Пусть система Гамильтона $\dot{w}=\mathfrak{J}{H}_w$ удовлетворяет тем же самым условиям, как и в предыдущем параграфе. Следовательно, $H=$ $=\frac{1}{2}{w}^{\prime }\mathfrak{S}w+\dots$ будет степенным рядом с действительными коэффициентами, начинающимся с квадратичных членов, причем этот ряд сходится в некоторой окрестности точки $w=0$. Пусть также $\mathfrak{J}\mathfrak{S}$ имеет $2n$ различных собственных значений ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,-{\lambda }_1,\dots ,-{\lambda }_n$. Докажем следующую теорему существования:

Пусть ${\lambda }_1$ чисто мнимое и пусть ни одно из $n-1$ отношений $\left({\lambda }_2/{\lambda }_1\right),\dots ,\left({\lambda }_n/{\lambda }_1\right)$ не является целым числом. Тогда существует семейство действительных периодических решений системы Гамильтона, зависящее аналитически от действительного параметра $\rho$ и обращающееся при $\rho =0$ в равновесное решение. Период $\tau =\tau (\rho )$ будет также аналитической функцией $\rho$ и $\tau (0)=\frac{2\pi }{\left|{\lambda }_1\right|}$.

Для доказательства этой теоремы будем искать решения в форме степенных рядов с неизвестными коэффициентами. Сначала будем строить формальные ряды, как уже делалось в §4, а доказательство сходимости этих рядов проведем в следующем параграфе. Переменными будут теперь неизвестные $z_1,\dots ,z_m$, не имеющие определенных численных значений, в то время как коэффициенты будут какими-то определенными комплексными числами. Если определить равенство, сумму и произведение по правилам, которые имеют место в случае сходимости, то степенные ряды образуют кольцо $R(z)$ без делителей нуля. Если ввести новые переменные ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_q$ посредством подстановки степенных рядов относительно $z_1,\dots ,z_m$, которые не содержат постоянных членов, то каждый степенной ряд относительно новой переменной $\zeta$ посредством перестановки членов перейдет в степенной ряд относительно старой переменной $z$, и поэтому кольцо $R(\zeta )$ изоморфно отобразится на часть кольца $R(z)$. Можно определить частные производные по $z_1,\dots ,z_m$ как результат почленного проведения этой операции, причем дифференцирование многочлена сводится к чисто алгебраическим операциям. Тогда в кольце $R(z)$ получатся обычные правила для производной суммы и произведения, остается в силе и цепное правило.

Сначала рассмотрим опять вместо системы Гамильтона общую нелинейную систему $(13;1)$ при том ограничении, что матрица $\mathfrak{A}$ имеет два противоположных по знаку собственных значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2=-{\lambda }_1$. Попытаемся найти частное решение, в котором $x_1,\dots ,x_m$ разлагаются в степенные ряды по двум неизвестным функциям $\xi =\xi (t),\eta =\eta (t)$. Система $(13;1)$ переходит при этом в
$$x_{\xi }\dot{\xi }+x_{\eta }\dot{\eta }=f(x)$$

Предполагая теперь, что функции $\xi ,\eta$ удовлетворяют двум дифференциальным уравнениям
$$\dot{\xi }=\alpha \xi ,\dot{\eta }=\beta \eta ,$$

причем $\alpha ,\beta$ суть степенные ряды по $\xi ,\eta$, мы нахождение каждого частного решения разделим на два этапа. Прежде всего рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
$$x_{\xi }\xi \alpha +x_{\eta }\eta \beta =f(x)$$

для $x(\xi ,\eta )$ при соответствующем выборе $\alpha (\xi ,\eta )$ и $\beta (\xi ,\eta )$, а затем уже проинтегрируем систему (1). Преимущество этого способа заключается в том, что при рассмотрении уравнения (2) можно оставаться в кольце формальных степенных рядов и не исследовать вопрос об их сходимости. Уравнение (2) при линейной подстановке $x=\mathfrak{C}y$ переходит в уравнение
$$y_{\xi }\xi \alpha +y_{\eta }\eta \beta -\mathfrak{L}y=g(y),$$

