Будем исходить опять из действительного сохраняющего объем отображения $z_{1}=S z$, имеющего форму $(21 ; 1),(21 ; 2)$, причем будем считать, что степенные ряды $f(x, y), g(x, y)$ сходятся в окрестности начала координат. В эллиптическом случае собственные значения $\lambda, \lambda^{-1}$ матрицы
\[
\mathfrak{S}=\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|
\]

по модулю равны единице, но не являются числами $\pm 1$. Пусть в предположении $\lambda^{k}
eq 1(k=3, \ldots, 2 l+2)$ вычислены инварианты $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{l}$ в уравнениях $(21 ; 31)$ и пусть $\gamma_{l}$ будет первым инвариантом, который не равен нулю. Тогда, согласно результатам конца предыдущего параграфа, существует сходящаяся подстановка $z=C \zeta$, такая, что преобразование $C^{-1} S C=T$ сохраняет объем; эта подстановка имеет вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\xi_{1}=p(\xi, \eta)=u \xi+P, \quad \eta_{1}=q(\xi, \eta)=v \eta+Q, \quad u v=1, \\
u=e^{i\left(\alpha+r^{2 l}\right)}, \quad r^{2}=\xi \eta, \quad \bar{p}(\xi, \eta)=q(\eta, \xi), \quad
\end{array}\right\}
\]

причем $P$ и $Q$ начинаются с членов степени $2 l+2$ и $\alpha$ — действительная постоянная. Чтобы первоначальные переменные $x, y$ были действительными, нужно взять $\eta=\bar{\xi}, r=|\xi|$. Докажем, что в каждой произвольно малой окрестности $G$ начала координат плоскости $(x, y)$ и для всех достаточно больших целых чисел $n>n_{0}(G)$ существует неподвижная точка $z
eq 0$ преобразования $S^{n}$ при $S^{k} z \in G(k=0, \ldots, n-1)$. Это утверждение и является теоремой Биркгофа о неподвижной точке. Приводимое ниже доказательство отличается от данного Биркгофом точным проведением необходимых оценок.

Считая $r>0$, введем полярнье координаты $r, \varphi$ посредством $\xi=$ $=r e^{i \varphi}, \eta=r e^{-i \varphi}$ и обозначим через $\xi_{k}, r_{k}, \varphi_{k}(k=0,1, \ldots)$ координаты $\xi, r, \varphi$ для $\zeta_{k}=T^{k} \zeta$. Под $c_{1}, \ldots, c_{17}$ будем понимать в дальнейшем соответствующие положительные постоянные, зависящие только от свойств заданного отображения $S$. Далее, $\vartheta_{0}, \vartheta_{1}, \ldots$ суть функции от $r$ и $\varphi$, которые соответствующим образом определяются некоторыми уравнениями. Если не будет повода бояться недоразумений, то символ $\vartheta$ будет также применяться для обозначения других различных функций. Пусть $c_{1}$ определено таким образом, чтобы ряды $P$ и $Q$ абсолютно сходились в круге $r \leqslant c_{1}^{-1}$ и удовлетворяли оценке
\[
|P|+|Q| \leqslant c_{2} r^{2 l+2} .
\]

Тогда в силу преобразования (1) и оценки (2) выполняются соотношения
\[
\left.\begin{array}{c}
r_{1}^{2}=\xi_{1} \eta_{1}=r^{2}+\vartheta r^{2 l+3}, \quad|\vartheta|<c_{3}, \\
r_{1}=r\left(1+\vartheta r^{2 l+1}\right)^{1 / 2}=r+\vartheta_{1} r^{2 l+2}, \quad\left|\vartheta_{1}\right|<c_{4} \quad\left(r<c_{1}^{-1}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Прежде всего докажем следующую вспомогательную теорему.
Если $r$ и натуральное число $n$ удовлетворяют условиям
\[
0<r<\frac{4}{5} c_{1}^{-1}, \quad n r^{2 l+1}<\frac{1}{6 l+6} c_{4}^{-1},
\]

