки более не эквивалентны (как они были – что специально отмечалось в свое время-в $\mathfrak{M}_{n}$ ). Значит, вся проблема в сущности снова остается открытой, и мы должны показать, в какой мере новая формулировка совпадает со старой, т. е. в каких случаях и каким образом наши $E(\lambda)$ определяют прежние $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ и $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$

Если разложение единицы $E(\lambda)$ принадлежит эрмитову оператору $A$, то в каких случаях уравнение
\[
A \varphi=\lambda_{0} \varphi
\]

разрешимо? Уравнение $A \varphi=\lambda_{0} \varphi$ означает то же самое, что
\[
(A \varphi, g)-\lambda_{0}(\varphi, g)=0
\]
78) Cp. Math. Ann. Bd. 102 (1929).
для всех $g$, т. е.
\[
\begin{aligned}
0 & =\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)-\lambda_{0}(\varphi, g)= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)-\lambda_{0} \int_{-\infty}^{\infty} d(E(\lambda) f, g)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d(E(\lambda) f, g) .
\end{aligned}
\]

Положим сначала $g=E\left(\lambda_{0}\right) f$, тогда
\[
\begin{array}{l}
0=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(E(\lambda) f, E\left(\lambda_{0}\right) f\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(E\left(\lambda_{0}\right) E(\lambda) f, f\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(E\left(\operatorname{Min}\left(\lambda, \lambda_{0}\right)\right) f, f\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\left\|E\left(\operatorname{Min}\left(\lambda, \lambda_{0}\right)\right) f\right\|^{2}\right) .
\end{array}
\]

Мы можем разбить теперь $\int_{-\infty}^{\infty}$ в сумму $\int_{-\infty}^{\lambda_{0}}+\int_{\lambda_{0}}^{\infty} \cdot$ В $\int_{-\infty}^{\lambda_{0}}$ мы можем заменить $\operatorname{Min}\left(\lambda, \lambda_{0}\right)$ на $\lambda$, а. в $\int_{\lambda_{0}}^{\infty}$ на $\lambda_{0}$. Значит, в последнем интеграле под знаком дифференциала стоит константа и таким образом он исчезает. Для первого интеграла остается тогда
\[
\int_{-\infty}^{\lambda_{0}}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)=0
\]

Далее положим $g=f$, тогда
\[
0=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d(E(\lambda) f, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\|E(\lambda)\|^{2}\right) .
\]

Вычитая из этого первое уравнение, получим (изменив знак подин-

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0094.jpg.txt

8]
РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
93
тегрального выражения)
\[
\int_{\lambda_{0}}^{\infty}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)=0 .
\]

Рассмотрим теперь интегралы
\[
\int_{-\infty}^{\lambda_{0}}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right), \quad \int_{\lambda_{0}}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)
\]

несколько более подробно. Подынтегральное выражение в обоих случаях $\geqslant 0$ и под знаком дифференциала стоит монотонно возрастающая функция от $\lambda$. Следовательно, мы имеем для каждого $\varepsilon>0$
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\lambda_{0}}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right) \geqq & \int_{-\infty}^{\lambda_{0}-8}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right) \geqq \\
& \geqq \int_{-\infty}^{\lambda_{0}-8} \varepsilon d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)=\varepsilon\left\|E\left(\lambda_{0}-\varepsilon\right) f\right\|^{2},
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{\lambda_{0}}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right) \geqq \int_{\lambda_{0}+\varepsilon}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{0}\right) d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right) \geqq \\
\geqq \int_{\lambda_{0}+\varepsilon}^{\infty} \varepsilon d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)=\varepsilon\left(\mid f\left\|^{2}-\right\| E\left(\lambda_{0}+\varepsilon\right) f \|^{2}\right)= \\
=\varepsilon\left\|f-E\left(\lambda_{0}+\varepsilon\right) f\right\|^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно, правые стороны $\leqq 0$, но поскольку они тождественно $\geqq 0$, то они должны исчезать. Итак,
\[
E\left(\lambda_{0}-\varepsilon\right) f=0, \quad E\left(\lambda_{0}+\varepsilon\right) \dot{f}=f .
\]

Вследствие непрерывности $E(\lambda)$ спра уы можем устремить $\varepsilon \rightarrow 0$ справа во втором уравнении: $E\left(\lambda_{0}\right) f \quad$ При $\lambda \geqq \lambda_{0}$ тогда, в силу второго уравнения ( $\varepsilon=\lambda-\lambda_{0} \geqq 0$ ), $E(\wedge) f=f$, тогда как для $\lambda<\lambda_{0}$, в силу первого уравнения ( $\varepsilon=\lambda_{0}-\lambda>0$ ), $E(\lambda) f=0$, Итак,
\[
E(\lambda) f=\left\{\begin{array}{lll}
f & \text { для } \lambda \geqq \lambda_{0}, \\
0 & \text { для } \lambda<\lambda_{0} .
\end{array}\right.
\]

Но это необходимое условие также и достаточно, поскольку из него следует, что
\[
(A f, g)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)=\lambda_{0}(f, g)
\]
(следует вспомнить определение интеграла Стильтьеса, данное в прим. ${ }^{73}$ ) на стр. 86 ), а значит, $\left(A f-\lambda_{0} f, g\right)=0$ для всех $g$, т. е. $A f=\lambda_{0} f$.

Что означает это условие? Во-первых, оно включает разрыв $E(\lambda)$ в точке $\lambda=\lambda_{0}$. По теореме 17. в II. 4, $E(\lambda)$ сходится к проекционным операторам $E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)$ или $E^{(2)}\left(\lambda_{0}\right)$ при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}, \lambda<\lambda_{0}$ и при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}, \lambda>\lambda_{0}$ соответственно $\left.{ }^{79}\right)$. В силу $S_{1} ., E^{(2)}(\lambda)=E\left(\lambda_{0}\right)$, но в случае разрыва $E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)
eq E\left(\lambda_{0}\right)$. Далее, поскольку $E(\lambda) \leqq E\left(\lambda_{0}\right)$ при $\lambda<\lambda_{0}\left(\boldsymbol{S}_{2}\right.$.), то $E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right) \leqq E\left(\lambda_{0}\right)$. Следовательно, $E\left(\lambda_{0}\right)-E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)$ есть проекционный оператор, и скачок характеризуется тем, что он не равен нулю.

Из того, что $E(\lambda) f=0$ для всех $\lambda>\lambda_{0}$, следует, что $E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right) f=0$, однако (так как $E(\lambda) \leqq E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)$ ), из второго также следует первое. $E(\lambda) f=f$ для всех $\lambda \geqq \lambda_{0}$ следует из $E\left(\lambda_{0}\right) f=f: E\left(\lambda_{0}\right) \leqq E(\lambda)$, $E(\lambda) E\left(\lambda_{0}\right)=E\left(\lambda_{0}\right), \quad$ но, $\quad$ следовательно,$\quad E(\lambda) f=E(\lambda) E\left(\lambda_{0}\right) f=$ $=E\left(\lambda_{0}\right) f=f$. Значит, уравнение $A f=\lambda_{0} f$ характеризуется условием $E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right) f=0, E\left(\lambda_{0}\right) f=f$, или (теорема 14. в II. 4) $\left\{E\left(\lambda_{0}\right)-\right.$ – $\left.E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)\right\} f=f$. И значит, если мы напишем $E\left(\lambda_{0}\right)-E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)=P_{\text {没 }}$, то из предыдущего следует, что $f$ принадлежит к $\mathfrak{M} \lambda_{\lambda_{0}}$.

