В этом и следующем параграфах мы исследуем поведение координатных функций в задаче трех тел при предположении, что в сингулярности $t=t_1$ все три частицы сталкиваются. Хотя в общем случае это приводит к существенным особенностям в координатных функциях, тем не менее можно описать все траектории тройного столкновения в терминах подходящих разложений в ряды. Для последующего изложения удобно заменить $t$ на переменную $t_1-t$ и обозначить последнюю снова как $t$, а $t_1-\tau$ соответственно обозначить как $\tau$. Исходные уравнения тем самым остаются неизменными. Таким образом, мы предполагаем, что девять координатных функций $q=q(t)$ точек $P_1,P_2,P_3$ являются регулярными на интервале $0<t⩽\tau$, открытом слева, и мы желаем определить их поведение при $t\to 0$. Так же, как в $\mathrm{\S }6$ и $\mathrm{\S }9$, выражение
$$I=\sum _{q}m{q}^2=\sum _{k=1}^3{m}_k(x_k^2+y_k^2+z_k^2)=\sum _{k=1}^3{m}_k{\varrho }_k^2$$

играет важную роль в этом исследовании. Снова предполагаем, что центр масс системы трех частиц покоится в начале системы координат.

Поскольку $t=0$ соответствует тройному столкновению, когда $t$ монотонно убывает до нуля, положительная функция $I=I(t)$ стремится к 0 , в то время как $U=U(t)$ стремится к $+\mathrm{\infty }$. Ввиду $(6;2)$, это означает, что в достаточно малом интервале $0<t⩽t_0⩽\tau$ функция $I(t)$ монотонно убывает совместно с $t$ и ее производная $\dot{I}>0$. Далее из $(6;2)$ следует, что
$$\begin{array}{c}\ddot{I}{I}^{-1/4}-\frac{1}{4}{\dot{I}}^2{I}^{-5/4}=\frac{1}{4}(8IT-{\dot{I}}^2)I^{-5/4}+2h{I}^{-1/4},\\ {\dot{I}}_0{I}_0^{-1/4}-\dot{I}{I}^{-1/4}=\frac{1}{4}{\int }_t^{t_0}(8IT-{\dot{I}}^2)I^{-5/4}dt+2h{\int }_t^{t_0}{I}^{-1/4}dt\\ (0<t⩽t_0),\end{array}$$

где $I_0,{\dot{I}}_0-$ значения $I,\dot{I}$ при $t=t_0$. Поскольку $\dot{I}{I}^{-1/4}>0$, левая часть (2) ограничена сверху, а согласно $(6;3)$ подынтегральная функция в первом слагаемом справа неотрицательна. Константа $h$ во втором слагаемом, однако, может быть отрицательной. В любом случае, чтобы установить сходимость первого интеграла вплоть до $t=0$, достаточно доказать, что второй интеграл сходится при $t=0$, и для этого мы введем оценку $I$ снизу.

Пусть ${\mu }_1$ обозначает самую малую из трех масс $m_1,m_2,m_3$, из неравенства Шварца следует, что
$$I⩾{\mu }_1\sum _{k=1}^3{\varrho }_k^2⩾\frac{{\mu }_1}{3}{({\varrho }_1+{\varrho }_2+{\varrho }_3)}^2⩾\frac{{\mu }_1}{3}{r}_{12}^2,$$

и поэтому
$$U>m_1{m}_2{r}_{12}^{-1}⩾{\mu }_2{I}^{-1/2},{\mu }_2=m_1{m}_2\sqrt{\frac{{\mu }_1}{3}},\ddot{I}=2U+4h>{\mu }_2{I}^{-1/2}$$

при всех достаточно малых $t>0$. Следовательно,
$${\left({\dot{I}}^2\right)}^{\cdot }>4{\mu }_2{\left(I^{1/2}\right)}^{\cdot }$$

откуда, дважды интегрируя от 0 до $t$, получаем
$${\dot{I}}^2⩾4{\mu }_2{I}^{1/2},{\left(I^{3/4}\right)}^{\cdot }=\frac{3}{4}{I}^{-1/4}\dot{I}⩾{\mu }_3=\frac{3}{2}\sqrt{{\mu }_2},I^{3/4}⩾{\mu }_{3}t.$$

Из этого сходимость вышеупомянутого интеграла становится очевидной.

