Рассмотрим преобразование в плоскости $(x, y)$, которое является аналитическим в окрестности некоторой неподвижной точки. Так как без ограничения общности можно принять эту точку за начало координат, то преобразование запишется в виде
\[
x_{1}=f(x, y), \quad y_{1}=g(x, y),
\]

где
\[
f(x, y)=a x+b y+\ldots, \quad g(x, y)=c x+d y+\ldots
\]

будут степенными рядами с действительными коэффициентами, не содержащими постоянных членов. Сначала, так же как в § 14, будем рассматривать формальные ряды, не обращая внимания на их сходимость; при этом коэффициенты могут быть произвольными комплексными числами, а $x, y$ рассматриваются как неизвестные. Если предположить еще, что $a d-b c
eq 0$, то тогда все преобразования (1) образуют группу $\Gamma$. Эта группа имеет своей подгруппой множество $\Delta$ всех тех преобразований, для которых уравнение
\[
f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x}=1
\]

справедливо в том смысле, что оно является тождеством относительно степенных рядов; это условие можно рассматривать также как условие сохранения объема. Группа $\Gamma_{0}$ (соответственно $\Delta_{0}$ ), которая содержит только сходящиеся в какой-нибудь окрестности точки $x=0, y=0$, ряды из $\Gamma$ (соответственно из $\Delta$ ) есть опять подгруппа $\Gamma$ (соответственно $\Delta$ ).

Если ввести векторы-столбцы $z=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right), z_{1}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right)$, то формальное преобразование (1) можно записать в символической форме следующим образом:
\[
z_{1}=S z .
\]

Сделаем теперь одновременно замену переменных
\[
\begin{aligned}
x & =\varphi(\xi, \eta)=\alpha \xi+\beta \eta+\ldots, & y & =\psi(\xi, \eta)=\gamma \xi+\delta \eta+\ldots, \\
x_{1} & =\varphi\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right), & y_{1} & =\varphi\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)
\end{aligned}
\]

при условии $\alpha \delta-\beta \gamma
eq 0$, которую можно записать в символической форме
\[
z=C \zeta, \quad z_{1}=C \zeta_{1}, \quad \zeta=\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta
\end{array}\right), \quad \zeta_{1}=\left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\
\eta_{1}
\end{array}\right) .
\]

При этом сначала $\varphi$ и $\psi$ будут формальными степенными рядами, не содержащими постоянных членов. Пусть $S$ сохраняет объем; мы будем рассматривать только те подстановки $C$, для которых выполняется дополнительное условие
\[
\varphi_{\xi} \psi_{\eta}-\varphi_{\eta} \psi_{\xi}=\alpha \delta-\beta \gamma .
\]

Легко показать, что каждая такая подстановка может быть составлена из одной линейной и одной сохраняющей объем подстановки. Вследствие $\alpha \delta-\beta \gamma
eq 0$ для подстановки $C$ существует обратная $C^{-1}$; тогда (3) переходит в
\[
\zeta_{1}=C^{-1} z_{1}=C^{-1} S C \zeta=T \zeta, \quad T=C^{-1} S C .
\]

Тогда преобразование $T$ входит в группу $\Gamma$ и соответственно $S$ входит в $\Delta$. Впрочем, легко заметить, что если подстановка $C$ не удовлетворяет условию (4), то не для каждого сохраняющего объем преобразования $S$ преобразование $C^{-1} S C$ будет также сохранять объем. Цель этого параграфа и заключается в том, чтобы при заданном $S$ соответствующим подбором $C$ установить нормальную форму для $T[1]$.

Прежде всего переведем в нормальную форму линейной подстановкой линейные члены в (1). Обозначим матрицы коэффициентов линейных членов $S z, C \zeta$ и $T \zeta$ через $\mathfrak{S}, \mathfrak{C}$ и $\mathfrak{T}$, тогда
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{S}=\left\|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right\|, \mathfrak{C}=\left\|\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right\|, \mathfrak{T}=\mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{S c}, \\
|\mathfrak{S}-\lambda \mathfrak{E}|=\lambda^{2}-(a+d) \lambda+a d-b c,
\end{array}
\]

и для собственных значений $\lambda$ и $\mu$ матрицы $\mathfrak{S}$ выполняются условия $\lambda+\mu=a+d, \lambda \mu=a d-b c$. Если $\mathfrak{S}$ сохраняет площадь, то, в частности, $a d-b c=1$, поэтому $\lambda \mu=1$. Величины $a, b, c$ и $d$ можно предполагать действительными; тогда могут представиться следующие три случая. В гиперболическом случае $\lambda, \mu$ будут действительными и различными; в параболическом случае $\lambda=\mu$; в эллиптическом случае $\bar{\lambda}=\mu
eq \lambda$. В дальнейшем ради упрощения исключим параболический случай, т. е. будем считать $\lambda
eq \mu$. Тогда $\mathfrak{C}$ можно определить так, чтобы $\mathfrak{T}$ имела нормальную форму
\[
\mathfrak{T}=\mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{S C}=\left\|\begin{array}{ll}
\lambda & 0 \\
0 & \mu
\end{array}\right\| .
\]

При этом в гиперболическом случае $\mathfrak{C}$ можно выбрать действительной, в то время как в эллиптическом случае оба столбца $\mathfrak{C}$ можно взять комплексно сопряженными.

