Шесть интегралов движения центра инерции ( $5 ; 7$ ) говорят о том, что центр инерции $P_{0}$ системы $n$ тел движется прямолинейно и равномерно. Введем параллельным переносом новую подвижную систему координат с началом в $P_{0}$. Уравнения движения $(5 ; 3)$ при этом преобразовании координат останутся инвариантными. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только случаем, когда $P_{0}$ лежит в начале координат.

Зундманом была доказана важная теорема; позднее выяснилось, что эта теорема была известна Вейерштрассу, но не была им доказана. Теорема гласит:

Если для момента $t=t_{1}$ все $n$ тел сталкиваются в одной точке, то все три постоянные площадей $\alpha, \beta, \gamma$ равны нулю.

Так как центр инерции $P_{0}$ лежит в начале координат, то столкновение всех $n$ тел может иметь место только в точке 0 . Введем выражение
\[
I=\sum_{q} m q^{2}=\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right) .
\]

При $\tau \leqslant t<t_{1}$ имеем тогда
\[
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{q} m q \dot{q}, \quad \frac{1}{2} \ddot{I}=\sum_{q} m\left(\dot{q}^{2}+q \ddot{q}\right)=2 T+\sum_{q} q U_{q} .
\]

Так как $U$ является однородной функцией минус первой степени относительно координат $q$, то по известной теореме Эйлера
\[
\sum_{q} q U_{q}=-U,
\]

вследствие чего получаем уравнение
\[
\frac{1}{2} \ddot{I}=2 T-U,
\]

называемое уравнением Лагранжа. Используя интеграл энергии $T-$ $-U=h$, получаем
\[
\frac{1}{2} \ddot{I}=T+h=U+2 h .
\]

Прежде всего мы не предполагаем заранее, что в момент $t_{1}$ происходит столкновение всех материальных точек; мы считаем только, как и в предыдущем параграфе, что $t_{1}$ является особой точкой по крайней мере для одной координаты $q(t)$. Как мы уже видели, в этом случае $U$
стремится к $\infty$ при $t \rightarrow t_{1}$, поэтому для достаточно близкого к $t_{1}$ момента $t_{2}<t_{1}$ правая часть уравнения (2) во всем интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ положительна, следовательно,
\[
\ddot{I}>0 \quad\left(t_{2} \leqslant t<t_{1}\right) .
\]

Поэтому функция $\dot{I}$ монотонно возрастает в этом интервале. Мы можем также принять, что $\dot{I}$ в рассматриваемом интервале либо везде положительна, либо везде отрицательна. В самом деле, предположим, что $\dot{I}$ меняет знак в момент $t_{3}$. Выберем некоторое $t_{2}$ между $t_{3}$ и $t_{1}$. Тогда в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ положительная функция $I$ монотонно возрастает или монотонно убывает и, следовательно, при $t \rightarrow t_{1}$ имеет предел. Этот предел по определению $I$ тогда и только тогда равен нулю, если в момент $t_{1}$ все $n$ тел столкнутся в одной точке.
Используем теперь алгебраическое тождество
\[
\sum_{k=1}^{g} \xi_{k}^{2} \sum_{k=1}^{g} \eta_{k}^{2}=\left(\sum_{k=1}^{g} \xi_{k} \eta_{k}\right)^{2}+\sum_{k<l}\left(\xi_{k} \eta_{l}-\xi_{l} \eta_{k}\right)^{2}
\]

полагая в котором $g=3 n, \xi_{k}=q \sqrt{m}, \eta_{k}=\dot{q} \sqrt{m}$, мы получим с помощью (1) формулу
\[
2 I T=\frac{1}{4} \dot{I}^{2}+\sum_{k<l}\left(\xi_{k} \eta_{l}-\xi_{l} \eta_{k}\right)^{2} .
\]

В последней сумме обратим внимание только на те члены, в которых величины $\xi_{k}, \eta_{l}$, относятся к одной и той же материальной точке; это даст нам следующую оценку:
\[
\begin{aligned}
2 I T \geqslant \frac{1}{4} \dot{I}^{2}+\sum_{k=1}^{n} m_{k}^{2}\left\{\left(y_{k} \dot{z}_{k}-\right.\right. & \left.z_{k} \dot{y}\right)^{2}+ \\
& \\
& \left.+\left(z_{k} \dot{x}_{k}-x_{k} \dot{z}_{k}\right)^{2}+\left(x_{k} \dot{y}_{k}-y_{k} \dot{x}_{k}\right)^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

