Напишем теперь дифференциальные уравнения задачи трех тел в гамильтоновой форме. При этом мы сначала не будем предполагать, что центр инерции $P_{0}$ находится в начале координат. Координаты точек $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ обозначим сквозным индексом при $q: q_{1}, \ldots, q_{9}$, следовательно $x_{k}, y_{k}, z_{k}(k=1,2,3)$ будут заменены на $q_{3 k-2}, q_{3 k-1}, q_{3 k}$.

Соответственно обозначим импульсы $m_{k} \dot{x}_{k}, m_{k} \dot{y}_{k}, m_{k} \dot{z}_{k}$ через $p_{3 k-2}$, $p_{3 k-1}, p_{3 k}$. Тогда
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{3}\left(\frac{p_{k}^{2}}{m_{1}}+\frac{p_{k+3}^{2}}{m_{2}}+\frac{p_{k+6}^{2}}{m_{3}}\right) .
\]

Уравнения движения $(5 ; 4)$ будут иметь при $n=3$ следующую гамильтонову форму:
\[
\dot{q}_{k}=E_{p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-E_{q_{k}} \quad(k=1, \ldots, 9),
\]

причем $E=T-U$ рассматривается как функция 18 независимых переменных $p_{k}, q_{k}$. Из этих 18 дифференциальных уравнений нужно исключить с помощью интегралов движения центра инерции 3 пары переменных $p_{k}, q_{k}$, и этого можно достигнуть подходящим каноническим преобразованием $q_{k}, p_{k}$ в новые переменные $x_{k}, y_{k}$. По образцу преобразования $(3 ; 4)$ сделаем подстановку
\[
p_{k}=w_{q_{k}}, \quad x_{k}=w_{y_{k}} \quad(k=1, \ldots, 9)
\]

с производящей функцией $w(q, y)$, функциональный определитель которой $\left|w_{y_{k} q_{l}}\right|$ не равен нулю. Это каноническое преобразование построим таким образом, чтобы $x_{1}, \ldots, x_{6}$ были относительными координатами точек $P_{1}, P_{2}$ относительно $P_{3}$, а $x_{7}, x_{8}, x_{9}$ оставались координатами точки $P_{3}$ :
\[
x_{k}=q_{k}-q_{k+6}, \quad x_{k+3}=q_{k+3}-q_{k+6}, \quad x_{k+6}=q_{k+6} \quad(k=1,2,3) .
\]

Это требование будет в согласии со вторым уравнением (3), если положить
\[
w=\sum_{k=1}^{3}\left\{\left(q_{k}-q_{k+6}\right) y_{k}+\left(q_{k+3}-q_{k+6}\right) y_{k+3}+q_{k+6} y_{k+6}\right\} .
\]

Легко видеть, что определитель $\left|w_{y_{k} q_{l}}\right|=1$, так что формулы (3) действительно дают каноническое преобразование. Из первого уравнения (3) получим равенства
\[
p_{k}=y_{k}, \quad p_{k+3}=y_{k+3}, \quad p_{k+6}=y_{k+6}-y_{k+3}-y_{k} \quad(k=1,2,3),
\]

поэтому
\[
y_{k}=p_{k}, \quad y_{k+3}=p_{k+3}, \quad y_{k+6}=p_{k}+p_{k+3}+p_{k+6} \quad(k=1,2,3)
\]

и формулы (4), (5) дают искомое каноническое преобразование, которое получилось линейным. Так как оно, кроме того, не зависит от $t$, то новые уравнения движения имеют следующий вид:
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 9) .
\]

Здесь $E=T-U$ нужно рассматривать как функцию $x_{k}, y_{k}$. Теперь получаем
\[
\begin{aligned}
T= & \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{3}\left\{m_{1}^{-1} y_{k}^{2}+m_{2}^{-1} y_{k+3}^{2}+m_{3}^{-1}\left(y_{k+6}-y_{k}-y_{k+3}\right)^{2}\right\}, \\
U= & m_{1} m_{3}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)^{-1 / 2}+m_{2} m_{3}\left(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}\right)^{-1 / 2}+ \\
& +m_{1} m_{2}\left\{\left(x_{1}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{5}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{6}\right)^{2}\right\}^{-1 / 2},
\end{aligned}
\]

