Главная > Лекции по небесной механике (К. ЗИГЕЛЬ, Ю. МОЗЕР)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Как мы указывали уже в §1, тєорема о существовании инвариантных кривых может быть применена к проблеме устойчивости эллиптической неподвижной точки, к которой мы теперь возвращаемся. Рассмотрим сохраняющее площадь отображение окрестности неподвижной точки общего эллиптического типа, которое в подходящих координатах может быть выражено в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{1}=u \cos w-v \sin w+O_{2 l+2}, \\
v_{1}=u \sin w+v \cos w+O_{2 l+2},
\end{array}\right.
\]

где
\[
w=\gamma_{0}+\gamma_{l}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{l}, \quad \gamma_{l}>0 \quad(l>0)
\]

и $O_{2 l+2}$ – степенные ряды по $u, v$, содержащие только члены порядка $\geqslant 2 l+2$. Мы покажем, что для любого достаточно малого в $\varepsilon>0$ проколотый диск
\[
0<u^{2}+v^{2}<\varepsilon^{2}
\]

содержит инвариантную кривую, окружающую неподвижную точку $u=v=0$. Для этой цели введем полярные координаты $x, y$ с помощью равенств
\[
u=\varepsilon y^{1 /(2 l)} \cos x, \quad v=\varepsilon y^{1 /(2 l)} \sin x .
\]

Легко проверить, что отображение в этих координатах принимает формy
\[
x_{1}=x+\gamma_{0}+\gamma_{l} \varepsilon^{2 l} y+O\left(\varepsilon^{2 l+1}\right), \quad y_{1}=y+O\left(\varepsilon^{2 l+1}\right) .
\]

Остаточные члены являются здесь вещественно-аналитическими функциями от $x, y$ при $0<y<1$, имеющими период $2 \pi$ по $x$. Ограничивая $y$
${ }^{1}$ Необходимое число производных постепенно понижалось от 333 (как у Мозера в [1]) до 5 (H. Rüssmann, Über invariante Kurven differenziertbaren Abbildungen eines Kreisringes (Kleine Nenner I), Nachr. Akad. Wiss., Göttingen, Math.-Phys, Kl., IIa (1970), №5, 67-105). – Прим. ред.

на замкнутый интервал, принадлежащий отрезку $[0,1]$, мы можем теперь применить теорему $\S 1$, полагая $\gamma=\gamma_{l} \varepsilon^{2 l}$ и заменяя $y$ на $y+\gamma_{0} \gamma^{-1}$.

Соответствующие остаточные члены оцениваются следующим образом:
\[
\frac{|f|+|g|}{\gamma}=\frac{O\left(\varepsilon^{2 l+1}\right)}{\gamma_{l} \varepsilon^{2 l}}=O(\varepsilon),
\]

и могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет выбора $\varepsilon$ даже в том случае, когда они рассматриваются в подходящей комплексной области, содержащей указанное вещєственное кольцо. Наконец, свойство пересечения следует из сохранения площади рассматриваемым отображением; действительно, если бы замкнутая кривая $y=\psi(x)$ при вещественных $x, y$ не пересекала бы кривую, являющуюся ее образом, то две области, ограниченные этими кривыми, имели бы разные площади. Таким образом, из теоремы существования мы заключаем, что для каждого достаточно малого $\varepsilon>0$ проколотый диск $0<u^{2}+v^{2}<\varepsilon^{2}$ содержит инвариантную кривую $\Gamma$, окружающую неподвижную точку $u=v=0$, и это в свою очередь доказывает устойчивость отображения (1) в этой точке.

