Теорема Зундмана, о которой шла речь в первой главе, представляет собой наиболее далеко идущий результат по общему решению задачи трех тел. $\mathrm{K}$ сожалению, полный блестящих идей метод Зундмана не распространен на случай $n>3$. Как показывает более подробное исследование, это происходит по той причине, что хотя одновременное столкновение всех $n$ тел в одной точке можно исключить в соответствии с результатами $\S 6$, но даже при одновременном столкновении только трех из $n$ тел получается сущєственная особенность.

В настоящей главе будут развиты методы, применимые к задаче $n$ тел и употребляющиеся во многих общих вопросах механики. Речь будет идти об определении периодических решений названной задачи. Характерной чертой решения с периодом $\tau$ является то обстоятельство, что для полного определения такого решения для всех моментов времени достаточно рассматривать интервал только конечной длины $\tau$. Поэтому, в частности, отпадают встречающиеся при доказательстве первой вспомогательной теоремы Зундмана трудности, связанные с неограниченностью времени. Периодические решения в задаче $n$ тел имеют также значение для астрономии, так как движения в солнечной системе очень близки к периодическим.

Простейший случай периодического решения будем иметь в том случае, когда координаты совершенно не зависят от времени. Такие решения назовем равновесными. Прежде всего покажем, что задача $n$ тел $(n>1)$ не имеет равновесных решений. В самом деле, если бы каждая координата $q$ не зависела от времени, то ее вторая производная $\ddot{q}=0$; следовательно, в соответствии с уравнениями движения $(5 ; 3)$ также $U_{q}$ равнялось бы нулю, и по теореме Эйлера об однородных функциях
\[
\sum_{q} q U_{q}=-U=0
\]

в то время как силовая функция $U$ по определению существенно положительна. Так как отсюда видно, что для задачи $n$ тел не существует равновесных решений, то будем искать другие по возможности более простые периодические решения. Ограничимся опять только тремя материальными точками $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ и поставим вопрос: существуют ли такие решения задачи трех тел, при которых все три материальные точки движутся равномерно по окружностям, лежащим в некоторой неподвижной плоскости? На этот вопрос мы ответим утвердительно и таким путем найдем частные решения задачи трех тел, которые были получены еще в 1772 г. Лагранжем.

Введем в рассматриваемой плоскости систему декартовых прямоугольных координат и обозначим через $q_{2 k-1}, q_{2 k}(k=1,2,3$ ) координаты $P_{k}$. Если положить опять
\[
\left\{\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{3} m_{k}^{-1}\left(p_{2 k-1}^{2}+p_{2 k}^{2}\right), \\
U=\sum_{k<l} m_{k} m_{l r}{ }_{k l}^{-1}, \quad E=T-U,
\end{array}\right.
\]

где $r_{k l}$ есть расстояние между $P_{k}$ и $P_{l}$, то уравнения движения можно написать в форме Гамильтона
\[
\dot{q}_{k}=E_{p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-E_{q_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6) .
\]

Введем теперь новые прямоугольные декартовы координаты с тем же началом отсчета, и пусть координатные оси равномерно вращаются вокруг неподвижного центра. Найдем тогда такую скорость вращения этих осей, чтобы материальные точки относительно этой новой системы координат были неподвижными. Если обозначить через $\lambda$ угол поворота, то для новых координат $x_{2 k-1}, x_{2 k}$ точки $P_{k}$ имеем формулы
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{2 k-1}=q_{2 k-1} c+q_{2 k} s, \\
x_{2 k}=-q_{2 k-1} s+q_{2 k} c \quad(k=1,2,3), \\
c=\cos \lambda, \quad s=\sin \lambda .
\end{array}\right.
\]

Сделаем замену $\lambda=\omega t$ с еще неизвестной действительной постоянной $\omega
eq 0$. Введем новые координаты в уравнения движения (2) и попытаемся выбрать шесть других переменных $y_{1}, \ldots, y_{6}$, так чтобы преобразование (3) было каноническим. Для этого в основу положим представление канонических преобразований, данное уравнениями $(3 ; 4)$. Тогда легко получить порождающую функцию в виде
\[
w=w(q, y)=\sum_{k=1}^{3}\left\{\left(q_{2 k-1} c+q_{2 k} s\right) y_{2 k-1}+\left(-q_{2 k-1} s+q_{2 k} c\right) y_{2 k}\right\} .
\]

Так как матрица двойной билинейной формы, стоящей в фигурных скобках, будет ортогональной, то для определителя шестого порядка $\left|w_{q_{k} y_{l}}\right|$ получается значение $l
eq 0$. В соответствии с уравнениями $(3 ; 4)$ каноническое преобразование будет иметь следующий вид:
\[
p_{k}=w_{q_{k}}, \quad x_{k}=w_{y_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

