Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в рассмотрении геометрических своћств пространства Гильберта и детально изучить замкнутые линеинне многообразия, которые играют в роль, аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами, ) в .
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2.
) Эта теорема теории множеств о «неперечислимости континуума». Смотри, например, книгу Хаусдорфа, указанную в прим. 45), стр. 41).
линейное многообразие или замкнутое линеиное многообразие соответственно растягиваемое , иными словами, наименьший представитель каждого из двух типов многообразий, содержащий . Расширим теперь эти обозначения в том смысле, что если — какиелибо подмножества , а — элементы из , то мы будем понимать под или линеиное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно, натянутое на множество, получающееся соединением и
Если, в частности, суть замкнутые линейные многообразия (в конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое линейное многообразие ] символом Линейное многообразие состоит, очевидно, из всех сумм пробегает пробегает , в то время как, замкнутое многообразие получается из незамкнутого присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное число множеств и каждый элемент одного из них ортогонален всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно другому. В общем случае они совпадают не обязательно.
Если есть подмножество , то рассмотрим еще совокупность всех элементов , ортогональных ко всем элементам . Они тоже составляют замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо . Теорема 14 . объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый интерес представляет собою множество всех , ортогональных ко всему . Оно называется замкнутым линеинны многообразием, дополнительным к .
Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия: во-первых, само во-вторых, множество , состоящее лишь из нулевого элемента, и, наконец, множество всех af ( — заданный элемент из , а — переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно .
Введем теперь понятие «проектирования», совершенно аналогичное этому понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10. Пусть есть замкнутое линеиное многообразие. Тогда каждый может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты из и из .
Замечание. Назовем проекцией на (которое ортогонально ко всему ) нормальной к составляющей . Для введем обозначение .
Доказательство. Пусть — ортонормированная система, существующая в силу теоремы 9., растягивающая замкнутое линенное многообразие . Запишем в виде ряда , которыи, по теореме 6., сходится (если он вообще бесконечен); его сумма очевидно принадлежит к . Далее, по теореме ортогональна ко всем ‘ , но поскольку векторы, ортогональные к , образуют замкнутое линейное многообразие, то вместе с все тоже ортогонально , т. е. принадлежит к .
Если бы существовало еще одно такое разложение из из , то было бы . Вектор должен был бы одновременно принадлежать к и к и был бы, следовательно, ортогонален сам себе. Следовательно, и, значит, .
Операция есть, следовательно, такая, которая сопоставляет каждому из его проекцию в . В следующем разделе мы определим понятия оператора. Оператор есть функция, определенная на подмножестве из со значениями из , т. е. соответствие, которое сопоставляет определенному из определенный из (Не обязательно каждому . Для некоторых из операция может оператор, определенный повсюду в и называемый оператором проектирования в .
Теорема 11. Оператор обладает следующими свойствами:
— это множество всех значений в ; но оно может быть так же охарактеризовано, как множество всех решений уравнения , в то время как — это множество всех решений уравнения .
Замечание. В следующих разделах мы увидим, что первое свойство определяет так называемые линейные операторы, а второе — так называемые эрмитовы операторы. Третье выражает то, что двукратное применение оператора приводит к тому же, что и однократное. Обычная символическая запись этого есть или .
Доказательство. Из того, что
из из
следует, что
Таким образом,
и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
Поскольку тогда ортогональны к , то, следовательно,
т. е. ) и второе утверждение доказано.
Наконец, принадлежит к , и, следовательно, есть разложение на компоненты, существующее в силу теоформула или 0 означает, что в разложении из из (теорема 10.) или , или , ; т. е. что принадлежит или . Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все принадлежат к по определению, и каждое из равно какому-либо : например, по только что сказанному, оно равно . Это четвертое утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от .
Теорема 12. Оператор , определенный повсюду (ср. обсуждение, предшествующее теореме 11.), есть проекционный опемногообразия , если и только если он обладает следующими свойствами:
(См. замечание к теореме 11.) В этом случае однозначно определяется по (согласно теореме 11.).
Доказательство. Необходимость указанных условий, так же как и то, что определяется оператором , следует из теоремы 11. Мы должны, следовательно, лишь показать, что, если обладает такими свойствами, то существует замкнутое линейное многообразие с .
Пусть есть замкнутое линейное многообразие, натянутое навсе . Тогда ортогонален ко всем :
Множество элементов из , ортогональных к , образует замкнутое линейное многообразие; следовательно, вместе с оно включает в себя , и, значит, принадлежит к . Разложение по отношению к в смысле теоремы 10 . есть, следовательно, , и, значит, для произвольного . Таким образом, вся теорема доказана.
Если или , то или соответственно, значит, разложение по теореме 11. есть или , отсюда или равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1 , оператор, определенный (повсюду!) как , и нулевым, 0 , оператор, определенный как , т. е. . Далее очевидно, что разложение из из ) по отношению к может также употребляться по отношению к в форме ( из из ). (Ибо, если принадлежит , то он ортогонален каждому элементу и, следовательно, принадлежит к .) Итак, , т. е. . Это обстоятельство мы выразим символически в виде . (О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14..) Нужно заметить еще следующее: Мы уже обнаружили без труда, что есть подмножество от — . Непосредственно показывать, что оба множества совпадают, было бы кропотливо. Однако это немедленно следует из того, что
Более того, из предыдущего замечания следует, что если -проекционный оператор, то и тоже, и, поскольку , то и обратное заключение верно.
Теорема 13. Всегда , или характеризует из и из соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
т. е., что оператор непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II. 1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы 11.)
