Применим сформулированную в §14 теорему существования к задаче трех тел на плоскости и докажєм существование периодических решений вблизи круговых решений Лагранжа. При этом мы будем использовать обозначения $\S 12$, в которых $q_{2 k-1}, q_{2 k}(k=1,2,3$ ) будут координатами трех материальных точек в неподвижной плоскости. Уравнения движения запишем в форме Гамильтона
\[
\dot{q}_{k}=E_{p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-E_{q_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

где функция Гамильтона $E=T-U$ определяется выражением (12;1). Каноническое преобразование $(12 ; 3),(12 ; 4)$ соответствует вращению системы координат в рассматриваемой плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. Преобразованные дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\dot{x}_{k}=F_{y_{k}}, \quad \dot{y_{k}}=-F_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
F=E+\omega Q=T-U+\omega Q, \quad Q=\sum_{k=1}^{3}\left(x_{2 k} y_{2 k-1}-x_{2 k-1} y_{2 k}\right), \\
T=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{3} m_{k}^{-1}\left(y_{2 k-1}^{2}+y_{2 k}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь в качестве равновесных решений получались треугольные и прямоугольные решения Лагранжа, причем $\omega$ выбиралось согласно условиям $(12 ; 7)$ и $(12 ; 10)$. Не ограничивая общности, положим $\omega=1$.

Чтобы к системе (1) применить теорему существования § 14 , нужно разложить в ряд функцию $F=F(x, y)$ в окрестности соответствующего равновесного решения $x_{k}=x_{k 0}, y_{k}=y_{k 0}(k=1, \ldots, 6)$ и вычислить члены второй степени. Если положить $z_{k}=x_{k}-x_{k 0}, z_{k+6}=y_{k}-y_{k 0}$, то разложение Тейлора имеет вид
\[
F(x, y)=F\left(x_{0}, y_{0}\right)+\frac{1}{2} \sum_{k, l=1}^{12} s_{k l} z_{k} z_{l}+\ldots,
\]

где матрица $\mathfrak{S}=\left(s_{k l}\right)$ выбрана симметричной. Согласно $\S 13$, соответствующие собственные значения $\lambda_{k}$ получаются из уравнения двенадцатой степени $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S}|=0$, которое можно также записать в виде $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}=0|$. В дальнейшем мы выполним вычисление этого определителя, а сейчас допустим, что это уже сделано. Тогда в случае равностороннего треугольника получим
\[
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=\lambda^{2}\left(\lambda^{2}+1\right)^{3}\left(\lambda^{4}+\lambda^{2}+\gamma\right),
\]

где
\[
\gamma=\frac{27}{4} \frac{m_{1} m_{2}+m_{2} m_{3}+m_{1} m_{3}}{\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)^{2}},
\]

и в случае прямолинейного движения, если $P_{2}$ лежит между $P_{1}$ и $P_{3}$,
\[
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=\lambda^{2}\left(\lambda^{2}+1\right)^{3}\left[\lambda^{4}+(1-\alpha) \lambda^{2}-\alpha(2 \alpha+3)\right],
\]

где
\[
\alpha=\frac{m_{1}\left(1+\rho^{-1}+\rho^{-2}\right)+m_{3}\left(1+\sigma^{-1}+\sigma^{-2}\right)}{m_{1}+m_{2}\left(\rho^{-2}+\sigma^{-2}\right)+m_{3}},
\]

причем $\sigma=1-\rho$ и $\rho$ суть опять решения уравнения ( $12 ; 10$ ). Следовательно, в обоих случаях получим $\lambda=0$ как двойной корень и $\lambda= \pm i$ даже как тройной корень, в то время как в теореме существования предполагалось, что все собственные значения $\lambda_{k}$ являются простыми.

Корень $\pm i$ можно получить и другим способом без всякого вычисления. А именно, возвратимся к координатам $q$ в неподвижной системе отсчета; они для рассматриваемого равновесного решения, очевидно, имеют период $2 \pi$. Если теперь заменить координаты $q_{2 k-1}, q_{2 k}$ на
$q_{2 k-1}+a, q_{2 k}+b(k=1,2,3)$, где $a$ и $b$ являются произвольными линейными функциями от $t$, то уравнения движения удовлетворяются. Таким образом, в силу преобразований $(12 ; 3),(12 ; 4)$ из каждого равновесного решения $x_{k 0}, y_{k 0}$ получается решение
\[
\left\{\begin{aligned}
x_{2 k-1} & =x_{2 k-1,0}+a c+b s, \\
y_{2 k-1} & =y_{2 k-1,0}+\dot{a} c+\dot{b} s, \\
x_{2 k} & =x_{2 k, 0}-a s+b c, \\
y_{2 k} & =y_{2 k, 0}-\dot{a} s+\dot{b} c \quad(k=1,2,3) .
\end{aligned}\right.
\]

Оно имеет период $2 \pi$, если $a$ и $b$ выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением по степеням функций $e^{\lambda t}$ и $e^{-\lambda t}$ при $\lambda=i$. С другой стороны, теорема существования $\S 14$ дает прямое разложение в ряд решения по степеням $e^{\alpha t}$ и $e^{-\alpha t}$ с $\alpha=\lambda+\ldots$, причем $\lambda$ есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения $\pm i$. Впрочем, фактически у нас $\pm i$ являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) $a$ и $b$ могут быгь линейными функциями времени; но это замечание пока еше нельзя доказать, так как в § 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения $\lambda=0$ также имеет свою причину: мы потом покажем, что это следует из интеграла площадей.

