Шесть интегралов движения центра инерции ( $5;7$ ) говорят о том, что центр инерции $P_0$ системы $n$ тел движется прямолинейно и равномерно. Введем параллельным переносом новую подвижную систему координат с началом в $P_0$. Уравнения движения $(5;3)$ при этом преобразовании координат останутся инвариантными. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только случаем, когда $P_0$ лежит в начале координат.

Зундманом была доказана важная теорема; позднее выяснилось, что эта теорема была известна Вейерштрассу, но не была им доказана. Теорема гласит:

Если для момента $t=t_1$ все $n$ тел сталкиваются в одной точке, то все три постоянные площадей $\alpha ,\beta ,\gamma$ равны нулю.

Так как центр инерции $P_0$ лежит в начале координат, то столкновение всех $n$ тел может иметь место только в точке 0 . Введем выражение
$$I=\sum _{q}m{q}^2=\sum _{k=1}^n{m}_k(x_k^2+y_k^2+z_k^2).$$

При $\tau ⩽t<t_1$ имеем тогда
$$\frac{1}{2}\dot{I}=\sum _{q}mq\dot{q},\frac{1}{2}\ddot{I}=\sum _{q}m({\dot{q}}^2+q\ddot{q})=2T+\sum _{q}q{U}_q.$$

Так как $U$ является однородной функцией минус первой степени относительно координат $q$, то по известной теореме Эйлера
$$\sum _{q}q{U}_q=-U,$$

вследствие чего получаем уравнение
$$\frac{1}{2}\ddot{I}=2T-U,$$

называемое уравнением Лагранжа. Используя интеграл энергии $T-$ $-U=h$, получаем
$$\frac{1}{2}\ddot{I}=T+h=U+2h.$$

Прежде всего мы не предполагаем заранее, что в момент $t_1$ происходит столкновение всех материальных точек; мы считаем только, как и в предыдущем параграфе, что $t_1$ является особой точкой по крайней мере для одной координаты $q(t)$. Как мы уже видели, в этом случае $U$
стремится к $\mathrm{\infty }$ при $t\to t_1$, поэтому для достаточно близкого к $t_1$ момента $t_2<t_1$ правая часть уравнения (2) во всем интервале $t_2⩽t<t_1$ положительна, следовательно,
$$\ddot{I}>0(t_2⩽t<t_1).$$

Поэтому функция $\dot{I}$ монотонно возрастает в этом интервале. Мы можем также принять, что $\dot{I}$ в рассматриваемом интервале либо везде положительна, либо везде отрицательна. В самом деле, предположим, что $\dot{I}$ меняет знак в момент $t_3$. Выберем некоторое $t_2$ между $t_3$ и $t_1$. Тогда в интервале $t_2⩽t<t_1$ положительная функция $I$ монотонно возрастает или монотонно убывает и, следовательно, при $t\to t_1$ имеет предел. Этот предел по определению $I$ тогда и только тогда равен нулю, если в момент $t_1$ все $n$ тел столкнутся в одной точке.
Используем теперь алгебраическое тождество
$$\sum _{k=1}^g{\xi }_k^2\sum _{k=1}^g{\eta }_k^2={\left(\sum _{k=1}^g{\xi }_k{\eta }_k\right)}^2+\sum _{k<l}{({\xi }_k{\eta }_l-{\xi }_l{\eta }_k)}^2$$

полагая в котором $g=3n,{\xi }_k=q\sqrt{m},{\eta }_k=\dot{q}\sqrt{m}$, мы получим с помощью (1) формулу
$$2IT=\frac{1}{4}{\dot{I}}^2+\sum _{k<l}{({\xi }_k{\eta }_l-{\xi }_l{\eta }_k)}^2.$$

В последней сумме обратим внимание только на те члены, в которых величины ${\xi }_k,{\eta }_l$, относятся к одной и той же материальной точке; это даст нам следующую оценку:
$$\begin{array}{rl}2IT⩾\frac{1}{4}{\dot{I}}^2+\sum _{k=1}^n{m}_k^2\{(y_k{\dot{z}}_k-& {z_k\dot{y})}^2+\\ & \\ & +{(z_k{\dot{x}}_k-x_k{\dot{z}}_k)}^2+{(x_k{\dot{y}}_k-y_k{\dot{x}}_k)}^2\}.\end{array}$$

