Производные Лагранжа содержат, согласно $(1 ; 5)$, вообще говоря, вторые производные функций $x_{k}(t)$, и соответствующая система $n$ дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа есть система уравнений второго порядка. Напишем ее в виде системы $2 n$ дифференциальных уравнений первого порядка. Положим для этого
\[
y_{k}=f_{\dot{x}_{k}}(x, \dot{x}, t) \quad(k=1, \ldots, n),
\]

откуда $\dot{x}_{k}$ можно выразить как функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$ и новых независимых переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Это возможно, если предположить, что отличен от нуля определитель $n$-го порядка:
\[
\left|f_{\dot{x}_{k} \dot{x}_{l}}\right|
eq 0 .
\]

Теперь
\[
L_{x_{k}} f=f_{x_{k}}(x, \dot{x}, t)-\dot{y}_{k},
\]

где точка над $y_{k}$ означает полную производную по $t$, и дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа обращаются в
\[
\dot{y}_{k}=f_{x_{k}}(x, \dot{x}, t) \quad(k=1, \ldots, n),
\]

что совместно с (1) дает систему $2 n$ дифференциальных уравнений первого порядка для $2 n$ неизвестных функций $x_{k}(t), y_{k}(t)$. Чтобы устранить асимметрию этой системы, введем функцию
\[
E=\sum_{k=1}^{n} \dot{x}_{k} y_{k}-f(x, \dot{x}, t)
\]

в которой $3 n+1$ переменных $x_{k}, y_{k}, \dot{x}_{k}, t$ рассматриваются как независимые. Тогда
\[
d E=\sum_{k=1}^{n}\left(\dot{x}_{k} d y_{k}+y_{k} d \dot{x}_{k}-f_{x_{k}} d x_{k}-f_{\dot{x}_{k}} d \dot{x}_{k}\right)-f_{t} d t .
\]

Так как вследствие (1) $\dot{x}$ является функцией $x, y$ и $t$, то $E=E(x, y, t)$ также будет функцией только от $x, y, t$. Но в силу равенства (1) коэффициенты при $d \dot{x}_{k}$ в выражении (6) взаимно уничтожаются, и мы получаем
\[
d E=\sum_{k=1}^{n}\left(\dot{x}_{k} d y_{k}-f_{x_{k}} d x_{k}\right)-f_{t} d t
\]

как полный дифференциал от $E(x, y, t)$. Отсюда для частных производных $E$ как функции от $x, y, t$ получаются значения
\[
E_{x_{k}}=-f_{x_{k}}, \quad E_{y_{k}}=\dot{x}_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

и (3) переходит в
\[
L_{x_{k}} f=-E_{x_{k}}-\dot{y}_{k} .
\]

Итак, из (1), (5) и дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

а это и есть дифференциальные уравнения Гамильтона.
Из предположения (2) следует, тто не равны нулю функциональный определитель $\left|y_{k \dot{x}_{l}}\right|$, в котором $y_{k}$ являются функциями $\dot{x}_{l}$, и обратная величина определителя $\left|\dot{x}_{k y_{l}}\right|$, а из формул (7) это следует и для определителя $\left|E_{y_{k} y_{l}}\right|$. Обратно, пусть теперь дана функция $E(x, y, t)$ и пусть определитель
\[
\left|E_{y_{k} y_{l}}\right|
eq 0 .
\]

Аналогично (5) определим
\[
f=\sum_{k=1}^{n} \dot{x}_{k} y_{k}-E(x, y, t)
\]

и будем опять считать, что $3 n+1$ переменных $x_{k}, y_{k}, \dot{x}_{k}, t$ независимы. Отсюда получим
\[
d f=\sum_{k=1}^{n}\left(\dot{x}_{k} d y_{k}+y_{k} d \dot{x}_{k}-E_{x_{k}} d x_{k}-E_{y_{k}} d y_{k}\right)-E_{t} d t .
\]

Определим теперь $y$ как функцию $x, \dot{x}, t$ уравнениями
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