где степенной ряд
$$g(y)={\mathfrak{C}}^{-1}f(\mathfrak{C}y)-\mathfrak{L}y$$

начинается с членов второго порядка и опять $\mathfrak{L}=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$. Чтобы из уравнения (3) путем сравнения коэффициентов можно было однозначно определить $m+2$ степенных рядов $y_k(\xi ,\eta )(k=1,\dots ,m)$, $\alpha (\xi ,\eta ),\beta (\xi ,\eta )$, введем еще следующие три условия: все ряды $y_1-\xi$, $y_2-\eta$ и $y_k(k=3,\dots ,m)$ должны начинаться с членов второго порядка; $y_1-\xi$ не должно иметь членов вида $\xi (\xi \eta {)}^l$ и $y_2=-\eta$ — членов вида $\eta (\xi \eta {)}^l;\alpha$ и $\beta$ должны быть рядами только по степеням одного произведения $\xi \eta =\omega .m$ собственных значений ${\lambda }_1,{\lambda }_2=-{\lambda }_1,{\lambda }_3,\dots ,{\lambda }_m$, как и раньше, предполагаются различными; потребуем еще, чтобы никакое из $m-2$ отношений $\frac{{\lambda }_3}{{\lambda }_1},\dots ,\frac{{\lambda }_m}{{\lambda }_1}$ не было целым числом.

Подставим $m+2$ степенные ряда $y_k,\alpha ,\beta$ с неопределенными коэффициентами в уравнение (3) и приравняем прежде всего линейные члены. При этом получится, что $\alpha ,\beta$ имеют постоянные члены ${\lambda }_1,-{\lambda }_1$. Пусть теперь $s$ — натуральное число, и предположим, что приравниванием членов порядков $⩽s$ однозначно найдено $y$ до $s$-го порядка и $\alpha ,\beta$ до порядка $s-1$. Приравняем теперь в уравнении (3) коэффициенты членов вида ${\xi }^p{\eta }^q(p+q=s+1)$. Так как $g(y)$ начинается с членов второго порядка, то соответствующий коэффициент в $g(y)$ есть многочлен относительно уже известных коэффициентов в $y_1,\dots ,y_m$. Пусть $\gamma -$ искомый коэффициент при ${\xi }^p{\eta }^q$ в $y_k$. Этот член дает в соответствующем коэффициенте левой части уравнения (3) величину $\{{\lambda }_1(p-q)-{\lambda }_k\}\gamma$. Если теперь не будут одновременно иметь место равенства $k=1$ и $p=q+1$ или $k=2$ и $q=p+1$, то слева прибавляется еще один многочлен относительно уже известных коэффициентов разложений функций $y,\alpha ,\beta$. Так как тогда множитель перед $\gamma$ отличен от нуля, то $\gamma$ определяется однозначно. Если все-таки или $k=1,p=q+1$, или $k=2,q=p+1$, то в этом случае, согласно второму упомянутому выше требованию, $\gamma =0$; но, с другой стороны, тогда слева прибавляется для $k=1$ неизвестный коэффициент при ${\omega }^p$ в $\alpha$ и для $k=2$ неизвестный коэффициент при ${\omega }^q$ в $\beta$, в то время как остальные члены уже известны. Поэтому предположенное для $s$ доказано также для $s+1$, и так как оно выполняется для $s=1$, то отсюда следует по индукции разрешимость уравнения (3) при поставленных условиях.

Теперь допустим, что ряд $f(x)$ имеет действительные коэффициенты. Пусть собственное значение ${\lambda }_1$ является чисто мнимым, тогда ${\lambda }_2={\overline{\lambda }}_1$. Посмотрим, какие следствия выводятся отсюда для рядов $y(\xi ,\eta ),\alpha (\xi ,\eta ),\beta (\xi ,\eta )$. Если положить ${\mathfrak{C}}^{-1}\bar{\mathfrak{C}}=\mathfrak{T}$ и ${\mathfrak{T}}^{-1}y=y^{\ast }$, то последняя подстановка в силу уравнений $(13;6),(13;7)$ имеет простейший вид
$$y_l={\rho }_l{y}_k^{\ast }(l=l_k;k=1,\dots ,m),$$

и, в частности, $y_1={\overline{\rho }}_1{y}_2^{\ast },y_2={\overline{\rho }}_2{y}_1^{\ast },{\overline{\rho }}_1{\rho }_2=1$. В тождестве (3) перейдем теперь к комплексно сопряженным коэффициентам, причем неопределенные $\xi ,\eta$ могут оставаться постоянными. Тогда, если положить $\overline{y}=\overline{y}(\xi ,\eta )$, то
$${\bar{\mathfrak{C}}}^{-1}\overline{f}(\bar{\mathfrak{C}}y)={\mathfrak{T}}^{-1}{\mathfrak{C}}^{-1}f(\mathfrak{C}\mathfrak{T}\overline{y}),$$

