Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в рассмотрении геометрических своћств пространства Гильберта и детально изучить замкнутые линеинне многообразия, которые играют в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ роль, аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами, ${\mathfrak{R}}_m,m\leqq n$ ) в ${\mathfrak{R}}_n$.
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2.
${}^{57}$ ) Эта теорема теории множеств о «неперечислимости континуума». Смотри, например, книгу Хаусдорфа, указанную в прим. 45), стр. 41).
линейное многообразие или замкнутое линеиное многообразие соответственно растягиваемое $\mathfrak{A}$, иными словами, наименьший представитель каждого из двух типов многообразий, содержащий $\mathfrak{A}$. Расширим теперь эти обозначения в том смысле, что если $\mathfrak{A},\mathfrak{B},\dots$ — какиелибо подмножества $\mathfrak{R}$, а $f,g,\dots$ — элементы из $\mathrm{\Re }$, то мы будем понимать под $\{\mathfrak{A},\mathfrak{B},\dots ,f,g,\dots \}$ или $[\mathfrak{A},\mathfrak{B},\dots ,f,g,\dots ]$ линеиное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно, натянутое на множество, получающееся соединением $\mathfrak{U},\mathfrak{B},\dots$ и $f,g,\dots$

Если, в частности, $\mathfrak{R},\mathfrak{N},\dots$ суть замкнутые линейные многообразия (в конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое линейное многообразие $[\mathfrak{R},\mathfrak{R},\dots$ ] символом $\mathfrak{R}+\mathfrak{N}+\dots$ Линейное многообразие $\{\mathfrak{R},\mathrm{\Re },\dots \}$ состоит, очевидно, из всех сумм $f+g+\dots (f-$ пробегает $\mathfrak{R},g$ пробегает $\mathfrak{R},\dots )$, в то время как, замкнутое многообразие $[\mathfrak{R},\mathfrak{R},\dots ]=\mathfrak{R}+\mathfrak{R}+\dots$ получается из незамкнутого присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное число множеств $\mathfrak{M},\mathfrak{R},\dots$ и каждый элемент одного из них ортогонален всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно другому. В общем случае они совпадают не обязательно.

Если $\mathfrak{M}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, то рассмотрим еще совокупность всех элементов $\mathfrak{R}$, ортогональных ко всем элементам $\mathfrak{R}$. Они тоже составляют замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$. Теорема 14 . объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый интерес представляет собою множество $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ всех $f$, ортогональных ко всему $\mathfrak{M}$. Оно называется замкнутым линеинны многообразием, дополнительным к $\mathfrak{M}$.

Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия: во-первых, само $\mathfrak{R};$ во-вторых, множество $\{0\}=[0]$, состоящее лишь из нулевого элемента, и, наконец, множество всех af ( $f$ — заданный элемент из $\mathrm{\Re }$, а $a$ — переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно $\{f\}=[f]$.

Введем теперь понятие «проектирования», совершенно аналогичное этому понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10. Пусть $\mathfrak{M}$ есть замкнутое линеиное многообразие. Тогда каждый $f^s$ может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты $f=g+h,g$ из $\mathfrak{M}$ и $h$ из $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$.
Замечание. Назовем $g$ проекцией $f$ на $\mathfrak{R},h$ (которое ортогонально ко всему $\mathfrak{M}$ ) нормальной к $\mathfrak{R}$ составляющей $f$. Для $g$ введем обозначение $g=P_{\mathfrak{m}}f$.
Доказательство. Пусть ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ — ортонормированная система, существующая в силу теоремы 9., растягивающая замкнутое линенное многообразие $\mathfrak{M}$. Запишем $g$ в виде ряда $g=\sum _n(f,{\phi }_n){\phi }_n$, которыи, по теореме 6., сходится (если он вообще бесконечен); его сумма $g$ очевидно принадлежит к $\mathfrak{M}$. Далее, по теореме $6.,h=f-g$ ортогональна ко всем ‘ ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$, но поскольку векторы, ортогональные к $h$, образуют замкнутое линейное многообразие, то вместе с ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ все $\mathfrak{M}$ тоже ортогонально $h$, т. е. $h$ принадлежит к $\mathfrak{M}-\mathfrak{R}$.

