Сначала мы построим частное решение плоской задачи трех тел, которое покажет, что как равносторонний случай тройного столкновения, так и коллинеарный случай со всеми его тремя возможными перестановками, действительно могут возникнуть. Для этого пусть шесть координат $q=x_{k}, y_{k}(k=1,2,3)$ имеют вид
\[
q=q(t)=\widehat{q} w, \quad w=w(t),
\]

где $w$ – дважды дифференцируемая положительная функция на интервале $0<t \leqslant \tau$, и шесть констант $\widehat{q}$ такие, что при $t>0$ три точки различны. Также для тройного столкновения при $t=0$ предположим, что $w(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$. Исходя из (1), получаем, что функция
\[
\widehat{U}=U w
\]

зависит только от параметров $\widehat{q}$ и является однородной функцией степени -1 по этим величинам. Следовательно,
\[
\sum_{\widehat{q}} \widehat{q} \widehat{U}_{\widehat{q}}=-\widehat{U}<0
\]

и поэтому $\widehat{q} \widehat{U}_{\widehat{q}}<0$ по крайней мере для одной координаты. При предположении (1) уравнения движения $(5 ; 3$ ) принимают вид
\[
m \widehat{q} \ddot{w}=\widehat{U}_{\widehat{q}} w^{-2} .
\]

Это влечет, что выражение $\ddot{w} w^{2}$ должно тождественно равняться отрицательной константе $b_{1}$. Если умножить $w$ на положительный множитель для нормализации $b_{1}=-\frac{2}{9}$, то мы придем к уравнениям
\[
\ddot{w}=-\frac{2}{9} w^{-2}, \quad-\frac{2}{9} \widehat{q}=m^{-1} \widehat{U}_{\widehat{q}} .
\]

Интегрирование дифференциального уравнения (2) приводит к
\[
\dot{w}^{2}=\frac{4}{9}\left(w^{-1}+b_{2}\right),
\]

где $b_{2}$ – произвольная константа. Если выбрать константу равной нулю, то из этого следует, что
\[
\frac{3}{2} w^{1 / 2} \dot{w}=1, \quad w^{3 / 2}=t, \quad w=t^{2 / 3} .
\]

С другой стороны, второе уравнение в (2) совпадает с $(12 ; 23)$, если заменить в нем функции $\bar{q}=\bar{q}(t)$ на константы $\widehat{q}$. Из нашего вышеприведенного результата мы знаем, что решения задаются тремя неподвижными точками $\widehat{P}_{1}, \widehat{P}_{2}, \widehat{P}_{3}$ с координатами $\widehat{q}$, соответствующими либо равностороннему, либо коллинеарному случаю. Если выбрать ось абсцисс по направлению вектора $\widehat{P}_{3} \widehat{P}_{1}$, то значения $\widehat{q}$ в точности те же, что были найдены $\widehat{X}_{k}, \widehat{Y}_{k}(k=1,2,3)$. Это доказывает, что каждый из частных случаев тройного столкновения действительно возникает как частное решение задачи трех тел.

Можно, тем не менее, ввести произвольный вещественный параметр в вышеуказанные решения, если не предполагать, что $b_{2}=0$ в (3), и воспользоваться разложением в ряд
\[
\left(1+b_{2} w\right)^{-1 / 2}=1-\frac{1}{2} b_{2} u+\ldots \quad\left(\left|b_{2} w\right|<1\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{3}{2}\left(w^{1 / 2}-\frac{1}{2} b_{2} w^{3 / 2}+\ldots\right) \dot{w}=1, \quad w^{3 / 2}-\frac{3}{10} b_{2} w^{5 / 2}+\ldots=t \\
w-\frac{1}{5} b_{2} w^{2}+\ldots=t^{2 / 3}, \quad w=t^{2 / 3} \bar{w} \\
\bar{w}=1+\frac{1}{5} b_{2} t^{2 / 3}+\ldots, \quad q=\bar{q} t^{2 / 3}, \quad \bar{q}=\widehat{q} \bar{w}
\end{array}
\]

где $\bar{w}-$ степенной ряд по $b_{2} t^{2 / 3}$, который сходится при достаточно малых положительных значениях $t$. Кроме того, величину $b_{2}$ можно выразить в терминах постоянной энергии $h$.

Следующее исследование покажет, что частные решения задачи трех тел, возникающие в (4), по-прежнему не являются наиболее общими траекториями тройного столкновения $[1,2,3]$. При определении всех из них можно предположить, что в коллинеарном случае с использованием обозначений из предыдущего параграфа точка $\bar{P}_{2}$ при $t=0$ лежит между $\bar{P}_{3}$ и $\bar{P}_{1}$, так как две другие возможности могут быть сведены к этой с помощью циклической перестановки индексов.
В соответствии с $\S 7$ введем относительные координаты
\[
\xi_{1}=x_{1}-x_{3}, \quad \xi_{2}=x_{2}-x_{3}, \quad \xi_{3}=y_{1}-y_{3}, \quad \xi_{4}=y_{2}-y_{3}
\]

точек $P_{1}$ и $P_{2}$ относительно $P_{3}$, где
\[
r_{13}^{2}=\xi_{1}^{2}+\xi_{3}^{2}, \quad r_{23}^{2}=\xi_{2}^{2}+\xi_{4}^{2}, \quad r_{12}^{2}=\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)^{2}+\left(\xi_{3}-\xi_{4}\right)^{2},
\]

и поскольку по предположению центр масс покоится в начале координат, также получим
\[
\begin{array}{ll}
M x_{1}=\left(m_{2}+m_{3}\right) \xi_{1}-m_{2} \xi_{2}, & M y_{1}=\left(m_{2}+m_{3}\right) \xi_{3}-m_{2} \xi_{4}, \\
M x_{2}=-m_{1} \xi_{1}+\left(m_{1}+m_{3}\right) \xi_{2}, & M y_{2}=-m_{1} \xi_{3}+\left(m_{1}+m_{3}\right) \xi_{4}, \\
M x_{3}=-m_{1} \xi_{1}-m_{2} \xi_{2}, & M y_{3}=-m_{1} \xi_{3}-m_{4} \xi_{4},
\end{array}
\]

где снова $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$. Если дополнительно положить
\[
\eta_{1}=m_{1} \dot{x}_{1}, \quad \eta_{2}=m_{2} \dot{x}_{2}, \quad \eta_{3}=m_{1} \dot{y}_{1}, \quad \eta_{4}=m_{2} \dot{y}_{2},
\]

