С помощью применявшегося в $\S 4$ метода мажорант докажем теперь сходимость степенных рядов, формально построенных в предыдущем параграфе. При этом будем предполагать, что при решении уравнения $(14 ; 3)$ выполняется условие $\alpha+\beta=0$. Для систем Гамильтона это предположение всегда выполнено в силу $(14 ; 7)$.

Пусть $h=h(\xi, \eta)$ является степенным рядом относительно $\xi, \eta$; его коэффициенты при $\xi^{p} \eta^{q}$ в разложении функции $h(\xi, \eta)$ будем обозначать через $\{h\}_{p q}$. В силу уравнения $(14 ; 3)$ тогда имеем
\[
\left\{\left(y_{\xi} \xi-y_{\eta} \eta\right) \alpha-\mathfrak{L} y\right\}_{p q}=\{g(y)\}_{p q},
\]

причем вместо $y$ и $\alpha$ следует подставить искомые ряды. Так как
\[
\alpha=\lambda_{1}+\sum_{r=1}^{\infty}\{\alpha\}_{r r}(\xi \eta)^{r}
\]

является степенным рядом только относительно $\xi \eta$, то после сравнения коэффициентов в равенстве $(14 ; 3)$ получим для $k=1, \ldots, m$
\[
\left[(p-q) \lambda_{1}-\lambda_{k}\right]\left\{y_{k}\right\}_{p q}+\sum_{r=1}^{\infty}(p-q)\{\alpha\}_{r r}\left\{y_{k}\right\}_{p-r, q-r}=\left\{g_{k}(y)\right\}_{p q},
\]

причем сумма заканчивается членом с $r=\min (p, q)$. Пусть сначала не будут одновременно выполняться равенства $k=1, p=q+1$ или $k=2$, $q=p+1$; тогда, следовательно, $(p-q) \lambda_{1}-\lambda_{k}
eq 0$, и существует такое число $c_{1}>0$, не зависящее от $k, p, q$, что
\[
\left|\frac{1}{(p-q) \lambda_{1}-\lambda_{k}}\right|<c_{1}, \quad\left|\frac{p-q}{(p-q) \lambda_{1}-\lambda_{k}}\right|<c_{1} .
\]

Из равенства (1) при сделанных предположениях тогда следует, что
\[
\left|\left\{y_{k}\right\}_{p q}\right| \leqslant c_{1}\left|\left\{g_{k}(y)\right\}_{p q}\right|+c_{1} \sum_{r=1}^{\infty}\left|\{\alpha\}_{r r}\left\{y_{k}\right\}_{p-r, q-r}\right| .
\]

В оставшихся нерассмотренными случаях, когда одновременно $k=1$, $p=q+1$ или $k=2, q=p+1$, будет всегда выполняться условие $\left\{y_{k}\right\}_{p q}=0$ при $p+q>1$, в то время как $\left\{y_{1}\right\}_{10}=\left\{y_{2}\right\}_{01}=1$. Следовательно, в этих случаях из равенства (1) получим
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\left|\{\alpha\}_{q q}\right|=\left|\left\{g_{1}(y)\right\}_{p q}\right| & (p=q+1>1), \\
\left|\{\alpha\}_{p p}\right|=\left|\left\{g_{2}(y)\right\}_{p q}\right| & (q=p+1>1) .
\end{array}\right.
\]

Пусть $h$ является каким-нибудь степенным рядом относительно $\xi, \eta$; положим тогда, что
\[
|\bar{h}|=\sum_{p, q}\left|\{h\}_{p q}\right| \xi^{p} \eta^{q} .
\]

Таким образом, ряд $|h|$ получается из ряда $h$ заменой всех его коэффициентов их абсолютными значениями. Далее, обозначим для сокращения $y_{1}^{*}=y_{1}-\xi, y_{2}^{*}=y_{2}-\eta, y_{k}^{*}=y_{k}(k=3, \ldots, m), \alpha^{*}=\alpha-\lambda_{1}$. Если умножить равенства (2) и (3) на $\xi^{p} \eta^{q}$ и просуммировать по $k, p, q$, то получится мажорантное соотношение
\[
(\xi+\eta)\left|\overline{\alpha^{*}}\right|+\sum_{k=1}^{m}\left|\overline{y_{k}^{*}}\right| \prec c_{1}\left(\sum_{k=1}^{m}\left|\overline{g_{k}(y)}\right|+\left|\overline{\alpha^{*}}\right| \sum_{k=1}^{m}\left|\overline{y_{k}^{*}}\right|\right),
\]

