Нам надо теперь выполнять программу, предложенную в конце I.4: определить гильбертово пространство, — которое даст нам математическое основание для трактовки квантовой механики, — в терминах исключительно тех понятий, которые впоследствии войдут в саму квантовую механику и которые з силу этого будут иметь равный смысл как в «дискретном» функциональном пространстве $F_Z$ последовательностеи $x_v(v=1,2,\dots )$, так и в «непрерывном» пространстве $F_2$ волновых функций $\phi (q_1,\dots ,q_k)(q_1,\dots ,q_k$ пробегают все конфигурационное пространство 2 ). Эти понятия, как мы уже однажды указывали, суть следующие:
a) Умножение на скаляр, т. е. перемножение (комплексного) числа $a$ и элемента $f$ гильбертова пространства: $af$. В $F_Z$ при этом из $x_v$ получается $a{x}_v$, а в $F_8$ из $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ получается $a\phi (q_1,\dots ,q_k)$.
$\beta )$ Сложение и вычитание двух элементов $f$ и $g$ абстрактного гильбертова пространства $f\pm g$. В $F_Z$ при этом из $x_{\text{v }}$ и $y_v$ получается $x_v\pm y_v;$ в $F_{\mathrm{g}}$ из $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ и $\psi (q_1,\dots ,q_k)$ получается $\phi (q_1,\dots ,q_k)\pm \psi (q_1,\dots ,q_k)$.
$\gamma$ ) «Внутреннее умножение» двух элементов $f$ и $g$ абстрактного гильбертова пространства. В отличие от $\alpha$ ), $\beta$ ) эта операция приводит к (комплексному) числу, а не к элементу гильбертова пространства $(f,g)$. В $F_Z$ при этом из $x_v$ и $y_v$ получается $\sum _u{x}_v{\overline{y}}_v$, а в $F_{\mathrm{\Omega }}$ из $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ и $\psi (q_1,\dots ,q_k)$ получается $\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}\phi (q_1,\dots ,q_k)\overline{\psi (q_1,\dots ,q_k)}d{q}_1\dots d{q}_k$.
(Определения в $F_Z$ и в $F_2$ должны быть пополнены необходимыми доказательствами сходимости. Мы приведем их в II.3).
Кроме того, в дальнейшем мы будем последовательно обозначать точки абстрактного гильбертова пространства буквами $f,g,\dots$, $\phi ,\psi ,\dots$, комплексные числа — буквами $a,b,\dots ,x,y,\dots$ а целые положительные числа — буквами $k,l,m,\dots ,\mu ,u,\dots$ Мы будем также в случае необходимости обозначать абстрактное гильбертово пространство символом ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ (как сокращенное обозначение $\mathrm{\infty }$-мерного евклидова пространства, аналогичное обычному обозначению ${\mathfrak{R}}_n$ для «n-мерного евклидова пространства» $[n=1,2,\dots ])$.

Самое замечательное в операциях $af,f\pm g,(f,g)$ это то, что это как раз основные операции векторного исчисления: те операции, которые делают возможным введение вычисления длин и углов в геометрии Евклида или вычислений, относящихся к силе и работе в механике частиц. Аналогия становится совершенно ясной в случае $F_Z$, если вместо $x_1,x_2,\dots$ в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ мы рассмотрим обычные точки $x_1,\dots ,x_n$ из ${\mathfrak{R}}_n$ (для которых ведь операции $\alpha$ ), $\mathit{\beta }$ ), $\gamma$ ) могут быть определены так же точно). В частности, для $n=3$ мы имеем случай обычного пространства. В некоторых случаях более удобно говорить о комплексе $x_1,\dots ,x_n$ не как о точке, но как о векторе, направленном из точки $0,\dots ,0$ в точку $x_1,\dots ,x_n$.

