В этом и следующем параграфах мы исследуем поведение координатных функций в задаче трех тел при предположении, что в сингулярности $t=t_{1}$ все три частицы сталкиваются. Хотя в общем случае это приводит к существенным особенностям в координатных функциях, тем не менее можно описать все траектории тройного столкновения в терминах подходящих разложений в ряды. Для последующего изложения удобно заменить $t$ на переменную $t_{1}-t$ и обозначить последнюю снова как $t$, а $t_{1}-\tau$ соответственно обозначить как $\tau$. Исходные уравнения тем самым остаются неизменными. Таким образом, мы предполагаем, что девять координатных функций $q=q(t)$ точек $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ являются регулярными на интервале $0<t \leqslant \tau$, открытом слева, и мы желаем определить их поведение при $t \rightarrow 0$. Так же, как в $\S 6$ и $\S 9$, выражение
\[
I=\sum_{q} m q^{2}=\sum_{k=1}^{3} m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)=\sum_{k=1}^{3} m_{k} \varrho_{k}^{2}
\]

играет важную роль в этом исследовании. Снова предполагаем, что центр масс системы трех частиц покоится в начале системы координат.

Поскольку $t=0$ соответствует тройному столкновению, когда $t$ монотонно убывает до нуля, положительная функция $I=I(t)$ стремится к 0 , в то время как $U=U(t)$ стремится к $+\infty$. Ввиду $(6 ; 2)$, это означает, что в достаточно малом интервале $0<t \leqslant t_{0} \leqslant \tau$ функция $I(t)$ монотонно убывает совместно с $t$ и ее производная $\dot{I}>0$. Далее из $(6 ; 2)$ следует, что
\[
\begin{array}{c}
\ddot{I} I^{-1 / 4}-\frac{1}{4} \dot{I}^{2} I^{-5 / 4}=\frac{1}{4}\left(8 I T-\dot{I}^{2}\right) I^{-5 / 4}+2 h I^{-1 / 4}, \\
\dot{I}_{0} I_{0}^{-1 / 4}-\dot{I} I^{-1 / 4}=\frac{1}{4} \int_{t}^{t_{0}}\left(8 I T-\dot{I}^{2}\right) I^{-5 / 4} d t+2 h \int_{t}^{t_{0}} I^{-1 / 4} d t \\
\left(0<t \leqslant t_{0}\right),
\end{array}
\]

где $I_{0}, \dot{I}_{0}-$ значения $I, \dot{I}$ при $t=t_{0}$. Поскольку $\dot{I} I^{-1 / 4}>0$, левая часть (2) ограничена сверху, а согласно $(6 ; 3)$ подынтегральная функция в первом слагаемом справа неотрицательна. Константа $h$ во втором слагаемом, однако, может быть отрицательной. В любом случае, чтобы установить сходимость первого интеграла вплоть до $t=0$, достаточно доказать, что второй интеграл сходится при $t=0$, и для этого мы введем оценку $I$ снизу.

Пусть $\mu_{1}$ обозначает самую малую из трех масс $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, из неравенства Шварца следует, что
\[
I \geqslant \mu_{1} \sum_{k=1}^{3} \varrho_{k}^{2} \geqslant \frac{\mu_{1}}{3}\left(\varrho_{1}+\varrho_{2}+\varrho_{3}\right)^{2} \geqslant \frac{\mu_{1}}{3} r_{12}^{2},
\]

и поэтому
\[
U>m_{1} m_{2} r_{12}^{-1} \geqslant \mu_{2} I^{-1 / 2}, \quad \mu_{2}=m_{1} m_{2} \sqrt{\frac{\mu_{1}}{3}}, \quad \ddot{I}=2 U+4 h>\mu_{2} I^{-1 / 2}
\]

при всех достаточно малых $t>0$. Следовательно,
\[
\left(\dot{I}^{2}\right)^{\cdot}>4 \mu_{2}\left(I^{1 / 2}\right)^{\cdot}
\]

откуда, дважды интегрируя от 0 до $t$, получаем
\[
\dot{I}^{2} \geqslant 4 \mu_{2} I^{1 / 2}, \quad\left(I^{3 / 4}\right)^{\cdot}=\frac{3}{4} I^{-1 / 4} \dot{I} \geqslant \mu_{3}=\frac{3}{2} \sqrt{\mu_{2}}, \quad I^{3 / 4} \geqslant \mu_{3} t .
\]

Из этого сходимость вышеупомянутого интеграла становится очевидной.