то
\[
\left.\begin{array}{c}
0<\frac{3}{4} r<r_{k}<\frac{5}{4} r<c_{1}^{-1}, \quad r_{k}=r+k \vartheta_{k} r^{2 l+2} \\
\left|\vartheta_{k}\right|<3 c_{4} \quad(k=0, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Доказательство будем вести методом полной индукции по $k$. Для $k=0$ утверждение тривиально в силу $\xi_{k}=\xi
eq 0$, причем можно положить $\vartheta_{0}=0$. Если утверждение доказано для $k<n$, то из соотношений (3) следует оценка
\[
\begin{array}{c}
r_{k+1}=r_{k}+\vartheta_{1} r_{k}^{2 l+2}=r+k \vartheta_{k} r^{2 l+2}+\vartheta_{1} r^{2 l+2}\left(1+k \vartheta_{k} r^{2 l+1}\right)^{2 l+2}, \\
\left|r_{k+1}-r\right| \leqslant r^{2 l+2}\left\{k\left|\vartheta_{k}\right|+\left|\vartheta_{1}\right|\left(1+k\left|\vartheta_{k}\right| r^{2 l+1}\right)^{2 l+2}\right\} .
\end{array}
\]

В соответствии с условиями (4) и по индукционному допущению имеем
\[
k\left|\vartheta_{k}\right| r^{2 l+1}<\frac{1}{2 l+2},
\]

следовательно, выражение, стоящее в фигурных скобках в неравенстве (6) меньше, чем
\[
3 k c_{4}+c_{4} e<(3 k+3) c_{4},
\]

откуда следует, что второе утверждение (5) выполняется при $k+1$ вместо $k$. Далее, в соответствии с неравенствами (4) и (7) получаем
\[
\begin{array}{c}
r_{k+1} \leqslant r\left[1+(k+1)\left|\vartheta_{k+1}\right| r^{2 l+1}\right]<r\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{4} r<c_{1}^{-1}, \\
r_{k+1} \geqslant r\left[1-(k+1)\left|\vartheta_{k+1}\right| r^{2 l+1}\right]>r\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4} r>0,
\end{array}
\]

чем и заканчивается проведение индукции для доказательства соотношений (5).
Логарифмируя (1), получим выражение
\[
\ln r_{1}+i \varphi_{1}=\ln r+i \varphi+i \alpha+i r^{2 l}+\ln \left(1+\frac{P}{u \xi}\right)
\]

следовательно, в силу неравенства (2), отделяя мнимую часть, имеем
\[
\left.\begin{array}{ll}
\varphi_{1}-\varphi=\alpha+r^{2 l}+\vartheta r^{2 l+1}, & |\vartheta|<c_{5} \\
\left(0<r<c_{6}^{-1} \leqslant c_{1}^{-1}\right)
\end{array}\right\}
\]

при соответствующем подборе кратных $2 \pi$ для непрерывной функции $\varphi_{1}-\varphi$ от $r$ и $\varphi$. Если же
\[
0<r<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}, \quad n r^{2 l+1}<\frac{1}{6 l+6} c_{4}^{-1},
\]

то по вспомогательной теореме $0<r_{k}<c_{6}^{-1}$ для $k=0, \ldots, n$. Можно сделать предположение (10) для $r$ и $n$, тогда можно применить равенства (9) также вместо $\xi$ к образам этой точки, $\xi_{k}(k=0, \ldots, n-1)$, в результате
\[
\varphi_{k+1}-\varphi_{k}=\alpha+r_{k}^{2 l}+\vartheta_{k} r_{k}^{2 l+1}, \quad\left|\vartheta_{k}\right|<c_{5} .
\]

Применяя соотношения (5), получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{k+1}-\varphi_{k}=\alpha+r^{2 i}+\vartheta_{k} r^{2 l+1}\left(1+n r^{2 l}\right), \\
\left|\vartheta_{k}\right|<c_{7}, \quad(k=0, \ldots, n-1),
\end{array}
\]

и далее, суммируя по $k$,
\[
\varphi_{n}-\varphi=n\left(\alpha+r^{2 l}\right)+\tau,
\]

причем
\[
\tau=n \vartheta r^{2 l+1}\left(1+n r^{2 l}\right), \quad|\vartheta|<c_{8} .
\]

Пусть $M$ и $\delta$ — какие-нибудь два положительных числа, удовлетворяющие неравенствам
\[
M>4 \pi, \quad \delta<\min \left[\frac{c_{4}^{-1}}{(6 l+6) M}, \frac{4 c_{6}^{-1}}{5}, \frac{\pi c_{8}^{-1}}{2 M(1+M)}\right]
\]

