Применим теперь обе вспомогательные теоремы Зундмана к отысканию координат $q_{k}(k=1, \ldots, 9)$ в задаче трех тел в виде функций новой независимой переменной, заданной выражением $(8 ; 17)$
\[
s=\int_{\tau}^{t}(U+1) d t .
\]

Если $h$ есть значение постоянной энергии для рассматриваемого решения, то положим теперь в отличие от $(7 ; 15)$
\[
F=\frac{T-U-h}{U+1}=\frac{T-h+1}{U+1}-1 .
\]

Аналогично переходу от $(7 ; 6)$ к $(7 ; 16)$ получим из уравнений движения $(7 ; 2)$ систему Гамильтона
\[
q_{k}^{\prime}=F_{p_{k}}, \quad p_{k}^{\prime}=-F_{q_{k}} \quad(k=1, \ldots, 9),
\]

причем штрих обозначает дифференцирование по $s$ и, кроме того,
\[
t^{\prime}=(U+1)^{-1} .
\]

Функция $F$ на рассматриваемом решении тождественно равна нулю. Мы докажем теперь как третью вспомогательную теорему следующее утверждение:

Если для начальных значений выполнены неравенства ( $9 ; 7)$, то существует такая положительная величина $\delta=\delta(A, m)$, зависящая только от $A$ и масс, что координаты $q$, взаимные расстояния трех тел и время $t$ будут регулярными аналитическими функциями от $s=\sigma+i
u$ в полосе $-\delta<
u<\delta$ комплексной плоскости $s$.

Для доказательства используем опять теорему существования Коши. Мы уже знаем, что рассматриваемое решение можно аналитически продолжить для всех конечных действительных значений времени; вспомним, что в соответствии с подстановкой (1) действительной оси $t$ при этом соответствует действительная ось $s$. Пусть $s=s_{1}$ есть произвольно выбранное действительное число. Мы докажем, что $q_{k}$ ( $k=$ $=1, \ldots, 9), r_{\varkappa \lambda}(1 \leqslant \varkappa<\lambda \leqslant 3)$ и $t$ будут регулярными в круге $\left|s-s_{1}\right|<\delta$, причем $\delta$ не зависит от $s_{1}$ и зависит только от $A$ и масс. Мы будем обозначать в этом параграфе, как и раньше, индексом 1 значения соответствующих функций при $s=s_{1}$. Введем действительное число $B \geqslant A+1$, которое позднее будет определено точнее, и будем различать в дальнейшем два случая.

Прежде всего пусть при $s=s_{1}$ значение $U=U_{1} \leqslant B$. Для применения теоремы существования к уравнениям (3), (4) достаточно найти положительное число $b$, зависящее только от $B$ и от масс, такое, чтобы функции $F$ и $(U+1)^{-1}$ в комплексной окрестности
\[
\left|q_{k}-q_{k 1}\right|<b, \quad\left|p_{k}-p_{k 1}\right|<b \quad(k=1, \ldots, 9)
\]

были регулярны относительно $q_{k}, p_{k}$ и чтобы их абсолютные значения оставались меньше некоторой величины, зависящей только от $B$ и масс. Вследствие определения (2), это нужно доказать только для $T$ и $(U+1)^{-1}$. В дальнейшем под $b_{1}, \ldots, b_{5}$ будем понимать надлежащим образом выбранные положительные числа, которые зависят только от масс и от $B$. Для $s=s_{1}$
\[
T=T_{1}=U_{1}+h<B+A<2 B,
\]

и $(7 ; 1)$ показывает, что в комплексной окрестности
\[
\left|p_{k}-p_{k 1}\right|<1 \quad(k=1, \ldots, 9)
\]

справедлива оценка вида $|T|<b_{1}$, причем регулярность $T$ очевидна. Вернемся теперь к соответствующему исследованию $(U+1)^{-1}$ и определим прежде всего такую окрестность $q_{k 1}$, чтобы там наверное было $|U+1|>\frac{1}{4}$. Для этого достаточно, чтобы там было $\left|U-U_{1}\right|<\frac{3}{4}$, так как тогда получается
\[
|U+1| \geqslant\left(U_{1}+1\right)-\left(U_{1}-U\right)>\frac{1}{4} .
\]

