Классическая механика представляет собой причинную дисциплину, т. е. если состояние описываемой ею системы известно со всей подробностью, – для чего в случае $k$ степеней свободы необходимо задать $2 k$ чисел: $k$ координат $q_{1}, \ldots, q_{k}$ конфигурационного пространства и $k$ их производных по времени $\frac{\partial q_{1}}{\partial t}, \ldots, \frac{\partial q_{k}}{\partial t}$ или же, вместо последних, $k$ импульсов $p_{1}, \ldots, p_{1}$, – то значение любой физической величины (энергии, момента и пр.) можно определить единственным образом и численно точно. Несмотря на это, существует и статистический метод исследования классической механики, но он является, так сказать, лишь роскошью или приправой. А именно, если нам известны не все $2 k$ фиксирующих состояние параметра $\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$, но лишь часть из них (причем даже эти лоследние могут быть известны не точно), то можно, јсредняя каким-нибудь способом по параметрам, оставшимся неизвестными, сделать по краяней мере статистические утверждения относительно всех физических величин. Это же справедливо и для прошлых или будущих состояний системы: если известны $q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}$
в момент $t=t_{0}$, то с помощью уравнений движения классической механики можно (причинным образом) вычислить состояние в любои другой момент $t$; но если известны лишь некоторые из параметров, то надо усреднить по остальным, и о состояниях в другие моменты времени ${ }^{120}$ ) можно делать уже лишь статистические утверждения.

Статистические утверждения, с которыми мы сталкиваемся в квантовой механике, имеют другой характер. Здесь в случае $k$ степеней свободы состояние описывается волновой функцией $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, т. е. точкой $\varphi$ надлежащим образом реализованного $\mathfrak{\Re}_{\infty}(\|\varphi\|=1$ численный множитель абсолютной величины 1 несуществен). И хотя мы считаем поэтому, что задание $р$ полностью определяет состояние, оно тем не менее делает возможными лишь статистические утверждения о значениях физических величин.

Впрочем, эта статистичность ограничена предсказаниями значений физических величин, в то время как прошлые и будущие состояния $\varphi_{t}$ вычисляются из $\varphi_{t_{0}}=\varphi$ причинным образом. Это позволяет сделать временно́е уравнение Шредингера (ср. I. 2), так как
\[
\varphi_{t_{0}}=\varphi, \frac{h}{2 \pi l} \frac{\partial}{\partial t} \varphi_{t}=-H \varphi_{t}
\]

определяют всю эволюцию состояния $\varphi_{t}$. Решение этого дифференциального уравнения можно получить даже в явном виде
\[
\varphi_{t}=e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(t-t_{0}\right) H_{\varphi}}
\]
$\left(e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(t-t_{0}\right) \text { н }}\right.$ унитарно $\left.\left.{ }^{121}\right)\right)$. (В этой формуле прёдполагается, что $\mathrm{H}$ не зависит от времени, но $\varphi_{t}$ определяется однозначно и для
120) Хорошую иллюстрацию к этим соотношениям дает кинетическая теория газов.

Один моль (32 2) кислорода содержит $6 \cdot 10^{23}$ молекул кислорода и является, учитывая, что каждая молекула $\mathrm{O}_{2}$ состоит из двух атомов кислорода (внутренней структурой которых мы пренебрежем, рассматривая их как точечные массы с тремя степенями свободы у каждой), механической системой с $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 10^{23}=36 \cdot 10^{23}=k$ степенями свободы. Итак, знание $2 k$ параметров позволило бы описать его поведение причинно, но теория газов использует лишь два: давление и температуру, которые являются определенными, сложными, функциями этих $2 k$ параметров.

Поэтому она может делать лишь статистические (вероятностные) утверждения. То, что они во многих случаях оказываются почти причинными, т. е. соответствующие вероятности – близкими к 0 или 1 , не меняет принципиального положения вещей.
121) Пусть $F_{t}(\lambda)$ – зависящая от времени функция, $\frac{\partial}{\partial t} F_{t}(\lambda)=G_{t}(\lambda)$, и пусть $\mathrm{H}$ – эрмитов оператор, тогда $\frac{\partial}{\partial t} F_{t}(\mathrm{H})=G_{t}(\mathrm{H})$, поскольку $\frac{\partial}{\partial t}$ получается вычитанием, делением и переходом к пределу. Если $F_{t}(\lambda)=$

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0158.jpg.txt

2]
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
157
зависящего от времени $\mathrm{H}$, так как наше дифференциальное уравнение первого порядка, только тогда нет больше простых формул для решения.)

