До сих пор мы использовали инвариантные кривые, найденные в предыдущих параграфах, только для исследования устойчивости. Однако в действительности можно дать и весьма точное описание качественных свойств соответствующих орбит. В то время как неподвижные точки отображения, связанного с потоком, соответствуют периодическим движениям, точки на инвариантных кривых, как будет показано ниже, соответствуют решениям, принадлежащим к специальному классу почти-периодических решений, а именно к так называемым квазипериодическим движениям. Значение этих решений было осознано уже Болем. Сейчас мы переходим к изучению таких решений и к обобщению результатов предыдущих параграфов на случай многих степеней свободы.

Мы будем называть комплексную функцию $f(t)$ квазипериодической, если она может быть представлена рядом Фурье специального вида:
$$f(t)=\sum _{k_1,\dots ,k_s}{a}_{k_1,\dots ,k_s}{e}^{i(k_1{\omega }_1+\dots +k_s{\omega }_s)t},$$

где $k_1,\dots ,k_s$ пробегают все целые числа и коэффициенты экспоненциально убывают с ростом $|k|=\left|k_1\right|+\dots +\left|k_s\right|$. Для упрощения записи мы вводим векторы $k=(k_1,\dots ,k_s),\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_s)$ вместе с их скалярным произведением $(k,\omega )=\sum _{u=1}^s{k}_u{\omega }_u$ и соответственно обозначаем коэффициенты через $a_k$. Действительные числа ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_s$ можно предполагать рационально независимыми, так как иначе их количество можно было бы уменьшить. Вещественная квазипериодическая функция $f(t)$ характеризуется соотношениями $a_{-k}={\overline{a}}_k$.

С каждой квазипериодической функцией $f(t)$ указанного вида мы связываем соответствующую функцию
$$F({\theta }_1,\dots ,{\theta }_s)=\sum _k{a}_k{e}^{i(k,\theta )}$$
$s$ переменных, где $\theta =({\theta }_1,\dots ,{\theta }_z)$. Функция $F(\theta )$ имеет период $2\pi$ по каждому переменному и является вещественной, если $a_{-k}={\overline{a}}_k$. Более того, согласно нашему предположению об экспоненциальном убывании коэффициентов, функция $F(\theta )$ вещественно-аналитическая. Функция $f(t)$ получается из $F(\theta )$ заменой $\theta$ на $\omega t$. Обратно, каждая вещественно-аналитическая функция $F(\theta )$ периода $2\pi$ по своим переменным порождает вещественную квазипериодическую функцию $f(t)$, если $\theta$ опять заменить на $\omega t$. Чтобы убедиться в этом, следует только показать, что коэффициенты Фурье
$$a_k=(2\pi {)}^{-s}{\int }_0^{2\pi }\dots {\int }_0^{2\pi }F(\theta )e^{-i(k,\theta )}d{\theta }_1\dots d{\theta }_s$$

убывают экспоненциально с ростом $|k|$. Так как $F(\theta )$ — вещественно-аналитическая и периодическая функция, то она определена при комплексных значениях ${\theta }_u$ в области $\left|\mathrm{Im}{\theta }_u\right|⩽\rho$ для достаточно малого $\rho >0$ и ограничена там по абсолютной величине константой $M$. Так как по теореме Коши в качестве пути интегрирования в указанном выше интеграле может быть взят путь ${\theta }_u=x_u\pm i\rho ,0⩽x_u⩽2\pi$, ( $u=$ $=1,\dots ,s)$, то, выбирая знак перед $i$ равным знаку $-k_u$, если $k_{u}eq0$, и произвольно, если $k_u=0$, мы получаем, что
$$\left|a_k\right|⩽M{e}^{-|k|\rho }.$$

Это доказывает экспоненциальное убывание $a_k$, в то время как вещественность $F$ приводит к тому, что
$${\overline{a}}_k=(2\pi {)}^{-s}{\int }_0^{2\pi }\dots {\int }_0^{2\pi }F(\theta )e^{i(k,\theta )}d{\theta }_1\dots d{\theta }_s=a_{-k}.$$

Определенный таким способом класс квазипериодических функций будет обозначаться через $\mathfrak{Q}(\omega )$. Он представляет собой подкласс
класса почти-периодических функций, введенных Бором [1], более узкий в двух отношениях: во-первых, частоты являются линейными комбинациями с целыми коэффициентами только конечного числа частот ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_s$, тогда как в теории Бора в качестве частот допускается любое счетное множество действительных чисел; во-вторых, требуется, чтобы коэффициенты $a_k$ экспоненциально убывали с ростом $|k|$, что делает $f(t)$, так же как и $F(\theta )$, вещественно-аналитическими функциями, тогда как почти-периодические функции Бора просто ограничены и непрерывны. Этот более узкий класс $\mathfrak{Q}(\omega )$ весьма удобен, однако, применительно к нелинейным задачам небесной механики.

Класс функций $\mathfrak{Q}(\omega )$ зависит, очевидно, от выбора чисел ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_s$. Более точно он определяется решеткой, порожденной числами ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_s$, так как $\mathfrak{Q}(\omega )$ не меняется, если вектор $\omega$ заменен на вектор ${\omega }^{\prime }=U\omega$, где $U$ — целочисленная матрица с определителем $\pm 1$. Ясно, что требование рациональной независимости ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_s$ сохраняется при таком преобразовании. Ясно также, что всякая квазипериодическая функция из $\mathfrak{Q}(\omega )$ может быть равномерно аппроксимирована в $\mathfrak{Q}(\omega )$ конечной тригонометрической суммой, для чего можно просто обрезать ряд Фурье данной функции $f(t)$, опуская члены с $|k|⩾N$ при достаточно большом натуральном $N$. Вследствие экспоненциального убывания коэффициентов Фурье полученные таким способом тригонометрические суммы будут равномерно сходиться к $f(t)$.

С каждой квазипериодической функцией $f(t)$ мы также связываем среднее значение
$$f^{\ast }=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt.$$

Чтобы доказать существование этого предела, заметим, что для тригонометрического полинома из $\mathfrak{Q}(\omega )$ он заведомо существует и равен
$$a_0=(2\pi {)}^{-s}{\int }_0^{2\pi }\dots {\int }_0^{2\pi }F(\theta )d{\theta }_1\dots d{\theta }_s.$$

Для произвольной же квазипериодической функции $f(t)\in \mathfrak{Q}(\omega )$ существование указанного предела следует из возможности аппроксимировать $f(t)$ такими тригонометрическими полиномами $f_N(t)\in \mathfrak{Q}(\omega )$, для которых $\underset{t}{sup}|f(t)-f_N(t)|={\epsilon }_N\to 0$ при $N\to \mathrm{\infty }$. В самом деле, вычитая константу из $f$, мы можем предположить, что коэффициент $a_0$, соответствующий постоянному члену, равен нулю, и это же предположение тогда будет выполнено для тригонометрического полинома $f_N$, полученного из $f(t)$ отбрасыванием высших гармоник. Для данного $\delta >0$ возьмем $N$ столь большим, чтобы выполнялись неравенства ${\epsilon }_N<\delta /2$ и, следовательно,
$$|\frac{1}{T}{\int }_0^{T}fdt-\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}_{N}dt|<\frac{\delta }{2}.$$

Так как $f_N^{\ast }=0$, то мы можем найти такое $T_{\delta }$, чтобы второй член в написанном выше неравенстве был меньше, чем $\delta /2$, при $T>T_{\delta }$, и поэтому
$$\left|\frac{1}{T}{\int }_0^{T}fdt\right|<\frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2}=\delta (T>T_{\delta }).$$

Это показывает, что предел левой части при $T\to \mathrm{\infty }$ существует и равен 0 .