поэтому $E$ не зависит от $x_{7}, x_{8}, x_{9}$. Отсюда следует в соответствии с уравнением (6), что $y_{7}, y_{8}, y_{9}$ во время движения остаются постоянными, что и дает опять, очевидно, интегралы движения центра инерции. Если рассмотреть дифференциальные уравнения (6) только для $k=$ $=1, \ldots, 6$, то при этом получится гамильтонова система для шести первых пар $x_{k}, y_{k}$, так как $x_{7}, x_{8}, x_{9}$ в $E$ не входят, а $y_{7}, y_{8}, y_{9}$ остаются постоянными. Если эту систему решить, то величины $x_{7}, x_{8}, x_{9}$ можно затем найти из уравнений
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}} \quad(k=7,8,9)
\]

при помощи квадратур. Предположим теперь опять, что центр инерции находится в начале координат; тогда $y_{7}=y_{8}=y_{9}=0$ и далее,
\[
\begin{aligned}
0=m_{1} q_{k}+m_{2} q_{k+3} & +m_{3} q_{k+6}= \\
& =m_{1}\left(x_{k}+x_{k+6}\right)+m_{2}\left(x_{k+3}+x_{k+6}\right)+m_{3} x_{k+6},
\end{aligned}
\]

следовательно,
\[
x_{k+6}=-\frac{m_{1} x_{k}+m_{2} x_{k+3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \quad(k=1,2,3) .
\]

Поэтому достаточно рассмотреть только систему
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

для которой
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right) & \sum_{k=1}^{3} y_{k}^{2}+ \\
& +\frac{1}{2}\left(m_{2}^{-1}+m_{3}^{-1}\right) \sum_{k=1}^{3} y_{k+3}^{2}+m_{3}^{-1} \sum_{k=1}^{3} y_{k} y_{k+3} .
\end{aligned}
\]

С помощью результатов предыдущих параграфов исследуем теперь ближе свойства решений $x_{k}, y_{k}$ при столкновении $P_{1}$ и $P_{3}$ в момент $t_{1}$. Если положить для сокращения
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=x^{2}, \quad y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=y^{2},
\]

то $x>0$ при $\tau \leqslant t<t_{1}, x \rightarrow 0$ при $t \rightarrow t_{1}$ и соотношение (6;9) переходит B
\[
x y^{2} \rightarrow \frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)^{2}}{m_{1}+m_{3}} \quad\left(t \rightarrow t_{1}\right) .
\]

Из полученных ранее результатов очевидно, что $x_{k}, y_{k}(k=4,5,6)$ при $t \rightarrow t_{1}$ стремятся к определенным предельным значениям, а также что
\[
x U \rightarrow m_{1} m_{3} \quad\left(t \rightarrow t_{1}\right) .
\]

Согласно результатам предыдущего параграфа, пока еще не полностью обоснованным, нужно ввести вместо $t$ новую независимую переменную
\[
s=\int_{\tau}^{t} \frac{d t}{x(t)} \quad\left(\tau \leqslant t<t_{1}\right),
\]

где $x=x(t)$ есть функция, определенная уравнениями (6) и (10). Тогда переменная $s$ как функция от $t$ регулярна в интервале $\tau \leqslant t<t_{1}$ и возрастает от нуля до конечного значения
\[
s_{1}=\int_{\tau}^{t_{1}} \frac{d t}{x(t)} .
\]

Так как $\dot{s}=x^{-1}$, то обратная функция $t(s)$ также является регулярной и монотонно возрастает от $\tau$ до $t_{1}$ в интервале $0 \leqslant s<s_{1}$. Будем обозначать дифференцирование по $s$ штрихом; тогда с этой новой независимой переменной дифференциальные уравнения будут иметь следующий вид:
\[
x_{k}^{\prime}=x E_{y_{k}}, \quad y_{k}^{\prime}=-x E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6) .
\]

Эти дифференциальные уравнения уже не имеют гамильтоновой формы.