Если желать объяснить акаузальныи характер связи между $\varphi$ и значениями физических величин по примеру қлассической механики, то, очевидно, естественно понимать его следующим образом: На самом деле $\varphi$ вовсе не определяет состояния во всех деталях, напротив, чтобы узнать его полностью, необходимо задать дополнительные числа. Иными словами, у системы, помимо $\varphi$, имеются еще и другие характеризующие ее параметры или координаты. Будь все они известны, мы смогли бы указать значения всех физических величин точно и определенно; напротив, с одной только $\varphi$ – точно так же как в классической механике на основе лишь некоторых из $q_{1}, \ldots, q_{k}$, $p_{1}, \ldots, p_{k}$ – возможны только статистические утверждения. Такое понимание – это, конечно, гипотеза, попытка, ценность которой зависит от того, удастся ли в самом деле найти дополнительные координаты, добавляющиеся к $\varphi$, и построить с их помощью причинную теорию, находящуюся в согласии с опытом и приводящую при задании одноћ только $\varphi$ (и усреднении по остальным координатам) снова к статистическим утверждениям квантовой механики.

Обычно эти гипотетические дополнительные координаты называют «скрытыми параметрами» или «скрытыми координатами», так как они должны были бы играть скрытую роль в сравнении с волновой функцией $\varphi$, которая только и раскрыта в настоящее время. Объяснение с помощью скрытых параметров уже свело в классической физике некоторые, казалось бы статистические, соотношения к причинным основаниям механики: характерным примером является кинетическая теория газов (ср. прим. ${ }^{120}$ ).

Вопрос о том, возможно ли объяснение этого типа с помощью скрытых параметров в квантовой механике, обсуждался не один раз. Тот взгляд, что на этот вопрос когда-нибудь будет получен положительный ответ, имеет и сейчас выдающихся представителей. Если бы он подтвердился, то сегодняшнюю форму теории пришлось бы $=e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(t-t_{0}\right) \lambda}$, то это дает
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(t-t_{0}\right) \mathrm{H}}\right)=-\frac{2 \pi i}{h} \mathrm{H} e^{-\frac{2 \pi t}{h}\left(t-t_{0}\right) \mathrm{H}}
\]

и после применения к $\varphi$ приводит к желаемому дифференциальному уравнению.

Так как $\left|F_{t}(\lambda)\right|=1, F_{t}(\lambda) \overline{F_{t}(\lambda)}=1$, то $F_{t}(\mathrm{H})\left\{F_{t}(\mathrm{H})\right\}^{*}=1$, т. е. наш оператор $F_{t}(\mathrm{H})=e^{-\frac{2 \pi i}{\hbar}\left(t-t_{0}\right) \mathrm{H}}$ унитарен. Поскольку при $t=t_{0}$ он, очевидно, равен единице, то требование $p_{t_{0}}=\varphi$ также выполнено.
объявить предварительной, поскольку описание состояний с помощью волновых функций оказалось бы тогда существенно неполным *).

Ниже будет показано (IV.2), что введение скрытых параметров заведомо невозможно, во всяком случае без фундаментальных изменений существующей теории. Пока же подчеркнем только, что волновая функция $\varphi$ тем весьма существенно отличается от частичной системы координат и импульсов $q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}$ классической механики, что зависимость $\varphi$ от времени причинна, а не статистична: $\varphi_{t_{0}}$, как мы видели выше, определяет все $\varphi_{t}$ однозначно.

До тех пор, пока более подробный анализ положений квантовой механики не позволит нам объективно доказать (в отрицательном смысле) возможность введения скрытых параметров (что делается в указанном выше месте), мы откажемся от возможности такого объяснения и станем на противоголожную точку зрения, т. е. примиримся с тем фактом, что законы, управляющие элементарными процессами (т. е. законы квантовой механики), имеют статистическую природу. (Причинность в макромире может, во всяком случае, быть симулирована нивелирующим денствием «закона больших чисел», который проявляется, когда многие элементарные процессы происходят одновременно. Сравни замечание в конце прим. ${ }^{120}$ ) на стр. 156 и прим. ${ }^{175}$ ) на стр. 243.) В соответствии с этим мы убеждаемся, что $\boldsymbol{W}$. (или также $\boldsymbol{E}_{2}$.) является каиболее всеобъемлющим утверждением относительно элементарных процессов.

Этл понимание квантовой механики, принимающее ее статистические утверждения за истинную форму законов природы и отказывающееся от принципа причинности, и есть так называемая статистическая интерпретация. Она восходит к M. Born’y ${ }^{122}$ ) и является сейчас единственной последовательно проводимой интерпретацией квантовой механики, т. е. суммы нашего опыта относительно элементарных процессов. В дальнейшем мы будем придерживаться этой интерпретации, до тех пор пока не сможем приступить к более подробному обсуждению положения вещей.
3. Одновременная измеримость и измеримость вообще
Вторая замечательная особенность, отмеченная в конце III.1, была связана с тем, что $\boldsymbol{W}$. объясняло не только вероятности, с которыми некоторая величина $\mathfrak{R}$ принимает те или иные числовые значения, но и указывало вероятностные взаимозависимости между
*) В настоящее время точка зрения, противоположная взглядам автора, разрабатывается группой de Broglie’я (Vigler, Lochak и др.) во Франции, а также Вӧн’ом в Америке и Терлецким у нас. – Прим. ред.
122) Z. Physik 37 (1926). Все дальнейшее развитие (ср. прим. ${ }^{2}$ ) на стр. 10) основывается на этом представлении.