В предыдущем параграфе мы нашли только приближенное решение задачи трех тел; теперь будем искать точные периодические решения задачи трех тел, из которых решение Хилла получается как предельный случай. Но при этом мы ограничимся только плоской задачей трех тел и примем за основу рассуждение, приведенное в начале $\S 17$. Заменим материальные точки $P_{1}$ и $P_{3}$ их общим центром инерции $P_{0}$ с массой $m_{1}+m_{3}=\mu$ и допустим, что относительное движение $P_{2}$ вокруг $P_{0}$ есть круговое, с угловой скоростью $\omega=1$. Выберем единицу массы так, чтобы $m_{1}+m_{2}+m_{3}=1$, следовательно, $m_{2}=1-\mu$ и $0<\mu<1$. Проведенное ранее рассмотрение показывает, что тогда расстояние от $P_{0}$ до $P_{2}$ должно равняться единице. Пусть расстояние от $P_{1}$
${ }^{1}$ Впервые сходимость рядов Хилла была доказана в 1874 г. А.М.Ляпуновым, который дал также интересный, оригинальный метод для построения этих рядов. Этот метод отличен и от метода Хилла, и от метода Зигеля. – Прим. перев.

до $P_{3}$ будет малым по сравнению с единицей и пусть $P_{1}$ и $P_{3}$ описывают круговые орбиты вокруг их центра инерции $P_{0}$. Мы хотим теперь доказать, что существуют строгие решения задачи трех тел, близкие к этим круговым орбитам.

Так как речь идет о плоской задаче, то для определения положения материальной точки можно ввести комплексные координаты $z_{k}$ $(k=0,1,2,3$ ), которые уже были использованы в $\S 12$, тогда действительная часть $z_{k}$ даст абсциссу, а мнимая – ординату точки $P_{k}$. При этом можно ввести систему осей, которые вращаются вокруг центра инерции трех материальных точек $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ с угловой скоростью, равной единице. Тогда
\[
m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2}+m_{3} z_{3}=0, \quad \mu z_{0}=m_{1} z_{1}+m_{3} z_{3}=-m_{2} z_{2},
\]

откуда следует
\[
z_{2}=\mu\left(z_{2}-z_{0}\right), \quad \mu\left(z_{0}-z_{3}\right)=m_{1}\left(z_{1}-z_{3}\right) .
\]

Из уравнений $(17 ; 1)$ и $(17 ; 2)$ получатся уравнения движения
\[
\ddot{z}_{k}+2 i \dot{z}_{k}-z_{k}=\sum_{l
eq k} m_{l}\left(z_{l}-z_{k}\right)\left|z_{l}-z_{k}\right|^{-3} \quad(k=1,2,3) .
\]

Так как было принято, что расстояние $r_{13}$ значительно меньше единицы, а расстояния $r_{12}$ и $r_{23}$ приблизительно равны единице и что точки $P_{0}$ и $P_{2}$ находятся (приближенно) в покое во вращающейся системе отсчета, то целесообразно сделать подстановку
\[
z_{1}-z_{3}=x, \quad z_{0}-z_{2}=1+y,
\]

где $x$ и $y$ обозначают две новые комплексные переменные. Тогда $z_{0}, z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ будут являться линейными функциями $x$ и $y$, а именно,
\[
\begin{array}{l}
z_{0}=(1-\mu)(1+y), \\
z_{1}=(1-\mu)(1+y)+\frac{m_{3}}{\mu} x, \\
z_{2}=-\mu(1+y), \\
z_{3}=(1-\mu)(1+y)-\frac{m_{1}}{\mu} x,
\end{array}
\]

и при $x=y=0$ будем иметь $z_{0}=z_{1}=z_{3}=1-\mu, z_{2}=-\mu$.

