Рассмотрим систему $m$ дифференциальных уравнений первого порядка, которую запишем в векторной форме
\[
\dot{x}=f(x),
\]

где под $x$ и $f(x)$ подразумеваются векторы-столбцы с элементами $x_{k}$ и $f_{k}(x)(k=1, \ldots, m)$. Пусть $x=x^{(0)}$ есть равновесное решение, и предположим, что $f_{k}$ являются не зависящими от $t$ регулярными функциями величин $x_{1}, \ldots, x_{m}$ в некоторой окрестности $x^{(0)}$. Без ограничения общности можно принять, что $x^{(0)}=0$, так что ряд Тейлора для функций $f_{k}(x)$ по переменным $x_{l}$ вблизи $x=0$ запишется в виде
\[
f_{k}(x)=\sum_{l=1}^{m} a_{k l} x_{l}+\ldots
\]

В векторных обозначениях это равенство можно записать короче:
\[
f(x)=\mathfrak{A} x+\ldots, \quad \mathfrak{A}=\left(a_{k l}\right) .
\]

Сначала в правой части пренебрежем членами высших порядков и вместо системы уравнений (1) будем решать линейную систему
\[
\dot{x}=\mathfrak{A} x .
\]

Попытаемся использовать решения системы (2) для решения предыдущей нелинейной системы (1). Это не всегда удается, однако мы докажем, что если (1) есть система Гамильтона, то из периодического решения системы (2), вообще говоря, можно получить также периодическое решение системы (1).

Для решения (2) используем известную алгебраическую теорему о нормальной форме квадратной матрицы. Собственными значениями $\mathfrak{A}$ будут $m$ корней $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ характеристического уравнения $m$-й степени
\[
|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{A}|=0,
\]

причем $\mathfrak{E}$ есть единичная матрица порядка $m$. Допустим далее, что эти $m$ корней различны. Тогда по упомянутой теореме существует такая обратимая комплексная матрица $\mathfrak{C}$, что матрица
\[
\mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{A C}=\mathfrak{L}=\left\|\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\right\|
\]

будет диагональной с диагональными элементами $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$. Рассмотрим также, в какой степени матрица $\mathfrak{C}$ определяется матрицей $\mathfrak{A}$. Если обозначить через $c^{(1)}, \ldots, c^{(m)}$ один из столбцов матрицы $\mathfrak{C}$, то матричное уравнение $\mathfrak{A} \mathfrak{C}=\mathfrak{C} \mathfrak{L}$ равносильно $m$ векторным уравнениям
\[
\mathfrak{A} c^{(k)}=c^{(k)} \lambda_{k} \quad(k=1, \ldots, m),
\]

откуда получим
\[
\left(\lambda_{k} \mathfrak{E}-\mathfrak{A}\right) c^{(k)}=0 .
\]

Так как все характеристические корни $\lambda_{k}$ различны, то матрица
\[
\lambda_{k} \mathfrak{E}-\mathfrak{A}=\mathfrak{C}\left(\lambda_{k} \mathfrak{E}-\mathfrak{L}\right) \mathfrak{C}^{-1}
\]

имеет ранг $m-1$, и потому $c^{(k)}$ определяются из уравнений (5) с точностью до постоянного множителя $p_{k}$. С другой стороны, если положить
\[
\mathfrak{P}=\left\|p_{1}, \ldots, p_{m}\right\|, \quad \mathfrak{B}=\mathfrak{C P}
\]

с произвольными $p_{k}
eq 0$, то для матрицы $\mathfrak{B}$ ее определитель $|\mathfrak{B}|
eq 0$ и $\mathfrak{B}^{-1} \mathfrak{A} \mathfrak{B}=\mathfrak{L}$. Это показывает, что в $c^{(k)}$ входит еще один произвольный скалярный множитель, не равный нулю. Подобное алгебраическое рассмотрение возможно для произвольной комплексной матрицы $\mathfrak{A}$.