С другой стороны, неравенство Шварца вследствие $(5 ; 8)$ даст
\[
\alpha^{2}=\left\{\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(y_{k} \dot{z}_{k}-z_{k} \dot{y}_{k}\right)\right\}^{2} \leqslant n \sum_{k=1}^{n} m_{k}^{2}\left(y_{k} \dot{z}_{k}-z_{k} \dot{y}_{k}\right)^{2}
\]

и аналогичные соотношения для $\beta, \gamma$, поэтому неравенство (3) приводится к следующему виду:
\[
2 I T \geqslant \frac{1}{4} \dot{I}^{2}+\eta, \quad \eta=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{n} .
\]

Для целей настоящего параграфа достаточно взять вместо (4) более слабое неравенство
\[
2 I T \geqslant \eta
\]

которое вследствие (2) равносильно неравенству
\[
\ddot{I} \geqslant \eta I^{-1}+2 h \text {. }
\]

Пусть теперь $I$ монотонно убывает в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$. Уменожим (5) на положительное число $-2 \dot{I}$ и проинтегрируем от $t_{2}$ до $t$. Обозначая через $I_{2}, \dot{I}_{2}$ соответственно значения $I, \dot{I}$ при $t=t_{2}$, получим
\[
\dot{I}_{2}^{2}-\dot{I}^{2} \geqslant 2 \eta \ln \frac{I_{2}}{I}+4 h\left(I_{2}-I\right)
\]

тем более справедливо неравенство
\[
2 \eta \ln \frac{I_{2}}{I} \leqslant \dot{I}_{2}^{2}+4|h| I_{2} \quad\left(t_{2} \leqslant t<t_{1}\right) .
\]

Отсюда следует существование для $I$ положительной нижней грани, если $\eta>0$, т. е. если не все $\alpha, \beta, \gamma$ равны 0 . Если, с другой стороны, $I$ в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ монотонно возрастает, то там, очевидно, $I \geqslant I_{2}$. В каждом случае, следовательно, $I$ имеет в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ положительную нижнюю грань, если только $\eta>0$. Если обозначить через $\rho_{k}$ расстояние точки $P_{k}$ от центра инерции, т. е. от начала координат, то
\[
I=\sum_{k=1}^{n} m_{k} \rho_{k}^{2}
\]

Далее,
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k} q_{k}=0
\]

следовательно,
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(q_{l}-q_{k}\right)=M q_{l}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
M=\sum_{k=1}^{n} m_{k}, \quad M I \leqslant 2 \sum_{k<l} m_{k} m_{l} r_{k l}^{2}, \\
M q_{l}^{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(q_{l}-q_{k}\right)^{2} \quad(l=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Поэтому если $\eta>0$, то наибольшее из $n(n-1) / 2$ расстояний $r_{k l}(k<l)$ в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$, а значит и в интервале $\tau \leqslant t<t_{1}$ остается больше некоторого положительного числа, и тогда в момент $t_{1}$ столкновения не может быть. Тем самым теорема доказана.

Далее в этой главе будем рассматривать только случай $n=3$. Мы хотим доказать, что три постоянные площадей $\alpha, \beta, \gamma$ только в том случае могут быть все равны нулю, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости. Так как $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$ и уравнения движения при ортогональных преобразованиях координат остаются инвариантными и, кроме того, центр инерции $P_{0}$ находится в начале координат, то можно принять, что при $t=\tau$ три материальные точки лежат в плоскости $z=0$. Тогда из $(5 ; 8)$ при $\alpha=\beta=\gamma=0$ получаем, в частности, уравнения
\[
\sum_{k=1}^{3} m_{k} y_{k} \dot{z}_{k}=0, \quad \sum_{k=1}^{3} m_{k} x_{k} \dot{z}_{k}=0 \quad(t=\tau) \text {; }
\]

кроме того,
\[
\sum_{k=1}^{3} m_{k} \dot{z}_{k}=0
\]

так как центр инерции остается неподвижным. Из этих трех однородных линейных уравнений для величин $m_{k} \dot{z}_{k}(k=1,2,3)$ при $t=\tau$ следует либо равенство нулю $\dot{z}_{k}$ при $t=\tau$, либо
\[
\left|\begin{array}{ccc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} \\
y_{1} & y_{2} & y_{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=0 \quad(t=\tau) .
\]

