В первом параграфе этой главы рассматривался метод определения периодических решений системы Гамильтона с помощью степенных рядов. В двух предыдущих параграфах были получены этим методом периодические решения плоской задачи трех тел, которые имеют значение в теории движения Луны. В этом параграфе будет рассмотрен третий метод определения периодических решений системы дифференциальных уравнений. Бо́льшая часть изложенных ниже результатов имеет место не только при регулярности, но и при более слабых предположениях; все же ради простоты предположение о регулярности будет в дальнейшем сохранено.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x, \alpha) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

которая зависит от одного параметра $\alpha$. Пусть правые части $f_{k}$ при
\[
\left|x_{l}-\xi_{l}^{*}\right|<r \quad(l=1, \ldots, m), \quad \alpha \in G
\]

являются регулярными функциями $m+1$ комплексных переменных $x_{l}$ и $\alpha$, причем $G$ есть область комплексной $\alpha$-плоскости. Далее, пусть при условиях (2) выполняются неравенства
\[
\left|f_{k}(x, \alpha)\right| \leqslant M \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Прежде чем применять метод малого параметра, исследуем зависимость решений системы (1) от параметра $\alpha$ и начальных значений $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m}$.

Пусть $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m}$ – какие-нибудь комплексные величины, удовлетворяющие условиям
\[
\left|\xi_{l}-\xi_{l}^{*}\right|<\frac{r}{2} \quad(l=1, \ldots, m) .
\]

Тогда при
\[
\left|x_{l}-\xi_{l}\right|<\frac{r}{2}, \quad \alpha \in G
\]
$f_{k}(x, \alpha)$ будут регулярными функциями переменных $x_{l}$ и $\alpha$, и в этой области справедлива оценка (3). Согласно теореме существования Коши (§4), система (1) имеет единственное решение $x(t, \xi, \alpha)$, для которого $x(0, \xi, \alpha)=\xi$ и $x_{k}(t, \xi, \alpha)(k=1, \ldots, m)$ суть регулярные аналитические функции комплексной переменной $t$ в круге
\[
|t|<\frac{r}{2(m+1) M}=\rho .
\]

Последнее справедливо для любого значения $\xi$ из области (4) и для любого $\alpha$ из $G$. Покажем теперь, что $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ в области
\[
|t|<\rho, \quad\left|\xi_{l}-\xi_{l}^{*}\right|<\frac{r}{2} \quad(l=1, \ldots, m), \quad \alpha \in G
\]

будут регулярными функциями всех $m+2$ независимых комплексных переменных $t, \xi_{l}, \alpha$. Это следует из доказательства теоремы Коши, данного в $\S 4$. Коэффициенты $\alpha_{k n}$ разложения в ряд $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ по степеням $t$ при сравнении коэффициентов оказываются многочленами относительно коэффициентов разложения Тейлора функции $f_{l}(x, \alpha)$ ( $l=$ $=1, \ldots, m)$ по степеням $x_{1}-\xi_{1}, \ldots, x_{m}-\xi_{m}$; эти последние коэффициенты по формуле Тейлора будут аналитическими функциями от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m}, \alpha$ в области $\left|\xi_{h}-\xi_{h}^{*}\right|<\frac{r}{2}(h=1, \ldots, m), \alpha \in G$. Так как, с другой стороны, для разложений функций $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ по степеням $t$ можно указать мажорирующие функции, коэффициенты которых зависят только от $M$ и $r$, то эти ряды сходятся равномерно по $\xi_{h}$ и $\alpha$ в каждом открытом отрезке $|t|<\rho$. Следовательно, $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ по известной теореме Вейерштрасса будут регулярными по всем $m+2$ переменным в области (5).

Если значения $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ при каком-либо $t$ из интервала $0<t<\rho$, например при $t=\rho / 2$, считать опять начальными значениями, то решение можно продолжить аналитически и за точку $t=\rho$. Пусть решение $x(t, \xi, \alpha)$ при закрепленных $\xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$ продолжено, как функция $t$, на весь интервал $0 \leqslant t<t_{1}$. Если тогда кривая $x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ при $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$ вся лежит в области регулярности $f_{1}(x, \alpha), \ldots, f_{m}(x, \alpha)$, то, как это следует из теоремы о покрытии, из последовательного применения вышеупомянутых операций следует, что в достаточно малой окрестности $U$ точки $\xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$ решение $x(t, \xi, \alpha)$ может быть продолжено на интервал $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$ и там будет оставаться регулярной функцией всех переменных $t, \xi, \alpha$. Но чем больше будет выбрано $t_{1}$, тем меньше будет вообще окрестность $U$, в которой регулярность сохранится при аналитическом продолжении. Нужно заметить, что это рассуждение можно провести и для таких дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x, t, \alpha) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

в правые части которых входит явно независимая переменная $t$. Именно, если ввести новую неизвестную $x_{0}$ и заменить систему (6) системой
\[
\dot{x}_{0}=1, \quad \dot{x}_{k}=f_{k}\left(x, x_{0}, \alpha\right) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

то правые части этих $m+1$ дифференциальных уравнений не содержат более переменной $t$.

