Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве $n$ материальных точек $P_{k}(k=1, \ldots, n)$, причем $n>1$. Пусть их координаты в неподвижной декартовой системе координат будут $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ и пусть масса точки $P_{k}$ равна $m_{k}>0$. Взаимное расстояние $r_{k l}$ между $P_{k}$ и $P_{l}$ определяется формулой
\[
\begin{aligned}
r_{k l}^{2}= & \left(x_{k}-x_{l}\right)^{2}+\left(y_{k}-y_{l}\right)^{2}+\left(z_{k}-z_{l}\right)^{2} \\
& (k=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, n) .
\end{aligned}
\]

Для упрощения мы будем часто обозначать символом $q_{k}$ любую из трех координат $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ и символом $q$ какую-либо из этих $3 n$ возможных координат $q_{k}(k=1, \ldots, n)$; далее, мы будем иногда обозначать через $m$ массу $m_{k}$, которая соответствует точке с координатой $q$. При надлежащем выборе основных единиц силовая функция для ньютоновского притяжения будет иметь вид
\[
U=\sum_{k<l} \frac{m_{i} m_{l}}{r_{k l}} .
\]

Уравнения движения в задаче $n$ тел можно записать в сокращенном виде следующим образом:
\[
m \ddot{q}=U_{q}
\]

здесь через $U_{q}$ обозначена частная производная от $U$ по $q$. Эти уравнения можно записать также в виде системы $6 n$ дифференциальных уравнений первого порядка с $6 n$ неизвестными функциями $q, v$ времени $t$ :
\[
\dot{q}=v, \quad v=m^{-1} U_{q} .
\]

Обозначим теперь начальные значения для действительного $t=\tau$ индексом $\tau$, который не следует принимать за значок дифференцирования; тогда $6 n$ действительных величин $q=q_{\tau}, v=v_{\tau}$ будут удовлетворять условиям
\[
r_{k l \tau}=\rho_{k l}>0 \quad(k
eq l ; k=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, n),
\]

где $\rho_{k l}$ – произвольны. Задача $n$ тел состоит в описании общего поведения всех решений уравнений движения для произвольно заданных начальных значений. Несмотря на усилия выдающихся математиков в течение последних 200 лет, эта задача остается неразрешенной для случая $n>2$ и до сегодняшнего дня.

В 1858 г. Дирихле [1] сообщил своему другу Кронекеру, что он нашел общий метод рассмотрения задач механики, и хотя этот метод не приводит к прямому интегрированию дифференциальных уравнений движения, но дает последовательные приближения к решению задачи. В другой беседе он сказал, кроме того, что ему удалось доказать устойчивость планетной системы. Дирихле вскоре умер, не оставив после себя никаких письменных указаний об этом открытии, поэтому мы не имеем более подробных сведений об этом методе. Вейерштрасс предположил, что здесь шла речь о разложении в степенные ряды, и попытался найти соответствующее решение задачи $n$ тел; об этом он говорил также своим ученикам С. Ковалевской и Г. Миттаг-Леффлеру [2]. По предложению Миттаг-Леффлера, тогдашний король Швеции и Норвегии учредил даже премию за решение задачи, которая заключается в нахождении пригодных для любых значений времени разложений в ряды координат в задаче $n$ тел. Эту премию получил в 1889 г. Пуанкаре; хотя он также не нашел решения поставленной задачи, все же его премированная работа [3] полна оригинальных идей, которые имели большое значение для последующего развития механики и оплодотворили другие разделы математики. Наконец, 20 лет спустя Зундман решил эту задачу для случая $n=3$. Главная трудность задачи состояла в том, что не удавалось с помощью соответствующих неравенств для начальных условий исключить столкновения двух тел. Зундман обошел эту трудность, введя вместо времени $t$ новое независимое переменное $\omega$ таким образом, что $t$ и все координаты $q$ как функции $\omega$ остаются регулярными и при столкновении двух тел; он получил разложения для $q$ и $t$ в ряды по степеням $\omega$, которые представляют весь ход движения. Этот важный и красивый результат будет подробно изложен в оставшейся части первой главы. Для $n>3$ соответствующий результат неизвестен.

