Предположим опять, что центр инерции $P_{0}$ находится в начале координат. В этом параграфе мы докажем первую вспомогательную теорему Зундмана.

Если не все постоянные площадей равны нулю, то периметр треугольника, образованного тремя телами, остается все время больше некоторой положительной постоянной.

Координаты материальных точек $P_{k}$ будем опять обозначать через $x_{k}, y_{k}, z_{k}$; будем использовать сокращения $q_{k}$ и $q$, введенные в $\S 5$. Обозначим через $\rho_{k}$ расстояние между $P_{k}$ и $P_{0}$; достаточно показать, что величина
\[
I=\sum_{q} m q^{2}=\sum_{k=1}^{3} m_{k} \rho_{k}^{2}
\]

все время остается больше некоторой положительной постоянной. Так как центр инерции лежит внутри рассматриваемого треугольника, то справедливо неравенство $\rho_{1}+\rho_{2} \leqslant r_{13}+r_{23}$; два других аналогичных неравенства получаются циклической перестановкой. Складывая все три неравенства, получаем для периметра $r_{12}+r_{23}+r_{31}=\sigma$ оценку снизу $\rho_{1}+\rho_{2}+\rho_{3} \leqslant \sigma$. Из неравенства треугольника $r_{12} \leqslant \rho_{1}+\rho_{2}$ следует также оценка сверху $\sigma \leqslant 2\left(\rho_{1}+\rho_{2}+\rho_{3}\right)$. Если $\mu$ обозначает наибольшую из трех масс, то, с одной стороны, справедливо неравенство
\[
I \leqslant \mu \sum_{k=1}^{3} \rho_{k}^{2} \leqslant \mu \sigma^{2},
\]

с другой стороны, из неравенства Шварца следует
\[
\frac{\sigma^{2}}{4} \leqslant\left(\sum_{k=1}^{3} \rho_{k}\right)^{2}=\left(\sum_{k=1}^{3}\left(m_{k}^{1 / 2} \rho_{k}\right) m_{k}^{-1 / 2}\right)^{2} \leqslant I \sum_{k=1}^{3} m_{k}^{-1} .
\]

Поэтому $I \sigma^{-2}$ лежит между двумя положительными границами, которые зависят только от масс; для нашей цели достаточно установить для $I$ положительную нижнюю грань.

Как и при доказательстве того, что $I$ отлично от нуля, будем исходить из формул $(6 ; 2)$ и $(6 ; 4)$, по когорым
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \ddot{I}=T+h=U+2 h, \\
\left\{\begin{array}{l}
2 I T \geqslant \frac{1}{4} \dot{I}^{2}+\eta, \\
\eta=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{3}>0,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ – постоянные площадей. Исключая $T$, получим
\[
\ddot{I}-\frac{1}{4} \dot{I}^{2} I^{-1}-\eta I^{-1}-2 h \geqslant 0 .
\]

Если умножить левую часть на $2 \dot{I} I^{-1 / 2}$, то полученное выражение легко интегрируется. Обозначая неопределенный интеграл через $L$, имеем
\[
L=\left(\dot{I}^{2}+4 \eta\right) I^{-1 / 2}-8 h I^{1 / 2} .
\]

В соответствии с неравенством (5) $L$ возрастает вместе с $t$, если при этом и I возрастает, и убывает, если I убывает. Отсюда можно дать оценку снизу для $I$. Будем опять обозначать значения различных величин в момент $t=\tau$ индексом $\tau$ и предположим, что для данного положительного числа $A$ выполнены четыре неравенства
\[
I_{\tau}<A, \quad U_{\tau}<A, \quad|h|<A, \quad \eta^{-1}<A .
\]

Мы покажем, что существует положительное число $\Theta=\Theta(A, m)$, зависящее только от $A$ и масс $m_{k}$, такое, что неравенство $I>\Theta$ выполняется при всех действительных значениях $t$. Нашей целью будет также получение явного выражения $\Theta$ как функции $A$ и $m_{k}$, однако необходимые для этого несколько громоздкие выкладки мы проводить не будем. Для упрощения обозначим через $c_{l}=c_{l}(A, m)(l=1, \ldots, 58)$ положительные числа, зависящие только от $A, m_{k}$, каждое из которых будет построено определенным образом; они будут играть роль верхних границ. Прежде всего очевидно, что
\[
m_{k} m_{l} r_{k l \tau}^{-1} \leqslant U_{\tau}<A \quad(k=1,2,3 ; l=1,2,3, k<l),
\]