Если обозначить через $\mu$ наименьшую и через $m$ — наибольшую из масс $m_{k}(k=1,2,3)$, то достаточно в соответствии с $(5 ; 2)$ найти такую окрестность $q_{k 1}$, в которой будут выполнены три условия
\[
\left|\frac{r_{\varkappa \lambda 1}}{r_{\varkappa \lambda}}-1\right|<\frac{\mu^{2}}{4 m^{2} B}=b_{2} \quad(1 \leqslant \varkappa<\lambda \leqslant 3) .
\]

Тогда, вследствие соотношения
\[
\frac{\mu^{2}}{r_{\varkappa \lambda 1}}<U_{1} \leqslant B,
\]

будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{1}{r_{\varkappa \lambda}}-\frac{1}{r_{\varkappa \lambda 1}}\right|=\frac{1}{r_{\varkappa \lambda 1}}\left|\frac{r_{\varkappa \lambda 1}}{r_{\varkappa \lambda}}-1\right|<B \mu^{-2} \frac{\mu^{2}}{4 m^{2} B}=\frac{1}{4 m^{2}}, \\
\left|U-U_{1}\right|=\left|\sum_{\varkappa<\lambda} m_{\varkappa} m_{\lambda}\left(\frac{1}{r_{\varkappa \lambda}}-\frac{1}{r_{\varkappa \lambda 1}}\right)\right|<3 m^{2} \frac{1}{4 m^{2}}=\frac{3}{4} .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что выражение $\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{-1 / 2}-1$ как функция трех комплексных переменных $u, v, w$ будет регулярно во всех точках действительной сферы
\[
u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}=1
\]

и равно там нулю. Следовательно, оно меньше по абсолютной величине, чем $b_{2}$, в подходящей комплексной окрестности
\[
\left|u-u_{1}\right|<b_{3}, \quad\left|v-v_{1}\right|<b_{3}, \quad\left|w-w_{1}\right|<b_{3} .
\]

Если положить
\[
u=\frac{x_{\varkappa}-x_{\lambda}}{r_{\varkappa \lambda 1}}, \quad v=\frac{y_{\varkappa}-y_{\lambda}}{r_{\varkappa \lambda 1}}, \quad w=\frac{z_{\varkappa}-z_{\lambda}}{r_{\varkappa \lambda 1}},
\]

где $x, y, z$ опять рассматриваются как декартовы координаты, то условие (6) выполняется при
\[
\left|\frac{q_{k}-q_{k 1}}{r_{\varkappa \lambda 1}}\right|<\frac{b_{3}}{2} \quad(k=1, \ldots, 9),
\]

и, следовательно, по неравенству (7) тем более выполняется для
\[
\left|q_{k}-q_{k 1}\right|<\frac{b_{3} \mu^{2}}{2 B}=b_{4} \quad(k=1, \ldots, 9) .
\]

Тогда в этой окрестности $(U+1)^{-1}$ меньше по абсолютной величине, чем 4 , и регулярно, как это следует из (8). Вследствие оценок (5) и (9) получим нужное $b$, полагая $b=\min \left(1, b_{4}\right)$. Из теоремы существования Коши тотчас следует регулярность $q_{k}, p_{k}$ и $t$ при $\left|s-s_{1}\right|<b_{5}$.

Теперь рассмотрим случай $U_{1}>B$. Это охватывает, в частности, случай столкновения, так как тогда $U_{1}$ имеет бесконечное значение. Пусть для $s=s_{1}$ опять $r_{13}$ — наименьшая из сторон треугольника. Введем каноническими преобразованиями $(7 ; 4),(7 ; 5)$ и $(7 ; 30),(7 ; 33)$ вместо $q_{k}, p_{k}$ новые переменные $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$. При этом система Гамильтона (3) переходит в
\[
\xi_{k}^{\prime}=F_{\eta_{k}}, \quad \eta_{k}^{\prime}=-F_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