что дополняет уравнения (3) формулами
\[
p_{2 k-1}=y_{2 k-1} c-y_{2 k} s, \quad p_{2 k}=y_{2 k-1} s+y_{2 k} c \quad(k=1,2,3) .
\]

Отсюда следует
\[
p_{2 k-1}^{2}+p_{2 k}^{2}=y_{2 k-1}^{2}+y_{2 k}^{2},
\]

и потому для введения новых координат достаточно подставить в выражение (1) для $T$ переменную $y_{k}$ вместо $p_{k}$. Так как силовая функция $U$ зависит только от расстояний между материальными точками, то в функции $U$ координаты $q_{k}$ можно аналогично заменить на $x_{k}$. Далее, имеем $c_{t}=-\omega s, s_{t}=\omega c$, и, следовательно, в соответствии с уравнениями $(3 ; 4)$ новая функция Гамильтона будет иметь вид
\[
F=E+w_{t}=E+\omega \sum_{k=1}^{3}\left(x_{2 k} y_{2 k-1}-x_{2 k-1} y_{2 k}\right) .
\]

Преобразованные уравнения движения будут
\[
\dot{x}_{k}=F_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-F_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

или же
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{2 k-1}=E_{y_{2 k-1}}+\omega x_{2 k}, \\
\dot{y}_{2 k-1}=-E_{x_{2 k-1}}+\omega y_{2 k}, \\
\dot{x}_{2 k}=E_{y_{2 k}}-\omega x_{2 k-1}, \\
\dot{y}_{2 k}=-E_{x_{2 k}}-\omega y_{2 k-1} \quad(k=1,2,3) .
\end{array}\right.
\]

При этом
\[
\begin{array}{c}
E_{x_{k}}=-U_{x_{k}}(k=1, \ldots, 6) \\
E_{y_{2 k-1}}=m_{k}^{-1} y_{2 k-1}, \quad E_{y_{2 k}}=m_{k}^{-1} y_{2 k} \quad(k=1,2,3) .
\end{array}
\]

Нужно еще заметить, что выражение
\[
\sum_{k=1}^{3}\left(x_{2 k} y_{2 k-1}-x_{2 k-1} y_{2 k}\right)=Q
\]

входящее слагаемым в функцию $F$, является интегралом площадей. Действительно, это выражение не изменится, если $x$ и $y$ заменить их выражениями через $q$ и $p=m \dot{q}$ с помощью уравнений (3) и (4). Но можно также непосредственно из уравнений (5) убедиться, что $\dot{Q}=0$. Равновесные решения уравнений (5) определяются двенадцатью условиями
\[
\begin{array}{c}
m_{k}^{-1} y_{2 k-1}+\omega x_{2 k}=0, \quad U_{x_{2 k-1}}+\omega y_{2 k}=0 \\
m_{k}^{-1} y_{2 k}-\omega x_{2 k-1}=0, \quad U_{x_{2 k}}-\omega y_{2 k-1}=0 \quad(k=1,2,3) .
\end{array}
\]

Исключение $y_{k}(k=1, \ldots, 6)$ приведет к системе
\[
m_{k} \omega^{2} x_{2 k-1}=-U_{x_{2 k-1}}, \quad m_{k}
u^{2} x_{2 k}=-U_{x_{2 k}} \quad(k=1,2,3) .
\]

Каждое решение $x_{k}(k=1, \ldots, 6)$ этой системы уравнений опять приводит к равновесному решению. Суммируя (6) по $k$ в соответствии с равенством $(5 ; 6)$, убедимся, что центр инерции трех тел лежит в начале координат.

Предположим сначала, что треугольник $P_{1} P_{2} P_{3}$ не будет равносторонним. Тогда можно выбрать индексы таким образом, чтобы $r_{13}
eq r_{23}$. Направим ось абсцисс в $P_{3}$, тогда $x_{6}=0$, и второе уравнение (6) дает для $k=3$ условие
\[
m_{1} x_{2} r_{13}^{-3}+m_{2} x_{4} r_{23}^{-3}=0 .
\]

В силу
\[
m_{1} x_{2}+m_{2} x_{4}+m_{3} x_{6}=0, \quad x_{6}=0
\]

получим
\[
m_{1} x_{2}\left(r_{13}^{-3}-r_{23}^{-3}\right)=0,
\]

откуда $x_{2}=0$, а следовательно, и $x_{4}=0$. Итак, если три материальные точки не образуют равностороннего треугольника, то они лежат на одной прямой.