Итак, найдем в обобщенной задаче Хилла периодические решения системы (1), для которых абсолютные значения $x$ и $y$ будут достаточно малыми. Если положить для сокращения
\[
m_{1}=\delta_{1} \mu, \quad m_{3}=\delta_{3} \mu, \quad \delta_{3}=\delta, \quad \delta_{1}=1-\delta,
\]

то $0<\delta<1$ и
\[
z_{1}-z_{2}=1+y+\delta_{3} x, \quad z_{3}-z_{2}=1+y-\delta_{1} x .
\]

Из уравнений (1) для $x, y$ получим два дифференциальных уравнения
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}+2 i \dot{x}-x & =m_{2}\left(z_{2}-z_{1}\right) r_{13}^{-3}+m_{2}\left(z_{3}-z_{2}\right) r_{23}^{-3}+\mu\left(z_{3}-z_{1}\right) r_{13}^{-3}, \\
\ddot{y}+2 i \dot{y}-y & =1+\delta_{1}\left(z_{2}-z_{1}\right) r_{12}^{-3}+\delta_{3}\left(z_{2}-z_{3}\right) r_{23}^{-3},
\end{aligned}
\]

где правые части нужно выразить через $x, y$. Но теперь
\[
\begin{array}{c}
r_{13}^{2}=x \bar{x}, \quad r_{23}^{2}=\left(1+y-\delta_{1} x\right)\left(1+\bar{y}-\delta_{1} \bar{x}\right), \\
r_{12}^{2}=\left(1+y+\delta_{3} x\right)\left(1+\bar{y}+\delta_{3} \bar{x}\right),
\end{array}
\]

и разложение в ряд дает
\[
\begin{aligned}
\left(z_{3}-z_{2}\right) r_{23}^{-3} & =\left(1+y-\delta_{1} x\right)^{-1 / 2}\left(1+\bar{y}-\delta_{1} \bar{x}\right)^{-3 / 2}= \\
& =1-\frac{1}{2}\left(y-\delta_{1} x\right)-\frac{3}{2}\left(\bar{y}-\delta_{1} \bar{x}\right)+\ldots, \\
\left(z_{1}-z_{2}\right) r_{12}^{-3} & =\left(1+y+\delta_{3} x\right)^{-1 / 2}\left(1+\bar{y}+\delta_{3} \bar{x}\right)^{-3 / 2}= \\
& =1-\frac{1}{2}\left(y+\delta_{3} x\right)-\frac{3}{2}\left(\bar{y}+\delta_{3} \bar{x}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

Так как $\delta_{3}=\delta, \delta_{1}=1-\delta$, то эти ряды сходятся при $|x|+|y|<1,0 \leqslant \delta \leqslant 1$ и притом равномерно относительно $x, y$ и $\delta$, удовлетворяющих условию $|x|+|y| \leqslant \vartheta$ для каждой положительной постоянной $\vartheta<1$. Подставляя эти степенные ряды в приведенные выше уравнения для $x, y$, после простых промежуточных выкладок получим
\[
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{x}+2 i \dot{x}+\frac{1}{2}(\mu-3) x+\frac{3}{2}(\mu-1) \bar{x}+\mu x^{-1 / 2} \bar{x}^{-3 / 2}=P, \\
\ddot{y}+2 i \dot{y}-\frac{3}{2}(y+\bar{y})=Q .
\end{array}\right.
\]

При этом $P, Q$ суть степенные ряды по $x, y, \bar{x}, \bar{y}$, которые начинаются с членов второго порядка и сходятся при $|x|+|y|<1$. Коэффициенты этих рядов суть многочлены относительно $\mu$ и $\delta$ с рациональными коэффициентами.

Мы хотим найти периодические решения системы (2) и для этого заменим $x, \bar{x}, y, \bar{y}$ опять степенными рядами по новым переменным $\xi, \eta$. При этом $\xi, \eta$ должны удовлетворять, как и в предыдущем параграфе, дифференциальным уравнениям
\[
\dot{\xi}=\alpha \xi, \quad \dot{\eta}=-\alpha \eta, \quad \alpha= \pm \frac{i}{4}(\xi \eta)^{-3} .
\]

На этот раз введем обозначения
\[
\zeta_{k l}=\xi^{k+2 l} \eta^{k-2 l}, \quad \zeta_{k}=\zeta_{k 0}=(\xi \eta)^{k}
\]

