Нижеследующий метод отыскания периодических решений также берет начало в работах Пуанкаре. Рассмотрим опять систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

которая теперь не зависит от параметра. Пусть функции $f_{k}(x)$ будут регулярными в области $G$ действительного $x$-пространства и пусть $x_{k}(t, \xi)(k=1, \ldots, m)$ – решение с начальными значениями $x_{k}(0, \xi)=$ $=\xi_{k}$. Пусть $x\left(t, \xi^{*}\right)$ при $\xi=\xi^{*}$ будет периодическим решением, которое целиком лежит в $G$ и не является равновесным. Пусть период этого решения есть $\tau^{*}>0$. Так как не все $f_{k}\left(\xi^{*}\right)$ равны нулю, то можно предположить, что $f_{m}\left(\xi^{*}\right)
eq 0$. Тогда периодическое решение $x\left(t, \xi^{*}\right)$ пересекает плоскость $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ в моменты $t=0$ и $t=\tau^{*}$ в точке $x=\xi^{*}$. Изменим теперь немного начальные значения $\xi_{k}$ в плоскости $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$ так, чтобы соответствующее решение $x(t, \xi)$ пересекало плоскость $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ в момент $t=0$, а также в момент $t=\tau$, который близок к $\tau^{*}$. Тогда вследствие теорем о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных имеет место отображение окрестности точки $x=\xi^{*}$ в плоскости $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ на некоторую окрестность этой же точки, причем периодическое решение соответствует неподвижной точке.

Обобщим это рассмотрение. Именно, исходное решение $x\left(t, \xi^{*}\right)$ будем предполагать незамкнутым, но допустим, что оно вторично пересекает плоскость $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ в момент $t=\tau^{*}>0$. Это означает, что $x_{m}\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)=\xi_{m}^{*}$ и $f_{m}\left[x\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)\right]
eq 0$. Кроме того, будем считать, что решение $x\left(t, \xi^{*}\right)$ при $0 \leqslant t \leqslant \tau^{*}$ целиком лежит в $G$. Тогда решения $x(t, \xi)$, соответствующие близким к $\xi_{k}(k=1, \ldots, m-1)$ и $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$ начальным значениям, пересекают плоскость $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ в момент $t=\tau$, который мало отличается от $\tau^{*}$, если $\xi$ достаточно близко к $\xi^{*}$. Таким путем мы установим аналитическое отображение окрестности точки $\xi^{*}$ в плоскости $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ на окрестность точки $x\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)$ в той же самой плоскости.

