По Лейбницу наш мир является наилучшим из всех возможных миров, и поэтому законы природы можно описать экстремальными принципами. Поскольку дифференциальные уравнения механики происходят из вариационных задач, они обладают инвариантными свойствами относительно некоторых групп преобразований координат. Так как это обстоятельство имеет особенное значение в небесной механике, то во вводных параграфах мы разовьем теорию преобразований уравнений Эйлера-Лагранжа и Гамильтона в объеме, желательном для наших целей.

Пусть $n$ – натуральное число и $f=f(x, \dot{x}, t)$ есть действительная функция $2 n+1$ независимых действительных переменных $x_{k}, \dot{x}_{k}, t$; индекс $k$ принимает значения $1, \ldots, n$, а $x, \dot{x}$ обозначают векторы с составляющими $x_{k}, \dot{x}_{k}$. Ограничик значения $t$ замкнутым интервалом $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$ и значения остальных переменных $x, \dot{x}$ – открытым множеством $G$ в пространстве $2 n$ измерений. Пусть для соответствующих значений $x, \dot{x}, t$ функция $f$ определена и обладает непрерывными частными производными первого и второго порядков. Рассмотрим теперь следующую задачу вариационного исчисления: требуется найти такие непрерывные с непрерывными производными первого и второго порядков функции $x_{k}=x_{k}(t)(k=1, \ldots, n)$ переменной $t$ в интервале $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$ с заданными краевыми условиями $x_{k}\left(t_{1}\right)=a_{k}, x_{k}\left(t_{2}\right)=b_{k}$, чтобы интеграл
\[
I=\int_{t_{1}}^{t_{2}} f(x, \dot{x}, t) d t
\]

имел экстремум; при этом $\dot{x}_{k}=d x_{k}(t) / d t$, а $x, \dot{x}$ должны лежать в $G$.
Предположим, что эта задача имеет решение. Тогда это решение принадлежит множеству допустимых функций сравнения $x_{k}=x_{k}(\alpha ; t)$
$(k=1, \ldots, n)$, которые вместе со своими производными по $t$ непрерывно дифференцируемы по параметру $\alpha$ в интервале $-1<\alpha<1$; пусть $x_{k}(0 ; t)=x_{k}(t)$ есть предполагаемое решение экстремальной задачи. Образуем теперь, используя функции сравнения, интеграл
\[
I(\alpha)=\int_{t_{1}}^{t_{2}} f[x(\alpha ; t), \dot{x}(\alpha ; t), t] d t \quad(-1<\alpha<1) .
\]

При этом $I(\alpha)$ в случае $\alpha=0$ имеет экстремум $I$, и поэтому производная $d I(\alpha) / d \alpha$ обращается в нуль при $\alpha=0$.

Для удобства обозначим через $f_{x_{k}}, f_{\dot{x}_{k}}$ частные производные по $x_{k}, \dot{x}_{k}$ от $f$ как функции $2 n+1$ независимых переменных $x_{l}, \dot{x}_{l}, t$; дифференцирование по параметру $\alpha$ будем отмечать штрихом. Тогда
\[
I^{\prime}(\alpha)=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k=1}^{n}\left[f_{x_{k}} x_{k}^{\prime}(\alpha ; t)+f_{\dot{x}_{k}} \dot{x}_{k}^{\prime}(\alpha ; t)\right] d t .
\]

С другой стороны, выражение
\[
s=s(\alpha ; t)=\sum_{k=1}^{n} f_{\dot{x}_{k}} x_{k}^{\prime}(\alpha ; t)
\]

при $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$ равно нулю в силу условий $x_{k}\left(\alpha ; t_{1}\right)=a_{k}, x_{k}\left(\alpha ; t_{2}\right)=$ $=b_{k}$, поэтому
\[
0=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d s}{d t} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{d f_{\dot{x}_{k}}}{d t} x_{k}^{\prime}(\alpha ; t)+f_{\dot{x}_{k}} \dot{x}_{k}^{\prime}(\alpha ; t)\right] d t .
\]

Если ввести производные Лагранжа
\[
L_{x_{k}} f=f_{x_{k}}-\frac{d f_{\dot{x}_{k}}}{d t}
\]

