Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в рассмотрении геометрических своћств пространства Гильберта и детально изучить замкнутые линеинне многообразия, которые играют в $\mathfrak{R}_{\infty}$ роль, аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами, $\mathfrak{R}_{m}, m \leqq n$ ) в $\mathfrak{R}_{n}$.
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2.
${ }^{57}$ ) Эта теорема теории множеств о «неперечислимости континуума». Смотри, например, книгу Хаусдорфа, указанную в прим. 45), стр. 41).
линейное многообразие или замкнутое линеиное многообразие соответственно растягиваемое $\mathfrak{A}$, иными словами, наименьший представитель каждого из двух типов многообразий, содержащий $\mathfrak{A}$. Расширим теперь эти обозначения в том смысле, что если $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \ldots$ – какиелибо подмножества $\mathfrak{R}$, а $f, g, \ldots$ – элементы из $\mathfrak{\Re}$, то мы будем понимать под $\{\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \ldots, f, g, \ldots\}$ или $[\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \ldots, f, g, \ldots]$ линеиное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно, натянутое на множество, получающееся соединением $\mathfrak{U}, \mathfrak{B}, \ldots$ и $f, g, \ldots$

Если, в частности, $\mathfrak{R}, \mathfrak{N}, \ldots$ суть замкнутые линейные многообразия (в конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое линейное многообразие $[\mathfrak{R}, \mathfrak{R}, \ldots$ ] символом $\mathfrak{R}+\mathfrak{N}+\ldots$ Линейное многообразие $\{\mathfrak{R}, \Re, \ldots\}$ состоит, очевидно, из всех сумм $f+g+\ldots(f-$ пробегает $\mathfrak{R}, g$ пробегает $\mathfrak{R}, \ldots)$, в то время как, замкнутое многообразие $[\mathfrak{R}, \mathfrak{R}, \ldots]=\mathfrak{R}+\mathfrak{R}+\ldots$ получается из незамкнутого присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное число множеств $\mathfrak{M}, \mathfrak{R}, \ldots$ и каждый элемент одного из них ортогонален всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно другому. В общем случае они совпадают не обязательно.

Если $\mathfrak{M}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, то рассмотрим еще совокупность всех элементов $\mathfrak{R}$, ортогональных ко всем элементам $\mathfrak{R}$. Они тоже составляют замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$. Теорема 14 . объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый интерес представляет собою множество $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ всех $f$, ортогональных ко всему $\mathfrak{M}$. Оно называется замкнутым линеинны многообразием, дополнительным к $\mathfrak{M}$.

Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия: во-первых, само $\mathfrak{R} ;$ во-вторых, множество $\{0\}=[0]$, состоящее лишь из нулевого элемента, и, наконец, множество всех af ( $f$ – заданный элемент из $\Re$, а $a$ – переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно $\{f\}=[f]$.

Введем теперь понятие «проектирования», совершенно аналогичное этому понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10. Пусть $\mathfrak{M}$ есть замкнутое линеиное многообразие. Тогда каждый $f^{s}$ может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты $f=g+h, g$ из $\mathfrak{M}$ и $h$ из $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$.
Замечание. Назовем $g$ проекцией $f$ на $\mathfrak{R}, h$ (которое ортогонально ко всему $\mathfrak{M}$ ) нормальной к $\mathfrak{R}$ составляющей $f$. Для $g$ введем обозначение $g=P_{\mathfrak{m}} f$.
Доказательство. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – ортонормированная система, существующая в силу теоремы 9., растягивающая замкнутое линенное многообразие $\mathfrak{M}$. Запишем $g$ в виде ряда $g=\sum_{n}\left(f, \varphi_{n}\right) \varphi_{n}$, которыи, по теореме 6., сходится (если он вообще бесконечен); его сумма $g$ очевидно принадлежит к $\mathfrak{M}$. Далее, по теореме $6 ., h=f-g$ ортогональна ко всем ‘ $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, но поскольку векторы, ортогональные к $h$, образуют замкнутое линейное многообразие, то вместе с $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ все $\mathfrak{M}$ тоже ортогонально $h$, т. е. $h$ принадлежит к $\mathfrak{M}-\mathfrak{R}$.

