Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ФОН НЕИМАН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в рассмотрении геометрических своћств пространства Гильберта и детально изучить замкнутые линеинне многообразия, которые играют в R роль, аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами, Rm,mn ) в Rn.
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2.
57 ) Эта теорема теории множеств о «неперечислимости континуума». Смотри, например, книгу Хаусдорфа, указанную в прим. 45), стр. 41).
линейное многообразие или замкнутое линеиное многообразие соответственно растягиваемое A, иными словами, наименьший представитель каждого из двух типов многообразий, содержащий A. Расширим теперь эти обозначения в том смысле, что если A,B, — какиелибо подмножества R, а f,g, — элементы из , то мы будем понимать под {A,B,,f,g,} или [A,B,,f,g,] линеиное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно, натянутое на множество, получающееся соединением U,B, и f,g,

Если, в частности, R,N, суть замкнутые линейные многообразия (в конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое линейное многообразие [R,R, ] символом R+N+ Линейное многообразие {R,,} состоит, очевидно, из всех сумм f+g+(f пробегает R,g пробегает R,), в то время как, замкнутое многообразие [R,R,]=R+R+ получается из незамкнутого присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное число множеств M,R, и каждый элемент одного из них ортогонален всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно другому. В общем случае они совпадают не обязательно.

Если M есть подмножество R, то рассмотрим еще совокупность всех элементов R, ортогональных ко всем элементам R. Они тоже составляют замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо RR. Теорема 14 . объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый интерес представляет собою множество MM всех f, ортогональных ко всему M. Оно называется замкнутым линеинны многообразием, дополнительным к M.

Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия: во-первых, само R; во-вторых, множество {0}=[0], состоящее лишь из нулевого элемента, и, наконец, множество всех af ( f — заданный элемент из , а a — переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно {f}=[f].

Введем теперь понятие «проектирования», совершенно аналогичное этому понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10. Пусть M есть замкнутое линеиное многообразие. Тогда каждый fs может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты f=g+h,g из M и h из MM.
Замечание. Назовем g проекцией f на R,h (которое ортогонально ко всему M ) нормальной к R составляющей f. Для g введем обозначение g=Pmf.
Доказательство. Пусть φ1,φ2, — ортонормированная система, существующая в силу теоремы 9., растягивающая замкнутое линенное многообразие M. Запишем g в виде ряда g=n(f,φn)φn, которыи, по теореме 6., сходится (если он вообще бесконечен); его сумма g очевидно принадлежит к M. Далее, по теореме 6.,h=fg ортогональна ко всем ‘ φ1,φ2,, но поскольку векторы, ортогональные к h, образуют замкнутое линейное многообразие, то вместе с φ1,φ2, все M тоже ортогонально h, т. е. h принадлежит к MR.

Если бы существовало еще одно такое разложение f=g+h,g из M,h из RM, то было бы g+h=g+h,gg=hh=j. Вектор j должен был бы одновременно принадлежать к M и к MM и был бы, следовательно, ортогонален сам себе. Следовательно, (j,j)=0,j=0 и, значит, g=g,h=h.

Операция P刃 f есть, следовательно, такая, которая сопоставляет каждому f из R его проекцию в R,P狆 f. В следующем разделе мы определим понятия оператора. Оператор R есть функция, определенная на подмножестве из R со значениями из , т. е. соответствие, которое сопоставляет определенному f из R определенный Rf из R (Не обязательно каждому f. Для некоторых f из операция может оператор, определенный повсюду в R и называемый оператором проектирования в R.
Теорема 11. Оператор Pм  обладает следующими свойствами:
R — это множество всех значений P决, т. е. множество все  в Pझ f; но оно может быть так же охарактеризовано, как множество всех решений уравнения Pм f=f, в то время как RR — это множество всех решений уравнения Pf=0.
Замечание. В следующих разделах мы увидим, что первое свойство определяет так называемые линейные операторы, а второе — так называемые эрмитовы операторы. Третье выражает то, что двукратное применение оператора P决  приводит к тому же, что и однократное. Обычная символическая запись этого есть PMPM=PM или PM2=PM.
Доказательство. Из того, что
f1=g1+h1,,fn=gn+hn
(g1,,gn из M,h1,,hn из RM)
следует, что
a1f1++anfn=(a1g1++angn)+(a1h1++anhn)(a1g1++angn из R,a1h1++anhn из RR),

Таким образом,
PM(a1f1++anfn)=a1g1++angn==a1Pf1++anPfn,

и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
f=g+h,g=g+h(g,g из M,h,h из RR).