Если матрица $\mathfrak{A}$ действительна, то характеристическое уравнение (3) имеет действительные коэффициенты, и поэтому для каждого корня $\lambda_{k}$ найдется комплексно сопряженная величина $\bar{\lambda}_{k}$, которая также является корнем $\lambda_{l}$ уравнения (3). При этом каждому $k=1, \ldots, m$ будет соответствовать точно одно $l=l_{k}$ из ряда $1, \ldots, m$, так что $\bar{\lambda}_{k}=$ $=\lambda_{l}$; в частности, $k=l$ для действительного $\lambda_{k}$. Так как все $\lambda_{k}$ попарно различны, то соответствие между $k$ и $l_{k}$ взаимно-однозначно. Теперь в силу уравнений (5) также
\[
\left\|\lambda_{l} \mathfrak{E}-\mathfrak{A}\right\| \overline{c^{(k)}}=0 \quad\left(l=l_{k}\right),
\]

таким образом,
\[
c^{(l)}=\overline{c^{(k)}} \rho_{k} \quad\left(l=l_{k}\right)
\]

со скалярными $\rho_{k}$. Так как имеем также $c^{(k)}=\overline{c^{(l)}} \rho_{l}$, и вследствие $|\mathfrak{C}|
eq 0$ обязательно $c^{(k)}
eq 0$, то
\[
\overline{\rho_{k}} \rho_{l}=1 \text {. }
\]

Так как вместо $c^{(k)}$ можно написать $c^{(k)} \rho_{l}^{1 / 2}$, то $\rho_{k}=1$, значит, $c^{(l)}=\overline{c^{(k)}}$. Это же можно увидеть непосредственно из уравнений (5). Но для дальнейшего применения к системам Гамильтона удобнее не пользоваться нормированием $\rho_{k}=1$.
Линейной подстановкой
\[
x=\mathfrak{C} y, \quad y=\mathfrak{C}^{-1} x
\]

систему (2) можно преобразовать в систему
\[
\dot{y}=\mathfrak{L} y .
\]

Если $y_{1}, \ldots, y_{m}$ – элементы столбца $y$, то полное решение (8) запишется в виде
\[
y_{k}=\alpha_{k} e^{\lambda_{k} t} \quad(k=1, \ldots, m)
\]

с $m$ постоянными интегрирования $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$. В частности, $y_{k}$ будет периодической функцией действительного переменного $t$, если $\lambda_{k}$ чисто мнимое. Для исследования условий вещественности используем равенство (6). Чтобы
\[
x=\sum_{k=1}^{m} c^{(k)} y_{k}
\]

было действительным, должно быть также
\[
x=\sum_{k=1}^{m} \overline{c^{(k)}} \bar{y}_{k},
\]

откуда в силу $|\mathfrak{C}|
eq 0$ следует в случае действительной матрицы $\mathfrak{A}$, что $\bar{y}_{k}=\rho_{k} y_{l k}$. Поэтому в данном случае можно взять $\bar{\alpha}_{k}=\rho_{k} \alpha_{l k}$.
Рассмотрим опять общую нелинейную систему
\[
\dot{x}=\mathfrak{A} x+\ldots
\]

и произведем замену переменных
\[
x_{k}=\varphi_{k}(y) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

аналитическую в окрестности $y_{1}-0, \ldots, y_{u}-0$ и переводящую $y-0$ в $x=0$. Пусть соответствующее разложение Тейлора будет
\[
x=\mathfrak{B} y+\ldots
\]

и предположим, что $|\mathfrak{B}|
eq 0$. Тогда в окрестности $x=0$ существует также обратное аналитическое преобразование $y=\mathfrak{B}^{-1} x+\ldots$ При этом система (9) посредством подстановки (10) переходит в
\[
\dot{y}=\mathfrak{B}^{-1} \mathfrak{A} \mathfrak{B} y+\ldots
\]

Это доказывает, что собственные значения $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ остаются инвариантными при аналитических преобразованиях дифференциальных уравнений (1).

