В предыдущем параграфе было показано, что эллиптическая неподвижная точка преобразования, сохраняющего площадь, не обязана быть устойчивой. В самом деле, мы построили противоречащие примеры для любого собственного значения $\lambda$, являющегося корнем из единицы.

Однако теперь мы хотим показать, что эти примеры в действительности представляют собой исключение. Как было замечено выше, возможный критерий устойчивости нельзя выразить только в терминах собственных значений $\lambda, \mu$ линеаризованного преобразования, следует иметь в виду также и нелинейные члены. Ввиду сказанного в $§ 23$, где шла речь о формальной нормальной форме, мы можем предположить, что наше отображение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=r \cos \omega-s \sin \omega+O_{2 l+2}, \\
s_{1}=r \sin \omega+s \cos \omega+O_{2 l+2}, \\
\omega=\sum_{k=0}^{l} \gamma_{k}\left(r^{2}+s^{2}\right)^{k},
\end{array}
\]

где символ $O_{2 l+2}$ обозначает сходящийся ряд по степеням $r, s$ с членами порядка $\geqslant 2 l+2$. Более точно, если $\lambda, \lambda^{2}, \ldots, \lambda^{2 l+2}
eq 1$, то всегда можно посредством сохраняющей площадь аналитической замены привести наше отображение к указанному виду.

Прежде чем получить ограничения на $\lambda=e^{i \gamma_{0}}$, мы выразим наш критерий устойчивости в терминах коэффициентов $\gamma_{0}, \gamma_{1}, \ldots$, присутствующих в нормальной форме (1). Цель этого и следующего параграфов доказать, что если по крайней мере один из коэффициентов $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}, \ldots, \gamma_{l}$ не равен нулю, то начало координат устойчиво относительно отображения (1). Из этого, конечно, следует, что для сохраняющего площадь отображения, у которого $\lambda, \lambda^{2}, \ldots, \lambda^{2 l+2}
eq 1$ и $\gamma_{l}
eq 0$ – первый не обращающийся в нуль коэффициент в нормальной форме, начало координат является устойчивой неподвижной точкой, ибо свойство устойчивости сохраняется относительно аналитического преобразования координат. Между прочим, именно при этих предположениях мы доказали в $\S 24$ теорему Биркгофа о неподвижной точке.

Если $\lambda$ не является корнем из единицы, то из этого результата следует устойчивость всякий раз, когда формальная нормальная форма не линейна, т.е. не все коэффициенты $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots$ обращаются в нуль. В этом случае, следуя Биркгофу, мы говорим о неподвижной точке общего эллиптического типа; альтернативный случай является, очевидно, исключительным. Мы можем поэтому сказать, что неподвижная точка общего эллиптического типа всегда устойчива. Для последующих применений важно заметить, что для фиксированного $l$ приходится исключать только конечное число корней из единицы и, следовательно, в конкретных примерах нужно проверять только конечное число условий. Например, если $\lambda^{3}
eq 1, \lambda^{4}
eq 1$ и $\gamma_{l}
eq 0$, то отображение устойчиво. Доказательство устойчивости в указанных условиях будет основано на теореме о существовании замкнутых инвариантных кривых, которая и составит содержание этого параграфа. В каждой окрестности неподвижной точки $O$ мы построим замкнутые инвариантные кривые, окружающие $O$; области, ограниченные этими кривыми, являются инвариантными окрестностями точки $O$. Таким образом, будет показано, что каждая окрестность неподвижной точки $O$ содержит инвариантную окрестность этой точки, а это, как мы уже видели в § 25, обеспечивает устойчивость.

Если пренебречь добавочными членами $O_{2 l+2}$ в (1), то ясно, что такими инвариантными кривыми являются концентрические окружности, заданные равенством $r^{2}+s^{2}=$ const. Наша задача – показать, что некоторые из этих кривых, у которых $\omega / 2 \pi$ иррационально, могут быть продеформированы в инвариантные кривые и для самого отображения (1). Для успешной реализации этого подхода решающим обстоятельством оказывается изменение угла поворота в зависимости от изменения ралиуса $\left(r^{2}+s^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ кривой, а это в свою очерель гарантируется предположением $\gamma_{l}
eq 0$.