Дополнительно (2) теперь показывает, что функция $\dot{I}{I}^{-1/4}$ стремится к конечному пределу $\delta ⩾0$ при $t\to 0$, и поэтому
$${\left(I^{3/4}\right)}^{\cdot }=\frac{3}{4}{I}^{-1/4}\dot{I}\to \frac{3}{4}\delta ,I^{3/4}=\frac{3}{4}\delta t+o(t),I\sim \varkappa t^{4/3}(t\to 0),$$

вместе с (3) влечет
$$\varkappa ={\left(\frac{3}{4}\delta \right)}^{4/3}>0$$

Кроме того,
$$\dot{I}\sim \delta I^{1/4}\sim \delta {\left(\frac{3}{4}\delta t\right)}^{1/3},\dot{I}\sim \frac{4}{3}\varkappa t^{1/3}(t\to 0).$$

Вышеуказанная асимптотическая формула для $\dot{I}$ уточняет асимптотическую формулу для $I$, данную в (4), и формально может быть выведена из нее с помощью дифференцирования. Далее будет показано, что остается верной даже следующая формула
$$\ddot{I}\sim \frac{4}{9}\varkappa t^{-2/3}(t\to 0)$$

согласно $(6;2)$, это эквивалентно
$$U\sim \frac{2}{9}\varkappa t^{-2/3}.$$

Если мы введем функцию
$$(8IT-{\dot{I}}^2)t^{-2/3}=g(t)=g$$

и воспользуемся $(5;9),(4)$ и (6) совместно с (5), наше утверждение (7) сводится к тому, что
$$\underset{t\to 0}{lim}g(t)=0.$$

Ввиду $(6;3)$ получаем, что $g(t)⩾0$. Чтобы доказать (9), воспользуемся уже полученной сходимостью первого интеграла в (2) вплоть до $t=0$, что совместно с (4) и (5) также влечет сходимость
$${\int }_0^{\tau }g(t)\frac{dt}{t}=G.$$

Поэтому неотрицательная функция $g$ должна удовлетворять
$$\underset{t\to 0}{\underset{―}{\lim }}g(t)=0.$$

Теперь, если бы (9) было ложным, то, поскольку $g(t)$ непрерывна в интервале $0<t⩽\tau$, существовали бы достаточно маленькое положительное число $\epsilon$ и последовательность $\tau ,{\tau }_1,{\tau }_2,\dots$, монотонно убывающая к 0 , такая, что
$$\begin{array}{c}g\left({\tau }_{2j}\right)=\epsilon ,g\left({\tau }_{2j-1}\right)=2\epsilon ,\epsilon ⩽g(t)⩽2\epsilon \\ ({\tau }_{2j}⩽t⩽{\tau }_{2j-1};j=1,2,\dots ).\end{array}$$

Следовательно, на каждом из этих интервалов функция $g$ будет возрастать на величину $\epsilon$. Чтобы прийти к противоречию, оценим производную
$$\dot{g}=(8\dot{I}T+8I\dot{T}-2\dot{I})t^{-2/3}-\frac{2}{3}g{t}^{-1}$$

сверху.

