Применим теперь найденное в предыдущем параграфе преобразование к задаче трех тел. Теперь $F\left(x_{k}, y_{k}\right)$ обозначает функцию, определяемую формулами $(7 ; 7),(7 ; 9)$ и $(7 ; 15)$, от двенадцати переменных $x_{k}, y_{k}(k=1, \ldots, 6)$, определенных равенствами $(7 ; 4)$ и $(7 ; 5)$; мы будем рассматривать систему Гамильтона $(7 ; 16)$ с независимой переменной $s$, которая задается формулой $(7 ; 12)$. При значениях $s$ в интервале $0 \leqslant s<s_{1}$, где $s_{1}$ определяется равенством $(7 ; 13)$, все функции $x_{k}(s)$, $y_{k}(s)$ регулярны, в то время как при $s=s_{1}$ по крайней мере одна из трех функций $y_{1}(s), y_{2}(s), y_{3}(s)$ имеет особенность. Преобразуем теперь три пары переменных $x_{k}, y_{k}(k=1,2,3)$ с помощью подстановки $(7 ; 30),(7 ; 33)$ в три новые пары $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1,2,3)$, а для $k=4,5,6$ оставим $x_{k}=\xi_{k}, y_{k}=\eta_{k}$.

Это преобразование шести пар $x_{k}, y_{k}(k=1, \ldots, 6)$, очевидно, также является каноническим, потому что это было уже установлено для первых трех пар. Так как преобразование не зависит от $s$, то гамильтонова функция $F$ остается той же самой, и преобразованные уравнения движения имеют следующий вид:
\[
\xi_{k}^{\prime}=F_{\eta_{k}}, \quad \eta_{k}^{\prime}=-F_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

где $F$ нужно теперь рассматривать как функцию $\xi_{k}, \eta_{k}$. В соответствии с формулами $(7 ; 7),(7 ; 9),(7 ; 29),(7 ; 31)$ и $(7 ; 32)$ получаем
\[
\begin{array}{c}
x T=\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right) \xi+\frac{1}{2}\left(m_{2}^{-1}+m_{3}^{-1}\right) \xi \eta^{2} \sum_{k=1}^{3} \eta_{k+3}^{2}+m_{3}^{-1} \xi \sum_{k=1}^{3} \eta_{k} \eta_{k+3}, \\
x=\xi \eta^{2}, \quad x U=m_{1} m_{3}+m_{2} \xi \eta^{2}\left(\frac{m_{3}}{r_{23}}+\frac{m_{1}}{r_{12}}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
r_{23}^{2}=\sum_{k=1}^{3} \xi_{k+3}^{2}, \quad r_{12}^{2}=\sum_{k=1}^{3}\left(x_{k}-\xi_{k+3}\right)^{2}, \\
x_{k}=\xi_{k} \eta^{2}-2 \eta_{k} \sum_{l=1}^{3} \xi_{l} \eta_{l}, \quad y_{k}=\frac{\eta_{k}}{\eta^{2}} \quad(k=1,2,3), \\
\xi^{2}=\sum_{k=1}^{3} \xi_{k}^{2}, \quad \eta^{2}=\sum_{k=1}^{3} \eta_{k}^{2},
\end{array}
\]

все это вносится в формулу
\[
F=x T-x U-h x .
\]

Нужно теперь с помощью теоремы существования Коши доказать, что новые координаты $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$ как функции $s$ останутся регулярными также и при $s=s_{1}$. Для этого исследуем прежде всего поведение этих координат при предельном переходе $s \rightarrow s_{1}$ ( $0 \leqslant s<s_{1}$ ), для чего используем результаты $\S 6$. Соответственно этому заставим стремиться $\xi_{k}, \eta_{k}(k=4,5,6)$ при $t \rightarrow t_{1}$, т. е. при $s \rightarrow s_{1}$, к их предельным значениям, и расстояния $r_{23}, r_{12}$ – к положительным пределам. В соответствии с $(7 ; 11)$ получаем
\[
\xi=x y^{2} \rightarrow \frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)}{m_{1}+m_{3}}=c>0 \quad\left(s \rightarrow s_{1}\right),
\]