и пусть выбрано натуральное число
\[
n>M \delta^{-2 l} \text {. }
\]

Зная $n \alpha$, определим целое число $g$ согласно условиям
\[
n \alpha=2 g \pi+\beta, \quad-\pi \leqslant \beta<\pi,
\]

из которых $g$ и $\beta$ определяются однозначно. Затем, пусть $h$ есть какое-нибудь натуральное число из интервала
\[
1 \leqslant h \leqslant \frac{M}{2 \tau}-1 .
\]

Тогда требование
\[
-\frac{\pi}{2} \leqslant n r^{2 l}-2 h \pi+\beta \leqslant \frac{\pi}{2}
\]

вследствие неравенств
\[
2 h \pi-\frac{\pi}{2}-\beta>\frac{\pi}{2}>0, \quad 2 h \pi+\frac{\pi}{2}-\beta \leqslant 2 h \pi+\frac{3 \pi}{2}<M
\]

определяет для $r$ интервал $I_{h}$, который в соответствии с неравенством (14) содержится в интервале $0<r<\delta$. Закрепим теперь $\varphi$, и пусть $r$, увеличиваясь, пробегает интервал $I_{h}$. Тогда $\xi=r e^{i \varphi}$ в комплексной плоскости пробегает замкнутый интервал $I_{h}(\varphi)$ на луче, проходящем через начало координат и образующем с положительным направлением действительной оси угол $\varphi$. При этом в силу неравенства (13)
\[
0<r<\delta<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}, \quad n r^{2 l+1}<M r<M \delta<\frac{1}{6 l+6} c_{4}^{-1} .
\]

Следовательно, предположение (10) выполнено, и для функции $\tau=$ $=\tau(r, \varphi)$ в соответствии с формулой (12) получается оценка
\[
|\tau| \leqslant|\vartheta| M r(1+M)<c_{8} M \delta(1+M)<\frac{\pi}{2} .
\]

В соответствии с соотношениями (11), (15) и (17) выражение
\[
F(r, \varphi)=\varphi_{n}-\varphi-2(g+h) \pi=n r^{2 l}-2 h \pi+\beta+\tau
\]

имеет теперь на обоих концах интервала $I_{h}(\varphi)$ противоположные знаки, следовательно, как непрерывная функция $r$, оно имеет в этом интервале по крайней мере одну перемену знака. Но для
\[
\varphi_{n}-\varphi=2(g+h) \pi
\]

образ $\xi_{n}=r_{n} e^{i \varphi_{n}}$ точки $\xi$ при отображении $T^{n}$ лежит на том же луче, что и $\xi$, и притом $0<r_{n}<c_{6}^{-1}$.

Из аналитической зависимости координат $\xi_{k}, \eta_{k}$ от $\xi, \eta$ следует, что $\varphi_{n}$ и $F(r, \varphi)$ будут даже аналитическими по переменным $r, \varphi$ при $0<r<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}$. С другой стороны, далее, будет доказано, что частная производная $F_{r}=\varphi_{n r}$ на всем интервале $I_{n}(\varphi)$ будет положительной, если, кроме выполнения неравенств (13), потребовать
\[
\delta<e^{-c_{9} M},
\]

где $c_{9}$ будет определено подходящим образом ниже. Все условия для $\delta$ будут обязательно выполненными, если предположить, что
\[
\delta<e^{-c_{10} M} .
\]