С помощью искусственного приема, предложенного Пуанкаре, этим уравнениям можно придать опять гамильтонову форму следующим образом. Из интеграла энергии следует, что на каждом решении системы (8) $E$ равно постоянной $h$. Введем теперь функцию
\[
F=x(E-h)=x(T-U-h),
\]

которая зависит от переменных $x_{k}, y_{k}(k=1, \ldots, 6)$. Для рассматриваемого решения
\[
F_{x_{k}}=x E_{x_{k}}, \quad F_{y_{k}}=x E_{y_{k}},
\]

так как другой член, возникающий при дифференцировании $x(E-h)$, содержит равный нулю на каждом решении множитель $E-h$. Следовательно, система (14) переходит в гамильтонову систему
\[
x_{k}^{\prime}=F_{y_{k}}, \quad y_{k}^{\prime}=-F_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

и притом этой системе удовлетворяют все те решения первоначальных уравнений движения, для которых $E$ имеет заданное значение $h$, и поэтому функция $F$ равна нулю. Так как новая гамильтонова функция $F$ не содержит явно независимой переменной $s$, то для каждого решения системы (16) производная
\[
F^{\prime}=\sum_{k=1}^{6}\left(F_{x_{k}} x_{k}^{\prime}+F_{y_{k}} y_{k}^{\prime}\right)
\]

равна нулю, поэтому $F$ является постоянной. Тогда для $F=0, x
eq 0$ система (14), наоборот, следует из системы (16), в то время как решения (16) при $F
eq 0$ не имеют прямого отношения к задаче трех тел. Поэтому польза от введения функции $F=x T-x U-h x$ состоит в том, что слагаемые $x T, x U$ не становятся бесконечными при $t \rightarrow t_{1}$, а стремятся к конечным пределам. Разумеется, вследствие бесконечности $y$ не все производные $F_{x_{k}}$ остаются ограниченными, поэтому система (16) также еще не пригодна для дальнейшего исследования особенности при $t=t_{1}$. Нам придется сделать еще одно каноническое преобразование, при котором $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ выразятся через обратные радиусы.

Чтобы дать представление об этом преобразовании, обратимся сначала к задаче двух тел. Эта задача получается в предположении, что тело $P_{2}$ при $t \rightarrow t_{1}$ не оказывает существенного влияния на поведение тел $P_{1}$ и $P_{3}$. Поэтому исключим совсем тело $P_{2}$, выберем в качестве тел в задаче две материальные точки $P_{1}$ и $P_{3}$, а центр инерции расположим в нуле. Тогда
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right), \\
U & =m_{1} m_{3}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)^{-1 / 2}=m_{1} m_{3} x^{-1}, \\
F & =\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right) x y^{2}-m_{1} m_{3}-h x .
\end{aligned}
\]

Если ограничиться только частным случаем $h=0, \frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right)=1$ и опустить аддитивную постоянную $-m_{1} m_{3}$, то получится упрощенная система Гамильтона
\[
x_{k}^{\prime}=F_{y_{k}}, \quad y_{k}^{\prime}=-F_{x_{k}} \quad(k=1,2,3),
\]

где
\[
F=F\left(x_{k}, y_{k}\right)=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)^{1 / 2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) .
\]

По теории Гамильтона-Якоби, развитой в §3, полное решение системы (17) получается в том случае, если найти зависящее от трех параметров $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ решение $w\left(x_{k}, \xi_{k}, s\right)$ дифференциального уравнения в частных производных
\[
F\left(x_{k}, w_{x_{k}}\right)+w_{s}=0
\]

при выполнении условия $\left|w_{x_{k}} \xi_{l}\right|
eq 0$; тогда имеем
\[
y_{k}=w_{x_{k}}, \quad \eta_{k}=-w_{\xi_{k}} \quad(k=1,2,3)
\]