Если бы существовало еще одно такое разложение $f=g^{\prime }+h^{\prime },g^{\prime }$ из $\mathfrak{M},h^{\prime }$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$, то было бы $g+h=g^{\prime }+h^{\prime },g-g^{\prime }=h-h^{\prime }=j$. Вектор $j$ должен был бы одновременно принадлежать к $\mathfrak{M}$ и к $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ и был бы, следовательно, ортогонален сам себе. Следовательно, $(j,j)=0,j=0$ и, значит, $g=g^{\prime },h=h^{\prime }$.

Операция $P_{\text{刃 }}f$ есть, следовательно, такая, которая сопоставляет каждому $f$ из $\mathfrak{R}$ его проекцию в $\mathfrak{R},P_{\text{狆 }}f$. В следующем разделе мы определим понятия оператора. Оператор $R$ есть функция, определенная на подмножестве из $\mathfrak{R}$ со значениями из $\mathrm{\Re }$, т. е. соответствие, которое сопоставляет определенному $f$ из $\mathfrak{R}$ определенный $Rf$ из $\mathfrak{R}$ (Не обязательно каждому $f$. Для некоторых $f$ из $\mathrm{\Re }$ операция может оператор, определенный повсюду в $\mathfrak{R}$ и называемый оператором проектирования в $\mathfrak{R}$.
Теорема 11. Оператор $P_{\text{м }}$ обладает следующими свойствами:
$\mathfrak{R}$ — это множество всех значений $P_{\text{决, т. е. множество все }}$ в $P_{\text{झ }}f$; но оно может быть так же охарактеризовано, как множество всех решений уравнения $P_{\text{м }}f=f$, в то время как $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$ — это множество всех решений уравнения $P_{\mathrm{\Re }}f=0$.
Замечание. В следующих разделах мы увидим, что первое свойство определяет так называемые линейные операторы, а второе — так называемые эрмитовы операторы. Третье выражает то, что двукратное применение оператора $P_{\text{决 }}$ приводит к тому же, что и однократное. Обычная символическая запись этого есть $P_{\mathfrak{M}}{P}_{\mathfrak{M}}=P_{\mathfrak{M}}$ или $P_{\mathfrak{M}}^2=P_{\mathfrak{M}}$.
Доказательство. Из того, что
$$f_1=g_1+h_1,\dots ,f_n=g_n+h_n$$
$(g_1,\dots ,g_n$ из $\mathfrak{M},h_1,\dots ,h_n$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M})$
следует, что
$$\begin{array}{c}{a}_1{f}_1+\dots +a_n{f}_n=(a_1{g}_1+\dots +a_n{g}_n)+(a_1{h}_1+\dots +a_n{h}_n)\\ (a_1{g}_1+\dots +a_n{g}_n\text{ из }\mathfrak{R},a_1{h}_1+\dots +a_n{h}_n\text{ из }\mathfrak{R}-\mathfrak{R}),\end{array}$$

Таким образом,
$$\begin{array}{l}{P}_M(a_1{f}_1+\dots +a_n{f}_n)=a_1{g}_1+\dots +a_n{g}_n=\\ =a_1{P}_{\text{M }}{f}_1+\dots +a_n{P}_{\text{M }}{f}_n,\end{array}$$

и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
$$f=g^{\prime }+h^{\prime },g=g^{\prime \prime }+h^{\prime \prime }(g^{\prime },g^{\prime \prime }\text{ из }\mathfrak{M},h^{\prime },h^{\prime \prime }\text{ из }\mathfrak{R}-\mathfrak{R}).$$

Поскольку тогда $g^{\prime },g^{\prime \prime }$ ортогональны к $h^{\prime },h^{\prime \prime }$, то, следовательно,
$$(g^{\prime },g)=(g^{\prime },g^{\prime \prime }+h^{\prime \prime })=(g^{\prime },g^{\prime \prime })=(g^{\prime }+h^{\prime },g^{\prime \prime })=(f,g^{\prime \prime }),$$
т. е. $(P_{\mathfrak{M}}f,g)=(f,P_{\mathfrak{M}}g$ ) и второе утверждение доказано.