Прежде чем исследовать значение квазипериодических функций для нелинейных гамильтоновых систем, мы рассмотрим простейшее линейное уравнение
$$\dot{y}=f(t),$$

содержащее квазипериодическую функцию $f(t)$ из $\mathfrak{Q}(\omega )$. Если функция $f(t)$ в действительности периодическая, то любое решение этого уравнения есть сумма линейной функции $f^{\ast }t$ и периодической функции того же самого периода, что и $f(t)$, так что решение будет периодическим, если $f^{\ast }=0$. Предполагая теперь, что $f$ есть квазипериодическая функция из $\mathfrak{Q}(\omega )$ и имеет среднее значение $f^{\ast }=0$, мы исследуем, лежат ли также решения написанного выше уравнения в $\mathfrak{Q}(\omega )$. Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный, но если потребовать, чтобы при некоторых положительных константах $c,\mu$ частоты $(k,\omega )$ удовлетворяли неравенствам
$$|(k,\omega )|⩾c^{-1}|k{|}^{-\mu }$$

для всех целых $keq0$, то ответ будет утвердительный.
Для доказательства этого предположим, что функция $f(t)$ снова представлена как $F(\omega t)$, а неизвестное решение $y(t)$ как $Y(\omega t)$. Тогда функция $Y(\theta )$ должна удовлетворять уравнению в частных производHых
$$\sum _{u=1}^s{\omega }_u\frac{\partial Y}{\partial {\theta }_u}=F(\theta )$$

Мы предполагаем здесь, что обе функции $Y(\theta ),F(\theta )$ вещественно-аналитичны и имеют период $2\pi$ по ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_s$ и, кроме того, что среднее значение $F(\theta )$ равно 0 . В этом случае уравнение (4) легко решается с помощью разложения в ряды Фурье. В самом деле, если положить
$$F(\theta )=\sum _k{a}_k{e}^{i(k,\theta )},$$

то решение $Y(\theta )$ уравнения (4) со средним значением 0 имеет вид
$$Y(\theta )=\sum _{keq0}\frac{a_k}{i(k,\omega )}{e}^{i(k,\omega )},$$

так как $a_0=0$. В силу (2), (3), коэффициенты $b_k=-i(k,\omega {)}^{-1}{a}_k$ экспоненциально убывают, в то время как вещественность функции $F(\theta )$ приводит к тому, что ${\overline{b}}_k=-b_{-k}$, так что написанный выше ряд представляет вещественно-аналитическую функцию $Y(0)$. Таким образом $y(t)=Y(\omega t)$ — решение уравнения $\dot{y}=f(t)$ в $\mathfrak{Q}(\omega )$. Ясно, что общее решение отличается от только что построенного только аддитивной константой.

Решение уравнения (4) в действительности будет принадлежать $\mathfrak{Q}(\omega )$ при более слабых ограничениях на малые знаменатели $(k,\omega )$, чем неравенство (3). Однако если на эти частоты не наложить вообще никаких ограничений, то соответствующее решение может быть даже неограниченным. Чтобы привести такой пример, возьмем число $b>1$ и построим положительное иррациональное число $\alpha$, удовлетворяющее неравенствам
$$|k_u\alpha -l_u|<b^{-ku}$$

для бесконечного числа положительных целых $k_u,l_u(u=1,2,\dots )$. Такое число $\alpha$ может быть легко построено при помощи разложения в непрерывную цепную дробь. Выбирая число $\alpha$ так, чтобы выполнялись неравенства $1<a^{\alpha +1}<b$, мы полагаем
$$f(t)=\sum _{k,l=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-k-l}{\eta }_{kl}\sin (k\alpha -l)t$$

где ${\eta }_{kl}$ есть 1 , если $k\alpha -l>0$, и -1 , если $k\alpha -l<0$. Ясно, что функция $f(t)$ принадлежит $\mathfrak{Q}({\omega }_1,{\omega }_2)$, где ${\omega }_1=\alpha ,{\omega }_2=1$ и имеет среднее значение 0 . Тем не менее функция
$$g(t)={\int }_0^{t}f(s)ds=\sum _{k,l=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-k-l}|k\alpha -l{|}^{-1}(1-\cos (k\alpha -l)t)$$

даже не ограничена, и поэтому, конечно, не является квазипериодической. В самом деле, полагая ${\delta }_u=|{\hat{k}}_u\alpha -l_u|$ и $t_u=\frac{\pi }{2{\delta }_u}$, мы имеем
$$g\left(t_u\right)⩾a^{-k_u-l_u}{\delta }_u^{-1}.$$

Так как $k_u+l_u=k_u(1+\alpha )-(k_u\alpha -l_u)⩽k_u(1+\alpha )+1$ и ${\delta }_u<b^{-k_u}$, то отсюда
$$g\left(t_u\right)>a^{-1}{\left(\frac{b}{a^{1+\alpha }}\right)}^{k_u}\to \mathrm{\infty }(k_u\to \mathrm{\infty }).$$

Впредь мы будем считать, что выполнены ограничения (3) на малые знаменатели $(k,\omega )$. Рассуждения из теории меры, подобные тем, которые нроводились в $\mathrm{\$}25$, показывают, что почти все действительные векторы $\omega$ удовлетворяют таким неравенствам с некоторыми положительными константами, если $\mu ⩾s$.

Для дальнейшего удобно перечислить некоторые операторы, которые сохраняют квазипериодичность вне связи с неравенствами (3). Во-первых, ясно, что $\mathfrak{Q}(\omega )$ образует векторное пространство над полем действительных чисел, замкнутое как относительно дифференцирования, так и относительно образования произведений и частных, в последнем случае при условии, что знаменатель отделен от 0 . Во-вторых, если $\phi (y_1,\dots ,y_r)$ — вещественно-аналитическая функция, определенная для всех действительных $y_1,\dots ,y_r$, и функции $f_1,\dots ,f_r$ принадлежат $\mathfrak{Q}(\omega )$, то сложная функция $\phi (f_1,\dots ,f_r)$ также лежит в $\mathfrak{Q}(\omega )$. Точно так же, если функции $f,g$ принадлежат $\mathfrak{Q}(\omega )$, то и функция $f(t+g(t))$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega )$. В самом деле, если $f(t),g(t)$ получаются из полипериодических функций $F(\theta ),G(\theta )$, то $f(t+g(t))$ получается из $F({\theta }_1+{\omega }_{1}G,\dots ,{\theta }_s+{\omega }_{s}G)$.

Наконец, мы утверждаем, что если $f\in \mathfrak{Q}(\omega )$, то функция, обратная к функции $\tau =\alpha t+f(t)$ может быть записана в виде $t={\alpha }^{-1}(\tau +$ $+g(\tau ))$, где $g\in \mathfrak{Q}(\omega /\alpha )$. При этом предполагается, что выполняются неравенства (3) и что функция $\alpha +\frac{df}{dt}$ отделена от нуля. Последнее условие приводит к тому, что $\alpha eq0$, так как среднее значение $\frac{df}{dt}$ равно нулю.

Для доказательства этого утверждения мы можем предположить, что $\alpha =1$, или, что то же самое, замєнить $\tau$ на $\alpha \tau$. Если $f(t)$ соответствует функции $F(\theta )$, а неизвестная функция $g(\tau )$ — функции $G(\theta )$, где $g(\tau )=G(\omega \tau ),f(t)=F(\omega t)$, то $G$ должно удовлетворять уравнению
$$G(\theta )+F(\theta +\omega G)=0.$$

Мы заменяем его уравнением
$$G(\theta )+\sigma F(\theta +\omega G)=0$$

и ищем решение $G=G(\theta ;\sigma )$ при $0⩽\sigma ⩽1$ с периодом $2\pi$ по каждому из переменных ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_s$. Если продифференцировать последнее уравнение по $\sigma$, то получим дифференциальное уравнение
$$\frac{\partial G}{\partial \sigma }=\phi (\theta +\omega G;\sigma ),G(\theta ;0)=0$$

где
$$\phi (\theta ;\sigma )=-F(\theta ){(1+\sigma \sum _{u=1}^s{\omega }_u{F}_{{\theta }_u})}^{-1}.$$

Согласно предположению относительно функции $\alpha +\frac{df}{dt}$, знаменатель в правой части последнего выражения отделен от 0 , если $\sigma =1$ и ${\theta }_u=$ $={\omega }_{u}t(u=1,\dots ,s)$, и на самом деле даже положителен, так как его среднее значение равно 1. С другой стороны, векторы с компонентами ${\omega }_{u}t+k_{u}2\pi (u=1,\dots ,s)$ при целых $k_u$ и действительных $t$ всюду плотны в $s$-мерном евклидовом пространстве, и поэтому знаменатель положителен и отделен от 0 при всех действительных $\theta$ и $0⩽\sigma ⩽1$. Отсюда следует, что $\phi (\theta ;\sigma )$ — вещественно-аналитическая функция с периодом $2\pi$ по ${\theta }_u$.

