Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Будем исходить опять из действительного сохраняющего объем отображения $z_{1}=S z$, имеющего форму $(21 ; 1),(21 ; 2)$, причем будем считать, что степенные ряды $f(x, y), g(x, y)$ сходятся в окрестности начала координат. В эллиптическом случае собственные значения $\lambda, \lambda^{-1}$ матрицы по модулю равны единице, но не являются числами $\pm 1$. Пусть в предположении $\lambda^{k} причем $P$ и $Q$ начинаются с членов степени $2 l+2$ и $\alpha$ – действительная постоянная. Чтобы первоначальные переменные $x, y$ были действительными, нужно взять $\eta=\bar{\xi}, r=|\xi|$. Докажем, что в каждой произвольно малой окрестности $G$ начала координат плоскости $(x, y)$ и для всех достаточно больших целых чисел $n>n_{0}(G)$ существует неподвижная точка $z Считая $r>0$, введем полярнье координаты $r, \varphi$ посредством $\xi=$ $=r e^{i \varphi}, \eta=r e^{-i \varphi}$ и обозначим через $\xi_{k}, r_{k}, \varphi_{k}(k=0,1, \ldots)$ координаты $\xi, r, \varphi$ для $\zeta_{k}=T^{k} \zeta$. Под $c_{1}, \ldots, c_{17}$ будем понимать в дальнейшем соответствующие положительные постоянные, зависящие только от свойств заданного отображения $S$. Далее, $\vartheta_{0}, \vartheta_{1}, \ldots$ суть функции от $r$ и $\varphi$, которые соответствующим образом определяются некоторыми уравнениями. Если не будет повода бояться недоразумений, то символ $\vartheta$ будет также применяться для обозначения других различных функций. Пусть $c_{1}$ определено таким образом, чтобы ряды $P$ и $Q$ абсолютно сходились в круге $r \leqslant c_{1}^{-1}$ и удовлетворяли оценке Тогда в силу преобразования (1) и оценки (2) выполняются соотношения Прежде всего докажем следующую вспомогательную теорему. то Доказательство будем вести методом полной индукции по $k$. Для $k=0$ утверждение тривиально в силу $\xi_{k}=\xi В соответствии с условиями (4) и по индукционному допущению имеем следовательно, выражение, стоящее в фигурных скобках в неравенстве (6) меньше, чем откуда следует, что второе утверждение (5) выполняется при $k+1$ вместо $k$. Далее, в соответствии с неравенствами (4) и (7) получаем чем и заканчивается проведение индукции для доказательства соотношений (5). следовательно, в силу неравенства (2), отделяя мнимую часть, имеем при соответствующем подборе кратных $2 \pi$ для непрерывной функции $\varphi_{1}-\varphi$ от $r$ и $\varphi$. Если же то по вспомогательной теореме $0<r_{k}<c_{6}^{-1}$ для $k=0, \ldots, n$. Можно сделать предположение (10) для $r$ и $n$, тогда можно применить равенства (9) также вместо $\xi$ к образам этой точки, $\xi_{k}(k=0, \ldots, n-1)$, в результате Применяя соотношения (5), получим и далее, суммируя по $k$, причем Пусть $M$ и $\delta$ – какие-нибудь два положительных числа, удовлетворяющие неравенствам и пусть выбрано натуральное число Зная $n \alpha$, определим целое число $g$ согласно условиям из которых $g$ и $\beta$ определяются однозначно. Затем, пусть $h$ есть какое-нибудь натуральное число из интервала Тогда требование вследствие неравенств определяет для $r$ интервал $I_{h}$, который в соответствии с неравенством (14) содержится в интервале $0<r<\delta$. Закрепим теперь $\varphi$, и пусть $r$, увеличиваясь, пробегает интервал $I_{h}$. Тогда $\xi=r e^{i \varphi}$ в комплексной плоскости пробегает замкнутый интервал $I_{h}(\varphi)$ на луче, проходящем через начало координат и образующем с положительным направлением действительной оси угол $\varphi$. При этом в силу неравенства (13) Следовательно, предположение (10) выполнено, и для функции $\tau=$ $=\tau(r, \varphi)$ в соответствии с формулой (12) получается оценка В соответствии с соотношениями (11), (15) и (17) выражение имеет теперь на обоих концах интервала $I_{h}(\varphi)$ противоположные знаки, следовательно, как непрерывная функция $r$, оно имеет в этом интервале по крайней мере одну перемену знака. Но для образ $\xi_{n}=r_{n} e^{i \varphi_{n}}$ точки $\xi$ при отображении $T^{n}$ лежит на том же луче, что и $\xi$, и притом $0<r_{n}<c_{6}^{-1}$. Из аналитической зависимости координат $\xi_{k}, \eta_{k}$ от $\xi, \eta$ следует, что $\varphi_{n}$ и $F(r, \varphi)$ будут даже аналитическими по переменным $r, \varphi$ при $0<r<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}$. С другой стороны, далее, будет доказано, что частная производная $F_{r}=\varphi_{n r}$ на всем интервале $I_{n}(\varphi)$ будет положительной, если, кроме выполнения неравенств (13), потребовать где $c_{9}$ будет определено подходящим образом ниже. Все условия для $\delta$ будут обязательно выполненными, если предположить, что При этом предположении уравнение $F(r, \varphi)=0$ имеет на $I_{h}(\varphi)$ единственное решение $r=r(\varphi)$, которое по теореме существования для неявных функций дифференцируемо и даже аналитично относительно $\varphi$. Если $\varphi$ пробегает интервал $0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$, то $r=r(\varphi)$ представляет замкнутую гладкую кривую $K$, которая лежит в круге $0<r<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}$ и охватывает начало координат. Образ $K_{n}=T^{n} K$ кривой $K$ при отображении $T^{n}$ будет гладкой замкнутой кривой, лежащей в круге $0<r<c_{6}^{-1}$; эта кривая охватывает также начало координат, и притом в силу равенства (20) для каждой точки $\xi$ кривой $K$ ее образ $\xi_{n}$ на кривой $K_{n}$ лежит на луче, проходящем через нуль и $\xi$. Если предположить, что кривые $K$ и $K_{n}$ не имеют общих точек, то одна из них лежит внутри другой; это противоречит условию, по которому отображение $T$ должно сохранять объем. Следовательно, эти кривые имеют по меньшей мере две общие точки. Но тогда для каждой точки пересечения кривых $K$ и $K_{n}$ имеем $\xi=\xi_{n}$. Поэтому при сформулированных выше предположениях мы получим по меньшей мере две различные неподвижные точки $\xi При фиксированном $n$ в силу неравенства (17) интервалы $I_{h}$, соответствующие различным $h$, отделены друг от друга. Следовательно, это имеет также место и для неподвижных точек, получающихся при допустимых, удовлетворяющих неравенствам (16), значениях $h$ Если в соответствии с неравенством (14) изменить также $n$, то неподвижные точки, построенные для различных $n, h$, могут, конечно, совпадать. Но этого не будет при $M>c_{11}$, если $n$ пробегает составные числа, следовательно, это справедливо только для простых чисел. Если $T^{m} \zeta=T^{n} \zeta=\zeta$ и наибольший общий делитель $(m, n)=1$, то, выбирая целочисленное решение $p, q$ уравнения $p m+q n=1$, получим $\left(T^{m}\right)^{p}\left(T^{n}\right)^{q}=T$, следовательно, $T \zeta=\zeta$, в то время как в достаточно малой окрестности начала координат единственной неподвижной точкой $T$ будет само начало координат. Из нашего рассмотрения далее спелует, что неподвижная точка $T^{n}$, если $n$ простое число, будет также неподвижной точкой $T^{m}$, если $m$ делится на $n$. Остается доказать использованную выше оценку, по которой $\varphi_{n r}>0$ в интервале $I_{h}(\varphi)$ при соответствующем выборе $c_{9}$. Дифференцируя равенство (8) полным образом и вводя сокращения $\ln r=\rho$, $\ln r_{k}=\rho_{k}(k=0, \ldots, n)$, имеем При предположениях (10) $0<r_{k}<c_{6}^{-1}$ для $k=0, \ldots, n$, и потому, соответственно, Если положить то соотношения (23) можно записать в действительной векторной форме и при этом Тогда при частная производная $\varphi_{n r}=r^{-1} \mu$, так что остается доказать неравенство $\mu>0$. В дальнейшем будем обозначать записью $\mathfrak{X} \prec \mathfrak{Y}$ для двух действительных матриц $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{Y}$ тот факт, что абсолютные значения элементов $\mathfrak{X}$ не больше соответствующих элементов $\mathfrak{Y}$. Очевидно, что все элементы матрицы $\mathfrak{Y}$ неотрицательны. Если положить еще то $\mathfrak{B}^{2}=\mathfrak{B}$ и Из перестановочности $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ следует далее, что причем нужно принять во внимание неравенства (10). Далее, из равенств (24) следует оценка Поэтому, учитывая также оценки (25), (26) и (27), получим поэтому действительно $\mu>0$ в том случае, когда Но это условие в соответствии с оценками (19) и (21) выполнено на $I_{h}(\varphi)$ для достаточно большого $c_{9}$. Следует заметить, что $c_{9}, c_{10}$ и $c_{11}$ теперь уже точно определены. Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватывающей начало координат замкнутой кривой $K$, точки которой при отображении $S^{n}$ смещаются только радиально. для которой известно периодическое решение, не являющееся равновесным. Пусть $x_{k}(t, \xi, \eta), y_{k}(t, \xi, \eta)$ будет решением с начальными условиями $x_{k}=\xi_{k}, y_{k}=\eta_{k}$ при $t=0$ и пусть заданное периодическое решение получается для $\xi_{k}=\xi_{k}^{*}, \eta_{k}=\eta_{k}^{*}$. Предположим, что соответствующая замкнутая траектория не касается в пространстве $(x, y)$ плоскости $y_{2}=$ $=\eta_{2}^{*}$, так что $E_{x_{2}}\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right) Как пример рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Пусть точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ имеют опять массы $\mu, 1-\mu, 0$ при $0<\mu<1$; пусть материальные точки $P_{1}, P_{2}$ обращаются с угловой скоростью, равной 1 , около их общего центра инерции и пусть координаты трех материальных точек в соответствующей системе вращающихся координат будут равны $(1-\mu, 0),(-\mu, 0),\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Уравнения движения $(19 ; 28)$ легко можно записать в канонической форме, если ввести вместо $x_{3}, x_{4}$ переменные $y_{1}=x_{3}-x_{2}, y_{2}=x_{1}+x_{4}$ и положить где $F$ задано выражением $(19 ; 29)$. При этом система $(19 ; 28)$ переходит в систему (28). В § 19 мы применяли метод малого параметра Пуанкаре, причем мы исходили для $\mu=0$ из периодического решения $(19 ; 30)$ с $r^{3}(\omega+1)^{2}=1$ при некоторых ограничительных предположениях для $\omega$, там было доказано существование периодических решений для достаточно малого $\mu>0$ вблизи исходного решения. Одно из этих решений можно выбрать теперь за исходное для применения теоремы Биркгофа о неподвижной точке; пусть при этом $\mu=\mu_{0}>0$. Периодическое решение $(19 ; 30)$, соответствующее $\mu=0$, имеет начальные значения $\xi_{1}^{*}=r, \eta_{1}^{*}=0, \xi_{2}^{*}=0, \eta_{2}^{*}=r(\omega+1)$, и при этих значениях производная $E_{y_{2}}\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)=\eta_{2}^{*}-\xi_{1}^{*}=r \omega причем $\xi_{1}, \eta_{1}$ будут начальными значениями $x_{1}, y_{1}$ при $t=0$. Собственные значения матрицы линейных членов равны $\lambda$ и $\lambda^{-1}$, где $\lambda=e^{2 \pi i / \omega}$. При этом использованы данные в $\S 19$ предположения $\omega то будет иметь место эллиптический случай, и тогда $\lambda^{k} Можно было бы думать, что эти решения можно также следующим образом определить с помощью метода малого параметра. При $\mu=0$ все решения системы $(19 ; 28)$ имеют вид конических сечений в плоскости $\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ), вращающихся с угловой скоростью, равной -1 , около фокуса, расположенного в начале координат. В окрестности кругового решения $(19 ; 30)$ с периодом $\frac{2 \pi}{|\omega|}$ расположены траектории, которые соответствуют вращающемуся эллипсу. Такая траектория тогда и только тогда замыкается во вращающейся системе координат, если период вращения по эллипсу соизмерим с $2 \pi$, следовательно, если $\tau=2 \pi \frac{k}{l}$, причем $l / k$ есть рациональное число, близкое к $\omega$. Если $l / k$ – несократимая дробь, то соответствующий период будет $2 \pi k$, и траектория замыкается первый раз после $|l|$ оборотов. Если выполнены прежние предположения метода малого параметра, то для достаточно малого $\mu$ соответствующие периодические решения существуют. Оказывается, однако, что метод малого параметра нельзя здесь применить в его обычной форме, так как не выполнено предположение о ранге функциональной матрицы, заданной равенством $(19 ; 27)$. При этом трудность состоит в том, что дифференциальные уравнения ограниченной задачи трех тел имеют для $\mu=0$ интегралы площадей и энергии, в то время как для $\mu>0$ мы имеем в своем распоряжении только один интеграл Якоби (29).
|
1 |
Оглавление
|