Поскольку также проекциснный оператор, то
Поскольку оба слагаемых (слева) , они также оба и,
в частности, . То, что , выражает тот факт, что принадлежит к , нам известно из теоремы 11. Вследствие вышеприведенного означает, что ; итак, по теореме 11. принадлежит к .
Если и -два оператора, то мы понимаем под ( — комплексное число), операторы, определяемые соотношениями , и пользуемся также следующим естественным обозначением:
Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и естественны. Для легко показать справедливость всех злементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для . Легко показать, что выполняется дистриб́утивный закон и (для последнего необходима, конечно, линейность ; см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе). Ассоциативный закон также имеет место: , но коммутативный закон , вообще говоря, не справедлив и ( не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон выполняется для двух частных и , говорят, что они коммутируют. Так, например, 0 и 1 коммутируют со всеми , определенными повсюду:
Также коммутируют и , поскольку и, следовательно, не зависит от порядка .
Теорема 14. Пусть и -проекционные операторы замкнутых линейных многообразий и . Тогда будет также проекционным оператором тогда и только тогда, когда и коммутируют, т. е. если . Притом относится к замкнутому линенному множеству из элементов, общих множествам и . Оператор будет проекционным тогда и только тогда, когда (или, что то же, ). Это означает, что все ортогонально ко всему тогда относится к , которое в данном случае . Оператор является проекционным тогда и только тогда, когда (или, что то же, ). Это означает, что есть подмножество , и относится к .
Доказательство. Надо проверить, выполняются ли для два условия теоремы 12 :
5 и. Нейман
Поскольку , то первое условие означает, что
Поскольку это выполнено для любых , то ) , и поскольку последнее выполняется для любых , то ; . Итак, коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого условия, однако и выполнение второго следует из нее:
Так как удовлетворяет первому условию ) всегда (поскольну ему удовлетворяют ), нам остается доказать только второе. Так как
то остается показать, что . Далее при есть проекционный оператор и, так как по доказанному тогда , то . Обратно, из следует, что
следовательно, , и, следозательно, . Таким образом, условие необходимо и достаточно или, так как и играют одну и ту же роль, -также необходимое и достаточное условие. есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда является тоже проекционным оператором, и поскольку и являются таковыми, то в силу доказанного , или есть условие того, что , а значит есть проекционный оператор (равным образом .
Нам еще осталось доказать утверждения относительно ). Положим сперва . Тогда каждый принадлежит и к и к , а следовательно к , и для каждого из , следовательно , есть множество значений и, значит, по теореме . Затем положим (значит, также). Каждый ( принадлежит к и каждый из равен , с из и из , следовательно, , . Но, значит,
Следовательно, представим в виде . Тем самым , ㄱ есть множество значений , но поскольку есть проекционный оператор, то есть соответствующее замкнутое линейное многообразие (теорема 11.). Поскольку замкнуто, то . Теперь положим (значит, и тоже). Тогда , следовательно, равно , где общая часть и , т. е. .
Наконец, означает, что всегда , т. е. что , иными словами, это значит, что все ортогонально ко всему ․ А означает, что , т. е., что все ? ортогонально ко всему или это значит, что есть подмножество .
Если есть подмножество , то мы будем для и говорить, что есть часть от и символически записывать это в виде или . (Такая запись, следовательно, означает, что , или, что то же, , и как следствие, что коммутируют. Рассмотрением или же прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: ; из и следует ; из следует . Наш знак обладает, таким образом, свойтвами «упорядочения по величине». Следует заметить дальше, что три утверждения: , или ортогонален к , эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность следует из ортогональности , если и .) Если и ортогональны, мы говорим, что и также ортогональны. (То есть это значит, что или также .) Напротив, если коммутируют, мы будем говорить, что соответственные также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение эквивалентно тому, что всегда справедливо .
Доказательство. Из следует, что , следовательно, (ср. теорему 13.). Обратно, это соотношение имеет следующее следствие: если , то и из-за получаем тождественно , т. е. , , следовательно .
Теорема 16. Пусть суть проекционные операторы. Тогда будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все , ) взаимно ортогональны. Другое необходимое и достаточное условие — это
) есть в этом случае оператор проектирования
в , которое в данном случае равно .
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением теоремы 14.. Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для будет
Поскольку, однако, выполняется тождественно, то , т. е. . Наконец, второе условие необходимо: Если — проекционный оператор, то (теорема 13.):
Имеем таким образом следующую логическую схему:
есть проекционный оператор второй критерий
первый критерий есть проекционный оператор
т. е. все три утверждения эквивалентны.
В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть есть возрастающая или убывающая последовательность проекционных операторов: или Такая последовательность сходится к проекционному оператору в том смысле, что для всех ; и при этом все , или соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первыи может быть сведен к нему заменой на . Пусть поэтому
В силу теоремы 15. . Следовательно, существует . Это значит, что для каждого существует такое, что для будет — . Далее, для есть проекционный оператор, и, значит;
откуда следует, что . Последовательность , удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому предел (D. из II. 1I). Следовательно, определяет оператор, всюду имеющий смысл.
Из получается после перехода к пределу, что , из следует, что , значит, и . Таким образом, есть проекционный оператор. Для . и при мы получим , следовательно, (теорема 15.).
Если суть попарно взаимно ортогональные проекционные операторы, то суть также проекционные операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они должны сходиться по теореме 17. к проекционному оператору, который больше каждого из них и который мы можем обозначить через Пусть , . Поскольку все , то есть подмножество и, следовательно, включает также . С другой стороны, все суть подмножества , значит, . Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в приведенном выше доказательстве) , т. е. есть подмножество . Таким образом, . , т. е. или, переписанное другим способом,
На этом мы закончим изучениє проекционных операторов.