Пусть система Гамильтона $\dot{w}=\mathfrak{J} H_{w}$ удовлетворяет тем же самым условиям, как и в предыдущем параграфе. Следовательно, $H=$ $=\frac{1}{2} w^{\prime} \mathfrak{S} w+\ldots$ будет степенным рядом с действительными коэффициентами, начинающимся с квадратичных членов, причем этот ряд сходится в некоторой окрестности точки $w=0$. Пусть также $\mathfrak{J} \mathfrak{S}$ имеет $2 n$ различных собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n},-\lambda_{1}, \ldots,-\lambda_{n}$. Докажем следующую теорему существования:

Пусть $\lambda_{1}$ чисто мнимое и пусть ни одно из $n-1$ отношений $\left(\lambda_{2} / \lambda_{1}\right), \ldots,\left(\lambda_{n} / \lambda_{1}\right)$ не является целым числом. Тогда существует семейство действительных периодических решений системы Гамильтона, зависящее аналитически от действительного параметра $\rho$ и обращающееся при $\rho=0$ в равновесное решение. Период $\tau=\tau(\rho)$ будет также аналитической функцией $\rho$ и $\tau(0)=\frac{2 \pi}{\left|\lambda_{1}\right|}$.

Для доказательства этой теоремы будем искать решения в форме степенных рядов с неизвестными коэффициентами. Сначала будем строить формальные ряды, как уже делалось в §4, а доказательство сходимости этих рядов проведем в следующем параграфе. Переменными будут теперь неизвестные $z_{1}, \ldots, z_{m}$, не имеющие определенных численных значений, в то время как коэффициенты будут какими-то определенными комплексными числами. Если определить равенство, сумму и произведение по правилам, которые имеют место в случае сходимости, то степенные ряды образуют кольцо $R(z)$ без делителей нуля. Если ввести новые переменные $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{q}$ посредством подстановки степенных рядов относительно $z_{1}, \ldots, z_{m}$, которые не содержат постоянных членов, то каждый степенной ряд относительно новой переменной $\zeta$ посредством перестановки членов перейдет в степенной ряд относительно старой переменной $z$, и поэтому кольцо $R(\zeta)$ изоморфно отобразится на часть кольца $R(z)$. Можно определить частные производные по $z_{1}, \ldots, z_{m}$ как результат почленного проведения этой операции, причем дифференцирование многочлена сводится к чисто алгебраическим операциям. Тогда в кольце $R(z)$ получатся обычные правила для производной суммы и произведения, остается в силе и цепное правило.

Сначала рассмотрим опять вместо системы Гамильтона общую нелинейную систему $(13 ; 1)$ при том ограничении, что матрица $\mathfrak{A}$ имеет два противоположных по знаку собственных значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}=-\lambda_{1}$. Попытаемся найти частное решение, в котором $x_{1}, \ldots, x_{m}$ разлагаются в степенные ряды по двум неизвестным функциям $\xi=\xi(t), \eta=\eta(t)$. Система $(13 ; 1)$ переходит при этом в
\[
x_{\xi} \dot{\xi}+x_{\eta} \dot{\eta}=f(x)
\]

Предполагая теперь, что функции $\xi, \eta$ удовлетворяют двум дифференциальным уравнениям
\[
\dot{\xi}=\alpha \xi, \quad \dot{\eta}=\beta \eta,
\]

причем $\alpha, \beta$ суть степенные ряды по $\xi, \eta$, мы нахождение каждого частного решения разделим на два этапа. Прежде всего рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
\[
x_{\xi} \xi \alpha+x_{\eta} \eta \beta=f(x)
\]

для $x(\xi, \eta)$ при соответствующем выборе $\alpha(\xi, \eta)$ и $\beta(\xi, \eta)$, а затем уже проинтегрируем систему (1). Преимущество этого способа заключается в том, что при рассмотрении уравнения (2) можно оставаться в кольце формальных степенных рядов и не исследовать вопрос об их сходимости. Уравнение (2) при линейной подстановке $x=\mathfrak{C} y$ переходит в уравнение
\[
y_{\xi} \xi \alpha+y_{\eta} \eta \beta-\mathfrak{L} y=g(y),
\]

где степенной ряд
\[
g(y)=\mathfrak{C}^{-1} f(\mathfrak{C} y)-\mathfrak{L} y
\]