Решение $G(\theta ;\sigma )$ строится теперь с помощью стандартной теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы показать, что функция $G(\theta ;\sigma )$ аналитична, если функция $\sum _{u=1}^s\left|\mathrm{Im}{\theta }_u\right|$ достаточно мала и $0⩽\sigma ⩽1$, достаточно проверить, что при продолжении решения мы остаемся в области аналитичности дифференциального уравнения. Предполагая, что $\phi$ аналитична в области $\left|\mathrm{Im}{\theta }_u\right|<\delta (u=1,\dots ,s),0⩽\sigma ⩽1$ и удовлетворяет в этой области неравенству $\sum _{u=1}^s\left|{\phi }_{{\theta }_u}\right|<M$, мы полагаем
$$\rho =\delta {ϵ}^{-M\Vert \omega \Vert },$$

где $\Vert \omega \Vert =\underset{u}{max}\left|{\omega }_u\right|$, и постараемся доказать, что в области $\left|\mathrm{Im}{\theta }_u\right|<\rho$, $0⩽\sigma ⩽1$ функция $G(\theta ;\sigma )$ должна удовлетворять оценке $\rho +$ $+\Vert \omega \Vert |\mathrm{Im}G|<\delta$. Отсюда, конечно, вытекают существование и аналитичность решения в этой области. Проверим теперь эту оценку. Так как $\phi$ — вещественно-аналитическая функция, то $\overline{\phi (\theta ;\sigma )}=\phi (\overline{\theta };\sigma )$ и поэтому
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{\partial }{\partial \sigma }\mathrm{Im}G\right|=\frac{1}{2}|& \frac{\partial }{\partial \sigma }(G-\overline{G})|=\\ =& \frac{1}{2}|\phi (\theta +\omega G;\sigma )-\phi (\overline{\theta }+\omega \overline{G};\sigma )|⩽\\ & ⩽M\underset{u}{max}|\mathrm{Im}{\theta }_u+{\omega }_u\mathrm{Im}G|<M(\rho +\Vert \omega \Vert |\mathrm{Im}G|),\end{array}$$

до тех пор пока оценка $\rho +\Vert \omega \Vert |\mathrm{Im}G|<\delta$ остается в силе. Предположим, что эта оценка выполняется не во всем интервале $0⩽\sigma ⩽1$. Так как она, конечно, справедлива при $\sigma =0$, то в этом случае должно существовать наименьшее число $0<{\sigma }^{\ast }⩽1$, для которого
$$\underset{\theta }{max}|\mathrm{Im}G|=\frac{\delta -\rho }{\Vert \omega \Vert }(\sigma ={\sigma }^{\ast }),$$

в то время как при $0⩽\sigma <{\sigma }^{\ast }$ имеет место указанное выше дифференциальное неравенство. Из теоремы сравнения мы получаем тогда, что
$$|\mathrm{Im}G|>h(\sigma )(0<\sigma ⩽{\sigma }^{\ast }),$$

где $h(\sigma )$ — решение уравнения
$$\frac{dh}{d\sigma }=M(\rho +\Vert \omega \Vert h),h(0)=0.$$

Так как
$$h\left({\sigma }^{\ast }\right)=\frac{\rho }{\Vert \omega \Vert }(e^{M\Vert \omega \Vert {\sigma }^{\ast }}-1)⩽\frac{\rho }{\Vert \omega \Vert }(e^{M\Vert \omega \Vert }-1)=\frac{\delta -\rho }{\Vert \omega \Vert },$$

TO
$$|\mathrm{Im}G|<\frac{\delta -\rho }{\Vert \omega \Vert }(\sigma ={\sigma }^{\ast }),$$

что противоречит выбору ${\sigma }^{\ast }$. Этим установлена справедливость нашей оценки, и мы заключаем, что решение $G(\theta ;\sigma )$ уравнения (6) существует для $0⩽\sigma ⩽1$, вещественно-аналитично и в силу теоремы единственности имеет период $2\pi$ по ${\theta }_u$. Легко проверяется, что $G=G(\theta ;1)-$ решение нашего первоначального уравнения (5). Таким образом, $g(\tau )=$ $=G(\omega \tau ;1)$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega )$, и утверждение о виде обратной функции доказано.

Мы заканчиваем эти предварительные замечания применением последнего результата к нелинейному скалярному дифференциальному уравнению
$$\frac{d\tau }{dt}=f(t)$$

где функция $f$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega )$ и удовлетворяет неравенству $|f(\tau )|⩾\delta >0$ для всех $\tau$. Докажем, что любое решение этого уравнения имеет вид $\tau =\alpha t+g(t)$, где ${\alpha }^{-1}$ — среднее значение функции $f^{-1}$ и $g$ приналлежит $\mathfrak{Q}(\alpha u)$. В самом деле, обратная функция $t=t(\tau )$ удовлетворяет уравнению
$$\frac{dt}{d\tau }=f^{-1}(\tau )$$

и поэтому, как было замечено выше, имеет вид
$$t={\alpha }^{-1}\tau +h(\tau )$$

причем функция $h(\tau )$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega )$, если выполняется условие (3). Следовательно, согласно доказанному нами утверждению об обратной функции, $\tau (t)$ имеет указанный вид.

Теперь мы обратимся к построению квазипериодических решений гамильтоновых систем, начав с неавтономных систем с одной степенью свободы, затем перейдем к системам с двумя и более степенями свободы и закончим некоторыми применениями к задаче трех тел. Сначала рассмотрим систему
$$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y},\dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x},$$

в которой гамильтониан $H=H(t,x,y;\epsilon )$ имеет период $2\pi$ по независимому переменному $t$ и скаляру $x$ и вещественно-аналитичен по всем четырем своим аргументам, причем $y$ меняется в вещественном интервале $a<y<b$, а параметр $\epsilon -$ в окрестности точки $\epsilon =0$. Наиболее существенное дополнительное предположение состоит в том, что при $\epsilon =0$ гамильтониан
$$H(t,x,y;0)=H^0(y)$$

не зависит от $t,x$ и удовлетворяет условию
$$\frac{{\partial }^2{H}^0}{\partial y^2}eq0(a<y<b).$$

Покажем, что при этих условиях написанная выше система обладает при достаточно малых $|\epsilon |$ решениями вида
$$\begin{array}{c}x={\theta }_2+F(\theta ;\epsilon ),y=G(\theta ;\epsilon ),\\ \theta =({\theta }_1,{\theta }_2),{\theta }_1=t,{\theta }_2=\alpha t+{\theta }_2(0),\end{array}$$

где функции $F,G$ вещественно-аналитичны по переменным $\theta$ и $\epsilon$ и имеют период $2\pi$ по ${\theta }_1,{\theta }_2$, в то время как число $\alpha$ — иррационально. Другими словами, $x-\alpha t,y$ — квазипериодические функции, принадлежащие классу $\mathfrak{Q}(1,\alpha )$. Несмотря на то, что сама функция $x(t)$ не является квазипериодической, мы будем называть эти решения квазипериодическими из класса $\mathfrak{Q}(1,\alpha )$. В самом деле, так как $x$ — угловая переменная, то естественно в этой ситуации называть решение $x(t)$, $y(t)$ квазипериодическим из класса $\mathfrak{Q}({\omega }_1,{\omega }_2)$, если для любой вещественно-аналитической функции $f(t,x,y)$ периода $2\pi$ по $t$ и $x$ функция $f(t,x(t),y(t))$ принадлежит к $\mathfrak{Q}({\omega }_1,{\omega }_2)$.

