Будем исходить опять из канонической системы дифференциальных уравнений
\[
\dot{u}_{k}=H_{v_{k}}, \quad \dot{v}_{k}=-H_{u_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

причем функция Гамильтона $H$ представлена в окрестности точки $u_{k}=0, v_{k}=0(k=1, \ldots, n)$ сходящимся степенным рядом, который начинается с членов второго порядка и не зависит от $t$. Если под $w$ понимать вектор-столбец с $2 n$ составляющими $w_{k}=u_{k}, w_{k+n}=v_{k}$, то разложение $H$ начинается с членов $H=(1 / 2) w^{\prime} \mathfrak{S} w+\ldots$, где $\mathfrak{S}-$ некоторая симметрическая матрица порядка $2 n$. Корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 n}$ соответствующего уравнения $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=0$ можно занумеровать так, чтобы $\lambda_{k+n}=-\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$; мы будем предполагать, что все они различны.

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы с помощью канонического преобразования в виде степенных рядов установить для заданной системы (1) нормальную форму [1]. Для этого переведем сначала, как и в § 13, в нормальную форму линейные члены правых частей уравнений (1), следовательно, квадратичные члены $H$. Новые переменные обозначим через $x_{k}, y_{k}$ и положим $z_{k}=x_{k}, z_{k+n}=y_{k}(k=1, \ldots, n)$; пусть $z$ – вектор-столбец с составляющими $z_{l}(l=1, \ldots, 2 n)$. Подходящей линейной канонической подстановкой $w=\mathfrak{C} z$ системе (1) придадим форму
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-H_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

причем
\[
H=H_{2}+H_{3}+\ldots, \quad H_{2}=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} x_{k} y_{k} ;
\]

здесь $H_{l}(l=2,3, \ldots)$ – однородный многочлен степени $l$ относительно $z_{1}, \ldots, z_{2 n}$. Подвергнем далее систему (2) каноническому преобразованию вида
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{k}=\varphi_{k}(\xi, \eta)=\xi_{k}+\sum_{l=2}^{\infty} \varphi_{k l}, \\
y_{k}=\psi_{k}(\xi, \eta)=\eta_{k}+\sum_{l=2}^{\infty} \psi_{k l} \quad(k=1, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где $\varphi_{k l}, \psi_{k l}$ – однородные многочлены степени $l$ относительно $2 n$ новых переменных $\xi, \eta$. При этом система (2) переходит в новую систему Гамильтона
\[
\dot{\xi}_{k}=H_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-H_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

где
\[
H=\sum_{l=2}^{\infty} H_{l}[\varphi(\xi, \eta), \psi(\xi, \eta)]=H_{2}(\xi, \eta)+\ldots
\]

Наложим еще одно ограничение: будем считать, что линейная зависимость
\[
g_{1} \lambda_{1}+g_{2} \lambda_{2}+\ldots+g_{n} \lambda_{n}=0
\]

с целыми $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}$ существует только в тривиальном случае $g_{1}=g_{2}=\ldots=g_{n}=0$. Теперь нужно показать, что при подходящем выборе $2 n$ формальных степенных рядов $\varphi_{k}, \psi_{k}$ правая часть равенства (5) будет формальным степенным рядом только относительно $n$ произведений $\omega_{k}=\xi_{k} \eta_{k}$.

Для доказательства представим искомое каноническое преобразование (3) с помощью производящей функции $v(x, \eta)$, которая вводится как формальный степенной ряд вида
\[
v(x, \eta)=v_{2}+v_{3}+\ldots, \quad v_{2}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \eta_{k} .
\]

Здесь $v_{l}(l=3,4, \ldots)$ – однородный многочлен степени $l$ относительно $x_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, n)$ с неопределенными коэффициентами. Тогда аналогично преобразованию $(3 ; 4)$ замена
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{k}=v_{\eta_{k}}=x_{k}+\sum_{l=3}^{\infty} v_{l \eta_{k}}, \\
y_{k}=v_{x_{k}}=\eta_{k}+\sum_{l=3}^{\infty} v_{l x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

определяет формальное каноническое преобразование. Если разрешить это преобразование относительно $x_{k}$, то оно приобретет форму (3), а тогда рассуждениями $\S 2$ легко псказать, что это преобразование формально переводит систему (2) в систему (4), независимо от сходимости рядов. Если подставить вместо $x_{k}, y_{k}$ в формулы (6) ряды $\varphi_{k}, \psi_{k}$, определяемые равенствами (3), то из (6) будет следовать, что для $l=2,3, \ldots$ каждый коэффициент многочленов $\varphi_{k l}+v_{l+1, \eta_{k}}(\xi, \eta)$, $\psi_{k l}-v_{l+1, x_{k}}(\xi, \eta)$ является многочленом относительно коэффициентов многочленов $v_{2}, \ldots, v_{l}$ с целыми рациональными коэффициентами. Если теперь
\[
H=\sum_{l=2}^{\infty} K_{l}(\xi, \eta)
\]

