С помощью применявшегося в $\mathrm{\S }4$ метода мажорант докажем теперь сходимость степенных рядов, формально построенных в предыдущем параграфе. При этом будем предполагать, что при решении уравнения $(14;3)$ выполняется условие $\alpha +\beta =0$. Для систем Гамильтона это предположение всегда выполнено в силу $(14;7)$.

Пусть $h=h(\xi ,\eta )$ является степенным рядом относительно $\xi ,\eta$; его коэффициенты при ${\xi }^p{\eta }^q$ в разложении функции $h(\xi ,\eta )$ будем обозначать через $\{h{\}}_{pq}$. В силу уравнения $(14;3)$ тогда имеем
$${\{(y_{\xi }\xi -y_{\eta }\eta )\alpha -\mathfrak{L}y\}}_{pq}=\{g(y){\}}_{pq},$$

причем вместо $y$ и $\alpha$ следует подставить искомые ряды. Так как
$$\alpha ={\lambda }_1+\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\{\alpha {\}}_{rr}(\xi \eta {)}^r$$

является степенным рядом только относительно $\xi \eta$, то после сравнения коэффициентов в равенстве $(14;3)$ получим для $k=1,\dots ,m$
$$[(p-q){\lambda }_1-{\lambda }_k]{\left\{y_k\right\}}_{pq}+\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}(p-q)\{\alpha {\}}_{rr}{\left\{y_k\right\}}_{p-r,q-r}={\{g_k(y)\}}_{pq},$$

причем сумма заканчивается членом с $r=min(p,q)$. Пусть сначала не будут одновременно выполняться равенства $k=1,p=q+1$ или $k=2$, $q=p+1$; тогда, следовательно, $(p-q){\lambda }_1-{\lambda }_{k}eq0$, и существует такое число $c_1>0$, не зависящее от $k,p,q$, что
$$\left|\frac{1}{(p-q){\lambda }_1-{\lambda }_k}\right|<c_1,\left|\frac{p-q}{(p-q){\lambda }_1-{\lambda }_k}\right|<c_1.$$

Из равенства (1) при сделанных предположениях тогда следует, что
$$\left|{\left\{y_k\right\}}_{pq}\right|⩽c_1\left|{\{g_k(y)\}}_{pq}\right|+c_1\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}|\{\alpha {\}}_{rr}{\left\{y_k\right\}}_{p-r,q-r}|.$$

В оставшихся нерассмотренными случаях, когда одновременно $k=1$, $p=q+1$ или $k=2,q=p+1$, будет всегда выполняться условие ${\left\{y_k\right\}}_{pq}=0$ при $p+q>1$, в то время как ${\left\{y_1\right\}}_{10}={\left\{y_2\right\}}_{01}=1$. Следовательно, в этих случаях из равенства (1) получим
$$\{\begin{array}{ll}|\{\alpha {\}}_{qq}|=\left|{\{g_1(y)\}}_{pq}\right|& (p=q+1>1),\\ |\{\alpha {\}}_{pp}|=\left|{\{g_2(y)\}}_{pq}\right|& (q=p+1>1).\end{array}$$

Пусть $h$ является каким-нибудь степенным рядом относительно $\xi ,\eta$; положим тогда, что
$$|\overline{h}|=\sum _{p,q}|\{h{\}}_{pq}|{\xi }^p{\eta }^q.$$

Таким образом, ряд $|h|$ получается из ряда $h$ заменой всех его коэффициентов их абсолютными значениями. Далее, обозначим для сокращения $y_1^{\ast }=y_1-\xi ,y_2^{\ast }=y_2-\eta ,y_k^{\ast }=y_k(k=3,\dots ,m),{\alpha }^{\ast }=\alpha -{\lambda }_1$. Если умножить равенства (2) и (3) на ${\xi }^p{\eta }^q$ и просуммировать по $k,p,q$, то получится мажорантное соотношение
$$(\xi +\eta )\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|+\sum _{k=1}^m\left|\overline{y_k^{\ast }}\right|\prec c_1(\sum _{k=1}^m\left|\overline{g_k(y)}\right|+\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|\sum _{k=1}^m\left|\overline{y_k^{\ast }}\right|),$$