После выполнения вспомогательной линейной подстановки $z=\mathfrak{C} \zeta$ преобразование $z_{1}=S z$ переходит в следующее:
\[
\left.\begin{array}{c}
\zeta_{1}=T \zeta, \quad \xi_{1}=p(\xi, \eta)=\lambda \xi+\ldots, \\
\eta_{1}=q(\xi, \eta)=\mu \eta+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Если $S$ действительно, то все коэффициенты функций $f$ и $g$ действительны, так что $T$ в гиперболическом случае также действительно, в то время как в эллиптическом случае выполняется соотношение
\[
\bar{p}(\xi, \eta)=q(\eta, \xi) \text {. }
\]

Здесь $\bar{p}$ есть степенной ряд, который получается из степенного ряда $p$ заменой всех его коэффициентов на комплексно сопряженные. Итак, преобразованию (1) линейной подстановкой можно придать форму (5), и $T$ принадлежит группе $\Gamma$, а $S$ – подгруппе $\Delta$. При этом возможность сходимости $f$ и $g$ сохраняется, так что тогда $T$ принадлежит $\Gamma_{0}$ (соответственно $\Delta_{0}$ ), если это выполняется для $S$. Если вместо $\zeta$ и $\zeta_{1}$ опять написать $z$ и $z_{1}$, тогда
\[
\left.\begin{array}{c}
z_{1}=T z, \quad x_{1}=p(x, y)=\lambda x+\sum_{p=2}^{\infty} p_{k} \\
y_{1}=q(x, y)=\mu y+\sum_{k=2}^{\infty} q_{k},
\end{array}\right\}
\]

причем $p_{k}, q_{k}$ суть однородные многочлены относительно $x$ и $y$ степени $k$. Подвергнем теперь $T$ произвольному нелинейному преобразованию вида
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\varphi(\xi, \eta)=\xi+\sum_{k=2}^{\infty} \varphi_{k}, \\
y=\psi(\xi, \eta)=\eta+\sum_{k=2}^{\infty} \psi_{k}, \\
z=C \zeta, \quad z_{1}=C \zeta_{1}
\end{array}\right\}
\]

где $\varphi_{k}$ и $\psi_{k}$ опять являются однородными многочленами степени $k$ по $\xi$ и $\eta$. В этой подстановке линейные члены оставлены неизменными, так как линейная часть преобразования (7) имеет уже нормальную форму.
Прежде всего предположим, что условия
\[
\lambda^{p} \mu^{q}
eq \lambda, \quad \lambda^{p} \mu^{q}
eq \mu
\]

выполняются для всех пар целых $p$ и $q$, для которых $p \geqslant 0, q \geqslant 0$, $p+q>1$. Покажем, что тогда существует единственная подстановка вида (8), для которой преобразование $U=C^{-1} T C$ имеет нормальную форму
\[
\xi_{1}=\lambda \xi, \quad \eta_{1}=\mu \eta
\]

Доказательство проведем сравнением коэффициентов. Если требование $C U=T C$ выполнено, то, следовательно,
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi(\lambda \xi, \mu \eta)=p[\varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)], \\
\psi(\lambda \xi, \mu \eta)=q[\varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)] .
\end{array}\right\}
\]

Если внести сюда степенные ряды из равенств (7) и (8), то коэффициенты линейных членов в обоих частях одинаковы. Допустим, что все многочлены $\varphi_{l}$ и $\psi_{l}(l=2, \ldots, k-1)$ для некоторого $k>1$ уже однозначно определены с помощью условия, что в уравнениях (11) коэффициенты всех членов степени меньшей, чем $k$-я совпадают. Это верно для $k=2$; остается доказать, что если это верно для $k$, то верно также и для $k+1$. Сравнение членов $k$-й степени в уравнениях (11) дает условия
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)=\lambda \varphi_{k}(\xi, \eta)+\ldots, \\
\psi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)=\mu \psi_{k}(\xi, \eta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где не написанные явно члены являются однородными многочленами степени $k$, коэффициенты которых уже известны. Положим
\[
\varphi_{k}(\xi, \eta)=\sum_{l=0}^{k} a_{l} \xi^{k-l} \eta^{l}, \quad \psi_{k}(\xi, \eta)=\sum_{l=0}^{k} b_{l} \xi^{k-l} \eta^{l},
\]

тогда
\[
\left.\begin{array}{c}
\varphi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)-\lambda \varphi_{k}(\xi, \eta)=\sum_{l=0}^{k} a_{l}\left(\lambda^{k-l} \mu^{l}-\lambda\right) \xi^{k-l} \eta^{l} \\
\psi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)-\mu \psi_{k}(\xi, \eta)=\sum_{l=0}^{k} b_{l}\left(\lambda^{k-l} \mu^{l}-\mu\right) \xi^{k-l} \eta^{l} .
\end{array}\right\}
\]

Так как вследствие условий (9) все выражения $\lambda^{k-l} \mu^{l}-\lambda, \lambda^{k-l} \mu^{l}-\mu$ отличны от нуля, то действительно возможно выбрать коэффициенты $a_{l}$ и $b_{l}$ единственным образом так, чтобы условия (12) удовлетворялись.

Мы ограничимся далее рассмотрением преобразований $T$, сохраняющих объем. Тогда $\lambda \mu=1$, следовательно, предположение (9) не выполнено. Найдем другую нормальную форму $U=C^{-1} T C$, используя для $U$ вместо преобразования (10) более общую подстановку
\[
\left.\begin{array}{c}
\xi_{1}=u \xi, \quad \eta_{1}=v \eta, \\
u=\sum_{k=0}^{\infty} \alpha_{2 k}(\xi \eta)^{k}, \quad v=\sum_{k=0}^{\infty} \beta_{2 k}(\xi \eta)^{k}
\end{array}\right\}
\]

с неопределенными коэффициентами $\alpha_{2 k}$ и $\beta_{2 k}$, причем $u v$ будут степенными рядами относительно произведения $\xi \eta=\omega$. Для получения $C$ возьмем опять ряды (8). Вместо уравнений (11) тогда нужно удовлетворить функциональным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\varphi(u \xi, v \eta)=p[\varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)], \\
\psi(u \xi, v \eta)=q[\varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)] .\} \\
\end{array}
\]

Сравнение линейных членов дает
\[
\alpha_{0}=\lambda, \quad \beta_{0}=\mu .
\]

