Нам надо теперь выполнять программу, предложенную в конце I.4: определить гильбертово пространство, – которое даст нам математическое основание для трактовки квантовой механики, – в терминах исключительно тех понятий, которые впоследствии войдут в саму квантовую механику и которые з силу этого будут иметь равный смысл как в «дискретном» функциональном пространстве $F_{Z}$ последовательностеи $x_{v}(v=1,2, \ldots)$, так и в «непрерывном» пространстве $F_{2}$ волновых функций $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right.$ пробегают все конфигурационное пространство 2 ). Эти понятия, как мы уже однажды указывали, суть следующие:
a) Умножение на скаляр, т. е. перемножение (комплексного) числа $a$ и элемента $f$ гильбертова пространства: $a f$. В $F_{Z}$ при этом из $x_{v}$ получается $a x_{v}$, а в $F_{8}$ из $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ получается $a \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$.
$\beta)$ Сложение и вычитание двух элементов $f$ и $g$ абстрактного гильбертова пространства $f \pm g$. В $F_{Z}$ при этом из $x_{\text {v }}$ и $y_{v}$ получается $x_{v} \pm y_{v} ;$ в $F_{\mathrm{g}}$ из $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ получается $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \pm \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$.
$\gamma$ ) «Внутреннее умножение» двух элементов $f$ и $g$ абстрактного гильбертова пространства. В отличие от $\alpha$ ), $\beta$ ) эта операция приводит к (комплексному) числу, а не к элементу гильбертова пространства $(f, g)$. В $F_{Z}$ при этом из $x_{v}$ и $y_{v}$ получается $\sum_{
u} x_{v} \bar{y}_{v}$, а в $F_{\Omega}$ из $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ получается $\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k}$.
(Определения в $F_{Z}$ и в $F_{2}$ должны быть пополнены необходимыми доказательствами сходимости. Мы приведем их в II.3).
Кроме того, в дальнейшем мы будем последовательно обозначать точки абстрактного гильбертова пространства буквами $f, g, \ldots$, $\varphi, \psi, \ldots$, комплексные числа – буквами $a, b, \ldots, x, y, \ldots$ а целые положительные числа – буквами $k, l, m, \ldots, \mu,
u, \ldots$ Мы будем также в случае необходимости обозначать абстрактное гильбертово пространство символом $\mathfrak{\Re}_{\infty}$ (как сокращенное обозначение $\infty$-мерного евклидова пространства, аналогичное обычному обозначению $\mathfrak{R}_{n}$ для «n-мерного евклидова пространства» $[n=1,2, \ldots])$.

Самое замечательное в операциях $a f, f \pm g,(f, g)$ это то, что это как раз основные операции векторного исчисления: те операции, которые делают возможным введение вычисления длин и углов в геометрии Евклида или вычислений, относящихся к силе и работе в механике частиц. Аналогия становится совершенно ясной в случае $F_{Z}$, если вместо $x_{1}, x_{2}, \ldots$ в $\mathfrak{R}_{\infty}$ мы рассмотрим обычные точки $x_{1}, \ldots, x_{n}$ из $\mathfrak{R}_{n}$ (для которых ведь операции $\alpha$ ), $\boldsymbol{\beta}$ ), $\gamma$ ) могут быть определены так же точно). В частности, для $n=3$ мы имеем случай обычного пространства. В некоторых случаях более удобно говорить о комплексе $x_{1}, \ldots, x_{n}$ не как о точке, но как о векторе, направленном из точки $0, \ldots, 0$ в точку $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Итак, для того чтобы определить абстрактное гильбертово пространство, мы возьмем за основу фундаментальные векторные операции $a f, f \pm g,(f, g)$. Как окажется при обсуждении, к которому мы переходим, мы одновременно с $\mathfrak{R}_{\infty}$ охватим и все $\mathfrak{R}_{n}$. Поэтому, пока мы еще не хотим специально различать между $\mathfrak{R}_{\infty}$ и $\Re_{n}$, мы будем пользоваться нейтральным символом $\mathfrak{\Re}$ как общим обозначением пространства. ства ${ }^{37}$ ):
A. $\Re$ есть линейное пространство.
Это значит: в $\mathfrak{R}$ определены сложение $f+g$ и умножение на «скаляр» af ( $f, g$ – элементы $\Re, a$-комплексное число; $f \pm g$ и af принадлежат $\mathfrak{R}$ ), и $\mathfrak{R}$ имеет нулевой элемент $0^{38}$ ).
$\left.{ }^{37}\right)$ Характеристика $\Re_{n}$ через $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} ., \boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$ восходит к $\mathrm{W}$ е у l’ю (см. Raum, Zeit, Materie, Berlin (1921)). Если мы хотим получить $\Re_{\infty}$ вместо $\Re_{n}$, то естественно $C .^{(n)}$ заменяется на $C .^{(\infty)}$. Только в этом случае возникает необходимость в $D ., E$, ср. обсуждение в тексте ниже.
${ }^{38}$ ) Кроме начала координат или нулевого вектора в $\because$ есть также число 0 , так что один символ употребляется для обозначения двух различных вещей. Однако отношения между ними таковы, что путаницы при этом не возникает.
$3^{*}$