Прежде всего найдем для любого $n>1$ десять классических интегралов задачи $n$ тел. Из (1) и (2) получим
\[
U_{q_{k}}=\sum_{l
eq k} \frac{m_{k} m_{l}}{r_{k l}^{3}}\left(q_{l}-q_{k}\right) \quad(k=1, \ldots, n),
\]

следовательно,
\[
\sum_{k=1}^{n} U_{q_{k}}=0
\]

и уравнения движения (4) дадут
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k} \dot{v}_{k}=0, \quad v_{k}=\dot{q}_{k}
\]

откуда получаются шесть интегралов движения центра инерции:
\[
\left\{\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{n} m_{k} \dot{x}_{k}=a, \quad \sum_{k=1}^{n} m_{k} \dot{y}_{k}=b, \quad \sum_{k=1}^{n} m_{k} \dot{z}_{k}=c, \\
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(x_{k}-t \dot{x}_{k}\right)=a^{*}, \quad \sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(y_{k}-t \dot{y}_{k}\right)=b^{*}, \\
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(z_{k}-t \dot{z}_{k}\right)=c^{*},
\end{array}\right.
\]

или
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k} x_{k}=a t+a^{*}, \quad \sum_{k=1}^{n} m_{k} y_{k}=b t+b^{*}, \quad \sum_{k=1}^{n} m_{k} z_{k}=c t+c^{*},
\]

с шестью постоянными интегрирования $a, a^{*}, b, b^{*}, c, c^{*}$.

Если $p_{k}, q_{k}$ обозначают какие-либо из переменных $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ при $k=1, \ldots, n$, то из равенства (5) получим
\[
U_{q_{k}} p_{k}-U_{p_{k}} q_{k}=\sum_{l
eq k} \frac{m_{k} m_{l}}{r_{k l}^{3}}\left(q_{l} p_{k}-p_{l} q_{k}\right) \quad(k=1, \ldots, n),
\]

откуда следует
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(U_{q_{k}} p_{k}-U_{p_{k}} q_{k}\right)=0 .
\]

Уравнения движения (4) дадут нам соотношения
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(\dot{v}_{k} p_{k}-\dot{u}_{k} q_{k}\right)=0, \quad v_{k}=\dot{q}_{k}, \quad u_{k}=\dot{p}_{k},
\]

из которых получаются три интеграла площадей:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(y_{k} \dot{z}_{k}-z_{k} \dot{y}_{k}\right)=\alpha \\
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(z_{k} \dot{x}_{k}-x_{k} \dot{z}_{k}\right)=\beta \\
\sum_{k=1}^{n} m_{k}\left(x_{k} \dot{y}_{k}-y_{k} \dot{x}_{k}\right)=\gamma
\end{array}\right.
\]

с тремя постоянными интегрирования $\alpha, \beta, \gamma$. Наконец, из уравнений (4) получается при суммировании по всем координатам соотношение
\[
\sum_{q}\left(m v \dot{v}-U_{q} \dot{q}\right)=0
\]

из которого вытекает интеграл энергии
\[
T-U=h
\]

с постоянной интегрирования $h$, причем
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{q} m \dot{q}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{v} m v^{2}
\]

обозначает живую силу системы материальных точек. С помощью найденных десяти интегралов (7), (8), (9) можно исключить из уравнений движения (4) десять координат $q, v$ и привести данную систему к $6 n-10$ дифференциальным уравнениям первого порядка.

Заметим, что левые части интегралов (7), (8), (9) являются алгебраическими функциями $6 n+1$ переменных $q, v, t$. Можно поставить вопрос, существуют ли еще такие алгебраические интегралы. Для разъяснения этого вопроса нужно прежде всего уточнить понятие интеграла. Пусть
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x, t) \quad(k=1, \ldots, m)
\]

опять является системой $m$ дифференциальных уравнений первого порядка, но правые части этих уравнений теперь могут зависеть не только от $x_{1}, \ldots, x_{m}$, но и от $t$. Непрерывно дифференцируемая функция $g(x, t)$ от $m+1$ независимых переменных $x_{1}, \ldots, x_{m}$ и $t$ называется интегралом системы (11), если она остается постоянной на каждом решении $x=x(t)$ системы (11). Это означает, что она удовлетворяет тождественно по всем переменным $x, t$ однородному линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка
\[
g_{t}+\sum_{k=1}^{m} f_{k}(x, t) g_{x_{k}}=0 .
\]