следовательно, $\xi$ также имеет положительный предел. Но мы еще не можем здесь утверждать, что каждая из величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ в отдельности имеет предел. Из $x \rightarrow 0$ следует, что $y \rightarrow \infty$, и
\[
\eta_{k}=\frac{y_{k}}{y^{2}} \rightarrow 0 \quad\left(s \rightarrow s_{1} ; k=1,2,3\right) .
\]

Выберем число $s_{0}$ в интервале $0 \leqslant s<s_{1}$, так что
\[
\frac{c}{2} \leqslant \xi \leqslant 2 c \quad\left(s_{0} \leqslant s<s_{1}\right),
\]

и рассмотрим теперь $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ как независимые переменные в определенном неравенством (10) сферичєском слое $S$. Остальные девять координат $\xi_{k}(k=4,5,6), \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$ имеют как функции $s$ при $s \rightarrow s_{1}$ определенные пределы. В соответствии с (9) мы можем выбрать настолько малую замкнутую действительную сферу $K$ около соответствующей точки в девятимерном пространстве, что в силу соотношений (4), (5) и (6) во всех точках области $P=S \times K$ функции $\xi, r_{12}^{-1}, r_{23}^{-1}$ двенадцати независимых переменных $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$ будут регулярными. Тогда в этой области, согласно (2), (3) и (7), будет регулярна и функция $F$. Следовательно, в интервале $s_{0} \leqslant s<s_{1}$, где $s_{0}$ достаточно близко к $s_{1}$, дуга интегральной кривой $\xi_{k}(s), \eta_{k}(s)$ погружена целиком в $P$, и из результата, приведенного в конце $\S 4$, следует регулярность всех $\xi_{k}(s), \eta_{k}(s)(k=1, \ldots, 6)$ в точке $s=s_{1}$. В частности, $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ при $s \rightarrow s_{1}$ действительно имеют предельные значения.

Чтобы рассмотреть более подробно поведение $t$ в точке $s_{1}$, положим для сокращения $\xi_{k}\left(s_{1}\right)=\xi_{k 1}(k=1,2,3), b=\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right)$ и

напишем в соответствии с (8) и (9), используя соотношения (1), (2), (3) и (7) при $k=1,2,3$, разложения в ряды по степеням $s-s_{1}$ :
\[
\eta_{k}^{\prime}=-F_{\xi_{k}}=-\frac{b}{c} \xi_{k 1}+\ldots, \quad \eta_{k}=-\frac{b}{c} \xi_{k 1}\left(s-s_{1}\right)+\ldots
\]

Отсюда
\[
\eta^{2}=b^{2}\left(s-s_{1}\right)^{2}+\ldots,
\]

и из (5) получаем
\[
\begin{array}{c}
x_{k}=\xi_{k 1} b^{2}\left(s-s_{1}\right)^{2}-2 b^{2} \xi_{k 1}\left(s-s_{1}\right)^{2}+\ldots= \\
=-b^{2} \xi_{k: 1}\left(s-s_{1}\right)^{2}+\ldots \quad(k=1,2,3),
\end{array}
\]

следовательно,
\[
x=b^{2} c\left(s-s_{1}\right)^{2}+\ldots
\]

Согласно $(7 ; 12) t^{\prime}=x$, поэтому
\[
t=t_{1}+\frac{b^{2} c}{3}\left(s-s_{1}\right)^{3}+\ldots
\]

есть разложение $t$ в ряд по степеням $s-s_{1}$ в окрестности $s=s_{1}$. Обращением этого ряда получим, наконец, разложение по положительным степеням $\left(t-t_{1}\right)^{1 / 3}$ с действительными коэффициентами
\[
s-s_{1}=\left[\frac{3}{b^{2} c}\left(t-t_{1}\right)\right]^{1 / 3}+\ldots,
\]

причем под $\left(t-t_{1}\right)^{1 / 3}$ при $t<t_{1}$ нужно подразумевать действительное значение этого выражения. Этим показано, что при аналитическом продолжении первоначального решения $x_{k}(t), y_{k}(t)$ системы $(7 ; 8)$ вдоль интервала $\tau \leqslant t<t_{1}$ точка $t=t_{1}$ является точкой ветвления второго порядка. Величины $x_{k}$ как функции $s-s_{1}$ будут в соответствии с разложением (13) регулярными; с помощью (11), (12) получаем разложение
\[
y_{k}=\frac{\eta_{k}}{\eta^{2}}=-(b c)^{-1} \xi_{k 1}\left(s-s_{1}\right)^{-1}+\ldots \quad(k=1,2,3),
\]

следовательно, $y_{k}$ как функции $s$ в случае $\xi_{k 1}
eq 0$ имеют полюс первого порядка при $s=s_{1}$.

Наш результат показывает, что мы можем аналитически продолжить $x_{k}, y_{k}$ через особенность $t=t_{1}$; теперь нужно исследовать поведение $x_{k}, y_{k}$ при прохождении $s$ черєз $s_{1}$ по действительной оси $s$. В соответствии с разложением (14) $t$ остается при этом действительным и проходит, возрастая, через $t_{1}$. Вследствие действительности всех коэффициентов разложений в ряды $x_{k}, y_{k}$ также остаются действительными при этом аналитическом продолжении. Из разложения (13) можно заметить, что обе материальные точки $P_{1}$ и $P_{3}$, двигаясь по направлению вектора ( $\xi_{k 1}$ ), сталкиваются при $t=t_{1}$ и затем отталкиваются друг от друга. Это заключение имеет, разумеется, только математический смысл, но не имеет физического значения. Для всех $t>t_{1}$, достаточно близко лежащих к $t_{1}$, опять имеем $x>0$, и $y$ является конечным. В силу обратной подстановки $(7 ; 31),(7 ; 32)$ можно ввести опять старые координаты $x_{k}, y_{k}$ вместо $\xi_{k}, \eta_{k}$. При этом значения постоянных в интегралах движения центра инерции, постоянных в интегралах площадей и постоянной в интеграле энергии остаются те же, что и для $\tau \leqslant t<t_{1}$, так как они получаются при аналитическом продолжении функций переменной $t$. То же самое справедливо и для дифференциальных уравнений, поэтому уравнения $(7 ; 16)$ также удовлетворяются, и можно опять перейти от них через $(7 ; 6)$ к системе $(7 ; 2)$.

Пусть теперь существует определенное значение $t>t_{1}$, до которого решение $(7 ; 2)$ уже продолжено. Обозначим это значение времени опять через $\tau$; мы можем применить к новому $\tau$ все до сих пор доказанное. Если при осуществлении аналитического продолжения для возрастающего $t>\tau$ мы встретим новую особенность при конечном значении $t=t_{2}$, то тогда снова только два тела должны столкнуться, так как по предположению постоянные площадей не все равны нулю. Это могут быть и не $P_{1}$ и $P_{3}$, но и в этом случае можно при $t=t_{2}$ провести соответствующую регуляризацию, как ранее для $t=t_{1}$. Продолжив решение через $t_{2}$ и идя дальше, мы можем встретить снова особые точки $t=t_{n}(n=1,2, \ldots)$. Если число особенностей будет конечным или если $t_{n}$ при $n \rightarrow \infty$ стремится к бесконечности, то для всех конечных $t \geqslant \tau$ мы получим аналитическое продолжение. Докажем теперь, что оставшийся нерассмотренным случай, в котором $t_{n}$ имеют конечную точку накопления $t_{\infty}$, вообще невозможен.

Это утверждение можно доказать при помощи уже использованных результатов. Итак, пусть $t_{n}(n=1,2, \ldots$ ) суть расположенные в возрастающем порядке особые точки при аналитическом продолжении данного решения при $t \geqslant \tau$ вдоль действительной оси $t$ и пусть их предельная точка $t_{\infty}$ конечна. В интервале $\tau \leqslant t<t_{\infty}$ значение потенциальной функции $U$ для всех $t=t_{n}$ бесконечно, а в остальных точках конечно. Можно утверждать, что $U$ стремится к бесконечности, если $t$, оставаясь в этом интервалє, стремятся к $t_{\infty}$. Действительно, в противном случае для заданного положительного числа $A$ можно было бы указать возрастающую сходящуюся к $t_{\infty}$ последовательность таких значений $t$, для которых $U$ остается не больше $A$. Но тогда из заключительного утверждения $\S 5$ следует, что решение будет регулярно при $t=$ $=t_{\infty}$, в то время как эта точка, как предельная точка особых точек $t_{n}$, сама должна быть особой. Поэтому $U \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow t_{\infty}$ и, следовательно, наименьшее из трех расстояний $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ стремится к нулю. Тогда из формулы Лагранжа $(6 ; 2)$ следует, что $\ddot{I}>0$ в некотором достаточно малом интервале $t_{0} \leqslant t<t_{\infty}$. Функция $\ddot{I}$ при всех $t=t_{n}$ будет бесконечной. Уже было доказано, что $\dot{I}$ при $t=t_{1}$ и, следовательно, также при всех $t=t_{n}$ непрерывна слева; таким же точно способом можно доказать правостороннюю непрерывность. Поэтому $\dot{I}$ в рассматриваемом интервале монотонно возрастает и непрерывна; ввиду этого из $(6 ; 6)$ следует, что $I$ при $t_{0} \leqslant t<t_{\infty}$ имеет положительную нижнюю грань. Отсюда, аналогично неравенствам $(6 ; 7)$, получаем, что при $t \rightarrow t_{\infty}$ только одна из сторон треугольника $r_{13}=r$ стремится к нулю, в то время как остальные будут оставаться больше некоторых положительных пределов. Поэтому для бесконечно многих $t_{n}$, лежащих в этом интервале, каждый раз сталкиваются $P_{1}$ и $P_{3}$, и для регуляризации при всех $t_{n}$ можно использовать одно и то же преобразование $(7 ; 4),(7 ; 5)$, $(7 ; 30),(7 ; 33)$. Используя ранее введенные обозначения, можем утверждать, что функция $\xi=x y^{2}$ в соответствии с разложением $(7 ; 11)$ имеет предельное значение
\[
\lim _{t \rightarrow t_{\infty}} \xi=\frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)^{2}}{m_{1}+m_{3}}>0 .
\]

Аналогично равенству $(7 ; 13)$, особенностям $t_{n}$ соответствуют следующие значения регуляризирующей переменной $s$ :
\[
s_{n}=\int_{t_{0}}^{t_{n}} \frac{d t}{x(t)} .
\]

При доказательстве существования интеграла $(6 ; 10)$ мы доказали попутно ограниченность $\dot{I}$ при $t \rightarrow t_{\infty}$, а также сходимость несобственного интеграла
\[
s_{\infty}=\int_{t_{0}}^{t_{\infty}} \frac{d t}{x(t)} ;
\]

отсюда следует, что $s_{n}$ также имеют конечную точку накопления $s_{\infty}$. Тот же самый вывод, с помощью которого была доказана в начале параграфа регулярность $x(s)$ при $s=s_{1}$, устанавливает теперь также регулярность этой функции при $s=s_{\infty}$. Но, с другой стороны, $x(s)$ равно нулю при бесконечно многих $s_{n}$ с точкой накопления $s_{\infty}$. Так как аналитическая функция $x(s)$ не равна тождественно нулю, то мы получили противоречие. Следовательно, предположение о том, что особенности $t_{n}$ могут накапливаться на конечном интервале значений $t$, является ложным.

Так же, как это было сделано для всех $t \geqslant \tau$, решение можно продолжить и при $t \leqslant \tau$. Это не потребует никаких новых рассуждений, если заметить, что уравнения движения $(7 ; 2)$ не изменятся при замене $q_{k}, p_{k}, t$ на $q_{k},-p_{k},-t$. Таким образом, мы получаем решение для всех конечных действительных значений $t$. Единому рассмотрению решения на всей оси времени мешает только еще то обстоятельство, что применявшийся до сих пор выбор локально регуляризирующей переменной $s$ зависит от выбора тех двух из трех точек, которые будут сталкиваться. Поэтому теперь нужно ввести вместо $s$ подходящим образом выбранную новую переменную $\omega$, которая будет регуляризирующей в целом (im Großen). При этом $t$ и координаты трех тел $q_{k}(k=1, \ldots, 9)$ будут регулярными функциями от $\omega$ в единичном круге $|\omega|<1$, а интервал $-1<\omega<1$ будет отображаться на всю действительную ось $t$.

Существование такого параметра $\omega$ можно доказать без особых выкладок следующим образом. До сих пор регуляризация единственной особенности производилась посредством подстановки $(7 ; 12)$. При этом $x$ было расстоянием между сталкивающимися материальными точками, поэтому в подстановке фигурировали только два тела из трех. Чтобы уничтожить такую асимметрию, заменим сначала величину $x^{-1}$ в $(7 ; 12)$ величиной $U$, положив
\[
s=\int_{\tau}^{t} U d t .
\]

Так как $U$ при приближении к особой точке $t_{1}$ ведет себя асимптотически как $m_{1} m_{3} x^{-1}$, то легко показать, что новый параметр $s$ может служить для регуляризации всех соударений. При этом хотелось бы, чтобы $s$ вместе с $t$ стремилось к $\pm \infty$. Хотя фактически это при определении (16) выполнено, но, чтобы избежать вовсе не тривиального доказательства, можно вместо (16) сделать подстановку
\[
s=\int_{\tau}^{t}(U+1) d t .
\]

Тогда $s$, очевидно, будет обладать желаемым свойством. Этим параметром $s$ также регуляризируются все столкновения, поэтому каждая конечная точка $s_{0}$ действительной оси $s$ является центром круга $K_{0}$ комплексной плоскости $s$, внутри которого $t$ и девять координат $q_{k}$ представляются сходящимися степенными рядами относительно переменной $s-s_{0}$. Множество всех таких кругов $K_{0}$ для переменной $s_{0}$ образует, очевидно, односвязную область $G$, симметрично расположенную относительно действительной оси $s$ и содержащую эту ось. По теореме Римана эта область может быть конформно отображена на круг единичного радиуса в плоскости некоторой переменной $\omega$ и именно так, чтобы при этом действительная ось $s$ перешла в диаметр $-1<\omega<1$. Тогда введенный таким образом параметр $\omega$ обладает желаемыми свойствами.

Однако это рассуждение доказывает только существование такого параметра. Чтобы произвести явно указанное конформное отображение, нужно лучше знать область, образуемую перекрытием кругов сходимости $K_{0}$. Весьма возможно, что радиус $\rho_{0}$ круга $K_{0}$ как функция $s_{0}$ не имеет положительной нижней грани. Тогда не существует параллельной полосы, которая целиком содержалась бы в $G$ и включала бы в себя действительную ось $s$. В действительности этот случай не встречается; в следующем параграфе будет доказана теорема Зундмана о том, что радиус сходимости $\rho_{0}$ имеет положительную нижнюю грань $\delta$, поэтому время $t$ и координаты $q_{k}(k=1, \ldots, 9)$ будут регулярными в полосе $-\delta<
u<\delta$ функциями определенного формулой (17) параметpa $s=\sigma+i
u$. Доказательство можно выполнить сразу, если выразить $\delta$ как функцию начальных значений и масс, предполагая по-прежнему, что не все постоянные площадей равны нулю. Прежде всего при этом исследовании нужно доказать две важные вспомогательные теоремы, которые также даны впервые Зундманом и имеют самостоятельный интерес. В первой вспомогательной теореме утверждается, что периметр треугольника, образованного тремя материальными точками, для всех моментов времени остается больше некоторого положительного числа $\vartheta$. Ранее нами было только доказано, что периметр треугольника будет существенно положительным, так как случай тройного столкновения исключается; но при этом все-таки возможно, что периметр треугольника при достаточно больших значениях времени может оказаться сколь угодно близким к нулю. Во второй вспомогательной теореме утверждается, что величина скорости той материальной точки, которая находится против наименьшей стороны треугольника, для всех моментов времени будет меньше некоторой верхней грани $\varkappa$. До сих пор было только установлено, что эта скорость является конечной. Величины $\vartheta, \varkappa$ являются функциями начальных условий и масс материальных точек.

Наконец дадим общее представление о множестве всех траекторий столкновения как о части множества всех траекторий задачи трех тел. Пусть для траектории столкновения $t=t_{1}$ будет моментом столкновения двух масс $P_{1}$ и $P_{3}$. Введем опять регуляризирующее преобразование и обозначим, как раньше, преобразованные координаты через $\xi_{k}, \eta_{k}$ $(k=1, \ldots, 6)$ и $s$, причем $s$ должно определяться выражением $(7 ; 12)$, и столкновение происходит при $s=s_{1}$. Тогда двенадцать координат $\xi_{k}, \eta_{k}$ будут регулярными функциями $s$ в окрестности $s_{1}$; вследствие соотношений (8) и (9) имеем
\[
\xi\left(s_{1}\right)=\frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)^{2}}{m_{1}+m_{3}}, \quad \eta_{k}\left(s_{1}\right)=0 \quad(k=1,2,3),
\]

где $\xi=\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\xi_{3}^{2}\right)^{1 / 2}$. Наоборот, зададим двенадцать действительных начальных значений $\xi_{k}\left(s_{1}\right), \eta_{k}\left(s_{1}\right)(k=1, \ldots, 6)$ при $s=s_{1}$, так, чтобы выполнялось (18). Следовательно, выбор таких значений, соответствующих индексам $k=4,5,6$, остается произвольным, $\eta_{1}\left(s_{1}\right)=\eta_{2}\left(s_{1}\right)=$ $=\eta_{3}\left(s_{1}\right)=0$, а $\xi_{1}\left(s_{1}\right), \xi_{2}\left(s_{1}\right), \xi_{3}\left(s_{1}\right)$ выбираются в соответствии с заданной суммой квадратов (18). Тогда гамильтонова функция $F$, заданная равенством (7), равна нулю при этих начальных значениях и, следовательно, остается на соответствующем решении системы (1) все время равной нулю. Если перейти с помощью обратного преобразования к первоначальным координатам $q_{k}, \dot{q}_{k}(k=1, \ldots, 9)$, то получится соответствующее соударению решение, для которого постоянная энергии
имеет значение $h$, входящее в $F$ как линейный параметр. Вследствие четырех аналитических условий (18) для двенадцати начальных значений $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$ и произвольного параметра $h$ координаты на траектории столкновения зависят от девяти параметров и времени $t$, т. е. в общей сложности от десяти независимых параметров. Легко получить из теоремы Коши, что решения являются аналитическими функциями параметров. Отбрасывая ранее сделанное предположение, что центр инерции находится в начале координат, мы введем еще шесть произвольных параметров. Поэтому траектории столкновения заполняют в восемнадцатимерном пространстве $q_{k}, \dot{q}_{k}(k=1, \ldots, 9)$ аналитическое шестнадцатимерное многообразие. Нужно принять во внимание, что мы получим еще два таких многообразия, если будем исследовать столкновения и двух других пар точек. О форме этих трех многообразий ничего больше не известно. Возможно, что они проходят сколь угодно близко от каждой точки восемнадцатимерного пространства. Можно сделать еще одно заключение: мера Лебега множества всех траекторий столкновения в пространстве $q, \dot{q}$ равна нулю. В частности, траектории столкновения не имеют значения для эргодической теории, так как в этой теории может идти речь лишь о множествах положительной меры. Наконец отметим, что все исключенные траектории тройного столкновения также имеют в этом пространстве нулевую меру; это следует из того обстоятельства, что все они лежат в шестнадцатимерном алгебраическом многообразии, которое определяется нулевыми значениями постоянных в интегралах площадей при неподвижном центре инерции.