и, в силу (4), уравнение (3) будет удовлетворяться, если в нем $y,\alpha$, $\beta$ заменить на $\mathfrak{T}\overline{y},\overline{\alpha },\overline{\beta }$. Обе первые составляющие вектора $\mathfrak{T}\overline{y}$ суть ${\overline{\rho }}_1{\overline{y}}_2={\overline{\rho }}_1\eta +\dots ,{\overline{\rho }}_2{\overline{y}}_1={\overline{\rho }}_2\xi +\dots$, а остальные начинаются опять с членов второго порядка. Если $\xi ,\eta$ заменить теперь на ${\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi$, то, очевидно, получится, что $\mathfrak{T}\overline{y}({\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi ),\overline{\beta }({\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi ),\overline{\alpha }({\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi )$ также составят решение уравнения (3), для которого выполнены все три требования. Вследствие доказанной единственности, отсюда получается, что
$$\mathfrak{C}y(\xi ,\eta )=\bar{\mathfrak{C}}\overline{y}({\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi ),\alpha (\xi ,\eta )=\overline{\beta }({\rho }_1\eta ,{\rho }_2\xi ).$$

Таким образом, при $\overline{\xi }={\rho }_1\eta$ в случае сходимости значения функций $\alpha (\xi ,\eta ),\beta (\xi ,\eta )$ будут комплексно сопряженными, а значение функции $\mathfrak{C}y(\xi ,\eta )=x(\xi ,\eta )$ будет действительным.

Аналогично можно рассмотреть тот случай, когда ряд $f(x)$ имеет действительные коэффициенты и ${\lambda }_1$ является действительной величиной, следовательно, ${\overline{\lambda }}_1={\lambda }_1,{\lambda }_2=-{\lambda }_1={\overline{\lambda }}_2$. Теперь $l_1=1,l_2=2$ и можно нормировать, принимая ${\rho }_1={\rho }_2=1$, после этого получается $y_1=y_1^{\ast },y_2=y_2^{\ast }$. Так как тогда обе первые компоненты $\mathfrak{T}\overline{y}$ имеют уже форму ${\overline{y}}_1=\xi +\dots ,{\overline{y}}_2=\eta +\dots$, то в этом случае
$$\mathfrak{C}y(\xi ,\eta )=\bar{\mathfrak{C}}\overline{y}(\xi ,\eta ),\alpha (\xi ,\eta )=\overline{\alpha }(\xi ,\eta ),\beta (\xi ,\eta )=\overline{\beta }(\xi ,\eta ),$$

и потому в случае сходимости для действительных $\xi ,\eta$ значения функций $x(\xi ,\eta ),\alpha (\xi ,\eta ),\beta (\xi ,\eta )$ также будут действительными.

Не будем опять требовать вещественности функции $f(x)$ и рассмотрим частный случай системы Гамильтона. Нужно показать, что тогда $\alpha (\xi ,\eta )=-\beta (\xi ,\eta )$. Использовавшиеся до сих пор обозначения целесообразно изменить следующим образом. Вместо $m$ переменных $y_1,\dots ,y_m$ возьмем $2n$ переменных $z_k=x_k,z_{k+n}=y_k(k=1,\dots ,n)$, причем, в частности, переменные $x_1,y_1$ будут играть роль переменных $y_1,y_2$ и, соответственно, ${\lambda }_2=-{\lambda }_1$ заменим на ${\lambda }_{n+1}=-{\lambda }_1$. Предположим, что в функции Гамильтона $H$ уже произведено линейное каноническое преобразование переменных, которое члены второго порядка приводит к нормальной форме, заданной равенством $(13;21)$. Тогда вместо уравнений (3), (4) имеем
$$z_{\xi }\xi \alpha +z_{\eta }\eta \beta =\mathfrak{J}{H}_z,$$

и потому для формально образованного дифференциала $dH=H_{\xi }d\xi +$ $+H_{\eta }d\eta$ получается выражение
$$dH=H_z^{\prime }dz=(\alpha \xi z_{\xi }^{\prime }+\beta \eta z_{\eta }^{\prime })\mathfrak{J}(z_{\xi }d\xi +z_{\eta }d\eta )=(\alpha \xi d\eta -\beta \eta d\xi )z_{\xi }^{\prime }\mathfrak{J}{z}_{\eta }.$$