начинается с членов второго порядка и опять $\mathfrak{L}=\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}\right]$. Чтобы из уравнения (3) путем сравнения коэффициентов можно было однозначно определить $m+2$ степенных рядов $y_{k}(\xi, \eta)(k=1, \ldots, m)$, $\alpha(\xi, \eta), \beta(\xi, \eta)$, введем еще следующие три условия: все ряды $y_{1}-\xi$, $y_{2}-\eta$ и $y_{k}(k=3, \ldots, m)$ должны начинаться с членов второго порядка; $y_{1}-\xi$ не должно иметь членов вида $\xi(\xi \eta)^{l}$ и $y_{2}=-\eta$ – членов вида $\eta(\xi \eta)^{l} ; \alpha$ и $\beta$ должны быть рядами только по степеням одного произведения $\xi \eta=\omega . m$ собственных значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}=-\lambda_{1}, \lambda_{3}, \ldots, \lambda_{m}$, как и раньше, предполагаются различными; потребуем еще, чтобы никакое из $m-2$ отношений $\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{1}}, \ldots, \frac{\lambda_{m}}{\lambda_{1}}$ не было целым числом.

Подставим $m+2$ степенные ряда $y_{k}, \alpha, \beta$ с неопределенными коэффициентами в уравнение (3) и приравняем прежде всего линейные члены. При этом получится, что $\alpha, \beta$ имеют постоянные члены $\lambda_{1},-\lambda_{1}$. Пусть теперь $s$ – натуральное число, и предположим, что приравниванием членов порядков $\leqslant s$ однозначно найдено $y$ до $s$-го порядка и $\alpha, \beta$ до порядка $s-1$. Приравняем теперь в уравнении (3) коэффициенты членов вида $\xi^{p} \eta^{q}(p+q=s+1)$. Так как $g(y)$ начинается с членов второго порядка, то соответствующий коэффициент в $g(y)$ есть многочлен относительно уже известных коэффициентов в $y_{1}, \ldots, y_{m}$. Пусть $\gamma-$ искомый коэффициент при $\xi^{p} \eta^{q}$ в $y_{k}$. Этот член дает в соответствующем коэффициенте левой части уравнения (3) величину $\left\{\lambda_{1}(p-q)-\lambda_{k}\right\} \gamma$. Если теперь не будут одновременно иметь место равенства $k=1$ и $p=q+1$ или $k=2$ и $q=p+1$, то слева прибавляется еще один многочлен относительно уже известных коэффициентов разложений функций $y, \alpha, \beta$. Так как тогда множитель перед $\gamma$ отличен от нуля, то $\gamma$ определяется однозначно. Если все-таки или $k=1, p=q+1$, или $k=2, q=p+1$, то в этом случае, согласно второму упомянутому выше требованию, $\gamma=0$; но, с другой стороны, тогда слева прибавляется для $k=1$ неизвестный коэффициент при $\omega^{p}$ в $\alpha$ и для $k=2$ неизвестный коэффициент при $\omega^{q}$ в $\beta$, в то время как остальные члены уже известны. Поэтому предположенное для $s$ доказано также для $s+1$, и так как оно выполняется для $s=1$, то отсюда следует по индукции разрешимость уравнения (3) при поставленных условиях.

Теперь допустим, что ряд $f(x)$ имеет действительные коэффициенты. Пусть собственное значение $\lambda_{1}$ является чисто мнимым, тогда $\lambda_{2}=\bar{\lambda}_{1}$. Посмотрим, какие следствия выводятся отсюда для рядов $y(\xi, \eta), \alpha(\xi, \eta), \beta(\xi, \eta)$. Если положить $\mathfrak{C}^{-1} \overline{\mathfrak{C}}=\mathfrak{T}$ и $\mathfrak{T}^{-1} y=y^{*}$, то последняя подстановка в силу уравнений $(13 ; 6),(13 ; 7)$ имеет простейший вид
\[
y_{l}=\rho_{l} y_{k}^{*} \quad\left(l=l_{k} ; k=1, \ldots, m\right),
\]

и, в частности, $y_{1}=\bar{\rho}_{1} y_{2}^{*}, y_{2}=\bar{\rho}_{2} y_{1}^{*}, \bar{\rho}_{1} \rho_{2}=1$. В тождестве (3) перейдем теперь к комплексно сопряженным коэффициентам, причем неопределенные $\xi, \eta$ могут оставаться постоянными. Тогда, если положить $\bar{y}=\bar{y}(\xi, \eta)$, то
\[
\overline{\mathfrak{C}}^{-1} \bar{f}(\overline{\mathfrak{C}} y)=\mathfrak{T}^{-1} \mathfrak{C}^{-1} f(\mathfrak{C} \mathfrak{T} \bar{y}),
\]

