В заключение следует отметить два класса (замкнутых) эрмитовых операторов, которые в то же время непременно гипермаксимальны. Во-первых, это непрерывные операторы: они определены повсюду и, следовательно, максимальны, а поскольку, согласно Гильберту (смотри ссылку в прим. ${ }^{64}$ ), стр. 78), проблема собственных значений для них всегда разрешима, они также гипермаксимальны. Во-вторых, это операторы, вещественные в какой-либо реализации $\Re_{\infty}$, если они максимальны. Ведь единственное различие между (5 и $\mathfrak{F}$ по их определению сводилось к знаку перед $i$, которыи, если все остальное вещественно, не имеет значения. Таким образом, $\mathfrak{F}=\Re_{\infty}$ оказывается следствием $\left(\xi=\mathfrak{R}_{\infty}\right.$ и наоборот, т. е. гипермаксимальность следует из максимальности. Без предположения о свойстве максимальности мы, во всяком случае, можем сказать, что $\mathfrak{R}_{\infty}$ – $\mathfrak{5}$ и $\mathfrak{R}_{\infty}-\mathfrak{F}$ имеют одинаково много (одинаковое число) измерений. Следовательно (в терминах, принятых выше при исследовании соотношений продолжения), $p=q$, и, значит, $r=p=q$ и
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathfrak{E}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{r}\right]=\left[\mathfrak{F}, \Re_{\infty}-\mathfrak{E}\right]=\mathfrak{R}_{\infty},} \\
{\left[\mathfrak{F}, \psi_{1}, \ldots, \psi_{r}\right]=\left[\mathfrak{F}, \Re_{\infty}-\mathfrak{F}\right]=\mathfrak{R}_{\infty},}
\end{array}
\]
т. е. продолжения, полученные тогда, были гипермаксимальны. Итак, вещественные операторы всегда имеют гипермаксимальные продолжения. В литературе, указанной в прим. ${ }^{95}$ ), стр. 111 , показывается, что то же самое справедливо для всех дефинитных операторов.
10. Коммутирующие операторы
Два оператора $R$ и $S$ коммутируют согласно данному в II. 4 определению, если выполняется $R S=S R$; при этом области определения обеих сторон равенства, если только они не имеют смысл всюду, также должны совпадать. Мы ограничимся сперва эрмитовыми операторами, и притом, чтобы не возникало трудности с областями определения, такими, которые определены всюду, следовательно непрерывными. Одновременно с $R$ и $S$ мы будем рассматривать и принадлежащие им разложения единицы $E(\lambda)$ и $F(\lambda)$.

Коммутативность $R$ и $S$ означает, что $(R S f, g)=(S R f, g)$ для всех $f, g$, т. е. что $(S f, R g)=(R f, S g)$. Далее, из коммутативности $R$ с $S$ следует и коммутативность $R^{n}$ с $S(n=0,1,2, \ldots)$, значит, и коммутативность $p(R)$ с $S$ для всех полиномов $p(x)=$ $=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n} x^{n}$.
Символически
\[
R=\int_{-C}^{C} \lambda d E(\lambda), \quad s(R)=\int_{-C}^{C} s(\lambda) d E(\lambda)
\]
9 И. Нейман
( $C$ – постоянная, введенная в II. 9 для непрерывного оператора $R$, который обозначался там через $A ; s(x)$-какая-либо функция; ср. II. 8, особенно прим. ${ }^{94}$ ) на стр. 110.) Для полиномов $s(x)$ выполняется $(s(R) f, S g)=(S f, s(R) g)$, т. е.
\[
\text { *. } \quad \int_{-C}^{C} s(\lambda) d(E(\lambda) f, S g)=\int_{-C}^{C} s(\lambda) d(S f, E(\lambda) g) .
\]

Поскольку любую непрерывную функцию можно сколь угодно хорошо аппроксимировать полиномами (равномерно в $-C \leqslant x \leqslant C$ ), то *. выполняется еще и для непрерывных $s(x)$. Пусть теперь
\[
s(x)=\left\{\begin{array}{lll}
=\lambda_{0}-x & \text { для } \quad x \leqslant \lambda_{0}, \\
=0 & \text { для } \quad x \geqslant \lambda_{0},
\end{array}\right.
\]

тогда *. даст нам
\[
\int_{-C}^{\lambda_{0}}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d(E(\lambda) f, S g)=\int_{-C}^{\lambda_{0}}\left(\lambda_{0}-\lambda\right) d(S f, E(\lambda) g) .
\]

