Эта $H$ и есть гамильтонова функция.) В обеих теориях мы хотели бы теперь узнать, исходя из этой гамильтоновой функции, возможно больше об истинном, т. е. квантовом, поведении этой системы ${ }^{11}$ ) прежде всего определить возможные энергетические уровни, затем найти относящиеся к ним «стационарные состояния», посчитать «вероятности переходов» между ними и т. д. ${ }^{12}$ ).

Наставление, предлагаемое для решения этой задачи матричной теориен, состоит в следующем: надо найти систему $2 k$ матриц $Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}{ }^{13}$ ), которые, во-первых, удовлетворяют условиям
11) Движение по классической механике, как известно, полностью определяется гамильтоновой функцией, поскольку она дает нам уравнения движения
\[
\dot{q}_{l}=\frac{\partial H}{\partial p_{l}}, \quad \dot{p}_{l}=-\frac{\partial H}{\partial q_{l}} \quad(l=1, \ldots, k) .
\]

До открытия квантовой механики пытались схватить квантовые явления, сохранив эти уравнения двнжения и лишь налагая дополнительные квантовые условия (ср. прим. ${ }^{6}$ ) на стр. 13). Уравнения движения определяли для каждого, заданного в момент $t=0$, набора значений $q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}$ дальнейше развитие со временем, «орбиту» системы в $2 k$-мерном «фазовом пространстве» $q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}$. Поэтому всякое дополнительное условие оказывается приводящим к ограничению всех возможных начальных значений (орбит) определенной подсистемой. (Соответственно малому числу допустимых орбит будут возможны лишь некоторые уровни энергии.) Хотя квантовая механика и порвала полностью с этим приемом, все-таки а priori ясно, что функция Гамильтона должна и в ней играть большую роль. В самом деле, весь наш опыт доказывает справедливость боровского принципа соответствия, который утверждает, что квантовая теория должна давать те же результаты, что и классическая механика в так называемом пределе больших квантовых чисел.
12) Три последних понятия заимствованы из доквантовомеханического, развитого преимущественно Бором, круга идей теории квант. Позже мы еще детально проанализируем их с точки зрения квантовой механики (ср. относящуюся сюда диракову теорию излучения, изложенную в III.6). Их историческое развитие можно проследить по работам Бора относительно структуры атома, опубликованным с 1913 по 1916 г.
${ }^{13}$ ) Как показывает более детальный математический анализ, эта задача необходимо приводит к бесконечным матрицам. Мы не будем здесь входить в детали свойств этих матриц, поскольку они будут рассмотрены позже во всей подробности. Пока достаточно знать, что формальные алгебраические операции с этими матрицами следует понимать в смысле известных правил матричного сложения и умножения. В частности, под 0 и 1 мы понимаем нулевую и единичную матрицы (со всеми элементами, тождественно равными нулю, и с элементами, равными единице на главной диагонали, и остальными нулевыми соответственно).
$\left[\begin{array}{ll}{[л .} & 1\end{array}\right.$
и для которых, во-вторых, матрица
\[
W=H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)
\]

становится диагональной.
Мы не будем здесь входить в детали происхождения этих уравнений, в особенности первой группы – так называемых «правил коммутации», которые определяют все некоммутативное матричное исчисление в этой теории. Читатель найдет исчерпывающее изложение этого предмета в работах, цитированных в прим. ${ }^{1}$ ) (стр. 9). Величина $h$ – это планковский квант действия. Диагональные элементы $W$, пусть $w_{1}, w_{2}, \ldots$, будут тогда различными возможными уровнями энергии системы. Элементы матриц $Q_{1}, \ldots, Q_{k}-q_{m n}^{(1)}, \ldots, q_{m n}^{(k)}$ известным образом определяют вероятности перехода системы (из состояния $m$ с энергией $w_{m}$ в состояние $n$ с энергией $w_{n}, w_{m}>w_{n}$ ) и испускаемое при этом излучение.
Вдобавок следует заметить, что матрица
\[
W=H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)
\]