в которое больше не входят производные.
Используем оценку для $\left|\overline{g_k(y)}\right|$ и обозначим через $c_2,\dots ,c_8$ подходящим образом выбранные положительные постоянные. По нашему предположению $m$ функций $f_k(x)(k=1,\dots ,m)$ регулярны в окрестности $x=0;$ функции $g_k(y)$, определенные равенством $(14;4)$, также регулярны в окрестности $y=0$. Пусть теперь функции $g_k(y)$ регулярны при $\left|y_l\right|⩽c_2(l=1,\dots ,m)$, и пусть они по абсолютной величине $⩽c_3;$ тогда при помощи интегральной формулы Коши получим соотношение
$$g_k(y)\prec c_3\prod _{l=1}^m{(1-\frac{y_l}{c_2})}^{-1},$$

причем $y_1,\dots ,y_m$ рассматриваются как независимые переменные. Далее, полагая для сокращения $s=y_1+\dots +y_m$, будем иметь
$$\prod _{l=1}^m{(1-\frac{y_l}{c_2})}^{-1}\prec {(1-\frac{s}{c_2})}^{-m}\prec \frac{c_4}{1-c_{5}s}.$$

Так как разложения функций $g_k(y)$ начинаются с членов второй степени, то
$$g_k(y)\prec \frac{c_6{s}^2}{1-c_{5}s}(k=1,\dots ,m).$$

Если положить еще
$$\sum _{k=1}^m\left|\overline{y_k^{\ast }}\right|=S$$

то, с другой стороны,
$$|\overline{s}|\prec \xi +\eta +S.$$

Из оценочных неравенств (4), (5), (6) получим
$$(\xi +\eta )\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|+S\prec c_1(\frac{c_6(\xi +\eta +S{)}^2}{1-c_5(\xi +\eta +S)}+\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|S).$$

В соответствии с неравенством (6) достаточно доказать сходимость рядов $S$ и $\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|$ в окрестности $\xi =0,\eta =0$, и так как все коэффициенты разложений больше или равны нулю, то достаточно рассмотреть случай $\xi =\eta$. Так как ряд $S$ также начинается с членов второго порядка относительно $\xi ,\eta$, то
$$2\left|\overline{{\alpha }^{\ast }}\right|+{\xi }^{-1}S=U$$

будет степенным рядом относительно $\xi$ с неотрицательными коэффициентами, не содержащим постоянного члена, и оценочное неравенство (7) дает нам
$$U\prec c_7(\frac{\xi (1+U{)}^2}{1-2c_5\xi (1+U)}+U^2).$$

Если положить еще
$$\xi +U+\xi U=V$$

TO
$$2\xi U+2\xi U^2+U^2\prec V^2,$$

следовательно,
$$\begin{array}{c}V\prec \xi +U+V^2\prec \xi +V^2+c_7(\frac{\xi +V^2}{1-2c_{5}V}+V^2),\\ V\prec c\frac{2\xi +V^2}{4-cV},c=c_8,\end{array}$$

и достаточно доказать сходимость ряда $V$ для достаточно малого положительного $\xi$. Рассмотрим вместо оценочного неравенства (8) уравнение
$$W=c\frac{2\xi +W^2}{4-cW}$$

для неизвестного степенного ряда
$$W=W(\xi )=\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}{\gamma }_l{\xi }^l$$

Если разложить правую часть уравнения (9) по степеням $W$ и ввести ряд $W(\xi )$, то все коэффициенты ${\gamma }_l$, однозначно определяются последовательным сравнением; из получающихся при этом рекуррентных формул усматриваем, что в силу оценочного неравенства (8) ряд $W$ является мажорирующим для ряда $V$. Но из равенства (9) следует, что
$$c{W}^2-2W+c\xi =0,(1-cW{)}^2=1-c^2\xi ,$$

значит,
$$2cW\prec (1-cW{)}^{-2}-1=\frac{c^2\xi }{1-c^2\xi },$$

чем доказывается сходимость ряда $W(\xi )$ при $|\xi |<c^{-2}$.
Чтобы сделать выкладки более короткими, мы отказались от определения явного выражения для $c$. Если дать в соответствующих местах более точные оценки, то этим путем можно прийти к практически пригодным результатам.