В предыдущем параграфе было показано, что эллиптическая неподвижная точка преобразования, сохраняющего площадь, не обязана быть устойчивой. В самом деле, мы построили противоречащие примеры для любого собственного значения $\lambda$, являющегося корнем из единицы.

Однако теперь мы хотим показать, что эти примеры в действительности представляют собой исключение. Как было замечено выше, возможный критерий устойчивости нельзя выразить только в терминах собственных значений $\lambda ,\mu$ линеаризованного преобразования, следует иметь в виду также и нелинейные члены. Ввиду сказанного в $\S 23$, где шла речь о формальной нормальной форме, мы можем предположить, что наше отображение имеет вид
$$\begin{array}{l}{r}_1=r\cos \omega -s\sin \omega +O_{2l+2},\\ s_1=r\sin \omega +s\cos \omega +O_{2l+2},\\ \omega =\sum _{k=0}^l{\gamma }_k{(r^2+s^2)}^k,\end{array}$$

где символ $O_{2l+2}$ обозначает сходящийся ряд по степеням $r,s$ с членами порядка $⩾2l+2$. Более точно, если $\lambda ,{\lambda }^2,\dots ,{\lambda }^{2l+2}eq1$, то всегда можно посредством сохраняющей площадь аналитической замены привести наше отображение к указанному виду.

Прежде чем получить ограничения на $\lambda =e^{i{\gamma }_0}$, мы выразим наш критерий устойчивости в терминах коэффициентов ${\gamma }_0,{\gamma }_1,\dots$, присутствующих в нормальной форме (1). Цель этого и следующего параграфов доказать, что если по крайней мере один из коэффициентов ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_l$ не равен нулю, то начало координат устойчиво относительно отображения (1). Из этого, конечно, следует, что для сохраняющего площадь отображения, у которого $\lambda ,{\lambda }^2,\dots ,{\lambda }^{2l+2}eq1$ и ${\gamma }_{l}eq0$ — первый не обращающийся в нуль коэффициент в нормальной форме, начало координат является устойчивой неподвижной точкой, ибо свойство устойчивости сохраняется относительно аналитического преобразования координат. Между прочим, именно при этих предположениях мы доказали в $\mathrm{\S }24$ теорему Биркгофа о неподвижной точке.

Если $\lambda$ не является корнем из единицы, то из этого результата следует устойчивость всякий раз, когда формальная нормальная форма не линейна, т.е. не все коэффициенты ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots$ обращаются в нуль. В этом случае, следуя Биркгофу, мы говорим о неподвижной точке общего эллиптического типа; альтернативный случай является, очевидно, исключительным. Мы можем поэтому сказать, что неподвижная точка общего эллиптического типа всегда устойчива. Для последующих применений важно заметить, что для фиксированного $l$ приходится исключать только конечное число корней из единицы и, следовательно, в конкретных примерах нужно проверять только конечное число условий. Например, если ${\lambda }^{3}eq1,{\lambda }^{4}eq1$ и ${\gamma }_{l}eq0$, то отображение устойчиво. Доказательство устойчивости в указанных условиях будет основано на теореме о существовании замкнутых инвариантных кривых, которая и составит содержание этого параграфа. В каждой окрестности неподвижной точки $O$ мы построим замкнутые инвариантные кривые, окружающие $O$; области, ограниченные этими кривыми, являются инвариантными окрестностями точки $O$. Таким образом, будет показано, что каждая окрестность неподвижной точки $O$ содержит инвариантную окрестность этой точки, а это, как мы уже видели в § 25, обеспечивает устойчивость.

Если пренебречь добавочными членами $O_{2l+2}$ в (1), то ясно, что такими инвариантными кривыми являются концентрические окружности, заданные равенством $r^2+s^2=$ const. Наша задача — показать, что некоторые из этих кривых, у которых $\omega /2\pi$ иррационально, могут быть продеформированы в инвариантные кривые и для самого отображения (1). Для успешной реализации этого подхода решающим обстоятельством оказывается изменение угла поворота в зависимости от изменения ралиуса ${(r^2+s^2)}^{\frac{1}{2}}$ кривой, а это в свою очерель гарантируется предположением ${\gamma }_{l}eq0$.