не определяется полностью набором $Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}$ и гамильтоновой функцией $H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ классической механики, поскольку $Q_{l}$ и $P_{l}$ не коммутируют между собой (при умножении), в то время как в случае классической механики было бы совершенно бессмысленным различать между, скажем, $p_{1} q_{1}$ и $q_{1} p_{1}$ в $H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$. Поэтому надо еще установить в $H$ порядок множителей $q_{t}$ и $p_{t}$ в дополнение к классическому смыслу этого выражения в отдельных членах. В общем эта процедура не проведена, но для важнейших частных случаев известны целесообразные нормировки. (В простейшем случае, когда рассматриваемая система состоит из $v$ частиц и, следовательно, имеет $k=3$ г координат $q_{1}, \ldots, q_{3
u}$, – скажем так, что $q_{3 \mu-2}, q_{3 \mu-1}, q_{3 \mu}$ суть три декартовых координаты $\mu$-й частицы, $\mu=1, \ldots,
u$, 一 которых взаимодействие этих частиц определяется потенциальной энергией $V\left(q_{1}, \ldots, q_{3
u}\right)$, вообще не возникает неоднозначностей такого рода. Классической функцией Гамильтона будет тогда
\[
\begin{array}{l}
H\left(q_{1}, \ldots, q_{3
u}, p_{1}, \ldots, p_{3 v}\right)= \\
=\sum_{\mu=1}^{
u} \frac{1}{2 m_{\mu}}\left(p_{3 \mu-2}^{2}+p_{3 \mu-1}^{2}+p_{3 \mu}^{2}\right)+V\left(q_{1}, \ldots, q_{3
u}\right),
\end{array}
\]

где $m_{\mu}$ – масса $\mu$-н частицы, а $p_{3 \mu-2}, p_{3 \mu-1}, p_{3 \mu}$-компоненты ее импульса. Что будет означать это после подстановки матриц $Q_{1}, \ldots, Q_{3 v}$, $P_{1}, \ldots, P_{3 v}$, совершенно ясно. В частности, не возникает никаких затруднений с потенциальной энергией, поскольку все $Q_{1}, \ldots, Q_{3 \text { v }}$ между собою коммутируют.) Существенно, что дозволвны только
эрмитовы матрицы, т. е. такие матрицы $A=\left\{a_{m n}\right\}$, для которых тождественно выполняется $a_{m n}=\bar{a}_{n m}$ (элементы $a_{m n}$ могут быть комплексными!). Отсюда $H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)$ должна быть эрмитовои, если эрмитовы все $Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}$, что вносит определенное ограничение в упомянутую задачу определения правильного порядка сомножителей, ни в коей мере недостаточное, однако, чтобы однозначно определить $H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)$ по классической функции $\left.H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)^{14}\right)$.

Напротив, наставление волновой иеханики гласит следующее: сперва надо образовать гамильтонову функцию $H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$, а затем составить для произвольной функции $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ в конфигурационном пространстве системы (а не в фазовом пространстве, т. е. $p_{1}, \ldots, p_{k}$ не входят в $\psi$ ) дифференциальное уравнение
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\dot{\delta} q_{k}}\right) \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\lambda \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) .
\]

При этом
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{i}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right)
\]

надо понимать в само собой разумеющемся смысле как функциональный оператор. Например, в указанном выше случае
\[
\begin{array}{l}
H\left(q_{1}, \ldots, q_{3 v}, p_{1}, \ldots, p_{3 v}\right)= \\
=\sum_{\mu=1}^{
u} \frac{1}{2 m_{\mu}}\left(p_{3 \mu-2}^{2}+p_{3 \mu-1}^{2}+p_{3 \mu}^{2}\right)+V\left(q_{1}, \ldots, q_{3 v}\right)
\end{array}
\]