Чтобы можно было применить теорему существования $\S 14$, нужно сделать корни простыми, что удается сделать понижением порядка системы Гамильтона (1) с помощью интегралов движения центра инерции и интегралов площадей. Прежде всего введем линейное каноническое преобразование, аналогичное преобразованию $(7 ; 4),(7 ; 5)$, а именно:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\xi_{2 k-1}=x_{2 k-1}-x_{5}, \quad \xi_{2 k}=x_{2 k}-x_{6} \quad(k=1,2), \\
\xi_{5}=x_{5}, \quad \xi_{6}=x_{6}, \quad \eta_{k}=y_{k} \quad(k=1, \ldots, 4), \\
\eta_{5}=y_{1}+y_{3}+y_{5}, \quad \eta_{6}=y_{2}+y_{4}+y_{6} .
\end{array}\right.
\]

При помощи этого преобразования мы вводим относительные координаты точек $P_{1}$ и $P_{2}$ относительно точки $P_{3}$. Теперь новые уравнения движения имеют следующий вид:
\[
\dot{\xi}_{k}=F_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-F_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6) .
\]

Так как $U$ зависит только от разностей первоначальных координат, то новые координаты $\xi_{5}, \xi_{6}$ в функцию $U$ не войдут. В силу равенств (2), (3) найдем $F=T-U+Q$, где
\[
Q=\sum_{k=1}^{3}\left(\xi_{2 k} \eta_{2 k-1}-\xi_{2 k-1} \eta_{2 k}\right),
\]
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2} m_{3}^{-1}\left[\left(\eta_{5}-\eta_{3}-\eta_{1}\right)^{2}+\left(\eta_{6}-\eta_{4}\right.\right. & \left.\left.-\eta_{2}\right)^{2}\right] \\
& +\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2} m_{k}^{-1}\left(\eta_{2 k-1}^{2}+\eta_{2 k}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Вследствие соотношений $Q_{\xi_{6}}=\eta_{5}$ и $Q_{\xi_{5}}=-\eta_{6}$ из уравнений (10) следует, в частности,
\[
\dot{\eta}_{5}=\eta_{6}, \quad \dot{\eta}_{6}=-\eta_{5},
\]

что соответствует теореме о движении центра инерции для вращающейся системы координат. Если предположить теперь, что центр инерции в первоначальной системе координат покоится, как это имеет место для решений Лагранжа, то $\eta_{5}=0, \eta_{6}=0$. При этом решение системы (10) приводится к интегрированию приведенной системы Гамильтона
\[
\dot{\xi}_{k}=F_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-F_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, 4)
\]

и последующему определению квадратурами $\xi_{5}, \xi_{6}$ из уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\xi}_{5}=F_{\eta_{5}}=\xi_{6}-m_{3}^{-1}\left(\eta_{3}-\eta_{1}\right), \\
\dot{\xi}_{6}=F_{\eta_{6}}=-\xi_{5}-m_{3}^{-1}\left(\eta_{4}+\eta_{2}\right) .
\end{array}\right.
\]

Из уравнений (13) и (15) непосредственно видно, что собственные значения $i,-i$ для равновесного решения приведенной системы будут только простыми. Следовательно, при этом преобразовании в характеристических уравнениях (4) и (6) множитель $\left(\lambda^{2}+1\right)^{3}$ заменяется на первую степень множителя $\lambda^{2}-1$. Но остается еще $\lambda^{2}$, и этот множитель устраняется с помощью использования интеграла площадей $Q$. При этом вследствие $\eta_{5}=\eta_{6}=0$ имеем
\[
Q=\sum_{k=1}^{2}\left(\xi_{2 k} \eta_{2 k-1}-\xi_{2 k-1} \eta_{2 k}\right) .
\]

Покажем сначала, что двойной корень $\lambda=0$ является следствием существования не зависящего от $t$ интеграла $Q$. Рассмотрим опять общую систему
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

имеющую $x=0$ равновесным решением. Пусть функции $f_{k}(x)$ при $x=0$ будут регулярными, так что существует разложение в ряд $f(x)=\mathfrak{A} x+\ldots$ Предположим далее, что при $x=0$ существует интеграл $\psi(x)$ системы (17), который не зависит явно от $t$. Пусть $\psi(x)=\psi(0)+c x+\ldots$ есть ряд для $\psi(x)$, причем, следовательно, $c$ обозначает вектор-строку. Из уравнения в частных производных
\[
\sum_{k=1}^{m} \psi_{x_{k}} f_{k}(x)=0,
\]