будет разложением $H$ по однородным многочленам относительно $\xi_{k}$, $\eta_{k}$, то $K_{2}=H_{2}(\xi, \eta)$ и
\[
K_{l}=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}\left[\xi_{k} v_{l x_{k}}(\xi, \eta)-\eta_{k} v_{l \eta_{k}}(\xi, \eta)\right]+\ldots \quad(l=3,4, \ldots),
\]

где коэффициенты невыписанных членов правой части являются многочленами относительно коэффициентов многочленов $v_{2}, \ldots, v_{l-1}$ и линейными функциями коэффициентов многочленов $H_{3}, \ldots, H_{l}$. Если в $v_{l}(\xi, \eta)$ входит произведение степеней
\[
P=\prod_{k=1}^{n} \xi_{k}^{\alpha_{k}} \eta_{k}^{\beta_{k}}
\]

с коэффициентом $\gamma$, то вследствие соотношения
\[
\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}\left(\xi_{k} P_{\xi_{k}}-\eta_{k} P_{\eta_{k}}\right)=P \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}\left(\alpha_{k}-\beta_{k}\right)
\]

коэффициентом при $P$ в многочлене $K_{l}$ будет
\[
\varkappa=\gamma \lambda+\ldots, \quad \lambda=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}\left(\alpha_{k}-\beta_{k}\right),
\]

причем дальнейшие слагаемые $\varkappa$ являются опять многочленами относительно коэффициентов многочленов $v_{2}, \ldots, v_{l-1}$ и линейными функциями коэффициентов многочленов $H_{3}, \ldots, H_{l}$. По сделанному выше предположению о линейной независимости $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, \lambda$ отлично от нуля, если $\alpha_{k}
eq \beta_{k}$ хотя бы для одного $k=1, \ldots, n$, т. е. если $P$ не является произведением только степеней $\omega_{k}=\xi_{k} \eta_{k}$. Следовательно, в этом случае можно однозначно определить $\gamma$, потребовав $\varkappa=0$. Чтобы зафиксировать $\gamma$ также в остальных случаях $\alpha_{k}=\beta_{k}(k=1, \ldots, n)$, потребуем дополнительно, чтобы в выражение
\[
\Phi=\sum_{k=1}^{n}\left(\xi_{k} y_{k}-\eta_{k} x_{k}\right)
\]

не входили произведения степеней только $\omega_{k}$, если оно представлено рядом по $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, n)$. Часть ряда, состоящая из членов $l$-й степени в $\Phi$, будет следующей:
\[
\sum_{k=1}^{n}\left[\xi_{k} v_{l x_{k}}(\xi, \eta)+\eta_{k} v_{l \eta_{k}}(\xi, \eta)\right]+\ldots=l v_{l}(\xi, \eta)+\ldots \quad(l=3,4, \ldots)
\]

так что фактически остающиеся $\gamma$ теперь также определяются однозначно. Поэтому доказано, что точно для одного степенного ряда $v$ формальное каноническое преобразование, заданное соотношениями (6), переводит функцию Гамильтона $H$ в степенной ряд относительно $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и в то же самое время переводит $\Phi$ в ряд, который не содержит произведений степеней только $\omega_{k}$. Коэффициенты многочлена $v_{l}$ однозначно определяются через коэффициенты многочленов $H_{3}, \ldots, H_{l}$, и, следовательно, то же самое справедливо и для коэффициентов многочленов
\[
\varphi_{k, l-1}, \psi_{k, l-1} \quad(k=1, \ldots, n, l=3,4, \ldots) .
\]

Для рассмотрения условий вещественности примем во внимание, что $H(z)=H\left(\mathfrak{C}^{-1} w\right)$ является действительным степенным рядом относительно $w_{1}, \ldots, w_{2 n}$. Далее, матрицы $\mathfrak{C}, \overline{\mathfrak{C}}$ и $\mathfrak{T}=\mathfrak{C}^{-1} \overline{\mathfrak{C}}$ являются симплектическими. Каноническое преобразование (3) можно сокращенно записать в виде $z=\varphi(\zeta)$, где $\zeta$ – вектор-столбец с $2 n$ составляющими $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, n)$. Тогда
\[
H(z)=H\left(\mathfrak{C}^{-1} w\right)=\bar{H}\left(\overline{\mathfrak{C}}^{-1} w\right)=\bar{H}\left(\mathfrak{T}^{-1} z\right) .
\]