Если бы существовало еще одно такое разложение $f=g^{\prime}+h^{\prime}, g^{\prime}$ из $\mathfrak{M}, h^{\prime}$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$, то было бы $g+h=g^{\prime}+h^{\prime}, g-g^{\prime}=h-h^{\prime}=j$. Вектор $j$ должен был бы одновременно принадлежать к $\mathfrak{M}$ и к $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ и был бы, следовательно, ортогонален сам себе. Следовательно, $(j, j)=0, j=0$ и, значит, $g=g^{\prime}, h=h^{\prime}$.

Операция $P_{\text {刃 }} f$ есть, следовательно, такая, которая сопоставляет каждому $f$ из $\mathfrak{R}$ его проекцию в $\mathfrak{R}, P_{\text {狆 }} f$. В следующем разделе мы определим понятия оператора. Оператор $R$ есть функция, определенная на подмножестве из $\mathfrak{R}$ со значениями из $\mathfrak{\Re}$, т. е. соответствие, которое сопоставляет определенному $f$ из $\mathfrak{R}$ определенный $R f$ из $\mathfrak{R}$ (Не обязательно каждому $f$. Для некоторых $f$ из $\Re$ операция может оператор, определенный повсюду в $\mathfrak{R}$ и называемый оператором проектирования в $\mathfrak{R}$.
Теорема 11. Оператор $P_{\text {м }}$ обладает следующими свойствами:
$\mathfrak{R}$ – это множество всех значений $P_{\text {决, т. е. множество все }}$ в $P_{\text {झ }} f$; но оно может быть так же охарактеризовано, как множество всех решений уравнения $P_{\text {м }} f=f$, в то время как $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$ – это множество всех решений уравнения $P_{\Re} f=0$.
Замечание. В следующих разделах мы увидим, что первое свойство определяет так называемые линейные операторы, а второе – так называемые эрмитовы операторы. Третье выражает то, что двукратное применение оператора $P_{\text {决 }}$ приводит к тому же, что и однократное. Обычная символическая запись этого есть $P_{\mathfrak{M}} P_{\mathfrak{M}}=P_{\mathfrak{M}}$ или $P_{\mathfrak{M}}^{2}=P_{\mathfrak{M}}$.
Доказательство. Из того, что
\[
f_{1}=g_{1}+h_{1}, \ldots, f_{n}=g_{n}+h_{n}
\]
$\left(g_{1}, \ldots, g_{n}\right.$ из $\mathfrak{M}, h_{1}, \ldots, h_{n}$ из $\left.\mathfrak{R}-\mathfrak{M}\right)$
следует, что
\[
\begin{array}{c}
a_{1} f_{1}+\ldots+a_{n} f_{n}=\left(a_{1} g_{1}+\ldots+a_{n} g_{n}\right)+\left(a_{1} h_{1}+\ldots+a_{n} h_{n}\right) \\
\left(a_{1} g_{1}+\ldots+a_{n} g_{n} \text { из } \mathfrak{R}, a_{1} h_{1}+\ldots+a_{n} h_{n} \text { из } \mathfrak{R}-\mathfrak{R}\right),
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
P_{M}\left(a_{1} f_{1}+\ldots+a_{n} f_{n}\right)=a_{1} g_{1}+\ldots+a_{n} g_{n}= \\
=a_{1} P_{\text {M }} f_{1}+\ldots+a_{n} P_{\text {M }} f_{n},
\end{array}
\]

и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
\[
f=g^{\prime}+h^{\prime}, g=g^{\prime \prime}+h^{\prime \prime} \quad\left(g^{\prime}, g^{\prime \prime} \text { из } \mathfrak{M}, h^{\prime}, h^{\prime \prime} \text { из } \mathfrak{R}-\mathfrak{R}\right) .
\]

