Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

которая имеет $x=0$ равновесным решением. Пусть функции $f_{k}(x)$ будут представлены в окрестности $x=0$ сходящимися степенными рядами с действительными коэффициентами, не содержащими постоянных членов. Если через $x(t, \xi)$ обозначить решение системы (1) при начальном условии $x(0, \xi)=\xi$, то при каждом фиксированном действительном $t$ соответствие между $x(t, \xi)$ и $\xi$ представляет отображение $S_{t}$ в достаточно малой окрестности начала координат, причем для этого отображения $\xi=0$ есть неподвижная точка. Исследуем теперь, когда решение $x-0$ будет устойчивым, и рассмотрим с помощью определений, данных в начале $\S 23$, преобразование $S_{t}$ в окрестности начала координат при всех действительных $t$. Чтобы это исследование сделать возможным, нужно соответствующей заменой переменных
\[
x_{k}=\varphi_{k}(u) \quad(k=1, \ldots, m)
\]

перевести систему (1) в наиболее простую форму. При этом $\varphi_{k}$ должны быть опять степенными рядами относительно $m$ новых переменных $u_{1}, \ldots, u_{m}$, не содержащими постоянных членов; тогда при подстановке (2) начало координат сохраняется. Приводимые нами соображения вполне аналогичны рассуждениям § 21, где для плоского аналитического отображения была установлена нормальная форма, поэтому решим задачу сначала формальными стегенными рядами.

Определим, как и в § 14, формальное дифференцирование следующим образом:
\[
\dot{x}_{k}=\sum_{l=1}^{m} \varphi_{k u_{l}} \dot{u}_{l} \quad(k=1, \ldots, m),
\]

или, в векторной форме,
\[
\dot{x}=\varphi_{u} \dot{u}, \quad \varphi_{u}=\left\|\varphi_{k u_{l}}\right\| .
\]

Примем, что преобразование (2) обратимо. Это означает, что степенной ряд для функционального определителя $\left|\varphi_{u}\right|$ имеет не равный нулю постоянный член, или, другими словами, что коэффициенты линейных частей $\varphi_{k}$ имеют определитель, отличный от нуля. Подстановки (2) и (3) переводят систему (1) в
\[
\dot{u}=\varphi_{u}^{-1} f[\varphi(u)],
\]

и, наоборот, обратное преобразование переводит систему (4) в систему (1). Ставится задача об определении такой подстановки (2), чтобы система (4) имела нормальную форму. С этим связан следующий вопрос. Пусть наряду с системой (1) задана вторая система
\[
\dot{u}_{k}=h_{k}(u) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

причем $h_{k}$ будут степенными рядами по $u_{1}, \ldots, u_{m}$, не содержащими постоянных членов. При каких условиях существует обратимая подстановка, которая переводит систему (1) в систему (5)? Эта задача приводит, очевидно, к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
\[
f[\varphi(u)]=\varphi_{i} h(u)
\]

для неизвестных рядов $\varphi_{k}$. Необходимое условие для разрешимости уравнения (6) получается сразу после сравнения линейных членов. Если $\mathfrak{F}, \mathfrak{H}, \mathfrak{C}$ будут матрицами, которым соответствуют линейные члены $f(x), h(u)$ и $\varphi(u)$, то $\mathfrak{F} \mathfrak{C}=\mathfrak{C H}$. Следовательно, у матриц $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ должны быть одинаковые элементарные делители.