После этих предварительных замечаний мы сформулируем и докажем теорему о существовании таких инвариантных кривых в несколько более простой ситуации и вернемся к доказательству устойчивости отображения (1) в §3. Пусть $r,\theta$ обозначают полярные координаты на плоскости. Рассмотрим отображение
$${\theta }_1=\theta +\alpha (r),r_1=r$$

кольца $A:0⩽{\alpha }_0⩽r⩽b_0$ в себя.
Это отображение оставляет инвариантной каждую окружность с центром в начале координат, поворачивая ее на угол $\alpha (r)$, который, как мы предполагаем, увеличивается вместе с $r$, так что $\alpha (r)$ — монотонно возрастающая функция. Мы будем называть такое отображение закручивающим и будем изучать отображение $M$ :
$$\{\begin{array}{l}{\theta }_1=\theta +\alpha (r)+f(\theta ,r),\\ r_1=r+g(\theta ,r),\end{array}$$

близкое к закручивающему. Здесь предполагается, что $\alpha ,f,g$ — вещественно-аналитические ${}^1$ функции, имеющие период $2\pi$ по $\theta$. Для возмущенного отображения (2) мы хотим построить инвариантную кривую вида $r=\psi (\theta )=\psi (\theta +2\pi )$. Ясно, что одного условия малости $f$ и $g$ будет для этого недостаточно, в чем можно убедиться, беря в качестве $g$ маленькую положительную константу. В этом случае при применении отображения (2) $r$ всегда возрастает и замкнутой инвариантной кривой не существует. Вместо того чтобы требовать, что отображение сохраняет площадь, мы будем предполагать, что $M$ обладает следующим свойством пересечения: любая кривая $\mathrm{\Gamma }:r=\phi (\theta )=\phi (\theta +2\pi )$ всегда пересекается со своим образом $M$ Г. При этом предположении, а также при условии, что в кольце $a_0⩽r⩽b_0$ производная ${\alpha }^{\prime }(r)eq0$, а $f$ и $g$ малы, мы докажем существование в том же кольце инвариантной кривой. Заметим, что $M$ не обязано отображать кольцо в себя.

Чтобы упростить ситуацию, сделаем преобразование, превращающее $\alpha (r)$ в линейную функцию. Для этого полагаем $y=\frac{\alpha (r)}{\gamma }$, где $\gamma =$ $=|\alpha \left(b_0\right)-\alpha \left(a_0\right)|>0$ и $x=\theta$. В новых переменных наше преобразование примет вид
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x+\gamma y+f(x,y),\\ y_1=y+g(x,y),\end{array}$$

где $f$ и $g$ — вещественно-аналитические периодические по $x$ с периодом $2\pi$ функции, отличные, вообще говоря, от соответствующих функций в (2). Переменная $y$ изменяется в интервале $a⩽y⩽b$ длины $b-a=1$, в то время как параметр $\gamma$ измеряет длину интервала, в котором меняется угол $\alpha (r)$. Мы можем предположить, что $\gamma ⩽1$, так как этого всегда можно добиться соответствующим ограничением нашего первоначального кольца. Поэтому будем считать, что $\alpha (r)$ меняется на интервале длины $⩽1$.

Вещественно-аналитические функции $f,g$ могут быть продолжены в комплексную область $\mathfrak{D}$, которую мы можем выбрать в виде
$$\mathfrak{D}:|\mathrm{Im}x|<r_0;y\in {\mathfrak{D}}^{\prime },$$

где ${\mathfrak{D}}^{\prime }-$ комплексная окрестность отрезка $a⩽y⩽b$. Кроме того, мы по-прежнему предполагаем, что каждая кривая $y=\phi (x)=\phi (x+2\pi )$
1 Здесь и далее этим термином обозначаются функции, аналитические в некоторой области $U\subset {\mathbf{C}}^n$, пересекающейся с вещественным подпространством ${\mathbf{R}}^n\subset {\mathbf{C}}^n$, и принимающие на ${\mathbf{R}}^n\cap U$ вещественные значения. — Прим. ред.