причем функция $F$, определенная равенством (2), выражается теперь по формулам преобразования через $\xi_{k}, \eta_{k}$. Тогда с введенными ранее
обозначениями для стороны $r_{13}=x$ по соотношению $(7 ; 29)$ опять получается $x=\xi \eta^{2}$, где опять
\[
\xi^{2}=\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\xi_{3}^{2}, \quad \eta^{2}=\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2} .
\]
\[
\left\{\begin{array}{r}
F=\frac{x T+(1-h) x}{x U+x}-1, \\
\frac{1}{U+1}=\frac{x}{x U+x} .
\end{array}\right.
\]

Для применения теоремы существования к системе (10), (4) нужно теперь ближе рассмотреть три функции $x, x T,(x U+x)^{-1}$ от двенадцати независимых переменных $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1, \ldots, 6$ ) в достаточно малой комплексной окрестности $\xi_{k 1}, \eta_{k 1}$. Сначала рассмотрим $x$ и $x T$.

Вследствие неравенства $U_{1}>B$ имеем при $s=s_{1} 3 m^{2} x^{-1}>B$, поэтому
\[
x<\frac{3 m^{2}}{B} \quad\left(s=s_{1}\right) .
\]

Так как было предположено, что для начальных значений выполнены неравенства $(9 ; 7)$, то справедливо неравенство $(9 ; 38)$. Далее, пусть теперь
\[
B \geqslant 12 m^{2} c_{21} \text {. }
\]

Тогда тем более
\[
(x)_{1}<\frac{1}{4} c_{21}^{-1},
\]

значит, для двух других сторон имеем
\[
r_{121}^{-1}<4 c_{21}, \quad r_{231}^{-1}<4 c_{21} .
\]

Тогда из
\[
x T=x(U+h)=m_{1} m_{3}+m_{1} m_{2} \frac{x}{r_{12}}+m_{2} m_{3} \frac{x}{r_{23}}+h x
\]

следует
\[
\left|(x T)_{1}-m_{1} m_{3}\right|<\frac{c_{39}}{B}<c_{39},
\]

и, согласно $(8 ; 2)$, далее
\[
\left(\xi_{1}\right)<c_{40} .
\]

Вследствие $(7 ; 5)$ для скорости $v$ точки $P_{2}$ справедливо соотношение
\[
\left(m_{2} v\right)^{2}=y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}=\eta_{4}^{2}+\eta_{5}^{2}+\eta_{6}^{2},
\]

откуда в соответствии с $(10 ; 12)$ получается оценка
\[
\left(\eta_{4}^{2}+\eta_{5}^{2}+\eta_{6}^{2}\right)_{1}<c_{41} .
\]

Далее, также
\[
\xi \eta=\left(\xi \eta^{2}\right)^{1 / 2} \xi^{1 / 2}=x^{1 / 2} \xi^{1 / 2},
\]

и при выполнении неравенств (12): (16) получаем
\[
(\xi \eta)_{1}<c_{42} B^{-1 / 2} .
\]

Из $(8 ; 2),(17),(18)$ следует, что
\[
\left|(x T)_{1}-\frac{1}{2}\left(m_{1}^{-1}+m_{3}^{-1}\right)(\xi)_{1}\right|<c_{43} B^{-1 / 2}
\]

и по неравенству (15), наконец,
\[
\left|(\xi)_{1}-\frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)^{2}}{m_{1}+m_{3}}\right|<c_{44} B^{-1 / 2} .
\]

Положим опять
\[
\frac{2\left(m_{1} m_{3}\right)^{2}}{m_{1}+m_{3}}=c
\]

и подчиним $B$ условию
\[
4 c_{44} B^{-1 / 2} \leqslant c .
\]

Тогда
\[
\frac{3}{4} c<(\xi)_{1}<\frac{5}{4} c,
\]

и из $\xi \eta^{2}=x$ затем следует, кроме того,
\[
\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2}\right)_{1}=\left(\eta^{2}\right)_{1}<\frac{4 m^{2}}{c B}<c_{45} .
\]

