До сих пор мы использовали инвариантные кривые, найденные в предыдущих параграфах, только для исследования устойчивости. Однако в действительности можно дать и весьма точное описание качественных свойств соответствующих орбит. В то время как неподвижные точки отображения, связанного с потоком, соответствуют периодическим движениям, точки на инвариантных кривых, как будет показано ниже, соответствуют решениям, принадлежащим к специальному классу почти-периодических решений, а именно к так называемым квазипериодическим движениям. Значение этих решений было осознано уже Болем. Сейчас мы переходим к изучению таких решений и к обобщению результатов предыдущих параграфов на случай многих степеней свободы.

Мы будем называть комплексную функцию $f(t)$ квазипериодической, если она может быть представлена рядом Фурье специального вида:
\[
f(t)=\sum_{k_{1}, \ldots, k_{s}} a_{k_{1}, \ldots, k_{s}} e^{i\left(k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{s} \omega_{s}\right) t},
\]

где $k_{1}, \ldots, k_{s}$ пробегают все целые числа и коэффициенты экспоненциально убывают с ростом $|k|=\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{s}\right|$. Для упрощения записи мы вводим векторы $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{s}\right), \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}\right)$ вместе с их скалярным произведением $(k, \omega)=\sum_{
u=1}^{s} k_{
u} \omega_{
u}$ и соответственно обозначаем коэффициенты через $a_{k}$. Действительные числа $\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}$ можно предполагать рационально независимыми, так как иначе их количество можно было бы уменьшить. Вещественная квазипериодическая функция $f(t)$ характеризуется соотношениями $a_{-k}=\bar{a}_{k}$.

С каждой квазипериодической функцией $f(t)$ указанного вида мы связываем соответствующую функцию
\[
F\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{s}\right)=\sum_{k} a_{k} e^{i(k, \theta)}
\]
$s$ переменных, где $\theta=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{z}\right)$. Функция $F(\theta)$ имеет период $2 \pi$ по каждому переменному и является вещественной, если $a_{-k}=\bar{a}_{k}$. Более того, согласно нашему предположению об экспоненциальном убывании коэффициентов, функция $F(\theta)$ вещественно-аналитическая. Функция $f(t)$ получается из $F(\theta)$ заменой $\theta$ на $\omega t$. Обратно, каждая вещественно-аналитическая функция $F(\theta)$ периода $2 \pi$ по своим переменным порождает вещественную квазипериодическую функцию $f(t)$, если $\theta$ опять заменить на $\omega t$. Чтобы убедиться в этом, следует только показать, что коэффициенты Фурье
\[
a_{k}=(2 \pi)^{-s} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F(\theta) e^{-i(k, \theta)} d \theta_{1} \ldots d \theta_{s}
\]

убывают экспоненциально с ростом $|k|$. Так как $F(\theta)$ – вещественно-аналитическая и периодическая функция, то она определена при комплексных значениях $\theta_{
u}$ в области $\left|\operatorname{Im} \theta_{
u}\right| \leqslant \rho$ для достаточно малого $\rho>0$ и ограничена там по абсолютной величине константой $M$. Так как по теореме Коши в качестве пути интегрирования в указанном выше интеграле может быть взят путь $\theta_{
u}=x_{
u} \pm i \rho, 0 \leqslant x_{
u} \leqslant 2 \pi$, ( $
u=$ $=1, \ldots, s)$, то, выбирая знак перед $i$ равным знаку $-k_{
u}$, если $k_{
u}
eq 0$, и произвольно, если $k_{
u}=0$, мы получаем, что
\[
\left|a_{k}\right| \leqslant M e^{-|k| \rho} .
\]

Это доказывает экспоненциальное убывание $a_{k}$, в то время как вещественность $F$ приводит к тому, что
\[
\bar{a}_{k}=(2 \pi)^{-s} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F(\theta) e^{i(k, \theta)} d \theta_{1} \ldots d \theta_{s}=a_{-k} .
\]

Определенный таким способом класс квазипериодических функций будет обозначаться через $\mathfrak{Q}(\omega)$. Он представляет собой подкласс
класса почти-периодических функций, введенных Бором [1], более узкий в двух отношениях: во-первых, частоты являются линейными комбинациями с целыми коэффициентами только конечного числа частот $\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}$, тогда как в теории Бора в качестве частот допускается любое счетное множество действительных чисел; во-вторых, требуется, чтобы коэффициенты $a_{k}$ экспоненциально убывали с ростом $|k|$, что делает $f(t)$, так же как и $F(\theta)$, вещественно-аналитическими функциями, тогда как почти-периодические функции Бора просто ограничены и непрерывны. Этот более узкий класс $\mathfrak{Q}(\omega)$ весьма удобен, однако, применительно к нелинейным задачам небесной механики.

Класс функций $\mathfrak{Q}(\omega)$ зависит, очевидно, от выбора чисел $\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}$. Более точно он определяется решеткой, порожденной числами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}$, так как $\mathfrak{Q}(\omega)$ не меняется, если вектор $\omega$ заменен на вектор $\omega^{\prime}=U \omega$, где $U$ – целочисленная матрица с определителем $\pm 1$. Ясно, что требование рациональной независимости $\omega_{1}, \ldots, \omega_{s}$ сохраняется при таком преобразовании. Ясно также, что всякая квазипериодическая функция из $\mathfrak{Q}(\omega)$ может быть равномерно аппроксимирована в $\mathfrak{Q}(\omega)$ конечной тригонометрической суммой, для чего можно просто обрезать ряд Фурье данной функции $f(t)$, опуская члены с $|k| \geqslant N$ при достаточно большом натуральном $N$. Вследствие экспоненциального убывания коэффициентов Фурье полученные таким способом тригонометрические суммы будут равномерно сходиться к $f(t)$.

С каждой квазипериодической функцией $f(t)$ мы также связываем среднее значение
\[
f^{*}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t .
\]

Чтобы доказать существование этого предела, заметим, что для тригонометрического полинома из $\mathfrak{Q}(\omega)$ он заведомо существует и равен
\[
a_{0}=(2 \pi)^{-s} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F(\theta) d \theta_{1} \ldots d \theta_{s} .
\]

Для произвольной же квазипериодической функции $f(t) \in \mathfrak{Q}(\omega)$ существование указанного предела следует из возможности аппроксимировать $f(t)$ такими тригонометрическими полиномами $f_{N}(t) \in \mathfrak{Q}(\omega)$, для которых $\sup _{t}\left|f(t)-f_{N}(t)\right|=\varepsilon_{N} \rightarrow 0$ при $N \rightarrow \infty$. В самом деле, вычитая константу из $f$, мы можем предположить, что коэффициент $a_{0}$, соответствующий постоянному члену, равен нулю, и это же предположение тогда будет выполнено для тригонометрического полинома $f_{N}$, полученного из $f(t)$ отбрасыванием высших гармоник. Для данного $\delta>0$ возьмем $N$ столь большим, чтобы выполнялись неравенства $\varepsilon_{N}<\delta / 2$ и, следовательно,
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f d t-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{N} d t\right|<\frac{\delta}{2} .
\]

Так как $f_{N}^{*}=0$, то мы можем найти такое $T_{\delta}$, чтобы второй член в написанном выше неравенстве был меньше, чем $\delta / 2$, при $T>T_{\delta}$, и поэтому
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f d t\right|<\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta \quad\left(T>T_{\delta}\right) .
\]

Это показывает, что предел левой части при $T \rightarrow \infty$ существует и равен 0 .