Поскольку тогда $g^{\prime}, g^{\prime \prime}$ ортогональны к $h^{\prime}, h^{\prime \prime}$, то, следовательно,
\[
\left(g^{\prime}, g\right)=\left(g^{\prime}, g^{\prime \prime}+h^{\prime \prime}\right)=\left(g^{\prime}, g^{\prime \prime}\right)=\left(g^{\prime}+h^{\prime}, g^{\prime \prime}\right)=\left(f, g^{\prime \prime}\right),
\]
т. е. $\left(P_{\mathfrak{M}} f, g\right)=\left(f, P_{\mathfrak{M}} g\right.$ ) и второе утверждение доказано.

Наконец, $P_{\text {м }} f$ принадлежит к $\mathfrak{M}$, и, следовательно, $P_{\text {м }} f=P_{\text {没 }} f+0$ есть разложение $P_{\text {没 } f}$ на компоненты, существующее в силу теоформула $P_{\text {, }} f=f$ или 0 означает, что в разложении $f=g+h, g$ из $\mathfrak{M}, h-$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ (теорема 10.) или $f=g, h=0$, или $g=0$, $f=h$; т. е. что $f$ принадлежит $\mathfrak{M}$ или $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$. Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все $P_{\text {没 }} f$ принадлежат к $\mathfrak{M}$ по определению, и каждое $f^{\prime}$ из $\mathfrak{M}$ равно какому-либо $P_{\text {此 }} f$ : например, по только что сказанному, оно равно $P_{\text {投 }} f^{\prime}$. Это четвертое утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от $\mathfrak{M}$.
Теорема 12. Оператор $E$, определенный повсюду (ср. обсуждение, предшествующее теореме 11.), есть проекционный опемногообразия $\mathfrak{Q}$, если и только если он обладает следующими свойствами:
\[
(E f, g)=(f, E g), \quad E^{2}=E .
\]
(См. замечание к теореме 11.) В этом случае $\mathfrak{R}$ однозначно определяется по $E$ (согласно теореме 11.).
Доказательство. Необходимость указанных условий, так же как и то, что $\mathfrak{M}$ определяется оператором $E$, следует из теоремы 11. Мы должны, следовательно, лишь показать, что, если $E$ обладает такими свойствами, то существует замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{M}$ с $E=P_{\text {敖 }}$.

Пусть $\mathfrak{R}$ есть замкнутое линейное многообразие, натянутое навсе $E f$. Тогда $g-E g$ ортогонален ко всем $E f$ :
\[
(E f, g-E g)=(E f, g)-(E f, E g)=(E f, g)-\left(E^{2} f, g\right)=0 .
\]

Множество элементов из $\mathfrak{R}$, ортогональных к $g-E g$, образует замкнутое линейное многообразие; следовательно, вместе с $E f$ оно включает в себя $\mathfrak{M}$, и, значит, $g-E g$ принадлежит к $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$. Разложение $g$ по отношению к $\mathfrak{M}$ в смысле теоремы 10 . есть, следовательно, $g=E g+(g-E g)$, и, значит, $P_{\Re \Re} g=E g$ для произвольного $g$. Таким образом, вся теорема доказана.