Приведенные выше аргументы доказывают существование последовательности инвариантных кривых, сходящихся к неподвижной точке. Нетрудно показать, что в окрестности неподвижной точки существует несчетное множество таких кривых. В самом деле, изложенная в предыдущих двух параграфах конструкция позволяет получить инвариантную кривую для каждого $\omega$, удовлетворяющего неравенствам $(2 ; 10)$. В то же время по каждой такой кривой число $\omega$ однозначно определяется равенством
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{x_{k}}{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\xi+k \omega+u(\xi+k \omega)}{k}=\omega .
\]

Здесь $x_{k}$ – угловая координата $k$-й итерации $M^{k} P$ произвольной точки $P$ на кривой, а $u(\xi)$ – та же функция, что и в $(1 ; 5)$. Кроме того, никакие две из этих кривых не могут пересекаться, так как в противном случае итерации $M^{k} P$ точки $P$, принадлежащей их пересечению, должны были бы лежать всюду плотно на обеих кривых, а потому кривые должны были бы совпасть. Таким образом, кривые, соответствующие различным значениям $\omega$, различны, и так как множество допустимых значений для $\omega$ есть канторово множество положительной меры, то множество инвариантных кривых, конечно, несчетно. В действительности можно показать, что на плоскости эти кривые образуют множество положительной меры, дополнение которого в круге $u^{2}+$ $+v^{2}<r^{2}$ имеет меру $o\left(\pi r^{2}\right)$. Следовательно, мы можем сказать, что большинство точек вблизи неподвижной точки принадлежит множеству инвариантных кривых.

Для того чтобы отчетливо представить ситуацию геометрически, рассмотрим отображение (1) без добавочного члена $O_{2 l+2}$. Оно оставляет инвариантной каждую из концентрических окружностей $u^{2}+v^{2}=$ $=$ const, и если мы оставим только те окружности, для которых $w=$ $=\gamma_{0}+\gamma_{l}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{l}$ удовлетворяет условиям
\[
\left|\frac{w}{2 \pi} q-p\right| \geqslant \gamma_{l}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{l} c_{0} q^{-\mu}
\]

при всех целых $p, q$ с $q \geqslant 1$, то получим канторово множество $\mathfrak{B}$ кривых, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с нашим множеством инвариантных кривых полного отображения (1). Другими словами, если мы умножим добавочные члены в (1) на малый параметр $\tau$, то кривые, принадлежащие канторову множеству $\mathfrak{B}$, сохраняются, по крайней мере при малых $\tau$, оставаясь инвариантными кривыми с тем же самым числом вращения. В областях, дополнительных к нашему канторову множеству инвариантных кривых, поведение, однако, совсем другое, и инвариантные кривые здесь разрушаются при малых возмущениях системы, соответствующей $\tau=0$. В самом деле, мы увидим далее, что при возмущении системы эти области не могут, вообще говоря, быть заполненными однопараметрическими семействами инвариантных кривых.

Чтобы понять, что происходит в этом дополнительном множестве, рассмотрим кривые, для которых $w / 2 \pi$ рационально, например равно $p / q$. При $\tau=0$ эти кривые состоят из неподвижных точек $q$-й итерации нашего отображения. При малом возмущении, однако, от этой кривой из неподвижных точек, вообе говоря, сохраняется лишь конечное множество неподвижных точек, и мы можем сказать, что эти кривые разрушаются при возмущении. Ниже мы проиллюстрируем эту ситуацию примером. Некоторые из этих неподвижных точек, существование которых следует из теоремы Биркгофа, будут общего эллиптического типа; в этом случае они в свою очередь обладают окрестностями, значительная часть которых покрыта инвариантными кривыми, которые
окружают различные неподвижные точки. Это приводит к иерархии неподвижных точек и инвариантных кривых. Таким образом, геометрия расположения инвариантных кривых вблизи эллиптической неподвижной точки имеет запутанный характер.

Области, дополнительные к канторову множеству, вообе говоря, содержат также гиперболические неподвижные точки, которые еще больше усложняют глобальную картину. Возможно, что эти так называемые области неустойчивости содержат открытые множества, в которых итерации отдельной точки плотны. Впрочем, о поведении отображения в этих областях мало что известно.