Прежде чем исследовать значение квазипериодических функций для нелинейных гамильтоновых систем, мы рассмотрим простейшее линейное уравнение
\[
\dot{y}=f(t),
\]

содержащее квазипериодическую функцию $f(t)$ из $\mathfrak{Q}(\omega)$. Если функция $f(t)$ в действительности периодическая, то любое решение этого уравнения есть сумма линейной функции $f^{*} t$ и периодической функции того же самого периода, что и $f(t)$, так что решение будет периодическим, если $f^{*}=0$. Предполагая теперь, что $f$ есть квазипериодическая функция из $\mathfrak{Q}(\omega)$ и имеет среднее значение $f^{*}=0$, мы исследуем, лежат ли также решения написанного выше уравнения в $\mathfrak{Q}(\omega)$. Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный, но если потребовать, чтобы при некоторых положительных константах $c, \mu$ частоты $(k, \omega)$ удовлетворяли неравенствам
\[
|(k, \omega)| \geqslant c^{-1}|k|^{-\mu}
\]

для всех целых $k
eq 0$, то ответ будет утвердительный.
Для доказательства этого предположим, что функция $f(t)$ снова представлена как $F(\omega t)$, а неизвестное решение $y(t)$ как $Y(\omega t)$. Тогда функция $Y(\theta)$ должна удовлетворять уравнению в частных производHых
\[
\sum_{
u=1}^{s} \omega_{
u} \frac{\partial Y}{\partial \theta_{
u}}=F(\theta)
\]

Мы предполагаем здесь, что обе функции $Y(\theta), F(\theta)$ вещественно-аналитичны и имеют период $2 \pi$ по $\theta_{1}, \ldots, \theta_{s}$ и, кроме того, что среднее значение $F(\theta)$ равно 0 . В этом случае уравнение (4) легко решается с помощью разложения в ряды Фурье. В самом деле, если положить
\[
F(\theta)=\sum_{k} a_{k} e^{i(k, \theta)},
\]

то решение $Y(\theta)$ уравнения (4) со средним значением 0 имеет вид
\[
Y(\theta)=\sum_{k
eq 0} \frac{a_{k}}{i(k, \omega)} e^{i(k, \omega)},
\]

так как $a_{0}=0$. В силу (2), (3), коэффициенты $b_{k}=-i(k, \omega)^{-1} a_{k}$ экспоненциально убывают, в то время как вещественность функции $F(\theta)$ приводит к тому, что $\bar{b}_{k}=-b_{-k}$, так что написанный выше ряд представляет вещественно-аналитическую функцию $Y(0)$. Таким образом $y(t)=Y(\omega t)$ – решение уравнения $\dot{y}=f(t)$ в $\mathfrak{Q}(\omega)$. Ясно, что общее решение отличается от только что построенного только аддитивной константой.

Решение уравнения (4) в действительности будет принадлежать $\mathfrak{Q}(\omega)$ при более слабых ограничениях на малые знаменатели $(k, \omega)$, чем неравенство (3). Однако если на эти частоты не наложить вообще никаких ограничений, то соответствующее решение может быть даже неограниченным. Чтобы привести такой пример, возьмем число $b>1$ и построим положительное иррациональное число $\alpha$, удовлетворяющее неравенствам
\[
\left|k_{
u} \alpha-l_{
u}\right|<b^{-k
u}
\]

для бесконечного числа положительных целых $k_{
u}, l_{
u}(
u=1,2, \ldots)$. Такое число $\alpha$ может быть легко построено при помощи разложения в непрерывную цепную дробь. Выбирая число $\alpha$ так, чтобы выполнялись неравенства $1<a^{\alpha+1}<b$, мы полагаем
\[
f(t)=\sum_{k, l=1}^{\infty} a^{-k-l} \eta_{k l} \sin (k \alpha-l) t
\]

где $\eta_{k l}$ есть 1 , если $k \alpha-l>0$, и -1 , если $k \alpha-l<0$. Ясно, что функция $f(t)$ принадлежит $\mathfrak{Q}\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$, где $\omega_{1}=\alpha, \omega_{2}=1$ и имеет среднее значение 0 . Тем не менее функция
\[
g(t)=\int_{0}^{t} f(s) d s=\sum_{k, l=1}^{\infty} a^{-k-l}|k \alpha-l|^{-1}(1-\cos (k \alpha-l) t)
\]

даже не ограничена, и поэтому, конечно, не является квазипериодической. В самом деле, полагая $\delta_{
u}=\left|\hat{k}_{
u} \alpha-l_{
u}\right|$ и $t_{
u}=\frac{\pi}{2 \delta_{
u}}$, мы имеем
\[
g\left(t_{
u}\right) \geqslant a^{-k_{
u}-l_{
u}} \delta_{
u}^{-1} .
\]

Так как $k_{
u}+l_{
u}=k_{
u}(1+\alpha)-\left(k_{
u} \alpha-l_{
u}\right) \leqslant k_{
u}(1+\alpha)+1$ и $\delta_{
u}<b^{-k_{
u}}$, то отсюда
\[
g\left(t_{
u}\right)>a^{-1}\left(\frac{b}{a^{1+\alpha}}\right)^{k_{
u}} \rightarrow \infty \quad\left(k_{
u} \rightarrow \infty\right) .
\]

Впредь мы будем считать, что выполнены ограничения (3) на малые знаменатели $(k, \omega)$. Рассуждения из теории меры, подобные тем, которые нроводились в $\$ 25$, показывают, что почти все действительные векторы $\omega$ удовлетворяют таким неравенствам с некоторыми положительными константами, если $\mu \geqslant s$.

Для дальнейшего удобно перечислить некоторые операторы, которые сохраняют квазипериодичность вне связи с неравенствами (3). Во-первых, ясно, что $\mathfrak{Q}(\omega)$ образует векторное пространство над полем действительных чисел, замкнутое как относительно дифференцирования, так и относительно образования произведений и частных, в последнем случае при условии, что знаменатель отделен от 0 . Во-вторых, если $\varphi\left(y_{1}, \ldots, y_{r}\right)$ – вещественно-аналитическая функция, определенная для всех действительных $y_{1}, \ldots, y_{r}$, и функции $f_{1}, \ldots, f_{r}$ принадлежат $\mathfrak{Q}(\omega)$, то сложная функция $\varphi\left(f_{1}, \ldots, f_{r}\right)$ также лежит в $\mathfrak{Q}(\omega)$. Точно так же, если функции $f, g$ принадлежат $\mathfrak{Q}(\omega)$, то и функция $f(t+g(t))$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega)$. В самом деле, если $f(t), g(t)$ получаются из полипериодических функций $F(\theta), G(\theta)$, то $f(t+g(t))$ получается из $F\left(\theta_{1}+\omega_{1} G, \ldots, \theta_{s}+\omega_{s} G\right)$.

Наконец, мы утверждаем, что если $f \in \mathfrak{Q}(\omega)$, то функция, обратная к функции $\tau=\alpha t+f(t)$ может быть записана в виде $t=\alpha^{-1}(\tau+$ $+g(\tau))$, где $g \in \mathfrak{Q}(\omega / \alpha)$. При этом предполагается, что выполняются неравенства (3) и что функция $\alpha+\frac{d f}{d t}$ отделена от нуля. Последнее условие приводит к тому, что $\alpha
eq 0$, так как среднее значение $\frac{d f}{d t}$ равно нулю.

Для доказательства этого утверждения мы можем предположить, что $\alpha=1$, или, что то же самое, замєнить $\tau$ на $\alpha \tau$. Если $f(t)$ соответствует функции $F(\theta)$, а неизвестная функция $g(\tau)$ – функции $G(\theta)$, где $g(\tau)=G(\omega \tau), f(t)=F(\omega t)$, то $G$ должно удовлетворять уравнению
\[
G(\theta)+F(\theta+\omega G)=0 .
\]

Мы заменяем его уравнением
\[
G(\theta)+\sigma F(\theta+\omega G)=0
\]

и ищем решение $G=G(\theta ; \sigma)$ при $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ с периодом $2 \pi$ по каждому из переменных $\theta_{1}, \ldots, \theta_{s}$. Если продифференцировать последнее уравнение по $\sigma$, то получим дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial G}{\partial \sigma}=\varphi(\theta+\omega G ; \sigma), \quad G(\theta ; 0)=0
\]

где
\[
\varphi(\theta ; \sigma)=-F(\theta)\left(1+\sigma \sum_{
u=1}^{s} \omega_{
u} F_{\theta_{
u}}\right)^{-1} .
\]

Согласно предположению относительно функции $\alpha+\frac{d f}{d t}$, знаменатель в правой части последнего выражения отделен от 0 , если $\sigma=1$ и $\theta_{
u}=$ $=\omega_{
u} t(
u=1, \ldots, s)$, и на самом деле даже положителен, так как его среднее значение равно 1. С другой стороны, векторы с компонентами $\omega_{
u} t+k_{
u} 2 \pi(
u=1, \ldots, s)$ при целых $k_{
u}$ и действительных $t$ всюду плотны в $s$-мерном евклидовом пространстве, и поэтому знаменатель положителен и отделен от 0 при всех действительных $\theta$ и $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$. Отсюда следует, что $\varphi(\theta ; \sigma)$ – вещественно-аналитическая функция с периодом $2 \pi$ по $\theta_{
u}$.