С другой стороны, неравенство Шварца вследствие $(5;8)$ даст
$${\alpha }^2={\left\{\sum _{k=1}^n{m}_k(y_k{\dot{z}}_k-z_k{\dot{y}}_k)\right\}}^2⩽n\sum _{k=1}^n{m}_k^2{(y_k{\dot{z}}_k-z_k{\dot{y}}_k)}^2$$

и аналогичные соотношения для $\beta ,\gamma$, поэтому неравенство (3) приводится к следующему виду:
$$2IT⩾\frac{1}{4}{\dot{I}}^2+\eta ,\eta =\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2}{n}.$$

Для целей настоящего параграфа достаточно взять вместо (4) более слабое неравенство
$$2IT⩾\eta$$

которое вследствие (2) равносильно неравенству
$$\ddot{I}⩾\eta I^{-1}+2h\text{. }$$

Пусть теперь $I$ монотонно убывает в интервале $t_2⩽t<t_1$. Уменожим (5) на положительное число $-2\dot{I}$ и проинтегрируем от $t_2$ до $t$. Обозначая через $I_2,{\dot{I}}_2$ соответственно значения $I,\dot{I}$ при $t=t_2$, получим
$${\dot{I}}_2^2-{\dot{I}}^2⩾2\eta \ln \frac{I_2}{I}+4h(I_2-I)$$

тем более справедливо неравенство
$$2\eta \ln \frac{I_2}{I}⩽{\dot{I}}_2^2+4|h|I_2(t_2⩽t<t_1).$$

Отсюда следует существование для $I$ положительной нижней грани, если $\eta >0$, т. е. если не все $\alpha ,\beta ,\gamma$ равны 0 . Если, с другой стороны, $I$ в интервале $t_2⩽t<t_1$ монотонно возрастает, то там, очевидно, $I⩾I_2$. В каждом случае, следовательно, $I$ имеет в интервале $t_2⩽t<t_1$ положительную нижнюю грань, если только $\eta >0$. Если обозначить через ${\rho }_k$ расстояние точки $P_k$ от центра инерции, т. е. от начала координат, то
$$I=\sum _{k=1}^n{m}_k{\rho }_k^2$$

Далее,
$$\sum _{k=1}^n{m}_k{q}_k=0$$

следовательно,
$$\sum _{k=1}^n{m}_k(q_l-q_k)=M{q}_l$$

где
$$\begin{array}{c}M=\sum _{k=1}^n{m}_k,MI⩽2\sum _{k<l}{m}_k{m}_l{r}_{kl}^2,\\ M{q}_l^2⩽\sum _{k=1}^n{m}_k{(q_l-q_k)}^2(l=1,\dots ,n).\end{array}$$

Поэтому если $\eta >0$, то наибольшее из $n(n-1)/2$ расстояний $r_{kl}(k<l)$ в интервале $t_2⩽t<t_1$, а значит и в интервале $\tau ⩽t<t_1$ остается больше некоторого положительного числа, и тогда в момент $t_1$ столкновения не может быть. Тем самым теорема доказана.

Далее в этой главе будем рассматривать только случай $n=3$. Мы хотим доказать, что три постоянные площадей $\alpha ,\beta ,\gamma$ только в том случае могут быть все равны нулю, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости. Так как ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ и уравнения движения при ортогональных преобразованиях координат остаются инвариантными и, кроме того, центр инерции $P_0$ находится в начале координат, то можно принять, что при $t=\tau$ три материальные точки лежат в плоскости $z=0$. Тогда из $(5;8)$ при $\alpha =\beta =\gamma =0$ получаем, в частности, уравнения
$$\sum _{k=1}^3{m}_k{y}_k{\dot{z}}_k=0,\sum _{k=1}^3{m}_k{x}_k{\dot{z}}_k=0(t=\tau )\text{; }$$

кроме того,
$$\sum _{k=1}^3{m}_k{\dot{z}}_k=0$$

так как центр инерции остается неподвижным. Из этих трех однородных линейных уравнений для величин $m_k{\dot{z}}_k(k=1,2,3)$ при $t=\tau$ следует либо равенство нулю ${\dot{z}}_k$ при $t=\tau$, либо
$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0(t=\tau ).$$

В первом случае направления начальных скоростей трех точек лежат в плоскости $z=0$, откуда вследствие теоремы о единственности решения системы дифференциальных уравнений движения заключим, что тогда все три точки всегда будут оставаться в этой плоскости. Во втором случае три точки в момент $t=\tau$ лежат на одной прямой; тогда оси координат можно повернуть таким образом, чтобы при $t=\tau$ равнялась нулю величина ${\dot{z}}_3$. Если исключить уже рассмотренный случай ${\dot{z}}_k=0$ $(k=1,2,3)$, то из вышеупомянутых уравнений следует
$$y_1=y_2,x_1=x_2(t=\tau ).$$

Итак, точки $P_1,P_2$ совпадут в момент $t=\tau$, что противоречит предположенному. Поэтому утверждение доказано.

В частности, можно показать, что в случае соударения всех трех тел движение обязательно происходит в неподвижной плоскости. Случай тройного столкновения (см. [1]-[3]) здесь более рассматриваться не будет.

Итак, в дальнейшем будет предполагаться, что ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2>0$. Тогда из нашего предыдущего результата следует, что длина наибольшей из трех сторон треугольника $r_{12},r_{23},r_{31}$, образованного материальными точками, ограничена сверху при $\tau ⩽t<t_1$ положительным числом $\epsilon$. С другой стороны, результат предыдущего параграфа гласит, что наименьшая из сторон этого треугольника стремится к 0 при $t\to t_1$. Если длина этой стороны есть $r$, то $t_2$ можно выбрать настолько близким к $t_1$, что $r$ при $t_2⩽t<t_1$ будет оставаться меньше $\epsilon /2$. Но тогда во всем этом интервале времени наименьшей должна оставаться одна и та же сторона треугольника; действительно, в противном случае из соображений непрерывности следует, что две стороны треугольника будут для некоторого момента $t$ из этого интервала меньше $\epsilon /2$, а тогда третья сторона также будет меньше $\epsilon$, что приводит к противоречию. Поэтому меньше $\epsilon /2$ остается в интервале $t_2⩽t<t_1$ одна и та же сторона треугольника, например $r_{13}$, и мы будем иметь
$$r_{13}<\frac{\epsilon }{2},r_{12}>\frac{\epsilon }{2},r_{23}>\frac{\epsilon }{2}(t_2⩽t<t_1).$$

Итак, при $t\to t_1$ к нулю стремится только расстояние $r_{13}=r$, в то время как два других расстояния остаются больше некоторого положительного числа, и в момент $t=t_1$ сталкиваются точки $P_1$ и $P_3$.

Нужно теперь показать, что это столкновение произойдет в определенной точке пространства. Из уравнения движения
$${\ddot{q}}_2=\frac{m_1}{r_{12}^3}(q_1-q_2)+\frac{m_3}{r_{23}^3}(q_3-q_2)$$

следует оценка
$$\left|{\ddot{q}}_2\right|⩽\frac{m_1}{r_{12}^2}+\frac{m_3}{r_{23}^2},$$

откуда в соответствии с неравенствами (7) вытекает ограниченность ${\ddot{q}}_2$ в интервале $t_2⩽t<t_1$. После двукратного интегрирования получим, что ${\dot{q}}_2$ и $q_2$ при $t\to t_1$ имеют верхнюю грань; поэтому точка $P_2$ при $t\to t_1$ имеет предельное положение и равным образом имеет некоторые предельные значения составляющих скорости. Так как, с другой стороны, разность $q_1-q_3$ при $t\to t_1$ стремится к нулю и так как центр инерции системы находится в начале координат, то из соотношения $m_1{q}_1+m_2{q}_2+m_3{q}_3=0$ следует, что $q_1$ и $q_3$ имеют также предел при $t\to t_1$. Значит $P_1$ и $P_3$ в действительности столкнутся в определенной точке пространства. Отсюда также следует, что монотонная функция $I$ ограничена в интервале $t_2⩽t<t_1$, поэтому $I$ имеет при $t\to t_1$ конечный предел.

Наоборот, следует ожидать, что скорости точек $P_1$ и $P_3$ при $t\to t_1$ становятся бесконечно большими. Чтобы исследовать это подробно, обозначим скорость точки $P_k$ через $V_k(k=1,2,3)$ и напишем интеграл энергии в виде
$$\frac{1}{2}\sum _{k=1}^3{m}_k{V}_k^2=T=U+h.$$

Так как $r=r_{13}$ при $t\to t_1$ стремится к нулю, в то время как величины обеих других сторон треугольника имеют положительную нижнюю грань, то произведение $rU$ стремится к $m_1{m}_3$, т. е.
$$r\sum _{k=1}^3{m}_k{V}_k^2\to 2m_1{m}_3(t\to t_1).$$

Поэтому, в частности, выражения $r{V}_k^2,r{\dot{q}}_k^2,r^{1/2}{\dot{q}}_{k}k=1,2,3$ остаются при соударении ограниченными. Вследствие соотношения $m_1{\dot{q}}_1+m_2{\dot{q}}_2+$ $+m_3{\dot{q}}_3=0$ имеем далее
$$r{\left(m_1{\dot{q}}_1\right)}^2-r{\left(m_3{\dot{q}}_3\right)}^2=m_2{r}^{1/2}\{m_2{r}^{1/2}{\dot{q}}_2^2+2m_3{\dot{q}}_2\left(r^{1/2}{\dot{q}}_3\right)\}.$$

В фигурных скобках отдельные сомножители $k=1,2,3$ остаются ограниченными, в то время как множитель $r^{1/2}$ стремится к нулю. Следовательно,
$$r{\left(m_1{\dot{q}}_1\right)}^2-r{\left(m_3{\dot{q}}_3\right)}^2\to 0,r{\left(m_1{V}_1\right)}^2-r{\left(m_3{V}_3\right)}^2\to 0.$$

Так как выражение $r{m}_2{V}_2^2$ стремится к нулю, то соотношение (8) дает формулу
$$r{V}_1^2\to \frac{2m_3^2}{m_1+m_3}(t\to t_1);$$

эта формула определяет асимптотическое поведение при $t=t_1$ величин $V_1$ и $V_3$.

Функция $r^{-1}$ становится при $t=t_1$ бесконечной. Докажем все же сходимость несобственного интеграла
$${\int }_{\tau }^{t_1}\frac{dt}{r}=\underset{t\to t_1}{lim}{\int }_{\tau }^{t_1}\frac{dt}{t}.$$

При этом мы воспользуемся уравнением Лагранжа (2)
$$\frac{1}{2}\ddot{I}=U+2h.$$

Так как разность $U-m_1{m}_3{r}_{13}^{-1}$ вследствие соотношения (7) остается в интервале $\tau ⩽t<t_1$ ограниченной, то, очевидно, лостаточно установить существование верхней грани значений $\dot{I}$ при $t\to t_1$. В начале параграфа было уже показано, что $\dot{I}$ есть монотонная функция в интервале $t_2⩽t<t_1$. Поэтому мы должны только доказать, что $\dot{I}$ ограничено. С помощью интегралов движения центра инерции получаем
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\dot{I}=\sum _{k=1}^3{m}_k(x_k{\dot{x}}_k& +y_k{\dot{y}}_k+z_k{\dot{z}}_k)=\\ & =\sum _{k=1}^2{m}_k\{(x_k-x_3){\dot{x}}_k+(y_k-y_3){\dot{y}}_k+(z_k-z_3){\dot{z}}_k\}.\end{array}$$

Следовательно, в силу неравенства Шварца,
$$\frac{1}{2}|\dot{I}|⩽\sum _{k=1}^2{m}_k{r}_{k3}{V}_k.$$

Но в соответствии с (9) $r_{13}{V}_1$ стремится к нулю, в то время как $r_{23}$ и $V_2$ ограничены. Поэтому сходимость интеграла (10) доказана.