В комплексной окрестности
\[
\left|\xi_{k}-\xi_{k 1}\right|<\frac{c}{10} \quad(k=1,2,3)
\]

будет теперь
\[
\left|\xi^{2}-\left(\xi^{2}\right)_{1}\right|<\frac{3}{100} c^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} c^{2}<\frac{1}{2} c^{2}, \quad \frac{1}{4} c<|\xi|<2 c ;
\]

следовательно, там регулярно и $\xi=\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\xi_{3}^{2}\right)^{1 / 2}$. Вследствие $(8 ; 2)$ функция $x T \xi^{-1}$ является многочленом четвертой степени относительно $\eta_{k}(k=1, \ldots, 6)$. Тогда в комплексной окрестности, заданной неравенствами (22) и
\[
\left|\eta_{k}-\eta_{k 1}\right|<\frac{c}{10} \quad(k=1, \ldots, 6),
\]

согласно неравенствам (17), (20), (21) и (23), функции $x T$ и $x=\xi \eta^{2}$ регулярны и имеют оценки
\[
|x T|<c_{46}, \quad|x|<c_{47} .
\]

Обратимся теперь к соответствующему исследованию функции $(x U+x)^{-1}$. Согласно неравенствам (12) и (14),
\[
0<x U+x-m_{1} m_{3}=\frac{m_{2} m_{3}}{r_{23}} x+\frac{m_{1} m_{2}}{r_{12}} x+x<c_{48} B^{-1} \quad\left(s=s_{1}\right) .
\]

Пусть теперь еще
\[
c_{48} B^{-1} \leqslant \frac{1}{2} m_{1} m_{3},
\]

тогда
\[
m_{1} m_{3}<(x U+x)_{1}<\frac{3}{2} m_{1} m_{3} .
\]

Выражение $x U$ как функция $\xi_{k}(k=1, \ldots, 6)$ и $\eta_{k}(k=1,2,3)$ задано равенствами $(8 ; 3),(8 ; 4),(8 ; 5)$ и $(8 ; 6)$. Эта функция регулярна, пока $\xi$, $r_{12}$ и $r_{23}$ не равны нулю. Определим теперь постоянную $c_{49}$ так, чтобы в комплексной окрестности
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\left|\xi_{k}-\xi_{k 1}\right|<c_{49}^{-1} & (k=1, \ldots, 6), \\
\left|\eta_{k}-\eta_{k 1}\right|<c_{49}^{-1} & (k=1,2,3)
\end{array}\right.
\]

было выполнено неравенство
\[
\left|(x U+x)-(x U+x)_{1}\right|<\frac{1}{2} m_{1} m_{3} .
\]

Если обозначить теперь через $r$ какую-нибудь из двух сторон $r_{12}, r_{23}$, то неравенство (29) наверное будет выполнено, если
\[
\left|\frac{x}{r}-\left(\frac{x}{r}\right)_{1}\right|<\frac{\mu}{8 m} \quad\left(r=r_{12}, r_{23}\right), \quad\left|x-(x)_{1}\right|<\frac{1}{8} m_{1} m_{3} .
\]

Так как в окрестности, заданной неравенствами (22) и (24), согласно (25), выполняется неравенство $|x|<c_{47}$, то достаточно найти такое $c_{49}>10 c^{-1}$, чтобы в области (28) выполнялись условия
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left|\frac{(r)_{1}}{r}-1\right|<\frac{c_{21} \mu}{64 c_{47} m} \quad\left(r=r_{12}, r_{23}\right), \\
\left|x-(x)_{1}\right|<\min \left(\frac{m_{1} m_{3}}{8}, \frac{c_{21} \mu}{64 m}\right) ;
\end{array}\right.
\]

тогда действительно
\[
\left|\frac{x}{r}-\left(\frac{x}{r}\right)_{1}\right| \leqslant \frac{|x|}{(r)_{1}}\left|\frac{(r)_{1}}{r}-1\right|+\frac{\left|x-(x)_{1}\right|}{(r)_{1}}<\frac{4 c_{47}}{c_{21}} \frac{c_{21} \mu}{64 c_{47} m}+\frac{4}{c_{21}} \frac{c_{21} \mu}{64 m}=\frac{\mu}{8 m} .
\]