โГл. II
Таким образом, для этого пространства выполняются известные правила векторной алгебры
\[
\begin{array}{l}
f+g=g+f \text { (коммутативность сложения), } \\
(f+g)+h=f+(g+h) \text { (ассоциативность сложения), } \\
\left.\begin{array}{l}
(a+b) f=a f+b f \\
a(f+g)=a f+a g
\end{array}\right\} \quad \text { (дистрибутивность умножения), } \\
\text { ( } a b) f=a(b f) \quad \text { (ассоциативность умножения), } \\
0 f=0, \quad 1 f=1 \quad \text { (роль нуля и единицы). } \\
\end{array}
\]

Правила вычислений, не указанные здесь, непосредственно следуют из этих постулатов. Наприиер, роль нулевого вектора в сложении:
\[
f+0=1 \cdot f+0 \cdot f=(1+0) \cdot f=1 \cdot f=f .
\]

Или однозначная возможность вычитания: определим

тогда
\[
-f=(-1) \cdot f ; \quad f-g=f+(-g),
\]
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
(f-g)+g=(f+(-g))+g=f+((-g)+g) \\
(f+g)-g=(f+g)+(-g)=f+(g+(-g))
\end{array}\right\}= \\
=f+((-1) \cdot g+1 \cdot g)=f+((-1)+1) \cdot g= \\
=f+0 \cdot g=f+0=f . \\
\end{array}
\]

Или дистрибутивные законы умножения при вычитании
\[
\begin{array}{l}
a \cdot(f-g)=a \cdot f+a \cdot(-g)=a f+a \cdot((-1) \cdot g)= \\
=a f+(a \cdot(-1)) \cdot g=a f+((-1) a) \cdot g= \\
=a f+(-a g)=a f-a g, \\
(a-b) \cdot f=a \cdot f+(-b) \cdot f=a f+((-1) b) \cdot f= \\
\quad=a f+(-b f)=a f-b f .
\end{array}
\]

Не стоит, пожалуи, продолжать эти примеры дальше, и так должно быть ясно, что все правила линейного векторного исчисления здесь имеют место.

