Будем исходить из системы дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, m),
\]

в которой функции $f_{k}$ не должны быть обязательно регулярными, однако в рассматриваемой действительной области определения $\mathfrak{R}$ они являются по меньшей мере непрерывно дифференцируемыми. Пусть также всюду в $\mathfrak{R}$
\[
\sum_{k=1}^{m} f_{k x_{k}}=0,
\]

что, в частности, выполняется для систем Гамильтона. Если обозначить опять через $x(t, \xi)$ решение системы (1), для которого $x(0, \xi)=\xi$,
то, согласно $\S 19$, отображение $S_{t}$ точки $\xi$ в $x(t, \xi)$ будет сохранять объем. В дальнейшем следует рассматривать только те начальные точки $\xi$, для которых траектория $x=x(t, \xi)$ будет целиком расположена в области $\mathfrak{R}$ для всех действительных $t$. Пусть $\mathfrak{M}$ – какое-нибудь множество, состоящее из таких траекторий $x(t, \xi)$, причем $t$ пробегает значения от $-\infty$ до $+\infty$; тогда $S_{t} \mathfrak{M}=\mathfrak{M}$, следовательно, $\mathfrak{M}$ является инвариантным.

В дальнейшем будут использованы некоторые теоремы из теории меры Лебега. Для произвольного множества $\mathfrak{Q}$ в $m$-мерном пространстве обозначим через $V_{a}(\mathfrak{Q})$ его внешнюю меру Лебега. Если $\mathfrak{Q}$ измеримо по Лебегу, то $V(\mathfrak{Q})$ будет обозначать меру $\mathfrak{Q}$. Будем в дальнейшем предполагать, что рассматриваемое множество траекторий $\mathfrak{M}$ имеет конечную внешнюю меру $V_{a}(\mathfrak{M})$. Обозначим через $\mathfrak{A}$ некоторое измеримое подмножество множества $\mathfrak{M}$ и положим $\mathfrak{A}_{n}=S_{n \tau} \mathfrak{A}(n=0, \pm 1, \ldots)$; при этом $\tau$ – какое-нибудь фиксированное положительное число; для краткости будем писать вместо $S_{\tau}$ просто $S$. Тогда $\mathfrak{A}_{n}$ также измеримы, и $\mathfrak{A}_{n} \subset \mathfrak{M}$. Для множеств
\[
\mathfrak{B}_{n}=\bigcup_{k \leqslant n} \mathfrak{A}_{n} \quad(n=0, \pm 1, \ldots),
\]

в которых объединение берется по всем целым числам $k \leqslant n$, очевидно, справедливо соотношение
\[
S \mathfrak{B}_{n}=\mathfrak{B}_{n+1}=\mathfrak{B}_{n} \cup \mathfrak{A}_{n+1} \supset \mathfrak{B}_{n} .
\]

Поскольку $\mathfrak{B}_{n}$ является объединением счетного числа измеримых множеств, оно также измеримо и имеет, как подмножество $\mathfrak{M}$, конечную меру. Далее, поскольку $S$ сохраняет объем, то $V\left(\mathfrak{B}_{n+1}\right)=$ $=V\left(S \mathfrak{B}_{n}\right)=V\left(\mathfrak{B}_{n}\right)$, и поэтому разность $\mathfrak{B}_{n+1}-\mathfrak{B}_{n}$ имеет меру нуль. Обозначим пересечение всех $\mathfrak{B}_{n}(n=0, \pm 1, \ldots)$ через $\mathfrak{B}_{-\infty}$; в силу $\mathfrak{B}_{n} \subset \mathfrak{B}_{n+1}$ будем иметь
\[
\mathfrak{B}_{0}-\mathfrak{B}_{-\infty}=\bigcup_{k<0}\left(\mathfrak{B}_{k+1}-\mathfrak{B}_{k}\right),
\]