Дополнительно (2) теперь показывает, что функция $\dot{I} I^{-1 / 4}$ стремится к конечному пределу $\delta \geqslant 0$ при $t \rightarrow 0$, и поэтому
\[
\left(I^{3 / 4}\right)^{\cdot}=\frac{3}{4} I^{-1 / 4} \dot{I} \rightarrow \frac{3}{4} \delta, \quad I^{3 / 4}=\frac{3}{4} \delta t+o(t), \quad I \sim \varkappa t^{4 / 3} \quad(t \rightarrow 0),
\]

вместе с (3) влечет
\[
\varkappa=\left(\frac{3}{4} \delta\right)^{4 / 3}>0
\]

Кроме того,
\[
\dot{I} \sim \delta I^{1 / 4} \sim \delta\left(\frac{3}{4} \delta t\right)^{1 / 3}, \quad \dot{I} \sim \frac{4}{3} \varkappa t^{1 / 3} \quad(t \rightarrow 0) .
\]

Вышеуказанная асимптотическая формула для $\dot{I}$ уточняет асимптотическую формулу для $I$, данную в (4), и формально может быть выведена из нее с помощью дифференцирования. Далее будет показано, что остается верной даже следующая формула
\[
\ddot{I} \sim \frac{4}{9} \varkappa t^{-2 / 3} \quad(t \rightarrow 0)
\]

согласно $(6 ; 2)$, это эквивалентно
\[
U \sim \frac{2}{9} \varkappa t^{-2 / 3} .
\]

Если мы введем функцию
\[
\left(8 I T-\dot{I}^{2}\right) t^{-2 / 3}=g(t)=g
\]

и воспользуемся $(5 ; 9),(4)$ и (6) совместно с (5), наше утверждение (7) сводится к тому, что
\[
\lim _{t \rightarrow 0} g(t)=0 .
\]

Ввиду $(6 ; 3)$ получаем, что $g(t) \geqslant 0$. Чтобы доказать (9), воспользуемся уже полученной сходимостью первого интеграла в (2) вплоть до $t=0$, что совместно с (4) и (5) также влечет сходимость
\[
\int_{0}^{\tau} g(t) \frac{d t}{t}=G .
\]

Поэтому неотрицательная функция $g$ должна удовлетворять
\[
\varliminf_{t \rightarrow 0} g(t)=0 .
\]

Теперь, если бы (9) было ложным, то, поскольку $g(t)$ непрерывна в интервале $0<t \leqslant \tau$, существовали бы достаточно маленькое положительное число $\varepsilon$ и последовательность $\tau, \tau_{1}, \tau_{2}, \ldots$, монотонно убывающая к 0 , такая, что
\[
\begin{array}{c}
g\left(\tau_{2 j}\right)=\varepsilon, \quad g\left(\tau_{2 j-1}\right)=2 \varepsilon, \quad \varepsilon \leqslant g(t) \leqslant 2 \varepsilon \\
\left(\tau_{2 j} \leqslant t \leqslant \tau_{2 j-1} ; j=1,2, \ldots\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, на каждом из этих интервалов функция $g$ будет возрастать на величину $\varepsilon$. Чтобы прийти к противоречию, оценим производную
\[
\dot{g}=(8 \dot{I} T+8 I \dot{T}-2 \dot{I}) t^{-2 / 3}-\frac{2}{3} g t^{-1}
\]

сверху.