Существование таких квазипериодических решений легко устанавливается при помощи теоремы существования из §1. Для этого мы построим сохраняющее площадь преобразование, отображающее начальные значения $x(0),y(0)$ решения при $t=0$ в значения $x(2\pi ),y(2\pi )$ при $t=2\pi$. Это отображение определено в замкнутом интервале $a+$ $+\delta ⩽y⩽b-\delta$ при достаточно малом $\delta$, вещественно-аналитично в нем и имеет вид
$$\begin{array}{l}x(2\pi )=x(0)+2\pi H_y^0(y(0))+O(\epsilon ),\\ y(2\pi )=y(0)+O(\epsilon ).\end{array}$$

Согласно (8), $H_y^0$ имеет отличную от 0 производную, так что теорема $\mathrm{\S }1$ применима и мы заключаем, что отображение имеет инвариантную замкнутую кривую
$$x(0)=\xi +u(\xi ;\epsilon ),y(0)=v(\xi ;\epsilon ),$$

лежащую в пределах $a+\delta ⩽y(0)⩽b-\delta$, причем на этой кривой отображение задается равенствами
$$\begin{array}{l}x(2\pi )=\xi +2\pi \alpha +u(\xi +2\pi \alpha ;\epsilon ),\\ y(2\pi )=v(\xi +2\pi \alpha ;\epsilon ).\end{array}$$

Иррациональное число $\alpha$ здесь играет ту же роль, что и число $\frac{\omega }{2\pi }$ в $\mathrm{\S }1$ и удовлетворяет условию $(1;6)$.

Покажем теперь, что решения, у которых начальные данные лежат на этой инвариантной кривой, — квазипериодические из класса $\mathfrak{Q}(1,\alpha )$. Если $|\epsilon |$ достаточно мало, то эти решения останутся в области $a<y<b$ при $0⩽t⩽2\pi$ и, следовательно, при всех $t$. Обозначая эти решения через
$$x=\xi +u(t,\xi ;\epsilon ),y=v(t,\xi ;\epsilon ),$$

мы заметим, что $u,v$ — вещественно-аналитические функции по $t,\xi ,\epsilon$ и имеют период $2\pi$ по $\xi$, тогда как в силу (10)
$$\begin{array}{l}u(2\pi ,\xi ;\epsilon )=\omega +u(0,\xi +\omega ;\epsilon ),\\ v(2\pi ,\xi ;\epsilon )=v(0,\xi +\omega ;\epsilon ),\end{array}$$

где $\omega =2\pi \alpha$.
Более того, мы можем утверждать, что
$$\{\begin{array}{l}u(t+2\pi ,\xi -\omega ,\epsilon )-\omega =u(t,\xi ;\epsilon ),\\ v(t+2\pi ,\xi -\omega ,\epsilon )=v(t,\xi ;\epsilon ).\end{array}$$

В самом деле, если $u(t,\xi ;\epsilon ),v(t,\xi ;\epsilon )$ в (11) заменить соответствующими левыми частями из (13), то полученные в результате функции снова являются решениями нашей системы, начальные данные которых, согласно (12), совпадают с начальными данными первоначальных решений. Следовательно, по теореме единственности для дифференциальных уравнений совпадают и сами решения, откуда и вытекает (13).

Таким образом, функции
$$\begin{array}{l}F(\theta ;\epsilon )=u({\theta }_1,{\theta }_2-\alpha {\theta }_1;\epsilon )-\alpha {\theta }_1,\\ G(\theta ;\epsilon )=v({\theta }_1,{\theta }_2-\alpha {\theta }_1;\epsilon )\end{array}$$

имеют период $2\pi$ по ${\theta }_1,{\theta }_2$, и, пользуясь ими, можно выразить решение (11) в форме (9) с ${\theta }_1=t,{\theta }_2=\xi +\alpha t$. Это завершает доказательство.

Мы распространим предыдущий результат на автономную гамильтонову систему
$${\dot{x}}_k=H_{y_k},{\dot{y}}_k=-H_{x_k}(k=1,2)$$

с двумя степенями свободы, где $H(x,y,\epsilon )$ — вещественно-аналитическая функция по переменным $x_1,x_2,y_1,y_2,\epsilon$ периода $2\pi$ по $x_1,x_2$; $y=(y_1,y_2)$ меняется в открытой области $\mathfrak{Q}$, а $\epsilon -$ в некоторой окрестности нуля. Основное предположение в этом случае состоит в том, что
$$H^0(y)=H(x,y;0)$$

не зависит от $x$ и удовлетворяет условию
$$H_{y_2{y}_2}^0{\left(H_{y_1}^0\right)}^2-2H_{y_1{y}_2}^0{H}_{y_1}^0{H}_{y_2}^0+H_{y_1{y}_1}^0{\left(H_{y_2}^0\right)}^{2}eq0$$

в $\mathfrak{D}$. Рассмотрим тспсрь повсрхпость постолший эпррии $H(x,y;c)=$ $=h$, где $h-$ такая константа, что множество, задаваемое равенством $H(x,y;0)=H^0(y)=h$, пересекает $\mathfrak{D}$. Утверждается, что на такой изоэнергетической поверхности существует решение $x(t),y(t)$, которое является квазипериодическим в том смысле, что $f(x(t),y(t))$ — квазипериодическая функция для любой вещественно-аналитической функции $f(x,y)$, имеющей период $2\pi$ по $x_1,x_2$.

Этот результат получается из предыдущего. В силу (15) можно предположить, что функция $H_{y_1}^0$ отделена от 0 в открытой подобласти ${\mathfrak{D}}^{\prime }\subset \mathfrak{D}$, и выбирая область ${\mathfrak{D}}^{\prime }$, так же как и $|\epsilon |$, достаточно малыми, мы можем из уравнения $H(x,y;\epsilon )=h$ найти $y_1=-K(x_1,x_2,y_2;\epsilon )$, где $K$ снова имеет период $2\pi$ по $x_1,x_2$. Более того, так как в уравнении
$${\dot{x}}_1=H_{y_1}$$

функция $H_{y_1}$ отделена от 0 , то мы можем из дифференциальных уравнений исключить переменную $t$ и использовать $x_1$ как независимое переменное. Полученные в результате дифференциальные уравнения
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{H_{y_2}}{H_{y_1}},\frac{d{y}_2}{d{x}_1}=-\frac{H_{x_2}}{H_{y_1}}$$

могут быть записаны в гамильтоновой форме
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{\partial K}{\partial y_2},\frac{d{y}_2}{d{x}_1}=-\frac{\partial K}{\partial x_2},$$

что проверяется дифференцированием тождества $H(x_1,x_2,-K,y_2;\epsilon )=$ $=h$. Легко проверить также, что функция $K(x_1,x_2,y_2;0)=K^0\left(y_2\right)$ не зависит от $x_1,x_2$, причем в силу (15)
$$\frac{{\partial }^2{K}^0}{\partial y_2^2}eq0.$$

В соответствии с предыдущим результатом уравнение (17) имеет решение вида
$$\{\begin{array}{l}{x}_2={\theta }_2+F(\theta ;\epsilon ),y_2=G(\theta ;\epsilon )\\ {\theta }_1=x_1,{\theta }_2=\alpha x_1+{\theta }_2(0),\end{array}$$

где функции $F,G$ — снова вещественно-аналитические по ${\theta }_1,{\theta }_2,\epsilon$ и имеют период $2\pi$ по ${\theta }_1,{\theta }_2$. Таким образом, эти решения квазипериодически зависят от $x_1$. Чтобы исследовать их зависимость от $t$, мы решаем уравнение (16), рассматривая его правую часть как известную квазипериодическую функцию от $x_1$ класса $\mathfrak{D}(1,\alpha )$. Так как функция $H_{y_1}$ отделена от 0 и $\alpha$ удовлетворяет неравенству $(1;6)$, то, согласно нашим предварительным замечаниям, $x_1(t)$ имеет вид
$$x_1=\beta (t-t_0)+f(t-t_0),$$

где $f$ лежит в $\mathfrak{D}(\beta ,\beta \alpha )$ и ${\beta }^{-1}$ — среднее значение по $x_1$ функции $H_{y_1}^{-1}$. Комбинируя это с (18) и используя доказанное раньше утверждение о композиции квазипериодических функций, мы, наконец, получаем
$$\{\begin{array}{rl}{x}_k(t)& ={\theta }_k+{\tilde{F}}_k(\theta ;\epsilon ),y_k(t)={\tilde{G}}_k(\theta ;\epsilon )(k=1,2),\\ {\theta }_k& ={\omega }_{k}t+{\theta }_k(0),{\omega }_1=\beta ,{\omega }_2=\alpha \beta ,\end{array}$$

где функции $\tilde{F},\tilde{G}$ — вещественно-аналитические по ${\theta }_1,{\theta }_2,\epsilon$ и имеют период $2\pi$ по ${\theta }_1,{\theta }_2$, тогда как отношение частот ${\omega }_1,{\omega }_2$ иррационально. Это завершает доказательство.