Во-первых, (4), (5) и (6) показывают, что
$$I=O\left(t^{4/3}\right),I^{-1}=O\left(t^{-4/3}\right),\dot{I}=O\left(t^{1/3}\right)(t\to 0).$$

Поэтому, объединив (8) и (10), получим
$$T=\frac{1}{8}{I}^{-1}(g{t}^{2/3}+{\dot{I}}^2)=O\left(t^{-2/3}\right)({\tau }_{2j}⩽t⩽{\tau }_{2j-1};j\to \mathrm{\infty }),$$

так что ввиду $(5;10)$ каждая координата удовлетворяет оценке
$$\dot{q}=O\left(t^{-1/3}\right),$$

и также
$$\begin{array}{l}U=T-h=O\left(t^{-2/3}\right),\dot{T}=\dot{U}=O\left(t^{-5/3}\right),r_{kl}^{-1}=O\left(t^{-2/3}\right)\\ {\left(r_{kl}^{-1}\right)}^{\cdot }=r_{kl}^{-3}\{(x_k-x_l)({\dot{x}}_l-{\dot{x}}_k)+(y_k-y_l)({\dot{y}}_l-{\dot{y}}_k)+\\ +(z_k-z_l)({\dot{z}}_l-{\dot{z}}_k)\}=O(t^{-4/3}\cdot t^{-1/3})=O\left(t^{-5/3}\right),\end{array}$$

и
$$\ddot{I}=2T+2h=O\left(t^{-2/3}\right),$$

все это верно при ${\tau }_{2j}⩽t⩽{\tau }_{2j-1},j\to \mathrm{\infty }$. Из этих оценок вместе с (10) и (11) видно, что
$$\dot{g}<b{t}^{-1}({\tau }_{2j}⩽t⩽{\tau }_{2j-1};j=1,2,\dots )$$

для некоторой положительной константы $b$.
Из (10) и (12) теперь получаем
$$\begin{array}{c}\epsilon =g\left({\tau }_{2j-1}\right)-g\left({\tau }_{2j}\right)={\int }_{{\tau }_{2j}}^{{\tau }_{2j-1}}\dot{g}(t)dt<b{\int }_{{\tau }_{2j}}^{{\tau }_{2j-1}}\frac{dt}{t},\\ {\int }_{{\tau }_{2j}}^{{\tau }_{2j-1}}g(t)\frac{dt}{t}>\epsilon {\int }_{{\tau }_{2j}}^{{\tau }_{2j}}\frac{dt}{t}>{\epsilon }^2{b}^{-1},\end{array}$$

что при суммировании по $j$ противоречит сходимости интеграла $G$. Это доказывает утверждение (9) и (7) и, в свою очередь, приводит к оценкам
$$r_{kl}^{-1}=O\left(t^{-2/3}\right),\dot{q}=O\left(t^{-1/3}\right)(t\to 0),$$

которые до этого момента были известны только на интервалах ${\tau }_{2j}⩽$ $⩽t⩽{\tau }_{2j-1}$ при $j\to \mathrm{\infty }$.

Важным следствием $(8),(9)$ и $(6;3)$ является асимптотическая формула
$$p\dot{q}-q\dot{p}=o\left(t^{1/3}\right)(t\to 0),$$

верная для любых двух координат $p$ и $q$. Это, в частности, еще раз доказывает, что в случае тройного столкновения все три константы угловых моментов равны нулю.
Поскольку согласно (1) и (4)
$$q=O\left(t^{2/3}\right),$$

удобно ввести
$$\overline{q}=q{t}^{-2/3},\overline{p}=p{t}^{-2/3}(t>0).$$

Тогда
$$\overline{q}=O(1),\overline{p}=O(1)(t\to 0),$$

и (14) переходит в
$$\overline{p}\dot{\overline{q}}-\overline{q}\dot{\overline{p}}=(p\dot{q}-q\dot{p})t^{-4/3}=o\left(t^{-1}\right)(t\to 0).$$

В общем случае, когда $f$ — однородная функция степени $u$ по координатам $q$, пусть $\overline{f}$ обозначает соответствующую функцию по переменным $\overline{q}$, такую, что
$$\overline{f}=f{t}^{-2u/3}.$$

Тогда из (4) и (6)
$$\overline{I}=I{t}^{-4/3}\to \varkappa ,\dot{\overline{I}}=\dot{I}{t}^{-4/3}-\frac{4}{3}I{t}^{-7/3}=o\left(t^{-1}\right)(t\to 0),$$