Далее, $H(\varphi(\zeta))$ является степенным рядом относительно $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, и ряд $\Phi(\zeta)=\zeta^{\prime} \mathfrak{J} z=\zeta^{\prime} \mathfrak{J} \varphi(\zeta)$ не содержит произведений степеней $\omega_{k}$. В соответствии с преобразованием $(14 ; 5)$ линейная подстановка $z=$ $=\mathfrak{J} z^{*}$ дает явно $z_{k}^{*}=\rho_{k} z_{l}\left(l=l_{k} ; k=1, \ldots, 2 n\right)$, где $\rho_{k}=-i$ для чисто мнимых $\lambda_{k}$ и $\rho_{k}=1$ в остальных случаях. Отсюда или также вследствие уравнений $(13 ; 22)$ и $\left(13 ; 23\right.$ ) (без предыдущей нормировки $\rho_{k}$ ) получаем $\omega_{k}^{*}=\xi_{k}^{*} \eta_{k}^{*}=-\omega_{k}$ для чисто мнимых $\lambda_{k}$ и $\omega_{k}^{*}=\omega_{l}$ в противном случае. Поэтому $\bar{H}\left[\bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)\right]=H\left[\mathfrak{T} \bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)\right]$ также будет степенным рядом относительно $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, в то время как
\[
\bar{\Phi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)=\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)^{\prime} \mathfrak{J} \bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)=\zeta^{\prime} \mathfrak{J} \mathfrak{T} \bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)
\]

не содержит произведений степеней только $\omega_{k}$. Так как подстановка $z=$ $=\mathfrak{T} \bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)$ также каноническая и имеет форму (3), то из доказанной выше теоремы о единственности следует, что она совпадает с $z=\varphi(\zeta)$. Следовательно,
\[
\varphi(\zeta)=\mathfrak{T} \bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right), \bar{H}\left[\bar{\varphi}\left(\mathfrak{T}^{-1} \zeta\right)\right]=H[\varphi(\zeta)] .
\]

Пусть теперь подстановка $z=\varphi(\zeta)$ будет сходящейся в окрестности $\zeta=0$. Чтобы $w$ было действительным, должно быть $\mathfrak{C} z=w=\bar{w}=\overline{\mathfrak{C}} \bar{z}$, следовательно, $z=\mathfrak{T} \bar{z}$, что в соответствии с первым уравнением (7) равносильно условию $\zeta=\mathfrak{T} \bar{\zeta}$. Последнее означает, что $\eta_{k}=i \bar{\xi}_{k}$ для чисто мнимых $\lambda_{k}$, а в противном случае $\xi_{l}=\bar{\xi}_{k}, \eta_{l}=\bar{\eta}_{k}\left(l=l_{k} ; k=\right.$ $=1, \ldots, n)$. Но тогда $\omega_{k}$ будет чисто мнимым для чисто мнимого $\lambda_{k}$ и $\omega_{l}=\bar{\omega}_{k}$ в противном случае. Так как $H$ является степенным рядом относительно $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, то система Гамильтона (4) переходит в систему
\[
\dot{\xi}_{k}=H_{\omega_{k}} \xi_{k}, \quad \dot{\eta}_{k}=-H_{\omega_{k}} \eta_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

откуда получаем
\[
\dot{\omega}_{k}=\dot{\xi}_{k} \eta_{k}+\xi_{k} \dot{\eta}_{k}=0 .
\]

Следовательно, $\omega_{k}$ являются интегралами. Тогда производные $H_{\omega_{k}}$ также не зависят от $t$, и (8) можно непосредственно проинтегрировать
\[
\xi_{k}=\alpha_{k} e^{H_{\omega_{k}} t}, \quad \eta_{k}=\beta_{k} e^{-H_{\omega_{k}} t} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

с постоянными $\alpha_{k}, \beta_{k}$ и $\omega_{k}=\alpha_{k} \beta_{k}$. Так как $\alpha_{k}, \beta_{k}$ являются начальпыми зпачспиями $\xi_{k}, \eta_{k}$ при $t=0$, то условия всщсствспности для чисто мнимых $\lambda_{k}$ дают $\beta_{k}=i \bar{\alpha}_{k}$, или иначе $\alpha_{l}=\bar{\alpha}_{k}, \beta_{l}=\bar{\beta}_{k}\left(l=l_{k}\right)$; аналогично $\omega_{k}$ будут тогда чисто мнимыми и соответственно $\omega_{l}=\bar{\omega}_{k}$. В силу второго уравнения (7) $H_{\omega_{k}}$ также будут чисто мнимыми и соответственно $H_{\omega_{l}}=\bar{H}_{\omega_{k}}$, так что решение (9) в самом деле удовлетворяет условиям вещественности для произвольного действительного $t$.