Чтобы интерпретировать полученный результат геометрически, мы можем рассмотреть первую строчку из (19) как вложение двумерного тора в четырехмерное фазовое пространство. Этот тор лежит на фиксированной поверхности постоянной энергии $H(x,y;\epsilon )=$ $=h$ и инвариантен относительно потока (14) в том смысле, что вектор $({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2,{\dot{y}}_1,{\dot{y}}_2)$ — касательный к тору. Следовательно, каждое решение системы (14) с начальными данными на этом торе остается на нем при всех действительных $t$ и система (14) индуцирует дифференциальное уравнение на торе. Согласно второй строчке из (19), это уравнение имеет вид ${\dot{\theta }}_k\subset {\omega }_k$, и так как ${\omega }_1/{\omega }_2$ иррационально, то любая орбита заполняет тор всюду плотно.

Эти утверждения можно обобщить на случай нескольких степеней свободы. Чтобы сформулировать соответствующий результат, положим $x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)$. Пусть $H(x,y;\epsilon )$ — вещественно-аналитическая по своим $2n+1$ аргументам функция, имеющая период $2\pi$ по каждому из переменных $x_1,\dots ,x_n$. Таким образом, $H$ определена при всех действительных $x$; $y$ меняется в $n$-мерной области $\mathfrak{D}$, а параметр $\epsilon -$ в некоторой окрестности нуля. Кроме того, предполагается, что при $\epsilon =0$ функция
$$H(x,y,0)=H^0(y)$$

не зависит от $x$, так что при этом значении параметра соответствующая гамильтонова система упрощается:
$${\dot{x}}_k=H_{y_k}^0(y),{\dot{y}}_k=-H_{x_k}^0(y)=0(k=1,\dots ,n).$$

Решение этой системы задается равенствами
$$x_k(t)=H_{y_k}^0(v)t+x_k(0),y_k=v_k$$

с любым вектором $v=(v_1,\dots ,v_n)$ из $\mathfrak{D}$; а $n$ уравнений $y_k=v_k(k=$ $=1,\dots ,n$ ) могут рассматриваться в качестве определения $n$-мерного тора, на котором дифференциальные уравнения имеют вид
$${\dot{x}}_k=H_{y_k}^0(v).$$

Таким образом, если вектор $v$ выбран так, что $H_{y_k}^0(v)$ рационально независимы, то решения плотны на этом торе.

Наша цель — найти решения подобного типа при малых значениях $\epsilon$, и для этого мы сделаем дополнительное предположение о невырожденности гессиана (определителя матрицы вторых производных)
$$\left|H_{y_k{y}_l}^0\right|eq0.$$

Это предположение приводит к тому, что значения градиента $H_y^0(y)$ заполняют с изменением $y$ открытое $n$-мерное множество. В частности, константы $v_1,\dots ,v_n$ могут быть выбраны так, чтобы числа ${\omega }_k=$ $=H_{y_k}^0(v)$ были рационально независимы и сверх того удовлетворяли бесконечному числу неравенств
$$\left|\sum _{k=1}^n{j}_k{\omega }_k\right|⩾c|j{|}^{-\mu }$$

для всех целых $j_k$ с $|j|=\sum _{k=1}^n\left|j_k\right|>0$, где $c,\mu$ — некоторые фиксированные положительные константы. При этих предположениях мы утверждаем, что при малых значениях $|\epsilon |$ существуют решения соответствующей гамильтоновой системы, которые имеют вид
$$\{\begin{array}{rlrl}{x}_k& ={\theta }_k+F_k(\theta ;\epsilon ),& & y_k=G_k({\theta }_k;\epsilon ),\\ {\theta }_k& ={\omega }_{k}t+{\theta }_k(0),& & (k=1,\dots ,n),\end{array}$$

где $F_k,G_k$ — снова вещественно-аналитические функции периода $2\pi$ по ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_n$. Эти решения квазипериодичны в том смысле, что для любой вещественно-аналитической функции $f(x,y)$ периода $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$ функция $f(x(t),y(t))$ — квазипериодическая из класса $\mathfrak{Q}(\omega )$. Кроме того, можно показать, что эти квазипериодические решения образуют множество положительной меры в фазовом пространстве. Более точно, если $\mathrm{\Omega }$ обозначает $2n$-мерное открытое множество точек $(x,y)$, для которых $y\in \mathfrak{D}$, и если $\delta$ — заданная положительная константа, то существует положительное ${\epsilon }_0={\epsilon }_0(\delta )$, такое, что для $|\epsilon |<{\epsilon }_0$ указанные выше квазипериодические решения в $\mathrm{\Omega }$ заполняют замкнутое множество $S$, мера дополнения которого $m(\mathrm{\Omega }-S)<\delta m(\mathrm{\Omega })$. В этом смысле мы можем сказать, что большинство решений в $\mathrm{\Omega }$ — квазипериодические.

Сформулированная теорема принадлежит А.Н.Колмогорову и В.И.Арнольду [2-5]. Полезно отметить, что условие иррациональности (21) налагается не на данную гамильтонову систему, а на вектор $\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$, выбранный в области изменения $H_y^0$. Теорема утверждает существование квазипериодических решений в $\mathfrak{Q}(\omega )$, и в связи с этим условие (20), которое обеспечивает возможность контролировать частоты ${\omega }_k=H_{y_k}^0(v)$ за счет выбора $v$, является решающим. Имеется еще один вариант этой теоремы, в котором (20) заменяется другим предположением. Вместо требования, согласно которому частоты $H_{y_k}^0$ $(k=1,\dots ,n$ ) пробегают открытое $n$-мерное множество, можно потребовать, чтобы на фиксированной поверхности постоянной энергии $H^0(y)=h$ отношения $H_{y_k}^0/H_{y_1}^0(k=2,\dots ,n)$ при $H_{y_1}^{0}eq0$ заполняли ( $n-1$ )-мерное множество. Это приводит к предположению
$$\left|\begin{array}{cc}{H}_{y_k{y}_l}^0& H_{y_k}^0\\ H_{y_l}^0& 0\end{array}\right|eq0$$

которое для $n=2$ на самом деле совпадает с (15). При этом предположении на заданной поверхности постоянной энергии существуют квазипериодические решения вида (22) с предписанными отношениями частот. Заметим, что ни одно из условий (20), (23) не сводится к другому. Для примера, при $H^{(0)}(y)=y_1+P(y_2,\dots ,y_n)$ условие (20) нарушается, а (23) выполняется, если гессиан $P$ отличен от 0 ; с другой стороны, для $n=2$ функция $H^0(y)=\log \left(y_1{y}_2^{-1}\right)$ при положительных $y_1,y_2$ удовлетворяет (20), но не удовлетворяет (23).

Доказательство этих теорем основано на той же самой быстро сходящейся итерационной схеме, которая использовалась в § 1 и здесь приводиться не будет. Вместо этого иы, используя предположение (20), получим только формальное разложение по степеням $\epsilon$ для функций $F_k(\theta ;\epsilon ),G_k(\theta ;\epsilon )$ из $(22)$, опуская доказательство сходимости.