Пусть для нечетных $l>0$ имеем $\alpha_{l}=\beta_{l}=0$ и пусть для некоторого $k>1$ путем сравнения коэффициентов при членах, степени которых меньше $k$, величины $\varphi_{l}, \psi_{l}, \alpha_{l-1}, \beta_{l-1}(l<k)$ уже определены. Для $k=2$ это верно. Тогда сравнение членов $k$-й степени дает условия
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)+\alpha_{k-1}(\xi \eta)^{(k-1) / 2} \xi=\lambda \varphi_{k}(\xi, \eta)+\ldots, \\
\psi_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)+\beta_{k-1}(\xi \eta)^{(k-1) / 2} \eta=\mu \psi_{k}(\xi, \eta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где опять не выписанные явно члены являются однородными многочленами степени $k$ с уже известными коэффициентами. Вследствие равенства $\lambda \mu=1$ имеем теперь
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{k-l} \mu^{l}-\lambda=\lambda\left(\lambda^{k-2 l-1}-1\right), \\
\lambda^{k-l} \mu^{l}-\mu=\lambda^{-1}\left(\lambda^{k-2 l+1}-1\right) .
\end{array}
\]

Предположим далее, что $\lambda$ не есть корень из единицы; тогда $\lambda^{k-2 l \mp 1}=$ $=1$ только при $k=2 l \mp 1$. Тогда в соответствие с уравнениями (14) и (18) $\alpha_{k-1}, \beta_{k-1}$, а также $a_{l}\left(l
eq \frac{k-1}{2}\right)$ и $b_{l}\left(l
eq \frac{k+1}{2}\right)$ могут быть однозначно определены, в то время как для нечетных $k=2 h+1$ коэффициенты $a_{h}$ и $b_{h+1}$ можно выбирать произвольно. Чтобы определить однозначно коэффициенты, нужно еще предположить, что степенные ряды для
\[
\varphi_{\xi}-\psi_{\eta}=\sigma(\xi, \eta), \quad \varphi_{\xi} \psi_{\eta}-\varphi_{\eta} \psi_{\xi}-1=\tau(\xi, \eta)-1
\]

не содержат степеней $\xi \eta=\omega$. Допустим, что это имеет место для членов степеней ниже $k-1$. При $k=2$ это утверждение является верным; справедливость утверждения при $k+1$, верного при $k$ четном, получается тривиальным образом. При нечетных $k=2 h+1$ для коэффициентов при $\omega^{h}$ в $\sigma$ получаются значения $(h+1)\left(a_{h}-b_{h+1}\right)$, поэтому
\[
a_{h}=b_{h+1} .
\]

Члены степени $k-1$ в $\tau$ получаются как $\varphi_{k \xi}+\psi_{k \eta}$ плюс многочлен с уже известными коэффициентами. Чтобы коэффициент при $\omega^{h}$ был равен нулю, $(h+1)\left(a_{h}+b_{h+1}\right)$ должно иметь некоторое определенное значение. Тогда с учетом уравнения (19) определяются однозначно и остальные коэффициенты $a_{h}, b_{h+1}$.

Таким образом, при заданных устовиях найдена такая подстановка $C$, которая переводит $T$ в нормальную форму $U=C^{-1} T C$, заданную выражением (15). Нужно еще показать, что $C$ сохраняет объем.

Для этого определим в соответствии с преобразованием (15) частные производные
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1 \xi}=u+u_{\xi} \xi=u+u_{\omega} \omega, \\
\xi_{1 \eta}=u_{\eta} \xi=u_{\omega} \xi^{2}, \\
\eta_{1 \xi}=v_{\xi} \eta=v_{\omega} \eta^{2}, \\
\eta_{1 \eta}=v+v_{\eta} \eta=v+v_{\omega} \omega .
\end{array}
\]

Из уравнения $C U=T C$, раскрывая функциональный определитель, получаем тождество
\[
\tau(u \xi, v \eta)\left[\left(u+u_{\omega} \omega\right)\left(v+v_{\omega} \omega\right)-u_{\omega} v_{\omega} \omega^{2}\right]=\tau(\xi, \eta),
\]

причем при подсчете используется, что $T$ по предположению сохраняет объем. Теперь
\[
\left(u+u_{\omega} \omega\right)\left(v+v_{\omega} \omega\right)-u_{\omega} v_{\omega} \omega^{2}=(u v \omega)_{\omega}=1+\ldots
\]

является в силу уравнений (15) и (17) степенным рядом по $\omega$, начинающимся с единицы. В силу уравнений (8) постоянный член $\tau(\xi, \eta)$ также равен единице. Мы хотим доказать, воспользовавшись тождеством $(20)$, что $\tau(\xi, \eta)=1$. Пусть степенной ряд
\[
\tau(\xi, \eta)-1=\tau_{k}(\xi, \eta)+\ldots
\]

начинается с членов $k$-го порядка $(k>0)$ и пусть $c$ есть коэффициент при $\omega^{k / 2}$ в правой части уравнения (21); тогда сравнение членов $k$-го порядка в уравнении (20) даст формулу
\[
\tau_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)+c \omega^{k / 2}=\tau_{k}(\xi, \eta) .
\]

Но так как ряд $\tau-1$ не содержит степеней $\omega$, то $c=0$; таким образом,
\[
\tau_{k}(\lambda \xi, \mu \eta)=\tau_{k}(\xi, \eta) .
\]

Тогда из
\[
\tau_{k}(\xi, \eta)=\sum_{l=0}^{k} \gamma_{l} \xi^{k-l} \eta^{l}
\]

следует
\[
\gamma_{l}\left(\lambda^{k-2 l}-1\right)=0,
\]

поэтому $\gamma_{l}=0(2 l
eq k)$, так как $\lambda$ не является корнем из единицы. Но при $2 l=k$ также имеем $\gamma_{l}=0$, так как тогда $\tau-1$ не содержит степеней $\omega$. Поэтому действительно $\tau=1$ и, следовательно, преобразование $C$ сохраняет объем. Вместе с тем из уравнений (20) и (21) опять получается соотношение $(u v \omega)_{\omega}=1$, и потому $u v \omega=\omega$, откуда
\[
u v=1 .
\]