что, по предположению (9), является допустимым. Теперь $f$ будет функцией только $x, \dot{x}, t$, что даст нам
\[
d f=\sum_{k=1}^{n}\left(y_{k} d \dot{x}_{k}-E_{x_{k}} d x_{k}\right)-E_{l} d t .
\]

Следовательно,
\[
f_{x_{k}}=-E_{x_{k}}, \quad f_{\dot{x}_{k}}=y_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

откуда опять получается равенство (8). Наконец, (9) показывает, что функциональный определитель $\left|\dot{x}_{k y_{l}}\right|$ для $\dot{x}_{k}$ как функций $y_{l}$ и обратный ему определитель $\left|y_{k \dot{x}_{l}}\right|$ отличны от нуля, поэтому в соответствии с (11) это будет иметь место и для определителя $\left|f_{\dot{x}_{k} \dot{x}_{l}}\right|$. Наоборот, из (9) и уравнений Гамильтона можно снова получить (1), (2) и уравнения Эйлера-Лагранжа.

Из $2 n$ уравнений Гамильтона половина, а именно $\dot{y}_{k}=-E_{x_{k}}$, непосредственно получается из уравнений Эйлера-Лагранжа, в то время как другая половина может быть получена только с помощью подстановок (1), (5). Весьма интересен тот факт, что все $2 n$ уравнений Гамильтона можно интерпретировать как уравнения Эйлера-Лагранжа. Чтобы показать это, возьмем вместо прежнего переменного $x$ из §1 переменные $x, y$ и рассмотрим функцию $f$ от $4 n+1$ независимых переменных $x_{k}, y_{k}, \dot{x}_{k}, \dot{y}_{k}, t$, определяемую равенством (10), причем переменные $\dot{y}_{k}$ фактически явно в функцию $f$ не входят; согласно определению производных Лагранжа имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
L_{x_{k}} f=f_{x_{k}}-\frac{d f_{\dot{x}_{k}}}{d t}=-E_{x_{k}}-\dot{y}_{k}, \\
L_{y_{k}} f=f_{y_{k}}-\frac{d f_{\dot{y}_{k}}}{d t}=\dot{x}_{k}-E_{y_{k}},
\end{array}\right.
\]

откуда, приравнивая правые части нулю, мы действительно получим уравнения Гамильтона.

Это преобразование выгодно тем, что полученные результаты можно применить для преобразования производных Лагранжа. Исследуем теперь подстановки вида
\[
x_{k}=x_{k}(\xi, \eta, t), \quad y_{k}=y_{k}(\xi, \eta, t) \quad(k=1, \ldots, n),
\]

причем $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ — новые переменные, а $t$ остается неизменным. Для сокращения обозначим $2 n$ величин $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$ через $z_{1}, \ldots, z_{2 n}$ и соответственно через $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{2 n}$ обозначим величины $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$; тогда вместо (13) можно написать короче:
\[
z_{k}=z_{k}(\zeta, t) \quad(k=1, \ldots, 2 n) .
\]

Если
\[
\begin{array}{rlrl}
\mathfrak{U}=x_{\xi}=\left\|x_{k \xi_{l}}\right\|, & & \mathfrak{B}=x_{\eta}=\left\|x_{k \eta_{l}}\right\|, \\
\mathfrak{C}=y_{\xi}=\left\|y_{k \xi_{l}}\right\|, & \mathfrak{D}=y_{\eta}=\left\|y_{k \eta_{l}}\right\|
\end{array}
\]
— матрицы $n$-го порядка и
\[
\mathfrak{M}=z_{\zeta}=\left\|z_{k \zeta_{l}}\right\|
\]
— матрица порядка $2 n$, то
\[
\mathfrak{M}=\left\|\begin{array}{ll}
\mathfrak{U} & \mathfrak{B} \\
\mathfrak{C} & \mathfrak{D}
\end{array}\right\|
\]

причем мы будем предполагать, что $|\mathfrak{M}|
eq 0$. Мы хотим теперь установить, при каких предположениях для подстановки (13) производные Лагранжа принимают в новых переменных опять форму (12), с не определенной еще функцией $\mathbf{E}(\xi, \eta, t)$ вместо $E(x, y, t)$. Итак, равенства
\[
L_{\xi_{k}} f=-\mathbf{E}_{\xi_{k}}-\dot{\eta}_{k}, \quad L_{\eta_{k}} f=\dot{\xi}_{k}-\mathbf{E}_{\eta_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