то
\[
\begin{array}{c}
m_{3} \dot{x}_{3}=-\eta_{1}-\eta_{2}, \quad m_{3} \dot{y}_{3}=-\eta_{3}-\eta_{4}, \\
T=\frac{1}{2 m_{1}}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{2}}\left(\eta_{2}^{2}+\eta_{4}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{3}+\eta_{4}\right)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Как уже было установлено в $\S 7$, для переменных $\xi_{k}, \eta_{k}$ это приводит к гамильтоновой системе
\[
\dot{\xi}_{k}=E_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-E_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, 4),
\]

где $E=T-U$, или в явном виде
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{\xi}_{k} & =\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \eta_{k}+\frac{1}{m_{3}} \eta_{k+1}, \\
\dot{\xi}_{k+1} & =\left(\frac{1}{m_{2}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \eta_{k+1}+\frac{1}{m_{3}} \eta_{k}, \quad(k=1,3) \\
\dot{\eta}_{k} & =U_{\xi_{k}} \quad(k=1,2,3,4) .
\end{aligned}\right.
\]

Для последующего обсуждения тройного столкновения необходимо ввести новую прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с $P_{3}$, а ось абсцисс всегда проходит через $P_{1}$. Пусть $p_{4}-$ угол между старой и новой осями абсцисс, а $p_{1}, 0$ и $p_{2}, p_{3}$ – новые координаты $P_{1}$ и $P_{2}$. Используя сокращения
\[
\cos p_{4}=c, \quad \sin p_{4}=s,
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\xi_{1}=p_{1} c, \quad \xi_{2}=p_{2} c-p_{3} s, \quad \xi_{3}=p_{1} s, \quad \xi_{4}=p_{2} s+p_{3} c \\
r_{13}=p_{1}, \quad r_{23}^{2}=p_{2}^{2}+p_{3}^{2}, \quad r_{12}^{2}=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}+p_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Чтобы продолжить преобразование (9) переменных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{4}$ в $p_{1}, \ldots, p_{4}$ до канонического преобразования восьми независимых переменных $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 4)$, рассмотрим порождающую функцию
\[
W=W(p, \eta)=\eta_{1} p_{1} c+\eta_{2}\left(p_{2} c-p_{3} s\right)+\eta_{3} p_{1} s+\eta_{4}\left(p_{2} s+p_{3} c\right) .
\]

Тогда определитель четвертого порядка
\[
\left|W_{\eta_{k} p_{l}}\right|=-p_{1}
eq 0 .
\]

Согласно § 3 , выражение
\[
W_{p_{k}}=q_{k}, \quad W_{\eta_{k}}=\xi_{k} \quad(k=1, \ldots, 4)
\]

задает каноническое преобразование, которое, очевидно, удовлетворяет (9) и добавляет четыре уравнения
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\eta_{1} c+\eta_{3} s, \quad q_{2}=\eta_{2} c+r_{4} s, \quad q_{3}=-\eta_{2} s+\eta_{4} c, \\
q_{4}=p_{1}\left(-\eta_{1} s+\eta_{3} c\right)+p_{2}\left(-\eta_{2} s+\eta_{4} c\right)-p_{3}\left(\eta_{2} c+\eta_{4} s\right) .
\end{array}
\]

С помощью вспомогательной переменной
\[
q_{0}=-\eta_{1} s+\eta_{3} c
\]

приходим к
\[
\begin{array}{c}
q_{4}=p_{1} q_{0}+p_{2} q_{3}-p_{3} q_{2}, \quad q_{0}=\left(q_{4}-p_{2} q_{3}+p_{3} q_{2}\right) p_{1}^{-1}, \\
\eta_{1}=q_{1} c-q_{0} s, \quad \eta_{2}=q_{2} c-q_{3} s, \quad \eta_{3}=q_{1} s+q_{0} c, \quad \eta_{4}=q_{2} s+q_{3} c
\end{array}
\]

и
\[
T=\frac{1}{2 m_{1}}\left(q_{1}^{2}+q_{0}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{2}}\left(q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}+\left(q_{0}+q_{3}\right)^{2}\right\} .
\]

Нужно заметить, что здесь и в дальнейшем $q_{k}$ имеет отличный смысл от $q$, использованного ранее.

Настоящее преимущество канонических преобразований, определенных в (9) и (11), заключается в том, что как следствие (10), (13) и (14) функция $E$ в своей зависимости от восьми новых переменных $p_{k}, q_{k}(k=1, \ldots, 4)$ больше не содержит угол $p_{4}$. Из $\S 2$ видно, что новая гамильтонова система принимает вид
\[
\dot{p}_{k}=E_{q_{k}}, \quad \dot{q}_{k}=-E_{p_{k}} \quad(k=1, \ldots, 4)
\]

и, поскольку $E_{p_{4}}=0$, из этого следует, что $q_{4}$ – константа. С другой стороны, из $(5 ; 8)$ вместе с $(5),(7),(9)$ и (11) получаем, что
\[
\begin{array}{l}
q_{4}=\xi_{1} \eta_{3}+\xi_{2} \eta_{4}-\xi_{3} \eta_{1}-\xi_{4} \eta_{2}= \\
=m_{1}\left(x_{1}-x_{3}\right) \dot{y}_{1}+m_{2}\left(x_{2}-x_{3}\right) \dot{y}_{2}-m_{1}\left(y_{1}-y_{3}\right) \dot{x}_{1}-m_{2}\left(y_{2}-y_{3}\right) \dot{x}_{2}= \\
=m_{1}\left(x_{1} \dot{y}_{1}-y_{1} \dot{x}_{1}\right)+m_{2}\left(x_{2} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{x}_{2}\right)+m_{3}\left(x_{3} \dot{y}_{3}-y_{3} \dot{x}_{3}\right)=\gamma=0,
\end{array}
\]

поскольку для тройного столкновения константы момента количества движения равны нулю. Таким образом, (15) сводится к системе
\[
\dot{p}_{k}=\left(E_{q_{k}}\right)_{q_{4}=0}, \quad \dot{q}_{k}=-\left(E_{p_{k}}\right)_{q_{4}=0} \quad(k=1,2,3)
\]

из шести уравнений, свободной от $p_{4}$ и $q_{4}$, плюс дополнительное уравнение
\[
\dot{p}_{4}=\left(E_{q_{4}}\right)_{q_{4}=0},
\]

которое можно решить квадратурой. С целью исследования этих дифференциальных уравнений определим асимптотическое поведение $p_{k}$ и $q_{k}(k=1,2,3)$ при $t \rightarrow 0$.
Величины
\[
p_{k} t^{-2 / 3}=\bar{p}_{k} \quad(k=1,2,3)
\]