Остановимся теперь на дифференциальных уравнениях (1), имеющих форму Гамильтона
\[
\dot{u}_{k}=H_{v_{k}}, \quad \dot{v}_{k}=-H_{u_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Чтобы эту систему также записать в векторной форме, обозначим через $w$ столбец из $2 n$ элементов $u_{1}, \ldots, u_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n}$ и через $H_{w}-$ столбец соответствующих производных от $H$. Если обозначить опять через $\mathfrak{E}$ единичную матрицу порядка $n$ и положить
\[
\mathfrak{J}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & \mathfrak{E} \\
-\mathfrak{E} & 0
\end{array}\right\|
\]

то систему уравнений (11) можно записать в сокращенном виде
\[
\dot{w}=\mathfrak{J} H_{w} .
\]

Пусть функция Гамильтона $H=H(w)$ будет регулярной в окрестности $w=0$. Так как постоянный член ряда Тейлора для функции $H$ при $w=0$ для дифференциальных уравнений (11) не имеет значения, то его можно положить равным нулю. Если $w=0$ соответствует состоянию равновесия системы (11), то должны быть равными нулю и первые производные от $H$ при $w=0$. Таким образом, степенной ряд для $H$ начинается с членов второго порядка, и потому можно положить
\[
H=\frac{1}{2} w^{\prime} \mathfrak{S} w+\ldots,
\]

где через $\mathfrak{S}$ обозначена симметричная матрица порядка $2 n$ и через $w^{\prime}$ транспозиция соответствующей строки $w$. Тогда
\[
H_{w}=\mathfrak{S} w+\ldots,
\]

и уравнение (12) переходит в
\[
\dot{w}=\mathfrak{A} w+\ldots, \quad \mathfrak{A}=\mathfrak{J} \mathfrak{S} .
\]

Поэтому нужно исследовать характеристический многочлен $p(\lambda)=$ $=|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S}|$. Теперь $\mathfrak{J}^{\prime}=\mathfrak{J}^{-1}=-\mathfrak{J},|\mathfrak{J}|=1, \mathfrak{S}^{\prime}=\mathfrak{S}$, значит,
\[
\begin{array}{c}
(\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S})^{\prime}=\lambda \mathfrak{E}+\mathfrak{S} \mathfrak{J}=\mathfrak{J}(-\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S}) \mathfrak{J}, \\
p(\lambda)=|\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S}|=|-\lambda \mathfrak{E}-\mathfrak{J} \mathfrak{S}|=p(-\lambda),
\end{array}
\]

таким образом, $p(\lambda)$ является четной функцией. Если $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)$, то корнем будет и $-\lambda$, и притом оба корня будут иметь одинаковую кратность. Если нуль также корень, то его кратность будет четной. Допустим опять, что все собственные значения являются простыми и, следовательно, не равны нулю; при соответствующем расположении их можно обозначить через $\lambda_{k}, \lambda_{k+n}=-\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$. Положим $\mathfrak{L}_{0}=\left[\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right]$ и найдем тогда такую обратимую комплексную матрицу $\mathfrak{C}$ порядка $2 n$, что
\[
\mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{J} \mathfrak{S c}=\mathfrak{L}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathfrak{L}_{0} & 0 \\
0 & -\mathfrak{L}_{0}
\end{array}\right\|
\]

будет нормальной формой для $\mathfrak{J} \mathfrak{S}$. Переходом к транспонированной матрице получаем
\[
\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{S} \mathfrak{J}=-\mathfrak{L} \mathfrak{C}^{\prime} .
\]

С другой стороны, матрица
\[
-\mathfrak{L} \mathfrak{J}^{-1}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & \mathfrak{L}_{0} \\
\mathfrak{L}_{0} & 0
\end{array}\right\|
\]

будет симметричной, так что
\[
\mathfrak{L} \mathfrak{J}^{-1}=\left(\mathfrak{L} \mathfrak{J}^{-1}\right)^{\prime}=\left(\mathfrak{J}^{-1}\right)^{\prime} \mathfrak{L}=\mathfrak{J} \mathfrak{L} .
\]

Из уравнений (15) и (16) следует
\[
\left(\mathfrak{J}^{-1} \mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J}\right) \mathfrak{J} \mathfrak{S}=\mathfrak{J} \mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{S}=-\mathfrak{J} \mathfrak{L} \mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J}^{-1}=\mathfrak{L}\left(\mathfrak{J}^{-1} \mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J}\right) .
\]