Решение $G(\theta ; \sigma)$ строится теперь с помощью стандартной теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы показать, что функция $G(\theta ; \sigma)$ аналитична, если функция $\sum_{
u=1}^{s}\left|\operatorname{Im} \theta_{
u}\right|$ достаточно мала и $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$, достаточно проверить, что при продолжении решения мы остаемся в области аналитичности дифференциального уравнения. Предполагая, что $\varphi$ аналитична в области $\left|\operatorname{Im} \theta_{
u}\right|<\delta(
u=1, \ldots, s), 0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ и удовлетворяет в этой области неравенству $\sum_{
u=1}^{s}\left|\varphi_{\theta_{
u}}\right|<M$, мы полагаем
\[
\rho=\delta \epsilon^{-M\|\omega\|},
\]

где $\|\omega\|=\max _{
u}\left|\omega_{
u}\right|$, и постараемся доказать, что в области $\left|\operatorname{Im} \theta_{
u}\right|<\rho$, $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ функция $G(\theta ; \sigma)$ должна удовлетворять оценке $\rho+$ $+\|\omega\||\operatorname{Im} G|<\delta$. Отсюда, конечно, вытекают существование и аналитичность решения в этой области. Проверим теперь эту оценку. Так как $\varphi$ – вещественно-аналитическая функция, то $\overline{\varphi(\theta ; \sigma)}=\varphi(\bar{\theta} ; \sigma)$ и поэтому
\[
\begin{aligned}
\left.\left|\frac{\partial}{\partial \sigma} \operatorname{Im} G\right|=\frac{1}{2} \right\rvert\, & \left.\frac{\partial}{\partial \sigma}(G-\bar{G}) \right\rvert\,= \\
= & \frac{1}{2}|\varphi(\theta+\omega G ; \sigma)-\varphi(\bar{\theta}+\omega \bar{G} ; \sigma)| \leqslant \\
& \leqslant M \max _{
u}\left|\operatorname{Im} \theta_{
u}+\omega_{
u} \operatorname{Im} G\right|<M(\rho+\|\omega\||\operatorname{Im} G|),
\end{aligned}
\]

до тех пор пока оценка $\rho+\|\omega\||\operatorname{Im} G|<\delta$ остается в силе. Предположим, что эта оценка выполняется не во всем интервале $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$. Так как она, конечно, справедлива при $\sigma=0$, то в этом случае должно существовать наименьшее число $0<\sigma^{*} \leqslant 1$, для которого
\[
\max _{\theta}|\operatorname{Im} G|=\frac{\delta-\rho}{\|\omega\|} \quad\left(\sigma=\sigma^{*}\right),
\]

в то время как при $0 \leqslant \sigma<\sigma^{*}$ имеет место указанное выше дифференциальное неравенство. Из теоремы сравнения мы получаем тогда, что
\[
|\operatorname{Im} G|>h(\sigma) \quad\left(0<\sigma \leqslant \sigma^{*}\right),
\]

где $h(\sigma)$ – решение уравнения
\[
\frac{d h}{d \sigma}=M(\rho+\|\omega\| h), \quad h(0)=0 .
\]

Так как
\[
h\left(\sigma^{*}\right)=\frac{\rho}{\|\omega\|}\left(e^{M\|\omega\| \sigma^{*}}-1\right) \leqslant \frac{\rho}{\|\omega\|}\left(e^{M\|\omega\|}-1\right)=\frac{\delta-\rho}{\|\omega\|},
\]

TO
\[
|\operatorname{Im} G|<\frac{\delta-\rho}{\|\omega\|} \quad\left(\sigma=\sigma^{*}\right),
\]

что противоречит выбору $\sigma^{*}$. Этим установлена справедливость нашей оценки, и мы заключаем, что решение $G(\theta ; \sigma)$ уравнения (6) существует для $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$, вещественно-аналитично и в силу теоремы единственности имеет период $2 \pi$ по $\theta_{
u}$. Легко проверяется, что $G=G(\theta ; 1)-$ решение нашего первоначального уравнения (5). Таким образом, $g(\tau)=$ $=G(\omega \tau ; 1)$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega)$, и утверждение о виде обратной функции доказано.

Мы заканчиваем эти предварительные замечания применением последнего результата к нелинейному скалярному дифференциальному уравнению
\[
\frac{d \tau}{d t}=f(t)
\]

где функция $f$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega)$ и удовлетворяет неравенству $|f(\tau)| \geqslant \delta>0$ для всех $\tau$. Докажем, что любое решение этого уравнения имеет вид $\tau=\alpha t+g(t)$, где $\alpha^{-1}$ – среднее значение функции $f^{-1}$ и $g$ приналлежит $\mathfrak{Q}(\alpha
u)$. В самом деле, обратная функция $t=t(\tau)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d t}{d \tau}=f^{-1}(\tau)
\]

и поэтому, как было замечено выше, имеет вид
\[
t=\alpha^{-1} \tau+h(\tau)
\]

причем функция $h(\tau)$ принадлежит $\mathfrak{Q}(\omega)$, если выполняется условие (3). Следовательно, согласно доказанному нами утверждению об обратной функции, $\tau(t)$ имеет указанный вид.

Теперь мы обратимся к построению квазипериодических решений гамильтоновых систем, начав с неавтономных систем с одной степенью свободы, затем перейдем к системам с двумя и более степенями свободы и закончим некоторыми применениями к задаче трех тел. Сначала рассмотрим систему
\[
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x},
\]

в которой гамильтониан $H=H(t, x, y ; \varepsilon)$ имеет период $2 \pi$ по независимому переменному $t$ и скаляру $x$ и вещественно-аналитичен по всем четырем своим аргументам, причем $y$ меняется в вещественном интервале $a<y<b$, а параметр $\varepsilon-$ в окрестности точки $\varepsilon=0$. Наиболее существенное дополнительное предположение состоит в том, что при $\varepsilon=0$ гамильтониан
\[
H(t, x, y ; 0)=H^{0}(y)
\]

не зависит от $t, x$ и удовлетворяет условию
\[
\frac{\partial^{2} H^{0}}{\partial y^{2}}
eq 0 \quad(a<y<b) .
\]

Покажем, что при этих условиях написанная выше система обладает при достаточно малых $|\varepsilon|$ решениями вида
\[
\begin{array}{c}
x=\theta_{2}+F(\theta ; \varepsilon), \quad y=G(\theta ; \varepsilon), \\
\theta=\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right), \quad \theta_{1}=t, \quad \theta_{2}=\alpha t+\theta_{2}(0),
\end{array}
\]

где функции $F, G$ вещественно-аналитичны по переменным $\theta$ и $\varepsilon$ и имеют период $2 \pi$ по $\theta_{1}, \theta_{2}$, в то время как число $\alpha$ – иррационально. Другими словами, $x-\alpha t, y$ – квазипериодические функции, принадлежащие классу $\mathfrak{Q}(1, \alpha)$. Несмотря на то, что сама функция $x(t)$ не является квазипериодической, мы будем называть эти решения квазипериодическими из класса $\mathfrak{Q}(1, \alpha)$. В самом деле, так как $x$ – угловая переменная, то естественно в этой ситуации называть решение $x(t)$, $y(t)$ квазипериодическим из класса $\mathfrak{Q}\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$, если для любой вещественно-аналитической функции $f(t, x, y)$ периода $2 \pi$ по $t$ и $x$ функция $f(t, x(t), y(t))$ принадлежит к $\mathfrak{Q}\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$.

Существование таких квазипериодических решений легко устанавливается при помощи теоремы существования из §1. Для этого мы построим сохраняющее площадь преобразование, отображающее начальные значения $x(0), y(0)$ решения при $t=0$ в значения $x(2 \pi), y(2 \pi)$ при $t=2 \pi$. Это отображение определено в замкнутом интервале $a+$ $+\delta \leqslant y \leqslant b-\delta$ при достаточно малом $\delta$, вещественно-аналитично в нем и имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x(2 \pi)=x(0)+2 \pi H_{y}^{0}(y(0))+O(\varepsilon), \\
y(2 \pi)=y(0)+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]

Согласно (8), $H_{y}^{0}$ имеет отличную от 0 производную, так что теорема $\S 1$ применима и мы заключаем, что отображение имеет инвариантную замкнутую кривую
\[
x(0)=\xi+u(\xi ; \varepsilon), \quad y(0)=v(\xi ; \varepsilon),
\]

лежащую в пределах $a+\delta \leqslant y(0) \leqslant b-\delta$, причем на этой кривой отображение задается равенствами
\[
\begin{array}{l}
x(2 \pi)=\xi+2 \pi \alpha+u(\xi+2 \pi \alpha ; \varepsilon), \\
y(2 \pi)=v(\xi+2 \pi \alpha ; \varepsilon) .
\end{array}
\]

Иррациональное число $\alpha$ здесь играет ту же роль, что и число $\frac{\omega}{2 \pi}$ в $\S 1$ и удовлетворяет условию $(1 ; 6)$.