Итак, мы доказали, что сохраняющее объем преобразование $T$ вида (7) посредством подстановки $C$ вида (8), также сохраняющей объем, может быть переведено в нормальную форму $U=C^{-1} T C$ вида (15), если собственное значение $\lambda$ не есть корень из единицы. Исследуем теперь, насколько $C$ и $U$ определяются через $T$. Пусть $V$ есть любая подстановка вида (15), сохраняющая объем; тогда $\xi_{1}=u_{0} \xi$ и $\eta_{1}=v_{0} \eta$, причем $u_{0}, v_{0}$ являются степенными рядами по $\omega=\xi \eta$, и
\[
\left(u_{0} \xi\right)_{\xi}\left(v_{0} \eta\right)_{\eta}-\left(u_{0} \xi\right)_{\eta}\left(v_{0} \eta\right)_{\xi}=\left(u_{0} v_{0} \omega\right)_{\omega}=1
\]

откуда следует условие $u_{0} v_{0}=1$, аналогичное условию (22). Поэтому условие (22) есть необходимое и достаточное условие для сохранения объема при преобразовании (15). При этом можно выбррать для $u_{0}$ какой-нибудь степенной ряд по $\omega$, постоянный член которого не равен нулю, и положить $v_{0}=u_{0}^{-1}$. Тогда, очевидно, $\xi_{1} \eta_{1}=\xi \eta$, следовательно, $\xi \eta$ инвариантно при подстановке $V$. Пусть далее
\[
\zeta_{1}=V_{1} \zeta, \quad \xi_{1}=u_{1} \xi, \quad \eta_{1}=v_{1} \eta, \quad u_{1} v_{1}=1
\]
– какая-нибудь вторая подстановка вида $V$, тогда вследствие инвариантности подстановка $V_{1} V$ имеет форму
\[
\xi_{1}=u_{1}(\omega) u(\omega) \xi, \quad \eta_{1}=v_{1}(\omega) v(\omega) \eta
\]

Отсюда следует, что подстановки $V$ образуют абелеву группу $\Lambda$. Если теперь $C_{0}$ сохраняет объем и $C_{0}^{-1} T C_{0}=U_{0}$ также имеет форму (15), то $U_{0}$ принадлежит $\Lambda$. Положим $C_{1}=C_{0} V$, где $V$ – какой-нибудь элемент группы $\Lambda$; тогда получим также $C_{1}^{-1} T C_{1}=U_{0}$. Так как собственные значения $\lambda$ и $\mu$ матрицы $\mathfrak{S}$ вполне определены их разложениями в ряды, то можно добиться, меняя местами $\xi$ и $\eta$, чтобы линейные члены обоих преобразований $\zeta_{1}=U \zeta, \zeta_{1}=U_{0} \zeta$ совпадали и, следовательно, были равны $\lambda \xi$ и $\mu \eta$. Обозначим через $\mathfrak{C}_{0}$ матрицу коэффициентов линейных членов $C_{0} \zeta ; \mathfrak{C}_{0}$ будет перестановочной с диагональной матрицей $\mathfrak{T}$. Вследствие $\lambda
eq \mu=\lambda^{-1}$ сама матрица $\mathfrak{C}_{0}$ будет тогда диагональной. Нужно доказать, что $C_{1}=C_{0} V$ удовлетворяет при соответствующем выборе $V$ поставленным выше условиям для $C$, которыми $C$ определяется однозначно. Прежде всего постоянный член $\rho=\rho_{0}
eq 0$ разложения
\[
u_{0}=\sum_{l=0}^{\infty} \rho_{l} \omega^{l}
\]

можно определить однозначно, если потребовать, чтобы $C_{1}$ имело форму (8). Все остальные коэффициенты $\rho_{l}(l>0)$ еще остаются при этом произвольными. Можно утверждать, что они однозначно определяются рекуррентными формулами при условии, что для степенных рядов $\varphi(\xi, \eta)$ и $\psi(\xi, \eta)$ соответствующих $C_{1}$, разность $\varphi_{\xi}-\psi_{\eta}$ не должна содержать членов с $\omega$. Если положить
\[
v_{0}=\sum_{l=0}^{\infty} \sigma_{l} \omega^{l}
\]

то прежде всего из $u_{0} v_{0}=1$ следует $\rho_{0} \sigma_{0}=1$, и затем
\[
\rho \sigma_{k}+\rho^{-1} \rho_{k}+\sum_{l=1}^{k-1} \rho_{l} \sigma_{k-l}=0 \quad(k=1,2, \ldots) .
\]

С другой стороны, если задать ряды, соответствующие $C_{0}$ :
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{*}(\xi, \eta)=\rho^{-1} \xi+\sum_{k=2}^{\infty} \varphi_{k}^{*}, \\
\psi^{*}(\xi, \eta)=\rho \eta+\sum_{k=2}^{\infty} \psi_{k}^{*},
\end{array}
\]

TO
\[
\varphi(\xi, \eta)=\varphi^{*}\left(u_{0} \xi, v_{0} \eta\right), \quad \psi(\xi, \eta)=\psi^{*}\left(u_{0} \xi, v_{0} \eta\right),
\]

таким образом,
\[
\varphi_{\xi}-\psi_{\eta}=\varphi_{\xi}^{*}\left(u_{0} \xi, v_{0} \eta\right) u_{0 \omega} \omega+\varphi_{\eta}^{*} v_{0 \omega} \eta^{2}-\psi_{\xi}^{*} u_{0 \omega} \xi^{2}-\psi_{\eta}^{*} v_{0 \omega} \omega .
\]

Предположим, что для некоторого $k>0$ величины $\rho_{1}, \ldots, \rho_{k-1}$ уже определены с помощью условия, что в правой части уравнения (24) нет членов с $\omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{k-1}$. Тогда из уравнения (23) $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{k-1}$ получаются с помощью рекуррентных формул однозначно. Приравниванием коэффициентов при $\omega^{k}$ в уравнении (24) нулю получим для $k\left(\rho^{-1} \rho_{k}-\right.$ $-\rho \sigma_{k}$ ) заранее установленное известное значение, откуда с помощью уравнения (23) получим, наконец, однозначно $\rho_{k}$, и потому сформулированное выше утверждение доказано. Так как вместе с подстановкой $C_{0} V$ и $C_{1}$ также сохраняют объем, то $\tau=\varphi_{\xi} \psi_{\eta}-\varphi_{\eta} \psi_{\xi}=1$, и оно не содержит, в частности, положительных степеней $\omega$. Следовательно, $C_{1}$ удовлетворяет всем условиям, установленным для $C$, что дает $C_{0} V=$ $=C_{1}=C, U_{0}=U$. Таким образом, мы доказали, что нормальная форма $U$ преобразования $T$, а следовательно, также преобразования $S$, определяется однозначно; одновременно мы нашли все сохраняющие объем подстановки, которыми $S$ переводится в $U$. Наконец, из однозначности $U$ следует, что два преобразования, сохраняющие объем, для которых собственные значения $\lambda$ и $\mu$ не равны корням из единицы, тогда и только тогда могут быть переведены одно в другое с помощью сохраняющей объем подстановки, если они имеют одну и ту же нормальную форму.

Пусть теперь первоначальные ряды $f, g$ преобразования (2) будут действительными, т. е. пусть $S$ действительно; исследуем условия вещественности $U$ и $C$. В гиперболическом случае $T$ тогда также вещественно; так как $\lambda \mu=1, \lambda
eq \mu$, а $\lambda$ и $\mu$ будут вещественными, то $\lambda$ заведомо не равно корню из единицы. Далее, из проведенного выше сравнения коэффициентов следует, что $U$ и $C$ также вещественны. Так как $u=\lambda+\ldots$ и $\lambda
eq 0$, то можно единственным способом найти такой степенной ряд
\[
w=\sum_{k=0}^{\infty} \gamma_{k} \omega^{k},
\]

что
\[
u= \pm e^{w}, \quad v= \pm e^{-w}, \quad \lambda= \pm e^{\gamma_{0}} .
\]

При этом $\gamma_{0}
eq 0$, и нормальная форма имеет вид
\[
\xi_{1}= \pm e^{w} \xi, \quad \eta_{1}= \pm e^{-w} \eta .
\]

В эллиптическом случае $\bar{\lambda}=\mu
eq \lambda$ и опять $\lambda_{\mu}=1$, следовательно, $|\lambda|=1$. Мы предположили заранее, что $\lambda$ не есть корень из единицы, чем параболический случай $\lambda=\mu= \pm 1$ опять исключается. Теперь справедливо условие (6), и из уравнений (16) переходом к комплексно сопряженным коэффициентам получаются формулы
\[
\begin{array}{l}
\bar{\varphi}(\bar{u} \xi, \bar{v} \eta)=q[\bar{v}(\xi, \eta), \bar{\varphi}(\xi, \eta)] \\
\bar{\psi}(\bar{u} \xi, \bar{v} \eta)=p[\bar{v}(\xi, \eta), \bar{\varphi}(\xi, \eta)] .
\end{array}
\]

При перестановке $\xi$ и $\eta$ условие $\xi \eta=\omega$ остается неизменным, следовательно, $\bar{u}$ и $\bar{v}$ также не изменяются. Значит, мы получим решение функциональных уравнений (16), если заменим уже найденное решение $u, v, \varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)$ на $\bar{v}, \bar{u}, \bar{\psi}(\eta, \xi), \bar{\varphi}(\eta, \xi)$. Кроме того, ряды
\[
\begin{array}{c}
\bar{\psi}(\eta, \xi)_{\xi}-\bar{\varphi}(\eta, \xi)_{\eta}=-\bar{\sigma}(\eta, \xi) \\
\psi(\bar{\eta}, \xi)_{\xi} \varphi(\bar{\eta}, \xi)_{\eta}-\bar{\psi}(\eta, \xi)_{\eta} \bar{\varphi}(\eta, \xi)_{\xi}=\bar{\tau}(\eta, \xi)
\end{array}
\]

не содержат положительных степеней $\omega$, в то время как $\bar{v}, \bar{u}$ будут опять рядами только по $\omega$. Из теоремы единственности следует
\[
\bar{\varphi}(\eta, \xi)=\psi(\xi, \eta), \quad \bar{u}=v
\]

принимая во внимание, что $u v-1$, мы получим
\[
u \bar{u}=1 \text {. }
\]

Если положить
\[
\lambda=e^{i \gamma_{0}}, \quad-\pi<\gamma_{0}<\pi,
\]

то этим самым степенной ряд
\[
w=\sum_{k=0}^{\infty} \gamma_{k} \omega^{k}
\]

однозначно определяется требованием
\[
e^{i \omega}=u, \quad e^{-i \omega}=v .
\]

При этом вследствие условия (27) будем иметь
\[
e^{i(w-\bar{w})}=1, \quad w-\bar{w}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\gamma_{k}-\bar{\gamma}_{k}\right) \omega^{k}
\]

откуда $w=\bar{w}$ и откуда следует действительность всех $\gamma_{k}$. Итак, нормальная форма $S$ получается в эллиптическом случае следующей:
\[
\xi_{1}=e^{i w} \xi, \quad \eta_{1}=e^{-i w} \eta,
\]

причем степенной ряд $w=w(\omega)$ действителен. Чтобы нормальную форму написать для первоначальных вещественных функций, осуществим одновременную линейную подстановку
\[
\xi=r+i s, \quad \eta=r-i s, \quad \xi_{1}=r_{1}+i s_{1}, \quad \eta_{1}=r_{1}-i s_{1} .
\]

Тогда преобразование (29) переходит в
\[
\left.\begin{array}{c}
r_{1}=r \cos w-s \sin w, \quad s_{1}=r \sin w+s \cos w \\
w=\sum_{k=0}^{\infty} \gamma_{k}\left(r^{2}+s^{2}\right)^{k},
\end{array}\right\}
\]