Если положить, кроме того, $\mathfrak{B}=\left(\mathfrak{J}^{-1} \mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J}\right)^{-1}$, то $|\mathfrak{B}|
eq 0$, что дает
\[
\mathfrak{B}^{-1} \mathfrak{J} \mathfrak{S B}=\mathfrak{L} .
\]

Но из нашего прежнего определения $\mathfrak{C}$ следует $\mathfrak{C}=\mathfrak{B P}$ с обратимой диагональной матрицей $\mathfrak{P}$, которую мы представим в виде
\[
\mathfrak{P}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathfrak{P}_{1} & 0 \\
0 & \mathfrak{P}_{2}
\end{array}\right\|
\]

с двумя диагональными матрицами $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}$ порядка $n$. Следовательно,
\[
\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J C}=\mathfrak{J B}^{-1} \mathfrak{C}=\mathfrak{J P}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & -\mathfrak{P}_{2} \\
-\mathfrak{P}_{1} & 0
\end{array}\right\| .
\]

Кроме того, матрица $\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J C}$ альтернированная, так как альтернированной будет $\mathfrak{J}$;ледовательно, $\mathfrak{P}_{1}=\mathfrak{P}_{2}$. Полагая тогда
\[
\mathfrak{Q}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathfrak{P}_{1} & 0 \\
0 & \mathfrak{C}
\end{array}\right\|,
\]

получим $\mathfrak{Q}^{\prime} \mathfrak{J Q}=\mathfrak{J P}$. Если обозначить, наконец, $\mathfrak{C Q}^{-1}$ опять через $\mathfrak{C}$, то уравнение (14) останется справедливым, и, кроме того, теперь
\[
\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J} \mathfrak{C}=\mathfrak{J}
\]

следовательно, матрица $\mathfrak{C}$ является симплектической. Отсюда далее следует
\[
\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{S C}=-\left(\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J} \mathfrak{C}\right) \mathfrak{C}^{-1} \mathfrak{J} \mathfrak{S C}=-\mathfrak{J} \mathfrak{L}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & \mathfrak{L}_{0} \\
\mathfrak{L}_{0} & 0
\end{array}\right\|,
\]
т. е. $\mathfrak{S}$ переводится симплектическим преобразованием в нормальную форму.

Будем понимать под $z$ столбец с $2 n$ элементами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $y_{1}, \ldots, y_{n}$ и рассмотрим линейную подстановку
\[
w=\mathfrak{C}_{1} \text {. }
\]

Так как функциональная матрица $\mathfrak{C}$ симплектическая, то подстановка (19) в соответствии с уравнением $(2 ; 20)$ будет каноническим преобразованием. Оно переводит систему Гамильтона (12) в
\[
\dot{z}=\mathfrak{J} H_{z},
\]

где в силу уравнений (13) и (18)
\[
H=\frac{1}{2} z^{\prime} \mathfrak{C}^{\prime \prime} \mathfrak{S} \mathfrak{C}^{z} z+\ldots=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} x_{k} y_{k}+\ldots,
\]

поэтому квадратичные члены $H$ будут иметь нормальную форму.
Если степенной ряд $H(w)$ имеет действительные коэффициенты, то матрицы $\mathfrak{S}$ и $\mathfrak{A}=\mathfrak{J} \mathfrak{S}$ будут действительными. Чтобы $w$ было также действительным, нужно $z$ подчинить опять условию $\mathfrak{C} z=\overline{\mathfrak{C}} z$. Но $\mathfrak{C}$ определяется уравнениями (14) и (15) не однозначно, а с точностью до произвольной симплектической диагональной матрицы порядка $2 n$
\[
\Re=\left\|\begin{array}{cc}
\mathfrak{R}_{0} & 0 \\
0 & \mathfrak{R}_{0}^{-1}
\end{array}\right\|, \quad \mathfrak{R}_{0}=\left\|r_{1}, \ldots, r_{n}\right\|,
\]