и, в силу (4), уравнение (3) будет удовлетворяться, если в нем $y, \alpha$, $\beta$ заменить на $\mathfrak{T} \bar{y}, \bar{\alpha}, \bar{\beta}$. Обе первые составляющие вектора $\mathfrak{T} \bar{y}$ суть $\bar{\rho}_{1} \bar{y}_{2}=\bar{\rho}_{1} \eta+\ldots, \bar{\rho}_{2} \bar{y}_{1}=\bar{\rho}_{2} \xi+\ldots$, а остальные начинаются опять с членов второго порядка. Если $\xi, \eta$ заменить теперь на $\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi$, то, очевидно, получится, что $\mathfrak{T} \bar{y}\left(\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi\right), \bar{\beta}\left(\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi\right), \bar{\alpha}\left(\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi\right)$ также составят решение уравнения (3), для которого выполнены все три требования. Вследствие доказанной единственности, отсюда получается, что
\[
\mathfrak{C} y(\xi, \eta)=\overline{\mathfrak{C}} \bar{y}\left(\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi\right), \quad \alpha(\xi, \eta)=\bar{\beta}\left(\rho_{1} \eta, \rho_{2} \xi\right) .
\]

Таким образом, при $\bar{\xi}=\rho_{1} \eta$ в случае сходимости значения функций $\alpha(\xi, \eta), \beta(\xi, \eta)$ будут комплексно сопряженными, а значение функции $\mathfrak{C} y(\xi, \eta)=x(\xi, \eta)$ будет действительным.

Аналогично можно рассмотреть тот случай, когда ряд $f(x)$ имеет действительные коэффициенты и $\lambda_{1}$ является действительной величиной, следовательно, $\bar{\lambda}_{1}=\lambda_{1}, \lambda_{2}=-\lambda_{1}=\bar{\lambda}_{2}$. Теперь $l_{1}=1, l_{2}=2$ и можно нормировать, принимая $\rho_{1}=\rho_{2}=1$, после этого получается $y_{1}=y_{1}^{*}, y_{2}=y_{2}^{*}$. Так как тогда обе первые компоненты $\mathfrak{T} \bar{y}$ имеют уже форму $\bar{y}_{1}=\xi+\ldots, \bar{y}_{2}=\eta+\ldots$, то в этом случае
\[
\mathfrak{C} y(\xi, \eta)=\overline{\mathfrak{C}} \bar{y}(\xi, \eta), \quad \alpha(\xi, \eta)=\bar{\alpha}(\xi, \eta), \quad \beta(\xi, \eta)=\bar{\beta}(\xi, \eta),
\]

и потому в случае сходимости для действительных $\xi, \eta$ значения функций $x(\xi, \eta), \alpha(\xi, \eta), \beta(\xi, \eta)$ также будут действительными.

Не будем опять требовать вещественности функции $f(x)$ и рассмотрим частный случай системы Гамильтона. Нужно показать, что тогда $\alpha(\xi, \eta)=-\beta(\xi, \eta)$. Использовавшиеся до сих пор обозначения целесообразно изменить следующим образом. Вместо $m$ переменных $y_{1}, \ldots, y_{m}$ возьмем $2 n$ переменных $z_{k}=x_{k}, z_{k+n}=y_{k}(k=1, \ldots, n)$, причем, в частности, переменные $x_{1}, y_{1}$ будут играть роль переменных $y_{1}, y_{2}$ и, соответственно, $\lambda_{2}=-\lambda_{1}$ заменим на $\lambda_{n+1}=-\lambda_{1}$. Предположим, что в функции Гамильтона $H$ уже произведено линейное каноническое преобразование переменных, которое члены второго порядка приводит к нормальной форме, заданной равенством $(13 ; 21)$. Тогда вместо уравнений (3), (4) имеем
\[
z_{\xi} \xi \alpha+z_{\eta} \eta \beta=\mathfrak{J} H_{z},
\]

и потому для формально образованного дифференциала $d H=H_{\xi} d \xi+$ $+H_{\eta} d \eta$ получается выражение
\[
d H=H_{z}^{\prime} d z=\left(\alpha \xi z_{\xi}^{\prime}+\beta \eta z_{\eta}^{\prime}\right) \mathfrak{J}\left(z_{\xi} d \xi+z_{\eta} d \eta\right)=(\alpha \xi d \eta-\beta \eta d \xi) z_{\xi}^{\prime} \mathfrak{J} z_{\eta} .
\]