Мы можем, следовательно, как и для векторов, определить, когда известные элементы $f_{1}, \ldots, f_{k}$ пространства $\mathfrak{\Re}$ будут линейно независимы.
Определение 1. Элементы $f_{1}, \ldots, f_{k}$ линеино независимы, если из $a_{1} f_{1}+\ldots+a_{k} f_{k}=0 \quad\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right.$-комплексные числа) следует, что $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{k}=0$.
Определим далее аналог линеинных объектов векторного исчисления (линия, плоскость и т. д., проходящие через начало координат) линейное многообразие,
Определение 2. Подмножество $\mathfrak{R}$ пространства $\mathfrak{R}$ называется линейным многообразием, если оно вместе с какимилибо $k(k=1,2, \ldots)$ его элементами $\left.f_{1}, \ldots, f_{k}{ }^{39}\right)$ содержит и их линенные комбинации $a_{1} f_{1}+\ldots+a_{k} f_{k}$. Если $\mathfrak{A}$ есть произвольное подмножество $\mathfrak{R}$, то множество всех $a_{1} f_{1}+\ldots+a_{k} f_{k}\left(k=1,2, \ldots ; a_{1}, \ldots, a_{k}\right.$ – произвольные комплексные числа; $f_{1}, \ldots, f_{k}$ – произвольные элементы $\mathfrak{A}$ ) есть линейное многообразие, которое очевидно содержит $\mathfrak{A}$. Ясно, что оно является также подмножеством любого другого линеннного многообразия, содержащего $\mathfrak{A}$. Оно называется «линейным многообразием, натянутым на $\mathfrak{2}$ » и обозначается символом $\{\mathfrak{A}\}$.
Прежде чем дальше развивать эти представления, сформулируем следующић основной принцип векторного исчисления – существование внутреннего произведения.
B. В $\Re$ определено эрмитово внутреннее произведение.
Это означает: определено $(f, g)$ ( $f$ и $g$ – элементы $\mathfrak{R}$ ( $f, g$ ) – комплексное число) со следующими свойствами:
$\left(f^{\prime}+f^{\prime \prime}, g\right)=\left(f^{\prime}, g\right)+\left(f^{\prime \prime}, g\right) \quad$ (дистрибутивность относительно первого множителя),
\[
(a \cdot f, g)=a \cdot(f, g)
\]
(ассоциативность относительно первого множителя),
\[
(f, g)=\overline{(g, f)}
\]
(эрмитова симметрия),
$(f, f) \geqq 0$ и $=0$ лншь при $f=0^{40}$ ) (дефинитность).
Соответствующие два закона для второго множителя следуют из законов для первого и свойства эрмитовой симметрии (поменяем $f$ и $g$ и возьмем комплексно-сопржженные с обеих сторон):
\[
\begin{aligned}
\left(f, g^{\prime}+g^{\prime \prime}\right) & =\left(f, g^{\prime}\right)+\left(f, g^{\prime \prime}\right), \\
(f, a \cdot g) & =\bar{a} \cdot(f, g) .
\end{aligned}
\]

Это внутреннее произведение очень важно, поскольку оно позволяет ввести определение расстояния. В евклидовом пространстве длина вектора определяется как $\|f\|=\sqrt{(f, f)^{41}}$ ), а расстояние
${ }^{39}$ ) Достаточно было бы потребовать следующего: если $f$ принадлежит $\mathfrak{M}$, то и $a f$ также; если $f$ и $g$ принадлежат ММ, то $f+g$ также. Тогда, если $f_{1}, \ldots, f_{k}$ принадлежат $\mathfrak{M}$, то $a_{1} f_{1}, a_{2} f_{2}, \ldots, a_{k} f_{k}$ также, и тогда последовательно то же верно для $a_{1} f_{1}+a_{2} f_{2}, \ldots, a_{1} f_{1}+a_{2} f_{2}+\ldots+a_{k} f_{k}$.
${ }^{40}$ ) ( $f, f$ ) – вещественное число еследствие эрмитовой симметрии: действительно, для $f=g$ имеем $(f, f)=\overline{(f, f)}$.
41) Если $f$ имеет компоненты $x_{1}, \ldots, x_{n}$, то по замечанию, сделанному в ү), II. 1 (если мы ограничимся конечным числом компонент) $\sqrt{(f, f)}=$ $=\sqrt{\sum_{i=y}^{n}\left|x_{v}\right|^{2}}$, т. е. $\|f\|$ есть обычная евклидова длина.
[Гл. II
между двумя точками определяется как $\|f-g\|$. Придерживаясь этон аналогии, введем
Определение 3. «Длина» элемента $f$ из $\Re$ есть $\|f\|=$ $=\sqrt{(f, f)}$, расстояние между $f, g$ есть $\left.\|f-g\|^{42}\right)$.
Что это понятие действительно обладает всеми свонствами расстояния, мы сейчас увидим. Докажем для этого следующую Теорему 1. Всегда $|(f, g)| \leqq\|f\| \cdot\|g\|$.
Доказательство. Напишем сначала
\[
\begin{array}{c}
\|f\|^{2}+\|g\|^{2}-2 \operatorname{Re}(f, g)= \\
=(f, f)+(g, g)-(f, g)-(g, f)=(f-g, f-g) \geqq 0, \\
\operatorname{Re}(f, g) \leqq \frac{1}{2}\left(\|f\|^{2}+\|g\|^{2}\right)
\end{array}
\]
(если $z=u+i v-$ комплексное число- $u$ и $v$ вещественны, то $\operatorname{Re} z$ и $\operatorname{Im} z$ являются соответственно вещественной и мнимой частями $z$, т. е. $\operatorname{Re} z=u, \operatorname{Im} z=v$ ). Если мы заменим $f$ и $g$ на af и $\frac{1}{a} g$ ( $a$ вещественно и больше нуля), то левая часть, как легко видеть, не изменится. В правои же мы получим $\frac{1}{2}\left(a^{2}\|f\|^{2}+\frac{1}{a^{2}}\|g\|^{2}\right)$. Поскольку это выражение $\geqq \operatorname{Re}(f, g)$, то неравенство, в частности, сохраняется и для его минимального значения $\|f\| \cdot\|g\|$ (это значение достигается для $f, g
eq 0$ при $a=\sqrt{\frac{\|g\|}{\|f\|}}$ и для $f=0$ или $g=0$ при $a \rightarrow+\infty$ или при $a \rightarrow+0$ соответственно). Следовательно,
\[
\operatorname{Re}(f, g) \leqq\|f\| \cdot\|g\| .
\]