Таким образом, в случае сходимости ряда для подстановки, преобразующей систему (1) в нормальную форму (4), интегрирование данной выше системы в окрестности решения $w=0$, соответствующего положению равновесия, осуществляется полностью. Так как ряд $H_{\omega_{k}}$ начинается с $\lambda_{k}$, то, в частности, для нашего случая еще раз получается формулировка теоремы Ляпунова. Но отсюда можно, наоборот, исследовать устойчивость равновесного решения, если все собственные значения $\lambda_{k}$ будут чисто мнимыми, и получить подстановкой показательных функций (9) в $w=\mathfrak{C} \varphi(\zeta)$ представление общего решения $u_{k}$, $v_{k}$ системы (1) через тригонометрические ряды [2-5].

Можно высказать предположение, что упомянутый в §5 неизвестный метод Дирихле, может быть, был связан с только что высказанным утверждением. Но, к сожалению, этот метод не дает того, что от него сначала можно было ожидать. Прежде всего можно дать пример, подобный примеру $\S 23$ в теоретико-функциональной проблеме центра, в котором, хотя функция Гамильтона $H$ и представлена сходящимся рядом по $u_{k}, v_{k}$, но ряд для $v(x, \eta)$ не сходится ни в какой окрестности $x=0, \eta=0$. Для этого достаточно положить $n=2$ и $\lambda_{1}=i, \lambda_{2}=$ $=i \rho$, где $\rho-$ действительное иррациональное число, которое можно достаточно хорошо аппроксимировать рациональными числами, тогда соответствующим выбором $H$ можно достичь желаемого результата. Мы построим в данном параграфе такой пример. Можно думать также, что расходимость рядов, с помощью которых система Гамильтона преобразуется в нормальную форму, представляет исключение, подобно тому, как это было в § 24 для рядов Шрёдера, или, как это следует из замечания в конце $\$ 26$, для общих систем $(25 ; 1)$. Однако недавно было показано [6], что уже для $n=2$ сходимость рядов для подстановок, переводящих системы Гамильтона в нормальную форму, может иметь место только тогда, когда для коэффициентов $H$ выполнено бесконечное число независимых условий, выраженных аналитическими уравнениями. Поэтому в общем случае имеет место расходимость, а тогда, в частности, оказывается несостоятельным данное в предыдущем абзаце доказательство устойчивости. С другой стороны, общеизвестно, что существуют системы Гамильтона, которые можно перевести в нормальную форму сходящимися рядами; нужно только взять $H$ в виде сходящегося степенного ряда относительно $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и произвести затем какое-нибудь каноническое преобразование, выраженное сходящимися степенными рядами.

Хотя, вообще говоря, ряды для преобразования в нормальную форму расходятся, их все же можно применять для исследования решений системы Гамильтона (1) вблизи равновесного решения. Если положить $\sigma=\mathfrak{C} \zeta$, то в соответствии с первым уравнением (7) каноническое преобразование $w=\mathfrak{C} \varphi\left(\mathfrak{C}^{-1} \sigma\right)=\sigma+\ldots$ будет иметь только действительные коэффициенты. Это преобразование задается в силу уравнений $(3 ; 4)$ производящим степенным рядом $v$. Если этот степенной ряд $v$ оборвать на членах со степенью $l>1$, то получим действительное аналитическое каноническое преобразование $w=g(\sigma)=\sigma+\ldots$, которое совпадает с предыдущим до членов степени $l$. Это преобразование, следовательно, переводит заданную функцию Гамильтона $H$ в сходящийся степенной ряд с действительными коэффициентами, члены которого совпадают с членами формального ряда $H\left[\varphi\left(\mathfrak{C}^{-1} \sigma\right)\right]$ по меньшей мере до степени $l$
включительно. Отбросим теперь в ряде $H\left[\mathfrak{C}^{-1} g(\sigma)\right]$ все члены выше $l$-го порядка и сделаем обратную к $w=g(\sigma)$ подстановку, что может дать сходящийся ряд с действительными коэффициентами $H^{*}$. Тогда у системы Гамильтона
\[
\dot{u}_{k}=H_{v_{k}}^{*}, \quad \dot{v}_{k}=-H_{u_{k}}^{*} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

имеется то свойство, что разложения правых частей систем (10) и (1) будут совпадать до членов $l$-го порядка, и, кроме того, систему (10) по построению можно аналитическим каноническим преобразованием $w=$ $=g(\mathfrak{C} \zeta)$ перевести в нормальную форму. Поэтому систему (10) можно в окрестности равновесного решения $w=0$ полностью проинтегрировать в соответствии с формулами (9). Привлекая обычные оценки из теории дифференциальных уравнений, мы можем использовать этот факт для аппроксимирования решений данной системы (1). Из упомянутого сообщения Дирихле Кронекеру нельзя установить, имеется ли здесь связь с его методом, который, по-видимому, определяет последовательные приближения к решениям дифференциальных уравнений механики.