При этом предположении уравнение $F(r, \varphi)=0$ имеет на $I_{h}(\varphi)$ единственное решение $r=r(\varphi)$, которое по теореме существования для неявных функций дифференцируемо и даже аналитично относительно $\varphi$. Если $\varphi$ пробегает интервал $0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$, то $r=r(\varphi)$ представляет замкнутую гладкую кривую $K$, которая лежит в круге $0<r<\frac{4}{5} c_{6}^{-1}$ и охватывает начало координат. Образ $K_{n}=T^{n} K$ кривой $K$ при отображении $T^{n}$ будет гладкой замкнутой кривой, лежащей в круге $0<r<c_{6}^{-1}$; эта кривая охватывает также начало координат, и притом в силу равенства (20) для каждой точки $\xi$ кривой $K$ ее образ $\xi_{n}$ на кривой $K_{n}$ лежит на луче, проходящем через нуль и $\xi$. Если предположить, что кривые $K$ и $K_{n}$ не имеют общих точек, то одна из них лежит внутри другой; это противоречит условию, по которому отображение $T$ должно сохранять объем. Следовательно, эти кривые имеют по меньшей мере две общие точки. Но тогда для каждой точки пересечения кривых $K$ и $K_{n}$ имеем $\xi=\xi_{n}$. Поэтому при сформулированных выше предположениях мы получим по меньшей мере две различные неподвижные точки $\xi
eq 0$ преобразования $T^{n}$, причем образы $\xi_{k}(k=$ $=0, \ldots, n)$ лежат, кроме того, в круге $|\xi|<\frac{5}{4} \delta$. Если ввести вместо $\xi, \eta$ опять первоначальные координаты $x, y$ и заметить, что $M$ в оценке (22) можно выбрать произвольно большим, то отсюда следует сформулированная выше теорема Биркгофа о негодвижной точке.

При фиксированном $n$ в силу неравенства (17) интервалы $I_{h}$, соответствующие различным $h$, отделены друг от друга. Следовательно, это имеет также место и для неподвижных точек, получающихся при допустимых, удовлетворяющих неравенствам (16), значениях $h$
\[
h=1,2, \ldots, \left.\frac{M}{2 \pi} \right\rvert\,-1 .
\]

Если в соответствии с неравенством (14) изменить также $n$, то неподвижные точки, построенные для различных $n, h$, могут, конечно, совпадать. Но этого не будет при $M>c_{11}$, если $n$ пробегает составные числа, следовательно, это справедливо только для простых чисел. Если $T^{m} \zeta=T^{n} \zeta=\zeta$ и наибольший общий делитель $(m, n)=1$, то, выбирая целочисленное решение $p, q$ уравнения $p m+q n=1$, получим $\left(T^{m}\right)^{p}\left(T^{n}\right)^{q}=T$, следовательно, $T \zeta=\zeta$, в то время как в достаточно малой окрестности начала координат единственной неподвижной точкой $T$ будет само начало координат. Из нашего рассмотрения далее спелует, что неподвижная точка $T^{n}$, если $n$ простое число, будет также неподвижной точкой $T^{m}$, если $m$ делится на $n$.

Остается доказать использованную выше оценку, по которой $\varphi_{n r}>0$ в интервале $I_{h}(\varphi)$ при соответствующем выборе $c_{9}$. Дифференцируя равенство (8) полным образом и вводя сокращения $\ln r=\rho$, $\ln r_{k}=\rho_{k}(k=0, \ldots, n)$, имеем
\[
\begin{array}{c}
d \rho_{1}+i d \varphi_{1}=d \rho+i d \varphi+2 i l r^{2 l} d \rho+r^{2 l+1}(\vartheta d \rho+\widetilde{\vartheta} d \varphi), \\
|\vartheta|+|\widetilde{\vartheta}|<c_{12} \quad\left(0<r<c_{6}^{-1}\right) .
\end{array}
\]

При предположениях (10) $0<r_{k}<c_{6}^{-1}$ для $k=0, \ldots, n$, и потому, соответственно,
\[
\left.\begin{array}{c}
d \rho_{k+1}+i d \varphi_{k+1}=d \rho_{k}+i d \varphi_{k}+2 i l r_{k}^{2 l} d \rho_{k}+ \\
+r_{k}^{2 l+1}\left(\vartheta_{k} d \rho_{k}+\widetilde{\vartheta}_{k} d \varphi_{k}\right), \\
\left|\widetilde{\vartheta}_{k}\right|+\left|\vartheta_{k}\right|<c_{12} \quad(k=0, \ldots, n-1) .
\end{array}\right\}
\]

Если положить
\[
\mathfrak{A}_{k}=\left\|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 l r_{k}^{2 l} & 1
\end{array}\right\|, \quad \mathfrak{B}_{k}=r_{k}^{2 l+1}\left\|\begin{array}{ll}
\vartheta_{1 k} & \vartheta_{2 k} \\
\vartheta_{3 k} & \vartheta_{4 k}
\end{array}\right\|,
\]