и вычесть (2) из (1), то получится формула
\[
I^{\prime}(\alpha)=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{\prime} L_{x_{k}} f d t
\]

в которую уже подставлены $x_{k}=x_{k}(\alpha ; t), \dot{x}_{k}=d x_{k} / d t$. В силу произвольности выбора $x_{k}^{\prime}(0 ; t)$ и в силу непрерывности $L_{x_{k}} f$ из условия $I^{\prime}(0)=0$ следует, что функции $x_{k}=x_{k}(0 ; t)=x_{k}(t)(k=1, \ldots, n)$, дающие решение вариационной задачи, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Эйлера – Лагранжа, а именно
\[
L_{x_{k}} f=0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Исследуем теперь свойства производных Лагранжа при преобразованиях координат. Введем вместо $x_{1}, \ldots, x_{n}$ новые координаты $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ подстановкой
\[
x_{k}=x_{k}(\xi, t) \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

При этом $x_{k}(\xi, t)$ являются функциями $n+1$ независимых переменных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, t$ с непрерывными первыми и вторыми частными производными. Будем считать, что в рассматриваемой области не равен нулю функциональный определитель $n$-го порядка
\[
\left|\frac{\partial x_{k}}{\partial \xi_{l}}\right|
eq 0
\]

так что преобразование $\xi$ в $x$ будет однозначно обратимым. Сама переменная $t$ не преобразуется, и функции $x_{k}(\xi, t)$ не имеют никакого отношения к ранее введенным функциям $x_{k}(\alpha ; t)$. Если, в частности, $x_{k}=x_{k}(\alpha ; t)$, то $\xi_{k}=\xi_{k}(\alpha ; t)$ также становятся функциями от $\alpha, t$, и из (3) следует, что
\[
\dot{x}_{k}=x_{k t}+\sum_{l=1}^{n} x_{k \xi_{l}} \dot{\xi}_{l},
\]

где через $x_{k t}, x_{k \xi_{l}}$ обозначены частные производные от $x_{k}(\xi, t)$. Подстановки (3), (4) делают $f(x, \dot{x}, t)$ функцией $\xi, \dot{\xi}, t$, и тогда
\[
I^{\prime}(\alpha)=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k=1}^{n} \xi_{k}^{\prime} L_{\xi_{k}} f d t,
\]

откуда, используя непрерывность, найдем, что выражение
\[
A=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{\prime} L_{x_{k}} f
\]

инвариантно при преобразовании (3), (4).

Алгебраическим путем эта инвариантность устанавливается следующим образом. Из (3) и (4) следует
\[
x_{k \dot{\xi}_{l}}=0, \quad \dot{x}_{k \dot{\xi}_{l}}=x_{k \xi_{l}}, \quad x_{k}^{\prime}=\sum_{l=1}^{n} x_{k \xi_{l}} \xi_{l}^{\prime},
\]

таким образом,
\[
\begin{array}{c}
f_{\dot{\xi}_{l}}=\sum_{k=1}^{n}\left(f_{x_{k}} x_{x \dot{\xi}_{l}}+f_{\dot{x}_{k}} \dot{x}_{k \dot{\xi}_{l}}\right)=\sum_{k=1}^{n} f_{\dot{x}_{k}} x_{k \xi_{l}}, \\
\sum_{l=1}^{n} f_{\dot{\xi}_{l}} \xi_{l}^{\prime}=\sum_{k, l=1}^{n} f_{\dot{x}_{k}} x_{k \xi_{l}} \xi_{l}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} f_{\dot{x}_{k}} x_{k}^{\prime}=s .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что $s$ является инвариантом, поэтому
\[
\frac{d s}{d t}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{d f_{\dot{x}_{k}}}{d t} x_{k}^{\prime}+f_{\dot{x}_{k}} \dot{x}_{k}^{\prime}\right)
\]

также инвариантно.
Инвариантным является также выражение
\[
f^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}\left(f_{x_{k}} x_{k}^{\prime}+f_{\dot{x}_{k}} \dot{x}_{k}^{\prime}\right),
\]

а значит, и
\[
f^{\prime}-\frac{d s}{d t}=A .
\]