Покажем теперь, что решения, у которых начальные данные лежат на этой инвариантной кривой, – квазипериодические из класса $\mathfrak{Q}(1, \alpha)$. Если $|\varepsilon|$ достаточно мало, то эти решения останутся в области $a<y<b$ при $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ и, следовательно, при всех $t$. Обозначая эти решения через
\[
x=\xi+u(t, \xi ; \varepsilon), \quad y=v(t, \xi ; \varepsilon),
\]

мы заметим, что $u, v$ – вещественно-аналитические функции по $t, \xi, \varepsilon$ и имеют период $2 \pi$ по $\xi$, тогда как в силу (10)
\[
\begin{array}{l}
u(2 \pi, \xi ; \varepsilon)=\omega+u(0, \xi+\omega ; \varepsilon), \\
v(2 \pi, \xi ; \varepsilon)=v(0, \xi+\omega ; \varepsilon),
\end{array}
\]

где $\omega=2 \pi \alpha$.
Более того, мы можем утверждать, что
\[
\left\{\begin{array}{l}
u(t+2 \pi, \xi-\omega, \varepsilon)-\omega=u(t, \xi ; \varepsilon), \\
v(t+2 \pi, \xi-\omega, \varepsilon)=v(t, \xi ; \varepsilon) .
\end{array}\right.
\]

В самом деле, если $u(t, \xi ; \varepsilon), v(t, \xi ; \varepsilon)$ в (11) заменить соответствующими левыми частями из (13), то полученные в результате функции снова являются решениями нашей системы, начальные данные которых, согласно (12), совпадают с начальными данными первоначальных решений. Следовательно, по теореме единственности для дифференциальных уравнений совпадают и сами решения, откуда и вытекает (13).

Таким образом, функции
\[
\begin{array}{l}
F(\theta ; \varepsilon)=u\left(\theta_{1}, \theta_{2}-\alpha \theta_{1} ; \varepsilon\right)-\alpha \theta_{1}, \\
G(\theta ; \varepsilon)=v\left(\theta_{1}, \theta_{2}-\alpha \theta_{1} ; \varepsilon\right)
\end{array}
\]

имеют период $2 \pi$ по $\theta_{1}, \theta_{2}$, и, пользуясь ими, можно выразить решение (11) в форме (9) с $\theta_{1}=t, \theta_{2}=\xi+\alpha t$. Это завершает доказательство.

Мы распространим предыдущий результат на автономную гамильтонову систему
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-H_{x_{k}} \quad(k=1,2)
\]

с двумя степенями свободы, где $H(x, y, \varepsilon)$ – вещественно-аналитическая функция по переменным $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, \varepsilon$ периода $2 \pi$ по $x_{1}, x_{2}$; $y=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ меняется в открытой области $\mathfrak{Q}$, а $\varepsilon-$ в некоторой окрестности нуля. Основное предположение в этом случае состоит в том, что
\[
H^{0}(y)=H(x, y ; 0)
\]

не зависит от $x$ и удовлетворяет условию
\[
H_{y_{2} y_{2}}^{0}\left(H_{y_{1}}^{0}\right)^{2}-2 H_{y_{1} y_{2}}^{0} H_{y_{1}}^{0} H_{y_{2}}^{0}+H_{y_{1} y_{1}}^{0}\left(H_{y_{2}}^{0}\right)^{2}
eq 0
\]

в $\mathfrak{D}$. Рассмотрим тспсрь повсрхпость постолший эпррии $H(x, y ; c)=$ $=h$, где $h-$ такая константа, что множество, задаваемое равенством $H(x, y ; 0)=H^{0}(y)=h$, пересекает $\mathfrak{D}$. Утверждается, что на такой изоэнергетической поверхности существует решение $x(t), y(t)$, которое является квазипериодическим в том смысле, что $f(x(t), y(t))$ – квазипериодическая функция для любой вещественно-аналитической функции $f(x, y)$, имеющей период $2 \pi$ по $x_{1}, x_{2}$.

Этот результат получается из предыдущего. В силу (15) можно предположить, что функция $H_{y_{1}}^{0}$ отделена от 0 в открытой подобласти $\mathfrak{D}^{\prime} \subset \mathfrak{D}$, и выбирая область $\mathfrak{D}^{\prime}$, так же как и $|\varepsilon|$, достаточно малыми, мы можем из уравнения $H(x, y ; \varepsilon)=h$ найти $y_{1}=-K\left(x_{1}, x_{2}, y_{2} ; \varepsilon\right)$, где $K$ снова имеет период $2 \pi$ по $x_{1}, x_{2}$. Более того, так как в уравнении
\[
\dot{x}_{1}=H_{y_{1}}
\]

функция $H_{y_{1}}$ отделена от 0 , то мы можем из дифференциальных уравнений исключить переменную $t$ и использовать $x_{1}$ как независимое переменное. Полученные в результате дифференциальные уравнения
\[
\frac{d x_{2}}{d x_{1}}=\frac{H_{y_{2}}}{H_{y_{1}}}, \quad \frac{d y_{2}}{d x_{1}}=-\frac{H_{x_{2}}}{H_{y_{1}}}
\]

могут быть записаны в гамильтоновой форме
\[
\frac{d x_{2}}{d x_{1}}=\frac{\partial K}{\partial y_{2}}, \quad \frac{d y_{2}}{d x_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial x_{2}},
\]

что проверяется дифференцированием тождества $H\left(x_{1}, x_{2},-K, y_{2} ; \varepsilon\right)=$ $=h$. Легко проверить также, что функция $K\left(x_{1}, x_{2}, y_{2} ; 0\right)=K^{0}\left(y_{2}\right)$ не зависит от $x_{1}, x_{2}$, причем в силу (15)
\[
\frac{\partial^{2} K^{0}}{\partial y_{2}^{2}}
eq 0 .
\]

В соответствии с предыдущим результатом уравнение (17) имеет решение вида
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{2}=\theta_{2}+F(\theta ; \varepsilon), \quad y_{2}=G(\theta ; \varepsilon) \\
\theta_{1}=x_{1}, \quad \theta_{2}=\alpha x_{1}+\theta_{2}(0),
\end{array}\right.
\]

где функции $F, G$ – снова вещественно-аналитические по $\theta_{1}, \theta_{2}, \varepsilon$ и имеют период $2 \pi$ по $\theta_{1}, \theta_{2}$. Таким образом, эти решения квазипериодически зависят от $x_{1}$. Чтобы исследовать их зависимость от $t$, мы решаем уравнение (16), рассматривая его правую часть как известную квазипериодическую функцию от $x_{1}$ класса $\mathfrak{D}(1, \alpha)$. Так как функция $H_{y_{1}}$ отделена от 0 и $\alpha$ удовлетворяет неравенству $(1 ; 6)$, то, согласно нашим предварительным замечаниям, $x_{1}(t)$ имеет вид
\[
x_{1}=\beta\left(t-t_{0}\right)+f\left(t-t_{0}\right),
\]

где $f$ лежит в $\mathfrak{D}(\beta, \beta \alpha)$ и $\beta^{-1}$ – среднее значение по $x_{1}$ функции $H_{y_{1}}^{-1}$. Комбинируя это с (18) и используя доказанное раньше утверждение о композиции квазипериодических функций, мы, наконец, получаем
\[
\left\{\begin{aligned}
x_{k}(t) & =\theta_{k}+\widetilde{F}_{k}(\theta ; \varepsilon), \quad y_{k}(t)=\widetilde{G}_{k}(\theta ; \varepsilon) \quad(k=1,2), \\
\theta_{k} & =\omega_{k} t+\theta_{k}(0), \quad \omega_{1}=\beta, \quad \omega_{2}=\alpha \beta,
\end{aligned}\right.
\]

где функции $\widetilde{F}, \widetilde{G}$ – вещественно-аналитические по $\theta_{1}, \theta_{2}, \varepsilon$ и имеют период $2 \pi$ по $\theta_{1}, \theta_{2}$, тогда как отношение частот $\omega_{1}, \omega_{2}$ иррационально. Это завершает доказательство.