которому удовлетворяет $\psi$, получаем при сравнении коэффициентов линейных членов, что $c \mathfrak{A}=0$. Если теперь $c
eq 0$, то отсюда следует $|\mathfrak{A}|=0$, и характеристическое уравнение $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{A}|=0$ имеет тогда корень $\lambda=0$. С помощью выражений (2), (11) и (16) для $Q$ легко усматривается, что частные производные первого порядка не все равны нулю для положения равновесия, так что выполняется условие $c
eq 0$. Этим и объясняется наличие множителя $\lambda$ в уравнениях (4) и (6); так как $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$ есть четная функция от $\lambda$, то в эти уравнения должен входить множитель $\lambda^{2}$. Следует заметить, что хотя интегралы движения центра инерции также не зависят от $t$ во вращающейся системе координат, но они все же не могут быть использованы в вышеизложенном смысле вместо $Q$.

Итак, для устранения множителя $\lambda^{2}$ необходимо произвести еще одно понижение порядка системы Гамильтона с помощью интеграла площадей. Для этого определим такое каноническое преобразование, которое вводит $Q$ как новое независимое переменное. Такой переход был осуществлен еще Якоби для пространственной задачи трех тел, где эта операция именуется исключением узлов. Чтобы пояснить идею, рассмотрим произвольную систему Гамильтона $\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}, \dot{y}_{k}=-H_{x_{k}}$ с неизвестными функциями $x_{k}, y_{k}(k=1, \ldots, n)$ и предположим, что существует интеграл $\psi(x, y)$, не содержащий $t$. Введем посредством порождающей функции $w=w(\xi, y)$ с помощью равенств $(3 ; 4)$ подстановку
\[
\eta_{k}=w_{\xi_{k}}, \quad x_{k}=w_{y_{k}} \quad(k=1, \ldots, n), \quad\left|w_{\xi_{k} y_{l}}\right|
eq 0,
\]

являющуюся каноническим преобразованием $x, y$ в $\xi, \eta$, и добьемся того, чтобы $\eta_{n}=\psi(x, y)$. Это приводит к дифференциальному уравнению в частных производных
\[
w_{\xi_{n}}=\psi\left(w_{y}, y\right) .
\]

Предположим, что имеется решение уравнения (19), которое удовлетворяет условию $\left|w_{\xi_{k} y_{l}}\right|
eq 0$. Если обозначить столбцы переменных $x$, $y$ и $\xi, \eta$ соответственно через $z$ и $\zeta$, а функциональную матрицу $\zeta_{z}$ через $\mathfrak{M}$, то $\mathfrak{M}$ будет симплектической, поэтому $\mathfrak{M} \mathfrak{J} \mathfrak{M}^{\prime}=\mathfrak{J}$, откуда получим $H_{z}=\mathfrak{M}^{\prime} H_{\zeta}, \psi_{z}=\mathfrak{M}^{\prime} \psi_{\zeta}$. Поэтому выражение
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{x_{k}} H_{y_{k}}-\psi_{y_{k}} H_{x_{k}}\right)=\psi_{z}^{\prime} \mathfrak{J} H_{z}
\]

остается при переходе от $z$ к $\zeta$ инвариантным, с другой стороны, оно тождественно равно нулю, так как $\psi(x, y)$ есть интеграл. Но в силу уравнений (18) и (19) $\psi=\eta_{n}$, и, значит, $\psi_{\eta_{n}}=1$, в то же время другие частные производные от $\psi$ как функции $\zeta$ все будут равны нулю. Из равенства (20) поэтому следует $H_{\xi_{i}}=0$, и вместе с тем $H$ после введения $\xi, \eta$ от $\xi_{n}$ не зависит. Если еще предположить, что данная система обладает равновесным решением, в окрестности которого функция Гамильтона и каноническое преобразование (18) будут аналитическими, то из новых дифференциальных уравнений
\[
\dot{\xi}_{k}=H_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-H_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

следует, что строка в матрице $\mathfrak{A}$, соответствующая переменной $\eta_{n}$, и столбец, соответствующий переменной $\xi_{n}$, состоят из нулей. Это опять доказывает существование множителя $\lambda^{2}$ в выражении $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{A}|$. При переходе к приведенной системе
\[
\dot{\xi}_{k}=H_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-H_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n-1)
\]

этот множитель выпадает. Если, наконец, проинтегрировать систему (22), то функция $\xi_{n}$ получается после этого квадратурой из дифференциального уравнения $\dot{\xi}_{n}=H_{\eta_{n}}$.