и сделаем подстановку
\[
\begin{array}{ll}
x=\mu^{1 / 3}\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)^{1 / 3} \xi^{4}\left(1+\sum_{k>4} a_{k l} \zeta_{k l}\right), & y=\mu^{2 / 3} \sum_{k>3} b_{k l} \zeta_{k l}, \\
\bar{x}=\mu^{1 / 3}\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)^{1 / 3} \eta^{4}\left(1+\sum_{k>4} a_{k l} \zeta_{k,-l}\right), & \bar{y}=\mu^{2 / 3} \sum_{k>3} b_{k l} \zeta_{k,-l},
\end{array}
\]

где суммирования по $l$ ведутся при условии $2|l| \leqslant k$. Выбор знака в множителе
\[
\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)^{1 / 3}=\gamma
\]

для $x$ и $\bar{x}$ определяется выбором знака $\alpha$ в уравнениях (3). Выбор формы этой подстановки оправдывается следующим сравнением коэффициентов. Образуем производные от $x, y$ по $t$ и выразим $\dot{\xi}, \dot{\eta}$ соответственно из уравнений (3) через $\xi, \eta$, причем заметим, что множитель $\gamma$ от $t$ не зависит. Мы получим
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}=\mu^{1 / 3} \gamma \xi^{4}\left( \pm i \zeta_{3}^{-1}\right)\left[1+\sum_{k>4}(l+1) a_{k l} \zeta_{k l}\right], & \dot{y}=\mu^{2 / 3}\left( \pm i \zeta_{3}^{-1}\right) \sum_{k>3} l b_{k l} \zeta_{k l}, \\
\ddot{x}=\mu^{1 / 3} \gamma \xi^{4}\left(-\zeta_{6}^{-1}\right)\left[1+\sum_{k>4}(l+1)^{2} a_{k l} \zeta_{k l}\right], & \ddot{y}=\mu^{2 / 3}\left(-\zeta_{6}^{-1}\right) \sum_{k>3} l^{2} b_{k l} \zeta_{k l} .
\end{array}
\]

Подставим теперь ряды для $x, y, \bar{x}, \bar{y}$ и для производных от $x$, $y$ в дифференциальные уравнения (2), умножим первое уравнение
на $-\mu^{-1 / 3} \gamma^{2} \xi^{-4} \zeta_{6}$, второе уравнение – на $-\mu^{-2 / 3} \zeta_{6}$; после некоторых простых преобразований получим
\[
\begin{array}{c}
\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)\left[\sum_{k>4}(l+1)^{2} a_{k l} \zeta_{k l} \pm 2 \sum_{k>4}(l+1) a_{k l} \zeta_{k+3, l}\right]+\frac{1}{2} A+\frac{3}{2} B=f, \\
\sum_{k>3} l^{2} b_{k l} \zeta_{k l} \pm 2 \sum_{k>3} l b_{k l} \zeta_{k+3, l}+\frac{3}{2} \sum_{k>3}\left(b_{k l}+b_{k,-l}\right) \zeta_{k+6, l}=g
\end{array}
\]

здесь
\[
A=\sum_{k>4} a_{k l} \zeta_{k l}, \quad B=\sum_{k>4} a_{k l} \zeta_{k,-l},
\]
\[
\begin{array}{c}
f=\left\{(1+A)^{-1 / 2}(1+B)^{-3 / 2}-1+\frac{1}{2} A+\frac{3}{2} B\right\}+4 \zeta_{6}+ \\
+\frac{1}{2}\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)\left[(\mu-3) \zeta_{6}(1+A)+3(\mu-1) \zeta_{6,-2}(1+B)\right]- \\
-\mu^{-1 / 3}\left(1 \mp 2 \zeta_{3}\right)^{2 / 3} \zeta_{4,-1} P
\end{array}
\]
\[
g=-\mu^{-2 / 3} \zeta_{6} Q .
\]

Если разложить $(1+A)^{-1 / 2}(1+B)^{-3 / 2}$ по степеням $A$ и $B$ и внести в $P$ и $Q$ ряды для $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$, то $f$ и $g$ также станут степенными рядами по $\xi$ и $\eta$ следующей формы:
\[
f=\sum_{k \geqslant 0} f_{k l} \zeta_{k l}, \quad g=\sum_{k \geqslant 0} g_{k l} \zeta_{k l} .
\]

При этом коэффициенты $f_{k l}, g_{k l}$ будут многочленами по $a_{\varkappa \lambda}, b_{\varkappa \lambda}, \mu^{1 / 3}$ и $\delta$ с рациональными коэффициентами; разложения $P, Q$ по $x, y, \bar{x}, \bar{y}$ начинаются с членов второго порядка, а $x$ и $\bar{x}$ (соответственно $y$ и $\bar{y}$ ) имеют после подстановки общий множитель $\mu^{1 / 3}$ (соответственно $\mu^{2 / 3}$ ). Исследуем эти многочлены подробнее.