переводит функцию $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{3 v}\right)$ в
\[
\sum_{\mu=1}^{
u} \frac{1}{2 m_{\mu}}\left(\frac{h}{2 \pi i}\right)^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial q_{3 \mu-2}^{2}} \psi+\frac{\partial^{2}}{\partial q_{3 \mu-1}^{2}} \psi+\frac{\partial^{2}}{\partial q_{3 \mu}^{2}} \psi\right)+V \psi
\]
${ }^{14}$ ) Если матрицы $Q_{1}, P_{1}$ – эрмитовы, то ни $Q_{1} P_{1}$ ни $P_{1} Q_{1}$ не обязаны быть такими, но зато всегда эрмитова $\frac{1}{2}\left(Q_{1} P_{1}+P_{1} Q_{1}\right)$. Но уже в случае $Q_{1}^{2} P_{1}$ начинают конкурировать как $\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2} P_{1}+P_{1} Q_{1}^{2}\right)$, так и $Q_{1} P_{1} Q_{1}$ (правда, если $P_{1} Q_{1}-Q_{1} P_{1}=\frac{h}{2 \pi i} 1$, то эти два выражения совпадают), в случае $Q_{1}^{2} P_{1}^{2}$ – три выражения $\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2} P_{1}^{2}+P_{1}^{2} Q_{1}^{2}\right), Q_{1} P_{1}^{2} Q_{1}$ и $P_{1} Q_{1}^{2} P_{1}$ и т. д. (теперь уже не все эти выражения совпадают и в упомянутом частном случае). Мы не будем сейчас вдаваться в это подробнее, поскольку развиваемое далее операторное исчисление позволит много яснее разобраться в этих соотношениях.
2 и. Нейман

[гл. 1
(мы опустили в $V$ и $\psi$ переменные $q_{1}, \ldots, q_{3 v}$ ). Поскольку операция $q_{1} \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}$ отлична от операции ${ }^{15}$ ) $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}} q_{1}$, здесь снова возникает неопределенность, связанная с порядком сомножителей $q_{m}$ и $p_{m}$ в $H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$, однако Шредингер показал, как можно устранить эту неоднозначность путем сведения к определенному вариационному принципу и притом так, чтобы результирующее дифференциальное уравнение оказалось самосопряженным ${ }^{16}$ ). Ну а это дифференциальное уравнение («волновое уравнение») приобретает характер проблемы собственных значении, если интерпретировать $\lambda$ как параметр собственных значении и наложить на собственную функцию $\psi=\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ требования, скажем, исчезновения на краю конфигурационного пространства (пространства координат $q_{1}, \ldots, q_{k}$ ), и, конечно, регулярности и однозначности в нем. По смыслу волновой теории собственные значения $\lambda$ (как в дискретном, так и в непрерывном спектре) ${ }^{17}$ ) представляют собой возможные энергетические уровни. Также и (комплексные) собственные функции, принадлежащие им, связаны с соответствующими (стационарными в смысле Бора) состояниями системы. Так для системы из у электронов ( $k=3$ у см. выше, $e$-заряд электрона) плотность заряда электрона с номером $\mu$, который по Шредингеру надо представить себе «размазанным» по всему пространству $x, y, z\left(=q_{3 \mu-2}, q_{3 \mu-1}, q_{3 \mu}\right)$, измеренная в точке $x, y, z$, задается выражением
\[
\begin{aligned}
e \underbrace{\int \ldots \int}_{3
u-3} \mid \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{3 \mu-3}, x, y, z,\right. & \left.q_{3 \mu+1}, \ldots, q_{3 \mu}\right)\left.\right|^{2} \times \\
& \times d q_{1} \ldots d q_{3 \mu-3} d q_{3 \mu+1} \ldots d q_{3
u} .
\end{aligned}
\]
15) Мы имеем
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(q_{1} \psi\right)=q_{1} \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}} \psi+\frac{h}{2 \pi i} \psi,
\]

тем самым получаем
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}} q_{1}-q_{1} \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}=\frac{h}{2 \pi i} 1,
\]

где 1 есть тождественный (переводящий $\psi$ в себя самое) оператор, т. е. $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}$ и $q_{1}$ удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и матрицы $P_{1}$ и $Q_{1}$.
16) Ср. его первые две статьи в книге, цитированной в прим. 9) (стр. 13), также Ann. Phys. [4] 79 (1926).
${ }^{17}$ ) Ср. первую из упомянутых в прим. ${ }^{16}$ ) работ Шредингера. Точное определение спектра и его частей будет дано позже в $\$$ II. 6 -II. 9.

21 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРСВКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
19
(Чтобы полныи заряд вышел бы равным $e$, функция $\psi$ должна быть нормирована условием
\[
\underbrace{\int \cdots \int}_{3
u}\left|\psi\left(q_{1} \ldots q_{3,}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{3
u}=1 .
\]
[Интегрирование по всем 3v переменнымl] Причем для каждого из $\mu=1, \ldots$ г получается то же уравнение.)