В этом параграфе мы ограничимся только случаем $m=2$. Собственные значения $\lambda$ и $\mu$ матрицы $\mathfrak{F}$ могут быть различными. Если вместо $x_{1}, x_{2}$ написать $x, y$, системе (1) после осуществления подготовительного линейного преобразования можно придать вид
\[
\dot{x}=f(x, y)=\lambda x+\ldots, \quad \dot{y}=g(x, y)=\mu y+\ldots
\]

В случае вещественных собственных значений $\lambda=\bar{\lambda}, \mu=\bar{\mu}$, и мы можем предположить, что $f(x, y)=\bar{f}(x, y), g(x, y)=\bar{g}(x, y)$; в случае мнимых значений, когда $\lambda=\bar{\mu}$, можно считать, что $f(x, y)=\bar{g}(y, x)$. Рассмотрение линейной системы $\dot{x}=\lambda x, \dot{y}=\mu y$ дает основание думать, что равновесное решение $x=y=0$ системы (7) только тогда будет устойчивым, если $\lambda$ и $\mu$ будут чисто мнимыми; и это действительно будет установлено в следующем параграфе. Поэтому рассмотрим прежде всего чисто мнимый случай $\mu=\bar{\lambda}=-\lambda$. Нужно показать, что тогда подстановкой вида
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\varphi(u, v)=u+\varphi_{2}+\varphi_{3}+\ldots, \\
y=\psi(u, v)=v+\psi_{2}+\psi_{3}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

системе (7) можно придать нормальную форму
\[
\dot{u}=p u, \quad \dot{v}=q v
\]

причем $p$ и $q$ будут степенными рядами только относительно произведения $w=u v$. Потребуем еще, чтобы ряды $\varphi(u, v)$ и $\psi(u, v)$ не содержали при $k>0$ соответственно членов вида $u w^{k}$ и $w^{k} v$, и докажем, что тогда существует точно одна подстановка (8). В случае сходимости $f, g$ при условии $p+q-0$ ряды $\varphi, \psi$ также окажутся сходящимися.

Итак, нужно найти решения соответствующих уравнению (6) уравнений в частных производных
\[
\left.\begin{array}{rl}
\varphi_{u} p u+\varphi_{v} q v & =f(\varphi, \psi)=\lambda \varphi+\ldots, \\
\psi_{u} p u+\psi_{v} q v & =g(\varphi, \psi)=-\lambda \psi+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

которые выражаются степенными рядами в форме (8), причем вместо $p$ и $q$ нужно подставить
\[
p=\sum_{r=0}^{\infty} a_{2 r} w^{r}, \quad q=\sum_{r=0}^{\infty} b_{2 r} w^{r} .
\]

Положим еще $a_{2 r+1}=0, b_{2 r+1}=0(r=0,1, \ldots)$. Произведем теперь в уравнениях (9) сравнение коэффициентов. Сравнение линейных членов дает $a_{0}=\lambda, b_{0}=-\lambda$. Для применения метода индукции предположим, что в обеих частях уравнений (9) совпадают члены до степени $k-1(k>1)$, откуда однозначно определяются $\varphi_{\varkappa}, \psi_{\varkappa}(\varkappa<k), a_{\varkappa}, b_{\varkappa}$ $(\varkappa<k-1)$. Тогда для членов $k$-й степени сравнение коэффициентов в уравнениях (9) дает соотношения
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda\left(\varphi_{k u} u-\varphi_{k v} v-\varphi_{k}\right)+a_{k-1} w^{(k-1) / 2} u & =P_{k}, \\
\lambda\left(\psi_{k u} u-\psi_{k v} v-\psi_{k}\right)+b_{k-1} w^{(k-1) / 2} v & =Q_{k},
\end{array}\right\}
\]