После этих предварительных замечаний мы сформулируем и докажем теорему о существовании таких инвариантных кривых в несколько более простой ситуации и вернемся к доказательству устойчивости отображения (1) в §3. Пусть $r, \theta$ обозначают полярные координаты на плоскости. Рассмотрим отображение
\[
\theta_{1}=\theta+\alpha(r), \quad r_{1}=r
\]

кольца $A: 0 \leqslant \alpha_{0} \leqslant r \leqslant b_{0}$ в себя.
Это отображение оставляет инвариантной каждую окружность с центром в начале координат, поворачивая ее на угол $\alpha(r)$, который, как мы предполагаем, увеличивается вместе с $r$, так что $\alpha(r)$ – монотонно возрастающая функция. Мы будем называть такое отображение закручивающим и будем изучать отображение $M$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
\theta_{1}=\theta+\alpha(r)+f(\theta, r), \\
r_{1}=r+g(\theta, r),
\end{array}\right.
\]

близкое к закручивающему. Здесь предполагается, что $\alpha, f, g$ – вещественно-аналитические ${ }^{1}$ функции, имеющие период $2 \pi$ по $\theta$. Для возмущенного отображения (2) мы хотим построить инвариантную кривую вида $r=\psi(\theta)=\psi(\theta+2 \pi)$. Ясно, что одного условия малости $f$ и $g$ будет для этого недостаточно, в чем можно убедиться, беря в качестве $g$ маленькую положительную константу. В этом случае при применении отображения (2) $r$ всегда возрастает и замкнутой инвариантной кривой не существует. Вместо того чтобы требовать, что отображение сохраняет площадь, мы будем предполагать, что $M$ обладает следующим свойством пересечения: любая кривая $\Gamma: r=\varphi(\theta)=\varphi(\theta+2 \pi)$ всегда пересекается со своим образом $M$ Г. При этом предположении, а также при условии, что в кольце $a_{0} \leqslant r \leqslant b_{0}$ производная $\alpha^{\prime}(r)
eq 0$, а $f$ и $g$ малы, мы докажем существование в том же кольце инвариантной кривой. Заметим, что $M$ не обязано отображать кольцо в себя.

Чтобы упростить ситуацию, сделаем преобразование, превращающее $\alpha(r)$ в линейную функцию. Для этого полагаем $y=\frac{\alpha(r)}{\gamma}$, где $\gamma=$ $=\left|\alpha\left(b_{0}\right)-\alpha\left(a_{0}\right)\right|>0$ и $x=\theta$. В новых переменных наше преобразование примет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=x+\gamma y+f(x, y), \\
y_{1}=y+g(x, y),
\end{array}\right.
\]

где $f$ и $g$ – вещественно-аналитические периодические по $x$ с периодом $2 \pi$ функции, отличные, вообще говоря, от соответствующих функций в (2). Переменная $y$ изменяется в интервале $a \leqslant y \leqslant b$ длины $b-a=1$, в то время как параметр $\gamma$ измеряет длину интервала, в котором меняется угол $\alpha(r)$. Мы можем предположить, что $\gamma \leqslant 1$, так как этого всегда можно добиться соответствующим ограничением нашего первоначального кольца. Поэтому будем считать, что $\alpha(r)$ меняется на интервале длины $\leqslant 1$.

Вещественно-аналитические функции $f, g$ могут быть продолжены в комплексную область $\mathfrak{D}$, которую мы можем выбрать в виде
\[
\mathfrak{D}:|\operatorname{Im} x|<r_{0} ; \quad y \in \mathfrak{D}^{\prime},
\]

где $\mathfrak{D}^{\prime}-$ комплексная окрестность отрезка $a \leqslant y \leqslant b$. Кроме того, мы по-прежнему предполагаем, что каждая кривая $y=\varphi(x)=\varphi(x+2 \pi)$
1 Здесь и далее этим термином обозначаются функции, аналитические в некоторой области $U \subset \mathbf{C}^{n}$, пересекающейся с вещественным подпространством $\mathbf{R}^{n} \subset \mathbf{C}^{n}$, и принимающие на $\mathbf{R}^{n} \cap U$ вещественные значения. – Прим. ред.

пересекается со своим образом относительно отображения (3), а также считаем выполненным неравенство $0<r_{0} \leqslant 1$.
При этих предположениях справедлива следующая теорема.
Для каждого положительного є существует положительное $\delta$, зависящее от $\varepsilon$ и $\mathfrak{D}$, но не зависящее от $\gamma$, такое, что если в области $\mathfrak{D}$
\[
|f|=|g|<\gamma \delta,
\]

то отображение $M$ вида (3) имеет инвариантную кривую
\[
x=\xi+u(\xi), \quad y=v(\xi),
\]

где $u, v$ – вещественно-аналитические в комплексной области $|\operatorname{Im} \xi|<\frac{r_{0}}{2}$ функиии, имеющие период $2 \pi$.