с шестью постоянными интегрирования $\xi_{k}, \eta_{k}$. Так как $F$ не зависит от $s$, то для нахождения решения уравнения (18) сделаем подстановку
\[
w\left(x_{k}, \xi_{k}, s\right)=v\left(x_{k}, \xi_{k}\right)-\lambda\left(\xi_{k}\right) s .
\]

Решение можно было бы осуществить еще проще, если предполагать, что функция $w$ не зависит от $s$; но тогда в силу (19) общее решение $x_{k}$, $y_{k}$ системы (17) также не будет содержать $s$, что приводит к противоречию. После применения подстановки (20) уравнение (18) переходит в
\[
F\left(x_{k}, v_{x_{k}}\right)=\lambda\left(\xi_{k}\right), \quad\left|v_{x_{k} \xi_{l}}\right|
eq 0,
\]

и соотношения (19) переходят в
\[
y_{k}=v_{x_{k}}, \quad \eta_{k}=\lambda_{\xi_{k}} s-v_{\xi_{k}} \quad(k=1,2,3) .
\]

Прежде чем решать уравнение (21), изменим обозначения и вместо (22) введем каноническое преобразование
\[
y_{k}=v_{x_{k}}, \quad \eta_{k}=-v_{\xi_{k}} \quad(k=1,2,3),
\]

которое не зависит от в. Из (21) следует
\[
F\left(x_{k}, y_{k}\right)=F\left(x_{k}, v_{x_{k}}\right)=\lambda\left(\xi_{k}\right) ;
\]

по теории преобразований гамильтонова система (17) вследствие (22) переходит в
\[
\xi_{k}^{\prime}=\lambda_{\eta_{k}}=0, \quad \eta_{k}^{\prime}=-\lambda_{\xi_{k}} .
\]

Следовательно, $\xi_{k}$ и $\eta_{k}+\lambda_{\xi_{k}} s=\zeta_{k}(k=1,2,3)$ являются постоянными интегрирования.

Чтобы решить уравнение (21), рассмотрим прежде всего аналогичную задачу на плоскости и затем уже обобщим надлежащим образом найденное решение на случай трех измерений. В упрощенном таким способом дифференциальном уравнении
\[
\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2}\left(v_{x_{1}}^{2}+v_{x_{2}}^{2}\right)=\lambda\left(\xi_{k}\right), \quad\left|v_{x_{k} \xi_{l}}\right|
eq 0,
\]

положим $x_{1}+i x_{2}=z$ и попытаемся получить $v$ как мнимую часть аналитической функции $\varphi z=u+i v$. В силу условий Коши-Римана имеем
\[
u_{x_{1}}=v_{x_{2}}, \quad v_{x_{1}}^{2}+v_{x_{2}}^{2}=u_{x_{1}}^{2}+v_{x_{1}}^{2}=\left|\varphi_{z}\right|^{2},
\]

следовательно, выражение
\[
\left|z \varphi_{z}^{2}\right|=\lambda\left(\xi_{k}\right)
\]

должно быть постоянным относительно $z$. Но так как функция $z \varphi_{z}^{2}$ является аналитической, то и сама эта функция постоянна. Положим
\[
z \varphi_{z}^{2}=\bar{\zeta}=\xi_{1}-i \xi_{2}, \quad \varphi_{z}=\left(\frac{\bar{\zeta}}{z}\right)^{1 / 2}
\]

с комплексной постоянной $\zeta=\xi_{1}+i \xi_{2}$. Интегрированием получим, что функция
\[
\varphi(z)=2 \sqrt{\bar{\zeta} z}
\]

является решением поставленной задачи. Отсюда
\[
\begin{array}{c}
i v=\sqrt{\bar{\zeta} z}-\sqrt{\zeta \bar{z}} \\
v^{2}=2|\zeta z|-\bar{\zeta} z-\zeta \bar{z}=2\left\{\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}\right)^{1 / 2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2}-\left(\xi_{1} x_{1}+\xi_{2} x_{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