и, следовательно, $\mathfrak{B}_{0}-\mathfrak{B}_{-\infty}$ также имеет меру нуль. Если положить $\mathfrak{D}=\mathfrak{A} \cap \mathfrak{B}_{-\infty}$, то вследствие $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_{0} \subset \mathfrak{B}_{0}$ получим соотношение
\[
\mathfrak{A}=\mathfrak{A} \cap \mathfrak{B}_{0}=\mathfrak{D} \cup\left(\mathfrak{A}_{0} \cap\left(\mathfrak{B}_{0}-\mathfrak{B}_{-\infty}\right)\right) .
\]

Но так как пересечение $\mathfrak{A} \cap\left(\mathfrak{B}_{0}-\mathfrak{B}_{-\infty}\right)$ заведомо имеет меру нуль, то в силу соотношения (3) и разность $\mathfrak{A}-\mathfrak{D}$ будет множеством меры нуль, т. e.
\[
V(\mathfrak{A}-\mathfrak{D})=0 \quad\left(\mathfrak{D}=\mathfrak{A} \cap \mathfrak{B}_{-\infty}\right) .
\]

Чтобы интерпретировать этот результат, рассмотрим все образы $\mathfrak{p}_{n}=S^{n} \mathfrak{p}$ точки $\mathfrak{p}$ из $\mathfrak{M}$. Для того чтобы $\mathfrak{p}$ лежало в $\mathfrak{B}_{n}$, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое целое число $k \leqslant n$, для которого $\mathfrak{p} \in \mathfrak{A}_{k}$, следовательно, $\mathfrak{p}_{-k} \in \mathfrak{A}$. Таким образом, в частности, $\mathfrak{p}$ тогда и только тогда находится в $\mathfrak{B}_{-\infty}$, если существует последовательность $k \rightarrow-\infty$ с тем же самым свойством; это означает, что существует такая последовательность целых чисел $l=l_{1}, l_{2}, \ldots$, стремящаяся к $\infty$, что $\mathfrak{p}_{l} \in \mathfrak{A}$. Из соотношения (4) теперь имеем:

В каждом измеримом подмножестве $\mathfrak{A}$ множества $\mathfrak{M}$ лежит равное ему по мере множество $\mathfrak{D}$, все точки которого $\mathfrak{p}$ имеют бесконечно много образов $\mathfrak{p}_{l}\left(l=l_{1}, l_{2}, \ldots ; l \rightarrow \infty\right)$ в $\mathfrak{A}$.

Это и есть теорема Пуанкаре о возвращении $[1,2]$. Для случая, когда $\mathfrak{M}$ само измеримо, эту теорему можно сформулировать по-другому. В $m$-мерном $x$-пространстве можно задать счетный базис $\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}, \ldots$ открытых множеств, например, рассмотреть все шары с рациональными координатами центров и рациональными радиусами. Тогда пересечения $\mathfrak{M} \cap \mathfrak{C}_{r}=\mathfrak{A}_{r}(r=1,2, \ldots)$ также измеримы. Применим теорему о возвращении к $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_{r}$ и заметим, что объединение счетного числа множеств меры нуль также является множеством меры нуль. Тогда все точки $\mathfrak{M}$, кроме точек некоторого множества меры нуль, являются предельными точками их образов $\mathfrak{p}_{n}(n=1,2, \ldots)$.

При применении теоремы о возвращении нужно иметь в виду, что $\mathfrak{M}$ должно быть инвариантным множеством конечной внешней меры, лежащим в области определения $\mathfrak{R}$. Например, если $f_{1}=1, f_{2}=0, m=$ $=2$, то множеством $\mathfrak{R}$ будет вся плоскость, а траекториями будут все прямые, параллельные оси абсцисс; но тогда из конечности $V_{a}(\mathfrak{M})$ следует, что $\mathfrak{M}$ имеет меру нуль, так что теорема о возвращении становится бессодержательной. Чтобы для данной системы (1) с помощью теоремы о возвращении получить существенные результаты, нужно столь много знать о поведении траекторий в целом (im Großen), что можно будет доказать существование измеримых инвариантных множеств с положительной конечной мерой. Для этого нужно иметь некоторое инвариантное множество $\mathfrak{M}$ с конєчной внешней мерой $V_{a}(\mathfrak{M})$ и в нем измеримое подмножество $\mathfrak{A}$ с $V(\mathfrak{A})>0$; отсюда легко получить, что инвариантное множество, образованное траекториями, проходящими через точки множества $\mathfrak{A}$, измеримо и имеет положительную конечную меру. В качестве примеров можно было бы рассмотреть стационарные несжимаемые потоки в замкнутом сосуде, а также тот случай, когда имеется устойчивое равновесное решение системы (1); здесь в качестве $\mathfrak{M}$ можно выбрать инвариантную окрестность этого решения.