Более того, параметризация кривой (5) может быть выбрана так, чтобы индуцированное на этой кривой отображение имело вид
\[
\xi_{1}=\xi+\omega,
\]

где $\omega$ – несоизмеримая с $2 \pi$ константа, и чтобы функиии $и$, $v$ удовлетворяли неравенству
\[
|u|+\left|v-\gamma^{-1} \omega\right|<\varepsilon
\]

Прежде чем обратиться к доказательству этой теоремы, которое будет проведено в этом и следующем параграфах, покажем, что можно построить формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую, предполагая, что функции $f, g$ в (3) аналитически зависят от параметра $\lambda$. Пусть
\[
f=\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda^{
u} f_{
u}(x, y), \quad g=\sum_{
u=1}^{\infty} \lambda^{
u} g_{
u}(x, y)
\]

потребуем, чтобы свойство пересечения выполнялось при действительных $\lambda$, достаточно малых по абсолютной величине, и попытаемся определить функции $u=u(\xi, \lambda), v=v(\xi, \lambda)$ в (5) при помощи разложения в степенные ряды. Дополнительное требование о характере индуцированного отображения на кривой (5) означает, что
\[
x_{1}=\xi+\omega+u(\xi+\omega, \lambda), \quad y_{1}=v(\xi+\omega, \lambda),
\]

и приводит к функциональным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
u(\xi+\omega, \lambda)=u+\gamma v-\omega+f(\xi+u, v, \lambda) \\
v(\xi+\omega, \lambda)=v+g(\xi+u, v, \lambda)
\end{array}
\]

для $u, v$. Полагая
\[
u=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^{n} u_{n}(\xi), \quad u=\omega \gamma^{-1}+\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^{n} v_{n}(\xi),
\]

мы получаем для $u_{n}, v_{n}$ уравнения
\[
\begin{array}{l}
u_{n}(\xi+\omega)-u_{n}(\xi)-\gamma v_{n}(\xi)=F_{n}(\xi), \quad(n=1,2, \ldots) \\
v_{n}(\xi+\omega)-v_{n}(\xi)=G_{n}(\xi),
\end{array}
\]

где
\[
F_{n}(\xi)-f_{n}\left(\xi, \omega \gamma^{-1}\right), \quad G_{n}(\xi)-g_{n}\left(\xi, \omega \gamma^{-1}\right)
\]

зависят только от членов $f_{l}, g_{l}, u_{l}, v_{l}$ с индексами $l<n$, которые мы можем рассматривать как уже известные. Мы ищем решения $u_{n}, v_{n}$ периода $2 \pi$, предполагая, что $G_{n}, F_{n}$ имеют тот же самый период и вещественно-аналитичны. Ясно, что такое решение может существовать, только если среднее значение $G_{n}$ равно нулю; выполнение этого условия, как мы покажем вскоре, есть следствие свойства пересечения. Предполагая на время, что это так, мы приступаем к решению написанных выше уравнений, используя разложения в ряды Фурье. Не обращая внимание на индекс $n$, мы обозначаем коэффициенты Фурье функций $u_{n}, v_{n}, F_{n}, G_{n}$ через $\widehat{u}_{k}, \widehat{v}_{k}, \widehat{F}_{k}, \widehat{G}_{k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ и получаем для них уравнения
\[
e^{i k \omega} \widehat{u}_{k}-\widehat{u}_{k}-\gamma \widehat{v}_{k}=\widehat{F}_{k}, \quad e^{i k \omega} \widehat{v}_{k}-\widehat{v}_{k}=\widehat{G}_{k}
\]

Из второго уравнения находим
\[
\widehat{v}_{k}=\frac{\widehat{G}_{k}}{e^{i k \omega}-1} \quad(k
eq 0),
\]

при условии что знаменатели не обращаются в нуль, что будет выполнено, если $\omega / 2 \pi$ иррационально. При $k=0$ правая часть $\widehat{G}_{0}$ есть среднее значение функции $G_{n}$, которое по предположению равно 0 , так что второе уравнение не налагает никаких ограничений на выбор $\widehat{v}_{0}$, в то время как первое уравнение трєбует, чтобы мы взяли
\[
\widehat{v}_{0}=-\widehat{F}_{0} \gamma^{-1} \text {. }
\]