Так как $x_{k}(t, \xi, \alpha)$ будет при $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$ регулярной функцией $\xi_{l}$ в окрестности $\xi=\xi^{*}$, то там, в частности, существуют частные производные $x_{k \xi_{l}}(t, \xi, \alpha)$. Ввиду того что дальнейшее рассмотрение не зависит от $\alpha$, ибо будет предполагаться, что $\alpha$ имеет постоянное значение, мы не будем писать $\alpha$ в качестве аргумента функций. Если известно теперь решение $x(t, \xi)$ для системы фиксированных начальных значений $\xi_{l}^{*}(l=1, \ldots, m)$, то частные производные $x_{k \xi_{l}}=x_{k \xi_{l}}\left(t, \xi^{*}\right)$ определяются следующим образом из так называемых уравнений в вариациях. Так как $\xi_{l}, t$ можно рассматривать по отношению к $x_{k}(t, \xi)$ как независимые переменные, то из дифференциальных уравнений (1) дифференцированием по $\xi_{l}$ получаем
\[
\dot{x}_{k \xi_{l}}=\sum_{r=1}^{m} f_{k x_{r}} x_{r \xi_{l}}, f_{k x_{r}}=f_{k x_{r}}\left[x\left(t, \xi^{*}\right)\right](k=1, \ldots, m ; l=1, \ldots, m) .
\]

Если ввести матрицы $m$-го порядка $\mathfrak{X}=\left(x_{k \xi_{l}}\right) \mathfrak{F}=\left(f_{k x_{l}}\right)$, то для $\mathfrak{X}$ получается уравнение в вариациях
\[
\dot{\mathfrak{X}}=\mathfrak{F} \mathfrak{X},
\]

причем $\mathfrak{F}$ известно. Так как $x(0, \xi)=\xi$, то при $t=0 \mathfrak{X}=\mathfrak{E}$. Итак, матрицу $\mathfrak{X}=\mathfrak{X}(t)$ можно получить интегрированием линейного дифференциального уравнения (7) при начальном условии $\mathfrak{X}(0)=\mathfrak{E}$. Это интегрирование можно провести последовательными приближениями с использованием интегрального уравнения
\[
\mathfrak{X}=\mathfrak{E}+\int_{0}^{t} \mathfrak{F} \mathfrak{X} d t
\]

для решения которого можно использовать матричную последовательность
\[
\mathfrak{X}_{0}=\mathfrak{E}, \quad \mathfrak{X}_{n}=\mathfrak{E}+\int_{0}^{t} \mathfrak{F} \mathfrak{X}_{n-1} d t \quad(n=1,2 \ldots) ;
\]

можно также использовать метод сравнения коэффициентов, как это было сделано при доказательстве теоремы существования Коши.
Для определителя $\Delta=|\mathfrak{X}|$ получается
\[
\dot{\Delta}=\sum_{k, l=1}^{m} \dot{x}_{k \xi_{l}} X_{l k}
\]

причем $X_{k l}$ есть алгебраическое дополнение элемента $x_{k \xi_{l}}$ в матрице $\mathfrak{X}$, т. е. минор элемента $x_{x \xi_{l}}$, взятый со знаком $(-1)^{k+l}$. Если ввести еще матрицу $\mathfrak{Y}=\left(X_{k l}\right)$, составленную из алгебраических дополнений элементов $\mathfrak{X}$, то равенство (8) можно записать в виде
\[
\dot{\Delta}=\sigma(\dot{\mathfrak{X}} \mathfrak{Y}),
\]

где $\sigma$ обозначает след матрицы $\dot{\mathfrak{X}} \mathfrak{Y}$. С помощью уравнения (7) имеем
\[
\dot{\Delta}=\sigma(\mathfrak{F Y Y}) .
\]

С другой стороны, $\mathfrak{X} \mathfrak{Y}=\Delta \mathfrak{E}$, откуда
\[
\dot{\Delta}=\Delta \sigma(\mathfrak{F})=\Delta \sigma,
\]

где
\[
\sigma=\sigma(\mathfrak{F})=\sum_{k=1}^{m} f_{k x_{k}}(x)
\]

и $x=x\left(t, \xi^{*}\right)$. Принимая во внимание, что начальное значение $\Delta(0)$ функции $\Delta=\Delta\left(t, \xi^{*}\right)=\Delta(t)$ вследствие $\mathfrak{X}(0)=\mathfrak{E}$ равно единице, путем интегрирования уравнения (9) получим
\[
\ln \Delta=\int_{0}^{t} \sigma d t .
\]

Можно считать, что система (1) есть система дифференциальных уравнений движения потока жидкости, причем $x_{k}(k=1, \ldots, m)$ суть координаты частиц жидкости. Так как правые части не содержат явно независимой переменной, то имеет место установившееся движение. При $t=0$ положение частиц жидкости определяется координатами $\xi_{k}$. По прошествии времени $t$ частицы перейдут из $\xi$ в $x(t, \xi)$, чем устанавливается отображение $\xi$ на $x$. Функциональная матрица этого отображения есть $\left(x_{k \xi_{l}}\right)=\mathfrak{X}(t, \xi)$, и функциональный определитель равен $\Delta$. Если $\Delta$ тождественно равно единице, получается отображение, сохраняющее объем, что соответствует несжимаемому потоку. В соответствии с уравнением (9) это означает, что
\[
\sigma=\sum_{k=1}^{m} f_{k x_{k}}=0
\]

Для системы Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

имеем
\[
\sigma=\sum_{k=1}^{n}\left[\left(E_{y_{k}}\right)_{x_{k}}+\left(-E_{x_{k}}\right)_{y_{k}}\right]=0,
\]

так что в этом случае равенство (10) выполняется.

