В первом параграфе этой главы рассматривался метод определения периодических решений системы Гамильтона с помощью степенных рядов. В двух предыдущих параграфах были получены этим методом периодические решения плоской задачи трех тел, которые имеют значение в теории движения Луны. В этом параграфе будет рассмотрен третий метод определения периодических решений системы дифференциальных уравнений. Бо́льшая часть изложенных ниже результатов имеет место не только при регулярности, но и при более слабых предположениях; все же ради простоты предположение о регулярности будет в дальнейшем сохранено.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
которая зависит от одного параметра . Пусть правые части при
являются регулярными функциями комплексных переменных и , причем есть область комплексной -плоскости. Далее, пусть при условиях (2) выполняются неравенства
Прежде чем применять метод малого параметра, исследуем зависимость решений системы (1) от параметра и начальных значений .
Пусть — какие-нибудь комплексные величины, удовлетворяющие условиям
Тогда при
будут регулярными функциями переменных и , и в этой области справедлива оценка (3). Согласно теореме существования Коши (§4), система (1) имеет единственное решение , для которого и суть регулярные аналитические функции комплексной переменной в круге
Последнее справедливо для любого значения из области (4) и для любого из . Покажем теперь, что в области
будут регулярными функциями всех независимых комплексных переменных . Это следует из доказательства теоремы Коши, данного в . Коэффициенты разложения в ряд по степеням при сравнении коэффициентов оказываются многочленами относительно коэффициентов разложения Тейлора функции ( по степеням ; эти последние коэффициенты по формуле Тейлора будут аналитическими функциями от в области . Так как, с другой стороны, для разложений функций по степеням можно указать мажорирующие функции, коэффициенты которых зависят только от и , то эти ряды сходятся равномерно по и в каждом открытом отрезке . Следовательно, по известной теореме Вейерштрасса будут регулярными по всем переменным в области (5).
Если значения при каком-либо из интервала , например при , считать опять начальными значениями, то решение можно продолжить аналитически и за точку . Пусть решение при закрепленных продолжено, как функция , на весь интервал . Если тогда кривая при вся лежит в области регулярности , то, как это следует из теоремы о покрытии, из последовательного применения вышеупомянутых операций следует, что в достаточно малой окрестности точки решение может быть продолжено на интервал и там будет оставаться регулярной функцией всех переменных . Но чем больше будет выбрано , тем меньше будет вообще окрестность , в которой регулярность сохранится при аналитическом продолжении. Нужно заметить, что это рассуждение можно провести и для таких дифференциальных уравнений
в правые части которых входит явно независимая переменная . Именно, если ввести новую неизвестную и заменить систему (6) системой
то правые части этих дифференциальных уравнений не содержат более переменной .
Так как будет при регулярной функцией в окрестности , то там, в частности, существуют частные производные . Ввиду того что дальнейшее рассмотрение не зависит от , ибо будет предполагаться, что имеет постоянное значение, мы не будем писать в качестве аргумента функций. Если известно теперь решение для системы фиксированных начальных значений , то частные производные определяются следующим образом из так называемых уравнений в вариациях. Так как можно рассматривать по отношению к как независимые переменные, то из дифференциальных уравнений (1) дифференцированием по получаем
Если ввести матрицы -го порядка , то для получается уравнение в вариациях
причем известно. Так как , то при . Итак, матрицу можно получить интегрированием линейного дифференциального уравнения (7) при начальном условии . Это интегрирование можно провести последовательными приближениями с использованием интегрального уравнения
для решения которого можно использовать матричную последовательность
можно также использовать метод сравнения коэффициентов, как это было сделано при доказательстве теоремы существования Коши.