Наконец, $P_{\text{м }}f$ принадлежит к $\mathfrak{M}$, и, следовательно, $P_{\text{м }}f=P_{\text{没 }}f+0$ есть разложение $P_{\text{没 }f}$ на компоненты, существующее в силу теоформула $P_{\text{, }}f=f$ или 0 означает, что в разложении $f=g+h,g$ из $\mathfrak{M},h-$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ (теорема 10.) или $f=g,h=0$, или $g=0$, $f=h$; т. е. что $f$ принадлежит $\mathfrak{M}$ или $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$. Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все $P_{\text{没 }}f$ принадлежат к $\mathfrak{M}$ по определению, и каждое $f^{\prime }$ из $\mathfrak{M}$ равно какому-либо $P_{\text{此 }}f$ : например, по только что сказанному, оно равно $P_{\text{投 }}{f}^{\prime }$. Это четвертое утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от $\mathfrak{M}$.
Теорема 12. Оператор $E$, определенный повсюду (ср. обсуждение, предшествующее теореме 11.), есть проекционный опемногообразия $\mathfrak{Q}$, если и только если он обладает следующими свойствами:
$$(Ef,g)=(f,Eg),E^2=E.$$
(См. замечание к теореме 11.) В этом случае $\mathfrak{R}$ однозначно определяется по $E$ (согласно теореме 11.).
Доказательство. Необходимость указанных условий, так же как и то, что $\mathfrak{M}$ определяется оператором $E$, следует из теоремы 11. Мы должны, следовательно, лишь показать, что, если $E$ обладает такими свойствами, то существует замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{M}$ с $E=P_{\text{敖 }}$.

Пусть $\mathfrak{R}$ есть замкнутое линейное многообразие, натянутое навсе $Ef$. Тогда $g-Eg$ ортогонален ко всем $Ef$ :
$$(Ef,g-Eg)=(Ef,g)-(Ef,Eg)=(Ef,g)-(E^{2}f,g)=0.$$

Множество элементов из $\mathfrak{R}$, ортогональных к $g-Eg$, образует замкнутое линейное многообразие; следовательно, вместе с $Ef$ оно включает в себя $\mathfrak{M}$, и, значит, $g-Eg$ принадлежит к $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$. Разложение $g$ по отношению к $\mathfrak{M}$ в смысле теоремы 10 . есть, следовательно, $g=Eg+(g-Eg)$, и, значит, $P_{\mathrm{\Re }\mathrm{\Re }}g=Eg$ для произвольного $g$. Таким образом, вся теорема доказана.

Если $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}$ или $=[0]$, то $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}=[0]$ или $\mathfrak{R}$ соответственно, значит, разложение по теореме 11. есть $f=f+0$ или $=0+f$, отсюда $P_{\text{м }}f=f$ или равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1 , оператор, определенный (повсюду!) как $Rf=f$, и нулевым, 0 , оператор, определенный как $Rf=0$, т. е. $P_{\mathrm{\Re }}=1,P_{[0]}=0$. Далее очевидно, что разложение $f=g+h(g$ из $\mathfrak{M},h$ из $\mathfrak{M}-\mathfrak{M}$ ) по отношению к $\mathfrak{M}$ может также употребляться по отношению к $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ в форме $f=h+g$ ( $h$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M},g$ из $\mathfrak{M}$ ). (Ибо, если $g$ принадлежит $\mathfrak{M}$, то он ортогонален каждому элементу $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ и, следовательно, принадлежит к $\mathfrak{R}-(\mathrm{\Re }-\mathfrak{R})$.) Итак, $P_{\mathrm{\Re }}f=g,P_{\mathrm{\Re }-\mathrm{\Re }}f=$ $=h=f-g$, т. е. $P_{\mathrm{\Re }-\eta n}f=f-P_{\text{级 }}f$. Это обстоятельство $P_{\mathrm{\Re }-\mathrm{\Re }}f=$ $=1f-P_{\text{没 }}f$ мы выразим символически в виде $P_{\text{䌹- }}=1-P_{\text{м }}$. (О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14..) Нужно заметить еще следующее: Мы уже обнаружили без труда, что $\mathfrak{M}$ есть подмножество от $\mathfrak{M}$ — $\mathfrak{M}-\mathfrak{M})$. Непосредственно показывать, что оба множества совпадают, было бы кропотливо. Однако это немедленно следует из того, что
$$P_{\mathrm{\Re }-(\mathrm{\Re }-\mathfrak{N})}=1-P_{\mathrm{\Re }-\mathfrak{N}}=1-(1-P_{\mathfrak{N}})=P_{\text{设 }}.$$