следовательно,
\[
r_{k l \tau}>c_{1}^{-1},
\]

и из неравенства (2) имеем также
\[
I_{\tau}>c_{2}^{-1} .
\]

Рассмотрим сначала более прсстой случай $h \geqslant 0$. Тогда из (3) следует, что все время
\[
\frac{1}{2} \ddot{I}=U+2 h>0,
\]

следовательно, $I$ является выпуклой книзу функцией от $t$. Если начальное значение $\dot{I}_{\tau}=0$, то $I$ при $t=\tau$ имеет абсолютный минимум, и $I \geqslant I_{\tau}>c_{2}^{-1}$ есть оценка нужного нам вида. Если теперь еще заменить $t$ на $-t$, то для остального случая можно принять $\dot{I}_{\tau}<0$. Рассмотрим тогда интервал $\tau \leqslant t<t_{1}$, в котором функция $I$ монотонно убывает. В этом интервале величина $L$, определенная равенством (6), также монотонно убывает, поэтому вследствие $h \geqslant 0$ выражение $L+8 h I^{1 / 2}$ тоже убывает. Следовательно,
\[
\left(\dot{I}^{2}+4 \eta\right) I^{-1 / 2} \leqslant\left(\dot{I}_{\tau}^{2}+4 \eta\right) I_{\tau}^{-1 / 2} \quad\left(\tau \leqslant t \leqslant t_{1}\right)
\]

и, тем более,
\[
4 \eta I^{-1 / 2} \leqslant\left(\dot{I}_{\tau}^{2}+4 \eta\right) I_{\tau}^{-1 / 2},
\]

откуда
\[
I \geqslant I_{\tau}\left(1+\frac{1}{4 \eta} \dot{I}_{\tau}^{2}\right)^{-2} .
\]

Но так как функция $I$ выпукла книзу; то оценка (8) пригодна для всех моментов времени. Из (4) следует также оценка
\[
\dot{I}_{\tau}^{2} \leqslant 8 I_{\tau} T_{\tau}=8 I_{\tau}\left(U_{\tau}+h\right)<16 A^{2},
\]

справедливая, впрочем, и в случае $h<0$, а из (8) получается оценка
\[
I \geqslant c_{2}^{-1}\left(1+4 A^{3}\right)^{-2}, \quad I>c_{3}^{-1} .
\]

Таким образом случай $h \geqslant 0$ рассмотрен полностью.
В случае $h<0$ оценка так просто не получается, так как $I$ здесь уже не выпукла книзу и может иметь бесконечно много экстремумов. Положим $k=-2 h$ и ограничимся оценкой $I$ для $t \geqslant \tau$. Если $\dot{I} \geqslant 0$ при всех $t \geqslant \tau$, то при этих же $t$ будет $I \geqslant I_{\tau}>c_{2}^{-1}$. Поэтому в дальнейшем будем исследовать только тот случай, когда при каком-нибудь $t>\tau$ имеем $\dot{I}<0$. Пусть теперь $\tau \leqslant t_{0}<t_{1}$, и $I$ монотонно убывает во всем интервале $t_{0}<t<t_{1}$. Но тогда там монотонно убывает также и функция $L$, в частности,
\[
\left(\dot{I}^{2}+4 \eta\right) I^{-1 / 2}+4 k I^{1 / 2} \leqslant\left(\dot{I}_{0}^{2}+4 \eta\right) I_{0}^{-1 / 2}+4 k I_{0}^{1 / 2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right),
\]

где индекс 0 соответствует значениям функций при $t=t_{0}$. Так как $k>0$, то
\[
4 \eta I^{-1 / 2} \leqslant\left(\dot{I}_{0}^{2}+4 \eta\right) I_{0}^{-1 / 2}+4 k I_{0}^{1 / 2},
\]

откуда
\[
I \geqslant I_{0}\left(1+\frac{k}{\eta} I_{0}+\frac{1}{4 \eta} \dot{I}_{0}^{2}\right)^{-2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