С помощью сходящегося канонического преобразования $w=g(\mathfrak{C} \zeta)$ заданная функция Гамильтона $H$ превращается в степенной ряд $H=$ $=F+G$ по $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{2 n}$, причем $G$ начинается с членов степени $l+1$, a $F$ является многочленом степени $l$, который зависит только от произведений $\xi_{k} \eta_{k}=\omega_{k}(k=1, \ldots, n)$. Пусть все собственные значения $\lambda_{k}$ чисто мнимые. Тогда для действительных решений $i^{-1} \xi_{k} \eta_{k}=\xi_{k} \bar{\xi}_{k} \geqslant 0$ $(k=1, \ldots, n)$. Полагая
\[
\left(\sum_{k=1}^{n}\left|\xi_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2}=q \geqslant 0,
\]

в силу соотношений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\xi}_{k}=H_{\eta_{k}}=F_{\omega_{k}} \xi_{k}+G_{\eta_{k}}, \\
\dot{\eta}_{k}=-H_{\xi_{k}}=-F_{\omega_{k}} \eta_{k}-G_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

получим дифференциальное уравнение
\[
2 i q \dot{q}=\sum_{k=1}^{n}\left(\eta_{k} G_{\eta_{k}}-\xi_{k} G_{\xi_{k}}\right) .
\]

Если теперь $\delta=\delta_{l}$ достаточно малое положительное число, которое зависит от $l$, то имеет место оценка
\[
|\dot{q}|<A_{l} q^{l} \quad(0<q<\delta),
\]

причем $A_{l}$ и введенные далее $B_{l}, C_{l}$ и $D_{l}$ являются положительными постоянными, зависящими от $l$. Отсюда интегрированием получаем
\[
\left|q^{1-l}-q_{0}^{1-l}\right| \leqslant(l-1) A_{l}|t| \quad(-T<t<T),
\]

если в интервале $-T<t<T$ функция $q=q(t)$ остается все время меньше $\delta$ и $q_{0}=q(0)>0$ – начальное значение. Пусть теперь, кроме того,
\[
q_{0}<\frac{1}{2} \delta, \quad(l-1) A_{l} q_{0}^{l-1} T<\frac{1}{2} .
\]

Тогда из неравенства (12), используя непрерывность $q(t)$, получим
\[
\frac{2}{3} q_{0}<q<2 q_{0}<\delta, \quad\left|q-q_{0}\right| \leqslant(2 l-2) A_{l} q_{0}^{l}|t| \quad(|t|<T) .
\]

Затем в силу
\[
\left(\xi_{k} \eta_{k}\right)^{\cdot}=\eta_{k} G_{\eta_{k}}-\xi_{k} G_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

имеем
\[
\left|\xi_{k} \eta_{k}-\left(\xi_{k} \eta_{k}\right)_{0}\right| \leqslant B_{l} q_{0}^{l+1}|t| \quad(|t|<T) .
\]

Наконец, интегрирование уравнений (11) дает
\[
\left|\xi_{k}-\left(\xi_{k}\right)_{0} e^{\left(F_{\omega_{k}}\right)_{0} t}\right| \leqslant C_{l}\left(q_{0}^{l}|t|+q_{0}^{l+2} t^{2}\right) \quad(|t|<T),
\]

что в силу неравенств (13) может быть при $l>2$ сведено к неравенству
\[
\left|\xi_{k}-\left(\xi_{k}\right)_{0} e^{\left(F_{\omega_{k}}\right)_{0} t}\right| \leqslant D_{l} q_{0}^{l}|t| \quad\left(q_{0}<\frac{\delta}{2} ;|t|<\frac{q_{0}^{1-l}}{(2 l-2) A_{l}}\right) .
\]