в обозначениях предыдущего параграфа соответствуют
\[
\bar{p}_{1}=X_{1}-X_{3}, \quad \bar{p}_{2}=X_{2}-X_{3}, \quad \bar{p}_{3}=Y_{2}-Y_{3}
\]

и поэтому при $t=0$ принимают предельные значения
\[
\widehat{p}_{1}=r, \quad \widehat{p}_{2}=\frac{1}{2} r, \quad \widehat{p}_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} r
\]

в равностороннем случае и
\[
\widehat{p}_{1}=a, \quad \widehat{p}_{2}=\sigma a, \quad \widehat{p}_{3}=0
\]

в коллинеарном случае, где $r, a, \sigma$ – обозначения, принятые ранее. Затем, пусть
\[
q_{k} t^{1 / 3}=\bar{q}_{k} \quad(k=0,1,2,3) .
\]

Очень важно, что $\bar{q}_{k}$ также имеют пределы при $t=0$ и они сразу могут быть вычислены.
Во-первых, из $(12 ; 1)$ и $(5),(7),(9),(11)$ имеем равенство
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \dot{I} & =\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(x_{k} \dot{x}_{k}+y_{k} \dot{y}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{2} m_{k}\left(\left(x_{k}-x_{3}\right) \dot{x}_{k}+\left(y_{k}-y_{3}\right) \dot{y}_{k}\right)= \\
& =\sum_{k=1}^{4} \xi_{k} \eta_{k}=\sum_{k=1}^{3} p_{k} q_{k}=t^{1 / 3} \sum_{k=1}^{3} \bar{p}_{k} \bar{q}_{k},
\end{aligned}
\]

которое благодаря $(12 ; 6)$ показывает, что
\[
\sum_{k=1}^{3} \bar{p}_{k} \bar{q}_{k} \rightarrow \frac{2}{3} \varkappa \quad(t \rightarrow 0) .
\]

Здесь положительная константа $\varkappa$ задана (12;26) в равностороннем случае, и $(12 ; 29)$ в коллинеарном случае. Поскольку $q_{4}=0$, из (13) следует, что также
\[
\bar{p}_{1} \bar{q}_{0}+\bar{p}_{2} \bar{q}_{3}-\bar{p}_{3} \bar{q}_{2}=0 .
\]

Из $(12 ; 14)$ можно получить дополнительные асимптотические соотношения, в частности
\[
\begin{array}{c}
x_{1} \dot{y}_{1}-y_{1} \dot{x}_{1}=o\left(t^{1 / 3}\right), \quad x_{2} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{x}_{2}=o\left(t^{1 / 3}\right), \\
x_{1} \dot{x}_{2}-x_{2} \dot{x}_{1}+y_{1} \dot{y}_{2}-y_{2} \dot{y}_{1}=o\left(t^{1 / 3}\right) .
\end{array}
\]

С помощью (6), (9), (11), (12), (16) и (17) из этого получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(m_{2}+m_{3}\right)\left(\xi_{1} \eta_{3}-\xi_{3} \eta_{1}\right)-m_{2}\left(\xi_{2} \eta_{3}-\xi_{4} \eta_{1}\right)=o\left(t^{1 / 3}\right) \\
\left(m_{1}+m_{3}\right)\left(\xi_{2} \eta_{4}-\xi_{4} \eta_{2}\right)-m_{1}\left(\xi_{1} \eta_{4}-\xi_{3} \eta_{2}\right)=o\left(t^{1 / 3}\right) \\
m_{1}\left(m_{2}+m_{3}\right)\left(\xi_{1} \eta_{2}+\xi_{3} \eta_{4}\right)-m_{2}\left(m_{1}+m_{3}\right)\left(\xi_{2} \eta_{1}+\xi_{4} \eta_{3}\right)+ \\
+m_{1} m_{2}\left(\xi_{1} \eta_{1}+\xi_{3} \eta_{3}-\xi_{2} \eta_{2}-\xi_{4} \eta_{4}\right)=o\left(t^{1 / 3}\right), \\
\left(m_{2}+m_{3}\right) \bar{p}_{1} \bar{q}_{0}-m_{2}\left(\bar{p}_{1} \bar{q}_{0}-\bar{p}_{3} \bar{q}_{1}\right) \rightarrow 0 \\
\left(m_{1}+m_{3}\right)\left(\bar{p}_{2} \bar{q}_{3}-\bar{p}_{3} \bar{q}_{2}\right)-m_{1} \bar{p}_{1} \bar{q}_{3} \rightarrow 0 \\
m_{1}\left(m_{2}+m_{3}\right) \bar{p}_{1} \bar{q}_{2}-m_{2}\left(m_{1}+m_{3}\right)\left(\bar{p}_{2} \bar{q}_{1}+\bar{p}_{3} \bar{q}_{0}\right)+ \\
+m_{1} m_{2}\left(\bar{p}_{1} \bar{q}_{1}-\bar{p}_{2} \bar{q}_{2}-\bar{p}_{3} \bar{q}_{3}\right) \rightarrow 0
\end{array}
\]

которые все справедливы при $t \rightarrow 0$. Основываясь на $(12 ; 13)$ и (7), (11), $(12),(17)$, также получим
\[
\bar{q}_{k}=O(1) \quad(k=0,1,2,3) .
\]

Из (18), (19), (20), (21) и (23) получаем соотношения
\[
\begin{array}{c}
2 \bar{q}_{1}+\bar{q}_{2}+\sqrt{3} \bar{q}_{3} \rightarrow \frac{4}{3} \varkappa r^{-1}, \quad 2 \bar{q}_{0}-\sqrt{3} \bar{q}_{2}+\bar{q}_{3} \rightarrow 0, \\
2 \sqrt{3} m_{2} \bar{q}_{1}+\left(m_{2}+2 m_{3}\right)\left(\sqrt{3} \bar{q}_{2}-\bar{q}_{3}\right) \rightarrow 0, \\
\sqrt{3}\left(m_{1}+m_{3}\right) \bar{q}_{2}+\left(m_{1}-m_{3}\right) \bar{q}_{3} \rightarrow 0 .
\end{array}
\]

Тогда, если положить
\[
\bar{q}_{3}=\frac{m_{2}}{\sqrt{3}}\left(m_{1}+m_{3}\right) \bar{q},
\]

то, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\bar{q}_{2}=\frac{m_{2}}{3}\left(m_{3}-m_{1}\right) \bar{q}+o(1), \quad \bar{q}_{1}=\frac{m_{1}}{3}\left(m_{2}+2 m_{3}\right) \bar{q}+o(1), \\
\frac{4}{3}\left(m_{1} m_{2}+m_{1} m_{3}+m_{2} m_{3}\right) \bar{q} \rightarrow \frac{4}{3} \varkappa r^{-1},
\end{array}
\]

поэтому с помощью $(12 ; 25)$ и $(12 ; 26)$ получим
\[
\bar{q} \rightarrow \frac{r}{M} .
\]

Следовательно, в равностороннем случае $\bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}, \bar{q}_{3}$ имеют предельные значения
\[
\widehat{q}_{1}=\frac{m_{1}}{3 M}\left(m_{2}+2 m_{3}\right) r, \quad \widehat{q}_{2}=\frac{m_{2}}{3 M}\left(m_{3}-m_{1}\right) r, \quad \widehat{q}_{3}=\frac{m_{2}}{\sqrt{3} M}\left(m_{1}+m_{3}\right) r,
\]

а величина
\[
\bar{q}_{0} \rightarrow \widehat{q}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2} \widehat{q}_{2}-\frac{1}{2} \widehat{q}_{3}=-\frac{m_{1} m_{2}}{\sqrt{3} M} r .
\]

Так же, как и для $\hat{p}_{1}, \widehat{p}_{2}, \widehat{p}_{3}$, эти значения зависят только от масс $m_{1}$, $m_{2}, m_{3}$.

В коллинеарном случае из (19), (20), (22) и (23) получим соотношения
\[
\begin{array}{c}
\bar{q}_{0}+\sigma \bar{q}_{3} \rightarrow 0, \quad\left(m_{2} \varrho+m_{3}\right) \bar{q}_{0} \rightarrow 0, \\
m_{2}\left(m_{1} \varrho-m_{3} \sigma\right) \bar{q}_{1}+m_{1}\left(m_{2} \varrho+m_{2}\right) \bar{q}_{2} \rightarrow 0,
\end{array}
\]

и поэтому
\[
\bar{q}_{0} \rightarrow 0, \quad \bar{q}_{3} \rightarrow 0 .
\]

Если мы положим
\[
\bar{q}_{1}=m_{1}\left(m_{2} \varrho+m_{3}\right) \bar{q},
\]

то
\[
\bar{q}_{2}=m_{2}\left(m_{3} \sigma-m_{1} \varrho\right) \bar{q}+o(1),
\]

и из (18) следует, что
\[
\left\{m_{1}\left(m_{2} \varrho+m_{3}\right)+m_{2} \sigma\left(m_{3} \sigma-m_{1} \varrho\right)\right\} \bar{q} \rightarrow \frac{2}{3} \varkappa a^{-1} .
\]

С другой стороны, благодаря $(12 ; 27)$ и $(12 ; 29)$, получим
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{9} a^{3} m_{1}\left(m_{2} \varrho+m_{3}\right)+ & \frac{2}{9} \sigma a^{3} m_{2}\left(m_{3} \sigma-m_{1} \varrho\right)= \\
& =M\left(m_{1} m_{2} \varrho^{-1}+m_{1} m_{3}+m_{2} m_{3} \sigma^{-1}\right)=\frac{2}{9} M \varkappa a,
\end{aligned}
\]

так что в конечном итоге
\[
\bar{q} \rightarrow \frac{2 a}{3 M} .
\]

Таким образом, в коллинеарном случае $\bar{q}_{0}, \bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}, \bar{q}_{3}$ в пределе равны
\[
\widehat{q}_{0}=0, \quad \widehat{q}_{1}=\frac{2 m_{1}}{3 M}\left(m_{2} \varrho+m_{3}\right) a, \quad \widehat{q}_{2}=\frac{2 m_{2}}{3 M}\left(m_{3} \sigma-m_{1} \varrho\right) a, \quad \widehat{q}_{3}=0,
\]

и эти пределы также зависят только от трех масс.
Пусть $q_{4}$ снова произвольно. В дифференциальных уравнениях (15) сделаем замены
\[
\begin{array}{c}
p_{k}=\bar{p}_{k} t^{2 / 3} \quad(k=1,2,3), \quad q_{k}=\bar{q}_{k} t^{-1 / 3} \quad(k=0,1,2,3), \\
q_{4}=\bar{q}_{4} t^{1 / 3}, \quad p_{4}=\bar{p}_{4}
\end{array}
\]

а также
\[
t=e^{-u}, \quad d t=-t d u .
\]

Функция $\bar{E}$ получается из $E$ прямой заменой семи переменных $p_{k}(k=$ $=1,2,3)$ и $q_{k}(k=1,2,3,4)$ на $\bar{p}_{k}$ и $\bar{q}_{k}$ и удовлетворяет соотношению
\[
E=\bar{E} t^{-2 / 3} \text {. }
\]

При этом дифференциальные уравнения преобразуются в систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \bar{p}_{k}}{d u}=\frac{2}{3} \bar{p}_{k}-\bar{E}_{\bar{q}_{k}}, \quad \frac{d \bar{q}_{k}}{d u}=-\frac{1}{3} \bar{q}_{k}+\bar{E}_{\bar{p}_{k}} \quad(k=1,2,3) \\
\frac{d \bar{p}_{4}}{d u}=-\bar{E}_{\bar{q}_{4}}, \quad \frac{d \bar{q}_{4}}{d u}=\frac{1}{3} \bar{q}_{4} .
\end{array}
\]

Теперь пусть
\[
\begin{array}{l}
\bar{p}_{k}=\widehat{p}_{k}+\delta_{k}, \quad \bar{q}_{k}=\widehat{q}_{k}+\delta_{k+2} \quad(k=1,2) \\
\bar{p}_{3}=\widehat{p}_{3}+\delta_{5}, \quad \bar{q}_{3}=\widehat{q}_{3}+\delta_{6}, \quad \bar{q}_{4}=\delta_{7}, \quad \bar{p}_{4}=\delta_{8},
\end{array}
\]