Для определителя получается
причем есть алгебраическое дополнение элемента в матрице , т. е. минор элемента , взятый со знаком . Если ввести еще матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов , то равенство (8) можно записать в виде
где обозначает след матрицы . С помощью уравнения (7) имеем
С другой стороны, , откуда
где
и . Принимая во внимание, что начальное значение функции вследствие равно единице, путем интегрирования уравнения (9) получим
Можно считать, что система (1) есть система дифференциальных уравнений движения потока жидкости, причем суть координаты частиц жидкости. Так как правые части не содержат явно независимой переменной, то имеет место установившееся движение. При положение частиц жидкости определяется координатами . По прошествии времени частицы перейдут из в , чем устанавливается отображение на . Функциональная матрица этого отображения есть , и функциональный определитель равен . Если тождественно равно единице, получается отображение, сохраняющее объем, что соответствует несжимаемому потоку. В соответствии с уравнением (9) это означает, что
Для системы Гамильтона
имеем
так что в этом случае равенство (10) выполняется.
Метод малого параметра, предложенный Пуанкаре [1], возник из следующей задачи. Рассмотрим решение системы (1) опять в зависимости от и и допустим, что при система имеет периодическое решение. Пусть этому решению соответствуют начальные значения , тогда . Предположим при этом, что речь идет не о равновесном решении. Пусть будет периодом по , причем это необязательно наименьший положительный период, и пусть вся кривая лежит при в области регулярности функций по и . Тогда эти утверждения справедливы для всякого действительного , так как
По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений равенство (11) справедливо при всех , если оно верно хотя бы при одном значении, например при . Поставим вопрос, имеет ли система (1) периодические решения для несколько измененных начальных значений .
Будем искать сначала периодические решения с тем же самым периодом . Чтобы имело период , по теореме единственности необходимо и достаточно, чтобы . Если положить
то, следовательно, нужно удовлетворить аналитическим уравнениям
Это будет система неявных уравнений, которые удовлетворяются при в силу периодичности исходного решения. Следовательно, если функциональный определитель порядка отличен от нуля при , то можно найти решение системы (13) вблизи , и по известной теореме существования для неявных функций разностей получаются в виде степенных рядов по , причем эти ряды не содержат постоянных членов. Но этого здесь как раз и не может быть, так как именно определитель обязательно равен нулю. Эту трудность, однако, можно обойти небольшим видоизменением рассуждения. Исследуем, почему определитель должен обращаться в нуль. Пусть . Если опять положить и ввести матрицу , то в силу равенства (12) имеем для функциональной матрицы
С другой стороны, если будет какой-нибудь точкой на траектории , то при соответствующем выборе можно положить, что
т. е. величина будет функцией . Так как правые части дифференциальных уравнений (1) явно не зависят от , то
Дифференцируя равенство (16) по , в соответствии с (1) и (15) получим уравнения
следовательно,
где — вектор, имеющий составляющие , и где нужно положить . Тогда, в частности, при будем иметь , и поэтому
Так как рассматриваемое периодическое решение не является равновесным, то не будет нулевым вектором, следовательно, . Поэтому основная причина обращения определителя в нуль состоит в том, что при произвольном сдвиге начальных значений на траектории получается опять периодическое решение, а именно, та же самая траектория, для которой только увеличено на постоянную . Этого можно избежать, если варьировать начальные значения только в -мерной плоскости, которая не касается интегральной кривой в начальной точке . Мы уже видели, что f\left(\xi^{*}\right)f_{m}\left(\xi^{*}\right)
eq 0x_{m}=\xi_{m}^{*}\xi_{m}=\xi_{m}^{*}m-1\xi_{1}, \ldots, \xi_{m-1}m\tau$ также величиной переменной.
Если положить теперь
то уравнений
должны быть удовлетворены при дополнительном условии . Они имеют очевидное решение . Будем рассматривать и в уравнениях (19) как неизвестные, а как независимую переменную, и найдем соответствующую функциональную матрицу порядка , которая получается из заменой столбца , соответствующего , столбцом . Теперь, в соответствии с системой (1) и соотношением (18),
следовательно, в точке
и
где первые столбцов суть
Если определитель отличен от нуля, то систему уравнений (19) можно при разрешить в окрестности относительно , и получить для разностей степенные ряды по , не содержащие постоянных членов. Следовательно, тогда для всех значений параметра в достаточной близости от можно определить такие начальные значения и такой период , что соответствующее этим начальным значениям решение будет периодическим с периодом . Чтобы вычислить матрицу , нужно в соответствии с равенством (14) проинтегрировать только систему линейных уравнений в вариациях (7), причем следует взять в качестве известного исходного периодического решения с начальными значениями . Можно построить простые примеры, показывающие, что определитель в отличие от определителя не всегда равен нулю.