Тем самым показано, что $A f=\lambda f$ имеет решения $f
eq 0$ только в точках разрыва непрерывности $E(\lambda)$, и что эти решения $f$ образуют замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}$, определенное выше.

Итак, полная нормированная ортогональная система, которую мы искали в II. 6 из решений (с возможно различными $\lambda$ ) существует тогда и только тогда, когда все $\mathfrak{M}_{\lambda_{0}}\left(-\infty<\lambda_{0}<\infty\right)$ вместе растягивают замкнутое линенное многообразие $\mathfrak{R}_{\infty}$. [Мы обсуждали в II. 6 , как должно быть достигнуто погтроение этой системы. Взаимную ортогональность $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}$ можно продемонстрировать теперь другим способом. Из $\lambda_{0}<\mu_{0}$ следует, что
\[
P_{\text {沉 }_{\Lambda_{0}}} P_{\text {m }_{\mu_{0}}}=\left[E\left(\lambda_{0}\right)-E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right)\right]\left[E\left(\mu_{0}\right)-E^{(1)}\left(\mu_{0}\right)\right]=0,
\]

так как
\[
\left.E\left(\lambda_{0}\right)=E^{(1)}\left(\lambda_{0}\right) \leqq E\left(\lambda_{0}\right) \leqq E^{(1)}\left(\mu_{0}\right), \quad E\left(\mu_{0}\right)-E^{(1)}\left(\mu_{0}\right) \leqq 1-E^{(1)}\left(\mu_{0}\right) \cdot\right]
\]

Не устанавливая точных критериев, при которых это выполняется, установим только следующее: если существует некоторыи интервал $\mu_{1}$,
79) Это было показано только для последовательностей $\lambda$. Однако предел всех таких последовательностей $\lambda\left(\lambda \rightarrow \lambda_{0}\right.$ и $\lambda<\lambda_{0}$ или соответственно $\lambda>\lambda_{0}$ ) должен быть один и тот же, поскольку две таких последовательности могут быть скомбинированы в одну – и поскольку эта последовательность должна иметь предел, то обе составляющие ее последовательности обязаны иметь одинаковый предел. Из этого сяедует, что и в случае непрерывного изменения $\lambda$ также существуәт сходимость (к общему пределу всех последовательностей).
$\mu_{2}$, в котором $E(\lambda)$ возрастает непрерывным образом [т. е. $\mu_{1}<\mu_{2}$, $E(\lambda)$ непрерывна при $\mu_{1} \leqq \lambda \leqq \mu_{2}, E\left(\mu_{1}\right)
eq E\left(\mu_{2}\right)$ ], то это безусловно не справедливо. В самом деле, при $\lambda \leqq \mu_{1}, E(\lambda)-E^{(1)}(\lambda) \leqq E(\lambda) \leqq$ $\leqq E\left(\mu_{1}\right)$, в то время как при $\mu_{1}<\lambda \leqq \mu_{2}, E(\lambda)-E^{(1)}(\lambda)=0$ в силу непрерывности, а при $\mu_{2}<\lambda, \quad E(\lambda)-E^{(1)}(\lambda) \leqq 1-E^{(1)}(\lambda) \leqq 1-E\left(\mu_{2}\right)$. Следовательно, $E(\lambda)-E^{(1)}(\lambda)$ всегда ортогонально к $E\left(\mu_{2}\right)-E\left(\mu_{1}\right)$. Положим $E\left(\mu_{2}\right)-E\left(\mu_{1}\right)=P_{\Re}$, тогда все $\mathfrak{R}_{\lambda}$ ортогональны к $\mathfrak{N}$. Если из них будет выбираться полная ортогональная система, то $\mathfrak{R}$ будет содержать только нуль, т. е. $E\left(\mu_{2}\right)-E\left(\mu_{1}\right)=0$, в противоречии с первоначальным предположением.

Разрывы непрерывности $E(\lambda)$ мы назовем дискретным спектром оператора $A$. Это те $\lambda$, для которых $A f=\lambda f$ имеет решения $f
eq 0$. Если мы выберем из каждого $\mathfrak{2} \lambda_{\lambda}
eq 0$ элемент $f$ с $\|f\|=1$, то вследствие взаимной ортогональности $\mathfrak{R}_{\lambda}$ мы получим ортонормированную систему. В силу теоремы 3. из II. 2, она или конечна, или образует последовательность. Следовательно, и значения $\lambda$ дискретного спектра образуют, в максимальном варианте, последовательность.

Все те точки, в окрестности которых $E(\lambda)$ не постоянна, образуют спектр $A$. Мы видели, что если есть интервалы, заполненные спектром $A$, но не дискретным спектром, т. е. интервалы непрерывности $E(\lambda)$, где она не постоянна, то проблема собственных значений безусловно неразрешима в том смысле, в каком она была сформулирована в начале раздела II.6. Мы не будем дальше исследовать точные условия неразрешимости: она может также возникать и при несколько других обстоятельствах, когда точки дискретного спектра проникают во все интервалы, где есть точки непрерывного спектра. Отделение дискретного спектра от остальной части спектра – задача значительно более трудоемкая и выходит за пределы этой работы. (Читатель найет эти исследованяя в цитированных выше трудах Гильберта.)

C другой стороны, мы хотим показать, как при наличии полной ортонормированной системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ решений $A \varphi=\lambda \varphi$ (с $\lambda=$ $=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ для соответствующих $\varphi=\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ ) – как мы будем говорить, в случае чисто дискретного спектра – должна строиться $E(\lambda)$. Мы имеем
\[
\left.E(\lambda)=\sum_{\lambda, j \lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]}{ }^{80}\right) .
\]
(Сумма $\Sigma$ может иметь 0 членов, тогда $E(\lambda)=0$; или положительное конечное число членов, тогда смысл ее очевиден; или, наконец, бесконечно много, в таком случае она сходится в силу аргументов в конце II. 4.)
${ }^{\text {so) }}$ Это точная переформулировка определения $E(\lambda ; \xi, \eta)$, данного в II.7.
$\overline{\boldsymbol{S}}_{2}$. в сущности очевидно, потому что при $\lambda^{\prime} \leqq \lambda^{\prime \prime}$,
\[
E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)=\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{\rho} \leqq \lambda^{n}} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]}
\]