где $\widehat{p}_{k}, \widehat{q}_{k}(k=1,2,3)$ – полученные ранее пределы либо для равностороннего, либо для коллинеарного случая. Значения $\delta_{k}=0$ ( $k=$ $=1, \ldots, 8$ ) в точности соответствуют координатам частных траекторий тройного столкновения, полученных в начале этого параграфа, и поскольку они также приводят к решениям (24), то, следовательно, правые части восьми дифференциальных уравнений, как функции от $\delta_{k}$, все обращаются в нуль в точке $\delta_{k}=0(k=1, \ldots, 8)$. С другой стороны, в достаточно малой комплексной окрестности этой точки правые части регулярны и имеют сходящиеся разложения в ряды по степеням $\delta_{k}$. Таким образом, система (24) имеет вид
\[
\frac{d \delta_{k}}{d u}=\sum_{l=1}^{8} a_{k l} \delta_{l}+\phi_{k} \quad(k=1, \ldots, 8),
\]

где $\phi_{k}$ – степенные ряды по $\delta_{1}, \ldots, \delta_{7}$, начинающиеся со слагаемых второго порядка, и $a_{k l}$ – вещественные константы. Здесь
\[
a_{k 8}=0 \quad(k=1, \ldots, 8), \quad a_{77}=\frac{1}{3}, \quad a_{7 l}=0 \quad(l
eq 7),
\]

что приводит к матрице восемь на восемь вида
\[
\mathfrak{U}=\left(\begin{array}{ccc}
\mathfrak{B} & * & 0 \\
0 & \frac{1}{3} & 0 \\
* & * & 0
\end{array}\right),
\]

где $\mathfrak{B}$ – матрица шесть на шесть. Кроме того, $\phi_{7}=0$.
Так как $u=\log t^{-1}$, то, когда $t$ убывает до нуля, переменная $u$ возрастает до $\infty$. Кроме того, $\delta_{7}=q_{4} t^{-1 / 3}=0$ для каждой траектории тройного столкновения. Таким образом, чтобы получить все траектории тройного столкновения, необходимо решить шесть дифференциальных уравнений
\[
\frac{d \delta_{k}}{d u}=\sum_{l=1}^{6} a_{k l} \delta_{l}+\phi_{k} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

где $\delta_{7}=0$, чтобы найти все решения $\delta_{k}=\delta_{k}(u)(k=1, \ldots, 6)$, которые определены для достаточно больших $u$ и асимптотически стремятся к решениям $\delta_{k}=0$ при $u \rightarrow \infty$.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся результатом, который будет получен в §28 независимо от настоящих исследований. Согласно (27), линейная часть правой стороны в (28) имеет матрицу коэффициентов $\mathfrak{B}$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{6}$ – собственные числа $\mathfrak{B}$, т. е. корни полинома $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{B}|$, где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{f}$ имеют отрицательную вещественную часть. Благодаря ограничениям, наложенным в $\S 28$, в дальнейшем будем предполагать, что собственные значения $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{6}$ – простые, никакое из них не является чисто мнимым или нулем, и для всех систем неотрицательных целых чисел $n_{1}, \ldots, n_{f}$, где $n_{1}+\ldots+n_{f}>1$, имеем
\[
\sum_{l=1}^{f} n_{l} \lambda_{l}
eq \lambda_{k} \quad(k=1, \ldots, f) .
\]

В соответствии с $\S 28$ искомые решения (28) задаются выражениями
\[
\delta_{k}=\psi_{k}\left(v_{1}, \ldots, v_{f}\right) \quad(k=1, \ldots, 6), \quad v_{l}=c_{l} e^{\lambda_{l u}} \quad(l=1, \ldots, f),
\]

где $\psi_{k}$ – сходящиеся степенные ряды по переменным $v_{1}, \ldots, v_{f}$ без постоянных слагаемых, а $c_{l}$ – произвольные константы, достаточно малые по модулю. Коэффициенты в рядах $\psi_{k}$ однозначно определяются с помощью рекуррентной процедуры. Как только искомые решения $\delta_{1}, \ldots, \delta_{6}$ уравнений (28) будут получены из (30), угол $p_{4}=\bar{p}_{4}=\delta_{8}$ находится квадратурой из последнего уравнения в (26), которое при $\delta_{7}=$ $=0$ имеет вид
\[
\frac{d p_{4}}{d u}=-\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \frac{\bar{q}_{0}}{\bar{p}_{1}}-\frac{1}{m_{3}} \frac{\bar{q}_{3}}{\bar{p}_{1}}, \quad \bar{q}_{0}=\frac{\bar{q}_{2} \bar{p}_{3}-\bar{p}_{2} \bar{q}_{3}}{\bar{p}_{1}} .
\]

В свете (30) правая часть этого дифференциального уравнения снова будет степенным рядом по $v_{1}, \ldots, v_{f}$ без постоянного слагаемого, и, поскольку $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{f}$ имеют отрицательные вещественные части, интеграл сходится при $u=\infty$. Следовательно, для каждого решения, заканчивающегося тройным столкновением, угол $p_{4}$ также имеет конечный предел $\widehat{p}_{4}$ при $t \rightarrow 0$. Это завершает доказательство того, что столкновение трех частиц происходит в определенных направлениях.

Вычисление шести собственных значений облегчается при возврате к старым переменным. Из (27) имеем
\[
\begin{array}{l}
\lambda \mathfrak{E}_{8}-\mathfrak{U}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda \mathfrak{E}_{6}-\mathfrak{B} & * & 0 \\
0 & \lambda-\frac{1}{3} & 0 \\
* & * & \lambda
\end{array}\right), \\
\left|\lambda \mathfrak{E}_{8}-\mathfrak{U}\right|=\lambda\left(\lambda-\frac{1}{3}\right)\left|\lambda \mathfrak{E}_{6}-\mathfrak{B}\right| .
\end{array}
\]

Преобразуем восемь переменных $\delta_{k}(k=1, \ldots, 8)$ с помощью подстановки
\[
\omega_{k}=\sum_{l=1}^{8} c_{k l} \delta_{l}+\chi_{k} \quad(k=1, \ldots, 8)
\]

где коэффициенты $c_{k l}$ образуют обрагимую постоянную матрицу $\mathfrak{C}$, а $\chi_{k}$ – сходящиеся степенные ряды по $\delta_{l}(l=1, \ldots, 8)$, начинающиеся с квадратичного слагаемого. В результате (26) заменяются на новую систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d \omega_{k}}{d u}=\sum_{l=1}^{8} g_{k l} \omega_{l}+\ldots \quad(k=1, \ldots, 8),
\]

матрица коэффициентов $\mathfrak{G}=\left(g_{k l}\right)$ которого определяется из соотношения
\[
\mathfrak{U}=\mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{G} \mathfrak{C} .
\]