Если положить для сокращения еще $z_{\xi}^{\prime} \mathfrak{J} z_{\eta}=\Delta$, то $H_{\xi}=-\beta \eta \Delta$, $H_{\eta}=\alpha \xi \Delta$.
\[
\alpha \xi H_{\xi}+\beta \eta H_{\eta}=0,
\]

причем $H$ теперь является степенным рядом по $\xi, \eta$.
С помощью уравнения (6) покажем, что $H$ есть ряд только по $\omega=\xi \eta$. Пусть уже доказано, что члены в $H$ порядка $\leqslant s$ образуют многочлен относительно $\omega$. Для $s=2$ это справедливо, так как
\[
H=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} x_{k} y_{k}+\ldots=\lambda_{1} \omega+\ldots
\]

Пусть теперь $\gamma \xi^{p} \eta^{q}(p+q=s+1)$ – член порядка $s+1$. Так как $\alpha=\lambda_{1}+\ldots, \beta=-\lambda_{1}+\ldots$, то в тождестве
\[
\lambda_{1}\left(\eta H_{\eta}-\xi H_{\xi}\right)=\left(\alpha-\lambda_{1}\right) \xi H_{\xi}+\left(\beta+\lambda_{1}\right) \eta H_{\eta}
\]

множители $\alpha-\lambda_{1}, \beta+\lambda_{1}$ будут степенными рядами по $\omega$, не содержащими постоянных членов. Применяя здесь метод полной индукции, допустим, что стоящие справа члены порядков $\leqslant s+2$ образуют многочлен относительно $\omega$. Коэффициент при $\xi^{p} \eta^{q}$ в левой части равенства будет равен $\lambda_{1}(p-q) \gamma$, следовательно, $\gamma=0$ при $p
eq q$, и этим сформулированное выше утверждение доказывается для $s+1$.
Так как $H$ зависит только от $\omega$, то
\[
H_{\xi}=\eta H_{\omega}, \quad H_{\eta}=\xi H_{\omega},
\]

и уравнение (6) переходит в
\[
(\alpha+\beta) \omega H_{\omega}=0 .
\]

Так как $\omega H_{\omega}=\lambda_{1} \omega+\ldots$ не будет степенным рядом, тождественно равным нулю, то получаем условие
\[
\alpha+\beta=0 .
\]

Возвратимся еще раз к общему случаю уравнения (2) и допустим, что для найденного решения выполняется также условие (7). В следующем параграфе будет показано, что тогда в случае сходимости функции $f(x)$ ряды $y(\xi, \eta), \alpha, \beta$ будут также сходящимися для комплексных $\xi, \eta$, модули которых достаточно малы. Поэтому дифференциальные уравнения (1) получают некоторый смысл. Согласно условию (7), будем иметь теперь
\[
\dot{\omega}=\dot{\xi} \eta+\xi \dot{\eta}=(\alpha+\beta) \xi \eta=0,
\]

следовательно, $\omega, \alpha, \beta$ не зависят от $t$. Отсюда следует далее
\[
\xi=\xi_{0} e^{\alpha t}, \quad \eta=\eta_{0} e^{\beta t} .
\]

Пусть ряд $f(x)$ имеет опять действительные коэффициенты и $\lambda_{1}$ чисто мнимое; выберем начальные значения $\xi_{0}, \eta_{0}$ для переменных $\xi$, $\eta$ при $t=0$ в соответствии с условием $\bar{\xi}_{0}=\rho_{1} \eta_{0}$ и потребуем, чтобы $\left|\xi_{0}\right|$ было достаточно мало. Тогда, согласно ранее полученному результату, числа $\alpha=\alpha(\xi, \eta)=\alpha\left(\xi_{0}, \eta_{0}\right)$ и $\beta=\beta(\xi, \eta)=\beta\left(\xi_{0}, \eta_{0}\right)$ будут комплексно сопряженными, следовательно, согласно условию (7), они будут сопряженными и чисто мнимыми. В соответствии с (8), тогда также $\bar{\xi}=\rho_{1} \eta$ для всех действительных $t$ и $|\xi|=\left|\xi_{0}\right|$; следовательно, согласно упомянутому уже результату, $x(\xi, \eta)$ также будет действительным. Поэтому (8) представляет семейство действительных периодических решений системы дифференциальных уравнений $(13 ; 1)$, которое содержит комплексный параметр $\xi_{0}$. Так как правые части дифференциальных уравнений не зависят явно от $t$, то каждая кривая, изображающая решение, переходит сама в себя, если $t$ заменить на $t+c$ при произвольном $c$. Поэтому достаточно выбрать $\xi_{0}=\rho \geqslant 0$. Период имеет величину $\tau(\rho)=2 \pi /|\alpha|$, где $\alpha=\lambda_{1}+\ldots$; следовательно, $\tau(0)=2 \pi /\left|\lambda_{1}\right|$. Так как в соответствии с нашей заменой $y_{1}=\xi+\ldots, y_{2}=\eta+\ldots$, то получим также, что $y_{1}, y_{2}$ при достаточно малом $\rho>0$ действительно зависят от $t$, и тогда $\tau(\rho)$ есть примитивный период. В силу (8) найденные степенные ряды могут быть записаны в следующем параграфе как ряды Фурье по кратным $|\alpha| t$. Поэтому, после того как будет проведено доказательство сходимости, огсюда будет следовать утверждение теоремы.