должны удовлетворяться тождественно относительно $\zeta, \dot{\zeta}, t$, причем функция $f$ задается равенством (10). При этих условиях преобразование (13) будем называть каноническим.
Если положить
\[
\varphi(\zeta, \dot{\zeta}, t)=\sum_{k=1}^{n} \dot{\xi}_{k} \eta_{k}-\mathbf{E}(\zeta, t),
\]

то производные Лагранжа от $\varphi$ даются непосредственно правыми частями (16). Следовательно, согласно результатам $\S 1$, имеем
\[
f=\varphi+\frac{d v(\zeta, t)}{d t}
\]

тождественно относительно $\zeta, \dot{\zeta}, t$, если $f$ выражена через эти переменные. В соответствии с равенствами (10), (17) это означает, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v(\zeta, t)}{d t}=\mathbf{E}-E+\sum_{r=1}^{n} \dot{x}_{r} y_{r}-\sum_{l=1}^{n} \dot{\xi}_{l} \eta_{l}= \\
=\mathbf{E}-E+\sum_{l=1}^{n}\left(\sum_{r=1}^{n} x_{r \xi_{l}} y_{r}-\eta_{l}\right) \dot{\xi}_{l}+\sum_{l=1}^{n}\left(\sum_{r=1}^{n} x_{r \eta_{l}} y_{r}\right) \dot{\eta}_{l}+\sum_{k=1}^{n} x_{k t} y_{k},
\end{array}
\]

следовательно,
\[
v_{\xi_{l}}=\sum_{r=1}^{n} x_{r \xi_{l}} y_{r}-\eta_{l}, \quad v_{\eta_{l}}=\sum_{r=1}^{n} x_{r \eta_{l}} y_{r}, \quad v_{t}=\mathbf{E}-E+\sum_{k=1}^{n} x_{k t} y_{k} .
\]

Эти равенства определяют все $2 n+1$ частных производных первого порядка функции $v(\zeta, t)$. Последнее из этих равенств дает возможность определить функцию $\mathbf{E}$. Остальные вследствие $v_{\zeta_{k} \zeta_{l}}=v_{\zeta_{l} \zeta_{k}}$ дадут необходимые и достаточные условия интегрируемости:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \xi_{l} \xi_{k}} y_{r}+x_{r \xi_{l}} y_{r \xi_{k}}\right) & =\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \xi_{k} \xi_{l}} y_{r}+x_{r \xi_{k}} y_{r \xi_{l}}\right), \\
\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \xi_{l} \eta_{k}} y_{r}+x_{r \xi_{l}} y_{r \eta_{k}}\right)-e_{k l} & =\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \eta_{k} \xi_{l}} y_{r}+x_{r \eta_{k}} y_{r \xi_{l}}\right), \\
\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \eta_{l} \eta_{k}} y_{r}+x_{r \eta_{l}} y_{r \eta_{k}}\right) & =\sum_{r=1}^{n}\left(x_{r \eta_{k} \eta_{l}} y_{r}+x_{r \eta_{k}} y_{r \eta_{l}}\right) \\
(k=1, \ldots, n, l & =1, \ldots, n) ;
\end{aligned}
\]

здесь $e_{k l}=1$ при $k=l$ и $e_{k l}=0$ при $k
eq l$. Используя матрицы, определенные равенствами (14), эти условия можно записать в форме
\[
\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{U}=\mathfrak{U}^{\prime} \mathfrak{C}, \quad \mathfrak{D}^{\prime} \mathfrak{U}-\mathfrak{E}=\mathfrak{B}^{\prime} \mathfrak{C}, \quad \mathfrak{D}^{\prime} \mathfrak{B}=\mathfrak{B}^{\prime} \mathfrak{D},
\]

причем $\mathfrak{E}$ есть единичная матрица порядка $n$. Если положить затем
\[
\mathfrak{I}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & \mathfrak{E} \\
-\mathfrak{E} & 0
\end{array}\right\|,
\]