Метод малого параметра, предложенный Пуанкаре [1], возник из следующей задачи. Рассмотрим решение $x(t, \xi, \alpha)$ системы (1) опять в зависимости от $\xi$ и $\alpha$ и допустим, что при $\alpha=\alpha^{*}$ система имеет периодическое решение. Пусть этому решению соответствуют начальные значения $\xi=\xi^{*}$, тогда $x=x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$. Предположим при этом, что речь идет не о равновесном решении. Пусть $\tau^{*}>0$ будет периодом $x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ по $t$, причем это необязательно наименьший положительный период, и пусть вся кривая $x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ лежит при $0 \leqslant t \leqslant \tau^{*}$ в области регулярности функций $f_{1}, \ldots, f_{m}$ по $x$ и $\alpha$. Тогда эти утверждения справедливы для всякого действительного $t$, так как
\[
x\left(t+\tau^{*}, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)=x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right) .
\]

По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений равенство (11) справедливо при всех $t$, если оно верно хотя бы при одном значении, например при $t=0$. Поставим вопрос, имеет ли система (1) периодические решения для несколько измененных начальных значений $\xi, \alpha$.

Будем искать сначала периодические решения с тем же самым периодом $\tau^{*}$. Чтобы $x(t, \xi, \alpha)$ имело период $\tau^{*}$, по теореме единственности необходимо и достаточно, чтобы $x\left(\tau^{*}, \xi, \alpha\right)=x(0, \xi, \alpha)=\xi$. Если положить
\[
\varphi_{k}(\xi, \alpha)=x_{k}\left(\tau^{*}, \xi, \alpha\right)-\xi_{k},
\]

то, следовательно, нужно удовлетворить $m$ аналитическим уравнениям
\[
\varphi_{k}(\xi, \alpha)=0 \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Это будет система неявных уравнений, которые удовлетворяются при $\xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$ в силу периодичности исходного решения. Следовательно, если функциональный определитель $\left|\varphi_{k \xi_{l}}\right|$ порядка $m$ отличен от нуля при $\xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$, то можно найти решение системы (13) вблизи $\alpha=\alpha^{*}$, и по известной теореме существования для неявных функций $m$ разностей $\xi_{k}-\xi_{k}^{*}$ получаются в виде степенных рядов по $\alpha-\alpha^{*}$, причем эти ряды не содержат постоянных членов. Но этого здесь как раз и не может быть, так как именно определитель $\left|\varphi_{k \xi_{l}}\right|$ обязательно равен нулю. Эту трудность, однако, можно обойти небольшим видоизменением рассуждения. Исследуем, почему определитель должен обращаться в нуль. Пусть $\alpha=\alpha^{*}$. Если опять положить $\mathfrak{X}=\left[x_{k \xi_{l}}(t, \xi)\right]$ и ввести матрицу $\mathfrak{C}(t, \xi)=\mathfrak{X}-\mathfrak{E}$, то в силу равенства (12) имеем для функциональной матрицы
\[
\left\|\varphi_{k \xi_{l}}\right\|=\mathfrak{C}\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)=\mathfrak{C} .
\]

С другой стороны, если $\xi$ будет какой-нибудь точкой на траектории $x\left(t, \xi^{*}\right)$, то при соответствующем выборе $t^{\prime}$ можно положить, что
\[
\xi=x\left(t^{\prime}, \xi^{*}\right),
\]
т. е. величина $\xi$ будет функцией $t^{\prime}$. Так как правые части дифференциальных уравнений (1) явно не зависят от $t$, то
\[
x\left(t+t^{\prime}, \xi^{*}\right)=x(t, \xi) .
\]

Дифференцируя равенство (16) по $t^{\prime}$, в соответствии с (1) и (15) получим уравнения
\[
f_{k}[x(t, \xi)]=\sum_{l=1}^{m} x_{k \xi_{l}}(t, \xi) f_{l}(\xi) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

следовательно,
\[
f(x)=\mathfrak{X} f(\xi), \quad f(x)-f(\xi)=\mathfrak{C}(t, \xi) f(\xi),
\]

где $f(x)$ – вектор, имеющий составляющие $f_{1}(x), \ldots, f_{m}(x)$, и где нужно положить $x=x(t, \xi)$. Тогда, в частности, при $\xi=\xi^{*}, t=\tau^{*}$ будем иметь $f(x)=f(\xi)$, и поэтому
\[
\mathfrak{C} f=0, \quad f=f\left(\xi^{*}\right) .
\]

Так как рассматриваемое периодическое решение $x\left(t, \xi^{*}\right)$ не является равновесным, то $f\left(\xi^{*}\right)$ не будет нулевым вектором, следовательно, $|\mathfrak{C}|=0$. Поэтому основная причина обращения определителя $\mathfrak{C}$ в нуль состоит в том, что при произвольном сдвиге начальных значений $\xi$ на траектории $x\left(t, \xi^{*}\right)$ получается опять периодическое решение, а именно, та же самая траектория, для которой только $t$ увеличено на постоянную $t^{\prime}$. Этого можно избежать, если варьировать начальные значения $\xi$ только в $(m-1)$-мерной плоскости, которая не касается интегральной кривой в начальной точке $\xi^{*}$. Мы уже видели, что f\left(\xi^{*}\right)$ не есть нулевой вектор, поэтому можно выбрать обозначения так, чтобы последняя составляющая $f_{m}\left(\xi^{*}\right)
eq 0$. Тогда в соответствии с системой (1) $x_{m}=\xi_{m}^{*}$ и будет такой плоскостью. Следовательно, можно положить $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$ и варьировать только $m-1$ начальных значений $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$. Но так как должны быть удовлетворены $m$ уравнений (13), мы будем теперь предполагать период искомого периодического решения $\tau$ также величиной переменной.
Если положить теперь
\[
\varphi_{k}(\tau, \xi, \alpha)=x_{k}(\tau, \xi, \alpha)-\xi_{k},
\]