Кроме того, волновая механика может делать высказывания и относительно систем, не находящихся в боровских стационарных состояниях ${ }^{18}$ ), а именно следующим образом:

Если состояние не стационарно, т. е. изменяется со временем, тогда волновая функция $\psi=\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t\right)$ содержит время и меняется согласно дифференциальному уравнению
\[
\begin{aligned}
-H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right) & \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t\right)= \\
& \left.=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t\right)^{19}\right) .
\end{aligned}
\]

Это значит, что для $t=t_{0} \psi$ может быть задана произвольным образом, а затем однозначно определяется для всех $t$. Даже стационарные $\psi$, как можно заключить из сравнения двух шредингеровых дифференциальных уравнений, в действительности зависят от времени, но только для них время входит согласно
\[
\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t\right)=e^{-\frac{2 \pi l}{h} \lambda t} \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; 0\right),
\]
т. е. $t$ появляется только в множителе, равном единице по абсолютной величине и не зависящем от $q_{1}, \ldots, q_{k}$ (т. е. постоянном в конфигурационном пространстве), так что, например, определенное выше распределение плотности заряда не изменяется. (Мы будем вообще предполагать – и обнаружим, что это оправдается в дальнейшем более детальными рассуждениями, – что множитель в $\psi$, равный единице по модулю и постоянный [в конфигурационном пространстве], принципиально ненаблюдаем.)

Поскольку собственные функции первого дифференциального уравнения образуют полную ортогснальную систему ${ }^{20}$ ), мы можем
18) В первоначальном понимании матричной механики (ср. наше изложение выше) не существовало такого общего понятия состояния, для которого стационарные состояния оказываются частным случаем. Только стационарные, сопоставленные собственным значениям энергии, состояния были предметом теории.
19) $H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ может даже явно содержать время $t$. Естественно, что тогда, вообще говоря, не будет вовсе никаких стационарных состояний.
20) Если имеется только дискретный спектр. Ср. II. 6.
2*

[гл. 1
разложить по ним всякую $\psi=\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$. Если $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ суть собственные функции (все опять не зависящие от времени) и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ соответствующие им собственные значения, то разложение имеет вид
\[
\left.\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \psi_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)^{21}\right) .
\]

Если же $\psi$ зависит от времени, то $t$ войдет в коэффициенты $a_{n}$ (напротив, собственные функции $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ не должны здесь, как и всюду далее, зависеть от времени. Таким образом, если $\psi=\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, с которой мы имеем дело, есть в денствительности $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t_{0}\right)$, то, с учетом того, что
\[
\begin{aligned}
\psi & =\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(t) \psi_{n}, \\
H \psi & =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(t) H \psi_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n} a_{n}(t) \psi_{n}
\end{aligned}
\]

и
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \psi=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{h}{2 \pi i} \dot{a}_{n}(t) \psi_{n},
\]

из второго дифференциального уравнения сравнением коэффициентов получим
\[
\frac{h}{2 \pi i} \dot{a}_{n}(t)=-\lambda_{n} a_{n}(t), \quad a_{n}(t)=c_{n} e^{-\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{n} t} .
\]
T. e.
\[
\begin{array}{c}
a_{n}(t)=e^{-\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{n}\left(t-t_{0}\right)} a_{n}\left(t_{0}\right)=e^{-\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{n}\left(t-t_{0}\right)} a_{n}, \\
\psi=\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi i}{h} \lambda_{n}\left(t-t_{0}\right)} a_{n} \psi_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, если $\psi$ не стационарна, т. е. если не все $a_{n}$, за исключением одного, обращаются в нуль, то $\psi$ (при изменении $t$ ) уже больше не меняется лишь на (в пространстве состоянии) постоянный множитель абсолютной величины 1. Поэтому будут, вообще говоря, изменяться и определенные выше плотности заряда и, значит, в пространстве возникнут реальные электрические колебания ${ }^{22}$ ).
2!) Эти, так же как и все последующие разложения в ряды, сходятся «в среднем». Мы это рассмотрим в II. 2.
22) Что в стационарных состояниях (и только в таких) такие колебания отсутствуют, было одним из наиболее важных постулатов Бора 1913 г. Классическая электродинамика находится в прямом противоречии с этим.