Неравенство (14) дает оценку точности приближения к решениям заданной системы Гамильтона, выраженным тригонометрическими рядами [7]. Ввиду наличия постоянных $D_{l}$ и $A_{l}$, которые могут очень сильно расти вместе с $l$, эти приближения при постоянном $q_{0}$ при $l \rightarrow \infty$ имеют, вообще говоря, только характер полусходимости, как это имеет место, например, для известного ряда Стирлинга. В частности, было показано, что
\[
\frac{2}{3} q_{0}<q<2 q_{0} \quad\left(|t|<\frac{q_{0}^{1-l}}{(2 l-2) A_{l}}\right) ;
\]

это является лишь слабым результатом в нерешенной задаче устойчивости. Если перейти к первоначальным координатам $u_{k}, v_{k}$ и положить
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(u_{k}^{2}+v_{k}^{2}\right)=\rho^{2}, \quad \rho \geqslant 0
\]

то получится следующий результат:
Если для момента времени $t=0$ расстояние от начала координат $\rho=\rho_{0}$ меньше $\varepsilon_{l}$, то $\rho \leqslant 2 \rho_{0}$ по крайней мере для интервала времени длины $\delta_{l} \rho_{0}^{1-l}$; при этом $\varepsilon_{l}$ и $\delta_{l}(l=3,4, \ldots)$ являются положительными числами, зависящими от $l$. Чтобы получить наиболее благоприятную оценку, нужно при заданном $\rho_{0}$ получить наименьшую верхнюю грань величин $\delta \rho_{0}^{1-l}$ для значений $l$ с $\varepsilon_{l}>\rho_{0}$.

Если преобразование системы Гамильтона (2) в нормальную форму (4) производится сходящимся стспспиым рядом, то
\[
\omega_{k}=\xi_{k} \eta_{k}=x_{k} y_{k}+\ldots \quad(k=1, \ldots, n)
\]

будут $n$ независимыми интегралами системы (2), сходящимися в некоторой окрестности начала координат. Обобщая это определение, мы будем называть формальный степенной ряд $g(x, y)$, который формально удовлетворяет справедливому для интегралов уравнению
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(g_{x_{k}} H_{y_{k}}-g_{y_{k}} H_{x_{k}}\right)=0
\]

также интегралом системы (2). Таким образом, в этом смысле система Гамильтона (2) всегда обладает при сделанных выше предположениях о линейной независимости $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ теми же $n$ интегралами $\omega_{k}$ $(k=1, \ldots, n)$. Покажем теперь, что каждый интеграл $g(x, y)$ можно записать в виде формального ряда по $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$. Действительно, так как разложение разности $\omega_{k}-x_{k} y_{k}$ по степеням $x_{1}, \ldots, y_{n}$ начинается с кубических членов, то рекуррентным процессом можно построить такой степенной ряд $P(\omega)$ по $\omega_{k}$, что степенной ряд $h(x, y)=g(x, y)-$ $-P(\omega)$ относительно переменных $x_{1}, \ldots, y_{n}$ не содержит членов вида
\[
c\left(x_{1} y_{1}\right)^{\alpha_{1}} \ldots\left(x_{n} y_{n}\right)^{\alpha_{n}} .
\]

Так как $h(x, y)$ также является интегралом, то удовлетворяется формальное уравнение
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(h_{x_{k}} H_{y_{k}}-h_{y_{k}} H_{x_{k}}\right)=0 .
\]

Если бы степенной ряд $h(x, y)$ не обращался тождественно в нуль, то он содержал бы член наименьшей степени вида $c x_{1}^{\alpha_{1}} y_{1}^{\beta_{1}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}} y_{n}^{\beta_{n}}$, где $c
eq 0$. Из уравнения (17) путем сравнения коэффициентов получим
\[
c \sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k}-\beta_{k}\right) \lambda_{k}=0,
\]

следовательно, $\alpha_{k}=\beta_{k}(k=1, \ldots, n)$. Но это невозможно, так как $h(x, y)$ не содержит по построению членов этого вида. Следовательно, $h(x, y)=0, g(x, y)=P(\omega)$, и утверждение доказано.

Дадим теперь пример такого сходящегося степенного ряда для $H$, чтобы интеграл $\omega_{1}=x_{1} y_{1}+\ldots$ расходился; в частности, тогда получится, что систему Гамильтона, образованную с этой функцией $H$, нельзя перевести сходящимся каноническим преобразованием в нормальную форму. Для этого положим $n=2, \lambda_{1}=i, \lambda_{2}=i \rho$ с действительным иррациональным числом $\rho$, так что условие линейной независимости $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ выполнено. Положим затем
\[
H=i\left(x_{1} y_{1}+\rho x_{2} y_{2}\right)+\sum_{p . q} a_{p q}\left(x_{1}^{p} y_{2}^{q}+x_{2}^{q} y_{1}^{p}\right),
\]