Этот результат можно применить к системе Гамильтона (14), в которой вместо $x, y, \xi, \eta, \psi, n$ стоят $\xi, \eta, u, v, Q, 4$. Так как $Q$ в силу равенств (11) является билинейной формой относительно $\xi, \eta$, то для $w(u, \eta)$ будем искать линейную подстановку
\[
w=\sum_{k=1}^{4} g_{k} \eta_{k}, \quad g_{k}=g_{k}(u)
\]

с помощью которой уравнение в частных производных (19) переходит в
\[
\sum_{k=1}^{4} g_{k u_{4}} \eta_{k}=\sum_{k=1}^{2}\left(g_{2 k} \eta_{2 k-1}-g_{2 k-1} \eta_{2 k}\right)
\]

итак,
\[
g_{2 k-1, u_{4}}=g_{2 k}, \quad g_{2 k, u_{4}}=-g_{2 k-1} \quad(k=1,2) .
\]

Частное решение
\[
\begin{array}{c}
g_{1}=u_{1} c, \quad g_{2}=-u_{1} s, \quad g_{3}=u_{2} c+u_{3} s, \quad g_{4}=-u_{2} s+u_{3} c, \\
c=\cos u_{4}, \quad s=\sin u_{4}
\end{array}
\]

уравнений (23) удовлетворяет при $u_{1}
eq 0$ условию $\left|w_{u_{k} \eta_{l}}\right|=0$, так как $\left|w_{u_{k} \eta_{l}}\right|=\left|d_{l u_{k}}\right|=-u_{1}$. Тогда при этом предположении в силу уравнений (18) искомое каноническое преобразование имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\xi_{1}=u_{1} c, \quad \xi_{2}=-u_{1} s, \quad \xi_{3}=u_{2} c+u_{3} s, \quad \xi_{4}=-u_{2} s+u_{3} c, \\
\left\{\begin{array}{l}
v_{1}=\eta_{1} c-\eta_{2} s, \quad v_{2}=\eta_{3} c-\eta_{4} s, \quad v_{3}=\eta_{3} s+\eta_{4} c \\
v_{4}=\sum_{k=1}^{2}\left(\xi_{2 k} \eta_{2 k-1}-\xi_{2 k-1} \eta_{2 k}\right)=Q .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

При преобразовании последнего уравнения получим
\[
v_{4}=u_{3} v_{2}-u_{2} v_{3}-u_{1}\left(\eta_{1} s+\eta_{2} c\right)
\]

следовательно,
\[
\eta_{1} s+\eta_{2} c=v_{0}
\]

причем значение
\[
v_{0}=u_{1}^{-1}\left(u_{3} v_{2}-u_{2} v_{3}-v_{4}\right)
\]

может быть определено. То, что функция Гамильтона $F$ в новых координатах $u, v$ не зависит больше от $u_{4}$, получается также и прямым путем. Именно в силу равенств (25), (26) имеем
\[
\begin{array}{c}
v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=\eta_{3}^{2}+\eta_{4}^{2}, \quad v_{1}^{2}+v_{0}^{2}=\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2} \\
\left(v_{1}+v_{2}\right)^{2}+\left(v_{3}+v_{0}\right)^{2}=\left(\eta_{1}+\eta_{3}\right)^{2}+\left(\eta_{2}+\eta_{4}\right)^{2}
\end{array}
\]

и вследствие $\eta_{5}=\eta_{6}=0$ из равенства (12) получим формулу
\[
T=\frac{1}{2}\left\{m_{1}^{-1}\left(v_{1}^{2}+v_{0}^{2}\right)+m_{2}^{-1}\left(v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)+m_{3}^{-1}\left[\left(v_{1}+v_{2}\right)^{2}+\left(v_{3}+v_{0}\right)^{2}\right]\right\},
\]

так что $T$ и $Q=v_{4}$ не содержат $u_{4}$. Чтобы показать то же самое для $U$, примем во внимание, что в силу равенств (24) преобразование $\xi_{k}$ $(k=1, \ldots, 4)$ в $u_{k}$ есть поворот на угол $-u_{4}$ около материальной точки $P_{3}$ как центра вращения, причем точки $\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right),\left(\xi_{3}, \xi_{4}\right)$ переходят в $\left(u_{1}, 0\right),\left(u_{2}, u_{3}\right)$. Следовательно, $\left(u_{1}, 0\right),\left(u_{2}, u_{3}\right)$ будут координатами $P_{1}, P_{2}$ в прямоугольной декартовой системе координат с началом в $P_{3}$, ось абсцисс которой направлена в $P_{1}$. В частности, поэтому $u_{1}
eq 0$. Так как $U$ зависит только от взаимных расстояний трех материальных точек, то $U$ будет функцией одних $u_{1}, u_{2}, u_{3}$. Система Гамильтона (14) переходит теперь вследствие введения новых координат в другую систему более низкого порядка
\[
\dot{u}_{k}=F_{v_{k}}, \quad \dot{v}_{k}=-F_{u_{k}} \quad(k=1,2,3),
\]

и отщепляется система
\[
\dot{u}_{4}=F_{v_{4}}, \quad \dot{v}_{4}=0 .
\]

Для $v_{4}$ будет выбрано постоянное значение, соответствующее положению равновесия. Тогда, если проинтегрировать уравнения (27), то $u_{4}$ получается из первого уравнения (28) квадратурой. Очевидно, что для системы Гамильтона (27) характеристический многочлен имеет для случая равностороннего треугольника вид $\left(\lambda^{2}+1\right)\left(\lambda^{4}+\lambda^{2}+\gamma\right)$ и для случая прямолинейного движения $\left(\lambda^{2}+1\right) \times\left[\lambda^{4}+(1-\alpha) \lambda^{2}-\alpha(2 \alpha+3)\right]$, причем значения $\gamma$ и $\alpha$ заданы равенствами (5) и (7).