Может показаться удивительным, что инвариантные кривые могут быть получены с помощью сходящегося итерационного процесса, в то время как преобразование к нормальной форме, вообще говоря, расходится, особенно если учесть, что конструкция инвариантных кривых также основана на технике преобразований. Ответ на этот кажущийся парадокс прост и состоит в том, что при изучении нормальной формы мы строили разложения в ряды около фиксированной неподвижной точки и интересовались сходимостью в некоторой окрестности этой точки, в то время как построение инвариантной кривой связано с разложением вблизи соответствующей невозмущенной кривой.

Мы теперь дадим простой пример, который иллюстрирует некоторые из предыдущих выводов и в котором преобразование к нормальной форме действительно расходится, в то время как инвариантные кривые существуют. В качестве $M$ возьмем простое полиномиальное отображение
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\left(x+y^{3}\right) \cos \alpha-y \sin \alpha, \\
y_{1}=\left(x+y^{3}\right) \sin \alpha+y \cos \alpha,
\end{array}
\]

которое, как легко видеть, при $\sin 2 \alpha
eq 0$ преобразуется к виду (1) с $l=1, \gamma_{0}=\alpha, \gamma_{1}=-\frac{3}{8}$. Таким образом, согласно нашему предыдущему результату существует бесконечно много инвариантных кривых, окружающих начало координат, которое является поэтому устойчивой неподвижной точкой отображения. С другой стороны, как будет сейчас показано, при $\alpha$, несоизмеримом с $2 \pi$, преобразование к нормальной форме расходится. Если предположить, что это преобразование сходится, то существует окрестность начала координат, покрытая однопараметрическим семейством инвариантных кривых, которые являются образами концентрических окружностей $\xi^{2}+\eta^{2}=$ const. Далее, если $P_{k}$ – неподвижная точка итерации $M^{k}$ при некотором $k \geqslant 1$, то, как ясно из природы нормальной формы, вся кривая, проходящая через $P_{k}$, состоит из неподвижных точек преобразования $M^{k}$, и так как угол вращения $\gamma_{0}+\gamma_{1}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)+\ldots$ не постоянен, то такие неподвижные точки существуют в любой окрестности начала. Таким образом, если бы преобразование к нормальной форме сходилось, то существовало бы бесконечно много $k$, для которых $M^{k}$ имеет континуум неподвижных точек, и можно было бы выбрать такое $k$ четным. Мы покажем, однако, что число неподвижных точек $M^{k}$ конечно, в действительности не больше $3^{k}$, и это противоречие докажет наше утверждение.

Заметим, что обратное отображение $M^{-1}$ снова полиномиально факт, который верен для любого сохраняющего площадь отображения. При любом целом $k$ обозначим через $\left(x_{k}, y_{k}\right.$ ) образ точки $(x, y)$ при отображении $M^{k}$, так что неподвижная точка преобразования $M^{k}$ удовлетворяет уравнениям $x_{k}=x, y_{k}=y$. Если $k=2 q \geqslant 2$ четно, то мы можем заменить эти два уравнения эквивалентными
\[
x_{q}-x_{-q}=0, \quad y_{q}-y_{-q}=0 .
\]

Применим теперь теорему Безу, которая утверждает, что если два полинома от $x, y$ не имеют общего множителя, то они имеют только конечное число общих корней, не превышающее произведения их степеней. Легко проверить, что в нашем примере полиномы $x_{q}-x_{-q}, y_{q}-y_{-q}$ имеют степень $3^{q}$, и их старшие члены будут соответственно
\[
a_{q}\left\{\cos \alpha y^{3^{q}}-(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{3^{q}}\right\}, \quad a_{q} \sin \alpha y^{3^{q}},
\]

где
\[
a_{q}=(\sin \alpha)^{\beta}
eq 0, \quad \beta=3+3^{2}+\ldots+3^{q-1} .
\]

Таким образом, они не имеют общего множителя, и мы заключаем, что отображение $M^{2 q}$ имеет самое большее $3^{2 q}=3^{k}$ неподвижных точек.