Но тогда выполняется, аналоичино неравенству (6), первое из неравенств (30), если переменные $x_{k}, \xi_{k+3}(k=1,2,3)$, входящие в выражение $(8 ; 4)$ для $r^{2}$, будут находиться в окрестности
\[
\left\{\begin{array}{cc}
\left|x_{k}-x_{k 1}\right|<c_{50}^{-1} & (k=1,2,3), \\
\left|\xi_{k}-\xi_{k 1}\right|<c_{50}^{-1} & (k=4,5,6),
\end{array}\right.
\]

причем будет выполняться также и второе неравенство (30). Наконец, так как, согласно $(8 ; 5)$, переменные $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ являются многочленами третьей степени относительно $\xi_{k}, \eta_{k}(k=1,2,3)$, то нужную нам величину $c_{49}$ легко найти. В окрестности (28) величины $\xi, r_{12}, r_{23}$ отличны от нуля, следовательно, там $x U+x$ регулярно и в соответствии с неравенствами (27) и (29) удовлетворяет неравенствам
\[
|x U+x|>\frac{1}{2} m_{1} m_{3}, \quad|x U+x|^{-1}<\frac{2}{m_{1} m_{3}} .
\]

Этим доказано, что в окрестности
\[
\left|\xi_{k}-\xi_{k 1}\right|<c_{49}^{-1}, \quad\left|\eta_{k}-\eta_{k 1}\right|<c_{49}^{-1} \quad(k=1, \ldots, 6)
\]

обе функции $F$ и $(U+1)^{-1}$ регулярны и остаются там по абсолютной величине меньше некоторой постоянной $c_{51}$. По теореме существования Коши решения $\xi_{k}, \eta_{k},(k=1, \ldots, 6)$ и $t$ системы (4), (10) регулярны при $\left|s-s_{1}\right|<c_{52}^{-1}$. Из соотношений $(7 ; 4),(8 ; 5)$ и теоремы о движении центра инерции видно, что первоначальные декартовы координаты $q_{k}$ $(k=1, \ldots, 9)$ также регулярны в той же области.

Выберем теперь для $B$ наименьшее число $B \geqslant A+1$, которое удовлетворяет первоначально поставленным условиям (13), (19) и (26). Если $B=c_{53}$, то $b_{5}=c_{54}^{-1}$. Если обозначить $\delta=\min \left(c_{52}^{-1}, c_{54}^{-1}\right)$, то $\delta$ обладает свойством, сформулированным в третьей вспомогательной теореме. При этом легко видеть, что три расстояния $r_{k l}$ будут регулярными функциями от $s=\delta+i
u$ в полосе $-\delta<
u<\delta$. В случае $U_{1} \leqslant B$ уже было доказано, что в предположении (9) получаются неравенства (6), из которых во всяком случае следует $r_{k l}
eq 0$; но, с другой стороны, по теореме существования Коши $q_{k}(s)$ остаются для $\left|s-s_{1}\right|<c_{54}^{-1}$ точно в области, определенной неравенством (9). В случае $U_{1}>B$ величины $r_{12}, r_{23}$ отличны от нуля, как это следует из (30); в то же время функция $r_{13}=x=\xi\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2}\right)$ будет регулярной, потому что $\xi=$ $=\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\xi_{3}^{2}\right)^{1 / 2}$ как функция $s$ по теореме существования остается в области (23), в которой, в частности, $\xi
eq 0$. Итак, третья вспомогательная теорема полностью доказана.