Если $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}$ или $=[0]$, то $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}=[0]$ или $\mathfrak{R}$ соответственно, значит, разложение по теореме 11. есть $f=f+0$ или $=0+f$, отсюда $P_{\text {м }} f=f$ или равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1 , оператор, определенный (повсюду!) как $R f=f$, и нулевым, 0 , оператор, определенный как $R f=0$, т. е. $P_{\Re}=1, P_{[0]}=0$. Далее очевидно, что разложение $f=g+h(g$ из $\mathfrak{M}, h$ из $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ ) по отношению к $\mathfrak{M}$ может также употребляться по отношению к $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ в форме $f=h+g$ ( $h$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}, g$ из $\mathfrak{M}$ ). (Ибо, если $g$ принадлежит $\mathfrak{M}$, то он ортогонален каждому элементу $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ и, следовательно, принадлежит к $\mathfrak{R}-(\Re-\mathfrak{R})$.) Итак, $P_{\mathfrak{\Re}} f=g, P_{\Re-\Re} f=$ $=h=f-g$, т. е. $P_{\Re-\eta n} f=f-P_{\text {级 }} f$. Это обстоятельство $P_{\Re-\Re} f=$ $=1 f-P_{\text {没 }} f$ мы выразим символически в виде $P_{\text {䌹- }}=1-P_{\text {м }}$. (О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14..) Нужно заметить еще следующее: Мы уже обнаружили без труда, что $\mathfrak{M}$ есть подмножество от $\mathfrak{M}$ – $\mathfrak{M}-\mathfrak{M})$. Непосредственно показывать, что оба множества совпадают, было бы кропотливо. Однако это немедленно следует из того, что
\[
P_{\Re-(\Re-\mathfrak{N})}=1-P_{\Re-\mathfrak{N}}=1-\left(1-P_{\mathfrak{N}}\right)=P_{\text {设 }} .
\]

Более того, из предыдущего замечания следует, что если $E$-проекционный оператор, то и $1-E$ тоже, и, поскольку $1-(1-E)=E$, то и обратное заключение верно.
Теорема 13. Всегда $\|E f\|^{2}=(E f, \quad f), \quad\|E f\| \leqq\|f\|$, $\|E f\|=0$ или $=\|f\|$ характеризует $f$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ и из $\mathfrak{M}$ соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
\[
\|E f-E g\|=\|E(f-g)\| \leqq\|f-g\|,
\]
т. е., что оператор $E$ непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II. 1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы 11.)
\[
\|E f\|^{2}=(E f, E f)=(E f, f) .
\]

Поскольку $1-E$ также проекциснный оператор, то
\[
\begin{aligned}
\|E f\|^{2}+\|f-E f\|^{2}= & \|E f\|^{2}+\|(1-E) f\|^{2}= \\
& =(E f, j)+((1-E) f, f)=(f, f)=\|f\|^{2} .
\end{aligned}
\]

Поскольку оба слагаемых (слева) $\geqq 0$, они также оба $\leqq\|f\|^{2}$ и,
в частности, $\|E f\|^{2} \leqq\|f\|^{2},\|E f\| \leqq\|f\|$. То, что $\|E f\|=0, E f=0$, выражает тот факт, что $f$ принадлежит к $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$, нам известно из теоремы 11. Вследствие вышеприведенного $\|E f\|=\|f\|$ означает, что $\|f-E f\|=0, E f=f$; итак, по теореме 11. $f$ принадлежит к $\mathfrak{M}$.

Если $R$ и $S$-два оператора, то мы понимаем под $R \pm S, a R$ ( $a$ – комплексное число), $R S$ операторы, определяемые соотношениями $\quad(R \pm S) f=R f \pm S f, \quad(a R) f=a \cdot R f, \quad(R S) f=R(S f)$, и пользуемся также следующим естественным обозначением:
\[
R^{0}=1, \quad R^{1}=R, \quad R^{2}=R R, \quad R^{3}=R R R, \ldots
\]

Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и естественны. Для $R \pm S, a R$ легко показать справедливость всех злементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для $R S$. Легко показать, что выполняется дистриб́утивный закон $(R \pm S) T=R T \pm S T$ и $R(S \pm T)=R S \pm R T$ (для последнего необходима, конечно, линейность $R$; см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе). Ассоциативный закон также имеет место: $(R S) T=R(S T)=R S T$, но коммутативный закон $R S=S R$, вообще говоря, не справедлив $((R S) f=R(S f)$ и ( $S R) f=S(R f)$ не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон выполняется для двух частных $R$ и $S$, говорят, что они коммутируют. Так, например, 0 и 1 коммутируют со всеми $R$, определенными повсюду:
\[
R 0=0 R=0 ; \quad R 1=1 R=R .
\]