Если найдено $l$ интегралов $g=g_{1}, \ldots, g=g_{l}$ системы (11), то они называются независимыми, если функциональная матрица, образованная из $m+1$ частных производных этих интегралов по $x_{k}, t$, имеет ранг $l$. Далее, интеграл называется алгебраическим, если он является алгебраической функцией от $x_{k}, t$. Следовательно, выше у нас были найдены в случае $n>1$ десять алгебраических интегралов системы дифференциальных уравнений задачи $n$ тел (4); легко видеть, что они независимы. Брунс [5] доказал интересную теорему: не существует ни одного алгебраического интеграла системы (4), который был бы независимым от десяти классических. Отсюда следует, что каждый алгебраический интеграл системы (4) будет алгебраической функцией уже известных десяти интегралов. С другой стороны, в силу теоремы существования система (4) должна иметь $6 n$ независимых интегралов, но они при $6 n>10$ не могут быть все алгебраическими. Так как доказательство теоремы Брунса очень длинно, оно не может быть, к сожалению, здесь помещено.

Применим теперь доказанную в предыдущем параграфе теорему существования Коши к системе (4). При этом $\tau$ и начальные значения $q=q_{\tau}, v=v_{\tau}$ будут действительными, в то время как для определения входящих в теорему существования положительных постоянных $r, M$ необходимо принимать во внимание комплексные значения переменных. По предположению начальные значения $r_{k l \tau}=\rho_{k l}>0(k
eq l)$. Пусть $A$ есть верхняя грань $U$ при $t=\tau$, следовательно,
\[
U_{\tau} \leqslant A ;
\]

далее, пусть
\[
\min _{k
eq l} \rho_{k l}=\rho, \quad \min _{k} m_{k}=\mu .
\]

Тогда из (2) имеем
\[
\frac{\mu^{2}}{\rho} \leqslant U_{\tau} \leqslant A,
\]

поэтому
\[
\rho \geqslant \mu^{2} A^{-1} .
\]

Чтобы получить верхнюю оценку абсолютных значений производных $U_{q}$, оценим прежде всего снизу значения $\left|r_{k l}\right|(k
eq l)$ для комплексных $q$ вблизи $q_{\tau}$. Если обозначить для сокращения три выражения $\left(q_{k}-q_{k \tau}\right)-\left(q_{l}-q_{l \tau}\right)$ для $q=x, y, z$ через $\varphi, \psi, \chi$, то неравенство Шварца в соответствии с равенством (1) даст оценку
\[
\left|r_{k l}\right|^{2} \geqslant \rho_{k l}^{2}-2 \rho_{k l}\left(|\varphi|^{2}+|\psi|^{2}+\left.\chi\right|^{2}\right)^{1 / 2}+\left(|\varphi|^{2}+|\psi|^{2}+|\chi|^{2}\right) .
\]

Теперь, если
\[
\left|q-q_{\tau}\right|<\frac{\rho}{14}
\]

для всех $q$, то $\varphi, \psi, \chi$ по абсолютной величине будут меньше $\rho / 7$, следовательно,
\[
|\varphi|^{2}+|\psi|^{2}+|\chi|^{2}<3 \frac{\rho^{2}}{49}<\frac{\rho^{2}}{16},
\]

и вследствие соотношений (12), (14) имеем также
\[
\left|r_{k l}\right|^{2} \geqslant \rho_{k l}^{2}-\frac{1}{2} \rho_{k l} \rho+\frac{1}{16} \rho^{2}>\frac{1}{4} \rho_{k l}^{2}, \quad\left|r_{k l}\right|>\frac{1}{2} \rho_{k l} .
\]

Благодаря оценке (13) неравенство (15), наверное, будет выполнено, если
\[
\left|q-q_{\tau}\right|<\frac{\mu^{2}}{14 A},
\]

тогда далее получаем
\[
\left|q_{l}-q_{k}\right| \leqslant\left|q_{l}-q_{l \tau}\right|+\left|q_{k}-q_{k \tau}\right|+\left|q_{l \tau}-q_{k \tau}\right|<\frac{\rho}{7}+\rho_{k l} \leqslant \frac{8}{7} \rho_{k l} .
\]