При $\zeta z
eq 0$ легкое вычисление показывает, что
\[
\left|v_{x_{k} \xi_{l}}\right|=\frac{1}{4|\zeta z|}
eq 0
\]

следовательно, второе требование в (24) также выполнено.
Ближайшая задача — обобщить найденные результаты с помощью преобразования
\[
v^{2}=2\left(\xi x-\sum_{k=1}^{3} \xi_{k} x_{k}\right), \quad \xi=\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\xi_{3}^{2}\right)^{1 / 2}, \quad x=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)^{1 / 2}
\]

на случай трех измерений. Покажем, что из (25) действительно следует (21) с соответствующей $\lambda\left(\xi_{k}\right)$ и что
\[
F\left(x_{k}, y_{k}\right)=x y^{2}=x\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) .
\]

Из (25) прежде всего имеем
\[
\left\{\begin{array}{ll}
v v_{x_{k}}=\frac{x_{k}}{x} \xi-\xi_{k} & (x
eq 0), \\
v v_{\xi_{k}}=\frac{\xi_{k}}{\xi} x-x_{k} & (\xi
eq 0) .
\end{array}\right.
\]

Умножая первое из уравнений (26) на $x$, возводя в квадрат и суммируя по $k=1,2,3$, получим
\[
\begin{array}{c}
x^{2} v^{2} \sum_{k=1}^{3} v_{x_{k}}^{2}=2 \xi^{2} x^{2}-2 \xi x \sum_{k=1}^{3} \xi_{k} x_{k}=\xi x v^{2}, \\
x \sum_{k=1}^{3} v_{x_{k}}^{2}=\xi \quad\left(x v^{2}
eq 0\right)
\end{array}
\]

вычисляя далее функциональный определитель, имеем
\[
\left|v_{x_{k} \xi_{l}}\right|=-\frac{1}{4 \xi x v} \quad(\xi x v
eq 0),
\]

после чего, полагая
\[
\lambda\left(\xi_{k}\right)=\xi,
\]

убедимся в том, что уравнение (21) удовлетворяется. Чтобы удовлетворить еще требованию $\xi x v
eq 0$, предположим, что оба действительных вектора $\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)=\left(\xi_{k}\right)$ и $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{k}\right)$ линейно независимы. Это делает нашу подстановку пригодной; остается еще найти каноническое преобразование (23), производимое функцией $v\left(x_{k}, \xi_{k}\right)$.
\[
x v v_{x_{k}}=\xi x_{k}-\xi_{k} x=-\xi v v_{\xi_{k}},
\]

что вследствие (23) сводится к
\[
x y_{k}=\xi_{\eta_{k}} \quad(k=1,2,3) .
\]

Из (23) и (27) получается равенство
\[
x y^{2}=\xi
\]

далее, из (26) следует, если учесть также (27), соотношение
\[
\xi \sum_{k=1}^{3} v_{\xi_{k}}^{2}=x
\]

откуда по формулам (23), полагая для сокращения $\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2}=\eta^{2}$, получим формулу
\[
\xi \eta^{2}=x .
\]

${\text { Умножение соотношения (28) на } y^{2}}^{2}$ дает
\[
\eta_{k}=\frac{y_{k}}{y^{2}} \quad(k=1,2,3)
\]

и, соответственно,
\[
y_{k}=\frac{\eta_{k}}{\eta^{2}} \quad(k=1,2,3) .
\]

При этом вследствие $x \xi
eq 0$ имеем также $y
eq 0, \eta
eq 0$. Соотношения (30) и (31) показывают, что тройки $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ получаются друг из друга с помощью преобразования обратных радиусов.