Если мы заменим здесь $f$ и $g$ на $e^{i \alpha} f$ и $g$ ( $\alpha$ вещественно), то правая часть уравнения не изменится (вследствие того, что ( $a f, a f)=$ $=a \bar{a}(f, f)=\left|a^{2}\right|(f, f)$, имеем $\|a f\|=|a| \cdot\|f\|$ и, следовательно, при $|a|=1\|a f\|=\|f\|)$, а левая часть перендет в
\[
\operatorname{Re}\left(e^{l a}(f, g)\right)=\cos \alpha \operatorname{Re}(f, g)-\sin \alpha \operatorname{Im}(f, g) .
\]

Последнее выражение очевидным образом имеет максимум
\[
\sqrt{(\operatorname{Re}(f, g))^{2}+(\operatorname{Im}(f, g))^{2}}=|(f, g)|,
\]

откуда и следует предложение
\[
|(f, g)| \leqq\|f\| \cdot\|g\| .
\]
42) Поскольку $(f, f)$ вещественно и $\geqq 0$, то $\|f\|$ веществен, и мы выбираем квадратный корень $\geqslant 0$. То же выполняется и для $\|f-g\|$

$1]$
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА
39
Следствие. Чтобы имело место равенство, $f, g$ должны совпадать с точностью до постоянного (комплексного) множителя. Доказательство. Чтобы имело место равенство в соотношении $\operatorname{Re}(f, g) \leqq \frac{1}{2}\left(\|f\|^{2}+\|g\|^{2}\right)$, необходимо даже, чтобы $(f-g, f-g)=0$, т. е. должно быть $f=g$. При переходе от этого соотношения к $|(f, g)| \leqq\|f\| \cdot\|g\|, \quad f$ и $g$-заменяются на $e^{i \alpha} a f$ и $\frac{1}{a} g$ ( $a, \alpha$ вещественны, $a>0$ ), если только ни $f$ ни $g$ не равны нулю. Чтобы в нем сохранялось равенство, нужно, следовательно, чтобы было $e^{i \alpha} a f=\frac{1}{a} g$, т. е. $g=a^{2} e^{i \alpha} f=c f(c
eq 0)$. Обратно, для $f$ или $g$, равного нулю, или для $g=c f(c
eq 0)$ явным образом имеет место равенство.
Теорема 2. Всегда $\|f\| \geqq 0$ и равенство достигается лишь для $f=0$. Выполняется $|a \cdot f\|=|a| \cdot\| f \|$. Всегда будет также $\|f+g\| \leqq\|f\|+\|g\|$, причем равенство достигается лишь для $f$ и $g$, совпадающих с точностью до постоянного вещественного множителя $\geqq 0$.
Доказательство. В правильности двух первых утверждений мы уже убедились выше. Докажем неравенство третьего предложения следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
(f+g, f+g)=(f, f)+(g, g)+(f, g)+(g, f)= \\
=\|f\|^{2}+\|g\|^{2}+2 \operatorname{Re}(f, g) \leqq\|f\|^{2}+\|g\|^{2}+2\|f\| \cdot\|g\|= \\
\|f+g\| \leqq\|f\|+\|g\| . \quad=(\|f\|+\|g\|)^{2},
\end{array}
\]

