Попытаемся теперь найти периодические решения задачи трех тел, отличные от рассмотренных в предыдущем параграфе. При этом мы ограничимся опять только плоскими решениями. Вначале исключим из рассмотрения материальную точку $P_{2}$ и рассмотрим движения только двух материальных точек $P_{1}$ и $P_{3}$. Эти точки описывают конические сечения, и можно, в частности, принять, что они имеют круговые орбиты вокруг их общего центра инерции $P_{0}$. Заменим теперь $P_{1}, P_{3}$ через $P_{0}$ и введем в рассмотрение третью материальную точку $P_{2}$. Среди всех возможных движений $P_{0}$ и $P_{2}$ рассмотрим опять только круговые. Если $P_{2}$ достаточно удалена от остальных масс, то из этого приближенного решения удается получить строгое решение.

Можно прийти к весьма простому для рассмотрения предельному случаю названной задачи, если исходить вместо общей задачи трех тел из так называемой ограниченной задачи трех тел. Последняя есть частный случай плоской задачи трех тел, в которой масса точки $P_{3}$ равна нулю, а точки $P_{1}, P_{2}$ описывают окружности ${ }^{1}$. Чтобы получить дифференциальные уравнения движения для точки $P_{3}$, введем в заданной плоскости вращающуюся систему осей с началом в центре инерции точек $P_{1}$ и $P_{2}$, так что точки $P_{1}$ и $P_{2}$ относительно новой системы координат будут неподвижными. Без ограничения общности можно принять, что угловая скорость $\omega=1$; в силу уравнений $(12 ; 5)$ для прямоугольных координат $x_{2 k-1}, x_{2 k}$ точки $P_{k}(k=1,2,3)$ во вращающейся системе координат получаются следующие дифференциальные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{2 k-1}=m_{k}^{-1} y_{2 k-1}+x_{2 k}, \quad \dot{y}_{2 k-1}=U_{x_{2 k-1}}+y_{2 k}, \\
\dot{x}_{2 k}=m_{k}^{-1} y_{2 k}-x_{2 k-1}, \quad \dot{y}_{2 k}=U_{x_{2 k}}-y_{2 k-1}, \\
\end{array}
\]

откуда, исключая $y_{2 k-1}, y_{2 k}$, получим дифференциальные уравнения второго порядка
\[
\left\{\begin{aligned}
\ddot{x}_{2 k-1} & =2 \dot{x}_{2 k}+x_{2 k-1}+m_{k}^{-1} U_{x_{2 k-1}}, \\
\ddot{x}_{2 k} & =-2 \dot{x}_{2 k-1}+x_{2 k}+m_{k}^{-1} U_{x_{2 k}} \quad(k=1,2,3) .
\end{aligned}\right.
\]

При этом $m_{3}$ пока не считается равной нулю, и точки $P_{1}, P_{2}$ еще не считаются покоящимися. Далее
\[
\left\{\begin{aligned}
m_{k}^{-1} U_{x_{2 k-1}} & =\sum_{l
eq k} m_{l}\left(x_{2 l-1}-x_{2 k-1}\right) r_{k l}^{-3}, \\
m_{k}^{-1} U_{x_{2 k}} & =\sum_{l
eq k} m_{l}\left(x_{2 l}-x_{2 k}\right) r_{k l}^{-3},
\end{aligned}\right.
\]
${ }^{1}$ Обычно под ограниченной задачей трех тел понимают изучение движения материальной точки $P_{3}$ под действием притяжения точками $P_{1}$ и $P_{2}$; точки $P_{1}$ и $P_{2}$ движутся по кеплеровским орбитам; точка $P_{3}$ может иметь и не плоское движение, и ее действие на точки $P_{1}$ и $P_{2}$ не учитывается. – Прим. перев.