В соответствии с неравенствами (13), (16) будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{q_{l}-q_{k}}{r_{k l}^{3}}\right| \leqslant\left(\frac{2}{\rho_{k l}}\right)^{3} \frac{8}{7} \rho_{k l}=\frac{64}{7} \rho_{k l}^{-2} \leqslant \frac{64}{7} A^{2} \mu^{-4} \quad(k
eq l), \\
\left|m_{k}^{-1} U_{q_{k}}\right|=\left|\sum_{l
eq k} \frac{m_{l}}{r_{k l}^{3}}\left(q_{l}-q_{k}\right)\right|<c_{1} A^{2} \quad(k=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

причем соответствующая положительная постоянная $c_{1}$ будет зависеть только от масс. Учитывая равенство $\dot{q}=v$, в соответствии с интегралом энергии будем, кроме того, иметь следующее соотношение:
\[
\frac{m}{2} v_{\tau}^{2} \leqslant T_{\tau}=U_{\tau}+h \leqslant A+h, \quad\left|v_{\tau}\right| \leqslant c_{2} \sqrt{A+h},
\]

причем $c_{2}$ также зависит только от масс. Если положить
\[
\frac{\mu^{2}}{14 A}=r
\]

и потребовать, кроме условия (17), выполнения неравенства
\[
\left|v-v_{\tau}\right|<r,
\]

то будем иметь следующую оценку:
\[
|v| \leqslant\left|v-v_{\tau}\right|+\left|v_{\tau}\right|<r+c_{2} \sqrt{A+h} .
\]

Итак, если постоянные $r, M$, входящие в теорему существования, определяются равенством (18) и равенством
\[
M=c_{1} A^{2}+\frac{\mu^{2}}{14 A}+c_{2} \sqrt{A+h},
\]

то решение $q(t), v(t)=\dot{q}(t)$ системы (4) регулярно в круге
\[
|t-\tau|<\frac{r}{(6 n+1) M}=\delta
\]

и, в частности, в интервале $\tau \leqslant t<\tau+\delta$. Радиус $\delta$ зависит только от $A, h$ и от масс.

Рассмотрим кривую, изображающую решение в пространстве $6 n$ координат $q, v=\dot{q}$ при $t \geqslant \tau$. Если $t-\tau<\delta$, то $q(t)$ являются регулярными функциями $t$. При этом, в частности, не может произойти соударения, так как иначе силовая функция $U$ стала бы бесконечной, следовательно, в соответствии с интегралом энергии бесконечной стала бы и кинетическая энергия $T$, а вместе с нею по меньшей мере одна из составляющих скорости $\dot{q}(t)$, что противоречит доказанной регулярности $q(t)$. Осуществим теперь аналитическое продолжение решения для действительных $t>\tau$. Тогда либо все $6 n$ координат для всех конечных действительных моментов времени $t \geqslant \tau$ будут регулярными, либо существует особенность для момента $t_{1}>\tau$, по крайней мере для одной из координат $q(t)$, но все $q(t)$ при $\tau \leqslant t<t_{1}$ остаются регулярными. Мы утверждаем, что $U$ при возрастающем $t \rightarrow t_{1}$ станет больше любого положительного числа и, следовательно, стремится к положительной бесконечности. Если бы это было не так, то существовала бы такая положительная константа $A$ и такая сходящаяся к $t_{1}$ снизу последовательность моментов времени $\tau_{1}>\tau$, для которой
\[
U_{\tau_{1}} \leqslant A .
\]

Тогда выберем $\tau_{1}>t_{1}-\delta$, где $\delta-$ величина, введенная в предыдущем абзаце, и применим теорему существования с рассмотрением $\tau_{1}$ вместо $\tau$. Из этой теоремы следует, что все $q(t)$ остаются регулярными также при $t=t_{1}$, что противоречит смыслу выбора момента $\tau_{1}$. Из только что доказанной теоремы о стремлении $U \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow t_{1}$ следует, если принять во внимание (2), что наименьшее из $n(n-1) / 2$ расстояний $r_{k l}(k<l)$ для $t \rightarrow t_{1}$ стремится к нулю.