есть проекционный оператор, поэтому $E\left(\lambda^{\prime}\right) \leqq E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)$ (теорема 14.). $\bar{S}_{1}$. мы докажем следующим образом: для каждого $f$
\[
\left.\sum_{\rho}\left\|p_{\left[\rho_{\rho}\right]} f\right\|^{2}=\sum_{\rho}\left|\left(f, \hat{\vartheta}_{\rho}\right)\right|^{2}=\text { прим. }{ }^{81}\right)=\|f\|^{2}
\]
(теорема 7.), т. е. $\sum_{\rho}\left\|P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}$ сходится. Следовательно, для каждого $\varepsilon>0$ мы можем найти конечное число членов $\rho$, так что сумма $\sum_{p}$, взятая только по этим членам, будет $>\|f\|^{2}-\varepsilon$, и, значит, каждая сумма $\sum_{\rho}^{\prime}$, из которой они исключены, будет $<\varepsilon$. Значит, также
\[
\left\|\sum_{\rho}^{\prime} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}=-\sum_{\rho}^{\prime}\left\|P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}<\varepsilon .
\]

Отсюда, в частности, следует, что
\[
\left\|\sum_{\rho \leqq \lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}<\varepsilon,\left\|\sum_{\lambda_{\rho}>\lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}<\varepsilon,\left\|\sum_{\lambda_{0}<\lambda_{\rho} \leqq \lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f\right\|^{2}<\varepsilon,
\]

если $\lambda$ взято, соответственно, – достаточно малым, достаточно большим или достаточно близким к $\lambda_{0}$ (и $\lambda \geqq \lambda_{0}$ ). Тогда
\[
\begin{aligned}
E(\lambda) f & =\sum_{\lambda_{\rho} \leqq \lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad \lambda \rightarrow-\infty, \\
f-E(\lambda) f & \left.=\sum_{\lambda_{\rho}>\lambda} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]} f \rightarrow 0^{82}\right) \quad \text { при } \quad \lambda \rightarrow+\infty, \\
E(\lambda) f-E\left(\lambda_{0}\right) f & =\sum_{\lambda_{0}<\lambda_{\rho} \leqq \lambda} P_{\left[\rho_{p}\right]} f \rightarrow 0 \text { при } \quad \lambda \rightarrow \lambda_{0}, \quad \lambda \geqq \lambda_{0},
\end{aligned}
\]
т. е. $\overline{\boldsymbol{S}}_{\mathbf{i}}$. удовлетворяется.
81) Как показывает построение, выполненное при доказательстве теоремы 10., $P_{[\varphi]} f=(f, \varphi) \cdot \varphi \quad$ (если $\|\varphi\|=1$ ), следовательно, $\left\|P_{[\varphi]} f\right\|=$ $=|(f, \varphi)|=|(\varphi, f)|$.
82) Имеем (по теореме 7.):
\[
f=\sum_{p}\left(f, \varphi_{p}\right) \cdot \varphi_{p}=\sum_{\rho} P_{\left[\varphi_{p}\right]} f .
\]

Это следует также из рассуждений в конце II. 4.
Чтобы убедиться в справедливости $\boldsymbol{S}_{3}$., положим $f=x_{1} \varphi_{1}+$ $+x_{2} \varphi_{2}+\ldots$ Тогда $A f=\lambda_{1} x_{1} \varphi_{1}+\lambda_{2} x_{2} \varphi_{2}+\ldots$ Для того чтобы $A f$ было определено, $\sum_{\rho=1}^{\infty} \lambda_{\rho}^{2}\left|x_{\rho}\right|^{2}$ должна быть конечной. Но
\[
\begin{array}{l}
\left.\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\|E(\lambda) f\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\left(\sum_{\lambda_{\rho} \leqq \lambda}\left|x_{\rho}\right|^{2}\right)=\text { прим. }{ }^{83}\right)=\sum_{\rho=1}^{\infty} \lambda_{\rho}^{2}\left|x_{\rho}\right|^{2}, \\
\left.\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d\left(\sum_{\lambda_{\rho} \leqq \lambda} x_{\rho} \bar{y}_{p}\right)=\text { прим. }{ }^{83}\right)= \\
=\sum_{\rho=1}^{\infty} \lambda_{\rho} x_{\rho} \bar{y}_{\rho}=(A f, g) . \\
\end{array}
\]

Рассмотрим еще два случая чисто непрерывного спектра, т. е. такие, когда вовсе нет дискретных уровней. Пусть $\Re_{\infty}$ есть пространство всех функций $f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)$ с конечным
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{l}
\]
$A$ – ойератор $\hat{q}_{j}, \ldots$, эрмитов характер которого очевиден.
– ${ }^{83}$ ) По прим. ${ }^{73}$ ), стр. 86 ,
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\left(\sum_{\lambda_{\rho} \leqq \lambda}\left|x_{\rho}\right|^{2}\right)=\lim \sum_{\tau=1}^{k} \Lambda_{\tau}^{2} \sum_{\Lambda_{\tau-1}<\lambda_{\rho} \leqq \Lambda_{\tau}}\left|x_{\rho}\right|^{2} .
\]

Если везде $\Lambda_{\tau}^{2}-\Lambda_{\tau-1}^{2}<\varepsilon$ (т. е. если сетка $\Lambda_{0}, \ldots, \Lambda_{k}$ достаточно частая), то выражение меняется на величину, меньшую $\varepsilon \sum_{p=1}^{\infty}\left|x_{\rho}\right|^{2}=\varepsilon\|f\|^{2}$; если мы заменим его на сумму
\[
\sum_{\tau=1}^{k} \sum_{\Delta_{\tau-1}} \sum_{\rho} \leqq \lambda_{\tau}^{2}\left|x_{\rho}\right|^{2}=\sum_{\Delta_{0}<\lambda_{\rho} \leqq \Delta_{k}} \lambda_{\rho}^{2}\left|x_{\rho}\right|^{2} .
\]

и если $\Lambda_{0}$ достаточно мало, а $\Lambda_{k}$ достаточно велико, то оно произвольно близко к $\sum_{\tau=1}^{\infty} \lambda_{\rho}^{2}\left|x_{\rho}\right|^{2}$. Таким образом, эта сумма есть искомый предел, т. е. значение интеграла.