Заменяя здесь $\lambda_{0}$ на $\lambda_{0}+\varepsilon(\varepsilon>0$ ), получим, вычитая и деля на $\varepsilon$ :
\[
\begin{aligned}
& \int_{-C}^{\lambda_{0}} d(E(\lambda) f, S g)+\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{0}+\varepsilon} \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\varepsilon} d(E(\lambda) f, S g)= \\
= & \int_{-C}^{\lambda_{0}} d(S f, E(\lambda) g)+\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{1}+\varepsilon} \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\varepsilon} d(S f, E(\lambda) g),
\end{aligned}
\]

и при $\varepsilon \rightarrow 0$ (вспоминаем $\overline{\boldsymbol{S}}_{1}$ !)
\[
\int_{-C}^{\lambda_{0}} d(E(\lambda) f, S g)=\int_{-C}^{\lambda_{0}} d(S f, E(\lambda) g) ; \quad\left(E\left(\lambda_{0}\right) f, S g\right)=\left(S f, E\left(\lambda_{0}\right) g\right) .
\]

Таким образом, все $E\left(\lambda_{0}\right)$ для $-C \leqslant \lambda_{0} \leqslant C$ коммутируют с $S$, для остальных же это очевидно непосредственно, поскольку для $\lambda_{0}<-C$ или для $\lambda_{0}>C \quad E\left(\lambda_{0}\right)=0$ или соответственно 1.

Итак, если $R$ коммутирует с $S$, то то же выполняется и для всех $E(\lambda)$. Обратно, если все $E(2)$ коммутируют с $S$, то *. выполняется для каждой функции $s(x)$, благодаря чему все $s(R)$ коммутируют с $S$. Отсюда мы можем вывести, во-первых, что $R$ тогда и только тогда коммутирует с $S$, когда это имеет место для всех $E(\lambda)$, и, во-вторых, что в этом случае коммутируют с $S$ и все функции $s(R)$ от $R$.
Но теперь некоторое $E(\lambda)$ будет коммутировать с $S$ тогда и только тогда, когда это будет иметь место для $E(\lambda)$ и всех $F(\mu)$ (мы применяем нашу теорему для $S$ и $E(\lambda)$ на месте $R$ и $S$ ). Таким образом, для коммутативности $R$ и $S$ характерно и то, что все $E(\lambda)$ должны коммутировать со всеми $F(\mu)$. Далее, коммутативность $R$ и $S$ имеет, согласно сказанному выше, следствием и коммутативность $r(R)$ с $S$, что в свою очередь (если заменить $R, S$ на $S, r(R)$ )- коммутативность $r(R)$ с $s(S)$.

Если эрмитовы операторы $R$ и $S$ не связаны условием непрерывности, то положение усложняется, поскольку области определения $R S$ и $S R$ могут слагаться очень ненаглядным образом. Так, например, $R \cdot 0$ имеет смысл всегда (так как $0 f=0, R \cdot 0 f=R(0 f)=$ $=R \cdot 0=0$ ), а $0 \cdot R$, напротив, только если $R$ имеет смысл (ср. сказанное по этому поводу в II.5). Таким образом, для не всюду определенного $R$ вследствие различия областей определения $R \cdot 0
eq 0 \cdot R$, т. е., строго говоря, $R$ не коммутирует с 0 . Такое положение вещей чрезвычайно неприятно для наших дальнейших целей: оператору 0 следовало бы коммутировать не только с непрерывными, но и со всеми эрмитовыми операторами ${ }^{107}$ ). Мы определим поэтому для не непрерывных $R, S$ коммутативность другим способом; мы ограничимся при этом единственно интересными, согласно II. 9, гипермаксимальными $R$ и $S$. Определяем: $R$ и $S$ должны называться коммутирующими в новом смысле, если все $E(\lambda)$ коммутируют со всеми $F(\mu)$ (это опять соответствующие им разложения единицы) в старом. Для непрерывных $R$ и $S$ новое определение, как мы уже знаем, совпадает со старым, напротив, для разрывных $R$ или $S$ (или обоих) это при некоторых обстоятельствах не имеет места. Примером последнего служит случай операторов $R$ и 0 : в старом смысле они не коммутировали, а в новом-коммутируюг, поскольку для оператора 0 каждое $F(\mu)$ равно 0 или $\left.1^{108}\right)$, следовательно коммутирует с $E(\lambda)$.