то $m$ уравнений
\[
\varphi_{k}(\tau, \xi, \alpha)=0 \quad(k=1, \ldots, m)
\]

должны быть удовлетворены при дополнительном условии $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$. Они имеют очевидное решение $\tau=\tau^{*}, \xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$. Будем рассматривать $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$ и $\tau$ в уравнениях (19) как неизвестные, а $\alpha$ как независимую переменную, и найдем соответствующую функциональную матрицу $\mathfrak{B}$ порядка $m$, которая получается из $\mathfrak{C}$ заменой столбца $\varphi_{\xi_{m}}$, соответствующего $\xi_{m}$, столбцом $\varphi_{\tau}=\varphi_{\tau}\left(\tau^{*}, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$. Теперь, в соответствии с системой (1) и соотношением (18),
\[
\varphi_{\tau}=\dot{x}(\tau, \xi, \alpha)=f[x(\tau, \xi, \alpha), \alpha],
\]

следовательно, в точке $\tau=\tau^{*}, \xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$
\[
\varphi_{\tau}=f\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)=f
\]

и
\[
\mathfrak{B}=\left(\varphi_{\xi_{1}} \ldots \varphi_{\xi_{m-1}} f\right),
\]

где первые $m-1$ столбцов суть
\[
\varphi_{\xi_{k}}=\varphi_{\xi_{k}}\left(\tau^{*}, \xi^{*}, \alpha^{*}\right) \quad(k=1, \ldots, m-1) .
\]

Если определитель $|\mathfrak{B}|$ отличен от нуля, то систему уравнений (19) можно при $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$ разрешить в окрестности $\alpha=\alpha^{*}$ относительно $\tau$, $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$ и получить для разностей $\tau-\tau^{*}, \xi_{1}-\xi_{1}^{*}, \ldots \xi_{m-1}-\xi_{m-1}^{*}$ степенные ряды по $\alpha-\alpha^{*}$, не содержащие постоянных членов. Следовательно, тогда для всех значений параметра $\alpha$ в достаточной близости от $\alpha^{*}$ можно определить такие начальные значения $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}, \xi_{m}=$ $=\xi_{m}^{*}$ и такой период $\tau$, что соответствующее этим начальным значениям решение будет периодическим с периодом $\tau$. Чтобы вычислить матрицу $\mathfrak{B}$, нужно в соответствии с равенством (14) проинтегрировать только систему линейных уравнений в вариациях (7), причем $x=x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ следует взять в качестве известного исходного периодического решения с начальными значениями $\xi=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$. Можно построить простые примеры, показывающие, что определитель $|\mathfrak{B}|$ в отличие от определителя $|\mathfrak{C}|$ не всегда равен нулю.

Пуанкаре распространил свой метод и на общий случай, когда правые части дифференциальных уравнений зависят явно от $t$; при этом правые части должны быть, однако, периодическими функциями $t$. Предполагается, что существует периодическое решение с тем же самым периодом; легко показать на примерах, что аналогично подсчитываемый определитель по крайней мере не всегда равен нулю. Последнее правдоподобно, так как для обоснования равенства нулю определителя существенную роль у нас играла стационарность потока. Мы не будем больше здесь и далее углубляться в важные и интересные вопросы, связанные с теорией дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Бо́льшую часть известных методов и результатов этой теории можно истолковать с помощью рассмотренных нами стационарных потоков; кроме того, при начальном рассмотрении не решенной еще задачи следует ограничиваться разбором простых нетривиальных случаев.

Мы покажем теперь, что можно найти периодическое решение для значения $\alpha$, близкого к $\alpha^{*}$, с тем же самым периодом $\tau=\tau^{*}$, как и в исходном решении, если известен не зависящий от $t$ интеграл $\psi(x, \alpha)$, который при $x=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$ не является стационарным. При этом предположим, что интеграл $\psi(x, \alpha)$ будет аналитическим относительно $x$, $\alpha$ в окрестности исходного периодического решения $x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ и значения $\alpha^{*}$. Являясь интегралом системы (1), $\psi=\psi(x, \alpha)$ удовлетворяет уравнению в частных производных
\[
\sum_{k=1}^{m} \psi_{x_{k}} f_{k}(x, \alpha)=0
\]

тождественно по $x$ и $\alpha$. Если ввести теперь вектор-строку $\psi_{x}$ с составляющими $\psi_{x_{k}}\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)$, то, в частности,
\[
\psi_{x} f=0 .
\]

Мы предположили, что $\psi$ не является стационарным при $x=\xi^{*}$, $\alpha=\alpha^{*}$; поэтому $\psi_{x}$ не является нулевым вектором. Так как, с другой стороны, $f_{m}\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)
eq 0$, то не все величины $\psi_{x_{k}}\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)$ при $k=1, \ldots, m-1$ равны нулю. Выберем теперь обозначения таким образом, чтобы $\psi_{x_{m-1}}\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)
eq 0$. Так как интеграл $\psi(x, \alpha)$ имеет постоянное значение на каждой траектории, то равенство
\[
\psi[x(t, \xi, \alpha), \alpha]=\psi(\xi, \alpha)
\]