то соотношения (23) можно записать в действительной векторной форме
\[
\left\|\begin{array}{l}
d \rho_{k+1} \\
d \varphi_{k+1}
\end{array}\right\|=\mathfrak{M}_{k}\left\|\begin{array}{c}
d \rho_{k} \\
d \varphi_{k}
\end{array}\right\|, \quad \mathfrak{M}_{k}=\mathfrak{A}_{k}+\mathfrak{B}_{k}
\]

и при этом
\[
\left|\vartheta_{1 k}\right|+\left|\vartheta_{2 k}\right|+\left|\vartheta_{3 k}\right|+\left|\vartheta_{4 k}\right|<c_{13} .
\]

Тогда при
\[
\mathfrak{M}_{n-1} \ldots \mathfrak{M}_{1} \mathfrak{M}_{0}=\left\|\begin{array}{ll}
\varkappa & \lambda \\
\mu &
u
\end{array}\right\|
\]

частная производная $\varphi_{n r}=r^{-1} \mu$, так что остается доказать неравенство $\mu>0$.

В дальнейшем будем обозначать записью $\mathfrak{X} \prec \mathfrak{Y}$ для двух действительных матриц $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{Y}$ тот факт, что абсолютные значения элементов $\mathfrak{X}$ не больше соответствующих элементов $\mathfrak{Y}$. Очевидно, что все элементы матрицы $\mathfrak{Y}$ неотрицательны. Если положить еще
\[
\mathfrak{B}=\frac{1}{2}\left\|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right\|,
\]

то $\mathfrak{B}^{2}=\mathfrak{B}$ и
\[
\mathfrak{A}_{k} \prec \mathfrak{E}+c_{14} r^{2 l} \mathfrak{B}=\mathfrak{A}, \mathfrak{B}_{k} \prec c_{14} r^{2 l+1} \mathfrak{B}=\mathfrak{B} \quad(k=0, \ldots, n-1) .
\]

Из перестановочности $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ следует далее, что
\[
\left.\begin{array}{rl}
\mathfrak{M}_{n-1} \ldots \mathfrak{M}_{1} \mathfrak{M}_{0}-\mathfrak{A}_{n-1} \ldots \mathfrak{A}_{1} \mathfrak{A}_{0} \prec(\mathfrak{A}+\mathfrak{B})^{n}-\mathfrak{A}^{n}, \\
(\mathfrak{A}+\mathfrak{B})^{n}-\mathfrak{A}^{n}=\mathfrak{B} \sum_{k=0}^{n-1}(\mathfrak{A}+\mathfrak{B})^{n-k-1} \mathfrak{A}^{k} \prec \\
\prec n \mathfrak{B}(\mathfrak{A}+\mathfrak{B})^{n-1}=c_{14} n r^{2 l+1}(\mathfrak{A}+\mathfrak{B})^{n-1} \mathfrak{B}= \\
=c_{14} n r^{2 l+1}\left(1+c_{14} r^{2 l}+c_{14} r^{2 l+1}\right)^{n-1} \mathfrak{B} \prec \\
\prec c_{15} n r^{2 l+1} e^{c_{16} n r^{2 l}} \mathfrak{B},
\end{array}\right\}
\]

причем нужно принять во внимание неравенства (10). Далее, из равенств (24) следует оценка
\[
\mathfrak{A}_{n-1} \cdots \mathfrak{A}_{1} \mathfrak{A}_{0}=\left\|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
\sigma & 1
\end{array}\right\|, \quad \sigma=2 l \sum_{k=0}^{n-1} r_{k}^{2 l}>2 l\left(\frac{3}{4}\right)^{2 l} n r^{2 l}>c_{17}^{-1} n r^{2 l} .
\]

Поэтому, учитывая также оценки (25), (26) и (27), получим
\[
\mu>n r^{2 l}\left(c_{17}^{-1}-c_{15} r e^{c_{16} n r^{2 l}}\right),
\]

поэтому действительно $\mu>0$ в том случае, когда
\[
r<\left(c_{15} c_{17}\right)^{-1} e^{-c_{16} n r^{2 l}} .
\]

Но это условие в соответствии с оценками (19) и (21) выполнено на $I_{h}(\varphi)$ для достаточно большого $c_{9}$. Следует заметить, что $c_{9}, c_{10}$ и $c_{11}$ теперь уже точно определены.

