Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка
\[
\dot{x}_{k}=f_{k} \quad(k=1, \ldots, m),
\]

причем $m$ заданных функций $f_{k}=f_{k}(x)$ зависят от $x_{1}, \ldots, x_{m}$ и не зависят от $t$. Если $f_{k}$ удовлетворяют в действительной окрестности $x=\xi$ условиям Липшица, то система (1), как известно, имеет при заданном начальном значении $x(\tau)=\xi$ единственное решение $x(t)$. Предположим теперь, что $f_{k}$ являются регулярными аналитическими функциями переменных $x_{1}, \ldots, x_{m}$ в некоторой комплексной окрестности $x=\xi$. Нашей целью является доказательство следующей теоремы:

Пусть все функции $f_{1}, \ldots, f_{m}$ регулярны в области $\left|x_{k}-\xi_{k}\right|<r$ $(k=1, \ldots, m)$ и по абсолютной величине $\left|f_{i}\right| \leqslant M$. Тогда в определяемом начальными условиями $x_{k}(\tau)=\xi_{k}(k=1, \ldots, m)$ решении системы уравнений (1) $x_{k}(t)$ являются регулярными аналитическими функциями от $t$ в комплексной окрестности точки $\tau$
\[
|t-\tau|<\frac{r}{(m+1) M}
\]

и удовлетворяют в этой окрестности неравенствам
\[
\left|x_{k}(t)-\xi_{k}\right|<r \quad(k=1, \ldots, m) \text {. }
\]

Замена величин $x_{k}, f_{k}, t$ величинами $\xi_{k}+r x_{k}, M f_{k}, \tau+M^{-1} r t$ сохраняет систему (1) неизменной, в то время как постоянные $\xi_{k}, r$, $M, \tau$ превращаются в $0,1,1,0$. Таким образом, теорему достаточно доказать только для этого частного случая. Чтобы решить уравнения (1) с начальными условиями $x_{k}(0)=0$, возьмем ряд
\[
x_{k}=x_{k}(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{k: n} t^{n} \quad(k=1, \ldots, m)
\]

с неопределенными коэффициентами и будем затем сравнивать коэффициенты после подстановки в дифференциальные уравнения. Для сокращения воспользуемся при этом следующими обозначениями. Для формально образованного степенного ряда
\[
\varphi=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} t^{k}
\]

о сходимости которого ничего пока не известно, положим
\[
\varphi_{n}=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} t^{k}, \quad(\varphi)_{n}=c_{n} \quad(n=0,1, \ldots) .
\]

Тогда, очевидно, $(\varphi)_{n}=\left(\varphi_{n}\right)_{n}$ и, далее, $(\varphi \psi)_{n}=\left(\varphi_{n} \psi_{n}\right)_{n},(\varphi \pm \psi)_{n}=$ $=\left(\varphi_{n} \pm \psi_{n}\right)_{n}$, если через $\psi$ также обозначен формальный степенной ряд по $t$. Если теперь положить
\[
f_{k}=\sum_{l} a_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}} x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{m}^{l_{m}} \quad(k=1, \ldots, m),
\]

причем индекс $l$ под знаком суммы должен указывать на суммирование по всем целым неотрицательным значениям $l_{1}, \ldots, l_{m}$, то сравнение коэффициентов после подстановки в систему (1) даст следующие равенства:
\[
\begin{array}{l}
(n+1) \alpha_{k, n+1}=\sum_{l} a_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\left(x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{m}^{l_{m}}\right)_{n}= \\
=\sum_{l} a_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\left(x_{1 n}^{l_{1}} \ldots x_{m n}^{l_{m}}\right)_{n} \quad(n=0,1, \ldots) .
\end{array}
\]

Отсюда полной индукцией установим, что $\alpha_{k, n}$ будут многочленами относительно $a_{r, l_{1}, \ldots, l_{m}}(r=1, \ldots, m)$ с неотрицательными рациональными коэффициентами.

Для доказательства сходимости образуем мажорирующий ряд. Если
\[
f=\sum_{l} a_{l_{1}, \ldots, l_{m}} x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{m}^{l_{m}}, \quad g=\sum_{l} b_{l_{1}, \ldots, l_{m}} x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{m}^{l_{m}}
\]

два формально образованных степенных ряда, которые не обязательно сходятся, то ряд $g$ называется мажорирующим для $f$ (обозначается $f \prec g$ ), если
\[
\left|a_{l_{1}, \ldots, l_{m}}\right| \leqslant b_{l_{1}, \ldots, l_{m}},
\]