где $a_{p q}$ могут принимать только значения $0, \pm 1$. В частности, пусть $a_{p q}=0$, если не оба $p$ и $q$ делятся на 4 . Тогда в силу вещественности $y_{k}=i \bar{x}_{k}(k=1,2)$ и $H$ также действительно. В качестве $\rho$ выберем иррациональное число интервала $0<\rho<1$, которое можно достаточно хорошо аппроксимировать рациональными числами; именно, неравенство
\[
0<\left\lvert\, p-\rho q<\frac{1}{q !}\right.
\]

должно иметь бесконечно много решений в натуральных числах $p, q$, делящихся на 4. Легко видеть, что число $\alpha$, построенное в § 23, имеет это свойство. Тогда для интеграла
\[
\omega_{1}=g(x, y)=x_{1} y_{1}+\sum_{l=3}^{\infty} g_{l}(x, y)
\]

выполняется уравнение (16), и из сравнения коэффициентов при членах $l$-го порядка следует соотношение для составной части $g_{l}$ функции $g(x, y)$
\[
x_{1} g_{l x_{1}}-y_{1} g_{l y_{1}}+\rho\left(x_{2} g_{l x_{2}}-y_{2} g_{l y_{2}}\right)+i \sum_{p+q=l} p a_{p q}\left(x_{1}^{p} y_{2}^{q}-x_{2}^{q} y_{1}^{p}\right)=\ldots,
\]

где правая часть будет некоторым однородным многочленом $l$-й степени относительно $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$, коэффициенты которого выражаются только через коэффициенты многочленов $g_{3}, \ldots, g_{l-1}$ и через $a_{p q}$ при $p+q<l$. Для слагаемых $c_{p q} x_{1}^{p} y_{2}^{q}$ функции $g_{l}$ отсюда следует
\[
(p-\rho q) c_{p q}+i p a_{p q}=\gamma_{p q},
\]

причем $\gamma_{p q}$ выражаются через коэффициенты многочленов $g_{3}, \ldots, g_{l-1}$ и через $a_{r s}$ при $r+s<l$. Выше уже отмечалось, что коэффициенты членов менее чем $l$-го порядка в канонической подстановке (3) определяются однозначно через коэффициенты членов $H$ до $l$-го порядка включительно. Следовательно, $g_{3}, \ldots, g_{l-1}$ также определены в зависимости от $a_{r s}$ при $r+s<l$, и это же тогда имеет место и для $\gamma_{p q}$. Пусть теперь $p, q$ будут положительными решениями неравенства (19), делящимися на 4 ; выберем $a_{p q}= \pm 1$ так, чтобы $\left|p a_{p q}+i \gamma_{p q}\right| \geqslant p \geqslant 1$; это можно сделать с помощью неравенства треугольника. Тогда в силу соотношений (19) и (20)
\[
\left|c_{p q}\right| \geqslant q !,
\]

и притом это соотношение выполняется для бесконечно многих $q$. Для всех других пар $p, q$ положим $a_{p q}=0$. Вследствие неравенств (19) и (21) ряд $g(x, y)$ не может сходиться ни в какой окрестности начала координат.

Следовательно, в этом примере преобразование в нормальную форму представляется расходящимся рядом. Но, с другой стороны, квадратичный член
\[
i\left(x_{1} y_{1}+\rho x_{2} y_{2}\right)=-\left(x_{1} \bar{x}_{1}+\rho x_{2} \bar{x}_{2}\right)
\]

функции $H$ является определенно отрицательным, поэтому по теореме Дирихле решение $x_{1}=x_{2}=y_{1}=y_{2}=0$ будет устойчивым. Этот результат замечателен тем, что в теоретико-функциональной проблеме центра в случае устойчивости преобразование в нормальную форму всегда задается сходящимся рядом. Для задачи об устойчивости системы Гамильтона аналогичной теоремы не имеется.