Более того, из предыдущего замечания следует, что если $E$-проекционный оператор, то и $1-E$ тоже, и, поскольку $1-(1-E)=E$, то и обратное заключение верно.
Теорема 13. Всегда $\Vert Ef{\Vert }^2=(Ef,f),\Vert Ef\Vert \leqq \Vert f\Vert$, $\Vert Ef\Vert =0$ или $=\Vert f\Vert$ характеризует $f$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ и из $\mathfrak{M}$ соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
$$\Vert Ef-Eg\Vert =\Vert E(f-g)\Vert \leqq \Vert f-g\Vert ,$$
т. е., что оператор $E$ непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II. 1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы 11.)
$$\Vert Ef{\Vert }^2=(Ef,Ef)=(Ef,f).$$

Поскольку $1-E$ также проекциснный оператор, то
$$\begin{array}{rl}\Vert Ef{\Vert }^2+\Vert f-Ef{\Vert }^2=& \Vert Ef{\Vert }^2+\Vert (1-E)f{\Vert }^2=\\ & =(Ef,j)+((1-E)f,f)=(f,f)=\Vert f{\Vert }^2.\end{array}$$

Поскольку оба слагаемых (слева) $\geqq 0$, они также оба $\leqq \Vert f{\Vert }^2$ и,
в частности, $\Vert Ef{\Vert }^2\leqq \Vert f{\Vert }^2,\Vert Ef\Vert \leqq \Vert f\Vert$. То, что $\Vert Ef\Vert =0,Ef=0$, выражает тот факт, что $f$ принадлежит к $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$, нам известно из теоремы 11. Вследствие вышеприведенного $\Vert Ef\Vert =\Vert f\Vert$ означает, что $\Vert f-Ef\Vert =0,Ef=f$; итак, по теореме 11. $f$ принадлежит к $\mathfrak{M}$.

Если $R$ и $S$-два оператора, то мы понимаем под $R\pm S,aR$ ( $a$ — комплексное число), $RS$ операторы, определяемые соотношениями $(R\pm S)f=Rf\pm Sf,(aR)f=a\cdot Rf,(RS)f=R(Sf)$, и пользуемся также следующим естественным обозначением:
$$R^0=1,R^1=R,R^2=RR,R^3=RRR,\dots$$

Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и естественны. Для $R\pm S,aR$ легко показать справедливость всех злементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для $RS$. Легко показать, что выполняется дистриб́утивный закон $(R\pm S)T=RT\pm ST$ и $R(S\pm T)=RS\pm RT$ (для последнего необходима, конечно, линейность $R$; см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе). Ассоциативный закон также имеет место: $(RS)T=R(ST)=RST$, но коммутативный закон $RS=SR$, вообще говоря, не справедлив $((RS)f=R(Sf)$ и ( $SR)f=S(Rf)$ не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон выполняется для двух частных $R$ и $S$, говорят, что они коммутируют. Так, например, 0 и 1 коммутируют со всеми $R$, определенными повсюду:
$$R0=0R=0;R1=1R=R.$$

Также коммутируют $R^m$ и $R^n$, поскольку $R^m{R}^n=R^{m+n}$ и, следовательно, не зависит от порядка $m,n$.
Теорема 14. Пусть $E$ и $F$-проекционные операторы замкнутых линейных многообразий $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$. Тогда $EF$ будет также проекционным оператором тогда и только тогда, когда $E$ и $F$ коммутируют, т. е. если $EF=FE$. Притом $EF$ относится к замкнутому линенному множеству из элементов, общих множествам $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$. Оператор $E+F$ будет проекционным тогда и только тогда, когда $EF=0$ (или, что то же, $FE=0$ ). Это означает, что все $\mathfrak{M}$ ортогонально ко всему $\mathfrak{N},E+F$ тогда относится к $\mathfrak{M}+\mathfrak{N}=[\mathfrak{M},\mathfrak{N}]$, которое в данном случае $=\{\mathfrak{R},\mathfrak{R}\}$. Оператор $E-F$ является проекционным тогда и только тогда, когда $EF=F$ (или, что то же, $FE=F$ ). Это означает, что $\mathrm{\Re }⿱$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, и $E-F$ относится к $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$.
Доказательство. Надо проверить, выполняются ли для $EF$ два условия теоремы 12 :
$$(EFf,g)=(f,EFg).\text{ и }(EF{)}^2=EF.$$
5 и. Нейман

Поскольку $(EFf,g)=(Ff,Eg)=(f,FEg)$, то первое условие означает, что
$$(f,EFg)=(f,FEg),(f,(FE-EF)g)=0.$$

Поскольку это выполнено для любых $f$, то $(EF-FE$ ) $g=0$, и поскольку последнее выполняется для любых $g$, то $EF-FE=0$; $EF=FE$. Итак, коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого условия, однако и выполнение второго следует из нее:
$$(EF{)}^2=EFEF=EEFF=E^2{F}^2=EF.$$

Так как $E+F$ удовлетворяет первому условию $((E+F)f,g)=$ $=(f,(E+F)g$ ) всегда (поскольну ему удовлетворяют $E,F$ ), нам остается доказать только второе. Так как
$$(E+F{)}^2=E^2+F^2+EF+FE=(E+F)+(EF+FE),$$

то остается показать, что $EF+FE=0$. Далее при $EF=0,EF$ есть проекционный оператор и, так как по доказанному тогда $EF=FE$, то $EF+FE=0$. Обратно, из $EF+FE=0$ следует, что
$$\begin{array}{rl}E(EF+FE)& =E^{2}F+EFE=EF+EFE=0,\\ E(EF+FE)E& =E^{2}FE+EF{E}^2=EFE+EFE=2\cdot EFE=0,\end{array}$$

следовательно, $EFE=0$, и, следозательно, $FE=0$. Таким образом, условие $EF=0$ необходимо и достаточно или, так как $E$ и $F$ играют одну и ту же роль, $FE=0$-также необходимое и достаточное условие. $E-F$ есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда $1-(E-F)=(1-E)+F$ является тоже проекционным оператором, и поскольку $1-E$ и $F$ являются таковыми, то в силу доказанного $(1-E)F=0$, или $F-EF=0,EF=F$ есть условие того, что $1-(E-F)$, а значит $E-F$ есть проекционный оператор (равным образом $F(1-E)=0,F-FE=0,FE=F$.

Нам еще осталось доказать утверждения относительно $\mathfrak{M},\mathfrak{N}$ $(E=P_{\text{此 }},F=P_{\mathrm{\Re }}$ ). Положим сперва $EF=FE$. Тогда каждый $EFf=FEf$ принадлежит и к $\mathfrak{M}$ и к $\mathfrak{R}$, а следовательно к $\mathfrak{P}$, и для каждого $g$ из $\mathfrak{P}Eg=Fg=g$, следовательно $EFg=Eg=g$, есть множество значений $EF$ и, значит, по теореме $11.EF=P_{\text{s. }}$. Затем положим $EF=0$ (значит, $FE=0$ также). Каждый ( $E+F)f=$ $=Ef+Ff$ принадлежит к $\{\mathfrak{R},\mathfrak{R}\}$ и каждый $g$ из $\{\mathfrak{R},\mathfrak{N}\}$ равен $h+j$, с $h$ из $\mathfrak{M}$ и $j$ из $\mathfrak{R}$, следовательно, $Eh=h,Fh=FEh=0$, $Fj=j,Ej=EFj=0$. Но, значит,
$$(E+F)(h+j)=Eh+Fh+Ej+Fj=h+j,(E+F)g=g.$$

Следовательно, $g$ представим в виде $(E+F)g$. Тем самым $\{\mathfrak{R}$, ㄱ $\}$ есть множество значений $E+F$, но поскольку $E+F$ есть проекционный оператор, то $\{\mathfrak{M},\mathfrak{R}\}$ есть соответствующее замкнутое линейное многообразие (теорема 11.). Поскольку $\{\mathfrak{M},\mathfrak{N}\}$ замкнуто, то $\{\mathfrak{M},\mathfrak{N}]=[\mathfrak{R},\mathfrak{N}]=\mathfrak{M}+\mathfrak{R}$. Теперь положим $EF=F$ (значит, и $FE=F$ тоже). Тогда $E=P_{\text{мр }},1-F=P_{\mathrm{\Re }-\mathrm{\Re }}$, следовательно, $E-F=E-EF=E(1-F)$ равно $P_{\beta }$, где $\beta -$ общая часть $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$, т. е. $\mathfrak{M}-\mathfrak{R}$.

Наконец, $EF=0$ означает, что всегда $(EFf,g)=0$, т. е. что $(Ef,Fg)=0$, иными словами, это значит, что все $\mathfrak{R}$ ортогонально ко всему ․ А $EF=F$ означает, что $F(1-E)=0$, т. е., что все ? ортогонально ко всему $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$ или это значит, что $\mathfrak{R}$ есть подмножество $\mathfrak{R}-(\mathfrak{R}-\mathfrak{M})=\mathfrak{M}$.