Отобразим теперь конформно полосу $-\delta<
u<\delta$ плоскости $s$ преобразованием
\[
\omega=\frac{e^{\frac{\pi s}{2 \delta}}-1}{e^{\frac{\pi s}{2 \delta}}+1}
\]

на единичный круг $|\omega|<1$. При этом $s=0$ переходит в $\omega=0$ и действительная ось $s-$ в действительный диаметр. Тогда прямоугольные декартовы координаты $x_{k}, y_{k}, z_{k}$, расстояния $r_{k l}$ и время $t$ будут регулярными функциями новой независимой переменной во всех внутренних точках единичного круга и, следовательно, могут быть разложены в ряды по степеням $\omega$, наверное сходящиеся при $|\omega|<1$. Эти степенные ряды будут представлять движение для всех действительных моментов времени, так как интервалу $0<\omega<1$ соответствуют моменты времени $t>\tau$, а интервалу $-1<\omega<0$ — предшествующие моменты времени $t<\tau$. Наконец, можно отбросить предположение о том, что центр инерции находится в начале координат, и предположить, что система отсчета равномерно поступательно движется. Это можно сделать, в частности, линейным преобразованием переменных $x, y, z$ и $t$ : при этом координаты опять будут регулярными относительно $\omega$. Еще раз сформулируем наш главный результат, теорему Зундмана:

Если постоянные площадей при неподвижном положении центра инерции не все равны нулю, то декартовы координаты и расстояния между тремя телами, так же как и время $t$, могут быть разложены в ряды по степеням переменной $\omega$, которые сходятся при $|\omega|<1$ и описывают движение для всех действительных значений времени; $\omega$ определяется подстановками
\[
s=\int_{\tau}^{t}(U+1) d t, \quad \omega=\frac{e^{\frac{\pi s}{2 \delta}}-1}{e^{\frac{\pi s}{2 \delta}}+1}
\]

и $\delta$ есть положительное число, которое определяется массами, начальными значениями координат и составляющими скорости для момента $t=\tau$.

Необходимо заметить, что в исследованиях Зундмана теорема доказана в несколько иной формулировке, так как там вместо $s$ стоит вспомогательная переменная, определенная другим образом. Интересующийся этими вопросами читатель может легко установить, что обе формулировки качественно совершенно равнозначны. Впрочем, Зундманом были даны явные оценки для входящих здесь постоянных, в то время как мы от этого в целях сокращения отказались.

Если написать уравнения движения прямо с переменной $\omega$, то $q_{k}$ $(k=1, \ldots, 9)$ и $t$ можно определить с помощью степенных рядов с неопределенными коэффициентами. При этом $\omega$ вводится следующим образом:
\[
\frac{d t}{d \omega}=\frac{d t}{d s} \frac{d s}{d \omega}=4 \pi^{-1} \delta\left(1-\omega^{2}\right)^{-1}(1+U)^{-1} .
\]

Входящая здесь величина $\delta$ может быть выражена и оценена, как известно, с помощью масс и начальных значений. Из найденных оценок можно сделать вывод, насколько хороши приближения при использовании частичных сумм; однако таким путем мы не получим практически пригодного способа для вычисления орбит.

Из наших разложений можно получить все возможные столкновения, если определить нули производной $d t / d \omega$ в интервале $-1<\omega<1$.

Так как нули аналитической функции не могут накапливаться внутри круга единичного радиуса, то опять получаем тот же результат: моменты столкновения не могут накапливаться на конечном отрезке времени. Все же очень возможно, что нули накапливаются при $\omega=1$ или $\omega=$ $=-1$, и это можно проиллюстрировать соответствующими примерами. Чтобы с помощью найденных разложений в ряд можно было исследовать свойства движения при $t \rightarrow \pm \infty$, необходимо рассмотреть равномерную сходимость рядов во всем открытом интервале $-1<\omega<1$; при этом ничего не известно о сходимости при $\omega= \pm 1$. В заключение заметим, что интервал времени между двумя последующими столкновениями, если таковые вообще происходят, имеет нижнюю грань. Для доказательства примем, что при $s=s_{1}$ произошло столкновение. Тогда в этот момент $\eta_{k 1}=0(k=1,2,3),(\xi)_{1}=c>0,(x)_{1}=0,(x U)_{1}=m_{1} m_{3}$ и по соотношениям $(8 ; 2),(8 ; 3),(8 ; 4),(8 ; 5)$ и (11)
\[
\left(F_{\xi_{k}}\right)_{1}=c^{-1}\left(\frac{\xi_{k}}{\xi}\right)_{1} \quad(k=1,2,3) .
\]