Прежде чем более подробно исследовать в двух следующих параграфах природу особенности $q$ и $\dot{q}$ при $t=t_1$, сделаем еще одно предварительное замечание, которое будет использовано в дальнейшем. По крайней мере одна из девяти функций $\dot{q}(t)$ при $t\to t_1$ будет неограниченной, а функции $q(t)$, как мы знаем, стремятся к конечным пределам. Уже из этого следует, что ни одна из функций $\dot{q}(t)$ не может иметь полюса при $t=t_1$, так как иначе соответствующая $q(t)$ также была бы бесконечной. Предположим сначала без доказательства, что $q(t)$ при $t=t_1$ не имеет существенной особенности и самое большее может иметь точку ветвления конечного порядка; проведем тогда следующее рассуждение. Пусть
$$s={(t_1-t)}^{1/l},$$

где $l$ — натуральное число, будет локальной регуляризирующей переменной для всех $q(t)$, так что $q(t)$ представится обыкновенным степенным рядом по $s$, сходящимся при достаточно малых абсолютных значениях $s$. Пусть, далее, $s^{\mu }$ будет наименьшей входящей в $q(t)$ положительной степенью $s$; тогда имеем
$$q(t)=q\left(t_1\right)+c_1{s}^{\mu }+\dots ,$$

причем $c_1$ по меньшей мере для одной координаты $q$ отлично от нуля. Из равенства
$$\dot{q}(t)=-\frac{\mu }{l}{c}_1{s}^{\mu -l}+\dots$$

следует соотношение
$$V_1^2=c_2{s}^{2(\mu -l)}+\dots ,c_2>0.$$

Равенство (11) дает далее
$$r=c_3{s}^{\mu }+\dots ,c_3⩾0.$$

Если здесь $c_3>0$, то из (9) следует равенство $3\mu -2l=0$. Поэтому $\mu /l=2/3$, откуда напрашивается догадка, что $l=3$ и что
$$s={(t_1-t)}^{1/3}$$

будет локально регуляризирующей переменной. Мы покажем в § 8, что это действительно имеет место. Впрочем, с помощью равенства (12) можно показать, что $\dot{q}(t)$ как функция $s$ при $t=t_1$ либо остается регулярной, либо имеет полюс первого порядка. Если образовать интеграл
$$\lambda ={\int }_t^{t_1}\frac{dt}{t}(\tau ⩽t<t_1),$$

существование которого уже доказано, то разложение $\lambda$ в ряд по степеням $s$ при нашем допущении будет иметь следующий вид:
$$\lambda =\frac{3}{c_3}s-\dots$$

В этом случае $\lambda$ также можно выбрать в качестве локально регуляризирующей переменной. Такой выбор был уже сделан в классической теории задачи двух тел; в этой теории $\lambda$ является эксцентрической аномалией.

В ближайших параграфах будут даны основы для доказательства наших эвристических результатов. Нельзя найти особую точку $t=t_1$, применяя только теорему существования Коши и вводя в уравнения движспия задачи трсх тсл вмссто $t$ повую псзависимую псрсмспую $\lambda$. Это не удастся хотя бы потому, что по крайней мере одно $\dot{q}$ при $s=0$ обязательно имеет особенность. Если высказанные нами ранее предположения верны, то величины, получающиеся из ${\dot{x}}_1,{\dot{y}}_1,{\dot{z}}_1$ и из ${\dot{x}}_3,{\dot{y}}_3$, ${\dot{z}}_3$ преобразованием обратных радиусов, будут при $\lambda =0$ регулярными. Зундману с помощью введения в дифференциальные уравнения таких новых переменных удалось прийти к желаемой цели.

Чтобы сделать необходимые выкладки возможно более простыми и прозрачными, приведем сначала уравнения движения, следуя ЛевиЧивита [4], к канонической форме и определим затем каноническое преобразование, которое выполнит наше требование относительно $\dot{q}$.