Наконец, необходимо явно написать уравнения преобразования для $x_{k}$. Из (23) и (26) имеем
\[
v y_{k}=\frac{x_{k}}{x} \xi-\xi_{k} .
\]
$\mathrm{У}_{\text {множая на }} x_{k}$, суммируя по $k$ и вводя сокращенные обозначения
\[
g=\sum_{k=1}^{3} x_{k} y_{k}, \quad \gamma=\sum_{k=1}^{3} \xi_{k} \eta_{k},
\]

получаем формулу
\[
v g=x \xi-\sum_{k=1}^{3} x_{k} \xi_{k}=\frac{v^{2}}{2},
\]

следовательно,
\[
g=\frac{v}{2}
\]

аналогично получаем
\[
\gamma=-\frac{v}{2}
\]

с помощью формулы
\[
v \eta_{k}=x_{k}-\frac{\xi_{k}}{\xi} x .
\]

Далее, из последнего уравнения получаем
\[
x_{k}=\frac{\xi_{k}}{\xi} x-2 \gamma \eta_{k}
\]

это соотношение сводится в силу (29) к
\[
x_{k}=\xi_{k} \eta^{2}-2 \eta_{k} \sum_{l=1}^{3} \xi_{l} \eta_{l} \quad(k=1,2,3) .
\]

Совершенно так же получим обратное преобразование
\[
\xi_{k}=x_{k} y^{2}-2 y_{k} \sum_{l=1}^{3} x_{l} y_{l} \quad(k=1,2,3) .
\]

Найденное каноническое преобразование оказалось бирациональным и инволюционным. Для проведения выкладок было предположено, что оба вектора $\left(x_{k}\right),\left(\xi_{k}\right)$ действительны и линейно независимы. Легко дополнительно показать, что (30) и (33) являются единственным решением уравнений (31) и (32), если только $\eta
eq 0$; при выполнении этого условия $y
eq 0$ и преобразование будет каноническим.

Прежде чем применить это преобразование к регуляризации соударений в задаче трех тел, определим те траектории в задаче двух тел, для которых $h=0$. С помощью преобразований (31) и (32) гамильтоновы уравнения (17) можно привести к виду
\[
\xi_{k}^{\prime}=0, \quad \eta_{k}^{\prime}=-\lambda_{\xi_{k}}=-\frac{\xi_{k}}{\xi} \quad(\xi
eq 0 ; k=1,2,3),
\]

решение которых
\[
\eta_{k}=-\frac{\xi_{k}}{\xi} s+\zeta_{k}
\]

содержит действительные постоянные $\xi_{k}, \zeta_{k}$. Подставляя это решение в (32), получим $x_{k}$ в виде многочленов второй степени относительно $s$; мы получили искомые уравнения траектории. Покажем, что траектория является параболой. Из (34) следует, что вектор ( $\eta_{k}$ ) лежит в плоскости, определенной векторами $\left(\xi_{k}\right),\left(\zeta_{k}\right)$; в этой же плоскости, согласно $(32)$, лежит и вектор $\left(x_{k}\right)$, а потому и вся траектория. В силу ортогональной инвариантности ${ }^{1}$ достаточно рассмотреть случай $\xi_{3}=\zeta_{3}=0$, в котором речь идет о плоскости $x_{3}=0$. Шесть выражений $x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, x_{2}^{2}$,
${ }^{1}$ То есть вследствие инвариантности длины вектора при ортогональных преобразованиях координат. — Прим. перев.
$x_{1}, x_{2}, 1$ суть многочлены относительно $s$ степени $\leqslant 4$, и потому являются однородными линейными функциями пяти переменных $s^{4}, s^{3}, s^{2}$, $s, 1$. Поэтому существует многочлен второй степени относительно $x_{1}$, $x_{2}$, который как функция $s$ тождественно равен нулю. Следовательно, траектория является коническим сечением. Для дальнейшего заменим $s$ на $s+c$ с постоянным $c$, тогда (34) переходит в
\[
\eta_{k}=-\frac{\xi_{k}}{\xi} s-\left(\zeta_{k}-c \frac{\xi_{k}}{\xi}\right) \text {. }
\]

Определим $c$, потребовав, чтобы векторы $\left(\xi_{k}\right)$ и $\left(\zeta_{k}-c \frac{\xi_{k}}{\xi}\right)$ были взаимно ортогональными:
\[
c \xi=\sum_{k=1}^{2} \xi_{k} \zeta_{k}
\]

Тогда если обозначить опять $\zeta_{k}-c \frac{\xi_{k}}{\xi}$ через $\zeta_{k}$, то $\left(\xi_{k}\right),\left(\zeta_{k}\right)$ будут opтогональными и уравнение (34) вместе с уравнениями
\[
\eta^{2}=s^{2}+\zeta^{2}, \quad \sum_{k=1}^{2} \xi_{k} \eta_{k}=-\xi s
\]

удовлетворяются при $\zeta^{2}=\zeta_{1}^{2}+\zeta_{2}^{2}$. При этом соотношение (32) переходит в
\[
x_{k}=\xi_{k}\left(s^{2}+\zeta^{2}\right)+2\left(\zeta_{k}-\frac{\xi_{k}}{\xi} s\right) \xi s=2 \xi s \zeta_{k}+\left(\zeta^{2}-s^{2}\right) \xi_{k} \quad(k=1,2) .
\]

Это коническое сечение является параболой, ось которой параллельна вектору $\left(-\xi_{k}\right)$. Покажем еще, что фокус этой параболы лежит в начале координат. Для этого применим характеристическое свойство параболы, по которому вектор, проведенный из начала координат в каждую ее точку, образует с касательной к параболе в этой точке тот же угол, какой эта касательная образует с осью параболы. Так как направление этой оси задано величинами ( $-\xi_{k}$ ) и вектор $\left(x_{k}^{\prime}\right)$ указывает направление касательной, то нужно только доказать справедливость уравнения
\[
\sum_{k=1}^{2} \frac{x_{k}}{x} x_{k}^{\prime}=\sum_{k=1}^{2} \frac{-\xi_{k}}{\xi} x_{k}^{\prime}
\]

Но, согласно (35),
\[
\frac{x_{k}^{\prime}}{2}=\xi \zeta_{k}-s \xi_{k}
\]

следовательно,
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2} \frac{\xi_{k}}{\xi} x_{k}^{\prime}=-s \xi
\]

С другой стороны, дифференцирование равенств $x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, x=\xi \eta^{2}$ и использование (34) дает
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2} \frac{x_{k}}{x} x_{k}^{\prime}=\frac{1}{2} x^{\prime}=\xi \sum_{k=1}^{2} \eta_{k} \eta_{k}^{\prime}=\xi \sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\xi_{k}}{\xi} s-\zeta_{k}\right) \frac{\xi_{k}}{\xi}=\xi s,
\]
т. е. то, что требовалось доказать. Наконец, зависимость между $t$ и $s$ задается соотношением
\[
t^{\prime}=x=\xi \eta^{2}=\xi\left(s^{2}+\zeta^{2}\right),
\]
т. е. при подходящем выборе начала огсчета времени соотношением
\[
t=\frac{\xi}{3} s^{3}+\xi \zeta^{2} s
\]

В случае столкновения обоих тел $x=\xi\left(s^{2}+\zeta^{2}\right)$ равно нулю, следовательно, $\zeta=0, x_{k}=-s^{2} \xi_{k}(k=1,2), t=(\xi / 3) s^{3}$; парабола вырождается в прямую, столкновение происходит при $s=t=0$ и $t^{1 / 3}$ является регуляризирующей переменной для $\eta_{k}$.

Следует заметить, что, согласно предыдущему, только те параболы являются траекториями в первоначальной задаче двух тел при $h=0$, для которых выполнено условие $x y^{2}=m_{1} m_{3}$, т.е. $\xi=m_{1} m_{3}$. Этим объясняется кажущееся противоречие: найденные параболические орбиты вначале содержат шесть параметров, т. е. столько же, как и общее решение пространственной задачи двух тел в относительных координатах.