Во-первых, (4), (5) и (6) показывают, что
\[
I=O\left(t^{4 / 3}\right), \quad I^{-1}=O\left(t^{-4 / 3}\right), \quad \dot{I}=O\left(t^{1 / 3}\right) \quad(t \rightarrow 0) .
\]

Поэтому, объединив (8) и (10), получим
\[
T=\frac{1}{8} I^{-1}\left(g t^{2 / 3}+\dot{I}^{2}\right)=O\left(t^{-2 / 3}\right) \quad\left(\tau_{2 j} \leqslant t \leqslant \tau_{2 j-1} ; j \rightarrow \infty\right),
\]

так что ввиду $(5 ; 10)$ каждая координата удовлетворяет оценке
\[
\dot{q}=O\left(t^{-1 / 3}\right),
\]

и также
\[
\begin{array}{l}
U=T-h=O\left(t^{-2 / 3}\right), \quad \dot{T}=\dot{U}=O\left(t^{-5 / 3}\right), \quad r_{k l}^{-1}=O\left(t^{-2 / 3}\right) \\
\left(r_{k l}^{-1}\right)^{\cdot}=r_{k l}^{-3}\left\{\left(x_{k}-x_{l}\right)\left(\dot{x}_{l}-\dot{x}_{k}\right)+\left(y_{k}-y_{l}\right)\left(\dot{y}_{l}-\dot{y}_{k}\right)+\right. \\
\left.+\left(z_{k}-z_{l}\right)\left(\dot{z}_{l}-\dot{z}_{k}\right)\right\}=O\left(t^{-4 / 3} \cdot t^{-1 / 3}\right)=O\left(t^{-5 / 3}\right), \\
\end{array}
\]

и
\[
\ddot{I}=2 T+2 h=O\left(t^{-2 / 3}\right),
\]

все это верно при $\tau_{2 j} \leqslant t \leqslant \tau_{2 j-1}, j \rightarrow \infty$. Из этих оценок вместе с (10) и (11) видно, что
\[
\dot{g}<b t^{-1} \quad\left(\tau_{2 j} \leqslant t \leqslant \tau_{2 j-1} ; j=1,2, \ldots\right)
\]

для некоторой положительной константы $b$.
Из (10) и (12) теперь получаем
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon=g\left(\tau_{2 j-1}\right)-g\left(\tau_{2 j}\right)=\int_{\tau_{2 j}}^{\tau_{2 j-1}} \dot{g}(t) d t<b \int_{\tau_{2 j}}^{\tau_{2 j-1}} \frac{d t}{t}, \\
\int_{\tau_{2 j}}^{\tau_{2 j-1}} g(t) \frac{d t}{t}>\varepsilon \int_{\tau_{2 j}}^{\tau_{2 j}} \frac{d t}{t}>\varepsilon^{2} b^{-1},
\end{array}
\]

что при суммировании по $j$ противоречит сходимости интеграла $G$. Это доказывает утверждение (9) и (7) и, в свою очередь, приводит к оценкам
\[
r_{k l}^{-1}=O\left(t^{-2 / 3}\right), \quad \dot{q}=O\left(t^{-1 / 3}\right) \quad(t \rightarrow 0),
\]

которые до этого момента были известны только на интервалах $\tau_{2 j} \leqslant$ $\leqslant t \leqslant \tau_{2 j-1}$ при $j \rightarrow \infty$.

Важным следствием $(8),(9)$ и $(6 ; 3)$ является асимптотическая формула
\[
p \dot{q}-q \dot{p}=o\left(t^{1 / 3}\right) \quad(t \rightarrow 0),
\]

верная для любых двух координат $p$ и $q$. Это, в частности, еще раз доказывает, что в случае тройного столкновения все три константы угловых моментов равны нулю.
Поскольку согласно (1) и (4)
\[
q=O\left(t^{2 / 3}\right),
\]

удобно ввести
\[
\bar{q}=q t^{-2 / 3}, \quad \bar{p}=p t^{-2 / 3} \quad(t>0) .
\]

Тогда
\[
\bar{q}=O(1), \quad \bar{p}=O(1) \quad(t \rightarrow 0),
\]

и (14) переходит в
\[
\bar{p} \dot{\bar{q}}-\bar{q} \dot{\bar{p}}=(p \dot{q}-q \dot{p}) t^{-4 / 3}=o\left(t^{-1}\right) \quad(t \rightarrow 0) .
\]

В общем случае, когда $f$ – однородная функция степени $
u$ по координатам $q$, пусть $\bar{f}$ обозначает соответствующую функцию по переменным $\bar{q}$, такую, что
\[
\bar{f}=f t^{-2
u / 3} .
\]