и здесь правые части имеют смысл при $m_{3}=0$. Но в этом случае система (1) для $k=1,2$ дает дифференциальные уравнения задачи двух тел для материальных точек $P_{1}, P_{2}$. Если еще положить $m_{1}+m_{2}=1$ и $m_{1}=\mu, m_{2}=1-\mu$ при $0<\mu<1$, то как частное решение получается $x_{1}=1-\mu, x_{2}=0, x_{3}=-\mu, x_{4}=0$, что в неподвижных осях соответствует круговым орбитам точек $P_{1}$ и $P_{2}$. Тогда уравнения движения для третьей точки $P_{3}$ с координатами $x_{5}=x, x_{6}=y$ получаются в виде
\[
\ddot{x}=2 \dot{y}+x+F_{x}, \quad \ddot{y}=-2 \dot{x}+y+F_{y},
\]

причем здесь
\[
F=\frac{1-\mu}{r_{23}}+\frac{\mu}{r_{13}}=(1-\mu)\left[(x+\mu)^{2}+y^{2}\right]^{-1 / 2}+\mu\left[(x+\mu-1)^{2}+y^{2}\right]^{-1 / 2} .
\]

Это и есть дифференциальные уравнения ограниченной задачи трех тел. Хотя эта система имеет только четвертый порядок, мы сейчас еще далеки от ее полного решения. Дифференциальные уравнения (3) выгодно записать в комплексно сопряженных переменных
\[
p=(x+\mu-1)+i y, \quad q=\bar{p}=(x+\mu-1)-i y,
\]

при этом, очевидно, $p$ есть вектор в комплексной плоскости, идущий из $P_{1}$ в $P_{3}$. Тогда
\[
F=\frac{\mu}{\sqrt{p q}}+\frac{1-\mu}{\sqrt{(1+p)(1+q)}}, \quad F_{x}=F_{p}+F_{q}, \quad F_{y}=i\left(F_{p}-F_{q}\right)
\]

таким образом,
\[
\ddot{p}=-2 i \dot{p}+p-\mu+1+2 F_{q}, \quad \ddot{q}=2 i \dot{q}+q-\mu+1+2 F_{p},
\]

а полагая
\[
G=p q+(1-\mu)(p+q)+2 F=p q+(1-\mu)(p+q)+\frac{2 \mu}{\sqrt{p q}}+\frac{2-2 \mu}{\sqrt{(1+p)(1+q)}},
\]

получим преобразованные дифференциальные уравнения в виде
\[
\ddot{p}=-2 i \dot{p}+G_{q}, \quad \ddot{q}=2 i \dot{q}+G_{q}
\]

Чтобы определить периодические решения системы (5), сделаем еще одно упрощение, которое введено Хиллом и заимствовано из астрономии. Если выбрать $P_{2}$ в качестве Солнца, $P_{1}-$ как Землю и $P_{3}-$ как Луну, то масса Земли $\mu$ намного меньше массы Солнца $1-\mu$; при этом приближенно можно принять, что Солнце и Земля описывают круговые орбиты вокруг их общего центра инерции, а Луна движется приблизительно в плоскости этой круговой орбиты. Кроме того, масса Луны значительно меньше массы Земли, поэтому примем $m_{3}=0$. Будем искать периодическое решение системы (5) при малых значениях $\mu$. Так как $|p|$ есть расстояние от Луны до Земли, которое значительно меньше расстояния от Земли до Солнца, равного единице, то будем искать такие периодические решения, для которых $|p|$ мало. Если вначале мы каким-нибудь способом исключим из уравнений (5) члены $-2 i \dot{p}, 2 i \dot{q}$ и оставим в $G$ только главный член $2 \mu(p q)^{-1 / 2}$, то получится система
\[
\ddot{p}=-\mu p(p q)^{-3 / 2}, \quad \ddot{q}=-\mu q(p q)^{-3 / 2} .
\]

Мы получили опять дифференциальные уравнения задачи двух тел $P_{1}$ и $P_{3}$, записанные в комплексной форме, которая уже использовалась нами в уравнении $(12 ; 12)$. Эти уравнения имеют, в частности, круговое решение $p=\mu^{1 / 3} e^{i t}, q=\bar{p}=\mu^{1 / 3} e^{-i t},|p|=|q|=\mu^{1 / 3}$. Поэтому напрашивается преобразование переменных
\[
p=\mu^{1 / 3} u, \quad q=\mu^{1 / 3} v,
\]