Наконец, из первого уравнения находим коэффициенты Фурье функции $u_{n}$ :
\[
\widehat{u}_{k}=\frac{\gamma \widehat{v}_{k}+\widehat{F}_{k}}{e^{i k \omega}-1}=\frac{\widehat{F}_{k}}{e^{i k \omega}-1}+\frac{\gamma \widehat{G}_{k}}{\left(e^{i k \omega}-1\right)^{2}} \quad(k
eq 0),
\]

а $\widehat{u}_{0}$ остается произвольным. Полученные таким образом ряды Фурье функций $u_{n}, v_{n}$ будут действительными при действительных значениях аргументов.

Эти формальные ряды Фурье на самом деле оказываются сходящимися в том случае, когда знаменатели $e^{i k \omega}-1$ не приближаются к нулю слишком быстро. При условии аналитичности $F_{n}, G_{n}$ сходимость будет обеспечена, если потребовать, чтобы $\omega / 2 \pi$ удовлетворяло такому же арифметическому условию, как число $\alpha$ в «теоретико-функциональной проблеме центра». В самом деле, в этом случае $\left|e^{i k \omega}-1\right|^{-2}$ мажорируется степенью $k$, в то время как коэффициенты Фурье аналитических функций убывают экспоненциально, так что ряды Фурье для $u_{n}, v_{n}$ будут сходиться и их суммы будут вещественно-аналитическими. Мы придадим этому более точный смысл, когда перейдем непосредственно к доказательству сходимости. Пока же по указанным выше соображениям будем считать $\omega / 2 \pi$ иррациональным и, более того, удовлетворяющим приведенному далее арифметическому условию (6).

Покажем теперь, что среднее значение $\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} G_{n} d \xi$ действительно обращается в нуль при всех $n>0$. Предположим, что это не так, и пусть $n$ – наименьший индекс, для которого величина $\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} G_{n} d \xi=m$ отлична от 0 .

Заменив $g$ на $g-m \lambda^{n}$, мы будем иметь вместо $G_{n}$ новую функцию $G_{n}-m$ со средним значением 0 , а тогда можно построить усеченные ряды
\[
\widetilde{u}=\sum_{
u=1}^{n} \lambda^{
u} u_{
u}, \quad \widetilde{v}=\omega \gamma^{-1}+\sum_{
u=1}^{n} \lambda^{
u} v_{
u}
\]

так, что члены порядка $\leqslant n$ будут удовлетворять нашим предыдущим уравнениям. Геометрически это означает, что кривая
\[
x=\xi+\widetilde{u}(\xi, \lambda), \quad y=\widetilde{v}(\xi, \lambda)
\]

отображается в кривую
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\xi+\widetilde{u}+\gamma \widetilde{v}+f(\xi+\widetilde{u}, \widetilde{v}, \lambda)=\xi+\omega+\widetilde{u}(\xi+\omega, \lambda)+O\left(\lambda^{n+1}\right), \\
y_{1}=\widetilde{v}(\xi, \lambda)+g(\xi+\widetilde{u}, \widetilde{v}, \lambda)=\widetilde{v}(\xi-\omega, \lambda)+m \lambda^{n}+O\left(\lambda^{n+1}\right) .
\end{array}
\]

Если первоначальная кривая и ее образ пересекаются при всех действительных $\lambda$, то должны существовать значения параметров $\xi, \xi^{\prime}$, такие, что
\[
\begin{aligned}
\xi+\widetilde{u}(\xi, \lambda) & =\xi^{\prime}+\widetilde{u}\left(\xi^{\prime}, \lambda\right)+O\left(\lambda^{n+1}\right), \\
\widetilde{v}(\xi, \lambda) & =\widetilde{v}\left(\xi^{\prime}, \lambda\right)+m \lambda^{n}+O\left(\lambda^{n+1}\right) .
\end{aligned}
\]

Первое из этих уравнений, однако, приводит к тому, что $\xi^{\prime}=\xi+$ $+O\left(\lambda^{n+1}\right)$, а тогда из второго следует равенство $m=0$, которое противоречит нашему предположению.