Если положить для сокращения еще $z_{\xi }^{\prime }\mathfrak{J}{z}_{\eta }=\mathrm{\Delta }$, то $H_{\xi }=-\beta \eta \mathrm{\Delta }$, $H_{\eta }=\alpha \xi \mathrm{\Delta }$.
$$\alpha \xi H_{\xi }+\beta \eta H_{\eta }=0,$$

причем $H$ теперь является степенным рядом по $\xi ,\eta$.
С помощью уравнения (6) покажем, что $H$ есть ряд только по $\omega =\xi \eta$. Пусть уже доказано, что члены в $H$ порядка $⩽s$ образуют многочлен относительно $\omega$. Для $s=2$ это справедливо, так как
$$H=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k{y}_k+\dots ={\lambda }_1\omega +\dots$$

Пусть теперь $\gamma {\xi }^p{\eta }^q(p+q=s+1)$ — член порядка $s+1$. Так как $\alpha ={\lambda }_1+\dots ,\beta =-{\lambda }_1+\dots$, то в тождестве
$${\lambda }_1(\eta H_{\eta }-\xi H_{\xi })=(\alpha -{\lambda }_1)\xi H_{\xi }+(\beta +{\lambda }_1)\eta H_{\eta }$$

множители $\alpha -{\lambda }_1,\beta +{\lambda }_1$ будут степенными рядами по $\omega$, не содержащими постоянных членов. Применяя здесь метод полной индукции, допустим, что стоящие справа члены порядков $⩽s+2$ образуют многочлен относительно $\omega$. Коэффициент при ${\xi }^p{\eta }^q$ в левой части равенства будет равен ${\lambda }_1(p-q)\gamma$, следовательно, $\gamma =0$ при $peqq$, и этим сформулированное выше утверждение доказывается для $s+1$.
Так как $H$ зависит только от $\omega$, то
$$H_{\xi }=\eta H_{\omega },H_{\eta }=\xi H_{\omega },$$

и уравнение (6) переходит в
$$(\alpha +\beta )\omega H_{\omega }=0.$$

Так как $\omega H_{\omega }={\lambda }_1\omega +\dots$ не будет степенным рядом, тождественно равным нулю, то получаем условие
$$\alpha +\beta =0.$$

Возвратимся еще раз к общему случаю уравнения (2) и допустим, что для найденного решения выполняется также условие (7). В следующем параграфе будет показано, что тогда в случае сходимости функции $f(x)$ ряды $y(\xi ,\eta ),\alpha ,\beta$ будут также сходящимися для комплексных $\xi ,\eta$, модули которых достаточно малы. Поэтому дифференциальные уравнения (1) получают некоторый смысл. Согласно условию (7), будем иметь теперь
$$\dot{\omega }=\dot{\xi }\eta +\xi \dot{\eta }=(\alpha +\beta )\xi \eta =0,$$

следовательно, $\omega ,\alpha ,\beta$ не зависят от $t$. Отсюда следует далее
$$\xi ={\xi }_0{e}^{\alpha t},\eta ={\eta }_0{e}^{\beta t}.$$

Пусть ряд $f(x)$ имеет опять действительные коэффициенты и ${\lambda }_1$ чисто мнимое; выберем начальные значения ${\xi }_0,{\eta }_0$ для переменных $\xi$, $\eta$ при $t=0$ в соответствии с условием ${\overline{\xi }}_0={\rho }_1{\eta }_0$ и потребуем, чтобы $\left|{\xi }_0\right|$ было достаточно мало. Тогда, согласно ранее полученному результату, числа $\alpha =\alpha (\xi ,\eta )=\alpha ({\xi }_0,{\eta }_0)$ и $\beta =\beta (\xi ,\eta )=\beta ({\xi }_0,{\eta }_0)$ будут комплексно сопряженными, следовательно, согласно условию (7), они будут сопряженными и чисто мнимыми. В соответствии с (8), тогда также $\overline{\xi }={\rho }_1\eta$ для всех действительных $t$ и $|\xi |=\left|{\xi }_0\right|$; следовательно, согласно упомянутому уже результату, $x(\xi ,\eta )$ также будет действительным. Поэтому (8) представляет семейство действительных периодических решений системы дифференциальных уравнений $(13;1)$, которое содержит комплексный параметр ${\xi }_0$. Так как правые части дифференциальных уравнений не зависят явно от $t$, то каждая кривая, изображающая решение, переходит сама в себя, если $t$ заменить на $t+c$ при произвольном $c$. Поэтому достаточно выбрать ${\xi }_0=\rho ⩾0$. Период имеет величину $\tau (\rho )=2\pi /|\alpha |$, где $\alpha ={\lambda }_1+\dots$; следовательно, $\tau (0)=2\pi /\left|{\lambda }_1\right|$. Так как в соответствии с нашей заменой $y_1=\xi +\dots ,y_2=\eta +\dots$, то получим также, что $y_1,y_2$ при достаточно малом $\rho >0$ действительно зависят от $t$, и тогда $\tau (\rho )$ есть примитивный период. В силу (8) найденные степенные ряды могут быть записаны в следующем параграфе как ряды Фурье по кратным $|\alpha |t$. Поэтому, после того как будет проведено доказательство сходимости, огсюда будет следовать утверждение теоремы.