Следующая интегральная формула доказывается в точности таким же способом.
7 и. Нейман
[Tл. It
Мы видим, что $A f=\lambda f$ приводит к тому, что $\left(q_{j}-\lambda\right) f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)=0$, т. е. $f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)=0$ повсюду, за исключением только, может быть, $(l-1)$-мерной плоскости $q_{j}=\lambda$. Однако эта плоскость несущественна (в соответствии со сказанным в II. 3 , в связи с условием B.), поскольку ее мера Лебега (т. е. объем) равна нулю. Следовательно, $f \equiv 0^{84}$ ). Значит, никогда не сушествует решения $A f=\lambda f$, не равного нулю. Но мы видим также (не строго!), где можно было бы ожидать решения: $\left(q_{j}-\lambda\right) f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)=0$ означает, что $f
eq 0$ может быть лишь при $q_{j}=\lambda$ : Линейная комбинация решений с разными $\lambda$, скажем с $\lambda=\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \ldots, \lambda^{(s)}$, была бы тогда $f$, не равной нулю только в точках
\[
q_{j}=\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \ldots, \lambda^{(s)} .
\]
84) В этом пункте строгий математический метод, которому мы следуем, ответвляется от символического метода Дирака (сравни, например, его книгу, цитированную в прим. 1) на стр. 9). Последний сводится к тому, что $f$, для которых ( $q-\lambda) f(q)=0$, тоже рассматриваются в качестве решений (для простоты мы положили $l=j=1, q_{j}=q$ ). Однако поскольку все $(f, g)=$ $=\int f(q) \overline{g(q)} d q=0$, а $f$ должна быть $
eq 0$, то $f(q)$ надо мыслить бесконечной в точке $q=\lambda$ (единственной, где она $
eq 0$ ), и столь сильно бескопечной, что $(f, g)
eq 0$. Поскольку при $q
eq \lambda, f(q)=0$, то $\int f(q) \overline{g(q)} d q$ может зависеть только от $\overline{g(\lambda)}$ и в действительности ясно, что интеграл, в силу своего свойства аддитивности, должен быть пропорционален $g(\lambda)$. Следовательно, он должен быть равен $\overline{c g(\lambda)}$, и с должно быть отлично от нуля. Если мы заменим $f(g)$ на $\frac{1}{c} f(g)$, мы получим $c=1$. Значит, мы имеем фиктивную функцию $f(q)$, для которой имеет место $\int f(q) \overline{g(q)} d q=$ $=\overline{g(\lambda)}$.

Достаточно, конечно, рассмотреть случай $\lambda=0$. Обозначим $f(q)=\delta(q)$, определяя ее условиями:
$\Delta$.
\[
q \delta(q) \equiv 0, \quad \int \delta(q) f(q) d q=f(0) .
\]

Для произвольных $\lambda, \delta(q-\lambda)$ является решением. Хотя функции $\delta$ со свойством $\Delta$. и не существует, есть последовательности функций, сходящихся к поведению такого рода (конечно, предельная функция не существует), например:
\[
f_{\mathfrak{s}}(q)=\left\{\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2 \varepsilon} & \text { при } & x \mid<\varepsilon \\
0 & \text { при } & |x|>\varepsilon
\end{array} \quad \text { при } \varepsilon \rightarrow+0 .\right.
\]

или $f_{a}(q)=\sqrt{\frac{a}{\pi}} e^{-a x^{2}}$ при $a \rightarrow+\infty$. (Сравни также I. 3 и, в частности, прим. ${ }^{32}$ ), стр. 27.)

Таким образом, мы можем рассматривать как линейную комбинацию всех решений с $\lambda \leqq \lambda_{0}$ такую $f$, которая $
eq 0$ только для $\lambda \leqq \lambda_{0}$. Но в случае чисто дискретного спектра у нас было
\[
\begin{aligned}
E\left(\lambda_{0}\right) & =\sum_{\lambda_{\rho} \leqq \lambda_{0}} P_{\left[\varphi_{\rho}\right]}=P_{9 \lambda_{\lambda_{0}}}, \\
\mathfrak{R}_{\lambda_{0}} & =\left[\varphi_{\rho}\left(\lambda_{\rho} \leqq \lambda_{0}\right)\right],
\end{aligned}
\]
т. е. $\Re_{\lambda}$ состояло из линейных комбинаций всех $\varphi_{\rho}$ с $\lambda_{\rho} \leqq \lambda_{0}$ или из всех решений уравнения $A f=\lambda f$ с $\lambda \leqq \lambda_{0}$. Соответственно разумеется, в неточном и эвристическом смысле! – можно ожидать, что теперь $E\left(\lambda_{0}\right)=P_{\mathfrak{\vartheta}_{\lambda_{0}}}$, где $\mathfrak{N}_{\lambda_{0}}$ состоит из тех $f$, которые не равны нулю только для $q_{j} \leqq \lambda_{0}$. $\mathfrak{R}_{\infty}-\mathfrak{N}_{\lambda_{0}}$ состоит тогда, очевидно, из тех $f$, которые для $q_{j} \leqq \lambda_{0}$ всегда равны нулю, следовательно,
\[
E\left(\lambda_{0}\right) f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}
f\left(q_{1}, \ldots, q_{l}\right) & \text { для } & q_{j} \leqq \lambda_{0}, \\
0 & \text { для } & q_{j}>\lambda_{0} .
\end{array}\right.
\]

Значит, мы нашли совершенно нестрогим образом семейство проекционных операторов $E(\lambda)$, от которых можно ждать, что они удовлетворяют требованиям $\overline{\boldsymbol{S}}_{\mathbf{1}}-\overline{\boldsymbol{S}}_{3}$. для нашего $A$. В действительности $\overline{\boldsymbol{S}}_{1}$. и $\overline{\boldsymbol{S}}_{2}$. удовлетворяются тривиально, а в $\overline{\boldsymbol{S}}_{1}$. даже случай $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$ без условия $\lambda \geq \lambda_{0}$, т. е. $E(\lambda)$ непрерывна как функция $\lambda$ повсюду. Чтобы убедиться в том, что $\overline{\boldsymbol{S}}_{3}$. тоже удовлетворяется, достаточно доказать справедливость уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\|E(\lambda) f\|^{2}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\left(\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\lambda} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{j}, \ldots, q_{l}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{j} \ldots d q_{l}\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d \lambda\left(\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, \lambda, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right)\right|^{2} \times\right. \\
\left.\quad \times d q_{1} \ldots d q_{j-1} d q_{j+1} \ldots d q_{l}\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} q_{j}^{2}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, q_{j}, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right)\right|^{2} \times \\
\times d q_{1} \ldots d q_{j-1} d q_{j} d q_{j+1} \ldots d q_{l}=\|A f\|^{2},
\end{array}
\]
7*
[гЛ. II
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d\left(\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\lambda} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f\left(q_{1}, \ldots, q_{j}, \ldots, q_{l}\right) \overline{g\left(q_{1}, \ldots, q_{j}, \ldots, q_{l}\right)} \times\right. \\
\left.\times d q_{1} \ldots d q_{j} \ldots d q_{l}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d \lambda\left(\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, \lambda, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right) \times\right. \\
\left.\times \overline{g\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, \lambda, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right)} d q_{1} \ldots d q_{j-1} d q_{j+1} \ldots d q_{l}\right)= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} q_{j} f\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, q_{j}, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right) \times \\
\times \overline{g\left(q_{1}, \ldots, q_{j-1}, q_{j}, q_{j+1}, \ldots, q_{l}\right)} d q_{1} \ldots d q_{j-1} d q_{j} d q_{j+1} \ldots d q_{l}=(A f, g) .
\end{array}
\]

Мы снова, таким образом, убеждаемся, что старая формулировка проблемы собственных значений – формулировка для точечного спектра здесь не пригодна, поскольку $E(\lambda)$ непрерывно возрастает повсюду.