В первом случае направления начальных скоростей трех точек лежат в плоскости $z=0$, откуда вследствие теоремы о единственности решения системы дифференциальных уравнений движения заключим, что тогда все три точки всегда будут оставаться в этой плоскости. Во втором случае три точки в момент $t=\tau$ лежат на одной прямой; тогда оси координат можно повернуть таким образом, чтобы при $t=\tau$ равнялась нулю величина $\dot{z}_{3}$. Если исключить уже рассмотренный случай $\dot{z}_{k}=0$ $(k=1,2,3)$, то из вышеупомянутых уравнений следует
\[
y_{1}=y_{2}, \quad x_{1}=x_{2} \quad(t=\tau) .
\]

Итак, точки $P_{1}, P_{2}$ совпадут в момент $t=\tau$, что противоречит предположенному. Поэтому утверждение доказано.

В частности, можно показать, что в случае соударения всех трех тел движение обязательно происходит в неподвижной плоскости. Случай тройного столкновения (см. [1]-[3]) здесь более рассматриваться не будет.

Итак, в дальнейшем будет предполагаться, что $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}>0$. Тогда из нашего предыдущего результата следует, что длина наибольшей из трех сторон треугольника $r_{12}, r_{23}, r_{31}$, образованного материальными точками, ограничена сверху при $\tau \leqslant t<t_{1}$ положительным числом $\varepsilon$. С другой стороны, результат предыдущего параграфа гласит, что наименьшая из сторон этого треугольника стремится к 0 при $t \rightarrow t_{1}$. Если длина этой стороны есть $r$, то $t_{2}$ можно выбрать настолько близким к $t_{1}$, что $r$ при $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ будет оставаться меньше $\varepsilon / 2$. Но тогда во всем этом интервале времени наименьшей должна оставаться одна и та же сторона треугольника; действительно, в противном случае из соображений непрерывности следует, что две стороны треугольника будут для некоторого момента $t$ из этого интервала меньше $\varepsilon / 2$, а тогда третья сторона также будет меньше $\varepsilon$, что приводит к противоречию. Поэтому меньше $\varepsilon / 2$ остается в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$ одна и та же сторона треугольника, например $r_{13}$, и мы будем иметь
\[
r_{13}<\frac{\varepsilon}{2}, \quad r_{12}>\frac{\varepsilon}{2}, \quad r_{23}>\frac{\varepsilon}{2} \quad\left(t_{2} \leqslant t<t_{1}\right) .
\]

Итак, при $t \rightarrow t_{1}$ к нулю стремится только расстояние $r_{13}=r$, в то время как два других расстояния остаются больше некоторого положительного числа, и в момент $t=t_{1}$ сталкиваются точки $P_{1}$ и $P_{3}$.

Нужно теперь показать, что это столкновение произойдет в определенной точке пространства. Из уравнения движения
\[
\ddot{q}_{2}=\frac{m_{1}}{r_{12}^{3}}\left(q_{1}-q_{2}\right)+\frac{m_{3}}{r_{23}^{3}}\left(q_{3}-q_{2}\right)
\]

следует оценка
\[
\left|\ddot{q}_{2}\right| \leqslant \frac{m_{1}}{r_{12}^{2}}+\frac{m_{3}}{r_{23}^{2}},
\]

откуда в соответствии с неравенствами (7) вытекает ограниченность $\ddot{q}_{2}$ в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$. После двукратного интегрирования получим, что $\dot{q}_{2}$ и $q_{2}$ при $t \rightarrow t_{1}$ имеют верхнюю грань; поэтому точка $P_{2}$ при $t \rightarrow t_{1}$ имеет предельное положение и равным образом имеет некоторые предельные значения составляющих скорости. Так как, с другой стороны, разность $q_{1}-q_{3}$ при $t \rightarrow t_{1}$ стремится к нулю и так как центр инерции системы находится в начале координат, то из соотношения $m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}+m_{3} q_{3}=0$ следует, что $q_{1}$ и $q_{3}$ имеют также предел при $t \rightarrow t_{1}$. Значит $P_{1}$ и $P_{3}$ в действительности столкнутся в определенной точке пространства. Отсюда также следует, что монотонная функция $I$ ограничена в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$, поэтому $I$ имеет при $t \rightarrow t_{1}$ конечный предел.