Пуанкаре распространил свой метод и на общий случай, когда правые части дифференциальных уравнений зависят явно от ; при этом правые части должны быть, однако, периодическими функциями . Предполагается, что существует периодическое решение с тем же самым периодом; легко показать на примерах, что аналогично подсчитываемый определитель по крайней мере не всегда равен нулю. Последнее правдоподобно, так как для обоснования равенства нулю определителя существенную роль у нас играла стационарность потока. Мы не будем больше здесь и далее углубляться в важные и интересные вопросы, связанные с теорией дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Бо́льшую часть известных методов и результатов этой теории можно истолковать с помощью рассмотренных нами стационарных потоков; кроме того, при начальном рассмотрении не решенной еще задачи следует ограничиваться разбором простых нетривиальных случаев.
Мы покажем теперь, что можно найти периодическое решение для значения , близкого к , с тем же самым периодом , как и в исходном решении, если известен не зависящий от интеграл , который при не является стационарным. При этом предположим, что интеграл будет аналитическим относительно , в окрестности исходного периодического решения и значения . Являясь интегралом системы (1), удовлетворяет уравнению в частных производных
тождественно по и . Если ввести теперь вектор-строку с составляющими , то, в частности,
Мы предположили, что не является стационарным при , ; поэтому не является нулевым вектором. Так как, с другой стороны, , то не все величины при равны нулю. Выберем теперь обозначения таким образом, чтобы . Так как интеграл имеет постоянное значение на каждой траектории, то равенство
удовлетворяется тождественно по . Отсюда, дифференцируя по , получим
на каждой траектории . Если здесь положить , т. е. если , то в векторной форме получим
Из уравнений (14), (20), (21) и (23) прежде всего следует , так что в случае существования нестационарного интеграла определитель равен нулю, и поэтому нельзя прямо применить метод, развитый выше. Условия того, что будет периодическим решением с периодом , даются уравнениями (13). Положим опять , и тогда нужно определить еще неизвестных , удовлетворяющих этим уравнениям. Разрешим прежде всего уравнений
и выразим в виде степенных рядов по , не содержащих постоянных членов, причем предположим, что соответствующий функциональный определитель не равен нулю при , . Соответствующая функциональная матрица порядка получается из вычеркиванием последнего столбца и предпоследней строки. Тогда при в окрестности уравнения (24) удовлетворяются. Остается показать, что вследствие существования интеграла выполняется также и последнее уравнение . Если образовать с найденными начальными значениями и решение , то на этой траектории удовлетворяется уравнение (22). Положим здесь, в частности, и применим теорему о среднем значении из дифференциального исчисления к функции и переменной . Тогда, принимая во внимание уравнения (24), получим
где , и лежит между и . Вследствие того что , будем также иметь , если только достаточно близко к ; отсюда и получится нужное нам уравнение . Этим самым доказано существование периодических решений с периодом в окрестности в предположении, что .
Будем считать теперь параметром и положим . Если условий периодичности
выполнены, то так же, как и выше, выполняется остающееся условие . В качестве функционального определителя для , очевидно, получим опять . Следовательно, в предположении существуют такжє периодические решения с фиксированным параметром и с любым заданным периодом , достаточно близким к ; начальные значения этого решения можно разложить по степеням . Для некоторых исследований выгодно ввести вместо значение интеграла на рассматриваемой замкнутой траектории как новую переменную. Пусть для исходного решения . Тогда к уравнениям (25) прибавляется еще следующее:
Это будут уравнений с неизвестными . Функциональная матрица этой системы при получается из матрицы -го порядка
вычеркиванием -го столбца и ( )-й строки. Вследствие условий и (23) ( -я строка в не зависит от остальных; то же самое имеет место для -го столбца. Следовательно, наш определитель обязательно отличен от нуля, если матрица имеет ранг . При этом предположении вышеприведенную систему уравнений можно разрешить в окрестности разложением в ряды разностей и по степеням . Выполнение условия и периодичность обусловлены существованием интеграла.