Если рассматривается случай равностороннего треугольника, то $r_{12}=r_{23}=r_{31}=r$, и по теореме о движении центра инерции из уравнений (6) получим, если $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$, что
\[
\begin{aligned}
\omega^{2} x_{2 k-1} & =r^{-3} \sum_{l=1}^{3} m_{l}\left(x_{2 k-1}-x_{2 l-1}\right)=M r^{-3} x_{2 k-1}, \\
\omega^{2} x_{2 k} & =M r^{-3} x_{2 k} \quad(k=1,2,3) .
\end{aligned}
\]

Так как не все $x_{k}(k=1, \ldots, 6)$ равны нулю, то
\[
M=\omega^{2} r^{3}, \quad \omega= \pm \sqrt{M r^{-3}} .
\]

Обратно, из равенства (7) опять следуют уравнения (6), так что мы действительно нашли решение задачи трех тел, если $P_{1} P_{2} P_{3}$ является равносторонним треугольником со стороной $r$ и $\omega$ определено равенством (7). Это и есть так называемое треугольное решение.

Остается еще исследовать другой случай, в котором три материальные точки лежат на одной прямой. Если выберем эту прямую за ось абсцисс, то $x_{2 k}=0(k=1,2,3)$, и вторые уравнения (6) удовлетворяются. Предположим затем, что $P_{2}$ лежит между $P_{1}$ и $P_{3}$ и что ось абсцисс направлена от $P_{1}$ к $P_{3}$. Если положить $r_{13}=a, r_{12}=\rho a$, $r_{23}=\sigma a$, то $\rho+\sigma=1,0<\rho<1$, и первое уравнение (6) дает для $k=1$, 2,3 формулы
\[
\left\{\begin{aligned}
-m_{2}(\rho a)^{-2}-m_{3} a^{-2} & =\omega^{2} x_{1}, \\
m_{1}(\rho a)^{-2}-m_{3}(\sigma a)^{-2} & =\omega^{2} x_{3}, \\
m_{1} a^{-2}+m_{2}(\sigma a)^{-2} & =\omega^{2} x_{5} .
\end{aligned}\right.
\]

Среднее уравнение здесь можно заменить по теореме о движении центра инерции уравнением $m_{1} x_{1}+m_{2} x_{3}+m_{3} x_{5}=0$. Из этой теоремы получим также, положив $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$, соотношения
\[
M x_{1}+m_{2} \rho a+m_{3} a=0, \quad M x_{5}-m_{2} \sigma a-m_{1} a=0 .
\]

Теперь координаты $x_{1}$ и $x_{5}$ можно исключить из первого и третьего уравнений (8) и это даст
\[
\left\{\begin{array}{l}
m_{2} \rho^{-2}+m_{3}=M^{-1}
u^{2} a^{3}\left(m_{2} \rho+m_{3}\right), \\
m_{2} \sigma^{-2}+m_{1}=M^{-1}
u^{2} a^{3}\left(m_{2} \sigma+m_{1}\right) .
\end{array}\right.
\]

В силу $\sigma=1-\rho$ получим условия
\[
M^{-1} \omega^{2} a^{3}=\frac{m_{2} \rho^{-2}+m_{3}}{m_{2} \rho+m_{3}}=\frac{m_{2}(1-\rho)^{-2}+m_{1}}{m_{2}(1-\rho)+m_{1}}, \quad 0<\rho<1 .
\]

Так как разность
\[
\frac{m_{2} \rho^{-2}+m_{3}}{m_{2} \rho+m_{3}}-\frac{m_{2}(1-\rho)^{-2}+m_{1}}{m_{2}(1-\rho)+m_{1}}=f(\rho)
\]

в интервале $0<\rho<1$ является монотонной убывающей функцией $\rho$, которая при $\rho \rightarrow 0$ стремится к $+\infty$ и при $\rho \rightarrow 1$ к $-\infty$, то уравнение $f(\rho)=0$ имеет в интервале $0<\rho<1$ единственный действительный корень $\rho$. Тогда, если положить $M^{-1} \omega^{2} a^{3}$ равным численному значению, заданному условиями (10), и определить из уравнений (8) $x_{1}, x_{3}$, $x_{5}$, то получится решение уравнений (6), т. е. опять получится частное решение задачи трех тел. При данном $а$ угловая скорость $\omega$ определяется с точностью до знака. Это и будет так называемое прямолинейное решение. Определение $\rho$ сводится к решению уравнения пятой степени, коэффициенты которого еще зависят от масс. Как было сказано, оно имеет единственное решение в интервале $0<\rho<1$. При рассмотрении этого случая было предположено, что $P_{2}$ лежит между $P_{1}$ и $P_{3}$. Циклической перестановкой индексов получим остальные два решения.