следовательно, все коэффициенты ряда $g$ должны быть действительными и неотрицательными. Пусть $f_{k} \prec g_{k}(k=1, \ldots, m)$; рассмотрим наряду с системой (1) мажорирующую систему
\[
\dot{y}_{k}=g_{k}(y) \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Эта система также может быть формально решена при начальных значениях $y_{k}(0)=0$ с помощью рядов
\[
y_{k}=y_{k}(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \beta_{k, n} t^{n} .
\]

Мы утверждаем, что $y_{k}(t)$ также является мажорантой для $x_{k}(t)$, т. е. что
\[
\left|\alpha_{k,
u}\right| \leqslant \beta_{k,
u} \quad(k=1, \ldots, m ;
u=1,2, \ldots) .
\]

Так как коэффициенты $b_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}$ ряда $g_{k}$ неотрицательны, то из рекуррентных формул, соответствующих (2), получаем следующие равенства:
\[
(n+1) \beta_{k, n+1}=\sum_{l} b_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\left(y_{1 n}^{l_{1}} \ldots y_{m n}^{l_{m}}\right)_{n} \quad(n=0,1, \ldots) ;
\]

отсюда заключаем, что все $\beta_{k,
u}$ являются действительными неотрицательными числами. Докажем теперь (4) методом полной индукции. Пусть утверждение справедливо для индексов $
u \leqslant n$, причем это допущение для $n=0$ не имеет смысла. Следовательно, тогда $x_{k n} \prec y_{k n}$ и из неравенств
\[
\begin{array}{l}
(n+1)\left|\alpha_{k, n+1}\right| \leqslant \sum_{l}\left|a_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\right|\left|\left(x_{1 n}^{l_{1}} \ldots x_{m n}^{l_{m}}\right)_{n}\right| \leqslant \\
\leqslant \sum_{l} b_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\left(y_{1 n}^{l_{1}} \ldots y_{m n}^{l_{m}}\right)_{n}=(n+1) \beta_{k, n+1}
\end{array}
\]

следует (4) для $
u=n+1$. Этим самым доказано, что $x_{k} \prec y_{k}$.
Теперь достаточно найти такую мажоранту $g_{k}$ для $f_{k}$, чтобы новая система (3) интегрировалась до конца и для ее решений могли быть доказаны упомянутые в теореме оценки. Из предположения $\left|f_{k}\right| \leqslant 1$ для $\left|x_{1}\right|<1, \ldots,\left|x_{m}\right|<1$ и из формулы Коши следует, как и для случая одной переменной, неравенство
\[
\left|a_{k, l_{1}, \ldots, l_{m}}\right| \leqslant 1 .
\]

Поэтому специального вида степенной ряд, не зависящий от $k$,
\[
g(x)=g_{k}(x)=\sum_{l} x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{m}^{l_{m}}=\prod_{k=1}^{m}\left(1-x_{k}\right)^{-1}
\]

будет мажорантой для любого из рядов $f_{k}(x)$. Так как правые части уравнений
\[
\dot{y}_{k}=g(y), \quad y_{k}(0)=0 \quad(k=1, \ldots, m)
\]

не зависят от $k$, то их решения $y_{k}(t)$ даются одним степенным рядом $y=y(t)$, удовлетворяющим уравнению
\[
\dot{y}=(1-y)^{-m}, \quad y(0)=0 .
\]

Прямое интегрирование дает
\[
1-(1-y)^{m+1}=(m+1) t, \quad y=1-[1-(m+1) t]^{1 /(m+1)} .
\]

Но соответствующий степенной ряд сходится при $|t|<(m+1)^{-1}$, и в этом круге
\[
|y| \leqslant 1-[1-(m+1)|t|]^{1 /(m+1)}<1,
\]

следовательно, тем более $\left|x_{k}(t)\right|<1$. Так как полученные с помощью рекуррентного соотношения формальные степенные ряды для $x_{k}(t)$ формально удовлетворяют системе (1) и эти степенные ряды сходятся при $|t|<(m+1)^{-1}$, то функции, представленные этими степенными рядами, являются решениями системы дифференциальных уравнений. Это доказывает теорему полностью.

Из рекуррентных формул для коэффициентов разложения решепий в стспсппой рлд по стспспям $t \quad \tau$ слсдуст, что всс эти коэффициенты действительны, если все начальные значения $\xi_{k}(k=1, \ldots, m)$ и соответствующие коэффициенты разложения функций $f_{k}(x)$ действительны. Будем считать, что это условие выполнено; пусть также $\tau$ действительно. Рассмотрим найденные решения $x_{k}(t)$ системы (1) для действительных $t \geqslant \tau$ и допустим, что все функции $x_{k}(t)(k=1, \ldots, m)$ будут регулярными на открытом справа интервале $\tau \leqslant t<t_{1}$. Пусть далее вся кривая $x=x(t)$ принадлежит при $\tau \leqslant t<t_{1}$ тому ограниченному замкнутому точечному множеству $P$ пространства $m$ измерений, на котором $m$ функций $f_{k}(x)$ комплексных переменных $x_{1}, \ldots, x_{m}$ регулярны. Нужно теперь показать, что вследствие теоремы существования $x_{k}(t)$ будут регулярными и в конечной точке $t=t_{1}$.