Чтобы интерпретировать полученный результат геометрически, мы можем рассмотреть первую строчку из (19) как вложение двумерного тора в четырехмерное фазовое пространство. Этот тор лежит на фиксированной поверхности постоянной энергии $H(x, y ; \varepsilon)=$ $=h$ и инвариантен относительно потока (14) в том смысле, что вектор $\left(\dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}, \dot{y}_{1}, \dot{y}_{2}\right)$ – касательный к тору. Следовательно, каждое решение системы (14) с начальными данными на этом торе остается на нем при всех действительных $t$ и система (14) индуцирует дифференциальное уравнение на торе. Согласно второй строчке из (19), это уравнение имеет вид $\dot{\theta}_{k} \subset \omega_{k}$, и так как $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально, то любая орбита заполняет тор всюду плотно.

Эти утверждения можно обобщить на случай нескольких степеней свободы. Чтобы сформулировать соответствующий результат, положим $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$. Пусть $H(x, y ; \varepsilon)$ – вещественно-аналитическая по своим $2 n+1$ аргументам функция, имеющая период $2 \pi$ по каждому из переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Таким образом, $H$ определена при всех действительных $x$; $y$ меняется в $n$-мерной области $\mathfrak{D}$, а параметр $\varepsilon-$ в некоторой окрестности нуля. Кроме того, предполагается, что при $\varepsilon=0$ функция
\[
H(x, y, 0)=H^{0}(y)
\]

не зависит от $x$, так что при этом значении параметра соответствующая гамильтонова система упрощается:
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}^{0}(y), \quad \dot{y}_{k}=-H_{x_{k}}^{0}(y)=0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Решение этой системы задается равенствами
\[
x_{k}(t)=H_{y_{k}}^{0}(v) t+x_{k}(0), \quad y_{k}=v_{k}
\]

с любым вектором $v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ из $\mathfrak{D}$; а $n$ уравнений $y_{k}=v_{k}(k=$ $=1, \ldots, n$ ) могут рассматриваться в качестве определения $n$-мерного тора, на котором дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}^{0}(v) .
\]

Таким образом, если вектор $v$ выбран так, что $H_{y_{k}}^{0}(v)$ рационально независимы, то решения плотны на этом торе.

Наша цель – найти решения подобного типа при малых значениях $\varepsilon$, и для этого мы сделаем дополнительное предположение о невырожденности гессиана (определителя матрицы вторых производных)
\[
\left|H_{y_{k} y_{l}}^{0}\right|
eq 0 .
\]

Это предположение приводит к тому, что значения градиента $H_{y}^{0}(y)$ заполняют с изменением $y$ открытое $n$-мерное множество. В частности, константы $v_{1}, \ldots, v_{n}$ могут быть выбраны так, чтобы числа $\omega_{k}=$ $=H_{y_{k}}^{0}(v)$ были рационально независимы и сверх того удовлетворяли бесконечному числу неравенств
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} j_{k} \omega_{k}\right| \geqslant c|j|^{-\mu}
\]

для всех целых $j_{k}$ с $|j|=\sum_{k=1}^{n}\left|j_{k}\right|>0$, где $c, \mu$ – некоторые фиксированные положительные константы. При этих предположениях мы утверждаем, что при малых значениях $|\varepsilon|$ существуют решения соответствующей гамильтоновой системы, которые имеют вид
\[
\left\{\begin{aligned}
x_{k} & =\theta_{k}+F_{k}(\theta ; \varepsilon), & & y_{k}=G_{k}\left(\theta_{k} ; \varepsilon\right), \\
\theta_{k} & =\omega_{k} t+\theta_{k}(0), & & (k=1, \ldots, n),
\end{aligned}\right.
\]

где $F_{k}, G_{k}$ – снова вещественно-аналитические функции периода $2 \pi$ по $\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}$. Эти решения квазипериодичны в том смысле, что для любой вещественно-аналитической функции $f(x, y)$ периода $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ функция $f(x(t), y(t))$ – квазипериодическая из класса $\mathfrak{Q}(\omega)$. Кроме того, можно показать, что эти квазипериодические решения образуют множество положительной меры в фазовом пространстве. Более точно, если $\Omega$ обозначает $2 n$-мерное открытое множество точек $(x, y)$, для которых $y \in \mathfrak{D}$, и если $\delta$ – заданная положительная константа, то существует положительное $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(\delta)$, такое, что для $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$ указанные выше квазипериодические решения в $\Omega$ заполняют замкнутое множество $S$, мера дополнения которого $m(\Omega-S)<\delta m(\Omega)$. В этом смысле мы можем сказать, что большинство решений в $\Omega$ – квазипериодические.

Сформулированная теорема принадлежит А.Н.Колмогорову и В.И.Арнольду [2-5]. Полезно отметить, что условие иррациональности (21) налагается не на данную гамильтонову систему, а на вектор $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$, выбранный в области изменения $H_{y}^{0}$. Теорема утверждает существование квазипериодических решений в $\mathfrak{Q}(\omega)$, и в связи с этим условие (20), которое обеспечивает возможность контролировать частоты $\omega_{k}=H_{y_{k}}^{0}(v)$ за счет выбора $v$, является решающим. Имеется еще один вариант этой теоремы, в котором (20) заменяется другим предположением. Вместо требования, согласно которому частоты $H_{y_{k}}^{0}$ $(k=1, \ldots, n$ ) пробегают открытое $n$-мерное множество, можно потребовать, чтобы на фиксированной поверхности постоянной энергии $H^{0}(y)=h$ отношения $H_{y_{k}}^{0} / H_{y_{1}}^{0}(k=2, \ldots, n)$ при $H_{y_{1}}^{0}
eq 0$ заполняли ( $n-1$ )-мерное множество. Это приводит к предположению
\[
\left|\begin{array}{cc}
H_{y_{k} y_{l}}^{0} & H_{y_{k}}^{0} \\
H_{y_{l}}^{0} & 0
\end{array}\right|
eq 0
\]

которое для $n=2$ на самом деле совпадает с (15). При этом предположении на заданной поверхности постоянной энергии существуют квазипериодические решения вида (22) с предписанными отношениями частот. Заметим, что ни одно из условий (20), (23) не сводится к другому. Для примера, при $H^{(0)}(y)=y_{1}+P\left(y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ условие (20) нарушается, а (23) выполняется, если гессиан $P$ отличен от 0 ; с другой стороны, для $n=2$ функция $H^{0}(y)=\log \left(y_{1} y_{2}^{-1}\right)$ при положительных $y_{1}, y_{2}$ удовлетворяет (20), но не удовлетворяет (23).

Доказательство этих теорем основано на той же самой быстро сходящейся итерационной схеме, которая использовалась в § 1 и здесь приводиться не будет. Вместо этого иы, используя предположение (20), получим только формальное разложение по степеням $\varepsilon$ для функций $F_{k}(\theta ; \varepsilon), G_{k}(\theta ; \varepsilon)$ из $(22)$, опуская доказательство сходимости.

Начнем с выбора вектора $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$, который лежит в области изменения $H_{y}^{0}(y)$ при $y \in \mathfrak{D}$ и удовлетворяет условию (21). Существование такого вектора доказывается при условии $\mu \geqslant n$ с помощью рассуждений из теории меры, подобных проведенным в конце $\S 25$. Можно считать, что $H_{y_{k}}^{0}(0)=\omega_{k}(k=1, \ldots, n)$, поскольку подходящим сдвигом координаты $y$ этого всегда можно добиться. Чтобы найти искомый инвариантный тор, мы построим каноническое преобразование, которое преобразует переменные $(x, y)$ в $(\xi, \eta)$ и тор (22) в тор $\eta=0$. А именно зададим искомое каноническое преобразование с помощью производящей функции $S(x, \eta ; \varepsilon)$ равенствами
\[
y_{k}=S_{x_{k}}, \quad \xi_{k}=S_{\eta_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

предполагая, что $S(x, \eta ; 0)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \eta_{k}$. Чтобы обеспечить желаемую периодичность, мы потребуем, чтобы $S_{x_{k}}, S_{\eta_{k}}-x_{k}$ имели период $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Обозначая преобразованный гамильтониан через $\Phi(\xi, \eta ; \varepsilon)$,

имеем
\[
H\left(x, S_{x} ; \varepsilon\right)=\Phi\left(S_{\eta}, \eta ; \varepsilon\right) ;
\]

попытаемся определить функцию $S$ так, чтобы
\[
\Phi(\xi, 0 ; \varepsilon)=\gamma(\varepsilon), \quad \Phi_{\eta_{k}}(\xi, 0 ; \varepsilon)=\omega_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $\gamma$ не зависит от $\xi$. Если это возможно, то преобразованные уравнения
\[
\dot{\xi}_{k}=\Phi_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-\Phi_{\xi_{k}}
\]

обладают решениями
\[
\xi_{k}=\omega_{k} t+\xi_{k}(0), \quad \eta_{k}=0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Выражая эти решения в первоначальных координатах $x, y$ и полагая $\theta_{k}=\xi_{k}$, мы тогда получаем искомые квазипериодические решения (22).