пересекается со своим образом относительно отображения (3), а также считаем выполненным неравенство $0<r_0⩽1$.
При этих предположениях справедлива следующая теорема.
Для каждого положительного є существует положительное $\delta$, зависящее от $\epsilon$ и $\mathfrak{D}$, но не зависящее от $\gamma$, такое, что если в области $\mathfrak{D}$
$$|f|=|g|<\gamma \delta ,$$

то отображение $M$ вида (3) имеет инвариантную кривую
$$x=\xi +u(\xi ),y=v(\xi ),$$

где $u,v$ — вещественно-аналитические в комплексной области $|\mathrm{Im}\xi |<\frac{r_0}{2}$ функиии, имеющие период $2\pi$.

Более того, параметризация кривой (5) может быть выбрана так, чтобы индуцированное на этой кривой отображение имело вид
$${\xi }_1=\xi +\omega ,$$

где $\omega$ — несоизмеримая с $2\pi$ константа, и чтобы функиии $и$, $v$ удовлетворяли неравенству
$$|u|+|v-{\gamma }^{-1}\omega |<\epsilon$$

Прежде чем обратиться к доказательству этой теоремы, которое будет проведено в этом и следующем параграфах, покажем, что можно построить формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую, предполагая, что функции $f,g$ в (3) аналитически зависят от параметра $\lambda$. Пусть
$$f=\sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^u{f}_u(x,y),g=\sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^u{g}_u(x,y)$$

потребуем, чтобы свойство пересечения выполнялось при действительных $\lambda$, достаточно малых по абсолютной величине, и попытаемся определить функции $u=u(\xi ,\lambda ),v=v(\xi ,\lambda )$ в (5) при помощи разложения в степенные ряды. Дополнительное требование о характере индуцированного отображения на кривой (5) означает, что
$$x_1=\xi +\omega +u(\xi +\omega ,\lambda ),y_1=v(\xi +\omega ,\lambda ),$$

и приводит к функциональным уравнениям
$$\begin{array}{l}u(\xi +\omega ,\lambda )=u+\gamma v-\omega +f(\xi +u,v,\lambda )\\ v(\xi +\omega ,\lambda )=v+g(\xi +u,v,\lambda )\end{array}$$

для $u,v$. Полагая
$$u=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{u}_n(\xi ),u=\omega {\gamma }^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{v}_n(\xi ),$$

мы получаем для $u_n,v_n$ уравнения
$$\begin{array}{l}{u}_n(\xi +\omega )-u_n(\xi )-\gamma v_n(\xi )=F_n(\xi ),(n=1,2,\dots )\\ v_n(\xi +\omega )-v_n(\xi )=G_n(\xi ),\end{array}$$

где
$$F_n(\xi )-f_n(\xi ,\omega {\gamma }^{-1}),G_n(\xi )-g_n(\xi ,\omega {\gamma }^{-1})$$

зависят только от членов $f_l,g_l,u_l,v_l$ с индексами $l<n$, которые мы можем рассматривать как уже известные. Мы ищем решения $u_n,v_n$ периода $2\pi$, предполагая, что $G_n,F_n$ имеют тот же самый период и вещественно-аналитичны. Ясно, что такое решение может существовать, только если среднее значение $G_n$ равно нулю; выполнение этого условия, как мы покажем вскоре, есть следствие свойства пересечения. Предполагая на время, что это так, мы приступаем к решению написанных выше уравнений, используя разложения в ряды Фурье. Не обращая внимание на индекс $n$, мы обозначаем коэффициенты Фурье функций $u_n,v_n,F_n,G_n$ через ${\hat{u}}_k,{\hat{v}}_k,{\hat{F}}_k,{\hat{G}}_k(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$ и получаем для них уравнения
$$e^{ik\omega }{\hat{u}}_k-{\hat{u}}_k-\gamma {\hat{v}}_k={\hat{F}}_k,e^{ik\omega }{\hat{v}}_k-{\hat{v}}_k={\hat{G}}_k$$

Из второго уравнения находим
$${\hat{v}}_k=\frac{{\hat{G}}_k}{e^{ik\omega }-1}(keq0),$$