Выберем теперь для закрепленного $t_{1}$ нижнюю границу интервала $t_{0}$ возможно меньшей. Тогда или $t_{0}=\tau$ и, следовательно,
\[
I \geqslant c_{2}^{-1}\left(1+\frac{k}{\eta} A+\frac{4}{\eta} A^{2}\right)^{-2}, \quad I>c_{4}^{-1} \quad\left(\tau \leqslant t \leqslant t_{1}\right),
\]

или $t_{0}>\tau$ и $I_{0}$ есть максимум $I$. В последнем случае $\dot{I}_{0}=0$, и из неравенства (9) следует
\[
\eta I^{-1 / 2}+k I^{1 / 2} \leqslant \eta I_{0}^{-1 / 2}+k I_{0}^{1 / 2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

При этом предполагается, что $I$ в этом интервале монотонно убывает.
Последнее неравенство дает возможность получить для величины $I$ оценку снизу, которая легко выводится из свойств функции
\[
f(x)=\eta x^{-1 / 2}+k x^{1 / 2} \quad(x>0) .
\]

Эта функция не изменится, если $x$ заменить на $(\eta / k)^{2} x^{-1}$, и имеет при положительных $x$ только один экстремум, а именно минимум при $x=$ $=\eta / k$. В интервале $0<x<\frac{\eta}{k}$ она монотонно убывает. В интервале $t_{0}<t \leqslant t_{1}$ будет $I<I_{0}$, и из (12) получается, что $f(I) \leqslant f\left(I_{0}\right)$, следовательно, тем более $I_{0}>\eta / k$. С другой стороны, $f(x)=f\left(I_{0}\right)$ при $x=(\eta / k)^{2} I_{0}^{-1}<\eta / k$, следовательно, $f(x)>f\left(I_{0}\right)$ при $x<(\eta / k)^{2} I_{0}^{-1}$ и потому
\[
I \geqslant\left(\frac{\eta}{k}\right)^{2} I_{0}^{-1} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

Если при этом $I_{0} \leqslant k^{-2}$, то
\[
I \geqslant \eta^{2}>A^{-2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

Остается рассмотреть случай $I_{0}>k^{-2}$. Тогда либо для всех моментов времени
\[
I \geqslant k^{-2}=(2 h)^{-2}>(2 A)^{-2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right),
\]

либо существует в интервале такой момент $t=t_{2}<t_{1}$, для которого $I=I_{2}=k^{-2}$. При последнем допущении будем иметь
\[
I>(2 A)^{-2} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{2}\right),
\]

в то время как для остального интервала $t_{2} \leqslant t \leqslant t_{1}$ можно применить неравенство (10) с заменой $t_{0}, I_{0}, \dot{\bar{I}}_{0}$ на $t_{2}, I_{2}, \dot{I}_{2}$, что дает
\[
I \geqslant\left(k+\eta^{-1}+\frac{k}{4 \eta} \dot{I}_{2}^{2}\right)^{-2} \quad\left(t_{2} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

\dot{I}_{2}^{2} \leqslant c_{5} k^{-1} \quad\left(I_{2}=\dot{k}^{-2}, \quad \dot{I}_{2}<0\right) .
\]

Если считать, что она доказана, можно объединить неравенства (13), $(14),(15),(16)$ в одно неравенство
\[
I>c_{6}^{-1} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

При этом функция $I$ имеет в точке $t_{0}$ максимум и в интервале $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ она монотонно убывает. Рассмотрим теперь следующие три возможности. Если $I$ убывает при всех $t>t_{0}$, то оценка (18) справедлива при всех $t \geqslant t_{0}$. Если $I$ при $t>t_{0}$ имеет где-нибудь минимум, то это будет сначала при $t=t_{1}$. Тогда, если $I$ при $t>t_{1}$ все время возрастает, то во всяком случае
\[
I \geqslant I_{1}>c_{6}^{-1} \quad\left(t \geqslant t_{1}\right),
\]

следовательно, опять $I>c_{6}^{-1}$ при всех $t \geqslant t_{0}$. Но если $I$ при $t>t_{1}$ не все время возрастает, то первый максимум встретится при $t=t_{3}$, и тогда в интервале между двумя последовательными максимумами имеем
\[
I \geqslant I_{1}>c_{6}^{-1} \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{3}\right) .
\]