Также коммутируют $R^{m}$ и $R^{n}$, поскольку $R^{m} R^{n}=R^{m+n}$ и, следовательно, не зависит от порядка $m, n$.
Теорема 14. Пусть $E$ и $F$-проекционные операторы замкнутых линейных многообразий $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$. Тогда $E F$ будет также проекционным оператором тогда и только тогда, когда $E$ и $F$ коммутируют, т. е. если $E F=F E$. Притом $E F$ относится к замкнутому линенному множеству из элементов, общих множествам $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$. Оператор $E+F$ будет проекционным тогда и только тогда, когда $E F=0$ (или, что то же, $F E=0$ ). Это означает, что все $\mathfrak{M}$ ортогонально ко всему $\mathfrak{N}, E+F$ тогда относится к $\mathfrak{M}+\mathfrak{N}=[\mathfrak{M}, \mathfrak{N}]$, которое в данном случае $=\{\mathfrak{R}, \mathfrak{R}\}$. Оператор $E-F$ является проекционным тогда и только тогда, когда $E F=F$ (или, что то же, $F E=F$ ). Это означает, что $\Re ⿱$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, и $E-F$ относится к $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$.
Доказательство. Надо проверить, выполняются ли для $E F$ два условия теоремы 12 :
\[
(E F f, g)=(f, E F g) . \text { и } \quad(E F)^{2}=E F .
\]
5 и. Нейман

Поскольку $(E F f, g)=(F f, E g)=(f, F E g)$, то первое условие означает, что
\[
(f, E F g)=(f, F E g), \quad(f,(F E-E F) g)=0 .
\]

Поскольку это выполнено для любых $f$, то $(E F-F E$ ) $g=0$, и поскольку последнее выполняется для любых $g$, то $E F-F E=0$; $E F=F E$. Итак, коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого условия, однако и выполнение второго следует из нее:
\[
(E F)^{2}=E F E F=E E F F=E^{2} F^{2}=E F .
\]

Так как $E+F$ удовлетворяет первому условию $((E+F) f, g)=$ $=(f,(E+F) g$ ) всегда (поскольну ему удовлетворяют $E, F$ ), нам остается доказать только второе. Так как
\[
(E+F)^{2}=E^{2}+F^{2}+E F+F E=(E+F)+(E F+F E),
\]

то остается показать, что $E F+F E=0$. Далее при $E F=0, E F$ есть проекционный оператор и, так как по доказанному тогда $E F=F E$, то $E F+F E=0$. Обратно, из $E F+F E=0$ следует, что
\[
\begin{aligned}
E(E F+F E) & =E^{2} F+E F E=E F+E F E=0, \\
E(E F+F E) E & =E^{2} F E+E F E^{2}=E F E+E F E=2 \cdot E F E=0,
\end{aligned}
\]

следовательно, $E F E=0$, и, следозательно, $F E=0$. Таким образом, условие $E F=0$ необходимо и достаточно или, так как $E$ и $F$ играют одну и ту же роль, $F E=0$-также необходимое и достаточное условие. $E-F$ есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда $1-(E-F)=(1-E)+F$ является тоже проекционным оператором, и поскольку $1-E$ и $F$ являются таковыми, то в силу доказанного $(1-E) F=0$, или $F-E F=0, E F=F$ есть условие того, что $1-(E-F)$, а значит $E-F$ есть проекционный оператор (равным образом $F(1-E)=0, F-F E=0, F E=F$.