удовлетворяется тождественно по $t, \xi, \alpha$. Отсюда, дифференцируя по $\xi_{l}$, получим
\[
\sum_{k=1}^{m} \psi_{x_{k}}(x, \alpha) x_{k \xi_{l}}=\psi_{x_{l}}(\xi, \alpha) \quad(l=1, \ldots, m)
\]

на каждой траектории $x=x(t, \xi, \alpha)$. Если здесь положить $t=\tau^{*}, \xi=$ $=\xi^{*}, \alpha=\alpha^{*}$, т. е. если $x=\xi^{*}$, то в векторной форме получим
\[
\psi_{x} \mathfrak{X}\left(\tau^{*}, \xi^{*}\right)-\psi_{x}=\psi_{x} \mathfrak{C}=0 .
\]

Из уравнений (14), (20), (21) и (23) прежде всего следует $\psi_{x} \mathfrak{B}=0$, так что в случае существования нестационарного интеграла определитель $|\mathfrak{B}|$ равен нулю, и поэтому нельзя прямо применить метод, развитый выше. Условия того, что $x(t, \xi, \alpha)$ будет периодическим решением с периодом $\tau^{*}$, даются $m$ уравнениями (13). Положим опять $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$, и тогда нужно определить еще $m-1$ неизвестных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$, удовлетворяющих этим $m$ уравнениям. Разрешим прежде всего $m-1$ уравнений
\[
\varphi_{k}(\xi, \alpha)=0 \quad(k
eq m-1)
\]

и выразим $\xi_{l}-\xi_{l}^{*}(l=1, \ldots, m-1)$ в виде степенных рядов по $\alpha-\alpha^{*}$, не содержащих постоянных членов, причем предположим, что соответствующий функциональный определитель не равен нулю при $\xi=\xi^{*}$, $\alpha=\alpha^{*}$. Соответствующая функциональная матрица $m-1$ порядка $\mathfrak{A}$ получается из $\mathfrak{C}$ вычеркиванием последнего столбца и предпоследней строки. Тогда при $|\mathfrak{A}|
eq 0$ в окрестности $\alpha=\alpha^{*}$ уравнения (24) удовлетворяются. Остается показать, что вследствие существования интеграла $\psi(x, \alpha)$ выполняется также и последнее уравнение $\varphi_{m-1}(\xi, \alpha)=0$. Если образовать с найденными начальными значениями $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}$ и $\xi_{m}=\xi_{m}^{*}$ решение $x=x(t, \xi, \alpha)$, то на этой траектории удовлетворяется уравнение (22). Положим здесь, в частности, $t=\tau^{*}$ и применим теорему о среднем значении из дифференциального исчисления к функции $\psi(x, \alpha)$ и переменной $x_{m-1}$. Тогда, принимая во внимание уравнения (24), получим
\[
0=\psi\left[x\left(\tau^{*}, \xi, \alpha\right), \alpha\right]-\psi(\xi, \alpha)=\psi_{x_{m-1}}(\widetilde{x}, \alpha) \varphi_{m-1}(\xi, \alpha),
\]

где $\widetilde{x}_{k}=\xi_{k}(k
eq m-1)$, и $\widetilde{x}_{m-1}$ лежит между $\xi_{m-1}$ и $x_{m-1}\left(\tau^{*}, \xi, \alpha\right)$. Вследствие того что $\psi_{x_{m-1}}\left(\xi^{*}, \alpha^{*}\right)
eq 0$, будем также иметь $\psi_{x_{m-1}}(\widetilde{x}, \alpha)
eq 0$, если только $\alpha$ достаточно близко к $\alpha^{*}$; отсюда и получится нужное нам уравнение $\varphi_{m-1}(\xi, \alpha)=0$. Этим самым доказано существование периодических решений с периодом $\tau^{*}$ в окрестности $\alpha^{*}$ в предположении, что $|\mathfrak{A}|
eq 0$.

Будем считать теперь $\tau$ параметром и положим $\alpha=\alpha^{*}$. Если $m-1$ условий периодичности
\[
\varphi_{k}\left(\tau, \xi, \alpha^{*}\right)=x_{k}\left(\tau, \xi, \alpha^{*}\right)-\xi_{k}=0 \quad(k
eq m-1)
\]

выполнены, то так же, как и выше, выполняется остающееся условие $\varphi_{m-1}\left(\tau, \xi, \alpha^{*}\right)=0$. В качестве функционального определителя для $\tau=\tau^{*}, \xi=\xi^{*}$, очевидно, получим опять $|\mathfrak{A}|$. Следовательно, в предположении $|\mathfrak{A}|
eq 0$ существуют такжє периодические решения с фиксированным параметром $\alpha^{*}$ и с любым заданным периодом $\tau$, достаточно близким к $\tau^{*}$; начальные значения этого решения можно разложить по степеням $\tau-\tau^{*}$. Для некоторых исследований выгодно ввести вместо $\tau$ значение интеграла $\psi(x, \alpha)=\gamma$ на рассматриваемой замкнутой траектории как новую переменную. Пусть $\gamma=\gamma^{*}$ для исходного решения $x=x\left(t, \xi^{*}, \alpha^{*}\right)$. Тогда к $m-1$ уравнениям (25) прибавляется еще следующее:
\[
\psi\left(\xi, \alpha^{*}\right)-\gamma=0 .
\]