Этот пример указывает нам и в общем случае путь, на котором можно найти $E(\lambda)$ и для непрерывного спектра: мы можем определить (некорректным образом!) решения уравнения $A f=\lambda f$ (поскольку $\lambda$ лежит в непрерывном спектре, эти $f$ даже не принадлежат к $\mathfrak{R}_{\infty}$ !) и образовать их линейные комбинации для всех $\lambda \leqq \lambda_{0}$. Они уже будут частично принадлежать $\Re_{\infty}$ и, возможно, образуют замкнутое линеиное многообразие $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}$. Тогда можно положить $E\left(\lambda_{0}\right)=P_{\Re_{\lambda_{0}}}$, и если мы правильно выберем его, то может удастся доказать выполнение $\overline{\boldsymbol{S}_{1}}$. $\overline{\boldsymbol{S}_{3}}$. (для $A$ и этих $E(\lambda)$ ), и тем самым post factum преобразовать эвристические аргументы в точные ${ }^{85}$ ).

В качестве второго примера мы хотим рассмотреть другой важный оператор волновой механики $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{j}}$. Чтобы избежать ненужных усложнении, положим $l=j=1$ (так же точно рассматриваются и другие случаи). Итак, мы должны рассмотреть оператор
\[
A^{\prime} f(q)=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q} f(q) .
\]

Если область изменения $q$ есть $-\infty<q<+\infty$, то это эрмитов оператор, как мы убедились в II. 5. С другой стороны, при конеч-
85) Точную формулировку этой идеи (которую мы здесь рассматриваем только как эвристическое утверждение) можно найти в статьях Hellinger’a, J. f. Math. Bd. 136 (1909) и Weyl’я, Math. Ann. Bd. 68 (1910) ).
ной области $a \leqq q \leqq b$ это не так:
\[
\begin{array}{c}
\left(A^{\prime} f, g\right)-\left(f, A^{\prime} g\right)=\int_{a}^{b} \frac{h}{2 \pi i} f^{\prime}(q) \overline{g(q)} d q-\int_{a}^{b} f(q) \overline{\frac{h}{2 \pi i} g^{\prime}(q)} d q= \\
=\frac{h}{2 \pi i} \int_{a}^{b}\left\{f^{\prime}(q) g(q)+f(q) \overline{g^{\prime}(q)}\right\} d q=\frac{h}{2 \pi i}[f(q) \overline{g(q)}]_{a}^{b}= \\
=\frac{h}{2 \pi i}[f(b) \overline{g(b)}-f(a) \overline{g(a)}] .
\end{array}
\]

Чтобы это выражение исчезало, область определения $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}$ должна быть ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из нее $f$ и $g$ было бы $f(a) \overline{g(a)}=f(b) \overline{g(b)}$, т. е. $f(a): f(b)=\overline{g(b)}: \overline{g(a)}$. Если мы будем теперь менять $f$ при фиксированном $g$, то увидим, что $f(a): f(b)$ должно быть одним и тем же числом $\theta$ во всен области ( $\theta$ может также быть 0 или $\infty$ ); тогда замена $f$ на $g$ приводит к $G=\frac{1}{\bar{\theta}}$, т. е. $|\theta|=1$. Значит, для того чтобы $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}$ был эрмитовыи оператором, мы должны постулировать «граничное условие» вида
\[
f(a): f(b)=0
\]
(где $\theta$-любое фиксированное число абсолютной величины 1).
Сначала мы возьмем интервал $-\infty<q<\infty$. Решениями уравнения $A \varphi=\lambda \varphi$, т. е. $\frac{h}{2 \pi i} \varphi^{\prime}(q)=\lambda \varphi(q)$ будут тогда функции
\[
\varphi(q)=c e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q} .
\]

Однако они непосредственно не могут быть использованы для наших нужд, потому что $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q=\int_{-\infty}^{\infty}|c|^{2} d q=+\infty$ (если только не имеет места $c=0, \varphi \equiv 0$ ). Заметим, что в первом примере мы нашли решение $\delta(q-\lambda)$, т. е. фиктивную несуществующую функцию (ср. прим. $\left.{ }^{84}\right)$ ). Теперь мы нашли $e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q}$, т. е. вполне добропорядочную функцию, которая, однако, не принадлежит к $\mathfrak{R}_{\infty}$ вследствие бесконечности интеграла от квадрата ее модуля. С нашей точки зрения оба эти факта значат одно и то же, ибо то, что не принадлежит $\mathfrak{R}_{\infty}$, для нас не существует ${ }^{86}$ ).
${ }^{86}$ ) Конечно, только успех в физических приложениях может оправдать эту точку зрения и ее использование в квантовой механике.
Как и в первом случае, образуем теперь линейные комбинации решений с $\lambda \leqq \lambda_{0}$, т. е. функции
\[
f(q)=\int_{-\infty}^{\lambda_{0}} c(\lambda) e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q} d \lambda .
\]

Нам надо надеяться, что среди них встретятся функции из $\Re_{\infty}$, что оные образуют замкнутое линенное многообразие $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}^{\prime}$ и, наконец, что проекционные операторы $E\left(\lambda_{0}\right)=P_{\mathfrak{\eta}_{\lambda_{0}}}$ образуют принадлежащее оператору $A^{\prime}$ разложение единицы. Мы получим подтверждающий первое предположение пример, полагая, скажем,
\[
\begin{array}{l}
c(\lambda)=\left\{\left.\begin{array}{lll}
1, & \text { для } & \lambda \geqq \lambda_{1} \\
0, & \text { для } & \lambda<\lambda_{1}
\end{array} \right\rvert\, \lambda_{1}<\lambda_{0},\right. \\
f(q)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{0}} e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q} d \lambda=\frac{e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{0} q}-e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{1} q}}{\frac{2 \pi i}{h} q}, \\
\end{array}
\]

потому что эта $f(q)$ регулярна при всех конечных значениях аргумента и убывает как $1 / q$ при $q \rightarrow \pm \infty$, так что $\int_{-\infty}^{\infty}|f(q)|^{2} d q$ конечен. Но и другие предположения также оказываются выполненными, как то действительно следует из теории интегралов фурье. В самом деле, эта теория утверждает следующее ${ }^{87}$ ):

Пусть $f(x)$-любая функция с конечным $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2} d x$. Тогда может быть образована функция
\[
L f(x)=F(y) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i x y} f(x) d x .
\]

для которой интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}|F(y)|^{2} d y$ также конечен и именно равен $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2} d x$. Более того, $\operatorname{LLf}(x)=f(-x)$. (Это так называемое преобразование Лапласа, играющее важную роль во всей теории дифференциальных уравнении.)
$\left.{ }^{87}\right)$ Planchere1, Circ. Math. di Pal. 30 (1910); Titchmarsh, Lond. Math. Soc. Proc. 22 (1924).