при условии что знаменатели не обращаются в нуль, что будет выполнено, если $\omega /2\pi$ иррационально. При $k=0$ правая часть ${\hat{G}}_0$ есть среднее значение функции $G_n$, которое по предположению равно 0 , так что второе уравнение не налагает никаких ограничений на выбор ${\hat{v}}_0$, в то время как первое уравнение трєбует, чтобы мы взяли
$${\hat{v}}_0=-{\hat{F}}_0{\gamma }^{-1}\text{. }$$

Наконец, из первого уравнения находим коэффициенты Фурье функции $u_n$ :
$${\hat{u}}_k=\frac{\gamma {\hat{v}}_k+{\hat{F}}_k}{e^{ik\omega }-1}=\frac{{\hat{F}}_k}{e^{ik\omega }-1}+\frac{\gamma {\hat{G}}_k}{{(e^{ik\omega }-1)}^2}(keq0),$$

а ${\hat{u}}_0$ остается произвольным. Полученные таким образом ряды Фурье функций $u_n,v_n$ будут действительными при действительных значениях аргументов.

Эти формальные ряды Фурье на самом деле оказываются сходящимися в том случае, когда знаменатели $e^{ik\omega }-1$ не приближаются к нулю слишком быстро. При условии аналитичности $F_n,G_n$ сходимость будет обеспечена, если потребовать, чтобы $\omega /2\pi$ удовлетворяло такому же арифметическому условию, как число $\alpha$ в «теоретико-функциональной проблеме центра». В самом деле, в этом случае ${|e^{ik\omega }-1|}^{-2}$ мажорируется степенью $k$, в то время как коэффициенты Фурье аналитических функций убывают экспоненциально, так что ряды Фурье для $u_n,v_n$ будут сходиться и их суммы будут вещественно-аналитическими. Мы придадим этому более точный смысл, когда перейдем непосредственно к доказательству сходимости. Пока же по указанным выше соображениям будем считать $\omega /2\pi$ иррациональным и, более того, удовлетворяющим приведенному далее арифметическому условию (6).

Покажем теперь, что среднее значение $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{G}_{n}d\xi$ действительно обращается в нуль при всех $n>0$. Предположим, что это не так, и пусть $n$ — наименьший индекс, для которого величина $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{G}_{n}d\xi =m$ отлична от 0 .

Заменив $g$ на $g-m{\lambda }^n$, мы будем иметь вместо $G_n$ новую функцию $G_n-m$ со средним значением 0 , а тогда можно построить усеченные ряды
$$\tilde{u}=\sum _{u=1}^n{\lambda }^u{u}_u,\tilde{v}=\omega {\gamma }^{-1}+\sum _{u=1}^n{\lambda }^u{v}_u$$

так, что члены порядка $⩽n$ будут удовлетворять нашим предыдущим уравнениям. Геометрически это означает, что кривая
$$x=\xi +\tilde{u}(\xi ,\lambda ),y=\tilde{v}(\xi ,\lambda )$$

отображается в кривую
$$\begin{array}{l}{x}_1=\xi +\tilde{u}+\gamma \tilde{v}+f(\xi +\tilde{u},\tilde{v},\lambda )=\xi +\omega +\tilde{u}(\xi +\omega ,\lambda )+O\left({\lambda }^{n+1}\right),\\ y_1=\tilde{v}(\xi ,\lambda )+g(\xi +\tilde{u},\tilde{v},\lambda )=\tilde{v}(\xi -\omega ,\lambda )+m{\lambda }^n+O\left({\lambda }^{n+1}\right).\end{array}$$

Если первоначальная кривая и ее образ пересекаются при всех действительных $\lambda$, то должны существовать значения параметров $\xi ,{\xi }^{\prime }$, такие, что
$$\begin{array}{rl}\xi +\tilde{u}(\xi ,\lambda )& ={\xi }^{\prime }+\tilde{u}({\xi }^{\prime },\lambda )+O\left({\lambda }^{n+1}\right),\\ \tilde{v}(\xi ,\lambda )& =\tilde{v}({\xi }^{\prime },\lambda )+m{\lambda }^n+O\left({\lambda }^{n+1}\right).\end{array}$$

Первое из этих уравнений, однако, приводит к тому, что ${\xi }^{\prime }=\xi +$ $+O\left({\lambda }^{n+1}\right)$, а тогда из второго следует равенство $m=0$, которое противоречит нашему предположению.