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватывающей начало координат замкнутой кривой $K$, точки которой при отображении $S^{n}$ смещаются только радиально.
Применим теорему Биркгофа к системе Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1,2),
\]

для которой известно периодическое решение, не являющееся равновесным. Пусть $x_{k}(t, \xi, \eta), y_{k}(t, \xi, \eta)$ будет решением с начальными условиями $x_{k}=\xi_{k}, y_{k}=\eta_{k}$ при $t=0$ и пусть заданное периодическое решение получается для $\xi_{k}=\xi_{k}^{*}, \eta_{k}=\eta_{k}^{*}$. Предположим, что соответствующая замкнутая траектория не касается в пространстве $(x, y)$ плоскости $y_{2}=$ $=\eta_{2}^{*}$, так что $E_{x_{2}}\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)
eq 0$. Зафиксируем теперь $\eta_{2}=\eta_{2}^{*}$ и $E(\xi, \eta)=$ $=E\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)$ и рассмотрим начальные значения $\xi_{1}, \eta_{1}$ как независимые переменные в малой окрестности точки $\xi_{1}=\xi_{1}^{*}, \eta_{1}=\eta_{1}^{*}$. Если продолжить соответствующее решение для возрастающего $t$ до следующего пересечения с плоскостью $y_{2}=\eta_{2}^{*}$, то, согласно доказанному в $\S 20$, мы получим аналитическое отображение $S$ в двумерной плоскости $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, которое сохраняет объем и имеет неподвижную точку $x_{1}=\xi_{1}^{*}, y_{1}=\eta_{1}^{*}$. При этом имеет место эллиптический случай. Тогда, если существует натуральное число $l$, такое, что $\lambda^{k}
eq 1(k=1, \ldots, 2 l+2)$ и $\gamma_{1}=\ldots=$ $=\gamma_{l-1}=0, \gamma_{l}
eq 0$, то отображение $S$ можно перевести в форму (1) и применить теорему Биркгофа о неподвижной точке. Отсюда следует существование бесчисленного множества периодических решений с тем же самым значением $E\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)$ функции Гамильтона в произвольно малой окрестности исходного решения, и притом существует даже для каждого достаточно большого простого числа $n$ единственное решение, которое замыкается впервые после $n$ оборотов. Если в точке $\xi^{*}, \eta^{*}$ значение $E_{x_{2}}=0$, но $E_{y_{2}}
eq 0$, то после замены $x, y$ на $y,-x$ мы приходим опять к уже рассмотренному случаю.

Как пример рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Пусть точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ имеют опять массы $\mu, 1-\mu, 0$ при $0<\mu<1$; пусть материальные точки $P_{1}, P_{2}$ обращаются с угловой скоростью, равной 1 , около их общего центра инерции и пусть координаты трех материальных точек в соответствующей системе вращающихся координат будут равны $(1-\mu, 0),(-\mu, 0),\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Уравнения движения $(19 ; 28)$ легко можно записать в канонической форме, если ввести вместо $x_{3}, x_{4}$ переменные $y_{1}=x_{3}-x_{2}, y_{2}=x_{1}+x_{4}$ и положить
\[
E=\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)+x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}-F\left(x_{1}, x_{2}\right),
\]