Рассмотрим сперва случай равностороннего треугольника. Если положить
\[
\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma}=\rho, \quad a_{1}=\frac{1}{2}+\rho, \quad a_{2}=\frac{1}{2}-\rho,
\]

TO
\[
\left(\lambda^{2}+1\right)\left(\lambda^{4}+\lambda^{2}+\gamma\right)=\left(\lambda^{2}+1\right)\left(\lambda^{2}+a_{1}\right)\left(\lambda^{2}+a_{2}\right) .
\]

Так как $\gamma>0$, то случай кратности собственных значений встретится только при $\gamma=\frac{1}{4}$; этот случай можно исключить. Если $\gamma>\frac{1}{4}$, то $a_{1}, a_{2}$ комплексно сопряжены и различны; для $\gamma<\frac{1}{4}$ будет $0<a_{2}<a_{1}<1$.

Следовательно, по теореме существования $\S 14$ корням $\lambda_{3}=i, \lambda_{6}=-i$ соответствует однопараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный $2 \pi$. Но эти решения уже известны: они были найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце $§ 12$, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей $v_{4}$ существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период $\tau$. Если положить $c=\cos \left(t-u_{4}\right), s=\sin \left(t-u_{4}\right)$, то из уравнений $(12 ; 3)$, $(12 ; 4),(9)$ и $(24)$ получается
\[
\begin{aligned}
q_{1}-q_{5} & =u_{1} c, & q_{2}-q_{6} & =u_{1} s, \\
q_{3}-q_{5} & =u_{2} c-u_{3} s, & q_{4}-q_{6} & =u_{2} s+u_{3} c, \\
p_{1} & =v_{1} c-v_{0} s, & p_{2} & =v_{1} s+v_{0} c, \\
p_{3} & =v_{2} c-v_{3} s, & p_{4} & =v_{2} s+v_{3} c,
\end{aligned}
\]

так что $u_{1}, c, s, u_{2}, u_{3}, v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ действительно имеют период $\tau$. Поэтому можно ограничиться теперь двумя другими чисто мнимыми парами корней $\lambda_{1}, \lambda_{4}=-\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}, \lambda_{5}=-\lambda_{2}$, которые существуют при $\gamma<\frac{1}{4}$, т. е. при условии
\[
27\left(m_{1} m_{2}+m_{2} m_{3}+m_{3} m_{1}\right)<\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)^{2} .
\]

Очевидно, что это неравенство и есть условие для $m_{1}, m_{2}, m_{3}$; оно, например, не выполнено, если $m_{1}=m_{2}=m_{3}$. Впрочем, нельзя сказать, что в этом случае не будет других периодических решений; однако эти решения нельзя получить с помощью замен $\S 12$ и $\S 14$.

Положим теперь $\lambda_{1}^{2}=-a_{1}, \lambda_{2}^{2}=-a_{2}$ и посмотрим, выполняется ли условие, чтобы отношения $\lambda_{k} / \lambda_{1}$ при $k=2,3$ не имели целочисленных значений. Имеем
\[
-\lambda_{3}^{2}=1>-\lambda_{1}^{2}=a_{1}>\frac{1}{2}>a_{2}=-\lambda_{2}^{2}>0,
\]

следовательно, $0<\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\right)^{2}<1$ и $1<\left(\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{1}}\right)^{2}<2$. Поэтому оба условия выполнены, и по теореме существования получаем семейство периодических решений с периодом, приблизительно равным $2 \pi i / \lambda_{1}$. Чтобы исследовать отношения $\lambda_{k} / \lambda_{2}$ при $k=1,3$, положим $\lambda_{3} / \lambda_{2}=\varkappa_{2}$. Тогда, следовательно, $\lambda_{2}^{2}=-\varkappa_{2}^{-2}$, откуда получается $\varkappa_{2}^{-4}-\varkappa_{2}^{-2}+\gamma=0$. Поэтому нужно потребовать, чтобы для всех целых чисел $g>1$ выполнялось неравенство
\[
\gamma
eq g^{-2}-g^{-4} .
\]

Если положить аналогично $\lambda_{1} / \lambda_{2}=\varkappa$, откуда $\lambda_{1}^{2}=\varkappa^{2} \lambda_{2}^{2}$, то $\varkappa^{2}>1$ и $\left(\varkappa \lambda_{2}\right)^{4}+\left(\varkappa \lambda_{2}\right)^{2}+\gamma=0$, что вследствие $\lambda_{2}^{4}+\lambda_{2}^{2}+\gamma=0$ дает $\left(\varkappa^{4}-1\right) \lambda_{2}^{4}+\left(\varkappa^{2}-1\right) \lambda_{2}^{2}=0,\left(\varkappa^{2}+1\right) \lambda_{2}^{2}+1=0$,
\[
\left(\varkappa^{2}+1\right)^{-2}-\left(\varkappa^{2}+1\right)^{-1}+\gamma=0 .
\]

Следовательно, нужно в дальнейшем потребовать, чтобы для всех целых $g>1$
\[
\gamma
eq\left(g-g^{-1}\right)^{-2} .
\]

Если для $\gamma$ выполняется счетное множество условий (29) и (30), то по теореме существования имеется второе семейство периодических решений с приближенным значением периода $2 \pi i / \lambda_{2}$.