Подводя итог сказанному, мы приходим к выводу, что если выбрать число $\omega / 2 \pi$ удовлетворяющим арифметическому условию и потребовать выполнения свойства пересечения для нашего отображения, то мы получим формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую. К сожалению, в общем случае сходимость этих рядов для $u, v$ проверить не удается, и нам придется поэтому поступить по-другому.

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы, которое мы сначала проведем для случая $\gamma=1$. В основе этого доказательства лежит быстро сходящаяся итерационная схема, предложенная Колмогоровым в родственной ситуации и уже примененная нами к более простой задаче в §26. Эта схема представляет собой последовательность преобразований координат, которые упрощают данное отображение. Применительно к рассматриваемой ситуации мы попытаемся построить последовательность отображений, все более близких к закручивающему отображению $x \rightarrow x+y, y \rightarrow y$, за счет уменьшения добавочных членов $f$ и $g$ в (3). Это будет достигнуто с помощью бесконечной последовательности замен координат, причем области определения этих координат будут круговыми кольцами, стягивающимися к искомой кривой.

Прежде всего для $0<s_{0}<\frac{1}{4}$ выберем $\omega$ в интервале
\[
a+s_{0}<\omega<b-s_{0}
\]

так, чтобы удовлетворить бесконечному числу неравенств
\[
\left|\frac{\omega}{2 \pi} q-p\right| \geqslant \frac{c_{0}}{q^{\mu}} \quad(p, q=1,2, \ldots) .
\]

Здесь $c_{0}$ – положительная константа. Для $\mu \geqslant 2$ существование таких $\omega$ и $c_{0}$ доказано в конце $\S 25$. С этого момента зафиксируем $\omega$ и $c_{0}$.

Основной шаг итерационной схемы содержится в лемме, которая приведена ниже. Вместе с тем важную роль будут играть оценки различных величин в комплексной плоскости. Отображение (3) мы будем рассматривать в комплексной области
\[
\mathfrak{A}:|\operatorname{Im} x|<r ; \quad|y-\omega|<s,
\]

предполагая, что в ней
\[
|f|+|g|<d .
\]

Здесь $r, s, d$ – положительные константы, удовлетворяющие некоторым ограничениям, приведенным ниже.
Внутри $\mathfrak{A}$ будет рассмотрена меньшая область
\[
\mathfrak{B}:|\operatorname{Im} \xi|<\rho ; \quad|\eta-\omega|<\sigma,
\]

где $0<\rho<r, 0<\sigma<s$, и три промежуточные области
\[
\mathfrak{A}^{(
u)}:\left\{\begin{array}{l}
|\operatorname{Im} x|<r^{(
u)}=r-\frac{r-\rho}{4}
u ; \\
|y-\omega|<s^{(
u)}=s-\frac{s-\sigma}{4}
u,
\end{array} \quad(
u=1,2,3),\right.
\]

такие, что
\[
\mathfrak{A} \supset \mathfrak{A}^{(1)} \supset \mathfrak{A}^{(2)} \supset \mathfrak{A}^{(3)} \supset \mathfrak{B} .
\]

Мы предполагаем, что
\[
0<r \leqslant 1, \quad 0<3 \sigma<s<\frac{r-\rho}{4}, \quad d<\frac{s}{6},
\]

и требуем, чтобы
\[
\theta=c_{3}(r-\rho)^{-2(\mu+1)} \frac{d}{s}<\frac{1}{7},
\]

где $c_{3}$ – положительная константа, которая определяется ниже и зависит только от $c_{0}$ и показателя $\mu$ в (6). В дальнейшем через $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{6}$ обозначаются некоторые положительные константы, точные значения которых мы указывать не будем, предполагая, однако, что они зависят только от $c_{0}, \mu$.
Теперь мы в состоянии сформулировать нашу лемму.
При выполнении описанных выше предположений для отображения $M$, задаваемого формулами (3) $c \gamma=1$, существует преобразование координат $U$ вида
\[
x=\xi+u(\xi, \eta), \quad y=\eta+v(\xi, \eta),
\]

где $и, v$ – вещественно-аналитические в $\mathfrak{A}^{(1)}$ функции периода $2 \pi$ по $\xi$, такое, что преобразованное отображение $U^{-1} M U$ имеет вид
\[
\xi_{1}=\xi+\eta+\varphi(\xi, \eta), \quad \eta_{1}=\eta+\psi(\xi, \eta),
\]