то условия (19) с помощью (15) можно записать в виде одного уравнения:
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}=\mathfrak{I} .
\]

Следовательно, эта формула дает необходимое и достаточное условие того, что преобразование (13) не изменяет гамильтонову форму (12) производных Лагранжа; очевидно, что найденные условия для такого канонического преобразования не зависят от вида функции $E(z, t)$. Найти $v(\zeta, t)$ по ее $2 n$ частным производным $v_{\xi_{l}}, v_{\eta_{l}}$ можно только с точностью до произвольной аддитивной функции от $t$, поэтому такая аддитивная функция войдет также и в $v_{t}$, а значит, и в $\mathbf{E}$; но при образовании производных $\mathbf{E}_{\xi_{k}}, \mathbf{E}_{\eta_{k}}$ эта функция пропадает, так что правые части (16) определены полностью.

Матрица $\mathfrak{M}$, которая удовлетворяет уравнению (20), называется симплектической. Переходя к определителям, имеем $|\mathfrak{M}|^{2}|\mathfrak{I}|=|\mathfrak{I}|=1$, и потому $|\mathfrak{M}|^{2}=1$. Впрочем, можно еще показать, что $|\mathfrak{M}|=1$, что, однако, не будет в дальнейшем использовано. Во всяком случае, для симплектической матрицы $\mathfrak{M}$ определитель $|\mathfrak{M}|
eq 0$, поэтому существует обратная матрица $\mathfrak{M}^{-1}$. Из (20) тогда следует
\[
\left(\mathfrak{M}^{-1}\right)^{\prime} \mathfrak{I M}^{-1}=\left(\mathfrak{M}^{-1}\right)^{\prime}\left(\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}\right) \mathfrak{M}^{-1}=\mathfrak{I},
\]

поэтому матрица $\mathfrak{M}^{-1}$ также будет симплектической. Соответственно показывается, что если матрицы $\mathfrak{M}_{1}$ и $\mathfrak{M}_{2}$ симплектические, то их произведение $\mathfrak{M}_{1} \mathfrak{M}_{2}$ также является симплектической матрицей. Значит, симплектические матрицы образуют относительно умножения группу, являющуюся симплектической группой. Но, согласно нашему результату, преобразование $z=z(\zeta, t)$ будет каноническим тогда и только тогда, если функциональная матрица $z_{\zeta}=\mathfrak{M}$ будет симплектической тождественно по $\zeta$ и $t$. Следовательно, обратное преобразование будет всегда каноническим, и, вообще говоря, канонические преобразования при соответствующих предположениях об областях определения переменных образуют группу.

В частности, каноническое преобразование переводит систему дифференциальных уравнений Гамильтона опять в систему Гамильтона. Можно поставить более общую задачу о нахождении всех обратимых преобразований, обладающих этим свойством. При этом лучше рассмотреть вместо дифференциальных уравнений соответствующие выражения $\dot{x}_{k}-E_{y_{k}}, \dot{y}_{k}+E_{x_{k}}$, которые можно записать в виде столбца $\dot{z}-\Im E_{z}$, где под $E_{z}$ понимается столбец $E_{x_{k}}, E_{y_{k}}$. При подстановке $z=z(\zeta, t)$ с функциональной матрицей $z_{\zeta}=\mathfrak{M}$ получим
\[
E_{\zeta_{k}}=\sum_{l=1}^{2 n} E_{z_{l}} z_{l \zeta_{k}}, \quad E_{\zeta}=\mathfrak{M}^{\prime} E_{z}, \quad \dot{z}=\mathfrak{M} \dot{\zeta}+z_{t} .
\]

Следовательно,
\[
\mathfrak{M}^{-1}\left(\dot{z}-\mathfrak{I} E_{z}\right)=\dot{\zeta}+\mathfrak{M}^{-1} z_{t}-\mathfrak{M}^{-1} \mathfrak{I M}^{\prime-1} E_{\zeta} .
\]