Поскольку тогда g,g ортогональны к h,h, то, следовательно,
(g,g)=(g,g+h)=(g,g)=(g+h,g)=(f,g),
т. е. (PMf,g)=(f,PMg ) и второе утверждение доказано.

Наконец, Pм f принадлежит к M, и, следовательно, Pм f=P没 f+0 есть разложение P没 f на компоненты, существующее в силу теоформула Pf=f или 0 означает, что в разложении f=g+h,g из M,h из RM (теорема 10.) или f=g,h=0, или g=0, f=h; т. е. что f принадлежит M или MM. Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все P没 f принадлежат к M по определению, и каждое f из M равно какому-либо P此 f : например, по только что сказанному, оно равно P投 f. Это четвертое утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от M.
Теорема 12. Оператор E, определенный повсюду (ср. обсуждение, предшествующее теореме 11.), есть проекционный опемногообразия Q, если и только если он обладает следующими свойствами:
(Ef,g)=(f,Eg),E2=E.
(См. замечание к теореме 11.) В этом случае R однозначно определяется по E (согласно теореме 11.).
Доказательство. Необходимость указанных условий, так же как и то, что M определяется оператором E, следует из теоремы 11. Мы должны, следовательно, лишь показать, что, если E обладает такими свойствами, то существует замкнутое линейное многообразие M с E=P敖 .

Пусть R есть замкнутое линейное многообразие, натянутое навсе Ef. Тогда gEg ортогонален ко всем Ef :
(Ef,gEg)=(Ef,g)(Ef,Eg)=(Ef,g)(E2f,g)=0.

Множество элементов из R, ортогональных к gEg, образует замкнутое линейное многообразие; следовательно, вместе с Ef оно включает в себя M, и, значит, gEg принадлежит к MM. Разложение g по отношению к M в смысле теоремы 10 . есть, следовательно, g=Eg+(gEg), и, значит, Pg=Eg для произвольного g. Таким образом, вся теорема доказана.

Если M=M или =[0], то RM=[0] или R соответственно, значит, разложение по теореме 11. есть f=f+0 или =0+f, отсюда Pм f=f или равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1 , оператор, определенный (повсюду!) как Rf=f, и нулевым, 0 , оператор, определенный как Rf=0, т. е. P=1,P[0]=0. Далее очевидно, что разложение f=g+h(g из M,h из MM ) по отношению к M может также употребляться по отношению к RM в форме f=h+g ( h из RM,g из M ). (Ибо, если g принадлежит M, то он ортогонален каждому элементу RM и, следовательно, принадлежит к R(R).) Итак, Pf=g,Pf= =h=fg, т. е. Pηnf=fP级 f. Это обстоятельство Pf= =1fP没 f мы выразим символически в виде P䌹- =1Pм . (О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14..) Нужно заметить еще следующее: Мы уже обнаружили без труда, что M есть подмножество от MMM). Непосредственно показывать, что оба множества совпадают, было бы кропотливо. Однако это немедленно следует из того, что
P(N)=1PN=1(1PN)=P设 .

Более того, из предыдущего замечания следует, что если E-проекционный оператор, то и 1E тоже, и, поскольку 1(1E)=E, то и обратное заключение верно.
Теорема 13. Всегда Ef2=(Ef,f),Eff, Ef=0 или =f характеризует f из RM и из M соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
EfEg=E(fg)fg,
т. е., что оператор E непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II. 1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы 11.)
Ef2=(Ef,Ef)=(Ef,f).

Поскольку 1E также проекциснный оператор, то
Ef2+fEf2=Ef2+(1E)f2==(Ef,j)+((1E)f,f)=(f,f)=f2.

Поскольку оба слагаемых (слева) 0, они также оба f2 и,
в частности, Ef2f2,Eff. То, что Ef=0,Ef=0, выражает тот факт, что f принадлежит к RM, нам известно из теоремы 11. Вследствие вышеприведенного Ef=f означает, что fEf=0,Ef=f; итак, по теореме 11. f принадлежит к M.

Если R и S-два оператора, то мы понимаем под R±S,aR ( a — комплексное число), RS операторы, определяемые соотношениями (R±S)f=Rf±Sf,(aR)f=aRf,(RS)f=R(Sf), и пользуемся также следующим естественным обозначением:
R0=1,R1=R,R2=RR,R3=RRR,

Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и естественны. Для R±S,aR легко показать справедливость всех злементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для RS. Легко показать, что выполняется дистриб́утивный закон (R±S)T=RT±ST и R(S±T)=RS±RT (для последнего необходима, конечно, линейность R; см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе). Ассоциативный закон также имеет место: (RS)T=R(ST)=RST, но коммутативный закон RS=SR, вообще говоря, не справедлив ((RS)f=R(Sf) и ( SR)f=S(Rf) не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон выполняется для двух частных R и S, говорят, что они коммутируют. Так, например, 0 и 1 коммутируют со всеми R, определенными повсюду:
R0=0R=0;R1=1R=R.