Пусть теперь функция $f(x)$ имеет действительные коэффициенты и $\lambda_{1}$ действительно, а следовательно, и $\lambda_{2}=-\lambda_{1}$ действительно; выберем тогда начальные значения $\xi_{0}, \eta_{0}$ действительными и $\left|\xi_{0}\right|,\left|\eta_{0}\right|$
достаточно малыми. В этом случае числа $\alpha=\alpha(\xi, \eta)=\alpha\left(\xi_{0}, \eta_{0}\right)$ и $\beta=-\alpha$ будут действительными, следовательно, в силу равенств (8) и $\xi$, $\eta$ действительны для всех действительных $t$. Тогда $x(\xi, \eta)$ сходится, во всяком случае, для достаточно малых $|t|$ и тоже является действительным. Семейство решений (8), зависящее в плоскости ( $\xi, \eta$ ) от действительных параметров $\xi_{0}, \eta_{0}$, есть семейство равносторонних гипербол или, точнее, если различать разные знаки $\xi_{0}, \eta_{0}$, то четыре семейства гипербол. Таким образом, мы получили четыре однопараметрических семейства действительных решений системы $(13 ; 1)$. Если теперь $\alpha>0$ и $\beta=-\alpha<0$, то $e^{\alpha t}$ (соответственно $e^{\beta t}$ ) стремится к $\infty$ при $t \rightarrow \infty$ (соответственно при $t \rightarrow-\infty$ ). Следовательно, при $\xi_{0} \eta_{0}
eq 0$ в соответствии с равенствами (8) точка $\xi, \eta$ остается в заданной ограниченной окрестности начал координат только в течение ограниченного времени, в то время как при $\xi_{0}=0, \eta_{0}
eq 0$ и $t \rightarrow \infty$ она, двигаясь по оси $\eta$, возвращается в начало координат; аналогичная картина имеет место по оси $\xi$ при $\xi_{0}
eq 0, \eta_{0}=0, t \rightarrow-\infty$. Соответственно двум возможным знакам $\eta_{0}$ и $\xi_{0}$ получаются четыре рєшения $x(t)$, которые при $t \rightarrow \infty$ (соответственно при $t \rightarrow-\infty$ ) асимптотически приближаются к решению, соответствующему положению равновесия. Напротив, для случая $\xi_{0} \eta_{0}
eq 0$ найденное решение $x(t)$ обладает тем свойством, что оно остается в достаточно малой окрестности начала координат $x=0$ только в течение ограниченного времени; значит, оно сначала будет некоторое время находиться в этой окрестности, а потом опять уйдет в бесконечность. Впрочем, нельзя заключить, что между этими решениями будут периодические с действительным периодом, так как невозможно установить периодичность, используя только локальное исследование. Если положить $e^{\alpha t}=q$, то $x_{k}(t)(k=1, \ldots, m)$ будут рядами Лорана относительно переменной $q$ и будут иметь по $t$ чисто мнимый период $2 \pi i / \alpha$. Чтобы лучше разъяснить этот результат, рассмотрим для сравнения систему
\[
\dot{x}=x+x(x y)^{g}, \quad \dot{y}=-y+y(x y)^{g},
\]

которая образована по аналогии с системой $(13 ; 24)$; здесь $g$ – опять заданное натуральное число. Тогда
\[
(x y)^{\cdot}=2(x y)^{g+1}, \quad y \dot{x}-x \dot{y}=2 x y .
\]