Если $\mathfrak{N}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$, то мы будем для $F=P_{\mathfrak{R}}$ и $E=P_{\text{凤2 }}$ говорить, что $F$ есть часть от $E$ и символически записывать это в виде $E\geqq F$ или $F\leqq E$. (Такая запись, следовательно, означает, что $EF=F$, или, что то же, $FE=F$, и как следствие, что $E,F$ коммутируют. Рассмотрением $\mathfrak{M},\mathfrak{N}$ или же прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: $0\leqq E\leqq 1$; из $E\leqq F$ и $F\leqq E$ следует $E=F$; из $E\leqq F,F\leqq G$ следует $E\leqq G$. Наш знак обладает, таким образом, свойтвами «упорядочения по величине». Следует заметить дальше, что три утверждения: $E\leqq F$, $1-E\geqq 1-F$ или $E$ ортогонален к $1-F$, эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность $E^{\prime },F^{\prime }$ следует из ортогональности $E,F$, если $E^{\prime }\leqq E$ и $F^{\prime }\leqq F$.) Если $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$ ортогональны, мы говорим, что $E$ и $F$ также ортогональны. (То есть это значит, что $EF=0$ или также $FE=0$.) Напротив, если $E,F$ коммутируют, мы будем говорить, что соответственные $\mathfrak{R},\mathfrak{N}$ также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение $E\leqq F$ эквивалентно тому, что всегда справедливо $\Vert Ef\Vert \leqq \Vert Ff\Vert$.
Доказательство. Из $E\leqq F$ следует, что $F=EF$, следовательно, $\Vert Ef\Vert =\Vert EFf\Vert \leqq \Vert Ff\Vert$ (ср. теорему 13.). Обратно, это соотношение имеет следующее следствие: если $Ff=0$, то $\Vert Ef\Vert \leqq$ $\leqq \Vert Ff\Vert =0,Ef=0$ и из-за $F(1-F)f=(F-F^2)f=0$ получаем тождественно $E(1-F)f=0$, т. е. $E(1-F)=E-EF=0$, $E=EF$, следовательно $E\leqq F$.
Теорема 16. Пусть $E_1,\dots ,E_k$ суть проекционные операторы. Тогда $E_1+\dots +E_k$ будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все $E_m,E_l(m,l=1,\dots ,k$, $meql$ ) взаимно ортогональны. Другое необходимое и достаточное условие — это
$${\Vert E_{1}f\Vert }^2+\dots +{\Vert E_{k}f\Vert }^2\leqq \Vert f{\Vert }^2$$
$\dots ,E_k=P_{{\cup }_k}$ ) есть в этом случае оператор проектирования
$5^{\ast }$
в ${\mathfrak{M}}_1+\dots +{\mathfrak{M}}_k=[{\mathfrak{M}}_1,\dots ,{\mathfrak{M}}_k]$, которое в данном случае равно $\{{\mathfrak{R}}_1,\dots ,{\mathfrak{M}}_k\}$.
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением теоремы 14.. Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для $meql,E_{m}f=f$ будет
$$\begin{array}{c}\Vert f{\Vert }^2+{\Vert E_{l}f\Vert }^2={\Vert E_{m}f\Vert }^2+{\Vert E_{l}f\Vert }^2\leqq {\Vert E_{1}f\Vert }^2+\dots \\ \cdots +{\Vert E_{k}f\Vert }^2\leqq \Vert f{\Vert }^2,\\ {\Vert E_{l}f\Vert }^2=0,E_{l}f=0.\end{array}$$

Поскольку, однако, $E_m\left(E_{m}f\right)=E_{m}f$ выполняется тождественно, то $E_l\left(E_{m}f\right)=0$, т. е. $E_l{E}_m=0$. Наконец, второе условие необходимо: Если $E_1+\dots +E_k$ — проекционный оператор, то (теорема 13.):
$$\begin{array}{l}{\Vert E_{1}f\Vert }^2+\dots +{\Vert E_{k}f\Vert }^2=(E_{1}f,f)+\dots +(E_{k}f,f)=\\ =((E_1+\dots +E_k)f,f)={\Vert (E_1+\dots +E_k)f\Vert }^2\leqq \Vert f{\Vert }^2.\end{array}$$

Имеем таким образом следующую логическую схему:
$E_1+\dots +E_k$ есть проекционный оператор $\to$ второй критерий $\to$
$\to$ первый критерий $\to E_1+\dots +E_k$ есть проекционный оператор
т. е. все три утверждения эквивалентны.