Выражение $\zeta_{k l}=\xi^{k+2 l} \eta^{k-2 l}$ имеет степень $2 k$; назовем $k$ весом $\zeta_{k l}$. Так как ряд для $P$ по $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$ начинается по меньшей мере с членов второй степени, и, с другой стороны, разложения $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$ по степеням $\xi, \eta$ начинаются с членов, вес которых будет по крайней мере равен двум, то вес членов в разложении $P$ по степеням $\xi$ и $\eta$ не меньше 4 . То же самое будет для $Q$, и тогда в силу равенства (7) при $k<10, g_{k l}=0$.

Соответственно разложение $\zeta_{4,-1} P$ начинается с членов веса $\geqslant 8$. Так как, далее, $A$ и $B$ по определению не содержат членов с весом $<5$, то фигурные скобки в выражении (6) начинаются членами с весом $\geqslant 10$. Тогда из уравнения (6) следует, что $f_{k l}=0$ при $k<8$, за исключением $f_{60}$ и $f_{6,-2}$. Нужно еще установить, через какие $a_{\varkappa \lambda}, b_{x \lambda}$ выражаются коэффициенты $f_{k l}, g_{k l}$. Для этого заметим, что разложение $P$ по $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$ начинается с членов второго порядка, и, с другой стороны, ряды для $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$ по $\xi, \eta$ начинаются членами с весом $\geqslant 2$. Следовательно, если внести степенные ряды для $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$ в $\zeta_{6} Q$, то $b_{\varkappa \lambda}$, которое входит в $y$ или $\bar{y}$, может войти только в такой член выражения $\zeta_{6} Q$, вес которого не меньше чем $\varkappa+6+2=\varkappa+8$. Поэтому для $b_{\varkappa \lambda}$, которые входят в $g_{k l}$, будет выполнено неравенство $x \leqslant k-8$. Если принять во внимание, что ряд для $x$ (соответственно для $\bar{x}$ ) содержит множитель $\xi^{4}=\zeta_{21}$ (соответственно $\eta^{4}=\zeta_{2,-1}$ ), то можно заметить, что в $g_{k l}$ войдут только такие $a_{\varkappa \lambda}$, для которых $\varkappa \leqslant k-10$. Следовательно, если обозначить для сокращения через $\mathfrak{P}(r, s)$ какой-нибудь многочлен относительно $a_{\varkappa \lambda}, b_{k l}, \mu^{1 / 3}$ и $\delta \mathrm{c} \varkappa \leqslant r, k \leqslant s$ с рациональными коэффициентами, то
\[
g_{k l}=\mathfrak{P}(k-10, k-8) \quad(k \geqslant 10) .
\]

Точно так же можно заключить, что коэффициент при $\zeta_{k l}$ в $\zeta_{4,-1} P$ имеет вид $\mathfrak{P}(k-8, k-6)$. Так как $A, B$ содержат только $a_{k l}$ и при этом $k \geqslant 5$, то коэффициенты при $\zeta_{k l}$ в фигурных скобках выражения (6) имеют форму $\mathfrak{P}(k-5,0)$. Следовательно, в силу уравнений (6),
\[
f_{k l}=\mathfrak{P}(k-5, k-6) \quad(k \geqslant 6) .
\]

Сравним теперь коэффициенты в уравнениях (4) и (5). Вводя сокращения
\[
\begin{array}{c}
F_{k l}=\left[(l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right] a_{k l}+\frac{3}{2} a_{k,-l} \mp 2 l(l+1) a_{k-3, l}-4(l+1) a_{k-6, l}-f_{k l}, \\
G_{k l}=l^{2} b_{k l} \pm 2 l b_{k-3, l}+\frac{3}{2}\left(b_{k-6, l}+b_{k-6,-l}\right)-g_{k l},
\end{array}
\]