Также коммутируют Rm и Rn, поскольку RmRn=Rm+n и, следовательно, не зависит от порядка m,n.
Теорема 14. Пусть E и F-проекционные операторы замкнутых линейных многообразий M и R. Тогда EF будет также проекционным оператором тогда и только тогда, когда E и F коммутируют, т. е. если EF=FE. Притом EF относится к замкнутому линенному множеству из элементов, общих множествам M и R. Оператор E+F будет проекционным тогда и только тогда, когда EF=0 (или, что то же, FE=0 ). Это означает, что все M ортогонально ко всему N,E+F тогда относится к M+N=[M,N], которое в данном случае ={R,R}. Оператор EF является проекционным тогда и только тогда, когда EF=F (или, что то же, FE=F ). Это означает, что есть подмножество R, и EF относится к RR.
Доказательство. Надо проверить, выполняются ли для EF два условия теоремы 12 :
(EFf,g)=(f,EFg). и (EF)2=EF.
5 и. Нейман

Поскольку (EFf,g)=(Ff,Eg)=(f,FEg), то первое условие означает, что
(f,EFg)=(f,FEg),(f,(FEEF)g)=0.

Поскольку это выполнено для любых f, то (EFFE ) g=0, и поскольку последнее выполняется для любых g, то EFFE=0; EF=FE. Итак, коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого условия, однако и выполнение второго следует из нее:
(EF)2=EFEF=EEFF=E2F2=EF.

Так как E+F удовлетворяет первому условию ((E+F)f,g)= =(f,(E+F)g ) всегда (поскольну ему удовлетворяют E,F ), нам остается доказать только второе. Так как
(E+F)2=E2+F2+EF+FE=(E+F)+(EF+FE),

то остается показать, что EF+FE=0. Далее при EF=0,EF есть проекционный оператор и, так как по доказанному тогда EF=FE, то EF+FE=0. Обратно, из EF+FE=0 следует, что
E(EF+FE)=E2F+EFE=EF+EFE=0,E(EF+FE)E=E2FE+EFE2=EFE+EFE=2EFE=0,

следовательно, EFE=0, и, следозательно, FE=0. Таким образом, условие EF=0 необходимо и достаточно или, так как E и F играют одну и ту же роль, FE=0-также необходимое и достаточное условие. EF есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда 1(EF)=(1E)+F является тоже проекционным оператором, и поскольку 1E и F являются таковыми, то в силу доказанного (1E)F=0, или FEF=0,EF=F есть условие того, что 1(EF), а значит EF есть проекционный оператор (равным образом F(1E)=0,FFE=0,FE=F.

Нам еще осталось доказать утверждения относительно M,N (E=P此 ,F=P ). Положим сперва EF=FE. Тогда каждый EFf=FEf принадлежит и к M и к R, а следовательно к P, и для каждого g из PEg=Fg=g, следовательно EFg=Eg=g, есть множество значений EF и, значит, по теореме 11.EF=Ps. . Затем положим EF=0 (значит, FE=0 также). Каждый ( E+F)f= =Ef+Ff принадлежит к {R,R} и каждый g из {R,N} равен h+j, с h из M и j из R, следовательно, Eh=h,Fh=FEh=0, Fj=j,Ej=EFj=0. Но, значит,
(E+F)(h+j)=Eh+Fh+Ej+Fj=h+j,(E+F)g=g.

Следовательно, g представим в виде (E+F)g. Тем самым {R, ㄱ } есть множество значений E+F, но поскольку E+F есть проекционный оператор, то {M,R} есть соответствующее замкнутое линейное многообразие (теорема 11.). Поскольку {M,N} замкнуто, то {M,N]=[R,N]=M+R. Теперь положим EF=F (значит, и FE=F тоже). Тогда E=Pмр ,1F=P, следовательно, EF=EEF=E(1F) равно Pβ, где β общая часть M и RR, т. е. MR.

Наконец, EF=0 означает, что всегда (EFf,g)=0, т. е. что (Ef,Fg)=0, иными словами, это значит, что все R ортогонально ко всему ․ А EF=F означает, что F(1E)=0, т. е., что все ? ортогонально ко всему RM или это значит, что R есть подмножество R(RM)=M.