Этот пример показывает, что ответ на вопрос о сходимости зависит не от теоретико-числовых свойств собственных значений, а скорее от природы нелинейных членов. Это сильно отличается от того, что было нами получено для конформного отображения в § 25 , где устойчивость, так же, как и сходимость преобразования к нормальной форме, полностью определялись линейной частью отображения.

Теорема, изложенная в предыдущих двух параграфах, имеет многочисленные применения к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы – в особенности к вопросу об устойчивости периодических решений. Как мы видели, задача об изоэнергетической устойчивости такой периодической орбиты может быть сведена к вопросу об устойчивости неподвижной точки некоторого двумерного отображения, сохраняющего площадь. В качестве применения мы еще раз вернемся к много раз обсуждавшейся ограниченной задаче трех тел.

В $\S 21$ мы построили при малых значениях массы $\mu$ семейство решений ограниченной задачи трех тел, которые при $\mu=0$ представляют собой круговые орбиты:
\[
x_{1}=r \cos (\omega t), \quad x_{2}=r \sin (\omega t), \quad r^{3}(\omega+1)^{2}=1 .
\]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой $\omega$, которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна с $\omega+1>0$ и другая с $\omega+1<0$. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений при малых значениях $\mu$. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце $\S 24$ в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств
\[
\lambda^{k}
eq 1 \quad(k=1, \ldots, 2 l+2), \quad \gamma_{l}
eq 0
\]

при некотором $l \geqslant 1$. Так как $\lambda, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots$ – непрерывные (на самом деле даже аналитические) функции $\mu$, при условии что $\lambda^{2}
eq 1$, то достаточно проверить эти условия при $\mu=0$. В этом случае в предположениях $\omega=3 g^{-1}, 4 g^{-1}, 0(g= \pm 1, \pm 2, \ldots)$ мы получили, что
\[
l=1, \quad \gamma_{0}=\frac{2 \pi}{\omega}, \quad \gamma_{1}=-\frac{3 \pi}{r^{2} \omega^{3}},
\]

и поэтому, если выполнено условие
\[
\omega
eq \frac{3}{g}, \frac{4}{g}, 0 \quad(g= \pm 1, \pm 2, \ldots),
\]

то рассматриваемые решения являются изоэнергетически устойчивыми при $|\mu| \leqslant \mu_{0}(\omega)$. На самом деле при тех же самьх условиях имеет место даже полная устойчивость, что теперь и будет доказано.

Если мы проведем конструкцию сохраняющего площадь отображения вблизи периодической орбиты, сохранив энергию как независимое переменное, обозначаемое через $w$, то придем к уравнениям вида
\[
u_{1}=F(u, v, w, \mu), \quad v_{1}=G(u, v, w, \mu), \quad w_{1}=w,
\]

последнее из которых попросту выражает закон сохранения энергии. Линия $u=v=0$ состоит из неподвижных точек, устойчивость которых при этом отображении приводит к орбитальной устойчивости соответствующих им периодических решений. Чтобы доказать устойчивость неподвижной точки $p_{0}=\left(0,0, w_{0}\right)$, мы построим в любой заданной окрестности $\mathfrak{U}$ точки $p_{0}$ инвариантную ее окрестность $\mathfrak{B}$ при помощи следующего рассуждения. В $\mathfrak{U}$ можно найти инвариантную кривую, которую мы записываем в виде
\[
u^{2}+v^{2}=R(\theta), \quad w=w_{0},
\]

где $\theta=\operatorname{arctg} v / u$. Так как наше отображение зависит аналитически, а следовательно, и непрерывно от параметра $w$, то в действительности можно найти семейство таких кривых
\[
u^{2}+v^{2}=R(\theta, w),
\]

которые зависят непрерывно от $w$ и поэтому остаются в $\mathfrak{U}$, если $\mid w-$ $-w_{0} \mid<\delta$ при достаточно малом положительном $\delta$. Но тогда неравенства
\[
u^{2}+v^{2}<R(\theta, w), \quad\left|w-w_{0}\right|<\delta
\]

определяют инвариантную окрестность $\mathfrak{B}$ точки $p_{0}$, содержащуюся в $\mathfrak{U}$, и таким образом $p_{0}-$ устойчивая неподвижная точка. Это показывает, что при условиях (2) наши периодические решения ограниченной задачи трех тел устойчивы при достаточно малом значении параметра $\mu$.