где $\cos w$ и $\sin w$ следует заменить их степенными рядами. Связь с первоначальными неизвестными $x, y$ в преобразовании (1) определяется подстановкой
\[
z=\left\|\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right\|=\mathfrak{C}\left\|\begin{array}{l}
\varphi(\xi, \eta) \\
\psi(\xi, \eta)
\end{array}\right\|=\overline{\mathfrak{C}}\left\|\begin{array}{l}
\psi(\xi, \eta) \\
\varphi(\xi, \eta)
\end{array}\right\| .
\]

Но так как теперь в силу уравнения (26) справедлива формула $\psi(r+$ $+i s, r-i s)=\bar{\varphi}(r-i s, r+i s)$, то очевидно, что переход от $r, s$ к $x$, $y$ совершается с помощью действительной подстановки с постоянным функциональным определителем $\varepsilon=-2 i|\mathfrak{C}|
eq 0$. Так как, кроме того, можно нормированием сделать $|\mathfrak{C}|=i / 2$, то можно положить $\varepsilon=1$, тогда $S$ переведется действительной сохраняющей объем подстановкой в нормальную форму. Следовательно, в предположении, что $\lambda$ не равно корню из единицы, в гиперболическом и эллиптическом случае для заданного действительного сохраняющего объем преобразования $z_{1}=S z$ можно найти нормальную форму, принадлежащую группе $\Delta$.

Все до сих пор встречавшиеся ряды рассматривались формально без исследования вопроса об их сходимости, и наши формулы являются соотношениями в кольце этих формальных рядов. Предположим теперь, что преобразование $S$ принадлежит $\Delta_{0}$ и, следовательно, является преобразованием, сохраняющим объем, причем соответствующие ряды сходятся в достаточно малой окрестности начала координат. При первой линейной подстановке $z=\mathfrak{C} \zeta$ сходимость сохраняется. Нужно исследовать, принадлежит ли подстановка $C$, определенная сравнением коэффициентов в уравнении (16), также к $\Delta_{0}$, следовательно, сходятся ли найденные ряды $\varphi(\xi, \eta)$ и $\psi(\xi, \eta)$ в достаточно малой окрестности начала координат. Если ответ на этот вопрос является утвердительным, то тогда нормальная форма $U=C^{-1} T C$, конечно, будет принадлежать $\Delta_{0}$. Но вопрос о сходимости до сих пор еще не совсем ясен, так как обычный метод мажорант здесь не проходит. В гиперболическом случае решение кажется связанным с поведением аналитических функций $f(x, y)$ и $g(x, y)$ в целом; все же до сих пор никто не предложил примера, в котором была бы доказана расходимость. В эллиптическом случае такой пример можно построить; удается доказать, что расходимость будет и в общем случае. С другой стороны, тривиален тот факт, что сходимость может иметь место, так как можно определить, например, $T=C U C^{-1}$ с произвольными $C, U$ из $\Delta_{0}$. До сих пор не существует общего метода для различения случаев сходимости и расходимости функций $\varphi$ и $\psi$ при заданном $S$. Нерешенным вопросом является также следующий: всегда ли можно перевести два сохраняющие объем сходящиеся аналитические преобразования из $\Delta_{0}$ некоторой подстановкой друг в друга, если оба преобразования имеют одну и ту же нормальную форму относительно $\Delta$. В частности, сюда включается также вопрос, всегда ли принадлежит к $\Delta_{0}$ вместе с $T$ и нормальной формой $U$ также само $C$.

Рассмотрим теперь нормальные формы при предположении о сходимости. В силу формул (25) в гиперболическом случае $\xi_{1} \eta_{1}=\xi \eta$. Если $\xi, \eta$ и $\xi_{1}, \eta_{1}$ будут прямоугольными координатами точек $P_{0}$ и $P_{1}$, то точка $P_{0}$ и ее образ $U P_{0}=P_{1}$ лежат на равносторонней гиперболе, если только $P_{0}$ находится в области сходимости ряда $w$, и эта точка отлична от начала координат. Так как $|\lambda|
eq 1$, то в достаточно малой окрестности $G$ начала координат также и $e^{w}
eq 1$, поэтому $P_{0}$ и $P_{1}$ в этой окрестности не совпадают. Если все точки $P_{k}=U P_{k-1}=U^{k} P_{0}$ при $k=1, \ldots, n$ также лежат в $G$, то получится, что они все отличны от $P_{0}$. Таким образом, в рассматриваемой окрестности не существует точки, отличной от нулевой, которая была бы неподвижной точкой степени $U^{n}$ и образы которой при $U, \ldots, U^{n-1}$ также лежали бы в данной окрестности. Образуя также обратное преобразование $U^{-1}$ и его степени $U^{l}(l=-1,-2, \ldots$,$) , получим, что ни для одной P_{0}
eq(0,0)$ все $P_{k}=U^{k} P_{0}(k=0, \pm 1, \pm 2)$ не лежат в $G$. Но этот результат можно получить и без использования нормальных форм и притом без предположения о сходимости $C$, если прямо обратиться к преобразованиям (1) и (2). Вследствие сходимости $f(x, y)$ и $g(x, y)$ в достаточно малом круге $x^{2}+y^{2}=r^{2} \leqslant R^{2}$ справедливы уравнения
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=f(x, y)=a x+b y+\vartheta_{1} r^{2}, \\
y_{1}=g(x, y)=c x+d y+\vartheta_{2} r^{2},
\end{array}
\]

и, соответственно, в круге $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=r_{1}^{2} \leqslant R^{2}$ для обратных функций справедливы уравнения
\[
x=d x_{1}-b y_{1}+\vartheta_{3} r^{2}, \quad y=-c x_{1}+a y_{1}+\vartheta_{4} r^{2},
\]