Подводя итог сказанному, мы приходим к выводу, что если выбрать число $\omega /2\pi$ удовлетворяющим арифметическому условию и потребовать выполнения свойства пересечения для нашего отображения, то мы получим формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую. К сожалению, в общем случае сходимость этих рядов для $u,v$ проверить не удается, и нам придется поэтому поступить по-другому.

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы, которое мы сначала проведем для случая $\gamma =1$. В основе этого доказательства лежит быстро сходящаяся итерационная схема, предложенная Колмогоровым в родственной ситуации и уже примененная нами к более простой задаче в §26. Эта схема представляет собой последовательность преобразований координат, которые упрощают данное отображение. Применительно к рассматриваемой ситуации мы попытаемся построить последовательность отображений, все более близких к закручивающему отображению $x\to x+y,y\to y$, за счет уменьшения добавочных членов $f$ и $g$ в (3). Это будет достигнуто с помощью бесконечной последовательности замен координат, причем области определения этих координат будут круговыми кольцами, стягивающимися к искомой кривой.

Прежде всего для $0<s_0<\frac{1}{4}$ выберем $\omega$ в интервале
$$a+s_0<\omega <b-s_0$$

так, чтобы удовлетворить бесконечному числу неравенств
$$|\frac{\omega }{2\pi }q-p|⩾\frac{c_0}{q^{\mu }}(p,q=1,2,\dots ).$$

Здесь $c_0$ — положительная константа. Для $\mu ⩾2$ существование таких $\omega$ и $c_0$ доказано в конце $\mathrm{\S }25$. С этого момента зафиксируем $\omega$ и $c_0$.

Основной шаг итерационной схемы содержится в лемме, которая приведена ниже. Вместе с тем важную роль будут играть оценки различных величин в комплексной плоскости. Отображение (3) мы будем рассматривать в комплексной области
$$\mathfrak{A}:|\mathrm{Im}x|<r;|y-\omega |<s,$$

предполагая, что в ней
$$|f|+|g|<d.$$

Здесь $r,s,d$ — положительные константы, удовлетворяющие некоторым ограничениям, приведенным ниже.
Внутри $\mathfrak{A}$ будет рассмотрена меньшая область
$$\mathfrak{B}:|\mathrm{Im}\xi |<\rho ;|\eta -\omega |<\sigma ,$$

где $0<\rho <r,0<\sigma <s$, и три промежуточные области
$${\mathfrak{A}}^{(u)}:\{\begin{array}{l}|\mathrm{Im}x|<r^{(u)}=r-\frac{r-\rho }{4}u;\\ |y-\omega |<s^{(u)}=s-\frac{s-\sigma }{4}u,\end{array}(u=1,2,3),$$

такие, что
$$\mathfrak{A}\supset {\mathfrak{A}}^{(1)}\supset {\mathfrak{A}}^{(2)}\supset {\mathfrak{A}}^{(3)}\supset \mathfrak{B}.$$

Мы предполагаем, что
$$0<r⩽1,0<3\sigma <s<\frac{r-\rho }{4},d<\frac{s}{6},$$

и требуем, чтобы
$$\theta =c_3(r-\rho {)}^{-2(\mu +1)}\frac{d}{s}<\frac{1}{7},$$

где $c_3$ — положительная константа, которая определяется ниже и зависит только от $c_0$ и показателя $\mu$ в (6). В дальнейшем через $c_1,c_2,\dots ,c_6$ обозначаются некоторые положительные константы, точные значения которых мы указывать не будем, предполагая, однако, что они зависят только от $c_0,\mu$.
Теперь мы в состоянии сформулировать нашу лемму.
При выполнении описанных выше предположений для отображения $M$, задаваемого формулами (3) $c\gamma =1$, существует преобразование координат $U$ вида
$$x=\xi +u(\xi ,\eta ),y=\eta +v(\xi ,\eta ),$$

где $и,v$ — вещественно-аналитические в ${\mathfrak{A}}^{(1)}$ функции периода $2\pi$ по $\xi$, такое, что преобразованное отображение $U^{-1}MU$ имеет вид
$${\xi }_1=\xi +\eta +\phi (\xi ,\eta ),{\eta }_1=\eta +\psi (\xi ,\eta ),$$