в то время как с другой стороны
$$\overline{I}=\sum _{\overline{q}}m{\overline{q}}^2,\frac{1}{2}\dot{\overline{I}}=\sum _{\overline{q}}m\overline{q}\dot{\overline{q}}$$

поэтому (15), (16) и (17) дают
$$\frac{1}{2}\overline{p}\dot{\overline{I}}-\overline{I}\dot{\overline{p}}=\sum _{\overline{q}}m\overline{q}(\overline{p}\dot{\overline{q}}-\overline{q}\dot{\overline{p}})=o\left(t^{-1}\right),\overline{I}\dot{\overline{p}}=o\left(t^{-1}\right),\dot{\overline{p}}=o\left(t^{-1}\right).$$

Таким образом, для каждой координаты $q$ получим
$$\dot{\overline{q}}=o\left(t^{-1}\right)(t\to 0)$$

В дополнение к треугольнику $\mathrm{△}$, образованному (5) тремя частицами $P_1,P_2,P_3$, рассмотрим треугольник $\overline{\mathrm{△}}$, вершины которого ${\overline{P}}_1$, ${\overline{P}}_2,{\overline{P}}_3$ соответствуют координатам $\overline{q}$. Таким образом, новый треугольник получается из исходного расширением в отношении 1 к $t^{2/3}$. При тройном столкновении $\mathrm{△}$ вырождается к точке начала координат, в то время как в конце будет показано, что большой треугольник $\overline{\mathrm{△}}$ также имеет определенное предельное положение при $t\to 0$. Сначала мы покажем, что длины всех трех сторон $\overline{\mathrm{△}}$ имеют положительные пределы, которые также будут вычислены. Для этого рассмотрим уравнения движения
$$m\ddot{q}=U_q$$

и выразим их в терминах $\overline{q}$ вместо $q$.
При объединении соотношений
$$\begin{array}{c}\overline{U}=U{t}^{2/3},{\overline{U}}_{\overline{q}}=U_q{t}^{4/3}\\ \ddot{q}={\left(\overline{q}{t}^{2/3}\right)}^{\cdot }=\ddot{\overline{q}}{t}^{2/3}+\frac{4}{3}\dot{\overline{q}}{t}^{-1/3}-\frac{2}{9}\overline{q}{t}^{-4/3}={\left(\dot{\overline{q}}{t}^{4/3}\right)}^{\cdot }{t}^{-2/3}-\frac{2}{9}\overline{q}{t}^{-4/3}\end{array}$$

получаем
$${\left(\dot{\overline{q}}{t}^{4/3}\right)}^{\cdot }{t}^{2/3}-\frac{2}{9}\overline{q}=m^{-1}{\overline{U}}_{\overline{q}}.$$

Теперь вычислим среднее значение для обеих частей этого дифференциального уравнения на интервале от $t$ до $2t$, где $0<2t⩽\tau$. Проведенное с помощью (18) интегрирование по частям приводит к оценке
$${\int }_t^{2t}{\left(\dot{\overline{q}}{t}^{4/3}\right)}^{\cdot }{t}^{2/3}dt={\dot{\overline{q}}{t}^{4/3}{t}^{2/3}|}_t^{2t}-\frac{2}{3}{\int }_t^{2t}\dot{\overline{q}}{t}^{4/3}{t}^{-1/3}dt=o(t)(t\to 0),$$

в то время как для $t⩽t^{\ast }⩽2t$ также
$$\overline{q}\left(t^{\ast }\right)-\overline{q}(t)={\int }_t^{t^{\ast }}\dot{\overline{q}}dt=o(1).$$

Чтобы оценить среднее значение функции ${\overline{U}}_{\overline{q}}$, воспользуемся соотношением
$${\overline{U}}_{\overline{q}}\left(t^{\ast }\right)-{\overline{U}}_{\overline{q}}(t)={\int }_t^{t^{\ast }}{\bar{\overline{U}}}_{\overline{q}}dt,{\bar{\overline{U}}}_{\overline{q}}=\sum _{\overline{p}}{\overline{U}}_{\overline{q}\overline{p}}\dot{\overline{p}}$$