Нам еще осталось доказать утверждения относительно $\mathfrak{M}, \mathfrak{N}$ $\left(E=P_{\text {此 }}, \quad F=P_{\Re}\right.$ ). Положим сперва $E F=F E$. Тогда каждый $E F f=F E f$ принадлежит и к $\mathfrak{M}$ и к $\mathfrak{R}$, а следовательно к $\mathfrak{P}$, и для каждого $g$ из $\mathfrak{P} E g=F g=g$, следовательно $E F g=E g=g$, есть множество значений $E F$ и, значит, по теореме $11 . E F=P_{\text {s. }}$. Затем положим $E F=0$ (значит, $F E=0$ также). Каждый ( $E+F) f=$ $=E f+F f$ принадлежит к $\{\mathfrak{R}, \mathfrak{R}\}$ и каждый $g$ из $\{\mathfrak{R}, \mathfrak{N}\}$ равен $h+j$, с $h$ из $\mathfrak{M}$ и $j$ из $\mathfrak{R}$, следовательно, $E h=h, F h=F E h=0$, $F j=j, E j=E F j=0$. Но, значит,
\[
(E+F)(h+j)=E h+F h+E j+F j=h+j, \quad(E+F) g=g .
\]

Следовательно, $g$ представим в виде $(E+F) g$. Тем самым $\{\mathfrak{R}$, ㄱ $\}$ есть множество значений $E+F$, но поскольку $E+F$ есть проекционный оператор, то $\{\mathfrak{M}, \mathfrak{R}\}$ есть соответствующее замкнутое линейное многообразие (теорема 11.). Поскольку $\{\mathfrak{M}, \mathfrak{N}\}$ замкнуто, то $\{\mathfrak{M}, \mathfrak{N}]=[\mathfrak{R}, \mathfrak{N}]=\mathfrak{M}+\mathfrak{R}$. Теперь положим $E F=F$ (значит, и $F E=F$ тоже). Тогда $E=P_{\text {мр }}, 1-F=P_{\Re-\Re}$, следовательно, $E-F=E-E F=E(1-F)$ равно $P_{\mathfrak{\beta}}$, где $\mathfrak{\beta}-$ общая часть $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$, т. е. $\mathfrak{M}-\mathfrak{R}$.

Наконец, $E F=0$ означает, что всегда $(E F f, g)=0$, т. е. что $(E f, F g)=0$, иными словами, это значит, что все $\mathfrak{R}$ ортогонально ко всему ․ А $E F=F$ означает, что $F(1-E)=0$, т. е., что все ? ортогонально ко всему $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ или это значит, что $\mathfrak{R}$ есть подмножество $\mathfrak{R}-(\mathfrak{R}-\mathfrak{M})=\mathfrak{M}$.