Выше мы доказали, что если $R$ и $S$ – два коммутирующих (непрерывных) эрмитовых оператора, то каждая функция $r(R)$ оператора $R$ коммутирует с каждой функцией $s(S)$ оператора $S$. Поскольку для $R=S$ эта предпосылка выполняется всегда, то две функции $r(R)$ и $s(R)$ одного и того же оператора всегда перестановочны (это сле-
${ }^{107}$ ) Поскольку (ср. II.5) как $R \cdot 1$, так и $1 \cdot R$ имеют смысл тогда и только тогда, когда имеет смысл $R$, то при $a
eq 0$ то же справедливо и для $R \cdot a 1, a 1 \cdot R$. Таким образом, оба эти произведения равны друг другу, т. е. $R$ коммутирует с $a \cdot 1$. Тем самым коммутативность $R$ с $a \cdot 1$ выполняется с единственным исключением, $a=0, R$ определен не всюду. Это выглядит очень неизящно и подсказывает нам изменение определения коммутативности.
${ }^{108}$ ) Оператору $a \cdot 1$ отвечает, как легко вычислить, разложение еднницы вида $F(\mu)=\left\{\begin{array}{ll}=1 & \text { для } \mu \geqslant a, \\ =0 & \text { для } \mu<a .\end{array}\right.$
$9^{*}$

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0133.jpg.txt

132
ОБЩИЕ СВОИСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[гл. ІІ
дует и из формулы умножения в конце II. 8: $r(R) s(R)=t(R)$, если $r(x) s(x)=t(x)$ ). Если $r(x)$ и $s(x)$ вещественны, то, кроме того, $r(R)$ и $s(R)$ будут эрмитовыми (в силу II. 8: если $r(x)$ вещественна, то $\left.(r(R))^{*}=\bar{r}(R)=r(R)\right)$.

Справедливо и обратное утверждение: если $A$ и $B$-два коммутирующих эрмитовых оператора, то существует такой эрмитов опеpaтор $R$, что оба они будут его функциями: $A=r(R), B=s(R)$. Можно утверждать и несколько большее: если задано произвольное (конечное или бесконечное) множество коммутирующих эрмитовых операторов $A, B, C, \ldots$, то существует такой эрмитов оператор $R$, функциями которого будут все $A, B, C, \ldots$ Мы не можем привести здесь доказательство этой теоремы и нам придется ограничиться ссылкой на литературу вопроса ${ }^{109}$ ). Для наших целей понадобится эта теорема только для конечного числа операторов $A, B, C, \ldots$ с чисто дискретным спектром. Для этого случая она будет сейчас доказана, относительно же общего случая мы сможем привести лишь некоторые ориентирующие замечания.

Итак, пусть $A, B, C, \ldots$ – конечное число эрмитовых операторов с чисто дискретным спектром. Если $\lambda$ – некоторое число, то назовем $\Omega_{\lambda}$ замкнутое линейное многообразие, натянутое на совокупность решений уравнения $A f=\lambda f$; соответствующий проекционный оператор назовем $E_{\lambda}$. Число $\lambda$ тогда и только тогда будет дискретным собственным значением $A$, когда существуют решения $f
eq 0$, следовательно, для $\&_{\lambda}
eq(0)$, что значит $E_{\lambda}
eq 0$. Аналогично мы образуем $\mathfrak{R}_{\lambda}$ и $F_{\lambda}$ для оператора $B, \mathfrak{R}_{\lambda}$ и $G_{\lambda}$ для $C, \ldots$ Из $A f=\lambda f$ следует $A B f=B A f=B(\lambda f)=\lambda B f$. Это значит, что вместе с $f$ в $\ell_{\lambda}$ входит и $B f$. Так как $E_{\lambda} f$ всегда принадлежит к $\ell_{\lambda}$, то то же справедливо и для $B E_{\lambda} f$; тем самым $E_{\lambda} B E_{\lambda} f=B E_{\lambda} f$. Это выполняется тождественно, следовательно, $E_{\lambda} B E_{\lambda}=B E_{\lambda}$. Применение *. приводит отсюда к $E_{\lambda} B E_{\lambda}=E_{\lambda} B$. Следовательно, $E_{\lambda} B=B E_{\lambda}$. Точно так же, как мы заключили сейчас из комиутативности $A$ и $B$ о коммутативности $B$ и $E_{\lambda}$, из коммутативности $B$, и $E_{\lambda}$ следует коммутативность $E_{\lambda}$ и $F_{\mu}$. Поскольку $A$ и $B$ никак не были выделены среди операторов $A, B, C, \ldots$ можно утверждать, что все $E_{\lambda}, F_{p}, G_{v}, \ldots$ коммутируют друг с другом. Итак, $K(\lambda \mu
u \cdots)=E_{\lambda} F_{\mu} G_{
u} \cdots$ – тоже проекционный оператор; его замкнутое линеиное многообразие назовем $\Omega(\lambda \mu
u) \ldots$. Согласно теореме 14. (II. 4), $\mathfrak{R}(\lambda \mu
u \ldots)$ будет пересечением $\mathfrak{L}_{\lambda}, \mathfrak{M}_{\mu}$,
${ }^{109}$ Для двух эрмитовых операторов $A$ и $B$, принадлежащих нашему специальному классу (так называемых вполне непрерывных, ср. прим. ${ }^{70}$ ) на стр. 82), Теплиц (ср., например, прим, ${ }^{33}$ ) на стр. 29) доказал теорему, из которой следует сформулированная выше (именно, существование полной ортонормированной системы из общих собственных функций операторов $A$ и $B$ ). Общая теорема для произвольных $A$ и $B$ или $A, B, C, \ldots$ была доказана автором в другом месте (ср. прим. ${ }^{94}$ ) на стр. 110).
$\mathfrak{N}_{v}, \ldots$ т. е. совокупностью всех общих решений уравнений
\[
A f=\lambda f, \quad B f=\lambda f, \quad C f=
u f, \ldots
\]