Если N есть подмножество R, то мы будем для F=PR и E=P凤2  говорить, что F есть часть от E и символически записывать это в виде EF или FE. (Такая запись, следовательно, означает, что EF=F, или, что то же, FE=F, и как следствие, что E,F коммутируют. Рассмотрением M,N или же прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: 0E1; из EF и FE следует E=F; из EF,FG следует EG. Наш знак обладает, таким образом, свойтвами «упорядочения по величине». Следует заметить дальше, что три утверждения: EF, 1E1F или E ортогонален к 1F, эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность E,F следует из ортогональности E,F, если EE и FF.) Если M и R ортогональны, мы говорим, что E и F также ортогональны. (То есть это значит, что EF=0 или также FE=0.) Напротив, если E,F коммутируют, мы будем говорить, что соответственные R,N также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение EF эквивалентно тому, что всегда справедливо EfFf.
Доказательство. Из EF следует, что F=EF, следовательно, Ef=EFfFf (ср. теорему 13.). Обратно, это соотношение имеет следующее следствие: если Ff=0, то Ef Ff=0,Ef=0 и из-за F(1F)f=(FF2)f=0 получаем тождественно E(1F)f=0, т. е. E(1F)=EEF=0, E=EF, следовательно EF.
Теорема 16. Пусть E1,,Ek суть проекционные операторы. Тогда E1++Ek будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все Em,El(m,l=1,,k, meql ) взаимно ортогональны. Другое необходимое и достаточное условие — это
E1f2++Ekf2f2
,Ek=Pk ) есть в этом случае оператор проектирования
5
в M1++Mk=[M1,,Mk], которое в данном случае равно {R1,,Mk}.
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением теоремы 14.. Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для meql,Emf=f будет
f2+Elf2=Emf2+Elf2E1f2++Ekf2f2,Elf2=0,Elf=0.

Поскольку, однако, Em(Emf)=Emf выполняется тождественно, то El(Emf)=0, т. е. ElEm=0. Наконец, второе условие необходимо: Если E1++Ek — проекционный оператор, то (теорема 13.):
E1f2++Ekf2=(E1f,f)++(Ekf,f)==((E1++Ek)f,f)=(E1++Ek)f2f2.

Имеем таким образом следующую логическую схему:
E1++Ek есть проекционный оператор второй критерий
первый критерий E1++Ek есть проекционный оператор
т. е. все три утверждения эквивалентны.

В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть E1,E2, есть возрастающая или убывающая последовательность проекционных операторов: E1 E2 или E1E2 Такая последовательность сходится к проекционному оператору E в том смысле, что для всех fEnfEf; и при этом все EnE, или EnE соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первыи может быть сведен к нему заменой E1,E2,,E на 1E1,1E2,,1E. Пусть поэтому E1E2

В силу теоремы 15. E1f2E2f0. Следовательно, существует limmEmf2. Это значит, что для каждого Misplaced & существует N=N(ε) такое, что для m,lN будет Emf2Misplaced &. Далее, для ml,EmEl,EmEl есть проекционный оператор, и, значит;
Emf2Elf2=(Emf,f)(Elf,f)=((EmEl)f,f)==(EmEl)f2=EmfElf2.

откуда следует, что Misplaced &. Последовательность E1f, E2f, удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому предел f (D. из II. 1I). Следовательно, Ef=f определяет оператор, всюду имеющий смысл.

Из (Enf,g)=(f,Eng) получается после перехода к пределу, что (Ef,g)=(f,Eg), из (Enf,Eng)=(Enf,g) следует, что (Ef,Eg)=(Ef,g), значит, (E2f,g)=(Ef,g) и E2=E. Таким образом, E есть проекционный оператор. Для lm,EmfElf. и при l мы получим EmfEf, следовательно, EmE (теорема 15.).

Если E1,E2, суть попарно взаимно ортогональные проекционные операторы, то E1,E1+E2,E1+E2+E3, суть также проекционные операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они должны сходиться по теореме 17. к проекционному оператору, который больше каждого из них и который мы можем обозначить через E1+E2+ Пусть E1=P㹱 , E2=PM2,,E1+E2+=P怾 . Поскольку все EmE, то Mm есть подмножество M и, следовательно, M включает также [R1,R2,]=M1+R2+=R. С другой стороны, все Rn суть подмножества P, значит, EnP覑 =E. Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в приведенном выше доказательстве) EE, т. е. M есть подмножество R. Таким образом, R=R. E=E, т. е. R=R1+M2+ или, переписанное другим способом,
PM1+M2+=PR1+PSM2+

На этом мы закончим изучениє проекционных операторов.

1
Оглавление
email@scask.ru