Если $\mathfrak{N}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, то мы будем для $F=P_{\mathfrak{R}}$ и $E=P_{\text {凤2 }}$ говорить, что $F$ есть часть от $E$ и символически записывать это в виде $E \geqq F$ или $F \leqq E$. (Такая запись, следовательно, означает, что $E F=F$, или, что то же, $F E=F$, и как следствие, что $E, F$ коммутируют. Рассмотрением $\mathfrak{M}, \mathfrak{N}$ или же прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: $0 \leqq E \leqq 1$; из $E \leqq F$ и $F \leqq E$ следует $E=F$; из $E \leqq F, F \leqq G$ следует $E \leqq G$. Наш знак обладает, таким образом, свойтвами «упорядочения по величине». Следует заметить дальше, что три утверждения: $E \leqq F$, $1-E \geqq 1-F$ или $E$ ортогонален к $1-F$, эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность $E^{\prime}, F^{\prime}$ следует из ортогональности $E, F$, если $E^{\prime} \leqq E$ и $F^{\prime} \leqq F$.) Если $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$ ортогональны, мы говорим, что $E$ и $F$ также ортогональны. (То есть это значит, что $E F=0$ или также $F E=0$.) Напротив, если $E, F$ коммутируют, мы будем говорить, что соответственные $\mathfrak{R}, \mathfrak{N}$ также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение $E \leqq F$ эквивалентно тому, что всегда справедливо $\|E f\| \leqq\|F f\|$.
Доказательство. Из $E \leqq F$ следует, что $F=E F$, следовательно, $\|E f\|=\|E F f\| \leqq\|F f\|$ (ср. теорему 13.). Обратно, это соотношение имеет следующее следствие: если $F f=0$, то $\|E f\| \leqq$ $\leqq\|F f\|=0, E f=0$ и из-за $F(1-F) f=\left(F-F^{2}\right) f=0$ получаем тождественно $E(1-F) f=0$, т. е. $E(1-F)=E-E F=0$, $E=E F$, следовательно $E \leqq F$.
Теорема 16. Пусть $E_{1}, \ldots, E_{k}$ суть проекционные операторы. Тогда $E_{1}+\ldots+E_{k}$ будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все $E_{m}, E_{l}(m, l=1, \ldots, k$, $m
eq l$ ) взаимно ортогональны. Другое необходимое и достаточное условие – это
\[
\left\|E_{1} f\right\|^{2}+\ldots+\left\|E_{k} f\right\|^{2} \leqq\|f\|^{2}
\]
$\ldots, E_{k}=P_{\cup_{k}}$ ) есть в этом случае оператор проектирования
$5^{*}$
в $\mathfrak{M}_{1}+\ldots+\mathfrak{M}_{k}=\left[\mathfrak{M}_{1}, \ldots, \mathfrak{M}_{k}\right]$, которое в данном случае равно $\left\{\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{M}_{k}\right\}$.
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением теоремы 14.. Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для $m
eq l, E_{m} f=f$ будет
\[
\begin{array}{c}
\|f\|^{2}+\left\|E_{l} f\right\|^{2}=\left\|E_{m} f\right\|^{2}+\left\|E_{l} f\right\|^{2} \leqq\left\|E_{1} f\right\|^{2}+\ldots \\
\cdots+\left\|E_{k} f\right\|^{2} \leqq\|f\|^{2}, \\
\left\|E_{l} f\right\|^{2}=0, \quad E_{l} f=0 .
\end{array}
\]

Поскольку, однако, $E_{m}\left(E_{m} f\right)=E_{m} f$ выполняется тождественно, то $E_{l}\left(E_{m} f\right)=0$, т. е. $E_{l} E_{m}=0$. Наконец, второе условие необходимо: Если $E_{1}+\ldots+E_{k}$ – проекционный оператор, то (теорема 13.):
\[
\begin{array}{l}
\left\|E_{1} f\right\|^{2}+\ldots+\left\|E_{k} f\right\|^{2}=\left(E_{1} f, f\right)+\ldots+\left(E_{k} f, f\right)= \\
\quad=\left(\left(E_{1}+\ldots+E_{k}\right) f, f\right)=\left\|\left(E_{1}+\ldots+E_{k}\right) f\right\|^{2} \leqq\|f\|^{2} .
\end{array}
\]

Имеем таким образом следующую логическую схему:
$E_{1}+\ldots+E_{k}$ есть проекционный оператор $\rightarrow$ второй критерий $\rightarrow$
$\rightarrow$ первый критерий $\rightarrow E_{1}+\ldots+E_{k}$ есть проекционный оператор
т. е. все три утверждения эквивалентны.

В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть $E_{1}, E_{2}, \ldots$ есть возрастающая или убывающая последовательность проекционных операторов: $E_{1} \leqq$ $\leqq E_{2} \leqq \ldots$ или $E_{1} \geqq E_{2} \geqq \ldots$ Такая последовательность сходится к проекционному оператору $E$ в том смысле, что для всех $f E_{n} f \rightarrow E f$; и при этом все $E_{n} \leqq E$, или $E_{n} \geqq E$ соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первыи может быть сведен к нему заменой $E_{1}, E_{2}, \ldots, E$ на $1-E_{1}, 1-E_{2}, \ldots, 1-E$. Пусть поэтому $E_{1} \geqq E_{2} \geqq \ldots$