причем $\phi ,\psi$ — вещественно-аналитические функции, определенные в области $\mathfrak{B}$, где они удовлетворяют оценке
$$|\phi |+|\psi |<c_6\{(r-\rho {)}^{\varkappa }(\frac{d^2}{s}+sd)+{\left(\frac{\sigma }{s}\right)}^{2}d\}$$

при $\varkappa =2\mu +3$.
Более точно: $U$ отображает $\mathfrak{B}$ в ${\mathfrak{A}}^{(3)}$, $M$ преобразует ${\mathfrak{A}}^{(3)}$ в ${\mathfrak{A}}^{(2)}$ $u{U}^{-1}$ преобразует ${\mathfrak{A}}^{(2)}$ в ${\mathfrak{A}}^{(1)}$, так чпо отображение $U^{-1}MU$ полностью определено в $\mathfrak{B}$. Более того, в ${\mathfrak{A}}^{(1)}$ функиии и, v удовлетворяют неравенству
$$|u|+|v|<\vartheta s,$$

где $\theta$ — величина, определенная в (11).
Откладывая доказательство леммы до следующего параграфа, используем ее теперь для доказательства теоремы о существовании инвариантной кривой. Для достижения цели эта лемма будет применяться последовательно бесконечное число раз, начиная с данного отображения (3), обозначаемого теперь через $M_0=M$, и ограниченной области
$${\mathfrak{A}}_0:|\mathrm{Im}x|<r_0;|y-\omega |<s_0,$$

которая при достаточно малом $s_0$ содержится в области $\mathfrak{D}$, определенной в (4).

Согласно предположению,
$$|f|+g\mid <\delta ,$$

где $\delta$ может быть выбрано достаточно малым; в соответствии с обозначениями леммы полагаем $\delta =d_0$. Преобразуя по лемме отображение $M_0$ с помощью замены координат $U=U_0$, мы получаем отображение $M_1=$ $=U_0^{-1}{M}_0{U}_0$, определенное в области
$${\mathfrak{A}}_1:|\mathrm{Im}x|<r_1;|y-\omega |<s_1,$$

где $r_1,s_1$ соответствуют параметрам $\rho ,\sigma$ в формулировке леммы. Применяя лемму к новому отображению $M_1$, мы получаем другую замену координат $U_1$ и преобразованное отображение $M_2=U_1^{-1}M{U}_1$. Поступая таким образом и далее, мы приходим к последовательности отображений
$$M_{n+1}=U_n^{-1}{M}_n{U}_n(n=0,1,\dots ),$$

области определения ${\mathfrak{A}}_{n+1}$ которых задаются, как и область $\mathfrak{A}$, неравенствами (7), если заменить в них $r,s$ на $r_{n+1},s_{n+1}$. Нам придется проверить, конечно, что эта последовательность преобразований корректно определена и что $M_n$ все менее отличается от закручивающего отображения. Для этого мы фиксируем величины $r_n,s_n,d_n(n=0,1,\dots )$, полагая
$$r_n=\frac{r_0}{2}(1+\frac{1}{2^n}),s_n=d_n^{2/3},d_{n+1}=r_0^{-\varkappa }{c}_7^{n+1}{d}_n^{4/3},$$

где $c_7⩾2$ — подходящим образом выбранная константа. Таким образом, $r_n$ образуют убывающую последовательность, сходящуюся к положительному числу $r_0/2$, и все рассматриваемые функции будут аналитичны по $\xi$ при $|\mathrm{Im}\xi |<\frac{r_0}{2}$. Последовательность $d_n$ сходится к 0 при условии, что $d_0$ выбрано достаточно малым. В самом деле, последовательность $e_n=r_0^{-3\varkappa }{c}_7^{3(n+4)}{d}_n$ удов.тетворяет условию
$$e_{n+1}=e_n^{4/3}$$

и поэтому сходится к нулю, если положить $0⩽e_0<1$ или $0⩽d_0<r_0^{3\varkappa }{c}_7^{-12}$.

