Пусть центр инерции $P_{0}$ лежит в начале координат. Во второй вспомогательной теореме Зундмана утверждается:

Если не все три постоянные площадей равны нулю, то величина скорости той материальной точки, которая лежит против наименьшей стороны треугольника, всегда остается меньше некоторой конечной постоянной.

Для доказательства привлечем первую вспомогательную теорему и тогда сравнительно просто придем к цели. Согласно $(9 ; 38)$, периметр треугольника удовлетворяет для всех моментов времени неравенству
\[
r_{12}+r_{23}+r_{31}>c_{21}^{-1}>0 .
\]

Если для момента $t$ наименьшая сторона треугольника
\[
r \geqslant \frac{1}{4} c_{21}^{-1}
\]

то очевидно, что $T=U+h<c_{22}$; следовательно, тогда все скорости в этот момент меньше $c_{23}$. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением случая
\[
r<\frac{1}{4} c_{21}^{-1} .
\]

Пусть опять $r_{13}=r-$ наименьшая сторона треугольника и $v_{2}=v-$ скорость точки $P_{2}$. Нам нужно получить теперь, кроме неравенства $(9 ; 36)$, также неравенство противоположного смысла, для чего выведем сначала неравенство, соответствующее $(9 ; 34)$. Из $(9 ; 30)$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\rho^{2}\left(v^{2}-\dot{\rho}^{2}\right)=\sum_{q} q_{2}^{2} \sum_{q} \dot{q}_{2}^{2}-\left(\sum_{q} q_{2} \dot{q}_{2}\right)^{2}=\left(x_{2} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{x}_{2}\right)^{2}+ \\
+\left(y_{2} \dot{z}_{2}-z_{2} \dot{y}_{2}\right)^{2}+\left(z_{2} \dot{x}_{2}-x_{2} \dot{z}_{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Для оценки этого выражения используем интегралы площадей. Если для преобразования
\[
\gamma=\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(x_{k} \dot{y}_{k}-y_{k} \dot{x}_{k}\right)
\]

использовать еще интегралы движения центра инерции, то прежде всего получим
\[
\gamma=\sum_{k=1}^{2} m_{k}\left\{\left(x_{k}-x_{3}\right) \dot{y}_{k}-\left(y_{k}-y_{3}\right) \dot{x}_{k}\right\},
\]

откуда, исключая $x_{2}-x_{3}, y_{2}-y_{3}$ с помощью $(9 ; 23)$, имеем
\[
\begin{aligned}
\gamma=m_{1}\{ & \left(x_{1}-x_{3}\right)\left(\dot{y}_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{3}} \dot{y}_{2}\right)- \\
& \left.-\left(y_{1}-y_{3}\right)\left(\dot{x}_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{3}} \dot{x}_{2}\right)\right\}+\frac{m_{2} M}{m_{1}+m_{3}}\left(x_{2} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{x}_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Первое слагаемое справа меньше по ао́солютной величине, чем
\[
c_{24} r T^{1 / 2} \leqslant c_{24} r(U+|h|)^{1 / 2} \leqslant c_{24} r U^{1 / 2}+c_{24} r|h|^{1 / 2}<c_{24} r U^{1 / 2}+c_{25},
\]

и так как $r U<c_{8}$, то
\[
r^{2} U<c_{26}
\]

Если внести в (4) начальные значения, то при помощи неравенства Шварца найдем
\[
\gamma^{2} \leqslant 2 I_{\tau} T_{\tau} \leqslant 2 I_{\tau}\left(U_{\tau}+|h|\right)<4 A^{2} .
\]

Поэтому (5) даст оценку
\[
\left|x_{2} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{x}_{2}\right|<c_{27},
\]

а также два аналогичных неравенства, получаемых циклической перестановкой $x, y, z$. Из (3) теперь следует
\[
0 \leqslant v^{2}-\dot{\rho}^{2}<c_{28} \rho^{-2} .
\]

Так как отношения $r_{12} / \rho, r_{23} / \rho$ ограничены и так как, с другой стороны, из неравенства треугольника, согласно (1) и (2), имеем
\[
r_{12}^{-1}<4 c_{21}, \quad r_{23}^{-1}<4 c_{21},
\]

то будет иметь место также неравенство
\[
\rho^{-1}<c_{29},
\]

и, следовательно,
\[
0 \leqslant v^{2}-\dot{\rho}^{2}<c_{30} \rho^{-1} .
\]

Используем, как и ранее, для оценки сверху абсолютной величины первого члена в правой части дифференциального уравнения $(9 ; 33)$ величину $c_{31} \rho^{-1}$, тогда получим из (7) неравенство
\[
|\ddot{\rho}|<c_{32} \rho^{-2},
\]

которое дает в нашем случае вместо ( $9 ; 36$ ) двустороннюю оценку $\ddot{\rho}$.
Из неравенства (8) путем интегрирования можно получить желаемый результат. Для этого достаточно рассмотреть только случай $t \geqslant \tau$. Если в момент $t$ производная $\dot{\rho}=0$, то из неравенств (6) и (7) уже следует $v^{2}<c_{30} c_{29}$. Пусть, следовательно, $\dot{\rho}
eq 0$. Тогда этот момент времени заключим в интервал $t_{1}<t<t_{2}$, в котором выполняется неравенство (2) и $\dot{\rho}$ не обращается в нуль. Тогда в этом интервале $r_{13}=r$ остается наименьшей стороной треугольника. Из (8) теперь следует
\[
|2 \dot{\rho} \ddot{\rho}|<2 c_{32}|\dot{\rho}| \rho^{-2} \quad\left(t_{1}<t<t_{2}\right),
\]

поэтому, так как $\dot{\rho}$ сохраняет в этом интервале один и тот же знак, имеем
\[
\left|\dot{\rho}^{2}-\dot{\rho}_{1}^{2}\right|<2 c_{32}\left|\rho^{-1}-\rho_{1}^{-1}\right|,
\]

где $\rho_{1}=\rho\left(t_{1}\right), \dot{\rho}_{1}=\dot{\rho}\left(t_{1}\right)$. Отсюда, по неравенству (6),
\[
\dot{\rho}^{2}<\dot{\rho}_{1}^{2}+2 c_{32} c_{29}
\]

Будем теперь выбирать $t_{1}$ при условии $t_{1} \geqslant \tau$ возможно меньшим. Если при этом $t_{1}=\tau$, то, согласно (7),
\[
\dot{\rho}_{1}^{2} \leqslant v_{\tau}^{2} \leqslant 2 m_{2}^{-1} T_{\tau}<c_{33} .
\]

Если, напротив, $t_{1}>\tau$, то либо $\dot{\rho}_{1}=0$, либо
\[
r=\frac{1}{4} c_{21}^{-1} \quad\left(t=t_{1}\right) .
\]

В первом случае (10) выполнено тривиальным образом. Во втором случае
\[
U<c_{34}, \quad T=U+h<c_{35} \quad\left(t=t_{1}\right)
\]

и опять
\[
\dot{\rho}_{1}^{2}<c_{36} \text {. }
\]

Итак, из неравенств $(6),(7),(9),(10),(11)$ получается в каждом случае $v^{2}<c_{37}$, т.е. утверждение доказано полностью. Таким образом получается оценка
\[
v<c_{38}
\]

в которой $c_{38}$ можно выразить явно через $A$ и массы.