после выполнения которого получим
\[
\ddot{u}=-2 i \dot{u}+H_{v} \quad \ddot{\imath}=2 i \dot{v}+H_{u},
\]

где
\[
H=\mu^{-2 / 3} G=u v+\mu^{-1 / 3}(1-\mu)(u+v)+\frac{2}{\sqrt{u v}}+\frac{2 \mu^{-2 / 3}(1-\mu)}{\sqrt{\left(1+\mu^{1 / 3} u\right)\left(1+\mu^{1 / 3} v\right)}} .
\]

Разложение функции $H$ по возрастающим степеням $\mu^{1 / 3}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
H=u v+\mu^{-1 / 3}(u+v)+ \\
+2 \mu^{-2 / 3}\left(1-\frac{1}{2} \mu^{1 / 3} u+\frac{3}{8} \mu^{2 / 3} u^{2}\right)\left(1-\frac{1}{2} \mu^{1 / 3} v+\frac{3}{8} \mu^{2 / 3} v^{2}\right)+ \\
+2(u v)^{-1 / 2}+\ldots=2 \mu^{-2 / 3}+\frac{3}{4}(u+v)^{2}+2(u v)^{-1 / 2}+\ldots, \\
\end{array}
\]

причем ненаписанные члены содержат только положительные степени $\mu^{1 / 3}$. Так как $\mu$ было принято малым, то откинем остальные члены и рассмотрим вместо системы (8) систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{u}=-2 i \dot{u}+\frac{3}{2}(u+v)-u(u v)^{-3 / 2}, \\
\ddot{v}=2 i \dot{v}+\frac{3}{2}(u+v)-v(u v)^{-3 / 2} .
\end{array}\right.
\]

Это и есть дифференциальные уравнения Хилла. Их общее решение неизвестно; мы определим теперь периодические решения подобно тому, как это было сделано в § 14, с помощью некоторой подстановки в виде степенных рядов.

Чтобы найти эту подстановку, рассмотрим еще раз упрощенную систему, аналогичную системе (6);
\[
\ddot{u}=-u(u v)^{-3 / 2}, \quad \ddot{v}=-v(u v)^{-3 / 2},
\]

которая соответствует отбрасыванию в системе (9) первых членов в правых частях. Будем искать периодические решения, для которых $\bar{v}=$ $=u$; в этом случае, в силу равенств (4) и (7), координаты $x, y$ будут действительными. Одним из таких решений является круговое $u=u_{0} e^{\lambda t}$. $v=v_{0} e^{-\lambda t}$, где $\lambda^{2}=-(u v)^{-3 / 2}=-\left(u_{0} v_{0}\right)^{-3 / 2}, v_{0}=\bar{u}_{0}$. Если положить для уничтожения радикалов $u=\xi^{4}, v=\eta^{4}$, то $\xi=\xi_{0} e^{\alpha t}, \eta=\eta_{0} e^{-\alpha t}, \dot{\xi}=$ $=\alpha \xi, \dot{\eta}=-\alpha \eta$, где $\alpha=\frac{\lambda}{4}= \pm \frac{i}{4}\left(\xi_{0} \eta_{0}\right)^{-3}, \eta_{0}=\bar{\xi}_{0}$. Для точного решения уравнений (9) введем новые переменные $\xi, \eta$ с помощью подстановки с неопределенными коэффициентами $a_{k l}$
\[
u=\xi^{4}\left(1+\sum_{k, l} a_{k l} \xi^{3 k+4 l} \eta^{3 k-4 l}\right), \quad v=\eta^{4}\left(1+\sum_{k, l} a_{k l} \xi^{3 k-4 l} \eta^{3 k+4 l}\right),
\]

причем $k, l$ пробегают все пары целых чисел, удовлетворяющих условиям $3 k \geqslant 4|l|, k>0$. Специальный вид этой подстановки будет обоснован позднее. По предварительным соображениям новые неизвестные $\xi, \eta$ должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
\[
\dot{\xi}=\alpha \xi, \quad \dot{\eta}=-\alpha \eta, \quad \alpha= \pm \frac{i}{4}(\xi \eta)^{-3},
\]

из которых опять $(\xi \eta)^{*}=\alpha \xi \eta+\xi(-\alpha \eta)=0$, и тогда
\[
\xi=\xi_{0} e^{\alpha t}, \quad \eta=\eta_{0} e^{-\alpha t}, \quad \alpha= \pm \frac{i}{4}\left(\xi_{0} \eta_{0}\right)^{-3}
\]

с постоянными $\xi_{0}, \eta_{0}$, отличными от нуля.