Это будут $m$ уравнений с $m$ неизвестными $\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}, \tau$. Функциональная матрица этой системы при $\xi=\xi^{*}, \tau=\tau^{*}$ получается из матрицы $(m+1)$-го порядка
\[
\mathfrak{D}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathfrak{C} & f \\
\psi_{x} & 0
\end{array}\right\|
\]

вычеркиванием $m$-го столбца и ( $m-1$ )-й строки. Вследствие условий $(17),(21)$ и (23) ( $m-1)$-я строка в $\mathfrak{D}$ не зависит от остальных; то же самое имеет место для $m$-го столбца. Следовательно, наш определитель обязательно отличен от нуля, если матрица $\mathfrak{D}$ имеет ранг $m$. При этом предположении вышеприведенную систему уравнений можно разрешить в окрестности $\gamma=\gamma^{*}$ разложением в ряды разностей $\xi_{k}-\xi_{k}^{*}$ $(k=1, \ldots, m-1)$ и $\tau-\tau^{*}$ по степеням $\gamma-\gamma^{*}$. Выполнение условия $\varphi_{m-1}\left(\tau, \xi, \alpha^{*}\right)=0$ и периодичность обусловлены существованием интеграла.

Наконец, если $\alpha$ будет переменной, а $\gamma=\gamma^{*}$ фиксировано, при тех же предположениях получаем существование соответствующих разложений по степеням $\alpha-\alpha^{*}$. Тогда, следовательно, для каждого $\alpha$ вблизи $\alpha^{*}$ существует в окрестности исходного решения периодическое решение с одним и тем же значением постоянной интеграла $\gamma=\gamma^{*}$.

Для действительного определения тех разложений в степенные ряды, о которых шла речь, необходимо, разумеется, знать полное решение $x(t, \xi)$ в окрестности $\xi=\xi^{*}, t=\tau^{*}$; в то время как для того, чтобы проверить, отличен ли соответствующий функциональный определитель от нуля, требуется только интегрирование линейной системы (7) с использованием уже известного исходного периодического решения.

Если будет известно большее число интегралов, не зависящих от $t$, то метод можно соответствующим образом изменить, но не очень сильно.

Применим теперь метод малого параметра к ограниченной задаче трех тел. Пусть точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ имеют массы $m_{1}=\mu, m_{2}=1-\mu$, $m_{3}=0$, где $0<\mu<1$ и пусть $P_{1}, P_{2}$ вращаются с угловой скоростью, равной единице, вокруг общего центра инерции. Введем, как в §17, вращающуюся систему координат, относительно которой $P_{1}, P_{2}$ и $P_{3}$ будут иметь координаты $(1-\mu, 0),(-\mu, 0)$ и $(x, y)$. Если положить $x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=\dot{x}$ и $x_{4}=\dot{y}$, то система $(17 ; 3)$ даст следующие уравнения движения точки $P_{3}$ :
\[
\dot{x}_{1}=x_{3}, \quad \dot{x}_{2}=x_{4}, \quad \dot{x}_{3}=2 x_{4}+x_{1}+F_{x_{1}}, \quad \dot{x}_{4}=-2 x_{3}+x_{2}+F_{x_{2}},
\]

где
\[
F=(1-\mu)\left[\left(x_{1}+\mu\right)^{2}+x_{2}^{2}\right]^{-1 / 2}+\mu\left[\left(x_{1}+\mu-1\right)^{2}+x_{2}^{2}\right]^{-1 / 2} .
\]

Эта система имеет ту же форму, что и система (1), с параметром $\alpha=\mu$ и с $m=4$. При $\mu=0$ масса точки $P_{1}$ обращается в нуль и формулы
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=r c, \quad x_{2}=r s, \quad x_{3}=-r \omega s, \quad x_{4}=r \omega c, \\
c=\cos (\omega t), \quad s=\sin (\omega t)
\end{array}
\]

дают тогда при действительной постоянной $\omega
eq 0$ периодическое решение, если $r^{3}(\omega+1)^{2}=1$. Период этого решения $\tau^{*}=2 \pi|\omega|^{-1}$. Это решение выберем за исходное, полагая $\alpha^{*}=0$. При этом предположим, что $r
eq 1$; в противном случае точка $P_{3}$ должна была бы пройти через место расположения $(1,0)$ точки $P_{1}$, а это невозможно, т. к. точка $x_{1}=1-\mu, x_{2}=0$ будет особой точкой системы (28) при $\mu
eq 0$, и эта точка стремится к $P_{1}$ при $\mu \rightarrow 0$. Точно так же следует предположить, что $\omega
eq-2,-1,0$. Нам надо установить, существуют ли периодические решения системы (28) при достаточно малых положительных значениях $\mu$.

Если через $f_{k}(x, \mu)(k=1, \ldots, 4)$ обозначить правые части системы (28) и через $\xi_{k}^{*}$ обозначить начальные значения $\xi_{1}^{*}=r, \xi_{2}^{*}=\xi_{3}^{*}=0$, $\xi_{4}^{*}=r \omega$ исходного решения при $t=0$, то $f_{3}\left(\xi^{*}, 0\right)=-r \omega^{2}
eq 0$. Следовательно, вместо $f_{m}
eq 0$ будем иметь $f_{3}
eq 0$. Для применения метода малого параметра необходимо найти решение уравнений в вариациях (7). В нашем случае они интегрируются в элементарных функциях, причем для интегрирования нужно сделать подстановку
\[
y_{2 k-1}=x_{2 k-1} c+x_{2 k} s, \quad y_{2 k}=-x_{2 k-1} s+x_{2 k} c \quad(k=1,2) .
\]

