Приводимый ниже достаточный критерий устойчивости был дан еще Лагранжем, но доказательство этого критерия было впервые дано для частного случая Дирихле [1] и позднее обобщено Ляпуновым. Рассмотрим опять систему
$${\dot{x}}_k=f_k(x)(k=1,\dots ,m),$$

причем $f_k(x)$ будут сходящимися степенными рядами относительно $x_1,\dots ,x_m$ в окрестности начала координат, не содержащими постоянных членов. Тогда теорема об устойчивости гласит:

Если система (1) имеет не зависящий от времени интеграл $g(x)$, который при $x=0$ имеет относительный экстремум в строгом смысле, то равновесное решение $x=0$ будет устойчивым.

Заменяя, если понадобится, $g(x)$ на $-g(x)$, можно ограничиться рассмотрением случая минимума, при котором $g(0)<g(x)$ для
$$0<\sum _{k=1}^m{x}_k^2=r^2⩽{\rho }^2$$

и достаточно малого $\rho >0$. Обозначим опять через $x(t,\xi )$ решение системы (1), которое имеет начальные условия $x(0,\xi )=\xi$; пусть $S_t$ обозначает отображение $\xi$ на $x(t,\xi )$. Пусть далее $0<\epsilon <\rho$ и пусть $\mu (\epsilon )=\mu$ есть минимум $g(x)$ на сфере $r=\epsilon$, следовательно, $g(0)<\mu$. Пусть $\mathfrak{W}$ будет множеством точек внутри сферы $r<\epsilon$, в которых $g(x)<\mu$. Это множество является открытым и содержит $x=0$, следовательно, оно является окрестностью $x=0$. Если теперь $\xi$ находится в $\mathfrak{W}$, то для $x=x(t,\xi )$ справедливо неравенство $g(x)<\mu$, так как $g(x)$ есть интеграл. Но, кроме этого, $x$ лежит также внутри сферы $r<\epsilon$, так как иначе в силу непрерывности нашлось бы по меньшей мере одно такое $t$, что $r=\epsilon$, и тогда было бы $g(x)⩾\mu$. Следовательно, точка $x(t,\xi )$ также принадлежит $\mathfrak{W}$, и, стедовательно, $\mathfrak{W}$ будет инвариантно для всех $t$ при отображении $S_t$. Но отсюда следует устойчивость.
Применим этот критерий к системе Гамильтона
$${\dot{x}}_k=H_{y_k},{\dot{y}}_k=-H_{x_k}(k=1,\dots ,n)$$

и положим, как и раньше, $z_k=x_k,z_{k+n}=y_k$. Пусть $z$ обозначает вектор-столбец с составляющими $z_l(l=1,\dots ,2n)$ и пусть функция Гамильтона $H(x,y)=(1/2)z^{\prime }\mathfrak{S}z+\dots$ будет сходящимся в окрестности $z=0$ степенным рядом, причем $\mathfrak{S}$ будет симметричной матрицей. Тогда $H$ будет интегралом системы (2) и $z=0$ будет равновесным решением. Если матрица $\mathfrak{S}$ положительна, то функция $H$ имеет при $z=0$ минимум в строгом смысле. Отсюда следует, что решение $z=0$ будет тогда устойчивым. Впрочем, может быть и так, что $z^{\prime }\mathfrak{S}z$ не будет знакоопределенной, и все-таки будет устойчивость. Это показывает при $n=2$ пример:
$$2H=x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2.$$

Для рассмотренных в $\S 12$ решений Лагранжа, которые являются во вращающейся системе координат равновесными, функция Гамильтона имеет в точках равновесия седловину, и критерий Дирихле не дает ответа на вопрос об устойчивости.

Чтобы установить связь между теоремами Дирихле и Ляпунова для канонической системы дифференциальных уравнений, введем для системы (2) собственные значения ${\lambda }_k(k=1,\dots ,2n)$. Последние, как это следует из $\mathrm{\S }13$, будут корнями уравнения $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=0$. Пусть теперь $zeq0$ есть собственный вектор, соответствующий $\lambda ={\lambda }_k$, и, следовательно, $(\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S})z=0$. Тогда
$${\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{S}z=-\lambda {\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{J}z$$

где через $\overline{z}$ обозначен комплексно сопряженный с $z$ вектор. Так как матрица ${\mathfrak{J}}^{\prime }=-\mathfrak{J}$ действительная и альтернированная, то
$$\overline{{\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{J}z}=z^{\prime }\mathfrak{J}\overline{z}=-{\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{J}z,$$

таким образом, число ${\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{J}z$ будет чисто мнимым. Если теперь матрица $\mathfrak{S}$ положительна, то и ${\overline{z}}^{\prime }\mathfrak{S}z>0$, следовательно, в соответствии с равенством (3), собственное значение $\lambda$ будет чисто мнимым. В силу теоремы Ляпунова это будет необходимым условием для устойчивости. Приведенный выше простой пример показывает также, что условие Ляпунова может быть выполненным, и, несмотря на это, $z^{\prime }\mathfrak{S}z$ может не быть знакоопределенной.