и согласно (13) и (18) тогда получим
$$\begin{array}{c}{\overline{r}}_{kl}^{-1}=O(1),\\ {\overline{U}}_{\overline{q}\overline{p}}=O(1),{\dot{\overline{U}}}_{\overline{q}}=o\left(t^{-1}\right),{\overline{U}}_{\overline{q}}\left(t^{\ast }\right)-{\overline{U}}_{\overline{q}}(t)=o(1)(t\to 0).\end{array}$$

Таким образом, (19) вместе с (20) и (21) приводят к формуле
$$-\frac{2}{9}\overline{q}=m^{-1}{\overline{U}}_{\overline{q}}+c(1)(t\to 0).$$

Разумеется, это уже не дифференциальное уравнение, а скорее алгебраическое соотношение, которому асимптотически удовлетворяют координаты $\overline{q}$.

В §6 уже было показано, что в случае тройного столкновения, три частицы движутся в фиксированной плоскости, которую можно принять за плоскость $z=0$, поэтому $z_1,z_2,z_3$ тождественно равны 0 и нужно рассматривать только шесть координат $x_k,y_k(k=1,2,3)$. С помощью взятия производных или с помощью прямых вычислений получаем, что соответствующие шесть уравнений (23) инвариантны при произвольных вращениях координатных осей в плоскости $(x,y)$. Теперь введем новые координаты $X_k,Y_k$ вместо ${\overline{x}}_k,{\overline{y}}_k(k=1,2,3)$ с тем же началом координат, как и раньше, но с новой осью абсцисс, которая всегда параллельна направлению вектора $P_3{P}_1$. В этой новой движущейся системе координат $Y_1=Y_3$, а (23) приводит к трем уравнениям
$$\begin{array}{l}\frac{2}{9}{Y}_1=m_2(Y_1-Y_2){\overline{r}}_{12}^{-3}+m_3(Y_1-Y_3){\overline{r}}_{13}^{-3}+o(1),\\ \frac{2}{9}{Y}_2=m_1(Y_2-Y_1){\overline{r}}_{12}^{-3}+m_3(Y_2-Y_3){\overline{r}}_{23}^{-3}+o(1),\\ \frac{2}{9}{Y}_3=m_1(Y_3-Y_1){\overline{r}}_{13}^{-3}+m_2(Y_3-Y_2){\overline{r}}_{23}^{-3}+o(1)\end{array}$$

и к трем аналогичным уравнениям для $X_1,X_2,X_3$. Согласно (15) все шесть координат $X_k(t),Y_k(t)(k=1,2,3)$ остаются ограниченными при $t\to 0$. Рассмотрим произвольную последовательность значений для $t\to 0$, по которой эти координаты стремятся к определенным пределам ${\hat{X}}_k,{\hat{Y}}_k$. Тогда расстояния ${\overline{r}}_{kl}=r_{kl}{t}^{-2/3}$ тоже имеют пределы ${\hat{r}}_{kl}$, которые ввиду (22) все положительны. Так как $Y_1=Y_3$, вычитание третьего уравнения в (24) из первого приводит к соотношению
$$m_2({\hat{Y}}_1-{\hat{Y}}_2)({\hat{r}}_{12}^{-3}-{\hat{r}}_{23}^{-3})=0.$$

Следовательно, либо ${\hat{r}}_{12}={\hat{r}}_{23}$, либо ${\hat{Y}}_1={\hat{Y}}_2$.