Начнем с выбора вектора $\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$, который лежит в области изменения $H_y^0(y)$ при $y\in \mathfrak{D}$ и удовлетворяет условию (21). Существование такого вектора доказывается при условии $\mu ⩾n$ с помощью рассуждений из теории меры, подобных проведенным в конце $\mathrm{\S }25$. Можно считать, что $H_{y_k}^0(0)={\omega }_k(k=1,\dots ,n)$, поскольку подходящим сдвигом координаты $y$ этого всегда можно добиться. Чтобы найти искомый инвариантный тор, мы построим каноническое преобразование, которое преобразует переменные $(x,y)$ в $(\xi ,\eta )$ и тор (22) в тор $\eta =0$. А именно зададим искомое каноническое преобразование с помощью производящей функции $S(x,\eta ;\epsilon )$ равенствами
$$y_k=S_{x_k},{\xi }_k=S_{{\eta }_k}(k=1,\dots ,n),$$

предполагая, что $S(x,\eta ;0)=\sum _{k=1}^n{x}_k{\eta }_k$. Чтобы обеспечить желаемую периодичность, мы потребуем, чтобы $S_{x_k},S_{{\eta }_k}-x_k$ имели период $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$. Обозначая преобразованный гамильтониан через $\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ;\epsilon )$,

имеем
$$H(x,S_x;\epsilon )=\mathrm{\Phi }(S_{\eta },\eta ;\epsilon );$$

попытаемся определить функцию $S$ так, чтобы
$$\mathrm{\Phi }(\xi ,0;\epsilon )=\gamma (\epsilon ),{\mathrm{\Phi }}_{{\eta }_k}(\xi ,0;\epsilon )={\omega }_k(k=1,\dots ,n),$$

где $\gamma$ не зависит от $\xi$. Если это возможно, то преобразованные уравнения
$${\dot{\xi }}_k={\mathrm{\Phi }}_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-{\mathrm{\Phi }}_{{\xi }_k}$$

обладают решениями
$${\xi }_k={\omega }_{k}t+{\xi }_k(0),{\eta }_k=0(k=1,\dots ,n).$$

Выражая эти решения в первоначальных координатах $x,y$ и полагая ${\theta }_k={\xi }_k$, мы тогда получаем искомые квазипериодические решения (22).

Таким образом, наша задача сводится к нахождению производящей функции $S(x,\eta ;\epsilon )$, для которой преобразованный гамильтониан $\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ;\epsilon )$ удовлетворяет (26). Для этой цели достаточно рассматривать только линейные функции по $\eta$ вида
$$S(x,\eta ;\epsilon )=a_0(x;\epsilon )+\sum _{k=1}^n(x_k+a_k(x;\epsilon )){\eta }_k,$$

где $a_k(x;\epsilon ),(k=1,\dots ,n)$ имеет период $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$, в то время как $a_0(x;\epsilon )$ — функция вида
$$a_0=\sum _{k=1}^n{c}_k(\epsilon )x_k+b_0(x;\epsilon ),$$

причем $b_0(x;\epsilon )$ имеет период $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$, а $c_k$ не зависят от $x,\eta$. Каноническое преобразование, порождаемое такой функцией $S(x,\eta ;\epsilon )$, можно легко описать. В самом деле, если $S(x,\eta ;0)=$ $=\sum _{k=1}^n{x}_k{\eta }_k$, то оно задается явными формулами
$$x=u(\xi ;\epsilon ),y=v(\xi ,\epsilon )+V(\xi ;\epsilon )\eta ,$$

где $u(\xi ;\epsilon ),v(\xi ;\epsilon )$ — $n$-мерные векторы, $V(\xi ;\epsilon )$ — матрица порядка $n\times n$, причем $u(\xi ;\epsilon )-\xi ,v(\xi ;\epsilon ),V(\xi ;\epsilon )$ имеют период $2\pi$ по ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$. Так как это преобразование каноническое, то матрица $V^{-1}$ равна транспонированной к матрице $u_{k{\xi }_l}$, а при $\epsilon =0$ преобразование становится тождественным.

Чтобы определить функцию $S(x,\eta ;\epsilon )$ с указанными выше свойствами, мы разлагаем ее в степенной ряд по $\epsilon$ и, используя (26), сравниваем коэффициенты в уравнении (25). Этим способом мы докажем существование такого степенного ряда и в то же самое время установим его единственность при дополнительной нормировке
$$\begin{array}{c}S(x,\eta ;0)=\sum _{k=1}^n{x}_k{\eta }_k,\\ b_0^{\ast }=a_k^{\ast }=0(k=1,\dots ,n),\end{array}$$

где звездочка обозначает среднее значение, взятое по переменным $x_1,\dots ,x_n$.

Для целого $\lambda ⩾0$ обозначим коэффициенты при ${\epsilon }^{\lambda }$ в $H,\mathrm{\Phi },S,\gamma$ соответственно через $H^{\lambda },{\mathrm{\Phi }}^{\lambda },S^{\lambda },{\gamma }^{\lambda }$ и предположим, что $S^0,\dots ,S^{\lambda -1}$, так же, как ${\gamma }^0,\dots ,{\gamma }^{\lambda -1}$, уже определены, так что коэффициент при ${\epsilon }^0,\dots ,{\epsilon }^{\lambda -1}$ в обеих частях (25), (26) согласованы и удовлетворяют соотношениям нормировки (28), (29). Для $\lambda =1$ это несомненно будет так, если мы начинаем с (28) и полагаем ${\gamma }^0=H^0(0)$. Проводя индукцию, мы сравниваем коэффициенты при ${\epsilon }^{\lambda }$ для $\lambda ⩾1$ в (25) и получаем
$$\sum _{k=1}^n{H}_{y_k}^0(\eta )S_{x_k}^{\lambda }(x,\eta )-{\mathrm{\Phi }}^{\lambda }(x,\eta )=g(x,\eta ),$$

где $g(x,\eta )$ — известная вещественно-аналитическая функция периода $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$. Так как мы хотим, чтобы функция $\mathrm{\Phi }$ удовлетворяла (26), то для коэффициентов при ${\epsilon }^{\lambda }$ получаем соотношение
$$\sum _{k=1}^n{H}_{y_k}^0(\eta )S_{x_k}^{\lambda }(x,\eta )-{\gamma }^{\lambda }=g(x,\eta )+O\left(|\eta {|}^2\right)\text{. }$$

Поэтому, выражая функцию $S^{\lambda }(x,\eta )$ в виде
$$S^{\lambda }(x,\eta )=\sum _{k=1}^n{c}_k{x}_k+b(x)+\sum _{k=1}^n{a}_k(x){\eta }_k$$

и вводя обозначения
$$\begin{array}{c}{\omega }_k=H_{y_k}^0(0),{\mathrm{\Omega }}_{kl}=H_{y_k{y}_i}(0),\partial =\sum _{k=1}^n{\omega }_k\frac{\partial }{\partial x_k},\\ (c,\omega )=\sum _{k=1}^n{c}_k{\omega }_k,g_0(x)=g(x,0),g_k(x)=g_{{\eta }_k}(x,0),\end{array}$$

мы приходим к уравнениям
$$\{\begin{array}{l}\partial b+(c,\omega )-{\gamma }^{\lambda }=g_0,\\ \partial a_k+\sum _{l=1}^n{\mathrm{\Omega }}_{lk}(b_{x_l}+c_l)=g_k(k=1,\dots ,n).\end{array}$$

Необходимое условие для существования полипериодического решения $b,a_k$ системы (31), состоящее в том, что средние значения в обеих частях равны, приводит к соотношениям
$$(c,\omega )-{\gamma }^{\lambda }=g_0^{\ast },\sum _{l=1}^n{\mathrm{\Omega }}_{lk}{c}_l=g_k^{\ast }(k=1,\dots ,n),$$

которые можно однозначно разрешить относительно $c_1,\dots ,c_n$ и ${\gamma }^{\lambda }$, так как в силу (20) матрица $({\mathrm{\Omega }}_{kl}$ ) невырождена. Уравнения (31) тогда приводятся к виду
$$\partial b=g_0-g_0^{\ast },\partial a_k=h_k(x)-h_k^{\ast },$$

где
$$h_k=g_k-\sum _{l=1}^n{\mathrm{\Omega }}_{lk}{b}_{x_l}$$

а эти уравнения в частных производных имеют в точности тот же вид, что и уравнение (4), рассмотренное в начале этого параграфа. Так как правая часть имеет среднее значение 0 , то эти уравнения имеют вещественно-аналитические решения $b,a_1,\dots ,a_n$ периода $2\pi$ по $x_1,\dots ,x_n$, и, более того, эти решения будут единственными, если потребовать, чтобы $b^{\ast }=a_k^{\ast }=0(k=1,\dots ,n)$.

Таким образом, мы завершили шаг индукции и тем самым доказали существование разложения в формальные степенные ряды для функции $S(x,\eta ;\epsilon )$.