в которое больше не входят производные.
Используем оценку для $\left|\overline{g_{k}(y)}\right|$ и обозначим через $c_{2}, \ldots, c_{8}$ подходящим образом выбранные положительные постоянные. По нашему предположению $m$ функций $f_{k}(x)(k=1, \ldots, m)$ регулярны в окрестности $x=0 ;$ функции $g_{k}(y)$, определенные равенством $(14 ; 4)$, также регулярны в окрестности $y=0$. Пусть теперь функции $g_{k}(y)$ регулярны при $\left|y_{l}\right| \leqslant c_{2}(l=1, \ldots, m)$, и пусть они по абсолютной величине $\leqslant c_{3} ;$ тогда при помощи интегральной формулы Коши получим соотношение
\[
g_{k}(y) \prec c_{3} \prod_{l=1}^{m}\left(1-\frac{y_{l}}{c_{2}}\right)^{-1},
\]

причем $y_{1}, \ldots, y_{m}$ рассматриваются как независимые переменные. Далее, полагая для сокращения $s=y_{1}+\ldots+y_{m}$, будем иметь
\[
\prod_{l=1}^{m}\left(1-\frac{y_{l}}{c_{2}}\right)^{-1} \prec\left(1-\frac{s}{c_{2}}\right)^{-m} \prec \frac{c_{4}}{1-c_{5} s} .
\]

Так как разложения функций $g_{k}(y)$ начинаются с членов второй степени, то
\[
g_{k}(y) \prec \frac{c_{6} s^{2}}{1-c_{5} s} \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Если положить еще
\[
\sum_{k=1}^{m}\left|\overline{y_{k}^{*}}\right|=S
\]

то, с другой стороны,
\[
|\bar{s}| \prec \xi+\eta+S .
\]

Из оценочных неравенств (4), (5), (6) получим
\[
(\xi+\eta)\left|\overline{\alpha^{*}}\right|+S \prec c_{1}\left(\frac{c_{6}(\xi+\eta+S)^{2}}{1-c_{5}(\xi+\eta+S)}+\left|\overline{\alpha^{*}}\right| S\right) .
\]

В соответствии с неравенством (6) достаточно доказать сходимость рядов $S$ и $\left|\overline{\alpha^{*}}\right|$ в окрестности $\xi=0, \eta=0$, и так как все коэффициенты разложений больше или равны нулю, то достаточно рассмотреть случай $\xi=\eta$. Так как ряд $S$ также начинается с членов второго порядка относительно $\xi, \eta$, то
\[
2\left|\overline{\alpha^{*}}\right|+\xi^{-1} S=U
\]

будет степенным рядом относительно $\xi$ с неотрицательными коэффициентами, не содержащим постоянного члена, и оценочное неравенство (7) дает нам
\[
U \prec c_{7}\left(\frac{\xi(1+U)^{2}}{1-2 c_{5} \xi(1+U)}+U^{2}\right) .
\]

Если положить еще
\[
\xi+U+\xi U=V
\]

TO
\[
2 \xi U+2 \xi U^{2}+U^{2} \prec V^{2},
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{c}
V \prec \xi+U+V^{2} \prec \xi+V^{2}+c_{7}\left(\frac{\xi+V^{2}}{1-2 c_{5} V}+V^{2}\right), \\
V \prec c \frac{2 \xi+V^{2}}{4-c V}, \quad c=c_{8},
\end{array}
\]

и достаточно доказать сходимость ряда $V$ для достаточно малого положительного $\xi$. Рассмотрим вместо оценочного неравенства (8) уравнение
\[
W=c \frac{2 \xi+W^{2}}{4-c W}
\]

для неизвестного степенного ряда
\[
W=W(\xi)=\sum_{l=1}^{\infty} \gamma_{l} \xi^{l}
\]

Если разложить правую часть уравнения (9) по степеням $W$ и ввести ряд $W(\xi)$, то все коэффициенты $\gamma_{l}$, однозначно определяются последовательным сравнением; из получающихся при этом рекуррентных формул усматриваем, что в силу оценочного неравенства (8) ряд $W$ является мажорирующим для ряда $V$. Но из равенства (9) следует, что
\[
c W^{2}-2 W+c \xi=0, \quad(1-c W)^{2}=1-c^{2} \xi,
\]

значит,
\[
2 c W \prec(1-c W)^{-2}-1=\frac{c^{2} \xi}{1-c^{2} \xi},
\]

чем доказывается сходимость ряда $W(\xi)$ при $|\xi|<c^{-2}$.
Чтобы сделать выкладки более короткими, мы отказались от определения явного выражения для $c$. Если дать в соответствующих местах более точные оценки, то этим путем можно прийти к практически пригодным результатам.