будем иметь условия
\[
F_{k l}=0, \quad G_{k l}=0,
\]

которые выполняются для всех целых $k, l$, удовлетворяющих условию $2|l| \leqslant k$. При этом нужно положить $a_{\varkappa \lambda}=0, b_{\varkappa \lambda}=0$, если $2|\lambda|>\varkappa ;$ далее, в соответствии с нашей подстановкой, будем иметь также $a_{\varkappa \lambda}=$ $=0$ при $\varkappa<5$ и $b_{\varkappa \lambda}=0$ при $\varkappa<4$. Так как $g_{k l}=0$ при $k<10$, то условия $G_{k 0}=0$ выполняются при $k<10$, и условия $G_{k l}=0$ – при $k<4$. На том же основании $F_{k l}=0$ при $k<5$. В частности, в силу равенств (10) и (11) получаем
\[
F_{k 0}=3 a_{k 0}-4 a_{k-6,0}-f_{k 0}, \quad G_{k 0}=3 b_{k-6,0}-g_{k 0},
\]

далее
\[
\left\{\begin{aligned}
F_{k 1} & =\frac{9}{2} a_{k 1}+\frac{3}{2} a_{k,-1} \mp 4 a_{k-3,1}-8 a_{k-6,1}-f_{k 1}, \\
F_{k,-1} & =\frac{3}{2} a_{k 1}+\frac{1}{2} a_{k,-1}-f_{k,-1},
\end{aligned}\right.
\]

и отсюда также
\[
F_{k+3,1}-3 F_{k+3,-1}=\mp 4 a_{k 1}-8 a_{k-3,1}-f_{k+3,1}+3 f_{k+3,-1} \text {. }
\]

Кроме того, при $l
eq 0, \pm 1$ нужно использовать соотношение
\[
\begin{array}{l}
F_{k,-l}=\frac{3}{2} a_{k l}+\left[(1-l)^{2}+\frac{1}{2}\right] a_{k,-l} \pm \\
\quad \pm 2 l(1-l) a_{k-3,-l}-4(1-l) a_{k-6,-l}-f_{k,-l}
\end{array}
\]

уравнения (10) и (16) следует понимать как два линейных уравнения для $a_{k l}, a_{k,-l}$. Для определителя системы находим выражение
\[
\left[(l+1)^{2}+\frac{1}{2}\right]\left[(1-l)^{2}+\frac{1}{2}\right]-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=l^{2}\left(l^{2}-1\right)>0
\]
$\left(l^{2}>1\right)$, аналогичное $(17 ; 21)$ и получающееся из него заменой $2 l$ на $l$. Индукция проводится следующим образом. Пусть $r$ – натуральное число. Рассмотрим все уравнения
\[
\begin{array}{c}
G_{k l}=0 \quad(l
eq 0), \quad G_{k+6,0}=0, \\
F_{k l}=0 \quad(l
eq 1), \quad F_{k+3,1}-3 F_{k+3,-1}=0
\end{array}
\]