на которую она справа может быть умножена. Соответствующим выбором матрицы $\mathfrak{R}$ можно упростить вид условий, при которых $z$ действительно. Прежде всего пусть собственное значение $\lambda_{k}(k \leqslant n)$ не является чисто мнимым, и $\lambda_{l}=\bar{\lambda}_{k}\left(l=l_{k}\right.$ ). Если при этом $l>n$, то $\lambda_{k}
eq-\lambda_{l}=\lambda_{l-n}$, а также $\lambda_{k}
eq \lambda_{l}$; тогда меняем местами $\lambda_{l-n}$ и $\lambda_{l}$ и переходим к другому случаю $l \leqslant n$. Итак, можно предположить, что $l \leqslant n$ и также $\lambda_{l+n}=\bar{\lambda}_{k+n}$. Если $\lambda_{k}$ чисто мнимое, то $\bar{\lambda}_{k}=-\lambda_{k}=\lambda_{k+n}$. Обозначим опять через $c^{(1)}, \ldots, c^{(2 n)}$ столбцы $\mathfrak{C}$, тогда из $\mathfrak{C}^{\prime} \mathfrak{J} \mathfrak{C}^{+}=\mathfrak{J}$ следует соотношение
\[
c^{(k)^{\prime}} \mathfrak{J} c^{(k+n)}=1 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если $\lambda_{k}$ не чисто мнимое, то уравнение (6) дает формулу
\[
1=c^{(l)^{\prime}} \mathfrak{J} c^{(l+n)}=\rho_{k} \overline{c^{(k)^{\prime}}} \mathfrak{\mathfrak { } c ^ { ( k + n ) }} \rho_{k+n}=\rho_{k} \rho_{k+n},
\]

но если $\lambda_{k}$ чисто мнимое, то $l_{k}=k+n$, и
\[
-1=-\left(c^{(k)^{\prime}} \mathfrak{J} c^{(k+n)}\right)^{\prime}=c^{(k+n)^{\prime}} \mathfrak{J} c^{(k)}=\rho_{k} \overline{c^{(k)^{\prime}}} \mathfrak{J} c^{(k+n)} \rho_{k+n}=\rho_{k} \rho_{k+n} .
\]

Если теперь опять заменить произведение матриц $\mathfrak{C}$ матрицей $\mathfrak{C}$, то первоначальные столбцы $c^{(k)}, c^{(k+n)}$ умножатся на скалярные множители $r_{k}, r_{k}^{-1}$. Если собственное значение $\lambda_{k}$ не чисто мнимое, то тогда в соответствии с уравнением (6) $\rho_{k}$ умножаются на множитель $r_{l} \bar{r}_{k}^{-1}$. В случае когда $\lambda_{k}$ не будет действительным и $k<l_{k}$, выбирая $r_{k}=\bar{\rho}_{k}$, $r_{l}=1$, получим $\rho_{k}=1$; тогда в силу уравнений $(7),(22)$ имеем также $\rho_{k+n}=1, \rho_{l}=1, \rho_{l+n}=1$. Если $\lambda_{k}$ действительно, значит, $k=l_{k}$, и, согласно уравнению (7), модуль числа $\rho_{k}$ равен 1 ; заменяя тогда $r_{k}$ на $\rho_{k}^{-1 / 2}$, получим сразу искомый результат. Наконец, если $\lambda_{k}$ чисто мнимое, то $\rho_{k}$ имеет положительный множитель $\left(r_{k} \bar{r}_{k}\right)^{-1}$, в то время как в соответствии с уравнениями (7), (23) из уравнения $\bar{\rho}_{k}=-\rho_{k}$ следует, что $\rho_{k}$ будет чисто мнимым. Поэтому в этом случае можно добиться выполнения равенства $\rho_{k}=\rho_{k+n}= \pm i$. Если переставить $\lambda_{k}$ и $\lambda_{k+n}$, то можно положить $c^{(k)}=c^{(k+n)}$ и $c^{(k+n)}=-c^{(k)}$, причем $\mathfrak{C}$ остается симплектической. Так как тогда $\rho_{k}$ заменяется на $-\rho_{k+n}$, то можно, следовательно, сделать $\rho_{k}=-i$. При этом $\rho_{k}=-i$ будет множителем для всех чисто мнимых собственных значений $\lambda_{k}$, в противном случае $\rho_{k}=1$. Условие вещественности $\mathfrak{C} z=\overline{\mathfrak{C}} \bar{z}$ совпадает с $\bar{z}_{k}=\rho_{k} z_{l_{k}}$, следовательно, $x_{l}=\bar{x}_{k}, y_{l}=\bar{y}_{k}$ для $\lambda_{l}=\bar{\lambda}_{k}
eq-\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$ и $y_{k}=i \bar{x}_{k}$ для $\bar{\lambda}_{k}=-\lambda_{k}$.

Если рассматривать в правой части уравнения (20) только линейный член, то получится линейная система $\dot{z}=\mathfrak{L} z$, или, точнее,
\[
\dot{x}_{k}=\lambda_{k} x_{k}, \quad \dot{y}_{k}=-\lambda_{k} y_{k} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

с общим решением
\[
x_{k}=\xi_{k} e^{\lambda_{k} t}, \quad y_{k}=\eta_{k} e^{-\lambda_{k} t},
\]

где $\xi_{k}, \eta_{k}$ – постоянные интегрирования. Если одно из собственных значений $\lambda_{k}$ чисто мнимое, например $\lambda_{1}$, то решение
\[
x_{k}=y_{k}=0 \quad(k=2, \ldots, n), \quad x_{1}=\xi_{1} e^{\lambda_{1} t}, \quad y_{1}=\eta_{1} e^{-\lambda_{1} t}
\]

есть периодическое решение линейной системы. При этом, чтобы $w$ было действительным, нужно взять $\eta_{1}=i \bar{\xi}_{1}$. Цель ближайших двух параграфов состоит в том, чтобы, исходя из этого решения, получить периодическое решение общей системы нелинейных уравнений Гамильтона (11).

Что же касается не гамильтоновых дифференциальных уравнений (1), то может случиться, что они, кроме постоянных решений, не имеют никаких других периодических решений, в то время как соответствующая линейная система (2) может иметь периодическое решение, не являющееся константой. Это можно показать на примере системы
\[
\dot{x}=-y+x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{g}, \quad \dot{y}=x+y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{g}
\]

с двумя неизвестными функциями $x, y$, где $g$ есть заданное натуральное число. Соответствующая линейная система $\dot{x}=-y, \dot{y}=x$ имеет только периодические решения, а именно $x=\alpha \cos t+\beta \sin t, y=\alpha \sin t-$ $-\beta \cos t$ с постоянными $\alpha, \beta$. Это будут концентрические окружности в плоскости $(x, y)$, которые пробегаются с постоянной угловой скоростью, равной единице, и центр этих окружностей находится в начале координат. С другой стороны, если записать данную систему (24) в полярных координатах с помощью подстановки $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi$, то
\[
\begin{array}{c}
r \dot{r}=x \dot{x}+y \dot{y}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{g+1}=r^{2 g+2}, \\
r^{2} \dot{\varphi}=x \dot{y}-y \dot{x}=x^{2}+y^{2}=r^{2} .
\end{array}
\]

Для решений, отличных от тривиального решения $r=0$, получим
\[
\dot{r}=r^{2 g+1}, \quad r=(a-2 g t)^{-1 / 2 g}, \quad \dot{\varphi}=1, \quad \varphi=b+t
\]

с двумя постоянными интегрирования $a, b$. Эти решения суть спирали, следовательно они заведомо не будут периодическими. Данный пример, в частности, показывает, что свойство системы $\dot{x}=-y, \dot{y}=x$ иметь периодические решения исчезнет, если добавить в правые части члены более высоких степеней относительно $x$ и $y$; например, в нашем случае можно выбрать параметр $g=1,2, \ldots$ Однако заметим, что данная система не является канонической. Теперь нам нужно исследовать, как можно получить периодические решения системы Гамильтона, если их имеет соответствующая линейная система и если, кроме того, выполняется некоторое условие.