В качестве простого применения полученных нами результатов рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Напомним, что эта задача описывается гамильтонианом
$$E(q,p;\mu )=\frac{1}{2}(\frac{p_1^2}{2}+\frac{p_2^2}{2})+q_2{p}_1-q_1{p}_2-F,$$

где
$$F(q,\mu )=(1-\mu ){\{{(q_1+\mu )}^2+q_2^2\}}^{-1/2}+\mu {\{{(q_1+\mu -1)}^2+q_2^2\}}^{-1/2}.$$

При $\mu =0$ она сводится к задаче Кеплера во вращающейся системе координат, а эллиптическим орбитам соответствуют прецессирующие эллипсы. Аналитически эти решения могут быть записаны в форме
$$q_1+i{q}_2=e^{-it}P(\alpha t),$$

где $P(\theta )$ — комплекснозначная функция периода $2\pi$ по $\theta$, а частота $\alpha$ связана большой осью $2a$ третьим законом Кеплера $(\alpha +1{)}^2{a}^3=1$. Ясно, что для рациональных значений $\alpha$ эти решения — периодические, в то время как для иррациональных $\alpha$ они — квазипериодические из класса $\mathfrak{Q}(1,\alpha )$. Наша цель — найти такие же квазипериодические решения для малых значений $\mu$, стремящиеся к описанным выше решениям при $\mu \to 0$. Для этого удобно ввести так называемые переменные Делоне $x_1,x_2,y_1,y_2$, в которых гамильтониан имеет период $2\pi$ по $x_1,x_2$ и приводится к виду $H^0(y_1,y_2)+O(\mu )$, после чего мы применим наш предыдущий результат о существовании квазипериодических решений.

Чтобы ввести переменные Делоне [6], рассмотрим задачу Кеплера, описываемую гамильтонианом $K=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)-{(q_1^2+q_2^2)}^{-1/2}$. При отрицательном значении $K$ решения будут эллиптическими; с точностью до поворота они описываются формулами
$$q_1=a(\cos u-e),q_2=a\sqrt{1-e^2}\sin u,$$

где
$$t-t_0=a^{3/2}(u-e\sin u).$$

Здесь $2a>0$ — большая ось эллипса, $0⩽e⩽1$ — его эксцентриситет и $K=-(2a{)}^{-1}$. При $0⩽e<1$ введем переменную $x_1$ равенством
$$x_1=u-e\sin u\text{. }$$

Исключая $u$, мы можем выразить $q_k={\phi }_k(x_1;a,\mathit{e})(k=1,2)$ как периодические функции по $x_1$ с периодом $2\pi$, используя которые, можно опять получить решение задачи Кеплера, если положить $x_1=a^{-3/2}(t-$ $-t_0$ ). Оставшиеся переменные $x_2,y_1,y_2$ вводятся при помощи равенств
$$a=y_1^2,y_1\sqrt{1-{\mathit{e}}^2}=y_2,$$

так чтобы общее эллиптическое решение задачи Кеплера имело вид
$$\{\begin{array}{l}{q}_1={\psi }_1(x,y)={\phi }_1\cos x_2-{\phi }_2\sin x_2,\\ q_2={\psi }_2(x,y)={\phi }_1\sin x_2+{\phi }_2\cos x_2,\end{array}$$

где $x_2,y_1,y_2$ — постоянные и ${\dot{x}}_1=y_1^{-3}$. Эти уравнения служат также определением функций ${\psi }_1,{\psi }_2$. Дополним эти формулы, добавив соотношения
$$p_k=y_1^{-3}\frac{\partial {\psi }_k(x,y)}{\partial x_1}(k=1,2),$$

и рассмотрим $(33),(34)$ как преобразование координат $x_1,x_2,y_1,y_2$ в координаты $q_1,q_2,p_1,p_2$. Чтобы избежать орбит со столкновениями, а также круговых, на которых $x_2$ теряет смысл, мы ограничиваемся случаем $a>0,0<\mathit{e}<1$, или
$$0<y_2^2<y_1^2.$$

Можно проверить, что это преобразование каноническое и имеет период $2\pi$ по $x_1,x_2$, в то время как преобразованные дифференциальные уравнения определяются гамильтонианом $K=-(2a{)}^{-1}=-\frac{1}{2}{y}_1^{-2}$. Мы ограничимся положительными значениями $y_1$ и разрешим $y_2$ принимать значения обоих знаков, так что
$$0<\left|y_2\right|<y_1;$$

случай $y_2>0$ соответствует при этом движению против часовой стрелки при возрастании времени, а случай $y_2<0$ — движению по часовой стрелке. Переменные $x_1,x_2$ называются в астрономии соответственно средней аномалией и долготой перигелия.

Применим теперь преобразование (33), (34) к ограниченной задаче трех тел. Чтобы избежать столкновений с телом массы $\mu$, мы требуем
выполнения неравенства $a(1+\mathit{e})<1$, или в переменных $y_1,y_2$ неравенства $y_1<{(2-y_2^2)}^{-1/2}<1$. Таким образом, мы ограничиваемся областью $\mathfrak{D}$, в которой
$$0<\left|y_2\right|<y_1<{(2-y_2^2)}^{-1/2}<1.$$

Эта область имеет две компоненты, одна из которых соответствует движению по часовой стрелке, другая — движению против часовой стрелки. Полезно интерпретировать величины $2a,\mathit{e}$, связанные с $y_1,y_2$ через (32), как соответственно главную ось и эксцентриситет осциллирующего эллипса. Легко видеть, что гамильтониан $E(p,q;\mu )$ приводится к виду
$$H(x,y;\mu )=H^0(y)+O(\mu ),H^0(y)=-\frac{1}{2y_1^2}-y_2,$$

где функция $H(x,y;\mu )$ аналитична в $\mathfrak{D}$ при достаточно малом $\mu$. Дополнительный член $-y_2$ в $H^0(y)$ обусловлен равномерным вращением системы координат.

Таким образом, вид функции $H(x,y;\mu )$ позволяет применить к ней наши предыдущие результаты, и так как $H^0(y)$, очевидно, удовлетворяет условию (15), то мы заключаем, что на каждой поверхности постоянной энергии $H(x,y;\mu )=h$, такой, что множество $H^0(y)=h$ пересекает $\mathfrak{D}$, существуют квазипериодические решения с двумя частотами. Эти решения могут рассматриваться как непрерывные продолжения прецессирующих эллиптичєских орбит, которые соответствуют $\mu =0$. Легко видеть, что они обладают следующим свойством: $\mid y_k(t)-$ $-y_k(0)\mid <c\mu (k=1,2)$, справедливым для всех действительных $t$, где $c$ — константа, не зависящая от $t,\mu$. Другими словами, главная ось и эксцентриситет осциллирующего эллипса мало изменяются со временем, если $\mu$ — достаточно мало; в частности, при всех $t$ решения остаются ограниченными и вдоль них отсутствуют столкновения.

Аналогичное утверждение имеет место для других, возможно, не квазипериодических движений. Более точно, мы покажем, что для любого в $\epsilon >0$ и любого компактного подмножества ${\mathfrak{D}}_1$ области $\mathfrak{D}$ существует положительное ${\mu }_0={\mu }_0(\epsilon ,{\mathfrak{D}}_1)$, такое, что для $y(0)\in {\mathfrak{D}}_1$ и $0⩽\mu <{\mu }_0$
$$|y_k(t)-y_k(0)|⩽\epsilon (k=1,2)$$

при всех $t$. Это снова означает, что для решений, начинающихся в ${\mathfrak{D}}_1$, форма осциллирующего эллипса мало меняется со временем, если $\mu$ мало.