причем $\varphi, \psi$ – вещественно-аналитические функции, определенные в области $\mathfrak{B}$, где они удовлетворяют оценке
\[
|\varphi|+|\psi|<c_{6}\left\{(r-\rho)^{\varkappa}\left(\frac{d^{2}}{s}+s d\right)+\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d\right\}
\]

при $\varkappa=2 \mu+3$.
Более точно: $U$ отображает $\mathfrak{B}$ в $\mathfrak{A}^{(3)}$, $M$ преобразует $\mathfrak{A}^{(3)}$ в $\mathfrak{A}^{(2)}$ $u U^{-1}$ преобразует $\mathfrak{A}^{(2)}$ в $\mathfrak{A}^{(1)}$, так чпо отображение $U^{-1} M U$ полностью определено в $\mathfrak{B}$. Более того, в $\mathfrak{A}^{(1)}$ функиии и, v удовлетворяют неравенству
\[
|u|+|v|<\vartheta s,
\]

где $\theta$ – величина, определенная в (11).
Откладывая доказательство леммы до следующего параграфа, используем ее теперь для доказательства теоремы о существовании инвариантной кривой. Для достижения цели эта лемма будет применяться последовательно бесконечное число раз, начиная с данного отображения (3), обозначаемого теперь через $M_{0}=M$, и ограниченной области
\[
\mathfrak{A}_{0}:|\operatorname{Im} x|<r_{0} ; \quad|y-\omega|<s_{0},
\]

которая при достаточно малом $s_{0}$ содержится в области $\mathfrak{D}$, определенной в (4).

Согласно предположению,
\[
|f|+g \mid<\delta,
\]

где $\delta$ может быть выбрано достаточно малым; в соответствии с обозначениями леммы полагаем $\delta=d_{0}$. Преобразуя по лемме отображение $M_{0}$ с помощью замены координат $U=U_{0}$, мы получаем отображение $M_{1}=$ $=U_{0}^{-1} M_{0} U_{0}$, определенное в области
\[
\mathfrak{A}_{1}:|\operatorname{Im} x|<r_{1} ; \quad|y-\omega|<s_{1},
\]

где $r_{1}, s_{1}$ соответствуют параметрам $\rho, \sigma$ в формулировке леммы. Применяя лемму к новому отображению $M_{1}$, мы получаем другую замену координат $U_{1}$ и преобразованное отображение $M_{2}=U_{1}^{-1} M U_{1}$. Поступая таким образом и далее, мы приходим к последовательности отображений
\[
M_{n+1}=U_{n}^{-1} M_{n} U_{n} \quad(n=0,1, \ldots),
\]

области определения $\mathfrak{A}_{n+1}$ которых задаются, как и область $\mathfrak{A}$, неравенствами (7), если заменить в них $r, s$ на $r_{n+1}, s_{n+1}$. Нам придется проверить, конечно, что эта последовательность преобразований корректно определена и что $M_{n}$ все менее отличается от закручивающего отображения. Для этого мы фиксируем величины $r_{n}, s_{n}, d_{n}(n=0,1, \ldots)$, полагая
\[
r_{n}=\frac{r_{0}}{2}\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right), \quad s_{n}=d_{n}^{2 / 3}, \quad d_{n+1}=r_{0}^{-\varkappa} c_{7}^{n+1} d_{n}^{4 / 3},
\]

где $c_{7} \geqslant 2$ – подходящим образом выбранная константа. Таким образом, $r_{n}$ образуют убывающую последовательность, сходящуюся к положительному числу $r_{0} / 2$, и все рассматриваемые функции будут аналитичны по $\xi$ при $|\operatorname{Im} \xi|<\frac{r_{0}}{2}$. Последовательность $d_{n}$ сходится к 0 при условии, что $d_{0}$ выбрано достаточно малым. В самом деле, последовательность $e_{n}=r_{0}^{-3 \varkappa} c_{7}^{3(n+4)} d_{n}$ удов.тетворяет условию
\[
e_{n+1}=e_{n}^{4 / 3}
\]

и поэтому сходится к нулю, если положить $0 \leqslant e_{0}<1$ или $0 \leqslant d_{0}<r_{0}^{3 \varkappa} c_{7}^{-12}$.

Чтобы показать, что отображение $M_{n}$ корректно определено в $\mathfrak{A}_{n}$ и удовлетворяет там подходящей оценке, воспользуемся индукцией.