Пусть $\lambda, \mu,
u, \ldots$ и $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime},
u^{\prime}, \ldots$ – две различные системы чисел, т. е. $\lambda
eq \lambda^{\prime}$ или $\mu
eq \mu^{\prime}$, или $
u
eq
u^{\prime}, \ldots$. Пусть $f$ принадлежит к $\Re(\lambda \mu
u \cdots)$, а $f^{\prime}$-к $\Re^{\prime}\left(\lambda^{\prime} \mu^{\prime}
u^{\prime} \cdots\right)$. Функции $f$ и $f^{\prime}$ ортогональны: для $\lambda
eq \lambda^{\prime} \quad$ из-за $\quad A f \leftrightharpoons \lambda f, \quad A f^{\prime}=\lambda f^{\prime}, \quad$ для $\mu
eq \mu^{\prime}$ из-за $\quad B f=\mu f$, $B f^{\prime}=\mu^{\prime} f^{\prime}, \ldots$ Тем самым все $\mathfrak{R}(\lambda \mu
u \cdots)$ ортогонально ко всему $\mathscr{R}\left(\lambda^{\prime} \mu^{\prime}
u^{\prime} \cdots\right)$.

Поскольку $A$ имеет чисто дискретныћ спектр, то всё $\Re_{\infty}$ (рассматриваемое как замкнутое линенное многообразие) натягивается на $\Omega_{\lambda}$. Поэтому $f
eq 0$ не может быть ортогональной ко всем $\Omega_{\lambda}$, т. е. по крайней мере для одного $\mathfrak{\Omega}_{\lambda}$ еє проекция в $\mathfrak{Z}_{\lambda}$ должна быть $
eq 0$. т. е. $E_{\lambda} f
eq 0$. Точно так же должно существовать одно $\mu$ с $F_{\mu} f
eq 0$, одно у с $G_{\text {у }} f
eq 0, \ldots$ Вследствие этого мы можем найти для каждой $f
eq 0$ одно $\lambda$ с $E_{\lambda} f
eq 0$, затем $\mu$ с $F_{\mu}\left(E_{\lambda} f\right)
eq 0$, затем у с $G_{v}\left(F_{\mu}\left(E_{\lambda} f\right)\right)
eq$ $
eq 0, \ldots$. Так оказывается окончательно, что
\[
\cdots G_{v} F_{\mu} E_{\lambda} f
eq 0 ; \quad E_{\lambda} F_{\mu} G_{v} \cdots f
eq 0, \quad K(\lambda \mu
u \cdots) f
eq 0,
\]
т. е. что $f$ не ортогональна к $\Re(\lambda \mu
u \cdots)$. Итак, функция $f$, ортогональная ко всем $\Omega(\lambda \mu
u \cdots),=0$. Тем самым на совокупность всех $\Re(\lambda \mu
u . .$.$) натягивается все \AA_{\infty}$ как замкнутое линейное многообразие.