Если мы заменим $x, y$ на $\sqrt{\frac{2 \pi}{h}} q, \sqrt{\frac{2 \pi}{h}} p$, то получим преобразование
\[
M f(q)=F(p) \equiv \frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{2 \pi i}{h} p q} f(q) d q,
\]

обладающее теми же свойствами. Именно, оно отображает $\Re_{\infty}$ на самое себя $[M f(q)=g(p)$ разрешимо для всякого $g(p)$ из $\left.\Re_{\infty}: f(q)=M g(-p)\right]$, оставляет $\|f\|$ инвариантной и линеино. Согласно II. 5 этот оператор $M$ унитарен. Кроме того, $M^{2} f(q)=$ $=f(-q)$ и, значит, $M^{-1} f(q)=M^{*} f(q)=M f(-q)$, так что $M$ коммутирует с $M^{2}$, т. е. с операцией $f(q) \rightarrow f(-q)$.

Далее, то, что мы имели в виду относительно $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}^{\prime}$, состояло в следующем: $f(q)$ принадлежит к $\mathfrak{\Omega}_{\lambda_{0}}^{\prime}$, если $F(p)=M^{-1} f(q)$ равно нулю для всех $p>\lambda_{0}$. (Здесь
\[
F(p)=\sqrt{h} c(p)
\]

с $c(\lambda)$, определенным выне.) Но эти $F(p)$, как мы знаем, образуют замкнутое линеиное многообразие $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}$. Следовательно, и отображение $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}^{\prime}$ этого $\mathfrak{N}_{\lambda_{0}}$, полученное с помощью $M$, есть также замкнутое линеиное многообразие. $E^{\prime}\left(\lambda_{0}\right)$ образуется из $E\left(\lambda_{0}\right)$ совершенно так же, как $\Re_{\lambda_{0}}^{\prime}$ из $\mathfrak{R}_{\lambda_{0}}$ : преобразованием всего $\Re_{\infty}$ при помощи $M$. Значит, $E^{\prime}\left(\lambda_{0}\right)=M E\left(\lambda_{0}\right) M^{-1}$. Тогда $E^{\prime}(\lambda)$ так же, как и $E(\lambda)$, обладает свойствми $\bar{S}_{1}$., $\bar{S}_{2}$.. Остается еще доказать $\bar{S}_{3}$., т. е. то, что разложение единицы $E(\lambda)$ принадлежит к $A^{\prime}$.

При этом мы ограничимся тем, что покажем следующее: Если $f(q)$ дифференцируема без особых трудностей в смысле сходимости и интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{h}{2 \pi i} f^{\prime}(q)\right|^{2} d q$ конечен, то и интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\|E(\lambda) f\|^{2}$ также конечен и $\left.\left(A^{\prime} f, g\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d\left(E^{\prime}(\lambda) f, g\right)^{88}\right)$.
88) То есть $E^{\prime}(\lambda)$ принадлежит не самому $A^{\prime}=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}$, но оператору, область определения которого включает в себя область определения $A^{\prime}$ и совпадает с $A^{\prime}$ в этой области. В развитие этого замечания см. II. 9 .
В самом деле, $\left[M^{-1} f(q)=F(p)\right]$ :
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime} f(q)=\frac{h}{2 \pi i} f^{\prime}(q)=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}(M F(p))= \\
=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{1}{\sqrt{h}} \int F(p) e^{\frac{2 \pi i}{h} p q} d p\right)=\frac{\sqrt{h}}{2 \pi i} \int F(p) \frac{\partial}{\partial q}\left(e^{\frac{2 \pi l}{h} p q}\right) d p= \\
=\frac{1}{\sqrt{h}} \int F(p) \cdot p \cdot e^{\frac{2 \pi i}{h} p q} d p=M(p F(p)) .
\end{array}
\]

Следовательно, для упоминавшихся $f, A^{\prime}=M A M^{-1}$ ( $A$ оператор $q \ldots$, или, поскольку мы пользуемся здесь переменной $p$, то $p .$. ). Поскольку сделанные выше утверждения выполняются для $A, E(\lambda)$, то они справедливы и после преобразования $\Re_{\infty}$ с помощью $M$. Следовательно, они выполняются также и для $A^{\prime}=M A M^{-1}$ и $E^{\prime}(\lambda)=M E(\lambda) M^{-1}$. Существенно иначе обстоит дело для $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}$ в интервале $a \leqq q \leqq b$ ( $a<b, a$ и $b$ конечны), когда, как мы выяснили, для сохранения эрмитовости оператора необходимо также граничное условие
\[
f(a): f(b)=\theta \quad(|\theta|=1) .
\]

Уравнение $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q} f(q)=\lambda f(q)$ опять решается функцией
\[
f(q)=c e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q},
\]

но теперь интеграл
\[
\int_{a}^{b}|f(q)|^{2} d q=\int_{a}^{b}|c|^{2} d q=(b-a)|c|^{2}
\]

конечен, так что $f(q)$ всегда принадлежит к $\Re_{\infty}$. С другой стороны, должно быть удовлетворено граничное условие
\[
f(a): f(b)=e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda(a-b)}=0
\]

или, если мы положим $\theta=e^{-i \alpha}(0 \leqq \alpha \leqq 2 \pi)$,
\[
\begin{array}{c}
\frac{2 \pi i}{h} \lambda(a-b)=-l \alpha-2 k \pi i \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots), \\
\lambda=\frac{h}{b-a}\left(\frac{\alpha}{2 \pi}+k\right) .
\end{array}
\]
Следовательно, мы имеем гискретный спектр и нормированное решение определяется теперь условием $(b-a)|c|^{2}=1$, т. е., например, $c=\frac{1}{\sqrt{a-b}}$ и
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{k}(q)=\frac{1}{\sqrt{b-a}} e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q}=\frac{1}{\sqrt{b-a}} e^{\frac{2 \pi i}{b-a}\left(\frac{\alpha}{2 \pi}+k\right) q} \\
(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) .
\end{array}
\]

Таким образом, это ортонормированная система, но она также и полна. В самом деле, если $f(q)$ ортогональна ко всем $\varphi_{k}(q)$, то $e^{\frac{a i}{b-a} q} f(q)$ ортогональна ко всем $e^{\frac{2 \pi i}{b-a} k q}$ и, значит, $e^{\frac{\alpha i}{2 \pi} x} f\left(\frac{b-a}{2 \pi} x\right)$ ортогональна ко всем $e^{i k x}$, т. е. к $1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \ldots$ Кроме того, она определена в интервале
\[
a \leqq \frac{b-a}{2 \pi} x \leqq b,
\]

длина которого равна $2 \pi$, так что она должна, согласно известным теоремам, обращаться в нуль ${ }^{89}$ ). Следовательно, $f(q)=0$.

Итак, мы имеем здесь дело с чисто дискретным спектром – случай, подробно обсуждавшийся в начале этого раздела. Следует обратить внимание на то, как «граничное условие», т. е. $\theta$ или $\alpha$, оказывает влияние на собственные значения и собственные функции.

В заключение мы можем рассмотреть случай полуограниченного интервала, скажем, $0 \leqq q<+\infty$. Прежде всего мы опять должны убедиться в эрмитовости оператора. Имеем
\[
\begin{aligned}
\left(A^{\prime} f, g\right)-\left(f, A^{\prime} g\right)=\frac{h}{2 \pi i} \int_{0}^{\infty}\left(f^{\prime}(q) \overline{g(q)}+f(q) \overline{g^{\prime}(q)} d q=\right. \\
=\frac{h}{2 \pi i}[f(q) \overline{g(q)}]_{0}^{\infty} .
\end{aligned}
\]

Что $f(q) g \overline{(q)}$ стремится к нулю при $q \rightarrow+\infty$, показывается так же, как это делалось в II. 5 в случае бесконечного (в обе стороны) интервала. Следовательно, требование должно состоять в том, что $f(0) \overline{g(0)}=0$. Если мы положим $f=g$, то увидим, что «граничное условие» есть $f(0)=0$. В этом случае обнаруживаются серьезные трудности. Решения уравнения $A^{\prime} \varphi=\lambda_{p}$ те же самые, что и при интервале $-\infty<q<+\infty$, именно $c e^{\frac{2 \pi i}{h} \lambda q}$; они не принадлежат к $\mathfrak{R}_{\infty}$
89) Все коэффициенты Фурье исчезают, следовательно, сама функция должна обращаться в нуль (см., например, книгу Куранта и Гильберта, цитированную в прим. ${ }^{30}$ ), стр. 25).
и не удовлетворяют граничному условию. Последнее подозрительно. Но еще удивительнее, что, следуя намеченному выше приему, мы должны были бы достичь того же $E(\lambda)$, что и для интервала $-\infty<q<+\infty$, поскольку (несобственные, т. е. не принадлежащие к $\mathfrak{R}_{\infty}$ ) решения – те же самые. Как примирить это с тем, что сам оператор другой? K тому же это не то, что нам нужно, так как, если мы опять определим в гильбертовом пространстве $F_{9}$ функций $f(q)\left(0 \leqq q<+\infty, \int_{0}^{\infty}|f(q)|^{2} d q\right.$ конечен $)$ операторы $M$ и $M^{-1}$ :
\[
\begin{aligned}
M f(q) & =F(p)=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{0}^{\infty} e^{\frac{2 \pi i}{h} p q} f(q) d q \\
M^{-1} F(p) & =f(q)=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi l}{h} p q} F(p) d p(\approx M F(-p)),
\end{aligned}
\]

то $M$ отображает гильбертово пространство $F_{Q^{\prime}}$ всех $f(q)$,
\[
0 \leqq q<\infty, \quad \int_{0}^{\infty}|f(q)|^{2} d q
\]

на другое гильбертово пространство: пространство $F_{\Omega^{\prime \prime}}$ всех $F(p)$,
\[
-\infty \leqq p<\infty, \quad \int_{0}^{\infty}|F(p)|^{2} d p
\]

В то время как, естественно, все еще выполняется $\|M f(q)\|=\|f(q)\|$ (это следует из ранее упоминавшихся теорем, если положить в них $f(q)=0$ для $-\infty<q<0),\left\|M^{-1} F(p)\right\|=\|F(p)\|$, вообще говоря, не имеет места, поскольку, в силу упоминавшихся теорем, если мы определим $f(q)$ и для $q<0$ формулой $f(q)=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi i}{h} p q} F(p) d p$, то
\[
\begin{aligned}
\|F\|^{2} & =\int_{-\infty}^{\infty}|F(p)|^{2} d p=\int_{-\infty}^{\infty}|f(q)|^{2} d q \\
\left\|M^{-1} F\right\|^{2} & =\|f\|^{2}=\int_{0}^{\infty}|f(q)|^{2} d q
\end{aligned}
\]
– и, следовательно, $\left\|M^{-1} F\right\|<\|F\|$, если только случайно $f(q)$ (в той форме, как нам ее только что пришлось определить) не исчезнет для всех $q<0$. Следовательно, $E^{\prime}(\lambda)=M E(\lambda) M^{-1}$ – это совсем не разложение единицы ${ }^{90}$ ), т. е. наш метод отказывает.

Мы скоро увидим (в прим. 105), стр. 128), что это лежит в самой природе вещей, поскольку этому операгору вообще не принадлежит никакого разложения единицы.

Прежде чем закончить эти ориентирующие рассуждения, приведем несколько формальных правил вычислений с операторами, представленными в символической форме
\[
A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E(\lambda)
\]

с помощью их разложения единицы.
Во-первых, пусть $F$ будет проекционным оператором, коммутирующим со всеми $E(\lambda)$. Тогда для всех $\lambda^{\prime}<\lambda^{\prime \prime}$,
\[
\begin{aligned}
\left\|E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) F f-E\left(\lambda^{\prime}\right) F f\right\|^{2} & =\left\|\left(E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)\right) F f\right\|^{2}= \\
& =\left\|F\left(E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)\right) f\right\|^{2} \leqq\left\|\left(E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)\right) f\right\|^{2},
\end{aligned}
\]

следовательно, поскольку $E\left(\lambda^{\prime \prime}\right), E\left(\lambda^{\prime}\right), E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E(\lambda)$, так же как и
\[
E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) F, \quad E\left(\lambda^{\prime}\right) F, \quad E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) F-E\left(\lambda^{\prime}\right) F=\left(E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)\right) F,
\]

суть проекционные операторы, то
\[
\left\|E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) F f\right\|^{2}-\left\|E\left(\lambda^{\prime}\right) F f\right\|^{2} \leqq\left\|E\left(\lambda^{\prime \prime}\right) f\right\|^{2}-\left\|E\left(\lambda^{\prime}\right) f\right\|^{2} .
\]

Следовательно, $\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\|E(\lambda) f\|^{2} \geqq \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\|E(\lambda) F f\|^{2}$. Тогда, по $\overline{s_{3}}$,
90) Правда, в действительности верно, что $M^{-1} M f(q)=f(q)$ (достаточно определить $f(q)=0$ при $q<0$ и воспользоваться предыдущими теоремами), но не всегда должно выполняться $M M^{-1} F(p)=F(p)$, потому что, вообще говоря, $\left\|M^{-1} F\right\|<\|F\|$ и, значит, $\left\|M M^{-1} F\right\|<\|F\|$. Следовательно, $M^{-1} M=1$, а $M M^{-1}
eq 1$, т. е. $M^{-1}$ не есть истинный обратный элемент $M$. (Не может существовать и никакого другого обратного элемента, так как если бы он был, то, поскольку $M^{-1} M=1$, он должен был бы быть равен нашему $M^{-1}$.) Как следствие этого дия $E^{\prime}(\lambda)=M E(\lambda) M^{-1}$, например, заключение $E^{\prime 2}(\lambda)=E^{\prime}(\lambda)$ еще может быть сделано (поскольку сюда входит лишь $M^{-1} M$ ), однако $E^{\prime}(\lambda) \rightarrow M M^{-1}
eq 1$ (при $\lambda \rightarrow \infty$ ).