Предполагая, что $M_{n}$ определено в $\mathfrak{A}_{n}$ и удовлетворяет там оценке
\[
|f|+|g|<d_{n},
\]

мы проверим соответствующие утверждения для $M_{n+1}$. Для этого применим лемму, полагая $r=r_{n}, s=s_{n}, d=d_{n}, \rho=r_{n+1}, \sigma=$ $=s_{n+1}$. Прежде всего необходимо проверить, конечно, выполнение неравенств (10), (11). Неравенство $3 \sigma<s$ следует из
\[
\left(\frac{s_{n+1}}{s_{n}}\right)^{3 / 2}=\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=c_{7}^{-3} e_{n}^{1 / 3} \leqslant c_{7}^{-3} \leqslant \frac{1}{8},
\]

а так как $d_{n}$ стремится к 0 быстрее экспоненты, в то время как
\[
r-\rho=r_{n}-r_{n+:}=r_{0} 2^{-n-2}
\]

убывает только экспоненциально, то и вся средняя цепочка неравенств в (10) будет выполняться при достаточно малом $d_{0}$. Ясно также, что последнее неравенство из (10) может быть удовлетворено, если положить подходящее ограничение на $d_{0}$, в то время как для $\theta=\theta_{n}$ в (11) мы имеем
\[
\theta_{n}=c_{3}\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{-2 \mu-2} d_{n}^{1 / 3},
\]

и эта величина также может быть сделана меньше $\frac{1}{7}$, если выбрать $d_{0}$ малым. Таким образом, существует положительная константа $d^{*}=$ $=d^{*}\left(r_{0}, c_{0}, \mu\right)$, такая, что при $d_{0}<d^{\times}$выполняются неравенства (10), (11), и лемма применима. Она доставляет нам замену $U_{n}$, преобразующую $\mathfrak{B}=\mathfrak{A}_{n+1}$ в $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_{n}$, и преобразованное отображение $M_{n+1}=$ $=U_{n}^{-1} M_{n} U_{n}$, определенное в $\mathfrak{A}_{n+1}$. Более того, согласно лемме $M_{n+1}$ может быть представлено в виде (13), а из (14) мы получаем оценку
\[
\begin{aligned}
|\varphi|+|\psi| & <c_{6}\left\{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{-\varkappa}\left(d_{n}^{4 / 3}+d_{n}^{5 / 3}\right)+\left(\frac{d_{n+1}}{d_{n}}\right)^{4 / 3} d_{n}\right\}= \\
& =c_{6}\left\{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{-\varkappa} d_{n}^{4 / 3}\left(1+d_{n}^{1 / 3}\right)+\left(\frac{d_{n+1}}{d_{n}}\right)^{1 / 3} d_{n+1}\right\},
\end{aligned}
\]

которая в силу (17), (18) сводится к
\[
\begin{aligned}
|\varphi|+|\psi| & \leqslant c_{6}\left\{2^{\varkappa(n+2)} c_{7}^{-n-1}\left(1+d_{n}^{1 / 3}\right)+\left(\frac{d_{n+1}}{d_{n}}\right)^{1 / 3}\right\} d_{n+1} \leqslant \\
& \leqslant c_{6}\left\{2^{\varkappa}\left(2^{\varkappa} c_{7}^{-1}\right)^{n+1}\left(1+d_{n}^{1 / 3}\right)+c_{7}^{-1}\right\} d_{n+1} .
\end{aligned}
\]

Так как последовательность $d_{n}$ ограничена, то коэффициент при $d_{n+1}$ в последнем неравенстве может быть сделан меньше 1 , если константу $c_{7}$ выбрать большой.
Отсюда
\[
|\varphi|+|\psi|<d_{n+1},
\]

чем индукция и завершается.
Так как $U_{k}$ отображает область $\mathfrak{A}_{k+1}$ в $\mathfrak{A}_{k}(k=0,1,2, \ldots)$, то преобразование $V_{n}=U_{0} U_{1} \ldots U_{n}$ коррєктно определено в $\mathfrak{A}_{n+1}$ и, очевидно, переводит $M_{0}$ в
\[
M_{n+1}=V_{n}^{-1} M_{0} V_{n} .
\]

Кроме того, если мы выразим $V_{n}$ в виде
\[
x=\xi+p_{n}(\xi, \eta), \quad y=\eta+q_{n}(\xi, \eta),
\]