Более глубокое применение дает ограниченная задача трех тел. Пусть, как и ранее, массы трех точек $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ будут $m_{1}=\mu, m_{2}=$ $=1-\mu, m_{3}=0$ при $0<\mu<1$. Точки $P_{1}$ и $P_{2}$ вращаются около их центра инерции с угловой скоростью, равной единице; пусть координаты точек $P_{1}, P_{2}$ и $P_{3}$ во вращающихся осях будут $(1-\mu, 0),(-\mu, 0)$ и $\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ), тогда расстояния $P_{3} P_{1}, P_{3} P_{2}$ и расстояние между $P_{3}$ и началом координат $P_{0}$ определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
r_{1}=\left\{\left(x_{1}+\mu-1\right)^{2}+x_{2}^{2}\right\}^{1 / 2}, \\
r_{2}=\left\{\left(x_{1}+\mu\right)^{2}+x_{2}^{2}\right\}^{1 / 2}, \quad r=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Как уже делалось в § 22, положим
\[
E=\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)+x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}-\frac{\mu}{r_{1}}-\frac{1-\mu}{r_{2}}
\]

и напишем уравнения движения точки $P_{3}$ в канонической форме
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1,2) .
\]

Отсюда следует $\dot{x}_{1}=y_{1}+x_{2}, \dot{x}_{2}=y_{2}-x_{1}$, поэтому после исключения $y_{1}, y_{2}$ функция Гамильтона принимает следующий вид:
\[
E=\frac{1}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{2}_{2}^{2}\right)-G,
\]

где
\[
G=\frac{1}{2} r^{2}+\frac{\mu}{r_{1}}+\frac{1-\mu}{r_{2}} .
\]

На каждой траектории $E$ постоянно; это и есть интеграл Якоби.
Для системы (6) определим, как и выше, сохраняющее объем отображение $S_{t}$ в пространстве четырех переменных $x_{1}, x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$. Область определения $\mathfrak{R}$ состоит из всех точек, не лежащих на двумерных плоскостях $x_{1}=1-\mu, x_{2}=0$ и $x_{1}=-\mu, x_{2}=0$. Через $\mathfrak{L}$ обозначим множество всех точек ( $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ ), для которых определенная выражением (5) функция $E$ удовлетворяет неравенству
\[
c_{1}<-E<c_{2} ;
\]

при этом $c_{1}$ и $c_{2}$ есть две положительные постоянные, для которых $c<$ $<c_{1}<c_{2}$ при достаточно большом положительном $c$. По этому определению $\mathfrak{L}$ будет открытым подмножеством $\mathfrak{R}$, и притом $\mathfrak{L}$ инвариантно, так как $E$ является интегралом. Тогда на траекториях, лежащих в $\mathfrak{L}$, в силу соотношения (7) и (9), всюду выполняется неравенство
\[
G=\frac{1}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}\right)-E>c_{1}>c .
\]

Рассмотрим теперь при фиксированном $c$ кривую $G=c$ в плоскости $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, причем $G$ определяется выражением (8); это так называемая предельная кривая Хилла. Для больших $c$ она состоит из трех простых замкнутых частей $\mathfrak{K}_{0}, \mathfrak{K}_{1}$ и $\mathfrak{K}_{2}$, которые имеют уравнения вида
\[
\begin{aligned}
r & =(2 c)^{1 / 2}+O\left(c^{-3 / 2}\right), \quad r_{1}=\mu c^{-1}+O\left(c^{-2}\right), \\
r_{2} & =(1-\mu) c^{-1}+O\left(c^{-2}\right) \quad(c \rightarrow \infty),
\end{aligned}
\]