Тогда из (4) и (6)
\[
\bar{I}=I t^{-4 / 3} \rightarrow \varkappa, \quad \dot{\bar{I}}=\dot{I} t^{-4 / 3}-\frac{4}{3} I t^{-7 / 3}=o\left(t^{-1}\right) \quad(t \rightarrow 0),
\]

в то время как с другой стороны
\[
\bar{I}=\sum_{\bar{q}} m \bar{q}^{2}, \quad \frac{1}{2} \dot{\bar{I}}=\sum_{\bar{q}} m \bar{q} \dot{\bar{q}}
\]

поэтому (15), (16) и (17) дают
\[
\frac{1}{2} \bar{p} \dot{\bar{I}}-\bar{I} \dot{\bar{p}}=\sum_{\bar{q}} m \bar{q}(\bar{p} \dot{\bar{q}}-\bar{q} \dot{\bar{p}})=o\left(t^{-1}\right), \quad \bar{I} \dot{\bar{p}}=o\left(t^{-1}\right), \quad \dot{\bar{p}}=o\left(t^{-1}\right) .
\]

Таким образом, для каждой координаты $q$ получим
\[
\dot{\bar{q}}=o\left(t^{-1}\right) \quad(t \rightarrow 0)
\]

В дополнение к треугольнику $\triangle$, образованному (5) тремя частицами $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, рассмотрим треугольник $\bar{\triangle}$, вершины которого $\bar{P}_{1}$, $\bar{P}_{2}, \bar{P}_{3}$ соответствуют координатам $\bar{q}$. Таким образом, новый треугольник получается из исходного расширением в отношении 1 к $t^{2 / 3}$. При тройном столкновении $\triangle$ вырождается к точке начала координат, в то время как в конце будет показано, что большой треугольник $\bar{\triangle}$ также имеет определенное предельное положение при $t \rightarrow 0$. Сначала мы покажем, что длины всех трех сторон $\bar{\triangle}$ имеют положительные пределы, которые также будут вычислены. Для этого рассмотрим уравнения движения
\[
m \ddot{q}=U_{q}
\]

и выразим их в терминах $\bar{q}$ вместо $q$.
При объединении соотношений
\[
\begin{array}{c}
\bar{U}=U t^{2 / 3}, \quad \bar{U}_{\bar{q}}=U_{q} t^{4 / 3} \\
\ddot{q}=\left(\bar{q} t^{2 / 3}\right)^{\cdot}=\ddot{\bar{q}} t^{2 / 3}+\frac{4}{3} \dot{\bar{q}} t^{-1 / 3}-\frac{2}{9} \bar{q} t^{-4 / 3}=\left(\dot{\bar{q}} t^{4 / 3}\right)^{\cdot} t^{-2 / 3}-\frac{2}{9} \bar{q} t^{-4 / 3}
\end{array}
\]

получаем
\[
\left(\dot{\bar{q}} t^{4 / 3}\right)^{\cdot} t^{2 / 3}-\frac{2}{9} \bar{q}=m^{-1} \bar{U}_{\bar{q}} .
\]

Теперь вычислим среднее значение для обеих частей этого дифференциального уравнения на интервале от $t$ до $2 t$, где $0<2 t \leqslant \tau$. Проведенное с помощью (18) интегрирование по частям приводит к оценке
\[
\int_{t}^{2 t}\left(\dot{\bar{q}} t^{4 / 3}\right)^{\cdot} t^{2 / 3} d t=\left.\dot{\bar{q}} t^{4 / 3} t^{2 / 3}\right|_{t} ^{2 t}-\frac{2}{3} \int_{t}^{2 t} \dot{\bar{q}} t^{4 / 3} t^{-1 / 3} d t=o(t) \quad(t \rightarrow 0),
\]

в то время как для $t \leqslant t^{*} \leqslant 2 t$ также
\[
\bar{q}\left(t^{*}\right)-\bar{q}(t)=\int_{t}^{t^{*}} \dot{\bar{q}} d t=o(1) .
\]