причем $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \vartheta_{3}$ и $\vartheta_{4}$ равномерно ограничены. Пусть $0<\rho \leqslant R$ и пусть для каждого такого $\rho$ существует точка $P_{\rho}
eq(0,0)$, такая, что все образы $S^{k} P_{\rho}$ при $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ лежат в круге $x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}$. Тогда то же самое следует для всех предельных точек этой точечной последовательности, т. е. и для ее замыкания $H_{\rho}$. Очевидно, $S H_{\rho}=H_{\rho}$, т. е. $H_{\rho}$ инвариантно при $S$. Пусть теперь $(x, y)=Q_{\rho}$ есть точка $H_{\rho}$, для которой $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ будет возможно большим. Тогда для $S Q_{\rho}=$ $=\left(x_{1}, y_{1}\right), S^{-1} Q_{\rho}=\left(x_{-1}, y_{-1}\right)$ в соответствии с уравнениями (32) и (33) выполняются соотношения
\[
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{-1}=(a+d) x+\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{3}\right) r^{2}, \\
y_{1}+y_{-1}=(a+d) y+\left(\vartheta_{2}+\vartheta_{4}\right) r^{2},
\end{array}
\]

таким образом,
\[
\left(x_{1}+x_{-1}\right)^{2}+\left(y_{1}+y_{-1}\right)^{2}=(a+d)^{2} r^{2}+o\left(r^{2}\right) \quad(0<r \leqslant \rho \rightarrow 0) ;
\]

с другой стороны, из неравенства треугольника следует
\[
\left(x_{1}+x_{-1}\right)^{2}+\left(y_{1}+y_{-1}\right)^{2} \leqslant\left(r_{1}+r_{-1}\right)^{2} \leqslant 4 r^{2},
\]

где положено $r_{-1}^{2}=x_{-1}^{2}+y_{-1}^{2}$. Предельный переход при $\rho \rightarrow 0$ даст
\[
(a+d)^{2} \leqslant 4
\]

и вследствие $a+d=\lambda+\lambda^{-1}$ отсюда следует
\[
\left(\lambda-\lambda^{-1}\right)^{2} \leqslant 0,
\]

что противоречит предположению, что $S$ является гиперболическим. Поэтому можно найти такой круг $x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}(\rho>0)$ в области сходимости $S$ и $S^{-1}$, что никакая точка $P
eq(0,0)$ не будет иметь в этом круге всех своих образов $S^{k} P(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$. В частности, не может быть, чтобы образы $S^{k} P$ при $k=0, \ldots, n-1$ лежали в круге и чтобы при этом одновременно выполнялось равенство $S^{n} P=P$.

Пусть в эллиптическом случае ряд $w$ в преобразовании (31) сходится при $r^{2}+s^{2}=\rho^{2} \leqslant R^{2}$. Тогда при преобразовании (31) каждый круг радиуса $\leqslant R$ с центром в начале координат переходит сам в себя, поворачиваясь на угол $w$, зависящий только от радиуса $\rho$. Если на том же круге лежат неподвижные точки повторенного $n$ раз отображения $U^{n}$, то соответствующий угол поворота $n w$ должен быть кратным $2 m \pi$ угла $2 \pi$, и тогда весь этот круг при отображении $U^{n}$ переходит сам в себя. Если в степенном ряду $w$ не все коэффициенты $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}, \ldots$ равны нулю и, следовательно, $w$ не является постоянной, то существует в силу непрерывной зависимости $w$ от радиуса бесконечное множество значений $\rho \leqslant R$, для когорых отношение $\frac{w}{2 \pi}=\frac{m}{n}$ будет рациональным; тогда каждый такой круг состоит только из неподвижных точек преобразования $U^{n}$.

Наиболее интересным является эллиптический случай; мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением только этого случая. В отличие от гиперболического случая для получения результатов здесь существенна нормальная форма и существенна сходимость $U$. Без предположения о сходимости $U$ не удалось доказать существование инвариантного при преобразовании $S$ однопараметрического семейства кривых, соответствующих упомянутым выше концентрическим окружностям, и надо полагать, что такое семейство вообще в этих условиях не существует. Все же в следующем параграфе будут еще сделаны некоторые выводы в задаче о неподвижной точке без использования нормальных форм. Мы хотим предварительно с помощью сохраняющей объем подстановки, выраженной сходящимися рядами, найти по меньшей мере некоторое приближение к нормальной форме.

Для этой цели мы используем параметрическое представление подстановок из группы $\Delta$, которое получено при исследованиях канонических преобразований в §3. Для каждой матрицы второго порядка
\[
\mathfrak{M}=\left\|\begin{array}{ll}
p & q \\
r & s
\end{array}\right\|
\]

имеем
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{J M}=|\mathfrak{M}| \mathfrak{J}, \quad \mathfrak{J}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right\|,
\]

поэтому функциональная матрица каждого аналитического, сохраняющего объем преобразования будет симплектической. В частности, для подстановки $z=C \zeta$ в уравнениях (8) производные $x_{\xi}$ в точке $(\xi, \eta)=$ $=(0,0)$ равны единице, поэтому в силу равенств $(3 ; 4)$ с помощью порождающей функции $\rho(x, \eta)$ можно сделать подстановку
\[
y=\rho_{x}, \quad \xi=\rho_{\eta} .
\]

Отсюда прежде всего следует, что $\rho$ является аналитической функцией в окрестности $x=0, \eta=0$ и что существует разложение в сходящийся степенной ряд следующего вида:
\[
\rho=x \eta+\ldots,
\]

где несущественный здесь постоянный член принят равным нулю. В самом деле, предположим, что замена (34) дает также все подстановки, начинающиеся с $x=\xi+\ldots, y=\eta+\ldots$, и охваченные группой $\Delta$, содержащей $\Delta_{0}$, если для $\rho$ все формальные ряды по $x, \eta$ представлены в форме (35). Без привлечения результатов, изложенных в §2, это можно представить следующим образом. Если первое уравнение (8) разрешить относительно $\xi$, то нашу сохраняющую объем подстановку $z=C \zeta$ можно записать в форме
\[
\xi=P(x, \eta)=x+\ldots, \quad y=Q(x, \eta)=\eta+\ldots,
\]

где $P, Q$ являются формальными степенными рядами по $x, \eta$, причем эти ряды удовлетворяют условиям
\[
P[\varphi(\xi, \eta), \eta]=\xi, \quad Q=[\varphi(\xi, \eta), \eta]=\psi(\xi, \eta) .
\]

Отсюда прежде всего следует, что
\[
P_{x} \varphi_{\xi}=1, \quad Q_{x} \varphi_{\xi}=\psi_{\xi}, \quad Q_{x} \varphi_{\eta}+Q_{\eta}=\psi_{\eta},
\]

и вследствие того, что $C$ сохраняет площадь, мы получим также
\[
1=\varphi_{\xi} \psi_{\eta}-\varphi_{\eta} \psi_{\xi}=\varphi_{\xi} Q_{\eta}, \quad P_{x}=P_{x} \varphi_{\xi} Q_{\eta}=Q_{\eta} .
\]

Но последнее уравнение дает условие интегрируемости, из которого вытекает существование степенного ряда $\rho(x, y)$ в форме (35) с заданными производными $\rho_{x}=Q, \rho_{\eta}=P$. При этом в силу уравнений (36) мы получаем представление $C$ в форме (34). Если $C$ при этом действительно, то все коэффициенты разложения $\rho$ получаются действительными числами. Если, наоборот, сделать, замены (34) и (36) с произвольным степенным рядом $\rho$, имеющим форму (35), то получается $P_{x}=Q_{\eta}$ и равенства (37), откуда, очевидно, следует первое уравнение (38). Следовательно, подстановка (34) опять содержится в $\Delta$.

Представим теперь аналитическое, сохраняющее объем преобразование $T$ из уравнений (7) в действительной форме; для этого введем аналогично подстановке (30) вместо $x, y$ новые неизвестные $\frac{1}{2}(x+y)$, $\frac{1}{2 i}(x-y)$. Тогда, вследствие уравнений (38), $T$ переходит в действительное аналитическое преобразование
\[
\begin{array}{c}
z_{1}=T^{*} z, \\
x_{1}=x \cos \gamma_{0}-y \sin \gamma_{0}+\ldots, \\
y_{1}=x \sin \gamma_{0}+y \cos \gamma_{0}+\ldots,
\end{array}
\]

сохраняющее объем, и это можно сделать, как уже было доказано, действительной подстановкой, сохраняющей объем,
\[
z=C \zeta, \quad x=\varphi(\xi, \eta)=\xi+\ldots, \quad y=\psi(\xi, \eta)=\eta+\ldots,
\]

где в действительную нормальную форму (31) вместо $r, s$ введены $\xi, \eta$. Напишем теперь $C$ в форме (34), причем будем считать, что формальный ряд $\rho$ имеет действительные коэффициенты. Чтобы получить действительное сохраняющее объем аналитическое преобразование, для какого-нибудь целого $l \geqslant 0$ сохраним из членов ряда $\rho(x, \eta)$ только члены степени, не большей чем $2 l+2$, тогда мы получим многочлен $\rho_{l}(x, \eta)$ степени $2 l+2$. С этим многочленом можно произвести замену
\[
y=\rho_{l x}, \quad \xi=\rho_{l \eta},
\]

определяющую также действительную сохраняющую объем подстановку $z=C_{l} \zeta$, которая, однако, будет теперь сходящейся, согласно теоремам о неявных функциях, и члены которой совпадают с членами в $C$, имеющими степень не выше $2 l+2$. Следовательно, $C_{l}^{-1} T^{*} C_{l}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}=\xi \cos w_{l}-\eta \sin w_{l}+\ldots, \\
\eta_{1}=\xi \sin w_{l}+\eta \cos w_{l}+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
w_{l}=\sum_{k=0}^{l} \gamma_{k}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)^{k},
\]

причем не написанные в уравнениях (40) члены будут по крайней мере степени $2 l+2$, и все коэффициенты будут действительными. Подобным же образом подстановке $S$ действительным аналитическим преобразованием можно придать форму, члены которой, имеющие степень ниже $2 l+2$, совпадают с соответствующими членами нормальной формы. После того как установлено существование многочлена $\rho_{l}$, его можно найти прямо из замен (39), (40) и (41) посредством сравнения коэффициентов. При этом, очевидно, вместо предположения о справедливости неравенства $\lambda^{k}
eq 1$ при всех $k=1,2, \ldots$ можно ограничиться предположением о справедливости таких неравенств только при $k=$ $=1, \ldots, 2 l+2$. Например, в частном случае $l=1$ достаточно предположений $\lambda^{3}
eq 1, \lambda^{4}
eq 1$.

Для теоремы о неподвижной точке Биркгофа важно потребовать, чтобы ряд $w$ в подстановке (31) содержал не только постоянный член, следовательно, чтобы нормальная форма не сводилась только к повороту на постоянный угол $\gamma_{0}$. Пусть при таком предположении $l>0$ выбрано таким образом, что $\gamma_{1}=\ldots=\gamma_{l-1}=0$. Если преобразование (40) опять записать в комплексной форме, причем $\xi+i \eta, \xi-i \eta$, $\xi_{1}+i \eta_{1}, \xi_{1}-i \eta_{1}$ опять обозначить через $\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}$, то
\[
\xi_{1}=p(\xi, \eta)=u \xi+P, \quad \eta_{1}=q(\xi, \eta)=v \eta+Q
\]

где
\[
u=e^{i \gamma_{0}+i \gamma(\xi \eta)^{l}}, \quad v=u^{-1}, \quad \gamma=\gamma_{l}
eq 0
\]

и $\bar{p}(\xi, \eta)=q(\eta, \xi)$. Здесь степенные ряды $P$ и $Q$ сходятся в окрестности $\xi=0, \eta=0$ и начинаются с членов степени $2 l+2$. После соответствующей перестановки $\xi$ и $\eta$ можно предположить, что $\gamma>0$, тогда линейной подстановкой
\[
\xi=\xi^{*} \gamma^{-\frac{1}{2 l}}, \quad \eta=\eta^{*} \gamma^{-\frac{1}{2 l}}
\]

можно получить в уравнениях (42) просто $\gamma=1$.