В силу теоремы 15. $\left\|E_{1} f\right\|^{2} \geqq\left\|E_{2} f\right\| \geqq \ldots \geqq 0$. Следовательно, существует $\lim _{m \rightarrow \infty}\left\|E_{m} f\right\|^{2}$. Это значит, что для каждого $\varepsilon>0$ существует $N=N(\varepsilon)$ такое, что для $m, l \geqq N$ будет $\left\|E_{m} f\right\|^{2}-$ – $\left\|E_{l} f\right\|^{2}<\varepsilon$. Далее, для $m \leqq l, E_{m} \geqq E_{l}, E_{m}-E_{l}$ есть проекционный оператор, и, значит;
\[
\begin{array}{l}
\left\|E_{m} f\right\|^{2}-\left\|E_{l} f\right\|^{2}=\left(E_{m} f, f\right)-\left(E_{l} f, f\right)=\left(\left(E_{m}-E_{l}\right) f, f\right)= \\
=\left\|\left(E_{m}-E_{l}\right) f\right\|^{2}=\left\|E_{m} f-E_{l} f\right\|^{2} .
\end{array}
\]

откуда следует, что $\left\|E_{m} f-E_{l} f\right\|<\sqrt{\varepsilon}$. Последовательность $E_{1} f$, $E_{2} f, \ldots$ удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому предел $f^{*}$ (D. из II. 1I). Следовательно, $E f=f^{*}$ определяет оператор, всюду имеющий смысл.

Из $\left(E_{n} f, g\right)=\left(f, E_{n} g\right)$ получается после перехода к пределу, что $(E f, g)=(f, E g)$, из $\left(E_{n} f, E_{n} g\right)=\left(E_{n} f, g\right)$ следует, что $(E f, E g)=(E f, g)$, значит, $\left(E^{2} f, g\right)=(E f, g)$ и $E^{2}=E$. Таким образом, $E$ есть проекционный оператор. Для $l \geqq m,\left\|E_{m} f\right\| \geqq\left\|E_{l} f\right\|$. и при $l \rightarrow \infty$ мы получим $\left\|E_{m} f\right\| \geqq\|E f\|$, следовательно, $E_{m} \geqq E$ (теорема 15.).

Если $E_{1}, E_{2}, \ldots$ суть попарно взаимно ортогональные проекционные операторы, то $E_{1}, E_{1}+E_{2}, E_{1}+E_{2}+E_{3}, \ldots$ суть также проекционные операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они должны сходиться по теореме 17. к проекционному оператору, который больше каждого из них и который мы можем обозначить через $E_{1}+E_{2}+\ldots$ Пусть $E_{1}=P_{\text {㹱 }}$, $E_{2}=P_{\mathfrak{M}_{2}}, \ldots, E_{1}+E_{2}+\ldots=P_{\text {怾 }}$. Поскольку все $E_{m} \leqq E$, то $\mathfrak{M}_{m}$ есть подмножество $\mathfrak{M}$ и, следовательно, $\mathfrak{M}$ включает также $\left[\mathfrak{R}_{1}, \mathfrak{R}_{2}, \ldots\right]=\mathfrak{M}_{1}+\mathfrak{R}_{2}+\ldots=\mathfrak{R}$. С другой стороны, все $\mathfrak{R}_{n}$ суть подмножества $\mathfrak{P}^{\prime}$, значит, $E_{n} \leqq P_{\text {覑 }}=E^{\prime}$. Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в приведенном выше доказательстве) $E \leqq E^{\prime}$, т. е. $\mathfrak{M}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$. Таким образом, $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}$. $E=E^{\prime}$, т. е. $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}_{1}+\mathfrak{M}_{2}+\ldots$ или, переписанное другим способом,
\[
P_{\mathfrak{M}_{1}+\mathfrak{M}_{2}}+\ldots=P_{\mathfrak{R}_{1}}+P_{\mathrm{SM}_{2}}+\ldots
\]

На этом мы закончим изучениє проекционных операторов.