Итак, для того чтобы определить абстрактное гильбертово пространство, мы возьмем за основу фундаментальные векторные операции $af,f\pm g,(f,g)$. Как окажется при обсуждении, к которому мы переходим, мы одновременно с ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ охватим и все ${\mathfrak{R}}_n$. Поэтому, пока мы еще не хотим специально различать между ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ и ${\mathrm{\Re }}_n$, мы будем пользоваться нейтральным символом $\mathrm{\Re }$ как общим обозначением пространства. ства ${}^{37}$ ):
A. $\mathrm{\Re }$ есть линейное пространство.
Это значит: в $\mathfrak{R}$ определены сложение $f+g$ и умножение на «скаляр» af ( $f,g$ — элементы $\mathrm{\Re },a$-комплексное число; $f\pm g$ и af принадлежат $\mathfrak{R}$ ), и $\mathfrak{R}$ имеет нулевой элемент $0^{38}$ ).
${}^{37})$ Характеристика ${\mathrm{\Re }}_n$ через $\mathit{A},\mathit{B}.,{\mathit{C}}^{(\mathit{n})}$ восходит к $\mathrm{W}$ е у l’ю (см. Raum, Zeit, Materie, Berlin (1921)). Если мы хотим получить ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ вместо ${\mathrm{\Re }}_n$, то естественно $C{.}^{(n)}$ заменяется на $C{.}^{(\mathrm{\infty })}$. Только в этом случае возникает необходимость в $D.,E$, ср. обсуждение в тексте ниже.
${}^{38}$ ) Кроме начала координат или нулевого вектора в $\because$ есть также число 0 , так что один символ употребляется для обозначения двух различных вещей. Однако отношения между ними таковы, что путаницы при этом не возникает.
$3^{\ast }$

โГл. II
Таким образом, для этого пространства выполняются известные правила векторной алгебры
$$\begin{array}{l}f+g=g+f\text{ (коммутативность сложения), }\\ (f+g)+h=f+(g+h)\text{ (ассоциативность сложения), }\\ \begin{array}{c}(a+b)f=af+bf\\ a(f+g)=af+ag\end{array}\}\text{ (дистрибутивность умножения), }\\ \text{ ( }ab)f=a(bf)\text{ (ассоциативность умножения), }\\ 0f=0,1f=1\text{ (роль нуля и единицы). }\end{array}$$

Правила вычислений, не указанные здесь, непосредственно следуют из этих постулатов. Наприиер, роль нулевого вектора в сложении:
$$f+0=1\cdot f+0\cdot f=(1+0)\cdot f=1\cdot f=f.$$

Или однозначная возможность вычитания: определим

тогда
$$-f=(-1)\cdot f;f-g=f+(-g),$$
$$\begin{array}{l}\begin{array}{c}(f-g)+g=(f+(-g))+g=f+((-g)+g)\\ (f+g)-g=(f+g)+(-g)=f+(g+(-g))\end{array}\}=\\ =f+((-1)\cdot g+1\cdot g)=f+((-1)+1)\cdot g=\\ =f+0\cdot g=f+0=f.\end{array}$$

Или дистрибутивные законы умножения при вычитании
$$\begin{array}{l}a\cdot (f-g)=a\cdot f+a\cdot (-g)=af+a\cdot ((-1)\cdot g)=\\ =af+(a\cdot (-1))\cdot g=af+((-1)a)\cdot g=\\ =af+(-ag)=af-ag,\\ (a-b)\cdot f=a\cdot f+(-b)\cdot f=af+((-1)b)\cdot f=\\ =af+(-bf)=af-bf.\end{array}$$

Не стоит, пожалуи, продолжать эти примеры дальше, и так должно быть ясно, что все правила линейного векторного исчисления здесь имеют место.