Чтобы доказать только что сформулированное утверждение, рассмотрим совокупность прямоугольников $R$, определенных неравенствами
$$|y_1-{\eta }_1|⩽\epsilon ,|y_2-{\eta }_2|⩽\epsilon /2,$$

где $\eta$ лежат в ${\mathfrak{S}}_1$ и $\epsilon$ выбрано настолько малым, что все эти прямоугольники лежат в $\mathfrak{D}$, в то время как все комплексные $y_1,y_2$, удовлетворяющие (35), лежат в области аналитичности $H(x,y;\mu )$ при малом $|\mu |$. Мы утверждаем, что если $\eta =y(0)$, где $x(t),y(t)$ — некоторое решение рассматриваемой системы, то $y(t)$ остается внутри соответствующего $R$ при всех $t$, при условии что $\mu$ достаточно мало. Чтобы проверить это утверждение, мы заметим, что вдоль любого решения функция $H(x,y;\mu )$ равна константе, которую обозначим через
$$h=H(x(0),y(0);\mu )=H^0(y(0))+O(\mu ).$$

Вдоль кривой $H_0(y)=h$ в $\mathfrak{D}$ мы имеем
$$0<\frac{d{y}_1}{d{y}_2}=y_1^3<1,$$

так что если $y,y^{\ast }$ — две точки на этой кривой, то
$$|y_1-y_1^{\ast }|⩽|y_2-y_2^{\ast }|.$$

Подобным образом, для любых двух четырехмерных векторов $x,y$ и $x^{\ast },y^{\ast }$ на поверхности постоянной энєргии $H(x,y;\mu )=H(x^{\ast },y^{\ast };\mu )=h$
$$|y_1-y_1^{\ast }|⩽|y_2-y_2^{\ast }|+O(\mu ),$$

где $y$ и $y^{\ast }$ лежат в $\mathfrak{D}$.
Выбрав $\mu$ настолько малым, чтобы последний член в предыдущем неравенстве был по модулю меньше, чем $\frac{\epsilon }{2}$, мы теперь предположим, что $\eta =y(0)$ и что наше решение $y(t)$ выходит из соответствующего прямоугольника $R$. Пусть $t^{\ast }$ — наименьшее положительное значение $t$, для которого $y(t)$ лежит на границе $R$, тогда как при $0⩽t<t^{\ast }y(t)$ лежит внутри $R$. Полагая $y=y(t),y^{\ast }=y(0)$ в $(36)$, имеем при $0⩽t⩽t^{\ast }$
$$|y_1(t)-{\eta }_1|<|y_2(t)-{\eta }_2|+\frac{\epsilon }{2}⩽\epsilon$$

и, следовательно,
$$|y_1\left(t^{\ast }\right)-{\eta }_2|=\frac{\epsilon }{2}.$$

Другими словами, решение $y(t)$ может выйти из $R$ только через стороны прямоугольника, которые параллельны оси $y_1$. Но, с другой стороны, этому выходу препятствует инвариантный тор, который мы построили ранее. В самом деле, если применить наши предыдущие результаты к функции $H(x,y;\mu )$, где вектор $y$ принадлежит одному из прямоугольников $R_{+}$или $R_{-}$, определяемых неравенствами
$$|y_1-{\eta }_1|<\epsilon ,0<\pm (y_2-{\eta }_2)<\frac{\epsilon }{2},$$

то условие (15) удовлетворяется, и поэтому каждая из соответствующих областей в четырехмерном пространстве $(x,y)$ содержит двумерный инвариантный тор, который лежит на трехмерной поверхности постоянной энергии $H(x,y;\mu )=h$. Эти торы служат барьером для решения, и $y_2(t)$ не может продвинуться от $y_2=\eta$ к $y_2={\eta }_2\pm \frac{\epsilon }{2}$. Таким образом, первое время выхода $t^{\ast }$ в действительности не существует и $y(t)$ должно оставаться в $R$, а поэтому и в $\mathfrak{D}$, для всех $t⩾0$. Tе же самые рассуждения, примененные к отрицательным $t$, теперь завершают доказательство.

В этом доказательстве нам пришлось исключить орбиты с малым эксцентриситетом, но это было сделано только вследствие нашего выбора координат, ибо результат §3 об устойчивости периодических решений охватывает как раз этот случай. Решающим моментом в наших предыдущих рассуждениях был тот факт, что двумерные инвариантные торы образуют границу открытого множества на трехмерной поверхности постоянной энергии. Для задач с $n$ степенями свободы, при $n>2$ поверхность постоянной энергии имеет размерность $2n-1$, и поэтому для границы открытого множества требуется размерность $2n-2$, в то время как инвариантные торы, согласно теории, имеют только размерность $n$. По этой причине не существует аналогичной теоремы об устойчивости для случая более чем двух степеней свободы.

Наконец, в качестве задачи с более чем двумя степенями свободы рассмотрим задачу трех тел. Если ограничиться плоским случаем, то исходная задача имеет шесть степеней свободы, но, принимая в расчет интегралы центра масс, мы можем свести ее к случаю четырех степеней свободы. Предполагая, что две из масс, скажем $m_1,m_2$, малы по сравнению с третьей, которую можно с помощью выбора единицы массы сделать равной 1 , Арнольд [7] установил существование квазипериодических решений с четырьмя рационально независимыми частотами. Более точно, предположим, что массы $m_k={\alpha }_k\mu (k=1,2)$ зависят от единственного малого параметра $\mu$, где ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ — фиксированные положительные константы; положение «планет» масс $m_1,m_2$ относительно «солнца» массы $m_0=1$ будем задавать двумя векторами координат и двумя векторами скорости, получая, таким образом, восьмимерное фазовое пространство. Для малых значений $\mu$ мы хотели бы получить решения, в которых планеты движутся по орбитам, близким к эллиптическим, по крайней мере на ограниченном интервале времени, и поэтому стоит описывать точки в фазовом пространстве геометрическими величинами, которые соответствуют осциллирующим эллипсам. Обозначая через $2a_k$ большую ось и через $e_k$ эксцентриситет соответствующего эллипса, мы рассмотрим открытое множество $\mathrm{\Omega }$ вида
$$c_k<a_k<C_k,0<{\mathit{e}}_k<\rho (k=1,2)$$

в восьмимерном фазовом пространстве. Утверждение Арнольда тогда заключается в том, что для данных констант ${\alpha }_k,c_k,C_k$, удовлетворяющих неравенствам $0<c_1<C_1<c_2<C_2$, и для данного $\epsilon >0$ существует $\delta =\delta (\epsilon )>0$, такое, что при $0⩽\mu <\delta ,0<\rho <\delta$ множество $\mathrm{\Omega }$ содержит замкнутое подмножество $S$ со следующими свойствами: любое решение, начинающееся в $S$, остается в $S$ при всех действительных $t$ и является квазипериодическим с четырьмя независимыми частотами; $S$ есть объединение четырехмерных инвариантных торов, на каждом из которых решения всюду плотны, а дополнение $\mathrm{\Omega }-S$ имеет лебегову меру $m(\mathrm{\Omega }-S)<\epsilon m(\mathrm{\Omega })$. В частности, ни одно из решений на инвариантном множестве $S$ никогда не приводит к столкновениям.

Однако в отличие от ограниченной задачи трех тел здесь уже, вообще говоря, ничего нельзя сказать о поведении решений, начинающихся в дополнительном множестве $\mathrm{\Omega }-S$. Например, в то время как для решений, лежащих в $S$, переменные $a_1,a_2$ остаются между двумя константами, которые отличаются на величину самое большее порядка $\mu$, возможно, что среди решений, начинающихся в $\mathrm{\Omega }-S$, могут существовать исключительные решения, для которых $a_1,a_2$ изменяются на величины конечного порядка, и это в конце концов может привести к столкновению тел. В самом деле, Арнольд [8] построил замечательный пример гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, в которой явление такого типа имеет место.

Причина различия в поведении решений в общей задаче трех тел и в ограниченной задаче трех тел состоит в том, что четырехмерные инвариантные торы не ограничивают открытые области на семимерной поверхности постоянной энергии. В действительности можно было бы свести эту задачу к задаче с тремя степенями свободы, используя интеграл углового момента, но несоответствие в размерности все равно бы осталось. О поведении решений в течение длительного времени в дополнительном множестве как для задачи трех тел, так и для других систем с более чем двумя степенями свободы мало что известно.

Арнольд распространил эти результаты о квазипериодических движениях для плоской задачи трех тел на общий трехмерный случай и даже для задачи $N$ тел при $N⩾3$. В принципе доказательства основаны на идеях, развитых в предыдущих параграфах, хотя приходится сталкиваться с трудностями, которые обусловлены вырождением системы при $\mu =0$, приводящим к нарушению условия (20), равно как и условия (23). Более того, некоторые из частот квазипериодических решений стремятся к 0 при $\mu \to 0$. Эти трудности преодолеваются при помощи более тонкой аппроксимации; подробные доказательства см. в $[5,7]$. Из недавних книг, в которых обсуждаются вопросы устойчивости, обратим внимание читателя на $[9,10]$.