Пусть теперь $\varphi_{(\lambda \mu
u \ldots)}^{(1)}, \varphi_{(\lambda \mu
u, \ldots)}^{(2)}, \ldots$ – ортонормированная система, на которую натягивается замкнутое линеинное многообразие $\Re(\lambda \mu
u \cdots)$. (Эта последовательность обрывается или нет, судя по тому, имеет ли $\Re(\lambda \mu
u . \cdots)$ конечное или бесконечное число измерений; если, напротив, $\mathscr{R}(\lambda \mu
u \ldots)=0$, то она состоит из 0 членов.) Кажтая $\varphi_{(\lambda \mu
u . .)}^{(n)}$ принадлежит некоторому $\mathfrak{R}\left(\lambda_{\mu
u} \cdots\right)$, является, следовательно, собственной функцией всех $A, B, C, \ldots$ Две различные $\varphi_{(\lambda, \ldots \ldots)}^{(n)}$ всегда ортогональны, друг другу: если они обладают одной и той же системой $\lambda, \mu,
u, \ldots$, то на основании их построения, если они обладают различными системами $\lambda, \mu, v, \ldots$, то поскольку они принадлежат к различным $\mathscr{R}(\lambda \mu
u \cdots)$. Все функции $\varphi_{(\lambda, \mu
u, \ldots)}^{(n)}$ растягивают то же замкнутое линенное многообразие, что и все $\Re(\lambda \mu
u
eq \ldots)$ – многообразие $\Re_{\infty}$. Тем самым $\varphi_{(\lambda \mu
u, \ldots)}^{(n)}$ образуют полную ортонормированную систему.

Итак, мы построили полную ортонормированную систему из одних лишь общих собственных функцин операторов $A, B, C, \ldots$ В дальнейшем мы предпочтем обозначать ее через $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, а соответствующие уравнения будем записывать в виде
\[
A \psi_{m}=\lambda_{m} \psi_{m}, \quad B \psi_{m}=\mu_{m} \psi_{m}, \quad C \psi_{m}=v_{m} \psi_{m}, \ldots
\]

Возьмем теперь какую-нибудь систему различных друг от друга чисел $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ и построим эрмитов оператор $R$ с одними лишь
дискретными собственными значениями $x_{1}, x_{2}, \ldots$ и соответствующими им собственными функциями $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, т. е. положим
\[
\left.R\left(\sum_{m=1}^{\infty} x_{m} \psi_{m}\right)=\sum_{m=1}^{\infty} x_{m} x_{m} \psi_{m}{ }^{110}\right) .
\]

Пусть, далее, $F(x)$ – определенная в интервале – $-<x<+\infty$ функция, для которой имеет место $F\left(x_{m}\right)=\lambda_{m}(m=1,2, \ldots)$ (для всех остальных значений $x$ функция $F(x)$ может быть произвольной); точно так же $G(x)$ – функция с $G\left(x_{m}\right)=\mu_{m}, \quad H(x)-$ функция с $H\left(x_{m}\right)=
u_{m}, \ldots$ Покажем, что
\[
A=F(R), \quad B=G(R), \quad C=H(R), \ldots
\]

Нам надо показать, что, если $R$ обладает чисто дискретным спектром $x_{1}, x_{2}, \ldots$ с собственными функциями $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, то $F(r)$ будет обладать чисто дискретным спектром $F\left(x_{1}\right), F\left(x_{2}\right), \ldots$ с теми же самыми собственными функциями $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ Поскольку, однако, функции $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ во всяком случае образуют полную ортонормированную систему, то будет достаточно доказать, что $F(R) \psi_{m}=$ $=\hat{F}\left(x_{m}\right) \cdot \psi_{m}$.

Пусть, в согласии с II. $8, E(\lambda)=\sum_{m} P_{\left[\psi_{m}\right]}$ – принадлежащее $R$ разложение единицы. Тогда, как мы знаем, можно будет записать символически
\[
R=\int \lambda d E(\lambda)
\]

и, по определению,
\[
F(R)=\int F(\lambda) d E(\lambda)
\]
110) $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ следует выбрать ограниченными, например, $x_{m}=\frac{1}{m}$, чтобы $R$ оказался непрерывным. Действительно, из непрерывности $R$, т, е. из $\|R f\| \leqslant C \cdot\|f\|$, следует тотчас же
\[
\left\|R \psi_{m}\right\|=\left\|x_{m} \psi_{m}\right\|=\left|x_{m}\right| \leqslant C \cdot\left\|\psi_{m}\right\|=C, \quad\left|x_{m}\right| \leqslant C,
\]