то $p_{n}, q_{n}$ будут аналитическими функциями в области $\mathfrak{A}_{n+1}$. Эта последняя стягивается к области
\[
|\operatorname{Im} \xi|<\frac{r_{0}}{2}, \quad|\eta-\omega|=0,
\]

поскольку $s_{n} \rightarrow 0, r_{n} \rightarrow r_{0} / 2$.
Покажем, что последовательности $p_{n}(\xi, \omega), q_{n}(\xi, \omega)$ сходятся к аналитическим по $\xi$ в области $|\operatorname{Im} \xi|<\frac{r_{0}}{2}$ функциям при $n \rightarrow \infty$.
В самом деле, из равенства $V_{n}=V_{n-1} U_{n}$ следует, что
\[
\begin{array}{l}
p_{n}=u_{n}+p_{n-1}\left(\xi+u_{n}, \eta+v_{n}\right), \\
q_{n}=v_{n}+q_{n-1}\left(\xi+u_{n}, \eta+v_{n}\right),
\end{array}
\]

где функции $u_{n}, v_{n}$ соответствуют отображению $U_{n}$ так же, как функции $u, v$ в равенстве (12) – отображению $U$, и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
p_{n}=u_{n}+u_{n-1}+\ldots+u_{0}, \\
q_{n}=v_{n}+v_{n-1}+\ldots+v_{0} .
\end{array}
\]

В членах последних двух сумм не указаны аргументы; хотя они различны, но для доказательства сходимости это не существенно, так как можно оценить верхние грани модулей $\left|u_{n}\right|,\left|v_{n}\right|$ в $\mathfrak{A}_{n+1}$. А именно из (15) следует, что
\[
\left|u_{n}\right|+\left|v_{n}\right|<\vartheta_{n} s_{n}<\frac{1}{7} s_{n},
\]

и это приводит к равномерной сходимости функций $p_{n}, q_{n}$ в области $|\operatorname{Im} \xi|<r_{0} / 2$ при $\eta=\omega$. Пределы функций $p_{n}$ и $q_{n}$, которые мы обозначаем через $u(\xi)$ и $v(\xi)-\omega$ соответственно, являются вещественно-аналитическими функциями при $|\operatorname{Im} \xi|<r_{0} / 2$ и имеют период $2 \pi$ по $\xi$. В силу неравенства $s_{n+1}<\frac{1}{3} s_{n}$ получаем
\[
\left|p_{n}\right|+\left|q_{n}\right|<\frac{1}{7} \sum_{
u=0}^{n} s_{
u}<\frac{1}{7} \sum_{
u=0}^{\infty} \frac{1}{3^{
u}} s_{0}<s_{0}
\]

выберем теперь $d_{0}=s_{0}^{3 / 2}$ настолько малым, чтобы выполнялось неравенство $s_{0}<\varepsilon$. Таким образом, существует положительное $\delta=$ $=\delta\left(\varepsilon, r_{0}, c_{0}, \omega\right)<d^{*}$, такое, что для $d_{0}<\delta$
\[
|u|+|v-\omega|<\varepsilon
\]

при $|\operatorname{Im} \xi|<r_{0} / 2$, что и утверждалось в теореме. Это $\delta$ может быть использовано в качестве константы, ограничивающей величину $|f|+|g|$. Чтобы проверить, что $u(\xi), v(\xi)$ – искомые функции, описывающие инвариантную кривую, перейдем к пределу в соотношении
\[
V_{n} M_{n+1}=M_{0} V_{n}
\]

при $n \rightarrow \infty$. Так как $d_{n+1} \rightarrow 0$, то $M_{n+1}$ сходится к закручивающему отображению $\xi_{1}=\xi+\eta, \eta_{1}=\eta+\omega$, в то время как сходимость $V_{n}$ мы только что установили. Следовательно, в пределе получаем соотношения
\[
\begin{aligned}
\xi+\omega+u(\xi+\omega) & =\xi+u(\xi)+v(\xi)+f(\xi+u, v) \\
v(\xi+\omega) & =v(\xi)+g(\xi+u, v)
\end{aligned}
\]

которые в точности и означают, что кривая (5) инвариантна относительно $M_{0}$ и что индуцированное на ней отображение имеет вид
\[
\xi_{1}=\xi+\eta=\xi+\omega
\]

Этим и завершается доказательство нашей теоремы о существовании инвариантной кривой в случае $\gamma=1$, если не считать леммы, которая будет доказана в следующем параграфе.