Образуем теперь матрицу $\mathfrak{C}=\mathfrak{X}-\mathfrak{E}$, и отсюда в соответствии с равенством (20) матрицу $\mathfrak{B}$, но при этом заменим на $f$ третий столбец матрицы $\mathfrak{C}$ вместо последнего столбца. Вычисление показывает, что $|\mathfrak{B}|=0$, поэтому первый метод применять нельзя. Причина этому существование для ограниченной задачи трех тел так называемого интеграла Якоби
\[
\psi(x, \mu)=\frac{1}{2}\left(x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)-F .
\]

Далее, $\psi_{x_{4}}\left(\xi^{*}, 0\right)=r \omega
eq 0$, таким образом мы вместо $\psi_{x_{m-1}}
eq 0$ имеем $\psi_{x_{4}}
eq 0$. Если образовать квадратную матрицу третьего порядка $\mathfrak{A}$ вычеркиванием третьего столбца и четвертой строки матрицы $\mathfrak{C}$, то вычисление дает
\[
|\mathfrak{A}|=24 \pi \sin ^{2} \frac{\pi}{\omega} .
\]

Чтобы этот определитель не был равен нулю, нужно потребовать, кроме $\omega
eq-2,-1,0$, также выполнения условия
\[
\omega
eq g^{-1} \quad(g= \pm 1, \pm 2, \ldots) .
\]

Для радиуса $r$ исходного решения соответственно получаются значения $\left(g^{-1}+1\right)^{-2 / 3}$ с точкой накопления 1 , которая исключается из рассмотрения. Следовательно, при этих предположениях для достаточно малых положительных $\mu$ существуют периодические решения системы (28) с периодом $\tau=\tau^{*}=2 \pi|\omega|^{-1}$.

Далее, пусть $\mu=\mu^{*}$ будет достаточно малым положительным числом, для которого имеется периодичєское решение системы (28) с периодом $\tau=\tau^{*}=2 \pi|\omega|^{-1}$ и пусть $\gamma^{*}$ есть соответствующее значение постоянной интеграла Якоби (31). Покажем, используя метод Пуанка$\mathrm{pe}$, что для каждого достаточно близкого к $\gamma^{*}$ значения $\gamma$ будут существовать периодические решения с периодом, близким к $\tau^{*}$. Для этого исследуем теперь ранг квадратной матрицы пятого порядка $\mathfrak{D}$, определенной равенством (27). Если вычеркнуть в $\mathfrak{D}$ третий столбец и четвертую строку, то соответствующий минор при $\xi=\xi^{*}, \tau=\tau^{*}, \mu=0$ имеет значение $4 r^{2} \omega^{3} \sin ^{2} \frac{\pi}{\omega}$, которое не равно нулю, если выполняется условие (32). Если теперь при фиксированном $\omega$ выбрать положительное число $\mu^{*}$ достаточно малым, то ранг матрицы $\mathfrak{D}$ при $\mu=\mu^{*}$ на рассматриваемом периодическом решении равен 4 . Следовательно, для каждого такого значения $\mu^{*}$ существует семейство периодических решений, зависящее от $\gamma$; период $\tau$ этих решений может быть разложен в окрестности $\gamma^{*}$ по степеням $\gamma-\gamma^{*}$, и при $\gamma=\gamma^{*}$ он имеет исходное значение $\tau^{*}$. Таким образом, исходя из $\mu=0$ и кругового решения с периодом $\tau^{\star}=2 \pi|\omega|^{-1}\left(\omega
eq 0,-2, g^{-1}\right)$, нам удается найти при малых положительных $\mu$ сначала периодические решения системы (28) с тем же самым периодом и затем после фиксирования $\mu$ удается найти семейство периодических решений, зависящих от параметра $\gamma$, причем период этих решений $\tau$, вообще говоря, не равен $\tau^{*}$.

Метод малого параметра дает периодические решения только для достаточно малой окрестности значений $\gamma$. Интересно было бы изучить поведение решений при аналитическом продолжении по $\gamma$. Рассмотрим только случай системы Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

для которой $m=2 n$; тогда $\psi=E(x, y)$ будет интегралом этой системы. В частности, при $n=2$ и $y_{1}=x_{3}-x_{2}, y_{2}=x_{4}+x_{1}$ получается система (28), для которой $\psi$ определяется выражением (31). Пусть теперь $G$ есть область действительного пространства $(x, y)$, в которой функция Гамильтона $E$ регулярна и не имеет стационарных точек. Будем исходить из периодического решения $C$, лежащего в $G$, которое к тому же не является равновесным. На этом решении интеграл $\psi=E$ также не будет нигде стационарным. Пусть ранг соответствующей матрицы $\mathfrak{D}$, определенной равенством (27), есть $m$. Если обозначить через $\gamma^{*}$ значение параметра $E=\gamma$ для заданного решения, то метод малого параметра дает семейство периодических решений $C_{\gamma}$, зависящее от параметра $\gamma$, начальные значения которых $x=\xi, y=\eta$ и период $\tau$ можно разложить по степеням $\gamma-\gamma^{*}$ в окрестности $\gamma^{*}$. При этом $C_{\gamma^{*}}$ будет исходной кривой семейства $C$, и для достаточно малых по абсолютной величине $\gamma-\gamma^{*}$ кривая $C_{\gamma}$ лежит целиком в $G$. Повторно применяя метод малого параметра, продолжим аналитически это решение вдоль действительной оси $\gamma$. При этом предположим, что все решения $C_{\gamma}$ продолжены на весь интервал $\gamma^{*} \leqslant \gamma<\gamma_{0}$, и все они лежат в $G$. Исследуем поведение $C_{\gamma}$ при $\gamma \rightarrow \gamma_{0}$. Если для каждой замкнутой ограниченной подобласти $H$ области $G$ существует число $\varepsilon>0$, такое, что при условии $\gamma_{0}-\varepsilon<\gamma<\gamma_{0}$ никакая $C_{\gamma}$ уже не лежит целиком в $H$, то мы будем говорить, что $C_{\gamma}$ покидает $G$ при $\gamma \rightarrow \gamma_{0}$. Пусть рассматривается не этот случай. Тогда по теореме о накоплении можно найти такое $H$ и такую последовательность $\gamma \rightarrow \gamma_{0}$, что все $C_{\gamma}$ будут целиком лежать в $H$ и соответствующие начальные значения $\xi, \eta$ будут сходиться к точке $\xi_{0}, \eta_{0}$ области $H$. При этом возможен случай, когда для каждой такой последовательности период $\tau=\tau_{\gamma}$, соответствующий кривой $C_{\gamma}$, стремится к $\infty$. Этот случай мы также исключаем из рассмотрения. Тогда можно найти такую подпоследовательность, для которой $\tau_{\gamma}$ стремится к конечному предельному значению $\tau_{\gamma_{0}}$. Величина $\tau_{\gamma_{0}}$ может быть нулем, так как в противном случае вследствие непрерывной зависимости решений от начальных данных точка $\xi_{0}, \eta_{0}$ соответствовала бы равновесному решению системы (33), в то время как было предположено, что из области $G$ исключены стационарные точки интеграла $E$. Тогда вследствие тех же самых теорем непрерывности решения $C_{\gamma}$, принадлежащие названной последовательности, стремятся к решению $C_{\gamma_{0}}$ с начальными значениями $\xi_{0}, \eta_{0}$ и периодом $\tau_{\gamma_{0}}$, и это решение, во всяком случае, лежит в $H$, а следовательно, и в $G$.

Если ранг матрицы $\mathfrak{D}$ для решения $C_{\gamma_{0}}$ равен опять $m$, то решение $C_{\gamma}$ можно, очевидно, продолжить за $\gamma_{0}$. Остается рассмотреть случай, когда ранг меньше $m$. Поэтому нужно исследовать при старых обозначениях $m$ аналитических уравнений (25) и (26) вблизи $\gamma=\gamma_{0}, \tau, \xi_{k}$ $(k
eq m-1)$, для которых функциональный определитель равен нулю тождественно относительно $\tau$ и $\xi_{k}$, но в то же самое время при $\gamma \rightarrow \gamma_{0}$ имеется однопараметрическое семейство действительных решений. Тогда путем использования леммы Вейерштрасса можно показать, что существует решение в виде рядов по степеням $\left(\gamma_{0}-\gamma\right)^{1 / p}$ с действительными коэффициентами, где $p$ есть выбранное подходящим образом наименьшее натуральное число. Следовательно, в этом случае имеется точка ветвления порядка $p-1$, и решение можно продолжить и при $\gamma=\gamma_{0}$. Если $p$ нечетное, то для $\gamma>\gamma_{0}$ получим опять действительные значения рядов для $\tau, \xi_{k}$. Напротив, если $p$ четное, то корень $\left(\gamma_{0}-\right.$ $-\gamma)^{1 / p}$ имеет при $\gamma<\gamma_{0}$ два различных действительных значения. Следовательно, если в последнем случае $\gamma$ устремить к $\gamma_{0}$ по другой действительной ветви $\left(\gamma_{0}-\gamma\right)^{1 / p}$, то получится второе семейство периодических решений, которое отлично от первоначального. Поэтому в последнем случае также можно построить аналитическое продолжение решений.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда $\gamma$ убывает от значения $\gamma^{*}$. С другой стороны, можно опять начать процесс продолжения при $\gamma_{0}$ и получить в данном случае другие точки ветвления $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots$ при действительном продолжении решения в интервале от $\gamma_{k-1}$ до $\gamma_{k}$ $(k=1,2, \ldots)$. Такое продолжение будет возможным, если не встретится какой-нибудь исключенный из рассмотрения случай, т. е. либо если $C_{\gamma}$ покинет область $G$, либо если $\tau_{\gamma}$ будет неограниченно возрастать.

Для ограниченной задачи трех тел в качестве $G$ можно выбрать пространство всех действительных $x_{1}, x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$, из которого особые точки $x_{1}=-\mu$ и $x_{2}=0$, а также пять стационарных точек функции $E$ выброшены. Если траектория $C_{\gamma}$ при $\gamma \rightarrow \gamma_{1}$ покидает область $G$, то это означает, что выброшенные точки являются точками накопления точек $C_{\gamma}$. Для стационарных точек функции $E$ предельным переходом из $C_{\gamma}$ получаем равновесные решения. Для особых точек известно соответствующее регуляризирующее преобразование, которое дает в пределе траектории столкновения и показывает, что и здесь можно построить аналитическое продолжение по $\gamma$. Процесс продолжения периодических решений ограниченной задачи трех тел Стремгреном и его сотрудниками был осуществлен численно. Встречающиеся при этом теоретические вопросы подробно разработаны Винтнером [2].