Чтобы достигалось равенство, $\operatorname{Re}(f, g)$ должна быть равна $\|f\| \cdot\|g\|$, для чего необходимо $f$ или $g=0$, или $g=a^{2} f=c f$ ( $c$ вещественно, $>0$ ) в силу выводов, сделанных при доказательстве предыдущего следствия. Обратно, очевидно, что в этом случае равенство выполнено.

Из теоремы 2. немедленно следует, что расстоян е $\|f-g\|$ обладает следующими свойтвами: Расстояние между $f$ и $g$ есть нуль для $f=g$ и только в этом случае. Расстояние между $f$ и $g$ то же, что и между $g$ и $f$. Расстояние между $f$ и $h$ меньше или равно сумме расстояний между $f$ и $g$ и между $g$ и $h$. Равенство достигается только, если $\left.g=a f+(1-a) h \quad(a \text { вещественно, } 0 \leqq a \leqq 1)^{43}\right)$.
${ }^{43}$ ) По теореме 2. (которую надо применить здесь к $f-g$ и $g-h$ ) должно быть $f-g=0$, т. е. $f=g$ или $g-h=0$, т. е. $g=h$, или же $g-h=c(f-g)$ ( $c$ вещественно, $>0)$, т. е. $g=\frac{c}{c+1} f+\frac{1}{c+1} h$, иными словами, $g=a f+(1-a) h$ с $a$, равным соответственно 1,0 или $\frac{c}{1+c}$. Геометрически это означает, что точка $g$ лежит на отрезке $f, h$.
โгл. II
Расстояние между af и ag есть умноженное на $|a|$ расстояние между $f$ и $g$. Но это как раз те самые свойства расстояния, которые дают возможность свести в геометрии (и топологии) понятия непрерывности, ограниченности, предельной точки и так далее к фундаментальному понятию расстояния. Мы воспользуемся этим для следующих определений:

Функция $F(f)$ в $\mathfrak{R}$ (т. е. функция, определенная для $f$ из $\mathfrak{R}$ и имеющая в качестве своих значений или всегда точки из $\mathfrak{R}$, или всегда комплексные числа) непрерывна в точке $f_{0}$ (из $\mathfrak{R}$ ), если для каждого \& $>0$ существует $\delta>0$ такое, что из $\left\|f-f_{0}\right\|<\delta$ с необходимостью следует, что $\left\|F(f)-P\left(f_{0}\right)\right\|<\varepsilon$ или $\left|F(f)-F\left(f_{0}\right)\right|<\varepsilon$ (в зависимости от того, являются ли значения $F$ точками из $\Re$ или комплексными числами). Будем называть эту функцию ограниченной в $\mathfrak{R}$ или в заданном подмножествє $\mathfrak{R}$, если там всегда $\|F(f)\| \leqq C$ или $|F(f)| \leqq C$ ( $C$ – постоянная, соответствующим образом выбранная, но фиксированная). Аналогичные определения имеют место для нескольких переменных. Последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ сходится к $f$ или имеет предел $f$, если числа $\left\|f_{1}-f\right\|,\left\|f_{2}-f\right\|, \ldots$ сходятся к нулю. Точка называется предельной точкой множества $\mathfrak{A}$ (которое есть подмножество $\mathfrak{R} !$ ), если она является пределом последовательности из $\mathfrak{U} 44$ ). В частности, будем называть $\mathfrak{A}$ замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и оно называется всюду плотным, если его предельные точки включают все $\Re$.

Мы должны еще доказать, что $a f, f+g,(f, g)$ непрерывны по всем своим переменным. Поскольку
\[
\begin{array}{c}
\left\|a f-a f^{\prime}\right\|=|a| \cdot\left\|f-f^{\prime}\right\|, \\
\left\|(f+g)-\left(f^{\prime}+g^{\prime}\right)\right\|=\left\|\left(f-f^{\prime}\right)+\left(g-g^{\prime}\right)\right\| \leqq\left\|f-f^{\prime}\right\|+\left\|g-g^{\prime}\right\|,
\end{array}
\]

то первые два утверждения очевидны. Дале́е, из
\[
\left\|f-f^{\prime}\right\|<\varepsilon, \quad\left\|g-g^{\prime}\right\|<\varepsilon
\]

при подстановке $f^{\prime}-f=\varphi, g^{\prime}-g=\psi$ следует, что
\[
\begin{aligned}
\left|(f, g)-\left(f^{\prime}, g^{\prime}\right)\right| & \equiv|(f, g)-(f+\varphi, g+\psi)|= \\
& =|(\varphi, g)+(f, \psi)+(\varphi, \psi)| \leqq \\
& \leqq|(\varphi, g)|+|(f, \psi)|+|(\varphi, \psi)| \leqq \\
& \leqq\|\varphi\| \cdot\|g\|+\|f\| \cdot\|\psi\|+\|\varphi\| \cdot\|\psi\| \leqq \\
& \leqq \varepsilon(\|f\|+\|g\|+\varepsilon) .
\end{aligned}
\]

При $\varepsilon \rightarrow 0$ это выражение стремится к нулю и может быть сделано меньше любого $\delta>0$.
44) Используют также следующее определение предельной точки: для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $f^{\prime}$ из $\mathfrak{2}$, что $\left\|f-f^{\prime}\right\|<\varepsilon$. Эквивалентность обоих определений можно показать дословно так же, как это делается в обычном анализе.
Свойства $\boldsymbol{A}$. и $\boldsymbol{B}$. позволяют нам, как мы видели, сказать об $\mathfrak{R}$ довольно много, однако они все же недостаточны, чтобы отличить $\mathfrak{R}_{n}$ друг от друга или от $\Re_{\infty}$ – ведь о числе измерений пространства до сих пор не было сказано ни слова. Это понятие известным образом связано с максимальным числом линейно независимых векторов. Если такое максимальное число $n=1,2, \ldots$ существует, то для этого $n$ мы можем утверждать, что
$C^{(\boldsymbol{n})}$. Существует точно $n$ линеино-независимых векторов.
Это значит, что можно указєть $n$ таких векторов, но $n+1$ не существует.

Если же не имеется максимального числа, то тогда мы утверждаем, что
$\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. Существует произвольно много линейно-независимых векторов.
Это значит, что для каждого $k=1,2, \ldots$ можно указать $k$ таких векторов.

Итак, $\boldsymbol{C}$. не является собственно новым постулатом. Если имеют место $\boldsymbol{A} ., \boldsymbol{B}$., то либо одно из $\boldsymbol{C}^{(n)}$, либо $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. также обязательно имеют место. Судя по тому, какое из них мы выберем, мы получим различные пространства $\mathfrak{R}$. Мы увидим, что из $\boldsymbol{C}^{(n)}$. следует, что $\mathfrak{R}$ обладает всеми свойствами $n$-мерного (комплексного) евклидова пространства. Напротив, постулата $C^{(\infty)}$. не хватит, чтобы обеспечить тождество $\mathfrak{R}$ с гильбертовым пространством $\mathfrak{R}_{\infty}$, нам потребуются для этого еще два постулата $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{E}$. . Точнее, дело обстоит следующим образом: мы покажем, что $\mathfrak{R}$ с $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$. и $\boldsymbol{C}^{(n)}$. обладает всеми свойствами $\mathfrak{R}_{n}$ и, в частности, своиствами $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{E}$. , которые будут сенчас сформулированы (и которые, таким образом, следуют из $\boldsymbol{A}_{.}, \boldsymbol{B}$. и. $\left.\boldsymbol{C}^{(n)}\right)$. Далее мы покажем, что $\Re$ с $\boldsymbol{A},, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}^{(\infty)}$, D., E. обладает всеми свойствами $\Re_{\infty}$, однако в этом случае постулаты $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{E}$. существенны (т. е. они не следуют из $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}^{(\infty)}$.). Мы перейдем теперь к формулиоовке $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{E}$., а доказательство того, что все $\mathfrak{R}_{n}, \Re_{\infty}$ обладают такими свойствами, будет несколько отложено (см. II. 3).
D. Пространство $\Re$ полно $\left.{ }^{45}\right)$.
Это значит, что если последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ в $\Re$ удовлетворяет критерию сходимости Коши (для каждого $\varepsilon>0$ существует такое $N=N(\varepsilon)$, что $\left\|f_{m}-f_{n}\right\|<\varepsilon$ для всех $\left.m, n \geqq N\right)$, то
45) Мы для кратности пользуемся этими топологическими терминами. (Cp. Hausdorff, Mengenlehre, Berlin 1927. Русский перевод; Х у с дорф. Теория множеств, ОНТИ, 1937). Они будут пояснены при дальнейшем изложении.