Наоборот, следует ожидать, что скорости точек $P_{1}$ и $P_{3}$ при $t \rightarrow t_{1}$ становятся бесконечно большими. Чтобы исследовать это подробно, обозначим скорость точки $P_{k}$ через $V_{k}(k=1,2,3)$ и напишем интеграл энергии в виде
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{3} m_{k} V_{k}^{2}=T=U+h .
\]

Так как $r=r_{13}$ при $t \rightarrow t_{1}$ стремится к нулю, в то время как величины обеих других сторон треугольника имеют положительную нижнюю грань, то произведение $r U$ стремится к $m_{1} m_{3}$, т. е.
\[
r \sum_{k=1}^{3} m_{k} V_{k}^{2} \rightarrow 2 m_{1} m_{3} \quad\left(t \rightarrow t_{1}\right) .
\]

Поэтому, в частности, выражения $r V_{k}^{2}, r \dot{q}_{k}^{2}, r^{1 / 2} \dot{q}_{k} k=1,2,3$ остаются при соударении ограниченными. Вследствие соотношения $m_{1} \dot{q}_{1}+m_{2} \dot{q}_{2}+$ $+m_{3} \dot{q}_{3}=0$ имеем далее
\[
r\left(m_{1} \dot{q}_{1}\right)^{2}-r\left(m_{3} \dot{q}_{3}\right)^{2}=m_{2} r^{1 / 2}\left\{m_{2} r^{1 / 2} \dot{q}_{2}^{2}+2 m_{3} \dot{q}_{2}\left(r^{1 / 2} \dot{q}_{3}\right)\right\} .
\]

В фигурных скобках отдельные сомножители $k=1,2,3$ остаются ограниченными, в то время как множитель $r^{1 / 2}$ стремится к нулю. Следовательно,
\[
r\left(m_{1} \dot{q}_{1}\right)^{2}-r\left(m_{3} \dot{q}_{3}\right)^{2} \rightarrow 0, \quad r\left(m_{1} V_{1}\right)^{2}-r\left(m_{3} V_{3}\right)^{2} \rightarrow 0 .
\]

Так как выражение $r m_{2} V_{2}^{2}$ стремится к нулю, то соотношение (8) дает формулу
\[
r V_{1}^{2} \rightarrow \frac{2 m_{3}^{2}}{m_{1}+m_{3}} \quad\left(t \rightarrow t_{1}\right) ;
\]

эта формула определяет асимптотическое поведение при $t=t_{1}$ величин $V_{1}$ и $V_{3}$.

Функция $r^{-1}$ становится при $t=t_{1}$ бесконечной. Докажем все же сходимость несобственного интеграла
\[
\int_{\tau}^{t_{1}} \frac{d t}{r}=\lim _{t \rightarrow t_{1}} \int_{\tau}^{t_{1}} \frac{d t}{t} .
\]

При этом мы воспользуемся уравнением Лагранжа (2)
\[
\frac{1}{2} \ddot{I}=U+2 h .
\]

Так как разность $U-m_{1} m_{3} r_{13}^{-1}$ вследствие соотношения (7) остается в интервале $\tau \leqslant t<t_{1}$ ограниченной, то, очевидно, лостаточно установить существование верхней грани значений $\dot{I}$ при $t \rightarrow t_{1}$. В начале параграфа было уже показано, что $\dot{I}$ есть монотонная функция в интервале $t_{2} \leqslant t<t_{1}$. Поэтому мы должны только доказать, что $\dot{I}$ ограничено. С помощью интегралов движения центра инерции получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \dot{I}=\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(x_{k} \dot{x}_{k}\right. & \left.+y_{k} \dot{y}_{k}+z_{k} \dot{z}_{k}\right)= \\
& =\sum_{k=1}^{2} m_{k}\left\{\left(x_{k}-x_{3}\right) \dot{x}_{k}+\left(y_{k}-y_{3}\right) \dot{y}_{k}+\left(z_{k}-z_{3}\right) \dot{z}_{k}\right\} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, в силу неравенства Шварца,
\[
\frac{1}{2}|\dot{I}| \leqslant \sum_{k=1}^{2} m_{k} r_{k 3} V_{k} .
\]

Но в соответствии с (9) $r_{13} V_{1}$ стремится к нулю, в то время как $r_{23}$ и $V_{2}$ ограничены. Поэтому сходимость интеграла (10) доказана.