Таким образом, наша задача сводится к нахождению производящей функции $S(x, \eta ; \varepsilon)$, для которой преобразованный гамильтониан $\Phi(\xi, \eta ; \varepsilon)$ удовлетворяет (26). Для этой цели достаточно рассматривать только линейные функции по $\eta$ вида
\[
S(x, \eta ; \varepsilon)=a_{0}(x ; \varepsilon)+\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+a_{k}(x ; \varepsilon)\right) \eta_{k},
\]

где $a_{k}(x ; \varepsilon),(k=1, \ldots, n)$ имеет период $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$, в то время как $a_{0}(x ; \varepsilon)$ – функция вида
\[
a_{0}=\sum_{k=1}^{n} c_{k}(\varepsilon) x_{k}+b_{0}(x ; \varepsilon),
\]

причем $b_{0}(x ; \varepsilon)$ имеет период $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а $c_{k}$ не зависят от $x, \eta$. Каноническое преобразование, порождаемое такой функцией $S(x, \eta ; \varepsilon)$, можно легко описать. В самом деле, если $S(x, \eta ; 0)=$ $=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \eta_{k}$, то оно задается явными формулами
\[
x=u(\xi ; \varepsilon), \quad y=v(\xi, \varepsilon)+V(\xi ; \varepsilon) \eta,
\]

где $u(\xi ; \varepsilon), v(\xi ; \varepsilon)$ – $n$-мерные векторы, $V(\xi ; \varepsilon)$ – матрица порядка $n \times n$, причем $u(\xi ; \varepsilon)-\xi, v(\xi ; \varepsilon), V(\xi ; \varepsilon)$ имеют период $2 \pi$ по $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$. Так как это преобразование каноническое, то матрица $V^{-1}$ равна транспонированной к матрице $u_{k \xi_{l}}$, а при $\varepsilon=0$ преобразование становится тождественным.

Чтобы определить функцию $S(x, \eta ; \varepsilon)$ с указанными выше свойствами, мы разлагаем ее в степенной ряд по $\varepsilon$ и, используя (26), сравниваем коэффициенты в уравнении (25). Этим способом мы докажем существование такого степенного ряда и в то же самое время установим его единственность при дополнительной нормировке
\[
\begin{array}{c}
S(x, \eta ; 0)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \eta_{k}, \\
b_{0}^{*}=a_{k}^{*}=0 \quad(k=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где звездочка обозначает среднее значение, взятое по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Для целого $\lambda \geqslant 0$ обозначим коэффициенты при $\varepsilon^{\lambda}$ в $H, \Phi, S, \gamma$ соответственно через $H^{\lambda}, \Phi^{\lambda}, S^{\lambda}, \gamma^{\lambda}$ и предположим, что $S^{0}, \ldots, S^{\lambda-1}$, так же, как $\gamma^{0}, \ldots, \gamma^{\lambda-1}$, уже определены, так что коэффициент при $\varepsilon^{0}, \ldots, \varepsilon^{\lambda-1}$ в обеих частях (25), (26) согласованы и удовлетворяют соотношениям нормировки (28), (29). Для $\lambda=1$ это несомненно будет так, если мы начинаем с (28) и полагаем $\gamma^{0}=H^{0}(0)$. Проводя индукцию, мы сравниваем коэффициенты при $\varepsilon^{\lambda}$ для $\lambda \geqslant 1$ в (25) и получаем
\[
\sum_{k=1}^{n} H_{y_{k}}^{0}(\eta) S_{x_{k}}^{\lambda}(x, \eta)-\Phi^{\lambda}(x, \eta)=g(x, \eta),
\]

где $g(x, \eta)$ – известная вещественно-аналитическая функция периода $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Так как мы хотим, чтобы функция $\Phi$ удовлетворяла (26), то для коэффициентов при $\varepsilon^{\lambda}$ получаем соотношение
\[
\sum_{k=1}^{n} H_{y_{k}}^{0}(\eta) S_{x_{k}}^{\lambda}(x, \eta)-\gamma^{\lambda}=g(x, \eta)+O\left(|\eta|^{2}\right) \text {. }
\]

Поэтому, выражая функцию $S^{\lambda}(x, \eta)$ в виде
\[
S^{\lambda}(x, \eta)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} x_{k}+b(x)+\sum_{k=1}^{n} a_{k}(x) \eta_{k}
\]

и вводя обозначения
\[
\begin{array}{c}
\omega_{k}=H_{y_{k}}^{0}(0), \quad \Omega_{k l}=H_{y_{k} y_{i}}(0), \quad \partial=\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}, \\
(c, \omega)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} \omega_{k}, \quad g_{0}(x)=g(x, 0), \quad g_{k}(x)=g_{\eta_{k}}(x, 0),
\end{array}
\]

мы приходим к уравнениям
\[
\left\{\begin{array}{l}
\partial b+(c, \omega)-\gamma^{\lambda}=g_{0}, \\
\partial a_{k}+\sum_{l=1}^{n} \Omega_{l k}\left(b_{x_{l}}+c_{l}\right)=g_{k} \quad(k=1, \ldots, n) .
\end{array}\right.
\]

Необходимое условие для существования полипериодического решения $b, a_{k}$ системы (31), состоящее в том, что средние значения в обеих частях равны, приводит к соотношениям
\[
(c, \omega)-\gamma^{\lambda}=g_{0}^{*}, \quad \sum_{l=1}^{n} \Omega_{l k} c_{l}=g_{k}^{*} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

которые можно однозначно разрешить относительно $c_{1}, \ldots, c_{n}$ и $\gamma^{\lambda}$, так как в силу (20) матрица $\left(\Omega_{k l}\right.$ ) невырождена. Уравнения (31) тогда приводятся к виду
\[
\partial b=g_{0}-g_{0}^{*}, \quad \partial a_{k}=h_{k}(x)-h_{k}^{*},
\]

где
\[
h_{k}=g_{k}-\sum_{l=1}^{n} \Omega_{l k} b_{x_{l}}
\]

а эти уравнения в частных производных имеют в точности тот же вид, что и уравнение (4), рассмотренное в начале этого параграфа. Так как правая часть имеет среднее значение 0 , то эти уравнения имеют вещественно-аналитические решения $b, a_{1}, \ldots, a_{n}$ периода $2 \pi$ по $x_{1}, \ldots, x_{n}$, и, более того, эти решения будут единственными, если потребовать, чтобы $b^{*}=a_{k}^{*}=0(k=1, \ldots, n)$.

Таким образом, мы завершили шаг индукции и тем самым доказали существование разложения в формальные степенные ряды для функции $S(x, \eta ; \varepsilon)$.

В качестве простого применения полученных нами результатов рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Напомним, что эта задача описывается гамильтонианом
\[
E(q, p ; \mu)=\frac{1}{2}\left(\frac{p_{1}^{2}}{2}+\frac{p_{2}^{2}}{2}\right)+q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}-F,
\]

где
\[
F(q, \mu)=(1-\mu)\left\{\left(q_{1}+\mu\right)^{2}+q_{2}^{2}\right\}^{-1 / 2}+\mu\left\{\left(q_{1}+\mu-1\right)^{2}+q_{2}^{2}\right\}^{-1 / 2} .
\]

При $\mu=0$ она сводится к задаче Кеплера во вращающейся системе координат, а эллиптическим орбитам соответствуют прецессирующие эллипсы. Аналитически эти решения могут быть записаны в форме
\[
q_{1}+i q_{2}=e^{-i t} P(\alpha t),
\]

где $P(\theta)$ – комплекснозначная функция периода $2 \pi$ по $\theta$, а частота $\alpha$ связана большой осью $2 a$ третьим законом Кеплера $(\alpha+1)^{2} a^{3}=1$. Ясно, что для рациональных значений $\alpha$ эти решения – периодические, в то время как для иррациональных $\alpha$ они – квазипериодические из класса $\mathfrak{Q}(1, \alpha)$. Наша цель – найти такие же квазипериодические решения для малых значений $\mu$, стремящиеся к описанным выше решениям при $\mu \rightarrow 0$. Для этого удобно ввести так называемые переменные Делоне $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$, в которых гамильтониан имеет период $2 \pi$ по $x_{1}, x_{2}$ и приводится к виду $H^{0}\left(y_{1}, y_{2}\right)+O(\mu)$, после чего мы применим наш предыдущий результат о существовании квазипериодических решений.

Чтобы ввести переменные Делоне [6], рассмотрим задачу Кеплера, описываемую гамильтонианом $K=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{-1 / 2}$. При отрицательном значении $K$ решения будут эллиптическими; с точностью до поворота они описываются формулами
\[
q_{1}=a(\cos u-e), \quad q_{2}=a \sqrt{1-e^{2}} \sin u,
\]

где
\[
t-t_{0}=a^{3 / 2}(u-e \sin u) .
\]

Здесь $2 a>0$ – большая ось эллипса, $0 \leqslant e \leqslant 1$ – его эксцентриситет и $K=-(2 a)^{-1}$. При $0 \leqslant e<1$ введем переменную $x_{1}$ равенством
\[
x_{1}=u-e \sin u \text {. }
\]

Исключая $u$, мы можем выразить $q_{k}=\varphi_{k}\left(x_{1} ; a, \boldsymbol{e}\right)(k=1,2)$ как периодические функции по $x_{1}$ с периодом $2 \pi$, используя которые, можно опять получить решение задачи Кеплера, если положить $x_{1}=a^{-3 / 2}(t-$ $-t_{0}$ ). Оставшиеся переменные $x_{2}, y_{1}, y_{2}$ вводятся при помощи равенств
\[
a=y_{1}^{2}, \quad y_{1} \sqrt{1-\boldsymbol{e}^{2}}=y_{2},
\]

так чтобы общее эллиптическое решение задачи Кеплера имело вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
q_{1}=\psi_{1}(x, y)=\varphi_{1} \cos x_{2}-\varphi_{2} \sin x_{2}, \\
q_{2}=\psi_{2}(x, y)=\varphi_{1} \sin x_{2}+\varphi_{2} \cos x_{2},
\end{array}\right.
\]

где $x_{2}, y_{1}, y_{2}$ – постоянные и $\dot{x}_{1}=y_{1}^{-3}$. Эти уравнения служат также определением функций $\psi_{1}, \psi_{2}$. Дополним эти формулы, добавив соотношения
\[
p_{k}=y_{1}^{-3} \frac{\partial \psi_{k}(x, y)}{\partial x_{1}} \quad(k=1,2),
\]

и рассмотрим $(33),(34)$ как преобразование координат $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ в координаты $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$. Чтобы избежать орбит со столкновениями, а также круговых, на которых $x_{2}$ теряет смысл, мы ограничиваемся случаем $a>0,0<\boldsymbol{e}<1$, или
\[
0<y_{2}^{2}<y_{1}^{2} .
\]

Можно проверить, что это преобразование каноническое и имеет период $2 \pi$ по $x_{1}, x_{2}$, в то время как преобразованные дифференциальные уравнения определяются гамильтонианом $K=-(2 a)^{-1}=-\frac{1}{2} y_{1}^{-2}$. Мы ограничимся положительными значениями $y_{1}$ и разрешим $y_{2}$ принимать значения обоих знаков, так что
\[
0<\left|y_{2}\right|<y_{1} ;
\]

случай $y_{2}>0$ соответствует при этом движению против часовой стрелки при возрастании времени, а случай $y_{2}<0$ – движению по часовой стрелке. Переменные $x_{1}, x_{2}$ называются в астрономии соответственно средней аномалией и долготой перигелия.

Применим теперь преобразование (33), (34) к ограниченной задаче трех тел. Чтобы избежать столкновений с телом массы $\mu$, мы требуем
выполнения неравенства $a(1+\boldsymbol{e})<1$, или в переменных $y_{1}, y_{2}$ неравенства $y_{1}<\left(2-y_{2}^{2}\right)^{-1 / 2}<1$. Таким образом, мы ограничиваемся областью $\mathfrak{D}$, в которой
\[
0<\left|y_{2}\right|<y_{1}<\left(2-y_{2}^{2}\right)^{-1 / 2}<1 .
\]

Эта область имеет две компоненты, одна из которых соответствует движению по часовой стрелке, другая – движению против часовой стрелки. Полезно интерпретировать величины $2 a, \boldsymbol{e}$, связанные с $y_{1}, y_{2}$ через (32), как соответственно главную ось и эксцентриситет осциллирующего эллипса. Легко видеть, что гамильтониан $E(p, q ; \mu)$ приводится к виду
\[
H(x, y ; \mu)=H^{0}(y)+O(\mu), \quad H^{0}(y)=-\frac{1}{2 y_{1}^{2}}-y_{2},
\]

где функция $H(x, y ; \mu)$ аналитична в $\mathfrak{D}$ при достаточно малом $\mu$. Дополнительный член $-y_{2}$ в $H^{0}(y)$ обусловлен равномерным вращением системы координат.

Таким образом, вид функции $H(x, y ; \mu)$ позволяет применить к ней наши предыдущие результаты, и так как $H^{0}(y)$, очевидно, удовлетворяет условию (15), то мы заключаем, что на каждой поверхности постоянной энергии $H(x, y ; \mu)=h$, такой, что множество $H^{0}(y)=h$ пересекает $\mathfrak{D}$, существуют квазипериодические решения с двумя частотами. Эти решения могут рассматриваться как непрерывные продолжения прецессирующих эллиптичєских орбит, которые соответствуют $\mu=0$. Легко видеть, что они обладают следующим свойством: $\mid y_{k}(t)-$ $-y_{k}(0) \mid<c \mu(k=1,2)$, справедливым для всех действительных $t$, где $c$ – константа, не зависящая от $t, \mu$. Другими словами, главная ось и эксцентриситет осциллирующего эллипса мало изменяются со временем, если $\mu$ – достаточно мало; в частности, при всех $t$ решения остаются ограниченными и вдоль них отсутствуют столкновения.

Аналогичное утверждение имеет место для других, возможно, не квазипериодических движений. Более точно, мы покажем, что для любого в $\varepsilon>0$ и любого компактного подмножества $\mathfrak{D}_{1}$ области $\mathfrak{D}$ существует положительное $\mu_{0}=\mu_{0}\left(\varepsilon, \mathfrak{D}_{1}\right)$, такое, что для $y(0) \in \mathfrak{D}_{1}$ и $0 \leqslant \mu<\mu_{0}$
\[
\left|y_{k}(t)-y_{k}(0)\right| \leqslant \varepsilon \quad(k=1,2)
\]

при всех $t$. Это снова означает, что для решений, начинающихся в $\mathfrak{D}_{1}$, форма осциллирующего эллипса мало меняется со временем, если $\mu$ мало.