Так как функции $f_{k}(x)$ регулярны на $P$, то, согласно теореме о покрытии, существует такое положительное число $\rho$, что $f_{k}(x)$ будут также регулярными для всех точек $\xi$ множества $P$ в замкнутой комплексной области $\left|x_{l}-\xi_{l}\right| \leqslant \rho(l=1, \ldots, m)$; при этом $\rho$ не зависит от $\xi$. Существует, далее, такое положительное число $M$, также не зависящее от $\xi$, что в указанной области абсолютная величина $\left|f_{k}(x)\right| \leqslant M$. Выберем теперь число $t=t_{2}$ из интервала $\tau \leqslant t<t_{1}$, который удовлетворяет условию
\[
t_{1}-t_{2}<\frac{\rho}{(m+1) M},
\]

и применим в этом случае теорему существования к системе (1) с $\xi_{k}=$ $=x_{k}\left(t_{2}\right)(k=1, \ldots, m)$ и $t_{2}, \rho$ вместо $\tau, r$. Отсюда следует регулярность решения $x_{k}(t)$ в круге
\[
\left|t-t_{2}\right|<\frac{\rho}{(m+1) M}
\]

и, в частности, в точке $t_{1}$ этого круга, как мы и утверждали ранее.
Для дальнейших целей дадим найденным результатам в случае системы Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}(x, y), \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}}(x, y) \quad(k=1, \ldots, n)
\]

еще одну удобную форму, в которой выразим необходимые оценки частных производных от $E$ через оценку самой функции $E$. При этом мы воспользуемся некоторыми известными результатами теории функций. Именно, если $g(z)$ есть функция одного комплексного переменного $z$, регулярная в круге $|z-\zeta|<2 \rho$ и удовлетворяющая в нем оценке $|g(z)| \leqslant M$, то по интегральной теореме Коши будем иметь
\[
g^{\prime}(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{G} \frac{g(u) d u}{(u-z)^{2}},
\]

если $|z-\zeta|<\rho$ и если путь интегрирования $G$ является окружностью $|u-z|=\rho$ в плоскости $u$. Весь круг лежит целиком в области $\mid u-$ $-\zeta \mid<2 \rho$, поэтому имеет место оценка
\[
\left|g^{\prime}(z)\right| \leqslant M \rho^{-1} \quad(|z-\zeta|<\rho) .
\]

Если теперь предположить, что функция Гамильтона $E(x, y)$ будет аналитической в области $\left|x_{k}-\xi_{k}\right|<2 \rho,\left|y_{k}-\eta_{k}\right|<2 \rho(k=1, \ldots, n)$ относительно каждой из $2 n$ переменных $x_{1}, \ldots, y_{n}$, и что в этой области справедлива оценка $|E(x, y)|<M$, то в области $\left|x_{k}-\xi_{k}\right|<\rho$, $\left|y_{k}-\eta_{k}\right|<\rho(k=1, \ldots, n)$ имеют место оценки
\[
\left|E_{x_{l}}\right| \leqslant M \rho^{-1}, \quad\left|E_{y_{l}}\right| \leqslant M \rho^{-1} \quad(l=1, \ldots, n) .
\]

Теорема существования тогда говорит, что решения $x_{k}(t), y_{k}(t)$ системы Гамильтона (5) с начальными условиями $x_{k}(\tau)=\xi_{k}, y_{k}(\tau)=\eta_{k}$ регулярны в круге
\[
|t-\tau|<\frac{\rho^{2}}{(2 n+1) M}
\]

и в этом круге
\[
\left|x_{k}(t)-\xi_{k}\right|<\rho, \quad\left|y_{k}(t)-\eta_{k}\right|<\rho .
\]

Теорема об аналитическом продолжении решений вдоль оси $t$ принимает для системы Гамильтона следующую форму. Пусть решения $x_{k}(t), y_{k}(t)(k=1, \ldots, n)$ системы (5) будут регулярными для $\tau \leqslant$ $\leqslant t<t_{1}$ и пусть соответствующая дуга кривой, изображающей решение в пространстве $(x, y) 2 n$ измерений, принадлежит замкнутому ограниченному множеству, на котором функция Гамильтона $E(x, y)$ является регулярной; тогда $x_{k}(t), y_{k}(t)$ регулярны также для $t=t_{1}$. Этот результат мы используем при исследовании задачи трех тел.