Мы можем, следовательно, как и для векторов, определить, когда известные элементы $f_1,\dots ,f_k$ пространства $\mathrm{\Re }$ будут линейно независимы.
Определение 1. Элементы $f_1,\dots ,f_k$ линеино независимы, если из $a_1{f}_1+\dots +a_k{f}_k=0(a_1,\dots ,a_k$-комплексные числа) следует, что $a_1=a_2=\dots =a_k=0$.
Определим далее аналог линеинных объектов векторного исчисления (линия, плоскость и т. д., проходящие через начало координат) линейное многообразие,
Определение 2. Подмножество $\mathfrak{R}$ пространства $\mathfrak{R}$ называется линейным многообразием, если оно вместе с какимилибо $k(k=1,2,\dots )$ его элементами $f_1,\dots ,f_k{}^{39})$ содержит и их линенные комбинации $a_1{f}_1+\dots +a_k{f}_k$. Если $\mathfrak{A}$ есть произвольное подмножество $\mathfrak{R}$, то множество всех $a_1{f}_1+\dots +a_k{f}_k(k=1,2,\dots ;a_1,\dots ,a_k$ — произвольные комплексные числа; $f_1,\dots ,f_k$ — произвольные элементы $\mathfrak{A}$ ) есть линейное многообразие, которое очевидно содержит $\mathfrak{A}$. Ясно, что оно является также подмножеством любого другого линеннного многообразия, содержащего $\mathfrak{A}$. Оно называется «линейным многообразием, натянутым на $\mathfrak{2}$ » и обозначается символом $\{\mathfrak{A}\}$.
Прежде чем дальше развивать эти представления, сформулируем следующић основной принцип векторного исчисления — существование внутреннего произведения.
B. В $\mathrm{\Re }$ определено эрмитово внутреннее произведение.
Это означает: определено $(f,g)$ ( $f$ и $g$ — элементы $\mathfrak{R}$ ( $f,g$ ) — комплексное число) со следующими свойствами:
$(f^{\prime }+f^{\prime \prime },g)=(f^{\prime },g)+(f^{\prime \prime },g)$ (дистрибутивность относительно первого множителя),
$$(a\cdot f,g)=a\cdot (f,g)$$
(ассоциативность относительно первого множителя),
$$(f,g)=\overline{(g,f)}$$
(эрмитова симметрия),
$(f,f)\geqq 0$ и $=0$ лншь при $f=0^{40}$ ) (дефинитность).
Соответствующие два закона для второго множителя следуют из законов для первого и свойства эрмитовой симметрии (поменяем $f$ и $g$ и возьмем комплексно-сопржженные с обеих сторон):
$$\begin{array}{rl}(f,g^{\prime }+g^{\prime \prime })& =(f,g^{\prime })+(f,g^{\prime \prime }),\\ (f,a\cdot g)& =\overline{a}\cdot (f,g).\end{array}$$

Это внутреннее произведение очень важно, поскольку оно позволяет ввести определение расстояния. В евклидовом пространстве длина вектора определяется как $\Vert f\Vert =\sqrt{(f,f{)}^{41}}$ ), а расстояние
${}^{39}$ ) Достаточно было бы потребовать следующего: если $f$ принадлежит $\mathfrak{M}$, то и $af$ также; если $f$ и $g$ принадлежат ММ, то $f+g$ также. Тогда, если $f_1,\dots ,f_k$ принадлежат $\mathfrak{M}$, то $a_1{f}_1,a_2{f}_2,\dots ,a_k{f}_k$ также, и тогда последовательно то же верно для $a_1{f}_1+a_2{f}_2,\dots ,a_1{f}_1+a_2{f}_2+\dots +a_k{f}_k$.
${}^{40}$ ) ( $f,f$ ) — вещественное число еследствие эрмитовой симметрии: действительно, для $f=g$ имеем $(f,f)=\overline{(f,f)}$.
41) Если $f$ имеет компоненты $x_1,\dots ,x_n$, то по замечанию, сделанному в ү), II. 1 (если мы ограничимся конечным числом компонент) $\sqrt{(f,f)}=$ $=\sqrt{\sum _{i=y}^n{\left|x_v\right|}^2}$, т. е. $\Vert f\Vert$ есть обычная евклидова длина.
[Гл. II
между двумя точками определяется как $\Vert f-g\Vert$. Придерживаясь этон аналогии, введем
Определение 3. «Длина» элемента $f$ из $\mathrm{\Re }$ есть $\Vert f\Vert =$ $=\sqrt{(f,f)}$, расстояние между $f,g$ есть $\Vert f-g{\Vert }^{42})$.
Что это понятие действительно обладает всеми свонствами расстояния, мы сейчас увидим. Докажем для этого следующую Теорему 1. Всегда $|(f,g)|\leqq \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert$.
Доказательство. Напишем сначала
$$\begin{array}{c}\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2-2\mathrm{Re}(f,g)=\\ =(f,f)+(g,g)-(f,g)-(g,f)=(f-g,f-g)\geqq 0,\\ \mathrm{Re}(f,g)\leqq \frac{1}{2}(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)\end{array}$$
(если $z=u+iv-$ комплексное число- $u$ и $v$ вещественны, то $\mathrm{Re}z$ и $\mathrm{Im}z$ являются соответственно вещественной и мнимой частями $z$, т. е. $\mathrm{Re}z=u,\mathrm{Im}z=v$ ). Если мы заменим $f$ и $g$ на af и $\frac{1}{a}g$ ( $a$ вещественно и больше нуля), то левая часть, как легко видеть, не изменится. В правои же мы получим $\frac{1}{2}(a^2\Vert f{\Vert }^2+\frac{1}{a^2}\Vert g{\Vert }^2)$. Поскольку это выражение $\geqq \mathrm{Re}(f,g)$, то неравенство, в частности, сохраняется и для его минимального значения $\Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert$ (это значение достигается для $f,geq0$ при $a=\sqrt{\frac{\Vert g\Vert }{\Vert f\Vert }}$ и для $f=0$ или $g=0$ при $a\to +\mathrm{\infty }$ или при $a\to +0$ соответственно). Следовательно,
$$\mathrm{Re}(f,g)\leqq \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert .$$