где $F$ задано выражением $(19 ; 29)$. При этом система $(19 ; 28)$ переходит в систему (28). В § 19 мы применяли метод малого параметра Пуанкаре, причем мы исходили для $\mu=0$ из периодического решения $(19 ; 30)$ с $r^{3}(\omega+1)^{2}=1$ при некоторых ограничительных предположениях для $\omega$, там было доказано существование периодических решений для достаточно малого $\mu>0$ вблизи исходного решения. Одно из этих решений можно выбрать теперь за исходное для применения теоремы Биркгофа о неподвижной точке; пусть при этом $\mu=\mu_{0}>0$. Периодическое решение $(19 ; 30)$, соответствующее $\mu=0$, имеет начальные значения $\xi_{1}^{*}=r, \eta_{1}^{*}=0, \xi_{2}^{*}=0, \eta_{2}^{*}=r(\omega+1)$, и при этих значениях производная $E_{y_{2}}\left(\xi^{*}, \eta^{*}\right)=\eta_{2}^{*}-\xi_{1}^{*}=r \omega
eq 0$. Поэтому при $\mu=0$ для периодического решения $(19 ; 30)$ можно применить метод неподвижной точки. С другой стороны, функция Гамильтона $E$ будет аналитической функцией параметра $\mu$, так что по теореме существования решение $x(t, \xi, \eta), y(t, \xi, \eta)$ будет также аналитическим относительно $\mu$. Отсюда, в частности, следует, что для достаточно малого $\mu_{0}$ и соответствующего периодического решения также можно применить метод неподвижной точки. Если рассматривается эллиптический случай при $\mu=0$ и если для собственного значения $\lambda$ и натурального числа $l$ выполнены ранее сформулированные условия $\lambda^{k}
eq 1(k=1, \ldots, 2 l+2), \gamma_{1}=\ldots=\gamma_{l-1}=0, \gamma_{l}
eq 0$, то это утверждение справедливо вследствие аналитической зависимости от $\mu$ также для достаточно малого $\mu=\mu_{0}$, и притом с равным или меньшим значением $l$. Поэтому преобразование $S$ нужно вычислить только для $\mu=0$. Но для этого можно явно разрешить уравнения в вариациях $(19 ; 7)$, как об этом было упомянуто в § 19: отсюда после элементарных выкладок для преобразования $S$ получаются следующие разложения в ряд:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{1} & =c \xi_{1}+(\omega+1)^{-1} s \eta_{1}+\ldots, \\
y_{1} & =-(\omega+1) s \xi_{1}+c \eta_{1}+\ldots \\
c & =\cos \frac{2 \pi}{\omega}, \quad s=\sin \frac{2 \pi}{\omega},
\end{array}\right\}
\]

причем $\xi_{1}, \eta_{1}$ будут начальными значениями $x_{1}, y_{1}$ при $t=0$. Собственные значения матрицы линейных членов равны $\lambda$ и $\lambda^{-1}$, где $\lambda=e^{2 \pi i / \omega}$. При этом использованы данные в $\S 19$ предположения $\omega
eq 0,-1,-2$, и считалось справедливым неравенство $(19 ; 32)$. Если принять также, что
\[
\omega
eq 3 g^{-1}, \quad \omega
eq 4 g^{-1} \quad(g= \pm 1, \pm 2, \ldots),
\]

то будет иметь место эллиптический случай, и тогда $\lambda^{k}
eq 1$ для $k=$ $=1, \ldots, 4$. Если в разложениях (30) определить также члены второго и третьего порядков, то можно найти инвариант $\gamma_{1}$ в явном виде, что дает $[2] \gamma_{1}=-3 \pi(\omega+1) \omega^{-3}
eq 0$, тогда $l=1$. Общие предположения для $\omega
eq 0$ содержатся в неравенстве (31); при выполнении этих предположений для достаточно малого $\mu>0$ существует бесконечное множество периодических решений ограниченной задачи трех тел вблизи исходного решения, и притом таких решений, которые замыкаются впервые после многих оборотов и имеют одни и те же значения постоянной Якоби $E$.

Можно было бы думать, что эти решения можно также следующим образом определить с помощью метода малого параметра. При $\mu=0$ все решения системы $(19 ; 28)$ имеют вид конических сечений в плоскости $\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ), вращающихся с угловой скоростью, равной -1 , около фокуса, расположенного в начале координат. В окрестности кругового решения $(19 ; 30)$ с периодом $\frac{2 \pi}{|\omega|}$ расположены траектории, которые соответствуют вращающемуся эллипсу. Такая траектория тогда и только тогда замыкается во вращающейся системе координат, если период вращения по эллипсу соизмерим с $2 \pi$, следовательно, если $\tau=2 \pi \frac{k}{l}$, причем $l / k$ есть рациональное число, близкое к $\omega$. Если $l / k$ — несократимая дробь, то соответствующий период будет $2 \pi k$, и траектория замыкается первый раз после $|l|$ оборотов. Если выполнены прежние предположения метода малого параметра, то для достаточно малого $\mu$ соответствующие периодические решения существуют. Оказывается, однако, что метод малого параметра нельзя здесь применить в его обычной форме, так как не выполнено предположение о ранге функциональной матрицы, заданной равенством $(19 ; 27)$. При этом трудность состоит в том, что дифференциальные уравнения ограниченной задачи трех тел имеют для $\mu=0$ интегралы площадей и энергии, в то время как для $\mu>0$ мы имеем в своем распоряжении только один интеграл Якоби (29).