Подобным же образом можно рассмотреть периодические решения вблизи прямолинейных решений. В этом случае опять получается семейство эллиптических решений Лагранжа, которые лежат вблизи круговых и соответствуют паре собственных значений $i,-i$. Остальные собственные значения получаются из корней $\lambda_{1}^{2}, \lambda_{2}^{2}$ квадратного уравнения
\[
x^{2}+(1-\alpha) x-\alpha(2 \alpha+3)=0,
\]

причем $\alpha$ определяется формулой (7). Так как $\alpha>0$, то эти корни действительны и имеют противоположные знаки, поэтому можно предположить, что $\lambda_{1}^{2}<0, \lambda_{2}^{2}>0$. Следовательно, кроме $\pm \lambda_{3}= \pm i$, имеется еще одна пара чисто мнимых собственных значений, а именно $\pm \lambda_{1}$. Так как левая часть уравнения (31) имеет при $x=-1$ отрицательное значение $-2 \alpha(\alpha+1)$, то отрицательный корень уравнения (31) удовлетворяет неравенству
\[
\lambda_{1}^{2}<-1=\lambda_{3}^{2}<0,
\]

и поэтому отношение $\lambda_{3} / \lambda_{1}$ не может быть целым числом. Вследствие этого вблизи прямолинейных решений Лагранжа имеется простое семейство периодических решений с приближенным значением периода $2 \pi i / \lambda_{1}$. Согласно $\S 14$, паре действительных собственных значений $\pm \lambda_{2}$ соответствуют четыре решения задачи трех тел, которые асимптотически стремятся при $t \rightarrow \infty$ и, соответственно, при $t \rightarrow-\infty$ к равновесному решению, кроме того семейства решений, которое только для ограниченного интервала времени остается в малой окрестности равновесного решения.

Периодические решения, существование которых было доказано, могут быть разложены с помощью замены, упомянутой в § 14, в ряды Фурье.

В заключение рассмотрим вычисление определителя $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$. В случае равностороннего треугольника используем относительные координаты $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$ и обозначим через $\xi_{k}^{*}, \eta_{k}^{*}$ их значения для решения Лагранжа. Примем, что после соответствующего поворота
\[
\xi_{1}^{*}=-\xi_{3}^{*}=\frac{r}{2}, \quad \xi_{2}^{*}=\xi_{4}^{*}=\frac{r}{2} \sqrt{3} .
\]

Заменим теперь $\xi, \eta$ на $\xi+\xi^{*}, \eta+\eta^{*}$ и разложим $U$ по степеням $\xi_{k}$ $(k=1, \ldots, 6)$. Вводя для сокращения обозначения
\[
\begin{array}{c}
s_{k l}=2 r^{-2}\left\{\left(x_{k}-x_{l}\right)\left(x_{k}^{*}-x_{l}^{*}\right)+\left(x_{k+3}-x_{l+3}\right)\left(x_{k+3}^{*}-x_{l+3}^{*}\right)\right\}, \\
q_{k l}=r^{-2}\left\{\left(x_{k}-x_{l}\right)^{2}+\left(x_{k+3}-x_{l+3}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]

при $1 \leqslant k<l \leqslant 3$, будем иметь
\[
r_{k l}^{-1}=r^{-1}\left(1+s_{k l}+q_{k l}\right)^{-1 / 2}=r^{-1}\left(1-\frac{1}{2} s_{k l}-\frac{1}{2} q_{k l}+\frac{3}{8} s_{k l}^{2}+\ldots\right),
\]

и, таким образом, для членов второй степени относительно $\xi_{k}$ в выражении для $-2 U$ получим
\[
\begin{aligned}
V=\frac{m_{1} m_{3}}{4 r^{3}}\left(\xi_{1}^{2}-6 \sqrt{3} \xi_{1} \xi_{2}-5 \xi_{2}^{2}\right) & +\frac{m_{2} m_{3}}{4 r^{3}}\left(\xi_{3}^{2}+6 \sqrt{3} \xi_{3} \xi_{4}-5 \xi_{4}^{2}\right)+ \\
& +\frac{m_{1} m_{2}}{r^{3}}\left\{\left(\xi_{2}-\xi_{4}\right)^{2}-2\left(\xi_{1}-\xi_{3}\right)^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Тогда в силу уравнений (11) и (12) $\mathfrak{S}$ будет матрицей квадратичной формы $V+2 Q+2 T$ относительно двенадцати переменных $\xi_{k}, \eta_{k}$ $(k=1, \ldots, 6)$. Если положить еще $m_{k}^{-1}=\mu_{k}(k=1,2,3)$ и ввести матрицы четвертого порядка
\[
\mathfrak{A}=\frac{m_{1} m_{2} m_{3}}{4 r^{3}}\left\|\begin{array}{cccc}
\mu_{2}-8 \mu_{3} & -3 \sqrt{3} \mu_{2} & 8 \mu_{3} & 0 \\
-3 \sqrt{3} \mu_{2} & 4 \mu_{3}-5 \mu_{2} & 0 & -4 \mu_{3} \\
8 \mu_{3} & 0 & \mu_{1}-8 \mu_{3} & 3 \sqrt{3} \mu_{1} \\
0 & -4 \mu_{3} & 3 \sqrt{3} \mu_{1} & 4 \mu_{3}-5 \mu_{1}
\end{array}\right\|,
\]