Как мы упоминали в $\S 31$, при $\omega=3 / g$, где $g$ – целое число, не делящееся на 3 , Леви-Чивита доказал, что соответствующие орбиты на самом деле неустойчивы. Таким образом, лишь случай $\omega=4 / g$ остается нерассмотренным. Впрочем, если $\omega=4 / g$ и $g$ нечетно – случай, к которому непосредственно наш результат не применим, то можно в действительности доказать устойчивость при достаточно малом $\mu$.

Выразим в других терминах найденные условия устойчивости. Пусть $
u_{1}$ – частота обращения тел $P_{1}, P_{2}$ по их орбитам, которую мы более не предполагаем равной единице. При $\mu=0$ точка $P_{3}$ нулевой массы движется по круговой орбите с частотой $
u_{3}$ относительно неподвижной системы координат. Частота $\omega$, введенная выше, дается тогда формулой
\[
\omega=\frac{
u_{3}}{
u_{1}}-1=\frac{
u_{3}-
u_{1}}{
u_{1}},
\]

и наше условие (2) эквивалентно условию
\[
\frac{
u_{1}}{
u_{3}}
eq \frac{p}{q}, \quad|p-q| \leqslant 4,
\]

где $p, q$ – взаимно простые целые числа. Изображая однопараметрическое семейство периодических орбит в виде семейства замкнутых кривых, которые покрывают плоскость подобно семейству концентрических круговых орбит при $\mu=0$, мы получаем устойчивые орбиты, выделяя из этого семейства те решения, которые соответствуют (3).

Закончим это обсуждение интересным применением к движению астероидов. Астероидами называются малые планеты, которые в большом числе движутся преимущественно между Марсом и Юпитером и образуют приблизительно кольцо вокруг Солнца. Если пренебречь влиянием всех планет, кроме Юпитера, то движение астероидов может быть рассмотрено на основе ограниченной задачи трех тел, где в качестве $P_{1}$ берется Юпитер, в качестве $P_{2}$ – Солнце и в качестве $P_{3}-$ астероид, массой которого мы полностью пренебрегаем. Предполагая, что большинство астероидов движется вблизи круговых периодических орбит в той же самой плоскости, что Солнце и Юпитер, мы можем попытаться применить описанный выше критерий. Для большинства из наблюдаемых астероидов отношение частоты $
u_{3}$ их обращения по орбите к частоте Юпитера $
u_{1}$ лежит в интервале
\[
\frac{1}{4} \leqslant \frac{
u_{1}}{
u_{3}} \leqslant \frac{1}{2} .
\]

В этом интервале значения $\frac{
u_{1}}{
u_{3}}=\frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ не удовлетворяют нашему критерию, и около них и в самом деле астероиды встречаются особенно редко. Что же касается $\frac{
u_{1}}{
u_{3}}=\frac{3}{7}$, то в распределении астероидов здесь можно указать менее резко выраженный «люк», хотя соответствующая периодическая орбита устойчива. Эти «люки» в распределении астероидов, которые были замечены еще в 1866 году Киркву-дом, видимо обусловлены, таким образом, неустойчивостью, вызываемой Юпитером, если не принимать во внимание исключительное значение $\frac{3}{7}$. Конечно, эта интерпретация имеет только качественный характер и не позволяет дать какое-нибудь предсказание о ширине этих промежутков. Кроме того, мы не проверили также, будет ли параметр $\mu$ достаточно мал ${ }^{1}$. Тем не менее критерий дает нам правильное отношение частот для большинства названных промежутков ${ }^{2}$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru