Применим сформулированную в §14 теорему существования к задаче трех тел на плоскости и докажєм существование периодических решений вблизи круговых решений Лагранжа. При этом мы будем использовать обозначения $\mathrm{\S }12$, в которых $q_{2k-1},q_{2k}(k=1,2,3$ ) будут координатами трех материальных точек в неподвижной плоскости. Уравнения движения запишем в форме Гамильтона
$${\dot{q}}_k=E_{p_k},{\dot{p}}_k=-E_{q_k}(k=1,\dots ,6),$$

где функция Гамильтона $E=T-U$ определяется выражением (12;1). Каноническое преобразование $(12;3),(12;4)$ соответствует вращению системы координат в рассматриваемой плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. Преобразованные дифференциальные уравнения имеют вид
$${\dot{x}}_k=F_{y_k},\dot{y_k}=-F_{x_k}(k=1,\dots ,6),$$

где
$$\begin{array}{c}F=E+\omega Q=T-U+\omega Q,Q=\sum _{k=1}^3(x_{2k}{y}_{2k-1}-x_{2k-1}{y}_{2k}),\\ T=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^3{m}_k^{-1}(y_{2k-1}^2+y_{2k}^2).\end{array}$$

Здесь в качестве равновесных решений получались треугольные и прямоугольные решения Лагранжа, причем $\omega$ выбиралось согласно условиям $(12;7)$ и $(12;10)$. Не ограничивая общности, положим $\omega =1$.

Чтобы к системе (1) применить теорему существования § 14 , нужно разложить в ряд функцию $F=F(x,y)$ в окрестности соответствующего равновесного решения $x_k=x_{k0},y_k=y_{k0}(k=1,\dots ,6)$ и вычислить члены второй степени. Если положить $z_k=x_k-x_{k0},z_{k+6}=y_k-y_{k0}$, то разложение Тейлора имеет вид
$$F(x,y)=F(x_0,y_0)+\frac{1}{2}\sum _{k,l=1}^{12}{s}_{kl}{z}_k{z}_l+\dots ,$$

где матрица $\mathfrak{S}=\left(s_{kl}\right)$ выбрана симметричной. Согласно $\mathrm{\S }13$, соответствующие собственные значения ${\lambda }_k$ получаются из уравнения двенадцатой степени $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J}\mathfrak{S}|=0$, которое можно также записать в виде $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}=0|$. В дальнейшем мы выполним вычисление этого определителя, а сейчас допустим, что это уже сделано. Тогда в случае равностороннего треугольника получим
$$|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|={\lambda }^2{({\lambda }^2+1)}^3({\lambda }^4+{\lambda }^2+\gamma ),$$

где
$$\gamma =\frac{27}{4}\frac{m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_1{m}_3}{{(m_1+m_2+m_3)}^2},$$

и в случае прямолинейного движения, если $P_2$ лежит между $P_1$ и $P_3$,
$$|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|={\lambda }^2{({\lambda }^2+1)}^3[{\lambda }^4+(1-\alpha ){\lambda }^2-\alpha (2\alpha +3)],$$

где
$$\alpha =\frac{m_1(1+{\rho }^{-1}+{\rho }^{-2})+m_3(1+{\sigma }^{-1}+{\sigma }^{-2})}{m_1+m_2({\rho }^{-2}+{\sigma }^{-2})+m_3},$$

причем $\sigma =1-\rho$ и $\rho$ суть опять решения уравнения ( $12;10$ ). Следовательно, в обоих случаях получим $\lambda =0$ как двойной корень и $\lambda =\pm i$ даже как тройной корень, в то время как в теореме существования предполагалось, что все собственные значения ${\lambda }_k$ являются простыми.

Корень $\pm i$ можно получить и другим способом без всякого вычисления. А именно, возвратимся к координатам $q$ в неподвижной системе отсчета; они для рассматриваемого равновесного решения, очевидно, имеют период $2\pi$. Если теперь заменить координаты $q_{2k-1},q_{2k}$ на
$q_{2k-1}+a,q_{2k}+b(k=1,2,3)$, где $a$ и $b$ являются произвольными линейными функциями от $t$, то уравнения движения удовлетворяются. Таким образом, в силу преобразований $(12;3),(12;4)$ из каждого равновесного решения $x_{k0},y_{k0}$ получается решение
$$\{\begin{array}{rl}{x}_{2k-1}& =x_{2k-1,0}+ac+bs,\\ y_{2k-1}& =y_{2k-1,0}+\dot{a}c+\dot{b}s,\\ x_{2k}& =x_{2k,0}-as+bc,\\ y_{2k}& =y_{2k,0}-\dot{a}s+\dot{b}c(k=1,2,3).\end{array}$$

Оно имеет период $2\pi$, если $a$ и $b$ выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением по степеням функций $e^{\lambda t}$ и $e^{-\lambda t}$ при $\lambda =i$. С другой стороны, теорема существования $\mathrm{\S }14$ дает прямое разложение в ряд решения по степеням $e^{\alpha t}$ и $e^{-\alpha t}$ с $\alpha =\lambda +\dots$, причем $\lambda$ есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения $\pm i$. Впрочем, фактически у нас $\pm i$ являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) $a$ и $b$ могут быгь линейными функциями времени; но это замечание пока еше нельзя доказать, так как в § 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения $\lambda =0$ также имеет свою причину: мы потом покажем, что это следует из интеграла площадей.

Чтобы можно было применить теорему существования $\mathrm{\S }14$, нужно сделать корни простыми, что удается сделать понижением порядка системы Гамильтона (1) с помощью интегралов движения центра инерции и интегралов площадей. Прежде всего введем линейное каноническое преобразование, аналогичное преобразованию $(7;4),(7;5)$, а именно:
$$\{\begin{array}{l}{\xi }_{2k-1}=x_{2k-1}-x_5,{\xi }_{2k}=x_{2k}-x_6(k=1,2),\\ {\xi }_5=x_5,{\xi }_6=x_6,{\eta }_k=y_k(k=1,\dots ,4),\\ {\eta }_5=y_1+y_3+y_5,{\eta }_6=y_2+y_4+y_6.\end{array}$$

При помощи этого преобразования мы вводим относительные координаты точек $P_1$ и $P_2$ относительно точки $P_3$. Теперь новые уравнения движения имеют следующий вид:
$${\dot{\xi }}_k=F_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-F_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,6).$$

Так как $U$ зависит только от разностей первоначальных координат, то новые координаты ${\xi }_5,{\xi }_6$ в функцию $U$ не войдут. В силу равенств (2), (3) найдем $F=T-U+Q$, где
$$Q=\sum _{k=1}^3({\xi }_{2k}{\eta }_{2k-1}-{\xi }_{2k-1}{\eta }_{2k}),$$
$$\begin{array}{rl}T=\frac{1}{2}{m}_3^{-1}[{({\eta }_5-{\eta }_3-{\eta }_1)}^2+({\eta }_6-{\eta }_4& {-{\eta }_2)}^2]\\ & +\frac{1}{2}\sum _{k=1}^2{m}_k^{-1}({\eta }_{2k-1}^2+{\eta }_{2k}^2).\end{array}$$

Вследствие соотношений $Q_{{\xi }_6}={\eta }_5$ и $Q_{{\xi }_5}=-{\eta }_6$ из уравнений (10) следует, в частности,
$${\dot{\eta }}_5={\eta }_6,{\dot{\eta }}_6=-{\eta }_5,$$

что соответствует теореме о движении центра инерции для вращающейся системы координат. Если предположить теперь, что центр инерции в первоначальной системе координат покоится, как это имеет место для решений Лагранжа, то ${\eta }_5=0,{\eta }_6=0$. При этом решение системы (10) приводится к интегрированию приведенной системы Гамильтона
$${\dot{\xi }}_k=F_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-F_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,4)$$

и последующему определению квадратурами ${\xi }_5,{\xi }_6$ из уравнений
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\xi }}_5=F_{{\eta }_5}={\xi }_6-m_3^{-1}({\eta }_3-{\eta }_1),\\ {\dot{\xi }}_6=F_{{\eta }_6}=-{\xi }_5-m_3^{-1}({\eta }_4+{\eta }_2).\end{array}$$

Из уравнений (13) и (15) непосредственно видно, что собственные значения $i,-i$ для равновесного решения приведенной системы будут только простыми. Следовательно, при этом преобразовании в характеристических уравнениях (4) и (6) множитель ${({\lambda }^2+1)}^3$ заменяется на первую степень множителя ${\lambda }^2-1$. Но остается еще ${\lambda }^2$, и этот множитель устраняется с помощью использования интеграла площадей $Q$. При этом вследствие ${\eta }_5={\eta }_6=0$ имеем
$$Q=\sum _{k=1}^2({\xi }_{2k}{\eta }_{2k-1}-{\xi }_{2k-1}{\eta }_{2k}).$$

Покажем сначала, что двойной корень $\lambda =0$ является следствием существования не зависящего от $t$ интеграла $Q$. Рассмотрим опять общую систему
$${\dot{x}}_k=f_k(x)(k=1,\dots ,m),$$

имеющую $x=0$ равновесным решением. Пусть функции $f_k(x)$ при $x=0$ будут регулярными, так что существует разложение в ряд $f(x)=\mathfrak{A}x+\dots$ Предположим далее, что при $x=0$ существует интеграл $\psi (x)$ системы (17), который не зависит явно от $t$. Пусть $\psi (x)=\psi (0)+cx+\dots$ есть ряд для $\psi (x)$, причем, следовательно, $c$ обозначает вектор-строку. Из уравнения в частных производных
$$\sum _{k=1}^m{\psi }_{x_k}{f}_k(x)=0,$$

которому удовлетворяет $\psi$, получаем при сравнении коэффициентов линейных членов, что $c\mathfrak{A}=0$. Если теперь $ceq0$, то отсюда следует $|\mathfrak{A}|=0$, и характеристическое уравнение $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{A}|=0$ имеет тогда корень $\lambda =0$. С помощью выражений (2), (11) и (16) для $Q$ легко усматривается, что частные производные первого порядка не все равны нулю для положения равновесия, так что выполняется условие $ceq0$. Этим и объясняется наличие множителя $\lambda$ в уравнениях (4) и (6); так как $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$ есть четная функция от $\lambda$, то в эти уравнения должен входить множитель ${\lambda }^2$. Следует заметить, что хотя интегралы движения центра инерции также не зависят от $t$ во вращающейся системе координат, но они все же не могут быть использованы в вышеизложенном смысле вместо $Q$.

Итак, для устранения множителя ${\lambda }^2$ необходимо произвести еще одно понижение порядка системы Гамильтона с помощью интеграла площадей. Для этого определим такое каноническое преобразование, которое вводит $Q$ как новое независимое переменное. Такой переход был осуществлен еще Якоби для пространственной задачи трех тел, где эта операция именуется исключением узлов. Чтобы пояснить идею, рассмотрим произвольную систему Гамильтона ${\dot{x}}_k=H_{y_k},{\dot{y}}_k=-H_{x_k}$ с неизвестными функциями $x_k,y_k(k=1,\dots ,n)$ и предположим, что существует интеграл $\psi (x,y)$, не содержащий $t$. Введем посредством порождающей функции $w=w(\xi ,y)$ с помощью равенств $(3;4)$ подстановку
$${\eta }_k=w_{{\xi }_k},x_k=w_{y_k}(k=1,\dots ,n),\left|w_{{\xi }_k{y}_l}\right|eq0,$$

являющуюся каноническим преобразованием $x,y$ в $\xi ,\eta$, и добьемся того, чтобы ${\eta }_n=\psi (x,y)$. Это приводит к дифференциальному уравнению в частных производных
$$w_{{\xi }_n}=\psi (w_y,y).$$

Предположим, что имеется решение уравнения (19), которое удовлетворяет условию $\left|w_{{\xi }_k{y}_l}\right|eq0$. Если обозначить столбцы переменных $x$, $y$ и $\xi ,\eta$ соответственно через $z$ и $\zeta$, а функциональную матрицу ${\zeta }_z$ через $\mathfrak{M}$, то $\mathfrak{M}$ будет симплектической, поэтому $\mathfrak{M}\mathfrak{J}{\mathfrak{M}}^{\prime }=\mathfrak{J}$, откуда получим $H_z={\mathfrak{M}}^{\prime }{H}_{\zeta },{\psi }_z={\mathfrak{M}}^{\prime }{\psi }_{\zeta }$. Поэтому выражение
$$\sum _{k=1}^n({\psi }_{x_k}{H}_{y_k}-{\psi }_{y_k}{H}_{x_k})={\psi }_z^{\prime }\mathfrak{J}{H}_z$$

остается при переходе от $z$ к $\zeta$ инвариантным, с другой стороны, оно тождественно равно нулю, так как $\psi (x,y)$ есть интеграл. Но в силу уравнений (18) и (19) $\psi ={\eta }_n$, и, значит, ${\psi }_{{\eta }_n}=1$, в то же время другие частные производные от $\psi$ как функции $\zeta$ все будут равны нулю. Из равенства (20) поэтому следует $H_{{\xi }_i}=0$, и вместе с тем $H$ после введения $\xi ,\eta$ от ${\xi }_n$ не зависит. Если еще предположить, что данная система обладает равновесным решением, в окрестности которого функция Гамильтона и каноническое преобразование (18) будут аналитическими, то из новых дифференциальных уравнений
$${\dot{\xi }}_k=H_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-H_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,n)$$

следует, что строка в матрице $\mathfrak{A}$, соответствующая переменной ${\eta }_n$, и столбец, соответствующий переменной ${\xi }_n$, состоят из нулей. Это опять доказывает существование множителя ${\lambda }^2$ в выражении $|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{A}|$. При переходе к приведенной системе
$${\dot{\xi }}_k=H_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-H_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,n-1)$$

этот множитель выпадает. Если, наконец, проинтегрировать систему (22), то функция ${\xi }_n$ получается после этого квадратурой из дифференциального уравнения ${\dot{\xi }}_n=H_{{\eta }_n}$.

Этот результат можно применить к системе Гамильтона (14), в которой вместо $x,y,\xi ,\eta ,\psi ,n$ стоят $\xi ,\eta ,u,v,Q,4$. Так как $Q$ в силу равенств (11) является билинейной формой относительно $\xi ,\eta$, то для $w(u,\eta )$ будем искать линейную подстановку
$$w=\sum _{k=1}^4{g}_k{\eta }_k,g_k=g_k(u)$$

с помощью которой уравнение в частных производных (19) переходит в
$$\sum _{k=1}^4{g}_{k{u}_4}{\eta }_k=\sum _{k=1}^2(g_{2k}{\eta }_{2k-1}-g_{2k-1}{\eta }_{2k})$$

итак,
$$g_{2k-1,u_4}=g_{2k},g_{2k,u_4}=-g_{2k-1}(k=1,2).$$

Частное решение
$$\begin{array}{c}{g}_1=u_{1}c,g_2=-u_{1}s,g_3=u_{2}c+u_{3}s,g_4=-u_{2}s+u_{3}c,\\ c=\cos u_4,s=\sin u_4\end{array}$$

уравнений (23) удовлетворяет при $u_{1}eq0$ условию $\left|w_{u_k{\eta }_l}\right|=0$, так как $\left|w_{u_k{\eta }_l}\right|=\left|d_{l{u}_k}\right|=-u_1$. Тогда при этом предположении в силу уравнений (18) искомое каноническое преобразование имеет вид
$$\begin{array}{c}{\xi }_1=u_{1}c,{\xi }_2=-u_{1}s,{\xi }_3=u_{2}c+u_{3}s,{\xi }_4=-u_{2}s+u_{3}c,\\ \{\begin{array}{l}{v}_1={\eta }_{1}c-{\eta }_{2}s,v_2={\eta }_{3}c-{\eta }_{4}s,v_3={\eta }_{3}s+{\eta }_{4}c\\ v_4=\sum _{k=1}^2({\xi }_{2k}{\eta }_{2k-1}-{\xi }_{2k-1}{\eta }_{2k})=Q.\end{array}\end{array}$$

При преобразовании последнего уравнения получим
$$v_4=u_3{v}_2-u_2{v}_3-u_1({\eta }_{1}s+{\eta }_{2}c)$$

следовательно,
$${\eta }_{1}s+{\eta }_{2}c=v_0$$

причем значение
$$v_0=u_1^{-1}(u_3{v}_2-u_2{v}_3-v_4)$$

может быть определено. То, что функция Гамильтона $F$ в новых координатах $u,v$ не зависит больше от $u_4$, получается также и прямым путем. Именно в силу равенств (25), (26) имеем
$$\begin{array}{c}{v}_2^2+v_3^2={\eta }_3^2+{\eta }_4^2,v_1^2+v_0^2={\eta }_1^2+{\eta }_2^2\\ {(v_1+v_2)}^2+{(v_3+v_0)}^2={({\eta }_1+{\eta }_3)}^2+{({\eta }_2+{\eta }_4)}^2\end{array}$$

и вследствие ${\eta }_5={\eta }_6=0$ из равенства (12) получим формулу
$$T=\frac{1}{2}\{m_1^{-1}(v_1^2+v_0^2)+m_2^{-1}(v_2^2+v_3^2)+m_3^{-1}[{(v_1+v_2)}^2+{(v_3+v_0)}^2]\},$$

так что $T$ и $Q=v_4$ не содержат $u_4$. Чтобы показать то же самое для $U$, примем во внимание, что в силу равенств (24) преобразование ${\xi }_k$ $(k=1,\dots ,4)$ в $u_k$ есть поворот на угол $-u_4$ около материальной точки $P_3$ как центра вращения, причем точки $({\xi }_1,{\xi }_2),({\xi }_3,{\xi }_4)$ переходят в $(u_1,0),(u_2,u_3)$. Следовательно, $(u_1,0),(u_2,u_3)$ будут координатами $P_1,P_2$ в прямоугольной декартовой системе координат с началом в $P_3$, ось абсцисс которой направлена в $P_1$. В частности, поэтому $u_{1}eq0$. Так как $U$ зависит только от взаимных расстояний трех материальных точек, то $U$ будет функцией одних $u_1,u_2,u_3$. Система Гамильтона (14) переходит теперь вследствие введения новых координат в другую систему более низкого порядка
$${\dot{u}}_k=F_{v_k},{\dot{v}}_k=-F_{u_k}(k=1,2,3),$$

и отщепляется система
$${\dot{u}}_4=F_{v_4},{\dot{v}}_4=0.$$

Для $v_4$ будет выбрано постоянное значение, соответствующее положению равновесия. Тогда, если проинтегрировать уравнения (27), то $u_4$ получается из первого уравнения (28) квадратурой. Очевидно, что для системы Гамильтона (27) характеристический многочлен имеет для случая равностороннего треугольника вид $({\lambda }^2+1)({\lambda }^4+{\lambda }^2+\gamma )$ и для случая прямолинейного движения $({\lambda }^2+1)\times [{\lambda }^4+(1-\alpha ){\lambda }^2-\alpha (2\alpha +3)]$, причем значения $\gamma$ и $\alpha$ заданы равенствами (5) и (7).

Рассмотрим сперва случай равностороннего треугольника. Если положить
$$\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma }=\rho ,a_1=\frac{1}{2}+\rho ,a_2=\frac{1}{2}-\rho ,$$

TO
$$({\lambda }^2+1)({\lambda }^4+{\lambda }^2+\gamma )=({\lambda }^2+1)({\lambda }^2+a_1)({\lambda }^2+a_2).$$

Так как $\gamma >0$, то случай кратности собственных значений встретится только при $\gamma =\frac{1}{4}$; этот случай можно исключить. Если $\gamma >\frac{1}{4}$, то $a_1,a_2$ комплексно сопряжены и различны; для $\gamma <\frac{1}{4}$ будет $0<a_2<a_1<1$.

Следовательно, по теореме существования $\mathrm{\S }14$ корням ${\lambda }_3=i,{\lambda }_6=-i$ соответствует однопараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный $2\pi$. Но эти решения уже известны: они были найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце $\S 12$, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей $v_4$ существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период $\tau$. Если положить $c=\cos (t-u_4),s=\sin (t-u_4)$, то из уравнений $(12;3)$, $(12;4),(9)$ и $(24)$ получается
$$\begin{array}{rlrl}{q}_1-q_5& =u_{1}c,& q_2-q_6& =u_{1}s,\\ q_3-q_5& =u_{2}c-u_{3}s,& q_4-q_6& =u_{2}s+u_{3}c,\\ p_1& =v_{1}c-v_{0}s,& p_2& =v_{1}s+v_{0}c,\\ p_3& =v_{2}c-v_{3}s,& p_4& =v_{2}s+v_{3}c,\end{array}$$

так что $u_1,c,s,u_2,u_3,v_1,v_2$ и $v_3$ действительно имеют период $\tau$. Поэтому можно ограничиться теперь двумя другими чисто мнимыми парами корней ${\lambda }_1,{\lambda }_4=-{\lambda }_1$ и ${\lambda }_2,{\lambda }_5=-{\lambda }_2$, которые существуют при $\gamma <\frac{1}{4}$, т. е. при условии
$$27(m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1)<{(m_1+m_2+m_3)}^2.$$

Очевидно, что это неравенство и есть условие для $m_1,m_2,m_3$; оно, например, не выполнено, если $m_1=m_2=m_3$. Впрочем, нельзя сказать, что в этом случае не будет других периодических решений; однако эти решения нельзя получить с помощью замен $\mathrm{\S }12$ и $\mathrm{\S }14$.

Положим теперь ${\lambda }_1^2=-a_1,{\lambda }_2^2=-a_2$ и посмотрим, выполняется ли условие, чтобы отношения ${\lambda }_k/{\lambda }_1$ при $k=2,3$ не имели целочисленных значений. Имеем
$$-{\lambda }_3^2=1>-{\lambda }_1^2=a_1>\frac{1}{2}>a_2=-{\lambda }_2^2>0,$$

следовательно, $0<{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^2<1$ и $1<{\left(\frac{{\lambda }_3}{{\lambda }_1}\right)}^2<2$. Поэтому оба условия выполнены, и по теореме существования получаем семейство периодических решений с периодом, приблизительно равным $2\pi i/{\lambda }_1$. Чтобы исследовать отношения ${\lambda }_k/{\lambda }_2$ при $k=1,3$, положим ${\lambda }_3/{\lambda }_2={\varkappa }_2$. Тогда, следовательно, ${\lambda }_2^2=-{\varkappa }_2^{-2}$, откуда получается ${\varkappa }_2^{-4}-{\varkappa }_2^{-2}+\gamma =0$. Поэтому нужно потребовать, чтобы для всех целых чисел $g>1$ выполнялось неравенство
$$\gamma eq{g}^{-2}-g^{-4}.$$

Если положить аналогично ${\lambda }_1/{\lambda }_2=\varkappa$, откуда ${\lambda }_1^2={\varkappa }^2{\lambda }_2^2$, то ${\varkappa }^2>1$ и ${\left(\varkappa {\lambda }_2\right)}^4+{\left(\varkappa {\lambda }_2\right)}^2+\gamma =0$, что вследствие ${\lambda }_2^4+{\lambda }_2^2+\gamma =0$ дает $({\varkappa }^4-1){\lambda }_2^4+({\varkappa }^2-1){\lambda }_2^2=0,({\varkappa }^2+1){\lambda }_2^2+1=0$,
$${({\varkappa }^2+1)}^{-2}-{({\varkappa }^2+1)}^{-1}+\gamma =0.$$

Следовательно, нужно в дальнейшем потребовать, чтобы для всех целых $g>1$
$$\gamma eq{(g-g^{-1})}^{-2}.$$

Если для $\gamma$ выполняется счетное множество условий (29) и (30), то по теореме существования имеется второе семейство периодических решений с приближенным значением периода $2\pi i/{\lambda }_2$.

Подобным же образом можно рассмотреть периодические решения вблизи прямолинейных решений. В этом случае опять получается семейство эллиптических решений Лагранжа, которые лежат вблизи круговых и соответствуют паре собственных значений $i,-i$. Остальные собственные значения получаются из корней ${\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2$ квадратного уравнения
$$x^2+(1-\alpha )x-\alpha (2\alpha +3)=0,$$

причем $\alpha$ определяется формулой (7). Так как $\alpha >0$, то эти корни действительны и имеют противоположные знаки, поэтому можно предположить, что ${\lambda }_1^2<0,{\lambda }_2^2>0$. Следовательно, кроме $\pm {\lambda }_3=\pm i$, имеется еще одна пара чисто мнимых собственных значений, а именно $\pm {\lambda }_1$. Так как левая часть уравнения (31) имеет при $x=-1$ отрицательное значение $-2\alpha (\alpha +1)$, то отрицательный корень уравнения (31) удовлетворяет неравенству
$${\lambda }_1^2<-1={\lambda }_3^2<0,$$

и поэтому отношение ${\lambda }_3/{\lambda }_1$ не может быть целым числом. Вследствие этого вблизи прямолинейных решений Лагранжа имеется простое семейство периодических решений с приближенным значением периода $2\pi i/{\lambda }_1$. Согласно $\mathrm{\S }14$, паре действительных собственных значений $\pm {\lambda }_2$ соответствуют четыре решения задачи трех тел, которые асимптотически стремятся при $t\to \mathrm{\infty }$ и, соответственно, при $t\to -\mathrm{\infty }$ к равновесному решению, кроме того семейства решений, которое только для ограниченного интервала времени остается в малой окрестности равновесного решения.

Периодические решения, существование которых было доказано, могут быть разложены с помощью замены, упомянутой в § 14, в ряды Фурье.

В заключение рассмотрим вычисление определителя $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$. В случае равностороннего треугольника используем относительные координаты ${\xi }_k,{\eta }_k(k=1,\dots ,6)$ и обозначим через ${\xi }_k^{\ast },{\eta }_k^{\ast }$ их значения для решения Лагранжа. Примем, что после соответствующего поворота
$${\xi }_1^{\ast }=-{\xi }_3^{\ast }=\frac{r}{2},{\xi }_2^{\ast }={\xi }_4^{\ast }=\frac{r}{2}\sqrt{3}.$$

Заменим теперь $\xi ,\eta$ на $\xi +{\xi }^{\ast },\eta +{\eta }^{\ast }$ и разложим $U$ по степеням ${\xi }_k$ $(k=1,\dots ,6)$. Вводя для сокращения обозначения
$$\begin{array}{c}{s}_{kl}=2r^{-2}\{(x_k-x_l)(x_k^{\ast }-x_l^{\ast })+(x_{k+3}-x_{l+3})(x_{k+3}^{\ast }-x_{l+3}^{\ast })\},\\ q_{kl}=r^{-2}\{{(x_k-x_l)}^2+{(x_{k+3}-x_{l+3})}^2\}\end{array}$$

при $1⩽k<l⩽3$, будем иметь
$$r_{kl}^{-1}=r^{-1}{(1+s_{kl}+q_{kl})}^{-1/2}=r^{-1}(1-\frac{1}{2}{s}_{kl}-\frac{1}{2}{q}_{kl}+\frac{3}{8}{s}_{kl}^2+\dots ),$$

и, таким образом, для членов второй степени относительно ${\xi }_k$ в выражении для $-2U$ получим
$$\begin{array}{rl}V=\frac{m_1{m}_3}{4r^3}({\xi }_1^2-6\sqrt{3}{\xi }_1{\xi }_2-5{\xi }_2^2)& +\frac{m_2{m}_3}{4r^3}({\xi }_3^2+6\sqrt{3}{\xi }_3{\xi }_4-5{\xi }_4^2)+\\ & +\frac{m_1{m}_2}{r^3}\{{({\xi }_2-{\xi }_4)}^2-2{({\xi }_1-{\xi }_3)}^2\}.\end{array}$$

Тогда в силу уравнений (11) и (12) $\mathfrak{S}$ будет матрицей квадратичной формы $V+2Q+2T$ относительно двенадцати переменных ${\xi }_k,{\eta }_k$ $(k=1,\dots ,6)$. Если положить еще $m_k^{-1}={\mu }_k(k=1,2,3)$ и ввести матрицы четвертого порядка
$$\mathfrak{A}=\frac{m_1{m}_2{m}_3}{4r^3}\Vert \begin{array}{cccc}{\mu }_2-8{\mu }_3& -3\sqrt{3}{\mu }_2& 8{\mu }_3& 0\\ -3\sqrt{3}{\mu }_2& 4{\mu }_3-5{\mu }_2& 0& -4{\mu }_3\\ 8{\mu }_3& 0& {\mu }_1-8{\mu }_3& 3\sqrt{3}{\mu }_1\\ 0& -4{\mu }_3& 3\sqrt{3}{\mu }_1& 4{\mu }_3-5{\mu }_1\end{array}\Vert ,$$

$$\begin{array}{rl}\mathfrak{B}& =\Vert \begin{array}{cccc}\lambda & -1& 0& 0\\ 1& \lambda & 0& 0\\ 0& 0& \lambda & -1\\ 0& 0& 1& \lambda \end{array}\Vert ,\mathfrak{C}=\Vert \begin{array}{cccc}-\lambda & 1& 0& 0\\ -1& -\lambda & 0& 0\\ 0& 0& -\lambda & 1\\ 0& 0& -1& -\lambda \end{array}\Vert ,\\ \mathfrak{D}& =\Vert \begin{array}{cccc}{\mu }_1+{\mu }_3& 0& {\mu }_3& 0\\ 0& {\mu }_1+{\mu }_3& 0& {\mu }_3\\ {\mu }_3& 0& {\mu }_2+{\mu }_3& 0\\ 0& {\mu }_3& 0& {\mu }_2+{\mu }_3\end{array}\Vert ,\end{array}$$

то тогда
$$|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|={({\lambda }^2+1)}^2\left|\begin{array}{ll}\mathfrak{A}& \mathfrak{B}\\ \mathfrak{C}& \mathfrak{D}\end{array}\right|.$$

Вследствие

будем иметь
$$\left|\begin{array}{ll}\mathfrak{A}& \mathfrak{B}\\ \mathfrak{C}& \mathfrak{D}\end{array}\right|=|\mathfrak{D}\mathfrak{U}-\mathfrak{D}\mathfrak{B}{\mathfrak{D}}^{-1}\mathfrak{C}|,$$

откуда непосредственным вычислением определителя четвертого порядка получим соотношения (4) и (5).

В случае прямолинейного движения можно для координат $x_{2k-1}=$ $=x_{2k-1}^{\ast }(k=1,2,3)$ исходного равновесного решения подставить их значения, найденные из решения уравнений $(12;8)$; в то же время $x_{2k}^{\ast }=0$. Полагая
$$\begin{array}{c}{u}_k=x_{2k-1}-x_{2k-1}^{\ast },u_{k+3}=x_{2k}-x_{2k}^{\ast },u_{k+6}=y_{2k-1}-y_{2k-1}^{\ast },\\ u_{k+9}=y_{2k}-y_{2k}^{\ast }(k=1,2,3),\end{array}$$

разложим функцию $F$ по степеням $u_1,\dots ,u_{12}$, получим
$$F(x,y)=F(x^{\ast },y^{\ast })+\frac{1}{2}\sum _{k,l=1}^{12}{r}_{kl}{u}_k{u}_l+\dots$$

с симметричной матрицей $\left(r_{kl}\right)=\mathrm{\Re }$, имеющей двенадцатый порядок. Так как линейная подстановка (33) будет канонической, то $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|=$ $=|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}|;$ с другой стороны, используя равенство (32), найдем, что
$$\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}=\Vert \begin{array}{cccc}-2\mathfrak{W}& 0& \lambda \mathfrak{E}& -\mathfrak{E}\\ 0& \mathfrak{W}& \mathfrak{E}& \lambda \mathfrak{E}\\ -\lambda \mathfrak{E}& \mathfrak{E}& {\mathfrak{M}}^2& 0\\ -\mathfrak{E}& -\lambda \mathfrak{E}& 0& {\mathfrak{M}}^2\end{array}\Vert ,$$

где
$$\begin{array}{c}\mathfrak{W}=m_1{m}_2{m}_3{a}^{-3}\Vert \begin{array}{ccc}{\mu }_2+{\mu }_3{\rho }^{-3}& -{\mu }_3{\rho }^{-3}& -{\mu }_2\\ -{\mu }_3{\rho }^{-3}& {\mu }_3{\rho }^{-3}+{\mu }_1{\sigma }^{-3}& -{\mu }_1{\sigma }^{-3}\\ -{\mu }_2& -{\mu }_1{\sigma }^{-3}& {\mu }_2+{\mu }_1{\sigma }^{-3}\end{array}\Vert ,\\ \mathfrak{E}=\Vert \begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\Vert ,\mathfrak{M}=\Vert \begin{array}{ccc}{\mu }_1^{1/2}& 0& 0\\ 0& {\mu }_2^{1/2}& 0\\ 0& 0& {\mu }_3^{1/2}\end{array}\Vert \end{array}$$

причем $a,\rho ,\sigma$ имеют значения, полученные в $\S 12$. Квадратичная форма трех действительных переменных $w_1,w_2,w_3$, которой соответствует матрица ${\Vert m_1{m}_2{m}_3\Vert }^{-1}{a}^3\mathfrak{W}$, имеет вид
$${\mu }_1{\sigma }^{-3}{(w_2-w_3)}^2+{\mu }_2{(w_3-w_1)}^2+{\mu }_3{\rho }^{-3}{(w_1-w_2)}^2⩾0$$

следовательно, она неотрицательна, но нужно заметить, что она при $w_1=w_2=w_3$ равна нулю. Отсюда получаем, что $|\mathfrak{W}|=0$. Для диагональной матрицы двенадцатого порядка
$$\mathfrak{N}=\Vert \begin{array}{cccc}\mathfrak{M}& 0& 0& 0\\ 0& \mathfrak{M}& 0& 0\\ 0& 0& {\mathfrak{M}}^{-1}& 0\\ 0& 0& 0& {\mathfrak{M}}^{-1}\end{array}\Vert$$

будет $|\mathfrak{N}|=1$, поэтому
$$|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R}|=|\mathfrak{N}(\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{R})\mathfrak{N}|=\left|\begin{array}{cccc}-2\mathfrak{G}& 0& \lambda \mathfrak{E}& -\mathfrak{E}\\ 0& \mathfrak{G}& \mathfrak{E}& \lambda \mathfrak{E}\\ -\lambda \mathfrak{E}& \mathfrak{E}& \mathfrak{E}& 0\\ -\mathfrak{E}& -\lambda \mathfrak{E}& 0& \mathfrak{E}\end{array}\right|,\mathfrak{G}=\mathfrak{M}\mathfrak{W}\mathfrak{M}.$$

Так как определитель двенадцатого порядка составлен из матриц третьего порядка, то его можно раскрыть формально как определитель четвертого порядка и получить
$$\begin{array}{rl}|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|& =|{({\lambda }^2+1)}^2\mathfrak{E}+(1-{\lambda }^2)\mathfrak{G}-2{\mathfrak{G}}^2|=\\ & =\prod _{k=1}^3({({\lambda }^2+1)}^2+(1-{\lambda }^2){\gamma }_k-2{\gamma }_k^2),\end{array}$$

если ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ будут собственными значениями $\mathfrak{G}$. Так как $|\mathfrak{W}|=0$, имеем также, что $|\mathfrak{G}|=0$, поэтому одно собственное значение равно нулю, пусть, например, ${\gamma }_3=0$. Для определения ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ заметим, что из существования интеграла площадей следует равенство нулю определителя $|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|$ при $\lambda =0$. Поэтому при соответствующей нумерации ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$
$$0=1+{\gamma }_2-2{\gamma }_2^2=(1+2{\gamma }_2)(1-{\gamma }_2).$$

Матрица $\mathfrak{G}$ вместе с $\mathfrak{W}$ также неотрицательна, следовательно, ${\gamma }_2⩾0$, т. е. ${\gamma }_2=1$. Так как $\mathfrak{G}$ имеет след
$${\gamma }_1+{\gamma }_2+{\gamma }_3=\gamma =a^{-3}[m_1(1+{\rho }^{-3})+m_2({\rho }^{-3}+{\sigma }^{-3})+m_3(1+{\sigma }^{-3})],$$

то ${\gamma }_1=\gamma -1$. Если внести найденные значения ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ в равенство (34), то, вводя для сокращения обозначения $\alpha =\gamma -2$, получим
$$|\lambda \mathfrak{J}+\mathfrak{S}|={\lambda }^2{({\lambda }^2+1)}^3[{\lambda }^4+(1-\alpha ){\lambda }^2-\alpha (2\alpha +3)].$$

Вследствие соотношений $x_3^{\ast }-x_1^{\ast }=\rho a,x_5^{\ast }-x_3^{\ast }=\sigma a$ с помощью уравнений $(12;8)$ получим
$$\begin{array}{l}-1=m_3(\rho a{)}^{-1}(\sigma a{)}^{-2}-m_3(\rho a{)}^{-1}{a}^{-2}-(m_1+m_2)(\rho a{)}^{-3},\\ -1=m_1(\sigma a{)}^{-1}(\rho a{)}^{-2}-m_1(\sigma a{)}^{-1}{a}^{-2}-(m_2+m_3)(\sigma a{)}^{-3}.\end{array}$$

Принимая во внимание, что $\rho +\sigma =1$, сложением равенств (35), (37) и (38) получим соотношение
$$\alpha =m_1{a}^{-3}(1+{\rho }^{-1}+{\rho }^{-2})+m_3{a}^{-3}(1+{\sigma }^{-1}+{\sigma }^{-2}).$$

Наконец, сложение двух уравнений $(12;9)$ даст
$$a^3=m_1+m_2({\rho }^{-2}+{\sigma }^{-2})+m_3.$$

Теперь из равенств (36), (39) и (40) получаются уравнения (6) и (7).