Наконец, следует заметить, что моменты времени, соответствующие изолированным максимумам, не могут накапливаться на конечном интервале, так как иначе накапливались бы и нули функции $\dot{I}(t)$; но, согласно уже полученным результатам об аналитическом продолжении решения задачи трех тел, $\dot{I}(t)$ должно тождественно равняться нулю, а этот случай был уже нами рассмотрен ранее в предположении $\dot{I} \geqslant 0$ $(t \geqslant \tau)$. Поэтому оценка $I>c_{6}^{-1}$ доказана при всех $t \geqslant t_{0}$, если $t_{0}$ есть время первого максимума $I$ при $t>\tau$. Наконец, пусть $\tau \leqslant t \leqslant t_{0}$, или, если $I$ при $t>\tau$ вообще не имеет максимума, $\tau \leqslant t$. Тогда внутри этого интервала нет и минимумов, соответственно, $I$ не убывает, так как там тривиальным образом $I \geqslant I_{\tau}>c_{2}^{-1}$. В остальных случаях можно применить неравенство (11) и получить $I \geqslant c_{4}^{-1}$ для интервала $\tau \leqslant t \leqslant t_{0}$ или, соответственно, для $\tau \leqslant t$. Итак, действительно $I>c_{7}^{-1}$ при всех $t \geqslant \tau$.

Нужно еще доказать неравенства (17), для чего недостаточно использовать дифференциальное неравенство (5); требуется более точно изучить поведение функции $I$. Пусть наименьшая сторона треугольника, образованного материальными точками в момент $t$, опять будет $r_{13}=r$ и пусть $\rho$ обозначает расстояние между $P_{2}$ и центром инерции $P_{0}$, который находится в начале координат. Неравенство треугольника дает тогда
\[
\rho<r+r_{23} \leqslant 2 r_{23}, \quad \rho<r+r_{12} \leqslant 2 r_{12} .
\]

Наоборот, в нижнюю оценку $\rho$ входят две стороны треугольника $r_{12}$ и $r_{23}$. Положим $m_{1}+m_{2}+m_{3}=M$, тогда из теоремы о движении центра инерции
\[
m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}+m_{3} q_{3}=0
\]

следует формула
\[
M q_{2}=m_{1}\left(q_{2}-q_{1}\right)+m_{3}\left(q_{2}-q_{3}\right) .
\]

Заметим также, что угол треугольника при $P_{2}$ не больше $\pi / 3$, и его косинус $\geqslant 1 / 2$, поэтому
\[
M^{2} \rho^{2} \geqslant\left(m_{1} r_{12}\right)^{2}+\left(m_{3} r_{23}\right)^{2}+m_{1} m_{3} r_{12} r_{23}>\frac{1}{2}\left(m_{1} r_{12}+m_{3} r_{23}\right)^{2},
\]

откуда
\[
2 M \rho>m_{1} r_{12}+m_{3} r_{23} .
\]

Так как $r_{13}$ является наименьшей стороной треугольника, то $r_{12} / 2 \leqslant$ $\leqslant r_{23} \leqslant 2 r_{12}$. Из оценок (19) и (21) следует, что отношения $r_{12} / \rho$, $r_{23} / \rho$ лежат между двумя положительными границами, которые зависят только от масс.

После этого вспомогательного рассмотрения вернемся опять к оценке $\dot{I}_{2}$. Вычитая из
\[
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{q} m \dot{q} q=\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(\dot{x}_{k} x_{k}+\dot{y}_{k} y_{k}+\dot{z}_{k} z_{k}\right)
\]

уравнение, вытекающее из теоремы о движении центра инерции,
\[
0=\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(\dot{x}_{k} x_{3}+\dot{y}_{k} y_{3}+\dot{z}_{k} z_{3}\right),
\]

получим
\[
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{k=1}^{2} m_{k}\left\{\dot{x}_{k}\left(x_{k}-x_{3}\right)+\dot{y}_{k}\left(y_{k}-y_{3}\right)+\dot{z}_{k}\left(z_{k}-z_{3}\right)\right\}
\]

или, короче,
\[
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{q}\left\{m_{1} \dot{q}_{1}\left(q_{1}-q_{3}\right)+m_{2} \dot{q}_{2}\left(q_{2}-q_{3}\right)\right\} .
\]

Выразим теперь $q_{2}-q_{3}$ через $q_{1}-q_{3}$ и $q_{2}$. Из уравнения (20) следует
\[
m_{1}\left(q_{1}-q_{3}\right)+\left(m_{1}+m_{3}\right)\left(q_{3}-q_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right) q_{2}=0,
\]

откуда
\[
q_{2}-q_{3}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{3}}\left(q_{1}-q_{3}\right)+\frac{M}{m_{1}+m_{3}} q_{2},
\]

и потому уравнение (22) переходит в
\[
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{q} m_{1}\left(\dot{q}_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{3}} \dot{q}_{2}\right)\left(q_{1}-q_{3}\right)+\frac{m_{2} M}{m_{1}+m_{3}} \sum_{q} \dot{q}_{2} q_{2} .
\]

Обозначив через $v$ наибольшую из скоростей точек $P_{1}$ и $P_{2}$, с помощью неравенства Шварца получим
\[
\left|\sum_{q} m_{1}\left(\dot{q}_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{3}} \dot{q}_{2}\right)\left(q_{1}-q_{3}\right)\right| \leqslant \frac{m_{1} M}{m_{1}+m_{3}} v r .
\]

Чтобы оценить правую часть, воспользуемся тем, что $h<0$, и тогда
\[
T=U+h<U,
\]

а потому, очевидно,
\[
r T \leqslant r U<c_{8} .
\]

Отсюда следует
\[
r v^{2}<c_{9}, \quad r v \leqslant \sqrt{c_{9} r} .
\]

С другой стороны, из неравенства
\[
0 \leqslant 2 T=2 U-k
\]

следует оценка снизу
\[
2 U \geqslant k
\]

откуда
\[
r<c_{10} k^{-1} .
\]

Поэтому
\[
r v<c_{11} k^{-1 / 2} .
\]

Замечая, что
\[
\sum_{q} q_{2}^{2}=\rho^{2}, \quad \sum_{q} \dot{q}_{2} q_{2}=\dot{\rho} \rho,
\]

имеем из (24) в соответствии с оценками (25) и (29) дифференциальное неравенство
\[
\left|\dot{I}-\frac{2 m_{2} M}{m_{1}+m_{3}} \rho \dot{\rho}\right|<c_{12} k^{-1 / 2} .
\]

В момент $t=t_{2}$ будет $I\left(t_{2}\right)=I_{2}=k^{-2}, \dot{I}\left(t_{2}\right)=\dot{I}_{2}<0$. Пусть $\rho_{2}, \dot{\rho}_{2}-$ значения $\rho, \dot{\rho}$ при $t=t_{2}$. Если нам удастся получить оценку типа
\[
-\rho_{2} \dot{\rho}_{2}<c_{13} k^{-1 / 2}
\]

то из оценки (31) получится неравенство
\[
0<-\dot{I}_{2}<c_{14} k^{-1 / 2}
\]
a, следовательно, и неравенство (17) с $c_{5}=c_{14}^{2}$.
Для доказательства (32) так же, как это было сделано для $I$, найдем дифференциальное неравенство для $\rho$, интегрирование которого даст нам желаемую оценку. Дифференцированием уравнения (30) получаем
\[
\sum_{q}\left(\ddot{q}_{2} q_{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right)=\ddot{\rho} \rho+\dot{\rho}^{2}
\]

следовательно, согласно дифференциальным уравнениям движения,
\[
\ddot{\rho} \rho+\dot{\rho}^{2}=\sum_{q} q_{2}\left(m_{1} \frac{q_{1}-q_{2}}{r_{12}^{3}}+m_{3} \frac{q_{3}-q_{2}}{r_{23}^{3}}\right)+v_{2}^{2},
\]

если $v_{2}$ есть скорость точки $P_{2}$. Если заметить, что по неравенству (21) расстояние $\rho>0$, то из (30) следует с помощью неравенства Шварца, что
\[
\dot{\rho}^{2}=\left(\sum_{q} \dot{q}_{2} \frac{q_{2}}{\rho}\right)^{2} \leqslant \sum_{q} \dot{q}_{2}^{2}=v_{2}^{2} .
\]

Для $k=1$ и $k=3$ из неравенств (19) следует оценка
\[
\left|q_{k}-q_{2}\right| r_{k 2}^{-3} \leqslant r_{k 2}^{-2}<4 \rho^{-2},
\]

кроме того, $\left|q_{2}\right| \leqslant \rho$, так что из (33), (34), (35) получаем дифференциальное неравенство
\[
\ddot{\rho}>-c_{15} \rho^{-2} \text {. }
\]

Для доказательства неравенства (32) достаточно рассмотреть случай $\dot{\rho}_{2}<0$. Выберем достаточно малый интервал $t_{4} \leqslant t \leqslant t_{2}$, в котором везде $\dot{\rho}<0$, и $r_{13}$ есть наименьшая из сторон треугольника. Тогда из неравенства (36)
\[
2 \dot{\rho} \ddot{\rho}<-2 c_{15} \dot{\rho} \rho^{-2} \quad\left(t_{4} \leqslant t \leqslant t_{2}\right),
\]

откуда, интегрируя, имеем
\[
\dot{\rho}_{2}^{2}-2 c_{15} \rho_{2}^{-1} \leqslant \dot{\rho}^{2}-2 c_{15} \rho^{-1} \quad\left(t_{4} \leqslant t \leqslant t_{2}\right),
\]

следовательно, тем более
\[
\dot{\rho}_{2}^{2}<\dot{\rho}_{4}^{2}+2 c_{15} \rho_{2}^{-1},
\]

где $\dot{\rho}_{4}=\dot{\rho}\left(t_{4}\right)$, вследствие $\rho_{2} \leqslant \rho_{4}=\rho\left(t_{4}\right)$ получим также
\[
\left(\rho_{2} \dot{\rho}_{2}\right)^{2}<\left(\rho_{4} \dot{\rho}_{4}\right)^{2}+2 c_{15} \rho_{2} .
\]

Здесь слева стоит именно то выражение, которое использовалось при доказательстве неравенства (32). Справа стоят два слагаемых, которые легко оценить нужным нам образом, так как, по определению $I$,
\[
I>m_{2} \rho^{2}, \quad \rho^{2}<c_{16} I_{2}^{1 / 2}=c_{16} k^{-1} .
\]

Для исследования первого слагаемого рассмотрим еще несколько случаев. Во-первых, рассмотрим случай, когда в качестве $t_{4}$ можно использовать ранее введенное значение $t_{0}$, для которого $I$ имеет максимум. Тогда вследствие $\dot{I}_{0}=0$ из неравенства (31) получим
\[
\left(\rho_{4} \dot{\rho}_{4}\right)^{2}<c_{17} k^{-1} .
\]

Во-вторых, пусть теперь нельзя принять $t_{4}=t_{0}$, тогда $t_{4}$ надо выбрать возможно меньшим. Следовательно,
\[
t_{0}<t_{4} \leqslant t_{2},
\]

и в момент $t_{4}$ либо $\dot{\rho}=\dot{\rho}_{4}=0$, либо $r_{13}$ при дальнейшем убывании $t$ перестает быть наименьшей стороной треугольника. Для $\dot{\rho}_{4}=0$ неравенство (37) выполняется тривиальным образом. В оставшемся случае еще какая-нибудь сторона треугольника равна $r$ при $t=t_{4}$. Из неравенства треугольника имеем $r_{k 2} \leqslant 2 r(k=1,3)$ при $t=t_{4}$, и так как, с другой стороны, величина $\rho / r_{k 2}$ лежит левее некоторой грани, зависящей только от масс, то это будет справедливо и для отношения $\rho / r$ при $t=t_{4}$. По неравенству (27) там также $\rho U<c_{18}$, и из соотношений $(26),(28)$ и (34) получается
\[
(\rho \dot{\rho})^{2} \leqslant\left(\rho v_{2}\right)^{2} \leqslant c_{19} \rho^{2} T<c_{19} \rho^{2} U<c_{20} U^{-1} \leqslant 2 c_{20} k^{-1} \quad\left(t=t_{4}\right) .
\]

Отсюда следует, что (32) справедливо во всех рассмотренных случаях, поэтому доказательство первой теоремы Зундмана закончено.
В соответствии с неравенством (1) мы доказали оценку
\[
\sigma>c_{21}^{-1}
\]

Из всего хода вывода очевидно, что можно найти весьма простое выражение для $c_{21}$ в виде функции от $A$ и $m_{k}$. Это выражение также было найдено Зундманом.