Чтобы показать, что отображение $M_n$ корректно определено в ${\mathfrak{A}}_n$ и удовлетворяет там подходящей оценке, воспользуемся индукцией.

Предполагая, что $M_n$ определено в ${\mathfrak{A}}_n$ и удовлетворяет там оценке
$$|f|+|g|<d_n,$$

мы проверим соответствующие утверждения для $M_{n+1}$. Для этого применим лемму, полагая $r=r_n,s=s_n,d=d_n,\rho =r_{n+1},\sigma =$ $=s_{n+1}$. Прежде всего необходимо проверить, конечно, выполнение неравенств (10), (11). Неравенство $3\sigma <s$ следует из
$${\left(\frac{s_{n+1}}{s_n}\right)}^{3/2}=\frac{d_{n+1}}{d_n}=c_7^{-3}{e}_n^{1/3}⩽c_7^{-3}⩽\frac{1}{8},$$

а так как $d_n$ стремится к 0 быстрее экспоненты, в то время как
$$r-\rho =r_n-r_{n+:}=r_0{2}^{-n-2}$$

убывает только экспоненциально, то и вся средняя цепочка неравенств в (10) будет выполняться при достаточно малом $d_0$. Ясно также, что последнее неравенство из (10) может быть удовлетворено, если положить подходящее ограничение на $d_0$, в то время как для $\theta ={\theta }_n$ в (11) мы имеем
$${\theta }_n=c_3{(r_n-r_{n+1})}^{-2\mu -2}{d}_n^{1/3},$$

и эта величина также может быть сделана меньше $\frac{1}{7}$, если выбрать $d_0$ малым. Таким образом, существует положительная константа $d^{\ast }=$ $=d^{\ast }(r_0,c_0,\mu )$, такая, что при $d_0<d^{\times }$выполняются неравенства (10), (11), и лемма применима. Она доставляет нам замену $U_n$, преобразующую $\mathfrak{B}={\mathfrak{A}}_{n+1}$ в $\mathfrak{A}={\mathfrak{A}}_n$, и преобразованное отображение $M_{n+1}=$ $=U_n^{-1}{M}_n{U}_n$, определенное в ${\mathfrak{A}}_{n+1}$. Более того, согласно лемме $M_{n+1}$ может быть представлено в виде (13), а из (14) мы получаем оценку
$$\begin{array}{rl}|\phi |+|\psi |& <c_6\{{(r_n-r_{n+1})}^{-\varkappa }(d_n^{4/3}+d_n^{5/3})+{\left(\frac{d_{n+1}}{d_n}\right)}^{4/3}{d}_n\}=\\ & =c_6\{{(r_n-r_{n+1})}^{-\varkappa }{d}_n^{4/3}(1+d_n^{1/3})+{\left(\frac{d_{n+1}}{d_n}\right)}^{1/3}{d}_{n+1}\},\end{array}$$

которая в силу (17), (18) сводится к
$$\begin{array}{rl}|\phi |+|\psi |& ⩽c_6\{2^{\varkappa (n+2)}{c}_7^{-n-1}(1+d_n^{1/3})+{\left(\frac{d_{n+1}}{d_n}\right)}^{1/3}\}{d}_{n+1}⩽\\ & ⩽c_6\{2^{\varkappa }{\left(2^{\varkappa }{c}_7^{-1}\right)}^{n+1}(1+d_n^{1/3})+c_7^{-1}\}{d}_{n+1}.\end{array}$$

Так как последовательность $d_n$ ограничена, то коэффициент при $d_{n+1}$ в последнем неравенстве может быть сделан меньше 1 , если константу $c_7$ выбрать большой.
Отсюда
$$|\phi |+|\psi |<d_{n+1},$$

чем индукция и завершается.
Так как $U_k$ отображает область ${\mathfrak{A}}_{k+1}$ в ${\mathfrak{A}}_k(k=0,1,2,\dots )$, то преобразование $V_n=U_0{U}_1\dots U_n$ коррєктно определено в ${\mathfrak{A}}_{n+1}$ и, очевидно, переводит $M_0$ в
$$M_{n+1}=V_n^{-1}{M}_0{V}_n.$$

Кроме того, если мы выразим $V_n$ в виде
$$x=\xi +p_n(\xi ,\eta ),y=\eta +q_n(\xi ,\eta ),$$