при $k<r$. Их левые части в соответствии с (8), (9), (10), (11), (13), (14) и (15) будут при $\varkappa<r$ многочленами относительно $a_{\varkappa \lambda}, b_{\varkappa \lambda}$; мы предположим, что эти уравнения уже имеют единственное решение. Это предположение выполняется при $r<5$ тривиальным образом в силу того, что было выбрано $a_{\varkappa \lambda}=0(\varkappa<5), b_{\varkappa \lambda}=0(\varkappa<4)$, так как $g_{k l}=$ $=0(k<10), f_{k l}=0(k<6), f_{6 l}=0(l
eq 0,-2)$. При $r=5 b_{4 l}(l
eq 0)$ и $b_{40}$ определяются однозначно из $G_{4 l}=0(l
eq 0)$ и $G_{10,0}=0$, в то время как уравнения (18) опять тривиальным образом оказываются справедливыми при $k=4$ вследствие $f_{7 l}=0$. Пусть теперь $r>5$. В силу (8), (11) и (13) $b_{r l}(l
eq 0)$ и $b_{r 0}$ при $k=r$ опять однозначно определяются из уравнений (17). Вследствие (9), (10), (13) и (16) $a_{r l}(l
eq \pm 1)$ однозначно определяются из $F_{r l}=0(l
eq \pm 1)$, и в соответствии с (9), (14) и (15) $a_{r 1}$ и $a_{r,-1}$ также однозначно определяются из $F_{r+3,1}-3 F_{r+3,-1}=0$, $F_{r,-1}=0$. Таким образом, этим приемом доказано, что наше предположение справедливо для $r+1$, если оно справедливо для $r$, а поэтому оно справедливо и для всех $r$. Из уравнений (17) и (18) при $k \geqslant 0$, $l
eq 0$ и при $k \geqslant 6, l=0$ теперь следует $G_{k l}=0$, а при $k \geqslant 0, l
eq 1$ и при $k \geqslant 3, l=1$ следует $F_{k l}=0$, в то время как в остальных случаях $k<6, l=0$ (или, соответственно, $k<3, l=1$ ), условия (12) выполняются тривиальным образом. Так как $f_{k l}$ и $g_{k l}$ были многочленами относительно $a_{\varkappa \lambda}, b_{\varkappa \lambda}, \mu^{1 / 3}$ и $\delta$ с рациональными числовыми коэффициентами и так как нахождение $a_{k l}$ и $b_{k l}$, из рекуррентных формул (17) и (18) требует только решения линейных уравнений с одними и теми же постоянными коэффициентами в левых частях, то, следовательно, все $a_{k l}$ и $b_{k l}$ получаются однозначно в виде многочленов относительно $\mu^{1 / 3}$ и $\delta$ с рациональными числовыми коэффициентами; в частности, все они будут действительными.

Доказательство сходимости для найденных рядов по переменным $x, y, \bar{x}, \bar{y}$, так же, как и для решений Хилла, проводится методом мажорант; мы не приводим здесь это доказательство, так как оно не содержит каких-либо новых идей. Можно показать [1], что рассмотренные ряды абсолютно и равномерно сходятся в области $0 \leqslant \mu \leqslant 1,0 \leqslant \delta \leqslant 1$, $|\xi|<c,|\eta|<c$, причем $c$ есть положительная постоянная, не равная нулю.
Внесем теперь решение системы (3)
\[
\xi=\rho e^{\alpha t}, \quad \eta=\rho e^{-\alpha t}, \quad \alpha= \pm \frac{i}{4} \rho^{-6} \quad(0<\rho<c)
\]

в степенные ряды для $x, y, \bar{x}$ и $\bar{y}$, причем нам нужно будет еще сдвинуть начало отсчета времени. Величины $\xi$ и $\eta$ комплексно сопряжены, следовательно, $\zeta_{k,-l}=\bar{\zeta}_{k l}$, и фактически ряды для $\bar{x}$ и $\bar{y}$ комплексно сопряжены с рядами для $x$ и $y$, так как коэффициенты $a_{k l}, b_{k l}$ получились действительными. Поэтому соответственно выбору знака $\alpha$ получаются два семейства решений плоской задачи трех тел, которые зависят от параметра $\rho(0<\rho<c)$ и имеют во вращающихся осях период $\left|\frac{\pi i}{2 \alpha}\right|=2 \pi \rho^{6}$. Нужно подчеркнуть, что эти решения существуют для произвольно выбранных $\mu$ и $\delta$ из интервалов $0 \leqslant \mu \leqslant 1,0 \leqslant \delta \leqslant 1$, поэтому не требуется никакого ограничения для величин трех масс. Следовательно, может быть и случай $\mu=\frac{2}{3}, \delta=\frac{1}{2}$, когда все массы равны.

В предельном случае $\mu=0, \delta=0$ получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо $l$ входило $2 l$ и отсутствовала особенность при $l= \pm 1$. При $\delta=0$ и $0<\mu<1$ получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Луны равна нулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное нами общее решение было найдено Мультоном другим способом, а именно, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф.