Приводимый ниже достаточный критерий устойчивости был дан еще Лагранжем, но доказательство этого критерия было впервые дано для частного случая Дирихле [1] и позднее обобщено Ляпуновым. Рассмотрим опять систему
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

причем $f_{k}(x)$ будут сходящимися степенными рядами относительно $x_{1}, \ldots, x_{m}$ в окрестности начала координат, не содержащими постоянных членов. Тогда теорема об устойчивости гласит:

Если система (1) имеет не зависящий от времени интеграл $g(x)$, который при $x=0$ имеет относительный экстремум в строгом смысле, то равновесное решение $x=0$ будет устойчивым.

Заменяя, если понадобится, $g(x)$ на $-g(x)$, можно ограничиться рассмотрением случая минимума, при котором $g(0)<g(x)$ для
\[
0<\sum_{k=1}^{m} x_{k}^{2}=r^{2} \leqslant \rho^{2}
\]

и достаточно малого $\rho>0$. Обозначим опять через $x(t, \xi)$ решение системы (1), которое имеет начальные условия $x(0, \xi)=\xi$; пусть $S_{t}$ обозначает отображение $\xi$ на $x(t, \xi)$. Пусть далее $0<\varepsilon<\rho$ и пусть $\mu(\varepsilon)=\mu$ есть минимум $g(x)$ на сфере $r=\varepsilon$, следовательно, $g(0)<\mu$. Пусть $\mathfrak{W}$ будет множеством точек внутри сферы $r<\varepsilon$, в которых $g(x)<\mu$. Это множество является открытым и содержит $x=0$, следовательно, оно является окрестностью $x=0$. Если теперь $\xi$ находится в $\mathfrak{W}$, то для $x=x(t, \xi)$ справедливо неравенство $g(x)<\mu$, так как $g(x)$ есть интеграл. Но, кроме этого, $x$ лежит также внутри сферы $r<\varepsilon$, так как иначе в силу непрерывности нашлось бы по меньшей мере одно такое $t$, что $r=\varepsilon$, и тогда было бы $g(x) \geqslant \mu$. Следовательно, точка $x(t, \xi)$ также принадлежит $\mathfrak{W}$, и, стедовательно, $\mathfrak{W}$ будет инвариантно для всех $t$ при отображении $S_{t}$. Но отсюда следует устойчивость.
Применим этот критерий к системе Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-H_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

и положим, как и раньше, $z_{k}=x_{k}, z_{k+n}=y_{k}$. Пусть $z$ обозначает вектор-столбец с составляющими $z_{l}(l=1, \ldots, 2 n)$ и пусть функция Гамильтона $H(x, y)=(1 / 2) z^{\prime} \mathfrak{S} z+\ldots$ будет сходящимся в окрестности $z=0$ степенным рядом, причем $\mathfrak{S}$ будет симметричной матрицей. Тогда $H$ будет интегралом системы (2) и $z=0$ будет равновесным решением. Если матрица $\mathfrak{S}$ положительна, то функция $H$ имеет при $z=0$ минимум в строгом смысле. Отсюда следует, что решение $z=0$ будет тогда устойчивым. Впрочем, может быть и так, что $z^{\prime} \mathfrak{S} z$ не будет знакоопределенной, и все-таки будет устойчивость. Это показывает при $n=2$ пример:
\[
2 H=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2} .
\]

Для рассмотренных в $§ 12$ решений Лагранжа, которые являются во вращающейся системе координат равновесными, функция Гамильтона имеет в точках равновесия седловину, и критерий Дирихле не дает ответа на вопрос об устойчивости.

Чтобы установить связь между теоремами Дирихле и Ляпунова для канонической системы дифференциальных уравнений, введем для системы (2) собственные значения $\lambda_{k}(k=1, \ldots, 2 n)$. Последние, как это следует из $\S 13$, будут корнями уравнения $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=0$. Пусть теперь $z
eq 0$ есть собственный вектор, соответствующий $\lambda=\lambda_{k}$, и, следовательно, $(\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}) z=0$. Тогда
\[
\bar{z}^{\prime} \mathfrak{S} z=-\lambda \bar{z}^{\prime} \mathfrak{J} z
\]

где через $\bar{z}$ обозначен комплексно сопряженный с $z$ вектор. Так как матрица $\mathfrak{J}^{\prime}=-\mathfrak{J}$ действительная и альтернированная, то
\[
\overline{\bar{z}^{\prime} \mathfrak{J} z}=z^{\prime} \mathfrak{J} \bar{z}=-\bar{z}^{\prime} \mathfrak{J} z,
\]

таким образом, число $\bar{z}^{\prime} \mathfrak{J} z$ будет чисто мнимым. Если теперь матрица $\mathfrak{S}$ положительна, то и $\bar{z}^{\prime} \mathfrak{S} z>0$, следовательно, в соответствии с равенством (3), собственное значение $\lambda$ будет чисто мнимым. В силу теоремы Ляпунова это будет необходимым условием для устойчивости. Приведенный выше простой пример показывает также, что условие Ляпунова может быть выполненным, и, несмотря на это, $z^{\prime} \mathfrak{S} z$ может не быть знакоопределенной.