В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть $E_1,E_2,\dots$ есть возрастающая или убывающая последовательность проекционных операторов: $E_1\leqq$ $\leqq E_2\leqq \dots$ или $E_1\geqq E_2\geqq \dots$ Такая последовательность сходится к проекционному оператору $E$ в том смысле, что для всех $f{E}_{n}f\to Ef$; и при этом все $E_n\leqq E$, или $E_n\geqq E$ соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первыи может быть сведен к нему заменой $E_1,E_2,\dots ,E$ на $1-E_1,1-E_2,\dots ,1-E$. Пусть поэтому $E_1\geqq E_2\geqq \dots$

В силу теоремы 15. ${\Vert E_{1}f\Vert }^2\geqq \Vert E_{2}f\Vert \geqq \dots \geqq 0$. Следовательно, существует $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert E_{m}f\Vert }^2$. Это значит, что для каждого существует $N=N(\epsilon )$ такое, что для $m,l\geqq N$ будет ${\Vert E_{m}f\Vert }^2-$ — . Далее, для $m\leqq l,E_m\geqq E_l,E_m-E_l$ есть проекционный оператор, и, значит;
$$\begin{array}{l}{\Vert E_{m}f\Vert }^2-{\Vert E_{l}f\Vert }^2=(E_{m}f,f)-(E_{l}f,f)=((E_m-E_l)f,f)=\\ ={\Vert (E_m-E_l)f\Vert }^2={\Vert E_{m}f-E_{l}f\Vert }^2.\end{array}$$

откуда следует, что . Последовательность $E_{1}f$, $E_{2}f,\dots$ удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому предел $f^{\ast }$ (D. из II. 1I). Следовательно, $Ef=f^{\ast }$ определяет оператор, всюду имеющий смысл.

Из $(E_{n}f,g)=(f,E_{n}g)$ получается после перехода к пределу, что $(Ef,g)=(f,Eg)$, из $(E_{n}f,E_{n}g)=(E_{n}f,g)$ следует, что $(Ef,Eg)=(Ef,g)$, значит, $(E^{2}f,g)=(Ef,g)$ и $E^2=E$. Таким образом, $E$ есть проекционный оператор. Для $l\geqq m,\Vert E_{m}f\Vert \geqq \Vert E_{l}f\Vert$. и при $l\to \mathrm{\infty }$ мы получим $\Vert E_{m}f\Vert \geqq \Vert Ef\Vert$, следовательно, $E_m\geqq E$ (теорема 15.).

Если $E_1,E_2,\dots$ суть попарно взаимно ортогональные проекционные операторы, то $E_1,E_1+E_2,E_1+E_2+E_3,\dots$ суть также проекционные операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они должны сходиться по теореме 17. к проекционному оператору, который больше каждого из них и который мы можем обозначить через $E_1+E_2+\dots$ Пусть $E_1=P_{\text{㹱 }}$, $E_2=P_{{\mathfrak{M}}_2},\dots ,E_1+E_2+\dots =P_{\text{怾 }}$. Поскольку все $E_m\leqq E$, то ${\mathfrak{M}}_m$ есть подмножество $\mathfrak{M}$ и, следовательно, $\mathfrak{M}$ включает также $[{\mathfrak{R}}_1,{\mathfrak{R}}_2,\dots ]={\mathfrak{M}}_1+{\mathfrak{R}}_2+\dots =\mathfrak{R}$. С другой стороны, все ${\mathfrak{R}}_n$ суть подмножества ${\mathfrak{P}}^{\prime }$, значит, $E_n\leqq P_{\text{覑 }}=E^{\prime }$. Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в приведенном выше доказательстве) $E\leqq E^{\prime }$, т. е. $\mathfrak{M}$ есть подмножество $\mathfrak{R}$. Таким образом, $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}$. $E=E^{\prime }$, т. е. $\mathfrak{R}={\mathfrak{R}}_1+{\mathfrak{M}}_2+\dots$ или, переписанное другим способом,
$$P_{{\mathfrak{M}}_1+{\mathfrak{M}}_2}+\dots =P_{{\mathfrak{R}}_1}+P_{{\mathrm{SM}}_2}+\dots$$

На этом мы закончим изучениє проекционных операторов.