а из $\left|x_{m}\right| \leqslant C(m=1,2, \ldots)$-обратно:
\[
\begin{array}{c}
\|R f\|^{2}=\left\|R\left(\sum_{m=1}^{\infty} x_{m} \psi_{m}\right)\right\|^{2}=\left\|\sum_{m=1}^{\infty} x_{m} x_{m} \psi_{m}\right\|^{2}=\sum_{m=1}^{\infty}\left|x_{m}\right|^{2}\left|x_{m}\right|^{2}, \\
\|f\|^{2}=\left\|\sum_{m=1}^{\infty} x_{m} \psi_{m}\right\|^{2}=\sum_{m=1}^{\infty}\left|x_{m}\right|^{2},
\end{array}
\]

следовательно, $\|R f\|^{2} \leqq C^{2} \cdot\|f\|^{2},\|R f\| \leqq C \cdot\|f\|$, т. е. непрерывность оператора $R$.
Далее
\[
E(\lambda) \psi_{m}=\left\{\begin{array}{lll}
=\psi_{m} & \text { для } & x_{m} \leqq \lambda, \\
=0 & \text { для } & x_{m}>\lambda .
\end{array}\right.
\]

Отсюда следует, что для всех $g$
\[
\left(F(R) \psi_{m}, g\right)=\int F(\lambda) d\left(E(\lambda) \psi_{m}, g\right)=F\left(x_{m}\right) \cdot\left(\psi_{m} g\right),
\]
т. е. действительно $F(R) \psi_{m}=F\left(x_{m}\right) \cdot \psi_{m}$.

Тем самым доказательство для случая чисто дискретного спектра, как мы и обещали, выполнено. Для случая непрерывного спектра нам придется удовлетвориться указаниями примечания ${ }^{109}$ ) (стр. 132). Мы хотели бы только остановиться на одном особенно характерном случае.

Пусть $\mathfrak{R}_{\infty}$-пространство всех $f\left(q_{1}, q_{2}\right)$ с конечным $\iint\left|f\left(q_{1}, q_{2}\right)\right|^{2} d q_{1} d q_{2}$, определенных в квадрате $0 \leqq q_{1}, q_{2} \leqq 1$. Образуем операторы $A=q_{1} \cdots, B=q_{2} \cdots$ Они эрмитовы, в рассматриваемой области определения на плоскости $q_{1}, q_{2}$ также и непрерывны (при $-\infty<q_{1}, q_{2}<+\infty-$ нет!), далее, они коммутируют. Следовательно, они оба должны быть функциями одного $R$. При этом последний должен коммутировать с $A$ и $B$, откуда, на доказательстве чего мы не будем здесь останавливаться, следует, что $R$ должен иметь вид $s\left(q_{1}, q_{2}\right) \cdots\left[s\left(q_{1}, q_{2}\right)\right.$ – ограниченная функция $]$. Но тогда $R^{n}\left(n=0,1,2, \ldots\right.$ ) должен равняться $\left(s\left(q_{1}, q_{2}\right)\right)^{n} \ldots$ и $F(R)$ равняться $F\left(s\left(q_{1}, q_{2}\right)\right) \cdots$, если $F(x)$ – полином. Последнюю формулу можно, однако, во что мы также не можем глубже вникать здесь, распространить на все $F(x)$. Итак, из $F(R)=A, G(R)=B$ следует, что
\[
\left.F\left(s\left(q_{1}, q_{2}\right)\right)=q_{1}, \quad G\left(s\left(q_{1}, q_{2}\right)\right)=q_{2}{ }^{111}\right) .
\]

Это значит, что взаимно обратные отображения $s\left(q_{1}, q_{2}\right)=x$ и $F(x)=q_{1}, G(x)=q_{2}$ должны были бы одно-однозначно отображать поверхность квадрата $0 \leqslant q_{1}, q_{2} \leqslant 1$ на линеинное числовое множество переменной $x$ – нечто, что противоречит геометрической интуиции.

Однако на основе упоминавшегося выше доказательства мы знаем, что это тем не менее должно быть возможным. И в самом деле, отображение желаемого рода деиствительно осуществляется посредством так называемой кривой Пэано ${ }^{112}$ ). Внимательное изучение приведенного в прим. ${ }^{109}$ ) доказательства денствительно показывает, что оно приводит в рассматриваемом примере к кривой Пэано или родственным ей образованиям.
11!) На $q_{1}, q_{2}$-множестве лебеговсй меры 0 были бы допустимы исключения!
${ }^{112}$ ) Ср., например, прим. ${ }^{45}$ ) на стр. 41.