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0109.jpg.txt$A F f$ имеет смысл, если имеет смысл $A f$. Далее, тогда
\[
\left.A F=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) F)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(F E(\lambda))=F A,{ }^{91}\right)
\]
т. е. $A$ и $F$ тоже коммутируют. В частности, мы можем выбрать любой $E(\lambda)$ в качестве $F$ (согласно $\overline{\boldsymbol{S}_{2}}$.). Тогда
\[
\begin{aligned}
A E(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{\prime} d\left(E\left(\lambda^{\prime}\right) E(\lambda)\right)= & \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{\prime} d\left(E\left(\operatorname{Min}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right)\right)= \\
& =\int_{-\infty}^{\lambda}+\int_{\lambda}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\lambda} \lambda^{\prime} d E\left(\lambda^{\prime}\right)+\int_{k}^{\infty} \lambda^{\prime} d E(\lambda),
\end{aligned}
\]

и поскольку $\int_{\lambda}^{\infty}=0$ (так как функция, стоящая под знаком дифференциала есть константа), то
\[
A E(\lambda)=E(\lambda) A=\int_{-\infty}^{\lambda} \lambda^{\prime} d E\left(\lambda^{\prime}\right) .
\]

Вдобавок отсюда следует, что
\[
\left.A^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d(E(\lambda) A)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d\left(\int_{-\infty}^{\lambda} \lambda^{\prime} d E\left(\lambda^{\prime}\right)\right)=\text { прим. }{ }^{92}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d E(\lambda) .
\]
91) Собственно это следовало бы токазать не символически при помощи строгого уравнения
\[
(A f, g)=\int \lambda d(E(\lambda) f, g)
\]

Тогда преобразования выглядят так:
\[
\begin{aligned}
(A F f, g)=\int \lambda d(E(\lambda) F f, g)= & \int \lambda d(F E(\lambda) f, g)= \\
& =\int \lambda d(E(\lambda) f, F g)=(A f, F g)=(F A f, g) .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует, что $A F=F A$.
${ }_{92}$ ) Это следует из уравнения
\[
\int f(\lambda) d\left(\int^{\lambda} g\left(\lambda^{\prime}\right) d h\left(\lambda^{\prime}\right)\right)=\int f(\lambda) g(\lambda) d h(\lambda),
\]

всегда справедливого гля интеграла Стильтьеса. Это уравнение ясно без дальнейшего обсуждения в силу обратного характера операций $d$ и $\int^{\lambda}$. Тогное доказательство было дано автором: Annals of Mathematics 32 (1931).
Вообще, мы имеем
\[
A^{n}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n} d E(\lambda)
\]

поскольку мы можем по индукции переходить от $n-1$ к $n$ :
\[
\begin{array}{l}
A^{n}=A^{n-1} A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n-1} d(E(\lambda) A)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n-1} d\left(\int_{-\infty}^{\lambda} \lambda^{\prime} d E\left(\lambda^{\prime}\right)\right)= \\
\left.=\text { прим. }{ }^{\varsigma 2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n-1} \cdot \lambda d E(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n} d E(\lambda) .
\end{array}
\]

Тогда, если $p(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n} x^{n}$ есть некоторый полином, то
\[
p(A)=\int_{-\infty}^{\infty} p(\lambda) d E(\lambda)
\]
(под $p(A)$ мы понимаем, конечно,
\[
p(A)=a_{0} 1+a_{1} A+\ldots+a_{n} A^{n},
\]
$\int_{-\infty}^{\infty} d E(\lambda)=1$ следует из $\left.\overline{S_{1}}\right)$.
Далее установим следующее: если $r(\lambda), s(\lambda)$ – две любые функции, и если мы определяем два оператора $B, C$ (символически) формулами
\[
\left.B=\int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) d E(\lambda), \quad C=\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) d E(\lambda)^{93}\right),
\]

то следует, что
\[
B C=\int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) s(\lambda) d E(\lambda)
\]
93) Это значит
\[
(B f, g)=\int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) d(E(\lambda) f, g), \quad(C f, g)=\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) d(E(\lambda) f, g) .
\]
Доказательство мы проведем в точности так же, как в специальном случае $B=C=A$ :
\[
\begin{aligned}
B E(\lambda) & =\int_{-\infty}^{\infty} r\left(\lambda^{\prime}\right) d\left(E\left(\lambda^{\prime}\right) E(\lambda)\right)=\int_{-\infty}^{\infty} r\left(\lambda^{\prime}\right) d\left(E\left(\operatorname{Min}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right)\right)= \\
& =\int_{-\infty}^{\lambda}+\int_{\lambda}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\lambda} r\left(\lambda^{\prime}\right) d E\left(\lambda^{\prime}\right)+\int_{\lambda}^{\infty} r\left(\lambda^{\prime}\right) d E(\lambda)=\int_{\infty}^{\lambda} r\left(\lambda^{\prime}\right) d E\left(\lambda^{\prime}\right), \\
C B & =\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) d(B E(\lambda))=\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) d\left(\int_{-\infty}^{\lambda} r\left(\lambda^{\prime}\right) d E\left(\lambda^{\prime}\right)\right)= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) r(\lambda) d E(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} s(\lambda) r(\lambda) d E(\lambda) .
\end{aligned}
\]

Могут быть легко установлены также следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
B^{*}=\int_{-\infty}^{\infty} \overline{r(\lambda)} d E(\lambda), \quad a B=\int_{-\infty}^{\infty} a r(\lambda) d E(\lambda), \\
B \pm C=\int_{-\infty}^{\infty}(r(\lambda) \pm s(\lambda)) d E(\lambda) .
\end{array}
\]

Значит, не существует никаких формальных возражений против тогo, чтобы писать $B \leftrightharpoons r(A)$ для таких функций $\left.r(\lambda)^{94}\right)$. В частности, замечательны следующие (разрывные!) функции: $e_{\lambda}\left(\lambda^{\prime}\right)=\left\{\left.\begin{array}{ccc}1 & \text { для } & \lambda^{\prime} \leqq \lambda, \\ 0 & \text { для } & \lambda^{\prime}>\lambda .\end{array} \right\rvert\,\right.$ Имеем для них, согласно $\overline{\boldsymbol{s}_{1} .}$,
\[
e_{\lambda}(A)=\int_{-\infty}^{\infty} e_{\lambda}\left(\lambda^{\prime}\right) d E(\lambda)=\int_{-\infty}^{\lambda} d E\left(\lambda^{\prime}\right)=E(\lambda) .
\]
(В начале этого раздела мы обсуждали оператор $A=q_{j} \ldots$. Его $E(\lambda)$ было умножением на 1 или на 0 соответственно для $q \leqq \lambda$ или $q>\lambda$, т. е. умножением на $e_{\lambda}(q)$. Поэтому $e_{\lambda}\left(q_{j} \ldots\right)=e_{\lambda}\left(q_{j}\right) \ldots$ Этот пример очень хорош для того, чтобы дать интуитивное представление о введенной выше концепции.)
94) Точное обоснование этого понятия функции дано автором в Annals of Math. 32 (1931). F. Riesz первый определял общие операторные функции с помощью предельного процесса, примененного к полиномам.