Подобным же образом, как и в только что приведенном примеpe, можно также показать [8], что существует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона $H$, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов $g(x, y)$, кроме самой $H$ и сходящихся степенных рядов относительно $H$. В случае $n=2$ для построения такой функции $H$ можно исходить опять из формул (18) и (19), но при этом $1 / q$ ! нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от $q$. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью $i\left(x_{1} y_{1}+\rho x_{2} y_{2}\right)$ произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т.е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона $H(z, \mu)$, которые, кроме $z_{1}, \ldots, z_{2 n}$, зависят еще от параметра $\mu$, причем аналитически около точки $\mu=0$. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно $H(z, 0)$ и производной $H_{\mu}(z, 0)$, которые в общем случае выполнены, не существует других сходящихся степенных рядов по $2 n+1$ переменным $z_{1}, \ldots, z_{2 n}$ и $\mu$, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции $H(z, \mu)$, кроме степенных рядов по самим $H$ и $\mu$. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра $\mu$. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует $n$ независимых сходящихся интегралов; здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней $\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$, для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет $n$-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было в теоретико-функциональной проблеме центра. Но это не так. Именно, более глубокими исследованиями можно показать, что при произвольном $l$ из каждой функции Гамильтона, которая не сводится к ряду только по $H_{2}(\zeta)$, произвольно малым изменением коэффициентов при членах порядка выше $l$-го можно сделать такую, для которой соответствующая каноническая система не имеет преобразования в нормальную форму, представленного сходящимися степенными рядами. Это утверждение, очевидно, не зависит от собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$.

Резюмируем главные результаты по устойчивости систем Гамильтона, причем будем считать $n$ собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ различными и отличными от нуля. Если нет ни одного чисто мнимого собственного значения, то по теореме Ляпунова заведомо будет иметь место неустойчивость. Пусть теперь по крайней мере одно собственное значение чисто мнимое и пусть именно $\lambda_{1}$ и будет этим собственным значением, и притом наибольшим по абсолютной величине. Тогда ни одно из $n-1$ чисел $\frac{\lambda_{k}}{\lambda_{1}}(k=2, \ldots, n)$ не будет целым, и теорема существования $\S 14$ дает однопарамегрическое семейство периодических решений в окрестности равновесного решения. Отсюда следует, что положение равновесия не будет неустойчивым. С другой стороны, для устойчивости по теореме Ляпунова необходимо, чтобы все собственные значения были чисто мнимыми. Поэтому здесь будет смешанный случай, когда существуют собственные значения как чисто мнимые, так и не чисто мнимые. Наконец, остается случай, когда все собственные значения являются чисто мнимыми. Если имеется интеграл, который на равновесном решении имеет экстремум в строгом смысле, то по теореме Дирихле будет устойчивость; в частности, это имеет место, если квадратичная часть функции Гамильтона знакоопределенна. Если собственные значения $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$, кроме того, еще линейно независимы, то устойчивость будет иметь место только тогда, когда преобразование в нормальную форму задается сходящимся степенным рядом. Но в этом случае заведомо существует интеграл, который имеет в начале координат минимум, как, например,
\[
-i\left(\omega_{1}+\ldots+\omega_{n}\right)=\xi_{1} \bar{\xi}_{1}+\ldots+\xi_{n} \bar{\xi}_{n} \quad\left(\eta_{k}=i \bar{\xi}_{k}\right) .
\]

При этом все же неизвестно никакого конечного процесса, который позволил бы установить, является ли преобразование к нормальной форме сходящимся или расходящимся. Если каноническое преобразование расходится, и, кроме того, функция Гамильтона не является знакоопределенной, то рассмотренными методами нельзя установить, имеет ли место устойчивость или смешанный случай. Правда, пока неизвестно еще ни одного примера с линейно независимыми чисто мнимыми собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$, в котором фактически имел бы место смешанный случай. Следовательно, можно думать, что такой случай вообще не может встретиться.

Применим эти довольно скромные результаты к плоской задаче трех тел. В качестве исходных выберем решения Лагранжа, которые, согласно $\S 16$, во вращающейся системе координат являются равновесными решениями. Возьмем в качестве системы Гамильтона шесть дифференциальных уравнений $(16 ; 27)$, которые представляют собой результат исключения из уравнений движения интегралов центра инерции и интегралов площадей. Тогда если в случае равностороннего треугольника
\[
27\left(m_{1} m_{2}+m_{2} m_{3}+m_{3} m_{1}\right)<\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)^{2},
\]

то все собственные значения будут чисто мнимыми, а функция Гамильтона не будет знакоопределенной. В этом случае нет метода, который позволил бы установить устойчивость, хотя, во всяком случае, здесь нет неустойчивости. Если, напротив,
\[
27\left(m_{1} m_{2}+m_{2} m_{3}+m_{3} m_{1}\right)>\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)^{2},
\]

то не все собственные значения будут чисто мнимыми, и, следовательно, не будет устойчивости. Для прямолинейных решений всегда имеется действительное собственное значение, следовательно, здесь также не будет устойчивости. Да и фактически в солнечной системе существуют малые планеты, которые образуют с Солнцем и Юпитером примерно равносторонний треугольник ${ }^{1}$, и для этих планет выполняются условия (22), но нет малых планет, движение которых хотя бы приблизительно соответствовало прямолинейным решениям.