Чтобы правая часть последнего уравнения имела гамильтонову форму $\dot{\zeta}-\mathfrak{\mathbf { E } _ { \zeta }}$ при соответствующем выборе $\mathbf{E}(\zeta, t)$, эта функция должна удовлетворять условию
\[
\mathbf{E}_{\zeta}=\mathfrak{I}^{-1} \mathfrak{M}^{-1} \mathfrak{I M}^{\prime-1} E_{\zeta}-\mathfrak{I}^{-1} \mathfrak{M}^{-1} z_{t} .
\]

Если положить еще
\[
\mathfrak{I}^{-1} \mathfrak{M}^{-1} \mathfrak{I M}^{\prime-1}=\mathfrak{P}=\left(p_{k l}\right), \quad-\mathfrak{I}^{-1} \mathfrak{M}^{-1}=\mathfrak{Q}=\left(q_{k l}\right),
\]

то условия интегрируемости примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r=1}^{2 n}\left(p_{k r} E_{\zeta_{r}}+q_{k r} z_{r t}\right)_{\zeta_{l}}=\sum_{r=1}^{2 n}\left(p_{l r} E_{\zeta_{r}}+q_{l r} z_{r t}\right)_{\zeta_{k}} \\
(k=1, \ldots, 2 n, l=1, \ldots, 2 n) .
\end{array}
\]

Если эти условия выполняются при любом выборе функции $E(z, t)$, то прежде всего
\[
\sum_{r=1}^{2 n} p_{k r} E_{\zeta_{r} \zeta_{l}}=\sum_{r=1}^{2 n} p_{l r} E_{\zeta_{r} \zeta_{k}}, \quad \sum_{r=1}^{2 n} p_{k r \zeta_{l}} E_{\zeta_{r}}=\sum_{r=1}^{2 n} p_{l r \zeta_{k}} E_{\zeta_{r}},
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{c}
p_{k l}=0, \quad p_{k k}=p_{l l} \quad(k
eq l), \quad p_{k r \zeta_{l}}=p_{l r \zeta_{k}}, \\
k=1, \ldots, 2 n, \quad l=1, \ldots, 2 n, \quad r=1, \ldots, 2 n,
\end{array}
\]

и потому $\mathfrak{P}$ отличается от единичной матрицы только скалярным множителем, который не зависит от $\zeta$. Должны быть также выполнены и остальные условия
\[
\sum_{r=1}^{2 n}\left(q_{k r} z_{r t}\right)_{\zeta_{l}}=\sum_{r=1}^{2 n}\left(q_{l r} z_{r t}\right)_{\zeta_{k}}
\]

Если положить для сокращения $\mathfrak{J} z_{t}=u$, то в силу
\[
\mathfrak{P}^{-1} \mathfrak{Q}=-\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I}^{-1}=\left(z_{l \zeta_{k}}\right) \mathfrak{I}
\]

уравнение (22) переходит в
\[
\sum_{r=1}^{2 n}\left(z_{r \zeta_{k} \zeta_{l}} u_{r}+z_{r \zeta_{k}} u_{r \zeta_{l}}\right)=\sum_{r=1}^{2 n}\left(z_{r \zeta_{l} \zeta_{k}} u_{r}+z_{r \zeta_{l}} u_{r \zeta_{k}}\right)
\]

следовательно, в матричной записи
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M} \mathfrak{M}_{t}=\left(\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I} \mathfrak{M}_{t}\right)^{\prime},
\]

вследствие $\mathfrak{I}^{\prime}=-\mathfrak{I}$ отсюда получается формула
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}{ }_{t}+\mathfrak{M}_{t}^{\prime} \mathfrak{I M}=0 .
\]

Как видно, матрица $\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}$ не зависит от $t$, и то же самое получится для $\mathfrak{P}$. Поэтому необходимым и достаточным условием для найденных преобразований будет
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}=\lambda \mathfrak{I}
\]

со скалярной постоянной $\lambda
eq 0$. Появление произвольного множителя $\lambda$ обусловливает обобщение канонических подстановок и симплектических групп; так как для специальной подстановки $x=\xi, y=\lambda \eta$ условие (23) выполнено, то получается, что все найденные подстановки составляются из канонической и упомянутой тривиальной. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только канонических подстановок.