Если ${\hat{r}}_{12}eq{\hat{r}}_{23}$, тогда ${\hat{Y}}_1={\hat{Y}}_2$ и, поскольку также ${\hat{Y}}_1={\hat{Y}}_3$ и $m_1{\hat{Y}}_1+$ $+m_2{\hat{Y}}_2+m_3{\hat{Y}}_3=0$, следовательно, ${\hat{Y}}_k=0$ для всех трех ординат. Таким образом, в этом случае при $t\to 0$ по рассматриваемой последовательности три точки ${\overline{P}}_1,{\overline{P}}_2,{\overline{P}}_3$ стремятся к предельным положениям на оси абсцисс новой системы координат. В другом случае ${\hat{r}}_{12}={\hat{r}}_{13}$ в то время как предыдущий анализ, повторенный относительно системы координат с осью абсцисс, параллельной $P_1{P}_2$, показывает, что также ${\hat{r}}_{13}=$ $={\hat{r}}_{23}$. Поэтому предельное положение во втором случае является равносторонним треугольником. Таким образом, мы видим, что при $t\to 0$ по выбранной последовательности либо все три угла треугольника $\overline{\mathrm{△}}$ стремятся к $\frac{\pi }{3}$, либо один угол стремится к $\pi$ и два других к 0 . Кроме того, поскольку при $t>0$ углы являются непрерывными функциями от $t$, их предельные значения не зависят от выбора последовательности $t\to 0$. Две возможные конфигурации в дальнейшем будем называть равносторонним случаем и коллинеарным случаем. Дополнительно, положим
$$m_1+m_2+m_3=M$$

Пусть для равностороннего случая ${\hat{r}}_{12}={\hat{r}}_{13}={\hat{r}}_{23}=r$. Тогда из (24) получим
$$\frac{2}{9}{\hat{Y}}_k{r}^3=M{\hat{Y}}_k(k=1,2,3),$$

и поскольку не все ${\hat{Y}}_k$ равны нулю, из этого следует, что
$$r^3=\frac{9}{2}M$$

Таким образом, $r$ имеет вполне определенное значение, и из (7) также получим
$$\varkappa =\frac{9}{2}(m_1{m}_2+m_1{m}_3+m_2{m}_3)r^{-1}.$$

Если, дополнительно, ориентация системы координат выбрана так, чтобы при прохождении треугольника $\mathrm{△}$ в положительном направлении вершины ${\overline{P}}_1,{\overline{P}}_2,{\overline{P}}_3$ проходили в таком порядке, тогда
$$\begin{array}{c}{\hat{X}}_1-{\hat{X}}_3=r,{\hat{X}}_2-{\hat{X}}_3=\frac{1}{2}r,{\hat{Y}}_1-{\hat{Y}}_3=0,{\hat{Y}}_2-{\hat{Y}}_3=\frac{\sqrt{3}}{2}r\\ 0=\sum _{k=1}^3{m}_k{\hat{X}}_k=M{\hat{X}}_1-\frac{1}{2}{m}_{2}r-m_{3}r,0=\sum _{k=1}^3{m}_k{\hat{Y}}_k=M{\hat{Y}}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}{m}_{2}r\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{\hat{X}}_1=\frac{\frac{1}{2}{m}_2+m_3}{M}r,{\hat{X}}_2=\frac{m_3-m_1}{2M}r,{\hat{X}}_3=-\frac{m_1+\frac{1}{2}{m}_2}{M}r,\\ {\hat{Y}}_1={\hat{Y}}_3=-\frac{\sqrt{3}{m}_2}{2M}r,{\hat{Y}}_2=\sqrt{3}\frac{m_1+m_3}{2M}r.\end{array}$$

В коллинеарном случае обозначим самую длинную сторону ${\hat{r}}_{13}=$ $={\hat{X}}_1-{\hat{X}}_3=a$, таким образом ${\hat{r}}_{12}={\hat{X}}_1-{\hat{X}}_2=\varrho a,{\hat{r}}_{23}={\hat{X}}_2-{\hat{X}}_3=\sigma a$, где $\varrho +\sigma =1,0<\varrho <1$. Тогда соответствующие уравнения (24) для абсцисс имеют вид
$$\frac{2}{9}{\hat{X}}_1{a}^2=m_2{\varrho }^{-2}+m_3,\frac{2}{9}{\hat{X}}_2{a}^2=-m_1{\varrho }^{-2}+m_3{\sigma }^{-2},\frac{2}{9}{\hat{X}}_3{a}^2=-m_1-m_2{\sigma }^{-2}$$

и при вычитании дают
$$\frac{2}{9}{a}^3=m_1+m_2({\varrho }^{-2}+{\sigma }^{-2})+m_3,\frac{2}{9}\sigma a^3=m_1(1-{\varrho }^{-2})+m_2{\sigma }^{-2}+m_3{\sigma }^{-2}.$$

Исключение $a$ приводит к уравнению пятой степени по $\varrho$
$$m_1{\sigma }^2({\varrho }^3-1)+m_2({\varrho }^3-{\sigma }^3)+m_3{\varrho }^2(1-{\sigma }^3)=0(\sigma =1-\varrho ).$$

Если записать это уравнение в виде
$$\frac{m_1+m_2\sigma }{m_1+m_2{\sigma }^{-2}}=\frac{m_3+m_2\varrho }{m_3+m_2{\varrho }^{-2}},$$

то можно увидеть, что на интервале $0⩽\varrho ⩽1$ левая часть как функция от $\varrho$ монотонно убывает от 1 до 0 , а правая часть в то же время монотонно возрастает от 0 до 1 . Следовательно, (28) имеет в точности одно положительное решение $\varrho <1$, и тогда из (27) однозначно определяется длина $a$. Из уравнения (7) теперь следует, что
$$\varkappa =\frac{9}{2}(m_1{m}_2{\varrho }^{-1}+m_1{m}_3+m_2{m}_3{\sigma }^{-1})a^{-1},$$

а координаты задаются соотношениями
$$\begin{array}{rl}0& =\sum _{k=1}^3{m}_k{\hat{X}}_k=M{\hat{X}}_1-m_2\varrho a-m_{3}a,{\hat{X}}_1=\frac{m_2\varrho +m_3}{M}a,\\ {\hat{X}}_2& =\frac{m_3\sigma -m_1\varrho }{M}a,{\hat{X}}_3=-\frac{m_1+m_2\sigma }{M}a,{\hat{Y}}_1={\hat{Y}}_2={\hat{Y}}_3=0.\end{array}$$

Эти значения соответствуют случаю, когда при $t=0$ точка ${\overline{P}}_2$ лежит между ${\overline{P}}_1$ и ${\overline{P}}_3$. Две другие ситуации в коллинеарном случае получаются из этой циклической перестановкой $m_1,m_2,m_3$.

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем и в коллинеарном случае координаты $X_k,Y_k$ точек ${\overline{P}}_k(k=1,2,3)$ имеют вполне определенные предельные значения, которые не зависят от рассматриваемой изначально последовательности $t\to 0$. Следовательно, относительно движущейся системы косрдинат, треугольник $\overline{\mathrm{△}}$ стремится к предельному положению, которое в обоих случаях зависит только от значений $m_1,m_2,m_3$.

В этом параграфе мы вывели те результаты Зундмана [1], которые относятся к тройному столкновению; в частности, теорему о том, что при расширении в отношении 1 к $t^{2/3}$ стороны треугольника имеют определенные пределы, которые соответствуют либо равностороннему, либо коллинеарному случаю. Однако из этого не следует, что старые координаты ${\overline{x}}_k,{\overline{y}}_k$ точек ${\overline{P}}_k(k=1,2,3)$ сами имеют предельные значения. Чтобы доказать это, осталось показать, что при $t\to 0$ угол между старой и новой системами координат также стремится к пределу. Кроме того, полностью аналогично случаю простого столкновения в этом случае можно получить подходящие разложения в ряды для координат $x_k,y_k$ и тем самым определить в совокупности все возможные траектории тройного столкновения. Все это будет получено в следующем параграфе.