Пусть теперь функция $f(x)$ имеет действительные коэффициенты и ${\lambda }_1$ действительно, а следовательно, и ${\lambda }_2=-{\lambda }_1$ действительно; выберем тогда начальные значения ${\xi }_0,{\eta }_0$ действительными и $\left|{\xi }_0\right|,\left|{\eta }_0\right|$
достаточно малыми. В этом случае числа $\alpha =\alpha (\xi ,\eta )=\alpha ({\xi }_0,{\eta }_0)$ и $\beta =-\alpha$ будут действительными, следовательно, в силу равенств (8) и $\xi$, $\eta$ действительны для всех действительных $t$. Тогда $x(\xi ,\eta )$ сходится, во всяком случае, для достаточно малых $|t|$ и тоже является действительным. Семейство решений (8), зависящее в плоскости ( $\xi ,\eta$ ) от действительных параметров ${\xi }_0,{\eta }_0$, есть семейство равносторонних гипербол или, точнее, если различать разные знаки ${\xi }_0,{\eta }_0$, то четыре семейства гипербол. Таким образом, мы получили четыре однопараметрических семейства действительных решений системы $(13;1)$. Если теперь $\alpha >0$ и $\beta =-\alpha <0$, то $e^{\alpha t}$ (соответственно $e^{\beta t}$ ) стремится к $\mathrm{\infty }$ при $t\to \mathrm{\infty }$ (соответственно при $t\to -\mathrm{\infty }$ ). Следовательно, при ${\xi }_0{\eta }_{0}eq0$ в соответствии с равенствами (8) точка $\xi ,\eta$ остается в заданной ограниченной окрестности начал координат только в течение ограниченного времени, в то время как при ${\xi }_0=0,{\eta }_{0}eq0$ и $t\to \mathrm{\infty }$ она, двигаясь по оси $\eta$, возвращается в начало координат; аналогичная картина имеет место по оси $\xi$ при ${\xi }_{0}eq0,{\eta }_0=0,t\to -\mathrm{\infty }$. Соответственно двум возможным знакам ${\eta }_0$ и ${\xi }_0$ получаются четыре рєшения $x(t)$, которые при $t\to \mathrm{\infty }$ (соответственно при $t\to -\mathrm{\infty }$ ) асимптотически приближаются к решению, соответствующему положению равновесия. Напротив, для случая ${\xi }_0{\eta }_{0}eq0$ найденное решение $x(t)$ обладает тем свойством, что оно остается в достаточно малой окрестности начала координат $x=0$ только в течение ограниченного времени; значит, оно сначала будет некоторое время находиться в этой окрестности, а потом опять уйдет в бесконечность. Впрочем, нельзя заключить, что между этими решениями будут периодические с действительным периодом, так как невозможно установить периодичность, используя только локальное исследование. Если положить $e^{\alpha t}=q$, то $x_k(t)(k=1,\dots ,m)$ будут рядами Лорана относительно переменной $q$ и будут иметь по $t$ чисто мнимый период $2\pi i/\alpha$. Чтобы лучше разъяснить этот результат, рассмотрим для сравнения систему
$$\dot{x}=x+x(xy{)}^g,\dot{y}=-y+y(xy{)}^g,$$

которая образована по аналогии с системой $(13;24)$; здесь $g$ — опять заданное натуральное число. Тогда
$$(xy{)}^{\cdot }=2(xy{)}^{g+1},y\dot{x}-x\dot{y}=2xy.$$