Прежде чем более подробно исследовать в двух следующих параграфах природу особенности $q$ и $\dot{q}$ при $t=t_{1}$, сделаем еще одно предварительное замечание, которое будет использовано в дальнейшем. По крайней мере одна из девяти функций $\dot{q}(t)$ при $t \rightarrow t_{1}$ будет неограниченной, а функции $q(t)$, как мы знаем, стремятся к конечным пределам. Уже из этого следует, что ни одна из функций $\dot{q}(t)$ не может иметь полюса при $t=t_{1}$, так как иначе соответствующая $q(t)$ также была бы бесконечной. Предположим сначала без доказательства, что $q(t)$ при $t=t_{1}$ не имеет существенной особенности и самое большее может иметь точку ветвления конечного порядка; проведем тогда следующее рассуждение. Пусть
\[
s=\left(t_{1}-t\right)^{1 / l},
\]

где $l$ — натуральное число, будет локальной регуляризирующей переменной для всех $q(t)$, так что $q(t)$ представится обыкновенным степенным рядом по $s$, сходящимся при достаточно малых абсолютных значениях $s$. Пусть, далее, $s^{\mu}$ будет наименьшей входящей в $q(t)$ положительной степенью $s$; тогда имеем
\[
q(t)=q\left(t_{1}\right)+c_{1} s^{\mu}+\ldots,
\]

причем $c_{1}$ по меньшей мере для одной координаты $q$ отлично от нуля. Из равенства
\[
\dot{q}(t)=-\frac{\mu}{l} c_{1} s^{\mu-l}+\ldots
\]

следует соотношение
\[
V_{1}^{2}=c_{2} s^{2(\mu-l)}+\ldots, \quad c_{2}>0 .
\]

Равенство (11) дает далее
\[
r=c_{3} s^{\mu}+\ldots, \quad c_{3} \geqslant 0 .
\]

Если здесь $c_{3}>0$, то из (9) следует равенство $3 \mu-2 l=0$. Поэтому $\mu / l=2 / 3$, откуда напрашивается догадка, что $l=3$ и что
\[
s=\left(t_{1}-t\right)^{1 / 3}
\]

будет локально регуляризирующей переменной. Мы покажем в § 8, что это действительно имеет место. Впрочем, с помощью равенства (12) можно показать, что $\dot{q}(t)$ как функция $s$ при $t=t_{1}$ либо остается регулярной, либо имеет полюс первого порядка. Если образовать интеграл
\[
\lambda=\int_{t}^{t_{1}} \frac{d t}{t} \quad\left(\tau \leqslant t<t_{1}\right),
\]

существование которого уже доказано, то разложение $\lambda$ в ряд по степеням $s$ при нашем допущении будет иметь следующий вид:
\[
\lambda=\frac{3}{c_{3}} s-\ldots
\]

В этом случае $\lambda$ также можно выбрать в качестве локально регуляризирующей переменной. Такой выбор был уже сделан в классической теории задачи двух тел; в этой теории $\lambda$ является эксцентрической аномалией.

В ближайших параграфах будут даны основы для доказательства наших эвристических результатов. Нельзя найти особую точку $t=t_{1}$, применяя только теорему существования Коши и вводя в уравнения движспия задачи трсх тсл вмссто $t$ повую псзависимую псрсмспую $\lambda$. Это не удастся хотя бы потому, что по крайней мере одно $\dot{q}$ при $s=0$ обязательно имеет особенность. Если высказанные нами ранее предположения верны, то величины, получающиеся из $\dot{x}_{1}, \dot{y}_{1}, \dot{z}_{1}$ и из $\dot{x}_{3}, \dot{y}_{3}$, $\dot{z}_{3}$ преобразованием обратных радиусов, будут при $\lambda=0$ регулярными. Зундману с помощью введения в дифференциальные уравнения таких новых переменных удалось прийти к желаемой цели.

Чтобы сделать необходимые выкладки возможно более простыми и прозрачными, приведем сначала уравнения движения, следуя ЛевиЧивита [4], к канонической форме и определим затем каноническое преобразование, которое выполнит наше требование относительно $\dot{q}$.