Если мы заменим здесь $f$ и $g$ на $e^{i\alpha }f$ и $g$ ( $\alpha$ вещественно), то правая часть уравнения не изменится (вследствие того, что ( $af,af)=$ $=a\overline{a}(f,f)=\left|a^2\right|(f,f)$, имеем $\Vert af\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$ и, следовательно, при $|a|=1\Vert af\Vert =\Vert f\Vert )$, а левая часть перендет в
$$\mathrm{Re}(e^{la}(f,g))=\cos \alpha \mathrm{Re}(f,g)-\sin \alpha \mathrm{Im}(f,g).$$

Последнее выражение очевидным образом имеет максимум
$$\sqrt{(\mathrm{Re}(f,g){)}^2+(\mathrm{Im}(f,g){)}^2}=|(f,g)|,$$

откуда и следует предложение
$$|(f,g)|\leqq \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert .$$
42) Поскольку $(f,f)$ вещественно и $\geqq 0$, то $\Vert f\Vert$ веществен, и мы выбираем квадратный корень $⩾0$. То же выполняется и для $\Vert f-g\Vert$

$1]$
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА
39
Следствие. Чтобы имело место равенство, $f,g$ должны совпадать с точностью до постоянного (комплексного) множителя. Доказательство. Чтобы имело место равенство в соотношении $\mathrm{Re}(f,g)\leqq \frac{1}{2}(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)$, необходимо даже, чтобы $(f-g,f-g)=0$, т. е. должно быть $f=g$. При переходе от этого соотношения к $|(f,g)|\leqq \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert ,f$ и $g$-заменяются на $e^{i\alpha }af$ и $\frac{1}{a}g$ ( $a,\alpha$ вещественны, $a>0$ ), если только ни $f$ ни $g$ не равны нулю. Чтобы в нем сохранялось равенство, нужно, следовательно, чтобы было $e^{i\alpha }af=\frac{1}{a}g$, т. е. $g=a^2{e}^{i\alpha }f=cf(ceq0)$. Обратно, для $f$ или $g$, равного нулю, или для $g=cf(ceq0)$ явным образом имеет место равенство.
Теорема 2. Всегда $\Vert f\Vert \geqq 0$ и равенство достигается лишь для $f=0$. Выполняется $|a\cdot f\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$. Всегда будет также $\Vert f+g\Vert \leqq \Vert f\Vert +\Vert g\Vert$, причем равенство достигается лишь для $f$ и $g$, совпадающих с точностью до постоянного вещественного множителя $\geqq 0$.
Доказательство. В правильности двух первых утверждений мы уже убедились выше. Докажем неравенство третьего предложения следующим образом:
$$\begin{array}{c}(f+g,f+g)=(f,f)+(g,g)+(f,g)+(g,f)=\\ =\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(f,g)\leqq \Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2+2\Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert =\\ \Vert f+g\Vert \leqq \Vert f\Vert +\Vert g\Vert .=(\Vert f\Vert +\Vert g\Vert {)}^2,\end{array}$$