Чтобы доказать только что сформулированное утверждение, рассмотрим совокупность прямоугольников $R$, определенных неравенствами
\[
\left|y_{1}-\eta_{1}\right| \leqslant \varepsilon, \quad\left|y_{2}-\eta_{2}\right| \leqslant \varepsilon / 2,
\]

где $\eta$ лежат в $\mathfrak{S}_{1}$ и $\varepsilon$ выбрано настолько малым, что все эти прямоугольники лежат в $\mathfrak{D}$, в то время как все комплексные $y_{1}, y_{2}$, удовлетворяющие (35), лежат в области аналитичности $H(x, y ; \mu)$ при малом $|\mu|$. Мы утверждаем, что если $\eta=y(0)$, где $x(t), y(t)$ – некоторое решение рассматриваемой системы, то $y(t)$ остается внутри соответствующего $R$ при всех $t$, при условии что $\mu$ достаточно мало. Чтобы проверить это утверждение, мы заметим, что вдоль любого решения функция $H(x, y ; \mu)$ равна константе, которую обозначим через
\[
h=H(x(0), y(0) ; \mu)=H^{0}(y(0))+O(\mu) .
\]

Вдоль кривой $H_{0}(y)=h$ в $\mathfrak{D}$ мы имеем
\[
0<\frac{d y_{1}}{d y_{2}}=y_{1}^{3}<1,
\]

так что если $y, y^{*}$ – две точки на этой кривой, то
\[
\left|y_{1}-y_{1}^{*}\right| \leqslant\left|y_{2}-y_{2}^{*}\right| .
\]

Подобным образом, для любых двух четырехмерных векторов $x, y$ и $x^{*}, y^{*}$ на поверхности постоянной энєргии $H(x, y ; \mu)=H\left(x^{*}, y^{*} ; \mu\right)=h$
\[
\left|y_{1}-y_{1}^{*}\right| \leqslant\left|y_{2}-y_{2}^{*}\right|+O(\mu),
\]

где $y$ и $y^{*}$ лежат в $\mathfrak{D}$.
Выбрав $\mu$ настолько малым, чтобы последний член в предыдущем неравенстве был по модулю меньше, чем $\frac{\varepsilon}{2}$, мы теперь предположим, что $\eta=y(0)$ и что наше решение $y(t)$ выходит из соответствующего прямоугольника $R$. Пусть $t^{*}$ – наименьшее положительное значение $t$, для которого $y(t)$ лежит на границе $R$, тогда как при $0 \leqslant t<t^{*} y(t)$ лежит внутри $R$. Полагая $y=y(t), y^{*}=y(0)$ в $(36)$, имеем при $0 \leqslant t \leqslant t^{*}$
\[
\left|y_{1}(t)-\eta_{1}\right|<\left|y_{2}(t)-\eta_{2}\right|+\frac{\varepsilon}{2} \leqslant \varepsilon
\]

и, следовательно,
\[
\left|y_{1}\left(t^{*}\right)-\eta_{2}\right|=\frac{\varepsilon}{2} .
\]

Другими словами, решение $y(t)$ может выйти из $R$ только через стороны прямоугольника, которые параллельны оси $y_{1}$. Но, с другой стороны, этому выходу препятствует инвариантный тор, который мы построили ранее. В самом деле, если применить наши предыдущие результаты к функции $H(x, y ; \mu)$, где вектор $y$ принадлежит одному из прямоугольников $R_{+}$или $R_{-}$, определяемых неравенствами
\[
\left|y_{1}-\eta_{1}\right|<\varepsilon, \quad 0< \pm\left(y_{2}-\eta_{2}\right)<\frac{\varepsilon}{2},
\]

то условие (15) удовлетворяется, и поэтому каждая из соответствующих областей в четырехмерном пространстве $(x, y)$ содержит двумерный инвариантный тор, который лежит на трехмерной поверхности постоянной энергии $H(x, y ; \mu)=h$. Эти торы служат барьером для решения, и $y_{2}(t)$ не может продвинуться от $y_{2}=\eta$ к $y_{2}=\eta_{2} \pm \frac{\varepsilon}{2}$. Таким образом, первое время выхода $t^{*}$ в действительности не существует и $y(t)$ должно оставаться в $R$, а поэтому и в $\mathfrak{D}$, для всех $t \geqslant 0$. Tе же самые рассуждения, примененные к отрицательным $t$, теперь завершают доказательство.

В этом доказательстве нам пришлось исключить орбиты с малым эксцентриситетом, но это было сделано только вследствие нашего выбора координат, ибо результат §3 об устойчивости периодических решений охватывает как раз этот случай. Решающим моментом в наших предыдущих рассуждениях был тот факт, что двумерные инвариантные торы образуют границу открытого множества на трехмерной поверхности постоянной энергии. Для задач с $n$ степенями свободы, при $n>2$ поверхность постоянной энергии имеет размерность $2 n-1$, и поэтому для границы открытого множества требуется размерность $2 n-2$, в то время как инвариантные торы, согласно теории, имеют только размерность $n$. По этой причине не существует аналогичной теоремы об устойчивости для случая более чем двух степеней свободы.

Наконец, в качестве задачи с более чем двумя степенями свободы рассмотрим задачу трех тел. Если ограничиться плоским случаем, то исходная задача имеет шесть степеней свободы, но, принимая в расчет интегралы центра масс, мы можем свести ее к случаю четырех степеней свободы. Предполагая, что две из масс, скажем $m_{1}, m_{2}$, малы по сравнению с третьей, которую можно с помощью выбора единицы массы сделать равной 1 , Арнольд [7] установил существование квазипериодических решений с четырьмя рационально независимыми частотами. Более точно, предположим, что массы $m_{k}=\alpha_{k} \mu(k=1,2)$ зависят от единственного малого параметра $\mu$, где $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ – фиксированные положительные константы; положение «планет» масс $m_{1}, m_{2}$ относительно «солнца» массы $m_{0}=1$ будем задавать двумя векторами координат и двумя векторами скорости, получая, таким образом, восьмимерное фазовое пространство. Для малых значений $\mu$ мы хотели бы получить решения, в которых планеты движутся по орбитам, близким к эллиптическим, по крайней мере на ограниченном интервале времени, и поэтому стоит описывать точки в фазовом пространстве геометрическими величинами, которые соответствуют осциллирующим эллипсам. Обозначая через $2 a_{k}$ большую ось и через $e_{k}$ эксцентриситет соответствующего эллипса, мы рассмотрим открытое множество $\Omega$ вида
\[
c_{k}<a_{k}<C_{k}, \quad 0<\boldsymbol{e}_{k}<\rho \quad(k=1,2)
\]

в восьмимерном фазовом пространстве. Утверждение Арнольда тогда заключается в том, что для данных констант $\alpha_{k}, c_{k}, C_{k}$, удовлетворяющих неравенствам $0<c_{1}<C_{1}<c_{2}<C_{2}$, и для данного $\varepsilon>0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, такое, что при $0 \leqslant \mu<\delta, 0<\rho<\delta$ множество $\Omega$ содержит замкнутое подмножество $S$ со следующими свойствами: любое решение, начинающееся в $S$, остается в $S$ при всех действительных $t$ и является квазипериодическим с четырьмя независимыми частотами; $S$ есть объединение четырехмерных инвариантных торов, на каждом из которых решения всюду плотны, а дополнение $\Omega-S$ имеет лебегову меру $m(\Omega-S)<\varepsilon m(\Omega)$. В частности, ни одно из решений на инвариантном множестве $S$ никогда не приводит к столкновениям.

Однако в отличие от ограниченной задачи трех тел здесь уже, вообще говоря, ничего нельзя сказать о поведении решений, начинающихся в дополнительном множестве $\Omega-S$. Например, в то время как для решений, лежащих в $S$, переменные $a_{1}, a_{2}$ остаются между двумя константами, которые отличаются на величину самое большее порядка $\mu$, возможно, что среди решений, начинающихся в $\Omega-S$, могут существовать исключительные решения, для которых $a_{1}, a_{2}$ изменяются на величины конечного порядка, и это в конце концов может привести к столкновению тел. В самом деле, Арнольд [8] построил замечательный пример гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, в которой явление такого типа имеет место.

Причина различия в поведении решений в общей задаче трех тел и в ограниченной задаче трех тел состоит в том, что четырехмерные инвариантные торы не ограничивают открытые области на семимерной поверхности постоянной энергии. В действительности можно было бы свести эту задачу к задаче с тремя степенями свободы, используя интеграл углового момента, но несоответствие в размерности все равно бы осталось. О поведении решений в течение длительного времени в дополнительном множестве как для задачи трех тел, так и для других систем с более чем двумя степенями свободы мало что известно.

Арнольд распространил эти результаты о квазипериодических движениях для плоской задачи трех тел на общий трехмерный случай и даже для задачи $N$ тел при $N \geqslant 3$. В принципе доказательства основаны на идеях, развитых в предыдущих параграфах, хотя приходится сталкиваться с трудностями, которые обусловлены вырождением системы при $\mu=0$, приводящим к нарушению условия (20), равно как и условия (23). Более того, некоторые из частот квазипериодических решений стремятся к 0 при $\mu \rightarrow 0$. Эти трудности преодолеваются при помощи более тонкой аппроксимации; подробные доказательства см. в $[5,7]$. Из недавних книг, в которых обсуждаются вопросы устойчивости, обратим внимание читателя на $[9,10]$.