Лагранж думал, что найденные им частные решения не имеют астрономического значения. Но позднее было установлено, что Солнце, Юпитер и малые планеты троянской группы образуют приблизительно равносторонний треугольник. Поэтому представляет интерес найти решения задачи трех тел, близкие к решениям Лагранжа; это будет сделано в § 16 .

Вышеупомянутые решения были обобщены еще самим Лагранжем. Он поставил вопрос, существуют ли для задачи трех тел другие решения, при которых треугольник, образованный материальными точками, остается все время сам себе подобным; Лагранж нашел все такие решения. Мы рассмотрим здесь аналогичный вопрос для задачи $n$ тел в плоскости, причем в соответствии с теоремой о движении центра инерции можем принять, что центр инерции неподвижен. Тогда для прямоугольных декартовых координат $x_{k}, y_{k}$ точки $P_{k}$ будем иметь
\[
x_{k}+i y_{k}=z_{k}=\zeta_{k} q \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{n}$ – различные комплексные постоянные и $q$ – неизвестная комплексная функция действительного переменного $t$. Для расстояний получаем
\[
r_{k l}=\left|z_{k}-z_{l}\right|=\left|\zeta_{k}-\zeta_{l}\right||q|,
\]

и так как уравнения движения можно написать в комплексной форме
\[
\ddot{z}_{k}=\sum_{l
eq k} m_{l} \frac{z_{l}-z_{k}}{r_{k l}^{3}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

то наша замена в случае $q
eq 0$ приводит к уравнениям
\[
\zeta_{k} \ddot{q}=q|q|^{-3} \sum_{l
eq k} m_{l} \frac{\zeta_{l}-\zeta_{k}}{\left|\zeta_{l}-\zeta_{k}\right|^{3}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Так как не все $\zeta_{k}$ равны 0, то, следовательно, выражение ${ }^{1}$
\[
\ddot{q} q^{1 / 2} \bar{q}^{3 / 2}=c
\]

не зависит от $t$ и
\[
\zeta_{k} c=\sum_{l
eq k} m_{l} \frac{\zeta_{l}-\zeta_{k}}{\left|\zeta_{l}-\zeta_{k}\right|^{3}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, задача приводится к решению дифференциального уравнения (12), не зависящего от $n$, и системы алгебраических уравнений (13). При этом в случае $n=2$ получим этим путем общее решение задачи двух тел, так как отрезок $P_{1} P_{2}$, очевидно, всегда остается себе подобным. Тогда, кроме того, $m_{1} \zeta_{1}+m_{2} \zeta_{2}=0$, следовательно, $\zeta_{1}=$ $=m_{2} \zeta, \zeta_{2}=-m_{1} \zeta$ с комплексным $\zeta
eq 0$, и из (13) следует, что в этом случае величина $c=-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{-2}|\zeta|^{-3}$ будет действительной и отрицательной.
Предположим теперь, что решение задачи двух тел известно. Тогда
\[
x+i y=z=\zeta q
\]

с комплексной постоянной $\zeta
eq 0$ представляет собой коническое сечение в плоскости $(x, y)$ в параметрической форме, если $q=q(t)$ есть
${ }^{1} \bar{q}$ есть величина, комплексно сопряженная с $q .-$ Прим. перев.

какое-нибудь решение дифференциальных уравнений (12) с неотрицательной постоянной $c$, и притом фокус этого конического сечения лежит в начале координат. Пусть теперь $n$ опять произвольно, и предположим, что $n$ различных комплексных чисел $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{n}$ удовлетворяют всем уравнениям (13) при $c<0$. Тогда в силу равенства (11) каждому решению уравнения (12) соответствует частное решение задачи $n$ тел. При этом каждая материальная точка описывает коническое сечение, и многоугольник, образованный $n$ телами, остается все время себе подобным. В частности, если это коническое сечение есть эллипс, то $q(t)$ есть периодическая функция, т. е. получается периодическое решение.

В случае $n=3$ мы теперь уже знаем все решения системы уравнений (13) с отрицательным $c$, так как эта система уравнений для $n=3$ равносильна системе уравнений (6), если в уравнениях (6) положить $\omega^{2}=-c$ и $x_{2 k-1}+i x_{2 k}=\zeta_{k}$. Таким образом, мы получили все решения задачи трех тел, в которых точки $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \zeta_{3}$ либо образуют равносторонний треугольник, либо лежат на прямой линии с отношением расстояний $\rho$, определяемым из уравнения (10). Это и есть обобщенные решения Лагранжа. Как частный стучай опять получается круговое решение, если положить $q=e^{i \omega t}$. В другом частном случае для $q$ нужно выбрать действительное решение уравнения (12). Последний результат в случае прямолинейного решения был получен уже Эйлером [2], который первым нашел частное решение задачи трех тел. В этой работе Эйлера уже встречается уравнение пятой степени $f(\rho)=0$.