Чтобы оценить среднее значение функции $\bar{U}_{\bar{q}}$, воспользуемся соотношением
\[
\bar{U}_{\bar{q}}\left(t^{*}\right)-\bar{U}_{\bar{q}}(t)=\int_{t}^{t^{*}} \overline{\bar{U}}_{\bar{q}} d t, \quad \overline{\bar{U}}_{\bar{q}}=\sum_{\bar{p}} \bar{U}_{\bar{q} \bar{p}} \dot{\bar{p}}
\]

и согласно (13) и (18) тогда получим
\[
\begin{array}{c}
\bar{r}_{k l}^{-1}=O(1), \\
\bar{U}_{\bar{q} \bar{p}}=O(1), \quad \dot{\bar{U}}_{\bar{q}}=o\left(t^{-1}\right), \quad \bar{U}_{\bar{q}}\left(t^{*}\right)-\bar{U}_{\bar{q}}(t)=o(1) \quad(t \rightarrow 0) .
\end{array}
\]

Таким образом, (19) вместе с (20) и (21) приводят к формуле
\[
-\frac{2}{9} \bar{q}=m^{-1} \bar{U}_{\bar{q}}+c(1) \quad(t \rightarrow 0) .
\]

Разумеется, это уже не дифференциальное уравнение, а скорее алгебраическое соотношение, которому асимптотически удовлетворяют координаты $\bar{q}$.

В §6 уже было показано, что в случае тройного столкновения, три частицы движутся в фиксированной плоскости, которую можно принять за плоскость $z=0$, поэтому $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ тождественно равны 0 и нужно рассматривать только шесть координат $x_{k}, y_{k}(k=1,2,3)$. С помощью взятия производных или с помощью прямых вычислений получаем, что соответствующие шесть уравнений (23) инвариантны при произвольных вращениях координатных осей в плоскости $(x, y)$. Теперь введем новые координаты $X_{k}, Y_{k}$ вместо $\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}(k=1,2,3)$ с тем же началом координат, как и раньше, но с новой осью абсцисс, которая всегда параллельна направлению вектора $P_{3} P_{1}$. В этой новой движущейся системе координат $Y_{1}=Y_{3}$, а (23) приводит к трем уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{2}{9} Y_{1}=m_{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right) \bar{r}_{12}^{-3}+m_{3}\left(Y_{1}-Y_{3}\right) \bar{r}_{13}^{-3}+o(1), \\
\frac{2}{9} Y_{2}=m_{1}\left(Y_{2}-Y_{1}\right) \bar{r}_{12}^{-3}+m_{3}\left(Y_{2}-Y_{3}\right) \bar{r}_{23}^{-3}+o(1), \\
\frac{2}{9} Y_{3}=m_{1}\left(Y_{3}-Y_{1}\right) \bar{r}_{13}^{-3}+m_{2}\left(Y_{3}-Y_{2}\right) \bar{r}_{23}^{-3}+o(1)
\end{array}
\]

и к трем аналогичным уравнениям для $X_{1}, X_{2}, X_{3}$. Согласно (15) все шесть координат $X_{k}(t), Y_{k}(t)(k=1,2,3)$ остаются ограниченными при $t \rightarrow 0$. Рассмотрим произвольную последовательность значений для $t \rightarrow 0$, по которой эти координаты стремятся к определенным пределам $\widehat{X}_{k}, \widehat{Y}_{k}$. Тогда расстояния $\bar{r}_{k l}=r_{k l} t^{-2 / 3}$ тоже имеют пределы $\widehat{r}_{k l}$, которые ввиду (22) все положительны. Так как $Y_{1}=Y_{3}$, вычитание третьего уравнения в (24) из первого приводит к соотношению
\[
m_{2}\left(\widehat{Y}_{1}-\widehat{Y}_{2}\right)\left(\widehat{r}_{12}^{-3}-\widehat{r}_{23}^{-3}\right)=0 .
\]

Следовательно, либо $\widehat{r}_{12}=\widehat{r}_{23}$, либо $\widehat{Y}_{1}=\widehat{Y}_{2}$.

Если $\widehat{r}_{12}
eq \widehat{r}_{23}$, тогда $\widehat{Y}_{1}=\widehat{Y}_{2}$ и, поскольку также $\widehat{Y}_{1}=\widehat{Y}_{3}$ и $m_{1} \widehat{Y}_{1}+$ $+m_{2} \widehat{Y}_{2}+m_{3} \widehat{Y}_{3}=0$, следовательно, $\widehat{Y}_{k}=0$ для всех трех ординат. Таким образом, в этом случае при $t \rightarrow 0$ по рассматриваемой последовательности три точки $\bar{P}_{1}, \bar{P}_{2}, \bar{P}_{3}$ стремятся к предельным положениям на оси абсцисс новой системы координат. В другом случае $\widehat{r}_{12}=\widehat{r}_{13}$ в то время как предыдущий анализ, повторенный относительно системы координат с осью абсцисс, параллельной $P_{1} P_{2}$, показывает, что также $\widehat{r}_{13}=$ $=\widehat{r}_{23}$. Поэтому предельное положение во втором случае является равносторонним треугольником. Таким образом, мы видим, что при $t \rightarrow 0$ по выбранной последовательности либо все три угла треугольника $\bar{\triangle}$ стремятся к $\frac{\pi}{3}$, либо один угол стремится к $\pi$ и два других к 0 . Кроме того, поскольку при $t>0$ углы являются непрерывными функциями от $t$, их предельные значения не зависят от выбора последовательности $t \rightarrow 0$. Две возможные конфигурации в дальнейшем будем называть равносторонним случаем и коллинеарным случаем. Дополнительно, положим
\[
m_{1}+m_{2}+m_{3}=M
\]

Пусть для равностороннего случая $\widehat{r}_{12}=\widehat{r}_{13}=\widehat{r}_{23}=r$. Тогда из (24) получим
\[
\frac{2}{9} \widehat{Y}_{k} r^{3}=M \widehat{Y}_{k} \quad(k=1,2,3),
\]

и поскольку не все $\widehat{Y}_{k}$ равны нулю, из этого следует, что
\[
r^{3}=\frac{9}{2} M
\]

Таким образом, $r$ имеет вполне определенное значение, и из (7) также получим
\[
\varkappa=\frac{9}{2}\left(m_{1} m_{2}+m_{1} m_{3}+m_{2} m_{3}\right) r^{-1} .
\]

Если, дополнительно, ориентация системы координат выбрана так, чтобы при прохождении треугольника $\triangle$ в положительном направлении вершины $\bar{P}_{1}, \bar{P}_{2}, \bar{P}_{3}$ проходили в таком порядке, тогда
\[
\begin{array}{c}
\widehat{X}_{1}-\widehat{X}_{3}=r, \quad \widehat{X}_{2}-\widehat{X}_{3}=\frac{1}{2} r, \quad \widehat{Y}_{1}-\widehat{Y}_{3}=0, \quad \widehat{Y}_{2}-\widehat{Y}_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} r \\
0=\sum_{k=1}^{3} m_{k} \widehat{X}_{k}=M \widehat{X}_{1}-\frac{1}{2} m_{2} r-m_{3} r, \quad 0=\sum_{k=1}^{3} m_{k} \widehat{Y}_{k}=M \widehat{Y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} m_{2} r
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\widehat{X}_{1}=\frac{\frac{1}{2} m_{2}+m_{3}}{M} r, \quad \widehat{X}_{2}=\frac{m_{3}-m_{1}}{2 M} r, \quad \widehat{X}_{3}=-\frac{m_{1}+\frac{1}{2} m_{2}}{M} r, \\
\widehat{Y}_{1}=\widehat{Y}_{3}=-\frac{\sqrt{3} m_{2}}{2 M} r, \quad \widehat{Y}_{2}=\sqrt{3} \frac{m_{1}+m_{3}}{2 M} r .
\end{array}
\]

В коллинеарном случае обозначим самую длинную сторону $\widehat{r}_{13}=$ $=\widehat{X}_{1}-\widehat{X}_{3}=a$, таким образом $\widehat{r}_{12}=\widehat{X}_{1}-\widehat{X}_{2}=\varrho a, \widehat{r}_{23}=\widehat{X}_{2}-\widehat{X}_{3}=\sigma a$, где $\varrho+\sigma=1,0<\varrho<1$. Тогда соответствующие уравнения (24) для абсцисс имеют вид
\[
\frac{2}{9} \widehat{X}_{1} a^{2}=m_{2} \varrho^{-2}+m_{3}, \frac{2}{9} \widehat{X}_{2} a^{2}=-m_{1} \varrho^{-2}+m_{3} \sigma^{-2}, \frac{2}{9} \widehat{X}_{3} a^{2}=-m_{1}-m_{2} \sigma^{-2}
\]