Образуем формальные производные по $t$ почленным дифференцированием степенных рядов для $u$ и $v$, причем $\dot{\xi}, \dot{\eta}$ выражаются через $\xi$, $\eta$ равенствами (12). Вводя сокращение
\[
\zeta_{k l}=\xi^{3 k+4 l} \eta^{3 k-4 l},
\]

получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}=4 \alpha \xi^{4}\left[1+\sum(2 l+1) a_{k l} \zeta_{k l}\right], \\
\ddot{u}=(4 \alpha)^{2} \xi^{4}\left[1+\sum(2 l+1)^{2} a_{k l} \zeta_{k l}\right], \\
\dot{v}=-4 \alpha \eta^{4}\left[1+\sum(2 l+1) a_{k l} \zeta_{k,-l}\right], \\
\ddot{v}=(4 \alpha)^{2} \eta^{4}\left[1+\sum(2 l+1)^{2} a_{k l} \zeta_{k,-l}\right] .
\end{array}
\]

Здесь и далее в этом параграфе суммы распространены на такие пары значений $k, l$, для которых показатели $3 k+4 l, 3 k-4 l$ в равенстве (14) неотрицательны, а их сумма $6 k$ положительна. Назовем $k$ порядком $\zeta_{k l}$ и положим
\[
A=-\sum a_{k l} \zeta_{k l}, \quad B=-\sum a_{k l} \zeta_{k,-l} .
\]

Чтобы избежать в уравнениях (9) отрицательных показателей, умножим первое из этих уравнений на $\xi^{2} \eta^{6}$ и получим, учитывая равенство $4 \alpha= \pm i(\xi \eta)^{-3}$, следующие выражения для отдельных членов:
\[
\left\{\begin{array}{l}
-\ddot{u} \xi^{2} \eta^{6}=1+\sum(2 l+1)^{2} a_{k l} \zeta_{k l}, \\
-2 i \dot{u} \xi^{2} \eta^{6}= \pm 2\left[\zeta_{10}+\sum(2 l+1) a_{k l} \zeta_{k+1, l}\right], \\
\frac{3}{2}(u+v) \xi^{2} \eta^{6}=\frac{3}{2}\left(\zeta_{20}+\sum a_{k l} \zeta_{k+2, l}\right)+\frac{3}{2}\left(\zeta_{2,-1}+\sum a_{k l} \zeta_{k+2, l-1}\right), \\
-u^{-1 / 2} v^{-3 / 2} \xi^{2} \eta^{6}=-(1-A)^{-1 / 2}(1-B)^{-3 / 2},
\end{array}\right.
\]

причем в разложение
\[
\begin{aligned}
(1-A)^{-1 / 2}(1-B)^{-3 / 2} & =\left(1+\frac{1}{2} A+\ldots\right)\left(1+\frac{3}{2} B+\ldots\right)= \\
& =1+\frac{1}{2} A+\frac{3}{2} B+\ldots
\end{aligned}
\]

по степеням $A$ и $B$ нужно подставить вместо $A$ и $B$ ряды по $\zeta_{k l}$. Так как $\zeta_{k l} \zeta_{g h}=\zeta_{k+g, l+h}$, то правая часть последнего уравнения (15) будет также рядом вида $\sum c_{k l} \zeta_{k l}$, как это имеет место для других строк. Чтобы первое дифференциальное уравнение (9) формально удовлетворялось, определим постоянные $a_{k l}$ таким образом, чтобы сумма выражений (15) была равна тождественно нулю по $\zeta_{k l}$.