Соответствующим поворотом осей координат можно достичь выполнения равенства $\left(\xi_{1}\right)_{1}=(\xi)_{1}$. В комплексной области (32) функция $F$ будет регулярной; по абсолютной величине она здесь меньше $c_{51}$. Но тогда из интегральной формулы Коши следует оценка
\[
\left|F_{\xi_{1}}-\left(F_{\xi_{1}}\right)_{1}\right|<\frac{1}{2 c},
\]

если при соответствующем $c_{55}$ выполнены условия
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left|\xi_{k}-\xi_{k 1}\right|<c_{55}^{-1}<c_{49}^{-1}, \\
\left|\eta_{k}-\eta_{k 1}\right|<c_{55}^{-1} \quad(k=1, \ldots, 6) .
\end{array}\right.
\]

В частности, для действительных $\xi_{k}, \eta_{k}$
\[
F_{\xi_{1}}>\frac{1}{2 c} \text {. }
\]

Тогда для действительного $s$ в силу уравнений (10) на рассматриваемом решении
\[
\left|\eta_{1}\right|=\left|\eta_{1}-\left(\eta_{1}\right)_{1}\right|=\left|\int_{s_{1}}^{s} F_{\xi_{1}} d s\right| \geqslant \frac{1}{2 c}\left|s-s_{1}\right|,
\]

если для всего интервала от $s_{1}$ до $s$ будут выполнены условия (33). Но это будет по теореме существования иметь место для области $\mid s-$ $-s_{1} \mid \leqslant c_{56}^{-1}<c_{52}^{-1}$, и в соответствии с оценками (23), (27) и (29) имеем тогда
\[
\xi>\frac{1}{4} c, \quad x U+x<2 m_{1} m_{3} .
\]

Отсюда и из неравенства (34) получаем
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=\xi \eta^{2} \geqslant \frac{1}{16 c}\left(s-s_{1}\right)^{2}, \\
\frac{1}{U+1}=\frac{x}{x U+x} \geqslant c_{57}^{-1}\left(s-s_{1}\right)^{2},
\end{array}\right.
\]

и по (4), наконец,
\[
\left|t-t_{1}\right|=\left|\int_{s_{1}}^{s} \frac{d s}{U+1}\right| \geqslant \frac{1}{3} c_{57}^{-1}\left|s-s_{1}\right|^{3} .
\]

Из второго неравенства (35) усматриваем, что $U$ будет бесконечной только в точке $s=s_{1}$ интервала $s_{1}-c_{56}^{-1} \leqslant s \leqslant s_{1}+c_{56}^{-1}$. Следовательно, в этом интервале для $s
eq s_{1}$ больше столкновений не будет. Тогда по неравенству (36) интервал времени между двумя последующими столкновениями имеет нижнюю грань $\frac{1}{3} c_{57}^{-1} c_{56}^{-3}=c_{58}^{-1}$, которая зависит только от $A$ и от масс. Отсюда и следует, что наше утверждение справедливо.

Чтобы приложить наши результаты к системе Земля-Солнце — Луна, примем, что эти тела являются материальными точками, притягивающимися точно по закону Ньютона; кроме того, будем пренебрегать влиянием всех остальных небесных тел и других сил природы. Наблюдения показывают, что три названные тела не двигаются в одной неподвижной плоскости, следовательно, для некоторого известного момента времени можно определить численное значение величины $A$. Тогда при сделанных предположениях можно прямым путем найти два положительных числа $\rho$ и $\varepsilon$; в случае столкновения Земли с Солнцем Луна будет иметь некоторое наименьшее расстояние $\rho$ от Земли, и потребуется добавочное время $\varepsilon$, чтобы оказалось возможным столкновение Луны с Землей. Этот пример приложения теории Зундмана помогает нам смотреть с уверенностью в будущее ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Как следует из результатов Г. А. Мермана [Бюлл. Инст. Теор. Астр. АН СССР, т. VI, 1958, №10 (83), 687], в поставленной автором задаче столкновения Солнца и Земли не может быть. — Прим. перев.