При обоих доказательствах не использовалось предположение, что $x_{k}=x_{k}(t)$ является решением экстремальной задачи.
Вследствие произвола в выборе $x_{k}^{\prime}$ имеем
\[
\sum_{k=1}^{n} x_{k \xi_{l}} L_{x_{k}} f=L_{\xi_{l}} f \quad(l=1, \ldots, n) ;
\]

это равенство, в частности, выполняется при $\alpha=0$, т. е. при $x_{k}=x_{k}(t)$. Мы получили свойство производных Лагранжа при преобразовании координат; из него, в частности, следует инвариантность дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа. Если обозначить через
\[
x_{\xi}=|| x_{k \xi_{l}} \mid=\mathfrak{M}
\]

функциональную матрицу подстановки (3) и если $L_{x}=L_{x} f$ есть образованная из $L_{x_{k}} f$ строка, то
\[
L_{x} \mathfrak{M}=L_{\xi} .
\]

Чтобы сформулировать свойство инвариантности $A$ без введения параметра $\alpha$, используем новое обозначение: если $\varphi$ является функцией нескольких независимых переменных, среди которых встречается и $t$, то будем понимать под $\delta \varphi$ дифференциал $\varphi$ при постоянном $t$, следовательно, при условии $d t=0$. Тогда для столбца $x$, образованного из $x_{k}$, получается в соответствии с формулой (3) формула
\[
\delta x=\mathfrak{M} \delta \xi,
\]

так что $L_{x_{k}}$ преобразуется контраградиентно к $\delta x_{k}$, и билинейное выражение $L_{x} \delta x$ является инвариантным.

Исследуем теперь вопрос, в какой степени определяется функция $f$ своими $n$ производными Лагранжа $L_{x_{k}} f$. В явном виде
\[
L_{x_{k}} f=f_{x_{k}}-\sum_{l=1}^{n}\left(f_{\dot{x}_{k} x_{l}} \dot{x}_{l}+f_{\dot{x}_{k} \dot{x}_{l}} \ddot{x}_{l}\right)-f_{\dot{x}_{k} t},
\]

где правую часть нужно рассматривать как функцию $3 n+1$ независимых переменных $x_{l}, \dot{x}_{l}, \ddot{x}_{l}, t$. Если для двух функций $g(x, \dot{x}, t), h(x, \dot{x}, t)$ попарно совпадают, как функции тех же $3 n+1$ переменных, $n$ производных Лагранжа $L_{x_{k}} g, L_{x_{k}} h$, то для разности этих функций $f=h-g$ уравнения $L_{x_{k}} f=0$ обращаются в тождества относительно $x, \dot{x}, \ddot{x}, t$. В частности, так как в (5) равен нулю коэффициент при $\ddot{x}_{l}$, т. е. $f_{\dot{x}_{k} \dot{x}_{l}}=0$, то $f$ имеет следующий вид:
\[
f(x, \dot{x}, t)=f_{0}(x, t)+\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x, t) \dot{x}_{k} .
\]

Если внести это выражение в (5), то из сравнения коэффициентов следует, что
\[
f_{0 x_{k}}=f_{k t}, \quad f_{l x_{k}}=f_{k x_{l}} \quad(k=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, n) .
\]

Но это есть необходимые и достаточные условия для существования функции $v(x, t)$, полный дифференциал которой равен
\[
d v=f_{0} d t+\sum_{k=1}^{n} f_{k} d x_{k} .
\]

Отсюда следует
\[
f=\frac{d v}{d t}
\]

И
\[
h(x, \dot{x}, t)=g(x, \dot{x}, t)+\frac{d v(x, t)}{d t},
\]

где при полном дифференцировании по $t$ переменные $x_{k}$ рассматриваются как функции от $t$. Таким образом, если даны производные Лагранжа в виде функций от $x, \dot{x}, \ddot{x}, t$, то функция $f(x, \dot{x}, t)$ определяется с точностью до произвольной аддитивной функции, являющейся полной производной по $t$ от функции $v(x, t)$, не содержащей $\dot{x}$. Впрочем, добавление такой функции изменяет интеграл $I$ только на величину, не зависящую вследствие краевых условий от выбора $x_{k}(t)$.