Это рассуждение можно далее обобщить, считая, что концевые точки $\xi^{*}, x\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)$ отрезка траектории $x\left(t, \xi^{*}\right)\left(0 \leqslant t \leqslant \tau^{*}\right)$, лежащего в $G$, расположены на каких-нибудь двух гладких поверхностных элементах $m-1$ измерений, которые не касаются самой траектории. Предположим вначале без доказательства, что в $G$ существует такой участок гладкой поверхности $F$, что для всех точек $\xi$, принадлежащих $F$, решение $x(t, \xi)$ лежит целиком в $G$ и встречает $F$ при $t>0$ по крайней мере еще один раз, и притом каждый раз действительно его пересекает. Пусть $t=\tau>0$ будет первым моментом, когда $x(t, \xi)$ опять встречает $F$, тогда соответствие $\xi$ и $x(\tau, \xi)=S \xi$ определяет топологическое отображение $S$ поверхности $F$ в себя. Если решение $x(t, \xi)$
является периодическим, то должно существовать такое натуральное число $n$, что $S^{n} \xi=\xi$, и тогда, следовательно, $\xi$ будет неподвижной точкой отображения $S^{n}$ при соответствующем $n$. Поэтому нахождение периодических решений сводится к определению неподвижных точек для итерированных преобразований, исходящих из $S$. Как показывает простой пример аналитического отображения $S$ соответствующей поверхности в себя, при этом может случиться, что все $S^{n}$ не содержат неподвижных точек. Пуанкаре показал, что существование неподвижных точек $S$ обеспечено уже при весьма простых дополнительных предположениях; эти предположения суть следующие. Пусть $F$ будет плоским кольцом, которому принадлежат также обе границы $C_{1}$ и $C_{2}$. Пусть соответствие $\xi \rightarrow S \xi$ дает топологическое сохраняющее объем отображение $F$ на себя, которое переводит обе границы области в себя. Построим на указанном кольце непрерывную функцию $\varphi(\xi)$, которая представляет величину угла между радиусами, направленными в точку $\xi$ и в точку $S \xi$. Это определение однозначно с точностью до кратных $2 \pi$. Мы предположим также, что $\varphi(\xi) \geqslant 0$ на $C_{1}$ и $\varphi(\xi) \leqslant 0$ на $C_{2}$; это, очевидно, означает, что обе границы при преобразовании вращаются в противоположных направлениях. При таких предположениях, как заметил Пуанкаре [1], существуют по крайней мере две неподвижные точки преобразования $S$. Впервые доказательство этого утверждения было дано уже после смерти Пуанкаре Биркгофом [2]. Теорема о неподвижной точке представляет интерес и для ограниченной задачи трех тел, так как для достаточно малых значений параметра $\mu$ и при фиксированном значении постоянной Якоби $\gamma$ всегда можно найти участок поверхности $F$ с требуемыми свойствами; это также утверждал Пуанкаре и доказал позднее Биркгоф. Далее, Пуанкаре предполагал, что из его теоремы следует существование по крайней мере двух периодических решений ограниченной задачи трех тел для произвольного $\mu$, расположенного в интервале $0<\mu<1$; но до сих пор не удается даже доказать вообще существование нужных участков поверхностей $F$. Мы не будем входить в подробности теоремы о неподвижной точке Пуанкаре, так как мы будем подробно рассматривать родственную ей теорему Биркгофа, которая кажется более полезной для приложений.

Предварительно исследуем подробнее условие сохранения объема. Предположим, что для решений системы (1) $x(t, \xi)$ отображение $\xi \rightarrow x(t, \xi)$ будет сохранять объем при всех $t$. Как уже было показано в предыдущем параграфе при выводе формулы $(19 ; 10)$, условие
\[
\sum_{k=1}^{m} f_{k x_{k}}=0
\]

будет для этого необходимым и достаточным. Предположим опять, что $f_{m}\left(\xi^{*}\right)
eq 0$ и что решение $x\left(t, \xi^{*}\right)$, лежащее в $G$, пересекает еще раз плоскость $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ при $t=\tau^{*}>0$. Рассмотрим на плоскости $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ достаточно малую окрестность $U$ точки $\xi^{*}$ и проследим за кривыми, выходящими из $U$ в момент $t=0$. Тогда через промежуток времени, близкий к $\tau^{*}$, получится еще одно пересечение с указанной плоскостью. Новые точки пересечения траектории образуют на плоскости $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ окрестность $U_{1}$ точки $x\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)$, которая при вышеупомянутом отображении будет образом $U$. Обозначим, далее, через $B$ (соответственно через $B_{1}$ ) для достаточно малого $t_{0}>0$ области в $G$, которые определяются условиями $x=x(t, \xi), 0 \leqslant t \leqslant t_{0}, \xi \in U$ (соответственно $\in U_{1}$ ). Образно говоря, $B$ и $B_{1}$ суть цилиндры с основаниями $U$ и $U_{1}$. Рассмотрим теперь трубку траекторий $R$, т. е. множество, которое образовано траекториями, соединяющими $U$ и $U_{1}$. Если продвинуть каждую точку трубки $R$ вдоль проходящей через нее линии тока в соответстии с уравнениями движения (1), то $R$ по прошествии времени $t_{0}$ перейдет в область $R+B_{1}-B$. Но из сохранения объема следует, что $R$ и $R+$ $+B_{1}-B$, а также $B$ и $B_{1}$ имеют одинаковые $m$-мерные объемы. Вводя элемент объема $d x_{1} \ldots d x_{m}=d x$, будем иметь
\[
\int_{B} d x=\int_{B_{1}} d x
\]

Если ввести подстановкой $x_{k}=x_{k}(t, \xi)\left(k=1, \ldots, m ; \xi_{m}=\xi_{m}^{*}\right)$ вместо $x_{1}, \ldots, x_{m}$ новые переменные интегрирования $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$ и $t$, то функциональная матрица имеет строки $x_{k \xi_{l}}(l=1, \ldots, m-1), f_{k}$ для $k=1, \ldots, m$. Соответствующий функциональный определитель имеет при $t=0$ значение $f_{m}(\xi)
eq 0$, так как при $t=0$ квадратная матрица порядка $m$ имеет вид $\left\|x_{k \xi_{l}}\right\|=\mathfrak{E}$. Разделив равенство (3) на $t_{0}$ и переходя к пределу при $t_{0} \rightarrow 0$, получим
\[
\int_{U} f_{m}(\xi) d \xi=\int_{U_{1}} f_{m}(\xi) d \xi \quad\left(d \xi=d \xi_{1} \ldots d \xi_{m-1}\right) .
\]

Допустим, кроме того, что $\psi(x)$ есть интеграл системы (1), не содержащий явно времени, и что производная $\psi_{x_{m-1}}$ отлична от нуля на $U$ и на $U_{1}$. Тогда значение $\psi(x)=\gamma$ на каждой траектории является постоянным. Если подстановкой $\psi(\xi)=\gamma$ ввести вместо $\xi_{m-1}$ новую переменную $\gamma$, то
\[
\psi_{x_{m-1}}(\xi) d \xi_{m-1}=d \gamma
\]

В частности, пусть $U$ будет произведением ( $m-2$ )-мерной окрестности $F$ точки $\xi_{k}=\xi_{k}^{*}(k=1, \ldots, m-2)$ и интервала, содержащего точку $\psi\left(\xi^{*}\right)=\gamma^{*}$. Вследствие инвариантности $\psi(x)$, этот интервал остается неизменным при отображении $U$ на $U_{1}$, в то время как $F$ для $\psi(\xi)=\gamma$ имеет образ $F_{1}=F_{1}(\gamma)$. Если еще положить
\[
g=g\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-2}, \gamma\right)=\frac{f_{m}(\xi)}{\psi_{x_{m-1}}(\xi)} \quad\left(\xi_{m}=\xi_{m}^{*}\right),
\]

то
\[
\int_{F} f d v=\int_{F_{1}} g d v \quad\left(d v=d \xi_{1}, \ldots, d \xi_{m-2}\right) .
\]

Для системы Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Имеем $m=2 n$, и условия (2) выполняются. Затем, если взять в качестве интеграла $\psi(x, y)=E(x, y)$ и при соответствующей нумерации координат положить $f_{m}=-E_{x_{n}}, \psi_{x_{n}}=E_{x_{n}}$, то $g=-1$. Следовательно, в силу равенства (4) при отображении $F$ на $F_{1}$ объем сохраняется. Пусть теперь, в частности, траектория, соответствующая начальным значениям $x=\xi^{*}, y=\eta^{*}$, замкнута и имеет период $\tau^{*}$. Тогда в предположении $E_{x_{n}}\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)
eq 0$ из уравнений
\[
y_{n}(t, \xi, \eta)=\eta_{n}^{*}, \quad \eta_{n}=\eta_{n}^{*}, \quad E(\xi, \eta)=E\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)
\]

путем исключения $t, \xi_{n}, \eta_{n}$ получается аналитическое преобразование
\[
\xi_{k}, \eta_{k} \rightarrow x_{k}(t, \xi, \eta), y_{k}(t, \xi, \eta) \quad(k=1, \ldots, n-1),
\]

сохраняющее объем в окрестности неподвижной точки $\xi_{k}^{*}, \eta_{k}^{*}$. Если вместо инвариантности объема, выраженной равенством (3), использовать аналогичное свойство некоторых других дифференциальных выражений, введенных Пуанкаре [3], то удается даже доказать, что преобразование (5) будет каноническим. Для случая $n=2$ это утверждение равносильно уже доказанному сохранению площади. В дальнейшем мы ограничимся случаем $n=2$, в котором уже содержатся все существенные трудности общего исследования. В следующем параграфе мы рассмотрим аналитическое преобразование, сохраняющее объем.