Это утверждение по своей природе является чисто алгебраическим и не влияет на свойства решений этих дифференциальных уравнений. При определении $\omega_{k}$ мы обратились к ранєе использованным каноническим преобразованиям
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}=p_{1} c, \quad \xi_{2}=p_{2} c-p_{3} s, \quad \xi_{3}=p_{1} s, \quad \xi_{4}=p_{2} s+p_{3} c \\
\eta_{1}=q_{1} c-q_{0} s, \quad \eta_{2}=q_{2} c-q_{3} s, \quad \eta_{3}=q_{1} s+q_{0} c, \quad \eta_{4}=q_{2} s+q_{3} c, \\
q_{0}=\left(q_{4}-p_{2} q_{3}+p_{3} q_{2}\right) p_{1}^{-1}, \quad c=\cos p_{4}, \quad s=\sin p_{4}
\end{array}
\]

и провели дополнительную обратимую однородную линейную замену
\[
\begin{array}{l}
-\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \eta_{k}-\frac{1}{m_{3}} \eta_{k+1}=\xi_{k+4}, \\
-\frac{1}{m_{3}} \eta_{k}-\left(\frac{1}{m_{2}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \eta_{k+1}=\xi_{k+5} \quad(k=1,3) .
\end{array}
\]

В терминах
\[
\bar{\xi}_{k}=\xi_{k} t^{-2 / 3}, \quad \bar{\xi}_{k+4}=\xi_{k+4} t^{2 / 3} \quad(k=1, \ldots, 4),
\]

при $t=e^{-u}$ система (8) имеет вид
\[
\frac{d \bar{\xi}_{k}}{d u}=\frac{2}{3} \bar{\xi}_{k}+\bar{\xi}_{k+4}, \quad \frac{d \bar{\xi}_{k+4}}{d u}=-\frac{1}{3} \bar{\xi}_{k+4}-F_{k} \quad(k=1, \ldots, 4),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F_{k}=\left\{\begin{array}{ll}
\left(m_{1}+m_{3}\right) R_{2} \bar{\xi}_{k}+m_{2} R_{1} \bar{\xi}_{k+1}+m_{2} R_{3}\left(\bar{\xi}_{k}-\bar{\xi}_{k+1}\right) & (k=1,3) \\
m_{1} R_{2} \bar{\xi}_{k-1}+\left(m_{2}+m_{3}\right) R_{1} \bar{\xi}_{k}+m_{1} R_{3}\left(\bar{\xi}_{k}-\bar{\xi}_{k-1}\right) & (k=2,4)
\end{array}\right. \\
R_{1}=\left(\bar{\xi}_{2}^{2}+\bar{\xi}_{4}^{2}\right)^{-3 / 2}, R_{2}=\left(\bar{\xi}_{1}^{2}+\bar{\xi}_{3}^{2}\right)^{-3 / 2}, R_{3}=\left\{\left(\bar{\xi}_{1}-\bar{\xi}_{2}\right)^{2}+\left(\bar{\xi}_{3}-\bar{\xi}_{4}\right)^{2}\right\}^{-3 / 2} .
\end{array}
\]

И последнее, пусть $\widehat{\xi}_{k}(k=1, \ldots, 8)$ – значения $\bar{\xi}_{k}$ как функций от восьми переменных $\delta_{l}(l=1, \ldots, 8)$ при $\delta_{l}=0$, и определим
\[
\omega_{k}=\bar{\xi}_{k}-\widehat{\xi}_{k} \quad(k=1, \ldots, 8) .
\]

Тогда правые части (36) приводятся к сходящимся степенным рядам по $\omega_{k}$ без постоянных слагаемых с соответствующей матрицей коэффициентов
\[
\mathfrak{G}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{2}{3} \mathfrak{E}_{4} & \mathfrak{E}_{4} \\
-\mathfrak{S} & -\frac{1}{3} \mathfrak{E}_{4}
\end{array}\right),
\]

где элементы $s_{k l}(k, l=1, \ldots, 4)$ в матрице четыре на четыре $\mathfrak{S}$ являются частными производными $\frac{\partial F_{k}}{\partial \bar{\xi}_{l}}$, вычисленными при $\bar{\xi}_{r}=\widehat{\xi}_{r}$ ( $r=$ $=1, \ldots, 4)$.

Из (34) получаем, что $\widehat{\xi}_{1}=\widehat{p}_{1}, \widehat{\xi}_{2}=\widehat{p}_{2}, \widehat{\xi}_{3}=0, \widehat{\xi}_{4}=\widehat{p}_{3}$, и поэтому в равностороннем случае
\[
\begin{array}{l}
r^{3} \mathfrak{S}= \\
=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{4} m_{2}-2\left(m_{1}+m_{3}\right) & 0 & \frac{3 \sqrt{3}}{4} m_{2} & -\frac{3 \sqrt{3}}{2} m_{2} \\
-\frac{9}{4} m_{1} & \frac{1}{4}\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right) & -\frac{3 \sqrt{3}}{4} m_{1} & \frac{3 \sqrt{3}}{4}\left(m_{1}-m_{2}-m_{3}\right) \\
\frac{3 \sqrt{3}}{4} m_{2} & -\frac{3 \sqrt{3}}{2} m_{2} & m_{1}+m_{3}-\frac{5}{4} m_{2} & 0 \\
-\frac{3 \sqrt{3}}{4} m_{1} & \frac{3 \sqrt{3}}{4}\left(m_{1}-m_{2}-m_{3}\right) & \frac{9}{4} m_{1} & -\frac{5}{4}\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)
\end{array}\right),
\end{array}
\]

в то время как в коллинеарном случае
\[
a^{3} \mathfrak{S}=\left(\begin{array}{cc}
-2 \mathfrak{Q} & 0 \\
0 & \mathfrak{Q}
\end{array}\right), \quad \mathfrak{Q}=\left(\begin{array}{cc}
m_{1}+m_{3}+m_{2} \varrho^{-3} & m_{2}\left(\sigma^{-3}-\varrho^{-3}\right) \\
m_{1}\left(1-\varrho^{-3}\right) & m_{1} \varrho^{-3}+\left(m_{2}+m_{3}\right) \sigma^{-3}
\end{array}\right) .
\]

Используя сокращение
\[
\left(\lambda+\frac{1}{3}\right)\left(\lambda-\frac{2}{3}\right)=\zeta,
\]