Рассмотрим сначала случай $xyeq0$, тогда
$$xy=(a-2gt{)}^{-1/g},x=by{e}^{2t}$$

с двумя постоянными интегрирования $aeq0,beq0$; отсюда
$$x=b^{1/2}{e}^t(a-2gt{)}^{-1/2g},y=b^{-1/2}{e}^{-t}(a-2gt{)}^{-1/2g},$$

в то время как при $xy=0$ получается частное решение $x=0,y=c{e}^{-t}$ и $x=c{e}^t,y=0$ с постоянной $c$. В этом случае ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-1$, но все же нет решения из однопараметрического семейства (9) с комплексным периодом. Отсюда вытекает аналитичность решений системы Гамильтона и для действительного ${\lambda }_1$, которая, вообе говоря, не имеет места для системы $(13;1)$.

Для последовательного нахождения коэффициентов разложения в ряды функций $y,\alpha ,\beta$ путем сравнения коэффициентов существенно, чтобы все $m-2$ отношения ${\lambda }_3/{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m/{\lambda }_1$ не равнялись целым числам. В случае системы Гамильтона это соответствует тому, чтобы ни одно из $n-1$ отношений ${\lambda }_2/{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n/{\lambda }_1$ не было целым. На примере покажем, что это предположение не является лишним для справедливости теоремы существования. Возьмем функцию Гамильтона в виде многочлена третьей степени
$$H=\frac{1}{2}(x_1^2+y_1^2)-x_2^2-y_2^2+x_1{y}_1{x}_2+\frac{1}{2}(x_1^2-y_1^2)y_2.$$

Тогда соответствующая система
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=y_1+x_1{x}_2-y_1{y}_2,\\ {\dot{y}}_1=-x_1-y_1{x}_2-x_1{y}_2,\\ {\dot{x}}_2=-2y_2+\frac{1}{2}(x_1^2-y_1^2),\\ {\dot{y}}_2=2x_2-x_1{y}_1,\end{array}$$

очевидно, имеет равновесное решение $x_1=x_2=y_1=y_2=0$; собственными значениями будут ${\lambda }_1=-{\lambda }_3=i,{\lambda }_2=-{\lambda }_4=2i$. Беря в качестве собственного значения, рассматриваемого в теореме существования, чисто мнимое значениє ${\lambda }_2$, удовлетворим предположению, что ${\lambda }_1/{\lambda }_2=1/2$ не будет целым числом, откуда следует существование однопараметрического семейства периодических решений с периодом, приблизительно равным $2\pi i/{\lambda }_2=\pi$. Это решение легко получить непосредственно. Действительно, при начальных значениях $x_1=y_1=0$ получим в силу теоремы единственности решений дифференциальных уравнений общее решение
$$x_1=0,y_1=0,x_2=\alpha \cos 2t-\beta \sin 2t,y_2=\alpha \sin 2t+\beta \cos 2t$$

с постоянными $\alpha ,\beta$, являющееся окружностью в плоскости $(x_2,y_2)$, которая пробегается один раз за время $\pi$. При этом радиус остается произвольным. Это как раз то решение, которое получается из теоремы существования, и потому период здесь равен точно $\pi$ и не только в первом приближении. Но если взять в качестве собственного значения, рассматриваемого в теореме существования, величину ${\lambda }_1$, то можно показать, что фактически не существует периодических решений с периодом, близким к $2\pi i/{\lambda }_1=2\pi$, если не рассматривать тривиальное решение. Так как в этом случае нарушено предположение теоремы существования о том, что ${\lambda }_2/{\lambda }_1$ не должно равняться целому числу (здесь оно равно двум), то отсюда видно, что указанное предположение не является несущественным. Мы видели уже, что все решения с начальными значениями $x_1=y_1=0$ имеют период $\pi$. Покажем теперь, что все другие действительные решения не будут периодическими. По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений для таких решений, во всяком случае, будет всегда справедливо неравенство $p=x_1^2+y_1^2>0$. Положим $q=x_2^2+y_2^2$, тогда из системы (10), если соответствующим образом сгруппировать члены, весьма просто получается дифференциальное уравнение
$$\ddot{p}=4pq+p^2.$$

Вследствие условий $p^2>0,4pq⩾0$ отсюда получается, что $p$ есть выпуклая функция $t$ в строгом смысле, которая, следовательно, не является периодической. Итак, в рассмотренном случае фактически не существует других периодических решений, кроме кругового.