โГЛ. II
она сходится, т. е. обладает пределом $f$ (см. определение этого понятия, данное выше).
E. Пространство $\Re$ сепарабельно ${ }^{45}$ ).
Это значит, что имеется последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ в $\mathfrak{R}$, которая всюду плотна в $\Re$.

B II. 2 мы, как сказано, построим «геометрию» $\Re$, исходя из этих основных положений, и покажем се тождественность с геометрией $\mathfrak{R}_{n}$ или $\mathfrak{R}_{\infty}$ соответственно.
2. Геометрия гильбертова пространства
Мы начнем с двух определений. Первое из них содержит ровно столько от тригонометрии, сколько нужно для наших целей: понятие o прямом угле – ортогональность.
Oпределение 4. Два элемента $f$ и $g$ из $\Re$ ортогональны, если $(f, g)=0$. Два линейных многообразия $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$,ортогональны, если каждый элемент из $\mathfrak{M}$ ортогонален каждому элементу из $\mathfrak{R}$. Множество $\mathfrak{O}$ называется ортонормированной системой, если для всех $f, g$ из $\mathfrak{D}$
\[
(f, g)=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & f=g, \\
0 & \text { для } & f
eq g
\end{array}\right.
\]
(т. е. каждые два различных элемента ортогональны и каждый элемент по длине равен единице ${ }^{46}$ )). В частности, $\mathfrak{D}$ будет называться полной, если она не может быть подмножеством какойлибо другой ортонормированной системы, содержащей дополнительные элементы ${ }^{47}$ ).
Заметим еще, что утверждение о полноте ортогональной системы $\mathfrak{O}$ означает, очевидно, что не существует $f \mathrm{c}\|f\|=1$, которыи был бы ортогонален ко всей 5 (ср. прим. ${ }^{46}$ )). Но будь $f$ просто отличен от нуля и ортогонален ко всен системе $\mathfrak{O}$, то $f^{\prime}=\frac{f}{\|f\|} \cdot f$ (ведь $\|f\|>0$ ) удовлетворяет всем требованиям: $\left\|f^{\prime}\right\|=\frac{1}{\|f\|}\|f\|=1$ и $f^{\prime}$ ортогонален к $\mathfrak{O}$. Следовательно, полнота $\mathfrak{D}$ требует, чтобы любой $f$, ортогональный ко всей системе $\mathfrak{E}$, исчезал.

Второе определение таково, что оно существенно только для $\mathfrak{R}_{\infty}$, поскольку в $\mathfrak{R}_{n}$ каждое линейное многообразие – такого типа, как то, которое им описывается (ср. конец II. 3). Поэтому мы не можем дать интуитивно-геометрическую картину его смысла.
46) Действительно, $\|f\|=\sqrt{(f, f)}=1$.
47) Как видно, полные ортоғональные системы соответствуют декартовым системам координат (т. е. совокупностям единичных векторов, направленных вдоль их осей) в $\Re_{n}$.