\[
\begin{aligned}
\mathfrak{B} & =\left\|\begin{array}{cccc}
\lambda & -1 & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & -1 \\
0 & 0 & 1 & \lambda
\end{array}\right\|, \quad \mathfrak{C}=\left\|\begin{array}{cccc}
-\lambda & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda & 1 \\
0 & 0 & -1 & -\lambda
\end{array}\right\|, \\
\mathfrak{D} & =\left\|\begin{array}{cccc}
\mu_{1}+\mu_{3} & 0 & \mu_{3} & 0 \\
0 & \mu_{1}+\mu_{3} & 0 & \mu_{3} \\
\mu_{3} & 0 & \mu_{2}+\mu_{3} & 0 \\
0 & \mu_{3} & 0 & \mu_{2}+\mu_{3}
\end{array}\right\|,
\end{aligned}
\]

то тогда
\[
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=\left(\lambda^{2}+1\right)^{2}\left|\begin{array}{ll}
\mathfrak{A} & \mathfrak{B} \\
\mathfrak{C} & \mathfrak{D}
\end{array}\right| .
\]

Вследствие

будем иметь
\[
\left|\begin{array}{ll}
\mathfrak{A} & \mathfrak{B} \\
\mathfrak{C} & \mathfrak{D}
\end{array}\right|=\left|\mathfrak{D} \mathfrak{U}-\mathfrak{D} \mathfrak{B} \mathfrak{D}^{-1} \mathfrak{C}\right|,
\]

откуда непосредственным вычислением определителя четвертого порядка получим соотношения (4) и (5).

В случае прямолинейного движения можно для координат $x_{2 k-1}=$ $=x_{2 k-1}^{*}(k=1,2,3)$ исходного равновесного решения подставить их значения, найденные из решения уравнений $(12 ; 8)$; в то же время $x_{2 k}^{*}=0$. Полагая
\[
\begin{array}{c}
u_{k}=x_{2 k-1}-x_{2 k-1}^{*}, \quad u_{k+3}=x_{2 k}-x_{2 k}^{*}, \quad u_{k+6}=y_{2 k-1}-y_{2 k-1}^{*}, \\
u_{k+9}=y_{2 k}-y_{2 k}^{*} \quad(k=1,2,3),
\end{array}
\]

разложим функцию $F$ по степеням $u_{1}, \ldots, u_{12}$, получим
\[
F(x, y)=F\left(x^{*}, y^{*}\right)+\frac{1}{2} \sum_{k, l=1}^{12} r_{k l} u_{k} u_{l}+\ldots
\]

с симметричной матрицей $\left(r_{k l}\right)=\Re$, имеющей двенадцатый порядок. Так как линейная подстановка (33) будет канонической, то $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=$ $=|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}| ;$ с другой стороны, используя равенство (32), найдем, что
\[
\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}=\left\|\begin{array}{cccc}
-2 \mathfrak{W} & 0 & \lambda \mathfrak{E} & -\mathfrak{E} \\
0 & \mathfrak{W} & \mathfrak{E} & \lambda \mathfrak{E} \\
-\lambda \mathfrak{E} & \mathfrak{E} & \mathfrak{M}^{2} & 0 \\
-\mathfrak{E} & -\lambda \mathfrak{E} & 0 & \mathfrak{M}^{2}
\end{array}\right\|,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{W}=m_{1} m_{2} m_{3} a^{-3}\left\|\begin{array}{ccc}
\mu_{2}+\mu_{3} \rho^{-3} & -\mu_{3} \rho^{-3} & -\mu_{2} \\
-\mu_{3} \rho^{-3} & \mu_{3} \rho^{-3}+\mu_{1} \sigma^{-3} & -\mu_{1} \sigma^{-3} \\
-\mu_{2} & -\mu_{1} \sigma^{-3} & \mu_{2}+\mu_{1} \sigma^{-3}
\end{array}\right\|, \\
\mathfrak{E}=\left\|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\|, \quad \mathfrak{M}=\left\|\begin{array}{ccc}
\mu_{1}^{1 / 2} & 0 & 0 \\
0 & \mu_{2}^{1 / 2} & 0 \\
0 & 0 & \mu_{3}^{1 / 2}
\end{array}\right\|
\end{array}
\]