причем $P_{k}$ и $Q_{k}$ являются однородными многочленами относительно $u$ и $v$ степени $k$, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты уже известных $\varphi_{\varkappa}, \psi_{\varkappa}(\varkappa<k)$ и $a_{\varkappa}, b_{\varkappa}(\varkappa<k-1)$. Прежде всего определим $a_{k-1}$ и $b_{k-1}$. Для четных $k$ по определению $a_{k-1}=0, b_{k-1}=$ $=0$; поэтому пусть $k=2 r+1$ нечетно. В $\varphi_{k}$ (соответственно в $\psi_{k}$ ) по нашему предположению нет членов вида $u w^{r}$ (соответственно $w^{r} v$ ), и из уравнений (10) следует, что $a_{k-1}$ и $b_{k-1}$ можно определить однозначно. Тогда при этом выборе $a_{k-1}$ и $b_{k-1}$ в обеих частях уравнений (10) коэффициенты при $u^{r+1} v^{r}$ (соответственно при $u^{r} v^{r+1}$ ) совпадают. Теперь $\varphi_{k}$ и $\psi_{k}$ уже определены, причем $k$ может быть четным или нечетным. Если $\alpha u^{g} v^{h}, \beta u^{g} v^{h}$ суть члены типа $u^{g} v^{h}(g+h=k)$ функций $\varphi_{k}$ и $\psi_{k}$ соответственно, то коэффициенты соответствующих членов в левых частях уравнений (10) равны $\lambda(g-h-1) \alpha, \lambda(g-h+1) \beta$. Так как при этом можно предположить, что $g
eq h-1$ и, соответственно, $g
eq h-1$, то отсюда следует, что $\varphi_{k}$ и $\psi_{k}$ определяются однозначно. Таким образом, индукция проведена, и показано, что уравнения (9) можно разрешить с помощью формальных степенных рядов $\varphi, \psi, p$ и $q$.

Проведенное здесь сравнение коэффициентов содержит как частный случай ( $m=2$ ) соответствующее рассмотрение $\S 14$. Из полученного там результата следовало, что для однозначного определения степенного ряда должны выполняться условия вещественности
\[
\varphi(u, v)=\bar{\psi}(v, u) \quad p(u v)=\bar{q}(u v) .
\]

С помощью найденной нормальной формы можно теперь легко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесного решения. Нужно показать, что это решение тогда и только тогда устойчиво, если
\[
p+q=\sum_{r=1}^{\infty}\left(a_{2 r}+b_{2 r}\right) w^{r}=0,
\]
т. е. при
\[
a_{2 r}+b_{2 r}=0 \quad(r=1,2, \ldots),
\]

и что в противном случае будет неустойчивость. Сначала допустим, что условие (12) выполнено не для всех $r$. Следовательно, пусть
\[
p+q=c w^{n-1}+\ldots, \quad c
eq 0, \quad n>1,
\]

причем $c$ в соответствии с условиями (11) является действительным. Если вместо $t$ написать $2 c^{-1} t$, то можно положить $c=2$. Обращаясь к исследованию сходимости, оборвем ряды $\varphi$ и $\psi$, соответственно, $p$ и $q$, на членах порядка $2 n-1$, соответственно $2 n-2$, и полученное обозначим через $\widetilde{\varphi}, \widetilde{\psi}, \widetilde{p}, \widetilde{q}$. Выполним теперь сходящуюся подстановку $x=\widetilde{\varphi}(u, v), y=\widetilde{\psi}(u, v)$ и из уравнений (9) получим для решений системы (7) соотношения
\[
\widetilde{\varphi}_{u}(u \widetilde{p}-\dot{u})+\widetilde{\varphi}_{v}(v \widetilde{q}-\dot{v})=\ldots, \quad \widetilde{\psi}_{u}(u \widetilde{p}-\dot{u})+\widetilde{\psi}_{v}(v \widetilde{q}-\dot{v})=\ldots,
\]

следовательно,
\[
\dot{u}-u \widetilde{p}=\ldots, \quad \dot{v}-v \widetilde{q}=\ldots,
\]

где правые части являются сходяцимися степенными рядами по $u, v$, причем эти ряды не содержат членов степени ниже $2 n$. Отсюда получается дифференциальное уравнение
\[
\dot{w}-2 u^{n}=\ldots,
\]

где правая часть не содержит членов степени ниже $2 n+1$. Теперь для действительного решения системы (7) $v=\bar{u}$ и $w=u v \geqslant 0$. Выберем некоторое положительное число $r$, такое, что для $w<r$ будет иметь место сходимость, тогда уравнение (13) имеет как следствие неравенство
\[
\dot{w} \geqslant w^{n} .
\]

Таким образом, $w$ является монотонно возрастающей функцией $t$, пока $w<r$. Пусть при $t=0$ будет $0<w=w_{0}<r$. Тогда из неравенства (14) следует, что
\[
w-w_{0} \geqslant w_{0}^{n} t \quad(t>0) ;
\]

это противоречит для $t=r w_{0}^{-n}$ предположению $w<r$. Следовательно, имеет место неустойчивость.

Пусть теперь условие (12) выполнено для всех $r$. В этом случае $q=$ $=-p$, и вступает в силу доказательство сходимости из $§ 15$. Вследствие уравнений
\[
\dot{u}=p u, \quad \dot{v}=q v, \quad p+q=0
\]

получим, что $w=u v, p$ и $q$ не зависят от $t$; интегрирование дает
\[
u=u_{0} e^{p t}, \quad v=v_{0} e^{q t} .
\]

В соответствии с условиями (11) для действительного решения нужно выбрать $v_{0}=\bar{u}_{0}$, тогда $p$ будет чисто мнимым. Если обозначить $u=r+i s$ с действительными $r$ и $s$, то в плоскости $(r, s)$ получаются концентрические окружности, которые равномерно пробегаются за время $2 \pi|p|^{-1}$. Это доказывает устойчивость и это же мотивирует название «проблема центра» [1]. Наконец, в силу соотношений (8) и (15) первоначальные координаты получаются сходящимися рядами Фурье по переменной $|p| t$.

Этим самым найден следующий метод, позволяющий решить вопрос об устойчивости равновесного решения системы (7), если $\lambda=-\mu$ будет чисто мнимым, не равным нулю:

Пусть все коэффициенты $a_{2 r}, b_{2 r}(r=1,2, \ldots)$ функций $p, q$ найдены по рекуррентным формулам, тогда нужно установить, все или не все суммы $c_{r}=a_{2 r}+b_{2 r}$ равны нулю. При соответствующем выборе единицы времени можно положить $\lambda=i$. Если
\[
f(x, y)=i x+\sum_{g+h>1} \alpha_{g h} x^{g} y^{h}, \quad g(x, y)=-i y+\sum_{g+h>1} \beta_{g h} x^{g} y^{h},
\]

где $\beta_{g h}=\bar{\alpha}_{h g}$ будут степенными рядами для $f$ и $g$, то $c_{r}$ является многочленом относительно $\alpha_{g h}$ и $\beta_{g h}(g+h<2 r+2)$. В частности, можно принять, что $f$ и $g$ будут многочленами фиксированной степени $l$; тогда, следовательно, все $c_{r}(r=1,2, \ldots)$ будут многочленами от конечного числа $\alpha_{g h}$ и $\beta_{g h}(g+h \leqslant l)$. По теореме Гильберта о базисах в полиномиальных идеалах ${ }^{1}$ существует такое натуральное число $m=m(l)$, что все $c_{r}$ можно записать в виде
\[
c_{r}=\sum_{k=1}^{m} \gamma_{r k} c_{k} \quad(r=1,2, \ldots),
\]

причем коэффициенты $\gamma_{r k}$ являются многочленами относительно $\alpha_{g h}$ и $\beta_{g h}$. Чтобы исследовать, все ли $c_{r}$ одновременно равны нулю (что
${ }^{1}$ Теорему Гильберта о базисах в полиномиальных идеалах см. в книге: В ан дер Варден Б. Л ., Современная алгебра, Гостехиздат, 1947 г., т. II, стр. 27. Прим. ред.

является необходимым и достаточным условием устойчивости), нужно разрешить только конечное число уравнений $c_{k}=0$ для $k=1, \ldots, m$. Но из доказательства основной теоремы Гильберта для этого случая еще не получается верхней границы для $m$ как функции $l$. Для $l=2$ известно, что $m(2)=7[2-4]$, а для $l>2$ действительное определение такой границы от $m(l)$ является интересной нерешенной задачей.

Здесь же нужно заметить, что в случае неустойчивости, следовательно, для $p+q
eq 0$, исследование сходимости рядов $\varphi, \psi, p, q$ представляет собой также еще не решенную задачу.