Если умножить второе уравнение (9) на $\xi^{6} \eta^{2}$, то для отдельных членов получаются ряды, аналогичные содержащимся в уравнениях (15). Эти ряды получатся прямо из уравнений (15), если $\xi$ с $\eta$ поменять местами и написать, следовательно, $\zeta_{k,-l}$ вместо $\zeta_{k l}$. При этом нужно в левой части второго уравнения заменить $-2 i \dot{u} \xi^{2} \eta^{6}$ на $2 i \dot{v} \xi^{6} \eta^{2}$, тогда стоящие в правых частях знаки $\pm$ остаются без изменения. Таким образом, получается, что сравнение коэффициентов при $\zeta_{k l}$ в первом уравнении (9) дает те же самые условия для $a_{k l}$, как и соответствующее сравнение коэффициентов при $\zeta_{k,-l}$ во втором уравнении (9). Поэтому достаточно определить неизвестные коэффициенты $a_{k l}$ так, чтобы сумма четырех правых частей уравнений (15) была тождественно равна нулю. Мы покажем, что это возможно сделать единственным образом и что все $a_{k l}$ будут рациональными числами.

Доказательство этого утверждения проведем методом полной индукции по $k$. Из рассмотрения наших подстановок очевидно, что утверждение справедливо для постоянных членов. Пусть теперь $r \geqslant 1$, и предположим, что для $0<k \leqslant r-1$ все $a_{k l}$ могут быть единственным образом выбраны так, чтобы сравнение коэффициентов проходило для всех членов порядков $1,2, \ldots, r-1$; пусть коэффициенты $a_{k l}$ являются при этом рациональными числами. Для $r=1$ это очевидно. Чтобы показать, что предположение верно и для $a_{r l}(4|l| \leqslant 3 r)$, заметим, что разложение в ряд выражения
\[
D=(1-A)^{-1 / 2}(1-B)^{-3 / 2}-1-\frac{1}{2} A-\frac{3}{2} B
\]

по степеням $A$ и $B$ начинается с членов второго порядка. Поэтому, если поставить вместо $A$ и $B$ их ряды по $\zeta_{k l}$, то в $D$ коэффициентом при $\zeta_{r l}$ будет многочлен по $a_{k s}$ (здесь $k<r$ ), причем он уже определен единственным образом и рационален. Коэффициентами этого многочлена будут вполне определенные рациональные числа. Поэтому коэффициент при $\zeta_{r l}$ в правой части последней строки уравнений (15) равен сумме $\frac{1}{2} a_{r l}+\frac{3}{2} a_{r,-l}$ и является также определенным рациональным числом. Если принять во внимание первые три уравнения (15), то сравнение коэффициентов дает условие
\[
\left[(2 l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right] a_{r l}+\frac{3}{2} a_{r,-l}=\rho_{r l}
\]

с однозначно определенными рациональными числами $\rho_{r l}$. Для $l=0$ отсюда получается
\[
3 a_{r 0}=\rho_{r 0}
\]

следовательно, $a_{r 0}$ является рациональным числом. Если $l
eq 0$, то, изменяя знак у $l$ в условии (18), мы получим второе уравнение
\[
\frac{3}{2} a_{r l}+\left[(-2 l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right] a_{r,-l}=\rho_{r,-l} .
\]

Так как у системы линейных уравнений (18) и (20) для $a_{r}, a_{r,-l}$ определитель
\[
\left[(2 l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right]\left[(-2 l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right]-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4 l^{2}\left(4 l^{2}-1\right)
\]

будет положительным и так как коэффициенты этих уравнений рациональны, то отсюда $a_{r l}, a_{r,-l}$ определяются единственным образом и являются рациональными числами. Таким образом, индукция полностью проведена.

Докажем после этого, что найденные ряды для $u, v$ абсолютно сходятся, если $|\xi|$ и $|\eta|$ достаточно малы. Если, кроме того, $\eta=\bar{\xi}$, то вследствие действительности $a_{k l}$ обе величины $u, v$ комплексно сопряжены, поэтому первоначальные координаты $x, y$ действительны. Следовательно, в равенствах (13) можно выбрать $\eta_{0}=\bar{\xi}_{0}$.

Для доказательства сходимости используем, как и в $\S 15$, метод мажорант. Пусть
\[
\varphi=\sum c_{k l} \zeta_{k l}=\sum c_{k l} \xi^{3 k+4 l} \eta^{3 k-4 l}
\]

будет формальным рядом с постоянными коэффициентами $c_{k l}$; будем полагать для сокращения $c_{k l}=\{\varphi\}_{k l}$. Если еще раз написать уравнение, получаемое из сравнения коэффициентов, то из уравнений (15) и (17) мы получим соотношение
\[
\begin{aligned}
\rho_{k l}=\left\{D \mp 2 \left[\zeta_{10}+\sum(2 l+1)\right.\right. & \left.a_{k l} \zeta_{k+1, l}\right]- \\
& \left.-\frac{3}{2} \zeta_{20}(1+A)-\frac{3}{2} \zeta_{2,-1}(1+B)\right\}_{k l}
\end{aligned}
\]

с другой стороны,
\[
a_{k 0}=\frac{1}{3} \rho_{k 0}, \quad a_{k l}=\frac{\left[(1-2 l)^{2}+\frac{1}{2}\right] \rho_{k l}-\frac{3}{2} \rho_{k,-l}}{4 l^{2}\left(4 l^{2}-1\right)} \quad(l
eq 0) .
\]

Чтобы доказать абсолютную сходимость степенных рядов $u$ и $v$ в комплексной окрестности точки $\xi=0, \eta=0$, выберем сначала $\xi=\eta$. Тогда $\zeta_{k l}=\xi^{3 k+4 l} \eta^{3 k-4 l}=\xi^{6 k}=\zeta^{k}$, где $\zeta=\xi^{6}$, и тогда достаточно в силу равенств (11) доказать сходимость ряда
\[
Z=\sum\left|a_{k l}\right| \zeta^{k}
\]

для некоторого $\zeta>0$. Прежде всего мажорируем $D$. Вследствие $\xi=\eta$ будем иметь $A=B \prec Z$, причем $\zeta$ теперь рассматривается как независимая переменная. Далее, так как разложение $(1-A)^{-1 / 2}(1-B)^{-3 / 2}$ по степеням $A, B$ имеет только положительные коэффициенты, то
\[
D \prec(1-Z)^{-2}-1-2 Z=\frac{3 Z^{2}}{(1-Z)^{2}}-\frac{2 Z^{3}}{\left(1-Z^{2}\right)} \prec \frac{3 Z^{2}}{(1-Z)^{2}} \prec \frac{3 Z^{2}}{1-2 Z},
\]

и, кроме того,
\[
-\frac{3}{2} \zeta_{20}(1+A)-\frac{3}{2} \zeta_{2,-1}(1+B) \prec 3 \zeta^{2}(1+Z) .
\]

Тогда вследствие $|2 l+1| \geqslant 1$ из оценок (22), (24) и (25) получим
\[
\sum_{k, l}\left|\frac{\rho_{k l}}{2 l+1}\right| \zeta^{k} \prec \frac{3 Z^{2}}{1-2 Z}+3 \zeta^{2}(1+Z)+2 \zeta(1+Z) .
\]

Принимая во внимание, что оба отношения
\[
\frac{(2 l+1)\left[(1-2 l)^{2}+\frac{1}{2}\right]}{4 l^{2}\left(4 l^{2}-1\right)}, \frac{\frac{3}{2}(2 l+1)}{4 l^{2}\left(4 l^{2}-1\right)}
\]

ограничены при всех целых $l
eq 0$, из оценок (23) и (26) получаем условие
\[
Z \prec c_{1}\left[\frac{Z^{2}}{1-2 Z}+\zeta^{2}(1+Z)+\zeta(1+Z)\right] .
\]

При этом $c_{1}$, так же как и в дальнейшем величины $c_{2}, \ldots, c_{5}$, будет положительной постоянной. С помощью соотношения $1+Z \prec(1-2 Z)^{-1}$ получаем
\[
Z \prec c_{1} \frac{Z^{2}+\zeta^{2}+\zeta}{1-2 Z} \prec c_{1} \frac{\zeta+(\zeta+Z)^{2}}{1-2(\zeta+Z)} ;
\]

тогда для $V=\zeta+Z$ имеем
\[
V \prec c_{2} \frac{2 \zeta+V^{2}}{4-c_{2} V},
\]

откуда, согласно доказанному в $\S 15$, следует сходимость $V$ при $\zeta<c_{3}$. Следовательно, степенные ряды $u$ и $v$ абсолютно сходятся при $|\xi|<c_{4}$, $|\eta|<c_{4}$.
Изложим кратко результаты. В решении
\[
\xi=\xi_{0} e^{\alpha t}, \quad \eta=\eta_{0} e^{-\alpha t}
\]

дифференциальных уравнений (12) полагаем $\eta_{0}=\bar{\xi}_{0}$ и $0<\left|\xi_{0}\right|=\rho<c_{4}$. Тогда величина
\[
\alpha= \pm \frac{i}{4}\left(\xi_{0} \eta_{0}\right)^{-3}= \pm \frac{i}{4} \rho^{-6}
\]

будет чисто мнимой, и, следовательно, $\eta=\bar{\xi},|\xi|=\rho$ для всех действительных $t$. Поэтому степенные ряды $u$ и $v$ сходятся и выполняется тождество $v=\bar{u}$, следовательно, решение в первоначальных координатах $x, y$ будет действительным. Функции $\xi, \eta$, а также $\xi^{4}=\xi_{0}^{4} e^{4 \alpha t}$, $\eta^{4}=\eta_{0}^{4} e^{-4 \alpha t}$ и $\zeta_{k l}=\xi_{0}^{3 k+4 l} \eta_{0}^{3 k-4 l} e^{8 l \alpha t}$ будут периодическими функциями от $t$. Подставив эти функции в степенные ряды (11), получим $u, v$, а также $x$ и $y$ как периодические функции от $t$ с периодом $\left|\frac{2 \pi i}{4 \alpha}\right|=$ $=2 \pi \rho^{6}$. В силу равенств (27) соответствующим сдвигом $t$ можно получить $\xi_{0}=\eta_{0}=\rho$. Положим $\rho^{2}=\sigma$ и будем считать эту величину независимым параметром в интервале $0<\sigma<c_{4}^{2}=c_{5}$. Ряды для $x, y$ будут рядами Фурье относительно $e^{4 \alpha t}$, и коэффициенты Фурье будут степенными рядами по $\sigma$, которые также абсолютно сходятся при $|\sigma|<c_{5}$. Если заменить $t$ на $-t$, то $\xi$ и $\eta$, а также $u$ и $v$ обменяются местами, и потому точка $x, y$ зеркально отобразится относительно оси $x$ и перейдет в точку $x,-y$. Это отразится на разложении Фурье следующим образом: $x$ будет рядом по косинусам, а $y$ по синусам. Следовательно, траектория расположена симметрично относительно оси $x$. Мы получаем, таким образом, семейство периодических решений, зависящих от действительного параметра $\sigma$ и имеющих период $2 \pi \sigma^{3}$. Так как в уравнениях (12) имеется две возможности для знака $\alpha$, что вносит знак $\pm$ и во второе уравнение (15), то получаются два различных семейства периодических решений, которые соответствуют различным направлениям движения Луны $P_{3}$ вокруг Земли $P_{1}$; именно, для положительного знака получается то же самое направление, как и для Земли вокруг Солнца, а для отрицательного знака – противоположное направление. Траектории обоих семейств действительно отличаются друг от друга.

Решения $u$ и $v$ дифференциальных уравнений (9) впервые были получены Хиллом [1] в 1878 г. Он нашел их несколько другим путем, используя период решения как параметр и вводя непосредственно ряды Фурье с неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов дало бесконечную систему уравнений, в которой каждое уравнение содержит бесконечное количество неизвестных. С помощью разложения в степенной ряд по параметру он пришел к рекуррентным формулам, которые совпадают с уравнениями (18), (19). Но Хилл не доказал сходимость полученных им рядов. Доказательство сходимости было дано в 1925 г. Винтнером [2] ${ }^{1}$.