Рассмотрим сначала случай $x y
eq 0$, тогда
\[
x y=(a-2 g t)^{-1 / g}, \quad x=b y e^{2 t}
\]

с двумя постоянными интегрирования $a
eq 0, b
eq 0$; отсюда
\[
x=b^{1 / 2} e^{t}(a-2 g t)^{-1 / 2 g}, \quad y=b^{-1 / 2} e^{-t}(a-2 g t)^{-1 / 2 g},
\]

в то время как при $x y=0$ получается частное решение $x=0, y=c e^{-t}$ и $x=c e^{t}, y=0$ с постоянной $c$. В этом случае $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1$, но все же нет решения из однопараметрического семейства (9) с комплексным периодом. Отсюда вытекает аналитичность решений системы Гамильтона и для действительного $\lambda_{1}$, которая, вообе говоря, не имеет места для системы $(13 ; 1)$.

Для последовательного нахождения коэффициентов разложения в ряды функций $y, \alpha, \beta$ путем сравнения коэффициентов существенно, чтобы все $m-2$ отношения $\lambda_{3} / \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m} / \lambda_{1}$ не равнялись целым числам. В случае системы Гамильтона это соответствует тому, чтобы ни одно из $n-1$ отношений $\lambda_{2} / \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} / \lambda_{1}$ не было целым. На примере покажем, что это предположение не является лишним для справедливости теоремы существования. Возьмем функцию Гамильтона в виде многочлена третьей степени
\[
H=\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}+x_{1} y_{1} x_{2}+\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}-y_{1}^{2}\right) y_{2} .
\]

Тогда соответствующая система
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=y_{1}+x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}, \\
\dot{y}_{1}=-x_{1}-y_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}, \\
\dot{x}_{2}=-2 y_{2}+\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}-y_{1}^{2}\right), \\
\dot{y}_{2}=2 x_{2}-x_{1} y_{1},
\end{array}\right.
\]

очевидно, имеет равновесное решение $x_{1}=x_{2}=y_{1}=y_{2}=0$; собственными значениями будут $\lambda_{1}=-\lambda_{3}=i, \lambda_{2}=-\lambda_{4}=2 i$. Беря в качестве собственного значения, рассматриваемого в теореме существования, чисто мнимое значениє $\lambda_{2}$, удовлетворим предположению, что $\lambda_{1} / \lambda_{2}=1 / 2$ не будет целым числом, откуда следует существование однопараметрического семейства периодических решений с периодом, приблизительно равным $2 \pi i / \lambda_{2}=\pi$. Это решение легко получить непосредственно. Действительно, при начальных значениях $x_{1}=y_{1}=0$ получим в силу теоремы единственности решений дифференциальных уравнений общее решение
\[
x_{1}=0, \quad y_{1}=0, \quad x_{2}=\alpha \cos 2 t-\beta \sin 2 t, \quad y_{2}=\alpha \sin 2 t+\beta \cos 2 t
\]

с постоянными $\alpha, \beta$, являющееся окружностью в плоскости $\left(x_{2}, y_{2}\right)$, которая пробегается один раз за время $\pi$. При этом радиус остается произвольным. Это как раз то решение, которое получается из теоремы существования, и потому период здесь равен точно $\pi$ и не только в первом приближении. Но если взять в качестве собственного значения, рассматриваемого в теореме существования, величину $\lambda_{1}$, то можно показать, что фактически не существует периодических решений с периодом, близким к $2 \pi i / \lambda_{1}=2 \pi$, если не рассматривать тривиальное решение. Так как в этом случае нарушено предположение теоремы существования о том, что $\lambda_{2} / \lambda_{1}$ не должно равняться целому числу (здесь оно равно двум), то отсюда видно, что указанное предположение не является несущественным. Мы видели уже, что все решения с начальными значениями $x_{1}=y_{1}=0$ имеют период $\pi$. Покажем теперь, что все другие действительные решения не будут периодическими. По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений для таких решений, во всяком случае, будет всегда справедливо неравенство $p=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>0$. Положим $q=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}$, тогда из системы (10), если соответствующим образом сгруппировать члены, весьма просто получается дифференциальное уравнение
\[
\ddot{p}=4 p q+p^{2} .
\]

Вследствие условий $p^{2}>0,4 p q \geqslant 0$ отсюда получается, что $p$ есть выпуклая функция $t$ в строгом смысле, которая, следовательно, не является периодической. Итак, в рассмотренном случае фактически не существует других периодических решений, кроме кругового.