Чтобы достигалось равенство, $\mathrm{Re}(f,g)$ должна быть равна $\Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert$, для чего необходимо $f$ или $g=0$, или $g=a^{2}f=cf$ ( $c$ вещественно, $>0$ ) в силу выводов, сделанных при доказательстве предыдущего следствия. Обратно, очевидно, что в этом случае равенство выполнено.

Из теоремы 2. немедленно следует, что расстоян е $\Vert f-g\Vert$ обладает следующими свойтвами: Расстояние между $f$ и $g$ есть нуль для $f=g$ и только в этом случае. Расстояние между $f$ и $g$ то же, что и между $g$ и $f$. Расстояние между $f$ и $h$ меньше или равно сумме расстояний между $f$ и $g$ и между $g$ и $h$. Равенство достигается только, если $g=af+(1-a)h(a\text{ вещественно, }0\leqq a\leqq 1{)}^{43})$.
${}^{43}$ ) По теореме 2. (которую надо применить здесь к $f-g$ и $g-h$ ) должно быть $f-g=0$, т. е. $f=g$ или $g-h=0$, т. е. $g=h$, или же $g-h=c(f-g)$ ( $c$ вещественно, $>0)$, т. е. $g=\frac{c}{c+1}f+\frac{1}{c+1}h$, иными словами, $g=af+(1-a)h$ с $a$, равным соответственно 1,0 или $\frac{c}{1+c}$. Геометрически это означает, что точка $g$ лежит на отрезке $f,h$.
โгл. II
Расстояние между af и ag есть умноженное на $|a|$ расстояние между $f$ и $g$. Но это как раз те самые свойства расстояния, которые дают возможность свести в геометрии (и топологии) понятия непрерывности, ограниченности, предельной точки и так далее к фундаментальному понятию расстояния. Мы воспользуемся этим для следующих определений:

Функция $F(f)$ в $\mathfrak{R}$ (т. е. функция, определенная для $f$ из $\mathfrak{R}$ и имеющая в качестве своих значений или всегда точки из $\mathfrak{R}$, или всегда комплексные числа) непрерывна в точке $f_0$ (из $\mathfrak{R}$ ), если для каждого \& $>0$ существует $\delta >0$ такое, что из $\Vert f-f_0\Vert <\delta$ с необходимостью следует, что $\Vert F(f)-P\left(f_0\right)\Vert <\epsilon$ или $|F(f)-F\left(f_0\right)|<\epsilon$ (в зависимости от того, являются ли значения $F$ точками из $\mathrm{\Re }$ или комплексными числами). Будем называть эту функцию ограниченной в $\mathfrak{R}$ или в заданном подмножествє $\mathfrak{R}$, если там всегда $\Vert F(f)\Vert \leqq C$ или $|F(f)|\leqq C$ ( $C$ — постоянная, соответствующим образом выбранная, но фиксированная). Аналогичные определения имеют место для нескольких переменных. Последовательность $f_1,f_2,\dots$ сходится к $f$ или имеет предел $f$, если числа $\Vert f_1-f\Vert ,\Vert f_2-f\Vert ,\dots$ сходятся к нулю. Точка называется предельной точкой множества $\mathfrak{A}$ (которое есть подмножество $\mathfrak{R}!$ ), если она является пределом последовательности из $\mathfrak{U}44$ ). В частности, будем называть $\mathfrak{A}$ замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и оно называется всюду плотным, если его предельные точки включают все $\mathrm{\Re }$.

Мы должны еще доказать, что $af,f+g,(f,g)$ непрерывны по всем своим переменным. Поскольку
$$\begin{array}{c}\Vert af-a{f}^{\prime }\Vert =|a|\cdot \Vert f-f^{\prime }\Vert ,\\ \Vert (f+g)-(f^{\prime }+g^{\prime })\Vert =\Vert (f-f^{\prime })+(g-g^{\prime })\Vert \leqq \Vert f-f^{\prime }\Vert +\Vert g-g^{\prime }\Vert ,\end{array}$$

то первые два утверждения очевидны. Дале́е, из
$$\Vert f-f^{\prime }\Vert <\epsilon ,\Vert g-g^{\prime }\Vert <\epsilon$$

при подстановке $f^{\prime }-f=\phi ,g^{\prime }-g=\psi$ следует, что
$$\begin{array}{rl}|(f,g)-(f^{\prime },g^{\prime })|& \equiv |(f,g)-(f+\phi ,g+\psi )|=\\ & =|(\phi ,g)+(f,\psi )+(\phi ,\psi )|\leqq \\ & \leqq |(\phi ,g)|+|(f,\psi )|+|(\phi ,\psi )|\leqq \\ & \leqq \Vert \phi \Vert \cdot \Vert g\Vert +\Vert f\Vert \cdot \Vert \psi \Vert +\Vert \phi \Vert \cdot \Vert \psi \Vert \leqq \\ & \leqq \epsilon (\Vert f\Vert +\Vert g\Vert +\epsilon ).\end{array}$$

При $\epsilon \to 0$ это выражение стремится к нулю и может быть сделано меньше любого $\delta >0$.
44) Используют также следующее определение предельной точки: для любого $\epsilon >0$ найдется такое $f^{\prime }$ из $\mathfrak{2}$, что $\Vert f-f^{\prime }\Vert <\epsilon$. Эквивалентность обоих определений можно показать дословно так же, как это делается в обычном анализе.
Свойства $\mathit{A}$. и $\mathit{B}$. позволяют нам, как мы видели, сказать об $\mathfrak{R}$ довольно много, однако они все же недостаточны, чтобы отличить ${\mathfrak{R}}_n$ друг от друга или от ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ — ведь о числе измерений пространства до сих пор не было сказано ни слова. Это понятие известным образом связано с максимальным числом линейно независимых векторов. Если такое максимальное число $n=1,2,\dots$ существует, то для этого $n$ мы можем утверждать, что
$C^{(\mathit{n})}$. Существует точно $n$ линеино-независимых векторов.
Это значит, что можно указєть $n$ таких векторов, но $n+1$ не существует.

Если же не имеется максимального числа, то тогда мы утверждаем, что
${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. Существует произвольно много линейно-независимых векторов.
Это значит, что для каждого $k=1,2,\dots$ можно указать $k$ таких векторов.

Итак, $\mathit{C}$. не является собственно новым постулатом. Если имеют место $\mathit{A}.,\mathit{B}$., то либо одно из ${\mathit{C}}^{(n)}$, либо ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. также обязательно имеют место. Судя по тому, какое из них мы выберем, мы получим различные пространства $\mathfrak{R}$. Мы увидим, что из ${\mathit{C}}^{(n)}$. следует, что $\mathfrak{R}$ обладает всеми свойствами $n$-мерного (комплексного) евклидова пространства. Напротив, постулата $C^{(\mathrm{\infty })}$. не хватит, чтобы обеспечить тождество $\mathfrak{R}$ с гильбертовым пространством ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, нам потребуются для этого еще два постулата $\mathit{D}$. и $\mathit{E}$. . Точнее, дело обстоит следующим образом: мы покажем, что $\mathfrak{R}$ с $\mathit{A},\mathit{B}$. и ${\mathit{C}}^{(n)}$. обладает всеми свойствами ${\mathfrak{R}}_n$ и, в частности, своиствами $\mathit{D}$. и $\mathit{E}$. , которые будут сенчас сформулированы (и которые, таким образом, следуют из ${\mathit{A}}_{.},\mathit{B}$. и. ${\mathit{C}}^{(n)})$. Далее мы покажем, что $\mathrm{\Re }$ с $\mathit{A},,\mathit{B},{\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$, D., E. обладает всеми свойствами ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$, однако в этом случае постулаты $\mathit{D}$. и $\mathit{E}$. существенны (т. е. они не следуют из $\mathit{A},\mathit{B},{\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$.). Мы перейдем теперь к формулиоовке $\mathit{D}$. и $\mathit{E}$., а доказательство того, что все ${\mathfrak{R}}_n,{\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ обладают такими свойствами, будет несколько отложено (см. II. 3).
D. Пространство $\mathrm{\Re }$ полно ${}^{45})$.
Это значит, что если последовательность $f_1,f_2,\dots$ в $\mathrm{\Re }$ удовлетворяет критерию сходимости Коши (для каждого $\epsilon >0$ существует такое $N=N(\epsilon )$, что $\Vert f_m-f_n\Vert <\epsilon$ для всех $m,n\geqq N)$, то
45) Мы для кратности пользуемся этими топологическими терминами. (Cp. Hausdorff, Mengenlehre, Berlin 1927. Русский перевод; Х у с дорф. Теория множеств, ОНТИ, 1937). Они будут пояснены при дальнейшем изложении.

โГЛ. II
она сходится, т. е. обладает пределом $f$ (см. определение этого понятия, данное выше).
E. Пространство $\mathrm{\Re }$ сепарабельно ${}^{45}$ ).
Это значит, что имеется последовательность $f_1,f_2,\dots$ в $\mathfrak{R}$, которая всюду плотна в $\mathrm{\Re }$.

B II. 2 мы, как сказано, построим «геометрию» $\mathrm{\Re }$, исходя из этих основных положений, и покажем се тождественность с геометрией ${\mathfrak{R}}_n$ или ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ соответственно.
2. Геометрия гильбертова пространства
Мы начнем с двух определений. Первое из них содержит ровно столько от тригонометрии, сколько нужно для наших целей: понятие o прямом угле — ортогональность.
Oпределение 4. Два элемента $f$ и $g$ из $\mathrm{\Re }$ ортогональны, если $(f,g)=0$. Два линейных многообразия $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$,ортогональны, если каждый элемент из $\mathfrak{M}$ ортогонален каждому элементу из $\mathfrak{R}$. Множество $\mathfrak{O}$ называется ортонормированной системой, если для всех $f,g$ из $\mathfrak{D}$
$$(f,g)=\{\begin{array}{lll}1& \text{ для }& f=g,\\ 0& \text{ для }& feqg\end{array}$$
(т. е. каждые два различных элемента ортогональны и каждый элемент по длине равен единице ${}^{46}$ )). В частности, $\mathfrak{D}$ будет называться полной, если она не может быть подмножеством какойлибо другой ортонормированной системы, содержащей дополнительные элементы ${}^{47}$ ).
Заметим еще, что утверждение о полноте ортогональной системы $\mathfrak{O}$ означает, очевидно, что не существует $f\mathrm{c}\Vert f\Vert =1$, которыи был бы ортогонален ко всей 5 (ср. прим. ${}^{46}$ )). Но будь $f$ просто отличен от нуля и ортогонален ко всен системе $\mathfrak{O}$, то $f^{\prime }=\frac{f}{\Vert f\Vert }\cdot f$ (ведь $\Vert f\Vert >0$ ) удовлетворяет всем требованиям: $\Vert f^{\prime }\Vert =\frac{1}{\Vert f\Vert }\Vert f\Vert =1$ и $f^{\prime }$ ортогонален к $\mathfrak{O}$. Следовательно, полнота $\mathfrak{D}$ требует, чтобы любой $f$, ортогональный ко всей системе $\mathfrak{E}$, исчезал.

Второе определение таково, что оно существенно только для ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, поскольку в ${\mathfrak{R}}_n$ каждое линейное многообразие — такого типа, как то, которое им описывается (ср. конец II. 3). Поэтому мы не можем дать интуитивно-геометрическую картину его смысла.
46) Действительно, $\Vert f\Vert =\sqrt{(f,f)}=1$.
47) Как видно, полные ортоғональные системы соответствуют декартовым системам координат (т. е. совокупностям единичных векторов, направленных вдоль их осей) в ${\mathrm{\Re }}_n$.