из $(32),(33),(38)$ видим, что
\[
\begin{aligned}
\left|\lambda \mathfrak{E}_{8}-\mathfrak{U}\right|=\left|\lambda \mathfrak{E}_{8}-\mathfrak{C}\right| & =\left|\begin{array}{cc}
\left(\lambda-\frac{2}{3}\right) \mathfrak{E}_{4} & -\mathfrak{E}_{4} \\
\mathfrak{S} & \left(\lambda+\frac{1}{3} \mathfrak{E}_{4}\right)
\end{array}\right|, \\
\left(\zeta+\frac{2}{9}\right)\left|\lambda \mathfrak{E}_{6}-\mathfrak{B}\right| & =\left|\zeta \mathfrak{E}_{4}+\mathfrak{S}\right|,
\end{aligned}
\]

и прямое вычисление определителя четвертого порядка дает
\[
\left|\zeta \mathfrak{E}_{4}+\mathfrak{S}\right|=\left(\zeta+\frac{2}{9}\right)\left(\zeta-\frac{4}{9}\right)\left(\zeta^{2}-\frac{2}{9} \zeta-\frac{8}{81}+\frac{1}{3} \mu\right),
\]

где
\[
\mu=\frac{m_{1} m_{2}+m_{1} m_{3}+m_{2} m_{3}}{\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)^{2}}
\]

в равностороннем случае, и
\[
\left|\zeta \mathfrak{E}_{4}+\mathfrak{S}\right|=\left(\zeta+\frac{2}{9}\right)\left(\zeta-\frac{4}{9}\right)\left(\zeta+\frac{2}{9}+\frac{2}{9}
u\right)\left(\zeta-\frac{4}{9}-\frac{4}{9}
u\right),
\]

где
\[

u=\frac{m_{1}\left(1+\varrho^{-1}+\varrho^{-2}\right)+m_{3}\left(1+\sigma^{-1}+\sigma^{-2}\right)}{m_{1}+m_{2}\left(\varrho^{-2}+\sigma^{-2}\right)+m_{3}}
\]

в коллинеарном случае. Определитель $\left|\lambda \mathfrak{E}_{6}-\mathfrak{B}\right|$ получается из этих двух полиномов при отбрасывании множителя $\left(\zeta+\frac{2}{9}\right.$ ). Таким образом, в равностороннем случае шесть собственных значений $\mathfrak{B}$ равны
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=-\frac{2}{3}, \lambda_{2}=\frac{1}{6}(1-\sqrt{13+12 \sqrt{1-3 \mu}}), \lambda_{3}=\frac{1}{6}(1-\sqrt{13-12 \sqrt{1-3 \mu}}), \\
\lambda_{4}=\frac{1}{6}(1+\sqrt{13-12 \sqrt{1-3 \mu}}), \lambda_{5}=\frac{1}{6}(1+\sqrt{13+12 \sqrt{1-3 \mu}}), \lambda_{6}=1,
\end{array}
\]

а в коллинеарном случае они равны
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1}=-\frac{2}{3}, \quad \lambda_{2}=\frac{1}{6}(1-\sqrt{25+16
u}), \quad \lambda_{3}=\frac{1}{6}(1-\sqrt{1-8
u}), \\
\lambda_{4}=\frac{1}{6}(1+\sqrt{1-8
u}), \quad \lambda_{5}=\frac{1}{6}(1+\sqrt{25+16
u}), \quad \lambda_{6}=1 .
\end{array}
\]

Тождество
\[
2 M^{2}(1-3 \mu)=\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}+\left(m_{1}-m_{3}\right)^{2}+\left(m_{2}-m_{3}\right)^{2}
\]

показывает, что в равностороннем случае все шесть собственных значений вещественны, $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ – отрицательны, а $\lambda_{4}, \lambda_{5}, \lambda_{6}$ – положительны. Кроме того, за исключением случая $m_{1}=m_{2}=m_{3}$, все собственные значения различны, а условие (29), как легко увидеть, совпадает с ограничением, что ни $\lambda_{1} / \lambda_{3}$, ни $\lambda_{2} / \lambda_{3}$ не являются целым числом. При отбрасывании этих исключительных ситуаций, ранее упомянутый результат из $§ 28$ задает координаты для равностороннего случая тройного столкновения в виде степенных рядов от трех переменных
\[
v_{1}=c_{1} t^{2 / 3}, \quad v_{2}=c_{2} t^{-\lambda_{2}}, \quad v_{3}=c_{3} t^{-\lambda_{3}},
\]

содержащих три произвольные вещественные константы $c_{1}, c_{2}, c_{3}$. Еще одна константа, которая фиксирует направление столкновения трех точек, возникает при определении $p_{4}$ с помощью квадратуры. Далее можно выбрать произвольную ориентацию плоскости $(x, y)$ в пространстве и придать ей поступательное движение с постоянной скоростью, получив тем самым 8 дополнительных констант. Таким образом, равносторонний случай тройного столкновения содержит всего 12 независимых вещественных параметров. Наконец, заметим, что произвольная константа $c_{0}>0$ в преобразовании $t \rightarrow c_{0} t, c_{k} \rightarrow c_{k} c_{0}^{\lambda_{k}}$ не изменяет переменных $v_{k}(k=1,2,3)$ в (39), таким образом, функции $\bar{p}_{k}, \bar{q}_{k}$ $(k=1,2,3)$, построенные из них с помощью (25) и (30), также остаются неизменными, хотя сами $p_{k}=\bar{p}_{k} t^{2 / 3}$ изменяются. Тогда, с учетом независимой переменной $t$, траектории тройного столкновения в равностороннем случае образуют 13 -мерное многообразие в 18 -мерном пространстве.

В коллинеарном случае два собственных значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ – вещественные и отрицательные, $\lambda_{5}, \lambda_{6}$ – вещественные и положительные, а $\lambda_{3}, \lambda_{4}$ – либо вещественные и положительные, либо комплексно сопряженные с положительной вещественной частью $\frac{1}{6}$. Чтобы все собственные значения были различными, необходимо потребовать, чтобы $
u
eq \frac{1}{8}$, а (29) здесь означает, что $\lambda_{2} / \lambda_{1}$ не должно быть целым числом. Тогда координаты задаются в виде степенных рядов от двух переменных
\[
v_{1}=c_{1} t^{2 / 3}, \quad v_{2}=c_{2} t^{-\lambda_{2}}
\]

с двумя произвольными вещественными константами $c_{1}, c_{2}$.
В заключение мы покажем, что в коллинеарном случае тройного столкновения угол $p_{4}$ является константой, поэтому три частицы движутся вдоль фиксированной прямой. Для этого, в дополнение к уравнению (31) для $p_{4}$, рассмотрим отдельно два дифференциальных уравнения для $\bar{p}_{3}$ и $\bar{q}_{3}$, которые ввиду (10), (13), (14) и (24) явно записываются в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{d \bar{p}_{3}}{d u}= & \frac{2}{3} \bar{p}_{3}+\left\{\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \frac{\bar{p}_{2}}{\bar{p}_{1}}-\frac{1}{m_{3}}\right\} \bar{q}_{0}+\left(\frac{1}{m_{3}} \frac{\bar{p}_{2}}{\bar{p}_{1}}-\frac{1}{m_{2}}-\frac{1}{m_{3}}\right) \bar{q}_{3}, \\
\frac{d \bar{q}_{3}}{d u}= & -\frac{1}{3} \bar{q}_{3}+m_{2} m_{3}\left(\bar{p}_{2}^{2}+\bar{p}_{3}^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \bar{p}_{3}+m_{1} m_{2}\left\{\left(\bar{p}_{1}-\bar{p}_{2}\right)^{2}+\bar{p}_{3}^{2}\right\}^{-\frac{3}{2}} \bar{p}_{3}+ \\
& +\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{3}}\right) \frac{\bar{q}_{2}}{\bar{p}_{1}} \bar{q}_{0}+\frac{1}{m_{3}} \frac{\bar{q}_{2}}{\bar{p}_{1}} \bar{q}_{3}
\end{aligned}
\]

где
\[
\bar{q}_{0}=\left(\bar{q}_{4}-\bar{p}_{2} \bar{q}_{3}+\bar{q}_{2} \bar{p}_{3}\right) \bar{p}_{1}^{-1} .
\]

Поскольку в коллинеарном случае $\widehat{p}_{3}=0, \widehat{q}_{3}=0$, поэтому из (25) получаем $\bar{p}_{3}=\delta_{5}, \bar{q}_{3}=\delta_{6}$. Правые части обоих уравнений при $\delta_{7}=0$ имеют вид $\Phi \delta_{5}+\Psi \delta_{6}$, где $\Phi$ и $\Psi$ – сходящиеся степенные ряды от $\delta_{1}, \ldots, \delta_{6}$. Теперь, если два собственных значения, соответствующие линейным слагаемым в правой части (41), оба имеют положительную вещественную часть, из $§ 28$ следует, что решения $\delta_{5}=\delta_{5}(u)$ и $\delta_{6}=\delta_{6}(u)$ при условии, что $\delta_{k} \rightarrow 0(k=1, \ldots, 6)$, когда $u \rightarrow 0$, должны тождественно равняться нулю по $u$. Условие на два собственных значения, с другой стороны, следует из утверждения, что они просто равны $\lambda_{3}$ и $\lambda_{4}$. Поскольку прямое вычисление собственных значений с использованием (41) выглядит слишком трудоемким, лучше продолжать так же, как и при вычислении шести собственных значений $\mathfrak{B}$. Из (24) и (25) получаем, что в коллинеарном случае коэффициенты $a_{k l}$ в (26) равны 0 , если $k=1, \ldots, 4$ и $l=5, \ldots, 8$. Теперь, если в определении $\omega_{k}$ в (37) поменять местами индексы 3 и 5 и также 4 и 6 в левой части, тогда, согласно (34) и (35) соответственно, составленная новая матрица $\mathfrak{C}$ раскладывается так же, как $\mathfrak{U}$, а вместо (38) получим
\[
\mathfrak{G}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{2}{3} \mathfrak{E}_{2} & \mathfrak{E}_{2} & 0 & 0 \\
2 a^{-3} \mathfrak{Q} & -\frac{1}{3} \mathfrak{E}_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{3} \mathfrak{E}_{2} & \mathfrak{E}_{2} \\
0 & 0 & -a^{-3} \mathfrak{Q} & -\frac{1}{3} \mathfrak{E}_{2}
\end{array}\right) .
\]

С помощью этого разложения получим исследуемое нами утверждение о двух собственных значениях, из чего следует, что в коллинеарном случае $\bar{p}_{3}=0, \bar{q}_{3}=0$. Поскольку тогда также $\bar{q}_{0}=0$, уравнение (31) действительно влечет, что $p_{4}=\widehat{p}_{4}$ является константой.

Чтобы получить общее решение в коллинеарном случае, нужно заменить орбитальную прямую на любую прямую линию в старой системе координат, движущуюся параллельно самой себе с постоянной скоростью. Из этого получим 7 дополнительных новых констант, вместе с $c_{1}$, $c_{2}, p_{4}$ всего 10 независимых вещественных параметров, в то время как в равностороннем случае было 12 параметров.

Показатели $-\lambda_{2},-\lambda_{3}$ в (39) равностороннего случая и показатель $-\lambda_{2}$ в (40)для коллинеарного случая в общем случае иррациональны, а именно для всех $\mu,
u$, которые зависят от масс $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, за исключением определенного счетного множества значений. Таким образом, в общем случае тройное столкновение приводит к существенной особенности в координатах $x_{k}, y_{k}(k=1,2,3)$. С другой стороны, если положить $c_{2}=0, c_{3}=0$ в (39) и $c_{2}=0$ в (40), то получим частные решения тройного столкновения с тем же типом особенности, что и простые столкновения, и координаты в этом случае являются степенными рядами по переменной $t^{2 / 3}$. Более тщательное исследование этих частных решений показывает, что они совпадают с полученными в (4) и константа $b_{2}$ связана с $c_{1}$ простым соотношением.

Исследования § 28 могут быть продолжены до аналогичных результатов для случаев, когда не все собственные значения различны или не удовлетворяют условию (29), этот случай был нами исключен. Однако здесь мы не будем продолжать эти исследования.

И последняя тема в нашем обсуждении – возможность сингулярности в задаче трех тел из-за простых столкновений в моменты времени $t=t_{1}, t_{2}, \ldots$, последовательность $t_{i}$ убывает к 0 . Из рассуждений $\S 8$ следует, что в этом случае тройное столкновение должно произойти при $t=0$. Но рассуждения $\S 12$, соответствующим образом перенесенные на этот случай, показывают, что $(12 ; 7)$ снова будет истинным, и это противоречит тому, что $U=U(t)$, с другой стороны, должна равняться бесконечности при всех $t_{k}(k=1,2)$. Таким образом, расширяя результат, полученный в $\S 8$, мы доказали, что простые столкновения в задаче трех тел не могут накапливаться за конечное время, даже если все константы момента количества движения относительно неподвижного центра масс равны нулю.

На этом завершается наше исследование сингулярностей задачи трех тел. Ограничение на вещественнозначность $t$ существенно, и удовлетворительное продолжение этого анализа на комплексный случай выглядит безнадежным.