и при вычитании дают
\[
\frac{2}{9} a^{3}=m_{1}+m_{2}\left(\varrho^{-2}+\sigma^{-2}\right)+m_{3}, \frac{2}{9} \sigma a^{3}=m_{1}\left(1-\varrho^{-2}\right)+m_{2} \sigma^{-2}+m_{3} \sigma^{-2} .
\]

Исключение $a$ приводит к уравнению пятой степени по $\varrho$
\[
m_{1} \sigma^{2}\left(\varrho^{3}-1\right)+m_{2}\left(\varrho^{3}-\sigma^{3}\right)+m_{3} \varrho^{2}\left(1-\sigma^{3}\right)=0 \quad(\sigma=1-\varrho) .
\]

Если записать это уравнение в виде
\[
\frac{m_{1}+m_{2} \sigma}{m_{1}+m_{2} \sigma^{-2}}=\frac{m_{3}+m_{2} \varrho}{m_{3}+m_{2} \varrho^{-2}},
\]

то можно увидеть, что на интервале $0 \leqslant \varrho \leqslant 1$ левая часть как функция от $\varrho$ монотонно убывает от 1 до 0 , а правая часть в то же время монотонно возрастает от 0 до 1 . Следовательно, (28) имеет в точности одно положительное решение $\varrho<1$, и тогда из (27) однозначно определяется длина $a$. Из уравнения (7) теперь следует, что
\[
\varkappa=\frac{9}{2}\left(m_{1} m_{2} \varrho^{-1}+m_{1} m_{3}+m_{2} m_{3} \sigma^{-1}\right) a^{-1},
\]

а координаты задаются соотношениями
\[
\begin{aligned}
0 & =\sum_{k=1}^{3} m_{k} \widehat{X}_{k}=M \widehat{X}_{1}-m_{2} \varrho a-m_{3} a, \quad \widehat{X}_{1}=\frac{m_{2} \varrho+m_{3}}{M} a, \\
\widehat{X}_{2} & =\frac{m_{3} \sigma-m_{1} \varrho}{M} a, \quad \widehat{X}_{3}=-\frac{m_{1}+m_{2} \sigma}{M} a, \quad \widehat{Y}_{1}=\widehat{Y}_{2}=\widehat{Y}_{3}=0 .
\end{aligned}
\]

Эти значения соответствуют случаю, когда при $t=0$ точка $\bar{P}_{2}$ лежит между $\bar{P}_{1}$ и $\bar{P}_{3}$. Две другие ситуации в коллинеарном случае получаются из этой циклической перестановкой $m_{1}, m_{2}, m_{3}$.

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем и в коллинеарном случае координаты $X_{k}, Y_{k}$ точек $\bar{P}_{k}(k=1,2,3)$ имеют вполне определенные предельные значения, которые не зависят от рассматриваемой изначально последовательности $t \rightarrow 0$. Следовательно, относительно движущейся системы косрдинат, треугольник $\bar{\triangle}$ стремится к предельному положению, которое в обоих случаях зависит только от значений $m_{1}, m_{2}, m_{3}$.

В этом параграфе мы вывели те результаты Зундмана [1], которые относятся к тройному столкновению; в частности, теорему о том, что при расширении в отношении 1 к $t^{2 / 3}$ стороны треугольника имеют определенные пределы, которые соответствуют либо равностороннему, либо коллинеарному случаю. Однако из этого не следует, что старые координаты $\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}$ точек $\bar{P}_{k}(k=1,2,3)$ сами имеют предельные значения. Чтобы доказать это, осталось показать, что при $t \rightarrow 0$ угол между старой и новой системами координат также стремится к пределу. Кроме того, полностью аналогично случаю простого столкновения в этом случае можно получить подходящие разложения в ряды для координат $x_{k}, y_{k}$ и тем самым определить в совокупности все возможные траектории тройного столкновения. Все это будет получено в следующем параграфе.