то $p_n,q_n$ будут аналитическими функциями в области ${\mathfrak{A}}_{n+1}$. Эта последняя стягивается к области
$$|\mathrm{Im}\xi |<\frac{r_0}{2},|\eta -\omega |=0,$$

поскольку $s_n\to 0,r_n\to r_0/2$.
Покажем, что последовательности $p_n(\xi ,\omega ),q_n(\xi ,\omega )$ сходятся к аналитическим по $\xi$ в области $|\mathrm{Im}\xi |<\frac{r_0}{2}$ функциям при $n\to \mathrm{\infty }$.
В самом деле, из равенства $V_n=V_{n-1}{U}_n$ следует, что
$$\begin{array}{l}{p}_n=u_n+p_{n-1}(\xi +u_n,\eta +v_n),\\ q_n=v_n+q_{n-1}(\xi +u_n,\eta +v_n),\end{array}$$

где функции $u_n,v_n$ соответствуют отображению $U_n$ так же, как функции $u,v$ в равенстве (12) — отображению $U$, и, следовательно,
$$\begin{array}{l}{p}_n=u_n+u_{n-1}+\dots +u_0,\\ q_n=v_n+v_{n-1}+\dots +v_0.\end{array}$$

В членах последних двух сумм не указаны аргументы; хотя они различны, но для доказательства сходимости это не существенно, так как можно оценить верхние грани модулей $\left|u_n\right|,\left|v_n\right|$ в ${\mathfrak{A}}_{n+1}$. А именно из (15) следует, что
$$\left|u_n\right|+\left|v_n\right|<{\vartheta }_n{s}_n<\frac{1}{7}{s}_n,$$

и это приводит к равномерной сходимости функций $p_n,q_n$ в области $|\mathrm{Im}\xi |<r_0/2$ при $\eta =\omega$. Пределы функций $p_n$ и $q_n$, которые мы обозначаем через $u(\xi )$ и $v(\xi )-\omega$ соответственно, являются вещественно-аналитическими функциями при $|\mathrm{Im}\xi |<r_0/2$ и имеют период $2\pi$ по $\xi$. В силу неравенства $s_{n+1}<\frac{1}{3}{s}_n$ получаем
$$\left|p_n\right|+\left|q_n\right|<\frac{1}{7}\sum _{u=0}^n{s}_u<\frac{1}{7}\sum _{u=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^u}{s}_0<s_0$$

выберем теперь $d_0=s_0^{3/2}$ настолько малым, чтобы выполнялось неравенство $s_0<\epsilon$. Таким образом, существует положительное $\delta =$ $=\delta (\epsilon ,r_0,c_0,\omega )<d^{\ast }$, такое, что для $d_0<\delta$
$$|u|+|v-\omega |<\epsilon$$

при $|\mathrm{Im}\xi |<r_0/2$, что и утверждалось в теореме. Это $\delta$ может быть использовано в качестве константы, ограничивающей величину $|f|+|g|$. Чтобы проверить, что $u(\xi ),v(\xi )$ — искомые функции, описывающие инвариантную кривую, перейдем к пределу в соотношении
$$V_n{M}_{n+1}=M_0{V}_n$$

при $n\to \mathrm{\infty }$. Так как $d_{n+1}\to 0$, то $M_{n+1}$ сходится к закручивающему отображению ${\xi }_1=\xi +\eta ,{\eta }_1=\eta +\omega$, в то время как сходимость $V_n$ мы только что установили. Следовательно, в пределе получаем соотношения
$$\begin{array}{rl}\xi +\omega +u(\xi +\omega )& =\xi +u(\xi )+v(\xi )+f(\xi +u,v)\\ v(\xi +\omega )& =v(\xi )+g(\xi +u,v)\end{array}$$

которые в точности и означают, что кривая (5) инвариантна относительно $M_0$ и что индуцированное на ней отображение имеет вид
$${\xi }_1=\xi +\eta =\xi +\omega$$

Этим и завершается доказательство нашей теоремы о существовании инвариантной кривой в случае $\gamma =1$, если не считать леммы, которая будет доказана в следующем параграфе.