Наконец, если будет переменной, а фиксировано, при тех же предположениях получаем существование соответствующих разложений по степеням . Тогда, следовательно, для каждого вблизи существует в окрестности исходного решения периодическое решение с одним и тем же значением постоянной интеграла .
Для действительного определения тех разложений в степенные ряды, о которых шла речь, необходимо, разумеется, знать полное решение в окрестности ; в то время как для того, чтобы проверить, отличен ли соответствующий функциональный определитель от нуля, требуется только интегрирование линейной системы (7) с использованием уже известного исходного периодического решения.
Если будет известно большее число интегралов, не зависящих от , то метод можно соответствующим образом изменить, но не очень сильно.
Применим теперь метод малого параметра к ограниченной задаче трех тел. Пусть точки имеют массы , , где и пусть вращаются с угловой скоростью, равной единице, вокруг общего центра инерции. Введем, как в §17, вращающуюся систему координат, относительно которой и будут иметь координаты и . Если положить и , то система даст следующие уравнения движения точки :
где
Эта система имеет ту же форму, что и система (1), с параметром и с . При масса точки обращается в нуль и формулы
дают тогда при действительной постоянной периодическое решение, если . Период этого решения . Это решение выберем за исходное, полагая . При этом предположим, что ; в противном случае точка должна была бы пройти через место расположения точки , а это невозможно, т. к. точка будет особой точкой системы (28) при , и эта точка стремится к при . Точно так же следует предположить, что . Нам надо установить, существуют ли периодические решения системы (28) при достаточно малых положительных значениях .
Если через обозначить правые части системы (28) и через обозначить начальные значения , исходного решения при , то . Следовательно, вместо будем иметь . Для применения метода малого параметра необходимо найти решение уравнений в вариациях (7). В нашем случае они интегрируются в элементарных функциях, причем для интегрирования нужно сделать подстановку
Образуем теперь матрицу , и отсюда в соответствии с равенством (20) матрицу , но при этом заменим на третий столбец матрицы вместо последнего столбца. Вычисление показывает, что , поэтому первый метод применять нельзя. Причина этому существование для ограниченной задачи трех тел так называемого интеграла Якоби
Далее, , таким образом мы вместо имеем . Если образовать квадратную матрицу третьего порядка вычеркиванием третьего столбца и четвертой строки матрицы , то вычисление дает
Чтобы этот определитель не был равен нулю, нужно потребовать, кроме , также выполнения условия
Для радиуса исходного решения соответственно получаются значения с точкой накопления 1 , которая исключается из рассмотрения. Следовательно, при этих предположениях для достаточно малых положительных существуют периодические решения системы (28) с периодом .
Далее, пусть будет достаточно малым положительным числом, для которого имеется периодичєское решение системы (28) с периодом и пусть есть соответствующее значение постоянной интеграла Якоби (31). Покажем, используя метод Пуанка, что для каждого достаточно близкого к значения будут существовать периодические решения с периодом, близким к . Для этого исследуем теперь ранг квадратной матрицы пятого порядка , определенной равенством (27). Если вычеркнуть в третий столбец и четвертую строку, то соответствующий минор при имеет значение , которое не равно нулю, если выполняется условие (32). Если теперь при фиксированном выбрать положительное число достаточно малым, то ранг матрицы при на рассматриваемом периодическом решении равен 4 . Следовательно, для каждого такого значения существует семейство периодических решений, зависящее от ; период этих решений может быть разложен в окрестности по степеням , и при он имеет исходное значение . Таким образом, исходя из и кругового решения с периодом , нам удается найти при малых положительных сначала периодические решения системы (28) с тем же самым периодом и затем после фиксирования удается найти семейство периодических решений, зависящих от параметра , причем период этих решений , вообще говоря, не равен .
Метод малого параметра дает периодические решения только для достаточно малой окрестности значений . Интересно было бы изучить поведение решений при аналитическом продолжении по . Рассмотрим только случай системы Гамильтона
для которой ; тогда будет интегралом этой системы. В частности, при и получается система (28), для которой определяется выражением (31). Пусть теперь есть область действительного пространства , в которой функция Гамильтона регулярна и не имеет стационарных точек. Будем исходить из периодического решения , лежащего в , которое к тому же не является равновесным. На этом решении интеграл также не будет нигде стационарным. Пусть ранг соответствующей матрицы , определенной равенством (27), есть . Если обозначить через значение параметра для заданного решения, то метод малого параметра дает семейство периодических решений , зависящее от параметра , начальные значения которых и период можно разложить по степеням в окрестности . При этом будет исходной кривой семейства , и для достаточно малых по абсолютной величине кривая лежит целиком в . Повторно применяя метод малого параметра, продолжим аналитически это решение вдоль действительной оси . При этом предположим, что все решения продолжены на весь интервал , и все они лежат в . Исследуем поведение при . Если для каждой замкнутой ограниченной подобласти области существует число , такое, что при условии никакая уже не лежит целиком в , то мы будем говорить, что покидает при . Пусть рассматривается не этот случай. Тогда по теореме о накоплении можно найти такое и такую последовательность , что все будут целиком лежать в и соответствующие начальные значения будут сходиться к точке области . При этом возможен случай, когда для каждой такой последовательности период , соответствующий кривой , стремится к . Этот случай мы также исключаем из рассмотрения. Тогда можно найти такую подпоследовательность, для которой стремится к конечному предельному значению . Величина может быть нулем, так как в противном случае вследствие непрерывной зависимости решений от начальных данных точка соответствовала бы равновесному решению системы (33), в то время как было предположено, что из области исключены стационарные точки интеграла . Тогда вследствие тех же самых теорем непрерывности решения , принадлежащие названной последовательности, стремятся к решению с начальными значениями и периодом , и это решение, во всяком случае, лежит в , а следовательно, и в .
Если ранг матрицы для решения равен опять , то решение можно, очевидно, продолжить за . Остается рассмотреть случай, когда ранг меньше . Поэтому нужно исследовать при старых обозначениях аналитических уравнений (25) и (26) вблизи , для которых функциональный определитель равен нулю тождественно относительно и , но в то же самое время при имеется однопараметрическое семейство действительных решений. Тогда путем использования леммы Вейерштрасса можно показать, что существует решение в виде рядов по степеням с действительными коэффициентами, где есть выбранное подходящим образом наименьшее натуральное число. Следовательно, в этом случае имеется точка ветвления порядка , и решение можно продолжить и при . Если нечетное, то для получим опять действительные значения рядов для . Напротив, если четное, то корень имеет при два различных действительных значения. Следовательно, если в последнем случае устремить к по другой действительной ветви , то получится второе семейство периодических решений, которое отлично от первоначального. Поэтому в последнем случае также можно построить аналитическое продолжение решений.
Аналогично можно рассмотреть случай, когда убывает от значения . С другой стороны, можно опять начать процесс продолжения при и получить в данном случае другие точки ветвления при действительном продолжении решения в интервале от до . Такое продолжение будет возможным, если не встретится какой-нибудь исключенный из рассмотрения случай, т. е. либо если покинет область , либо если будет неограниченно возрастать.
Для ограниченной задачи трех тел в качестве можно выбрать пространство всех действительных и , из которого особые точки и , а также пять стационарных точек функции выброшены. Если траектория при покидает область , то это означает, что выброшенные точки являются точками накопления точек . Для стационарных точек функции предельным переходом из получаем равновесные решения. Для особых точек известно соответствующее регуляризирующее преобразование, которое дает в пределе траектории столкновения и показывает, что и здесь можно построить аналитическое продолжение по . Процесс продолжения периодических решений ограниченной задачи трех тел Стремгреном и его сотрудниками был осуществлен численно. Встречающиеся при этом теоретические вопросы подробно разработаны Винтнером [2].