причем $a, \rho, \sigma$ имеют значения, полученные в $§ 12$. Квадратичная форма трех действительных переменных $w_{1}, w_{2}, w_{3}$, которой соответствует матрица $\left\|m_{1} m_{2} m_{3}\right\|^{-1} a^{3} \mathfrak{W}$, имеет вид
\[
\mu_{1} \sigma^{-3}\left(w_{2}-w_{3}\right)^{2}+\mu_{2}\left(w_{3}-w_{1}\right)^{2}+\mu_{3} \rho^{-3}\left(w_{1}-w_{2}\right)^{2} \geqslant 0
\]

следовательно, она неотрицательна, но нужно заметить, что она при $w_{1}=w_{2}=w_{3}$ равна нулю. Отсюда получаем, что $|\mathfrak{W}|=0$. Для диагональной матрицы двенадцатого порядка
\[
\mathfrak{N}=\left\|\begin{array}{cccc}
\mathfrak{M} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathfrak{M} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathfrak{M}^{-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathfrak{M}^{-1}
\end{array}\right\|
\]

будет $|\mathfrak{N}|=1$, поэтому
\[
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}|=|\mathfrak{N}(\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}) \mathfrak{N}|=\left|\begin{array}{cccc}
-2 \mathfrak{G} & 0 & \lambda \mathfrak{E} & -\mathfrak{E} \\
0 & \mathfrak{G} & \mathfrak{E} & \lambda \mathfrak{E} \\
-\lambda \mathfrak{E} & \mathfrak{E} & \mathfrak{E} & 0 \\
-\mathfrak{E} & -\lambda \mathfrak{E} & 0 & \mathfrak{E}
\end{array}\right|, \quad \mathfrak{G}=\mathfrak{M} \mathfrak{W} \mathfrak{M} .
\]

Так как определитель двенадцатого порядка составлен из матриц третьего порядка, то его можно раскрыть формально как определитель четвертого порядка и получить
\[
\begin{aligned}
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}| & =\left|\left(\lambda^{2}+1\right)^{2} \mathfrak{E}+\left(1-\lambda^{2}\right) \mathfrak{G}-2 \mathfrak{G}^{2}\right|= \\
& =\prod_{k=1}^{3}\left(\left(\lambda^{2}+1\right)^{2}+\left(1-\lambda^{2}\right) \gamma_{k}-2 \gamma_{k}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

если $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ будут собственными значениями $\mathfrak{G}$. Так как $|\mathfrak{W}|=0$, имеем также, что $|\mathfrak{G}|=0$, поэтому одно собственное значение равно нулю, пусть, например, $\gamma_{3}=0$. Для определения $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ заметим, что из существования интеграла площадей следует равенство нулю определителя $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$ при $\lambda=0$. Поэтому при соответствующей нумерации $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$
\[
0=1+\gamma_{2}-2 \gamma_{2}^{2}=\left(1+2 \gamma_{2}\right)\left(1-\gamma_{2}\right) .
\]

Матрица $\mathfrak{G}$ вместе с $\mathfrak{W}$ также неотрицательна, следовательно, $\gamma_{2} \geqslant 0$, т. е. $\gamma_{2}=1$. Так как $\mathfrak{G}$ имеет след
\[
\gamma_{1}+\gamma_{2}+\gamma_{3}=\gamma=a^{-3}\left[m_{1}\left(1+\rho^{-3}\right)+m_{2}\left(\rho^{-3}+\sigma^{-3}\right)+m_{3}\left(1+\sigma^{-3}\right)\right],
\]

то $\gamma_{1}=\gamma-1$. Если внести найденные значения $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ в равенство (34), то, вводя для сокращения обозначения $\alpha=\gamma-2$, получим
\[
|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=\lambda^{2}\left(\lambda^{2}+1\right)^{3}\left[\lambda^{4}+(1-\alpha) \lambda^{2}-\alpha(2 \alpha+3)\right] .
\]

Вследствие соотношений $x_{3}^{*}-x_{1}^{*}=\rho a, x_{5}^{*}-x_{3}^{*}=\sigma a$ с помощью уравнений $(12 ; 8)$ получим
\[
\begin{array}{l}
-1=m_{3}(\rho a)^{-1}(\sigma a)^{-2}-m_{3}(\rho a)^{-1} a^{-2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)(\rho a)^{-3}, \\
-1=m_{1}(\sigma a)^{-1}(\rho a)^{-2}-m_{1}(\sigma a)^{-1} a^{-2}-\left(m_{2}+m_{3}\right)(\sigma a)^{-3} .
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что $\rho+\sigma=1$, сложением равенств (35), (37) и (38) получим соотношение
\[
\alpha=m_{1} a^{-3}\left(1+\rho^{-1}+\rho^{-2}\right)+m_{3} a^{-3}\left(1+\sigma^{-1}+\sigma^{-2}\right) .
\]

Наконец, сложение двух уравнений $(12 ; 9)$ даст
\[
a^{3}=m_{1}+m_{2}\left(\rho^{-2}+\sigma^{-2}\right)+m_{3} .
\]

Теперь из равенств (36), (39) и (40) получаются уравнения (6) и (7).