и потому являются приближенно окружностями с радиусами $(2 c)^{1 / 2}$, $\mu c^{-1}$ и $(1-\mu) c^{-1}$ и центрами $P_{0}, P_{1}$ и $P_{2}$. Тогда двумерная область $G>c$ распадается на три непересекающиеся части, а именно внешнюю по отношению $\mathfrak{K}_{0}$ и внутренние относительно $\mathfrak{K}_{1}$ и $\mathfrak{K}_{2}$, которые мы обозначим через $\mathfrak{F}_{0}, \mathfrak{F}_{1}$ и $\mathfrak{F}_{2}$. Аналогично четырехмерная область $\mathfrak{L}$ распадается на три непересекающиеся части, $\mathfrak{L}_{0}, \mathfrak{L}_{1}, \mathfrak{L}_{2}$, каждая из которых остается инвариантной, так как преобразование $S_{t}$ непрерывно относительно $t$. Для применения теоремы о возвращении необходимо, в частности, выбрать $\mathfrak{M}=\mathfrak{L}_{1}$.

Предыдущее рассмотрение требует еще одного обобщения, так как могут встретиться траектории, при которых будут происходить столкновения. Столкновения $P_{1}$ и $P_{3}$ можно регуляризировать так же, как это сделано в § 8 для задачи трех тел. Отсюда получается, что траектории столкновения образуют в $\mathfrak{L}_{1}$ только множество меры нуль, которое можно оставить для наших целей без рассмотрения.

Координаты $x_{1}, x_{2}$ точек из $\mathfrak{L}_{1}$ принадлежат ограниченному множеству $\mathfrak{F}_{1}$. В каждой фиксированной точке $\left(x_{1}, x_{2}\right)
eq(1-\mu, 0)$ из $\mathfrak{F}_{1}$

функция $G$ конечна, и допустимые ординаты $y_{1}, y_{2}$ определяются условием
\[
2\left(G-c_{2}\right)<\left(y_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{1}\right)^{2}<2\left(G-c_{1}\right) .
\]

Этим неравенством в плоскости ( $y_{1}, y_{2}$ ) определяется круговое кольцо, площадь которого не превосходит значения $2 \pi\left(c_{2}-c_{1}\right)$, не зависящего от $x_{1}, x_{2}$. Так как площадь $\mathfrak{F}_{1}$ конечна, то мера $V\left(\mathfrak{L}_{1}\right)$ также конечна. В силу теоремы о возвращении получим, что для почти всех начальных значений из $\mathfrak{L}_{1}$ точка $P_{3}$ по прошествии произвольно больших интервалов времени опять будет занимать примерно первоначальное положение и иметь приблизительно первоначальную скорость. То же самое можно сказать о $\mathfrak{L}_{2}$. Легко также видеть, что соответствующее утверждение справедливо также и для проблемы Хилла.

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6].

В заключение приведем еще одно, восходящее к Шварцшильду [7-9], замечание о задаче $n$ тел, которое проистекает из круга идей теоремы о возвращении. В основу опять кладется система (1), для которой выполнено условие (2). Пусть $\mathfrak{A}$ – открытое множество в области определения $\mathfrak{R}$, мера которого $V(\mathfrak{A})$ конечна. Для каждого $\tau>0$ обозначим через $\mathfrak{A}^{\tau}$ множество всех точек $\mathfrak{p}$ из $\mathfrak{A}$, для которых соответствующая траектория во всем интервале времени $0 \leqslant t \leqslant \tau$ остается в $\mathfrak{A}$, т. е. $\mathfrak{p}^{t}=S_{t} \mathfrak{p} \in \mathfrak{A}(0 \leqslant t \leqslant \tau)$. Тогда для $0<\tau_{1}<\tau_{2}$, очевидно, $\mathfrak{A}^{\tau_{2}} \subset \mathfrak{A}^{\tau_{1}}$. Пересечение $\mathfrak{A}^{\tau}(\tau>0)$ обозначим через $\mathfrak{B}$. Поскольку $\mathfrak{A}^{\tau}-$ открытое подмножество множества $\mathfrak{A}$, то множество
\[
\bigcap_{\tau>0} \mathfrak{A}^{\tau}=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \mathfrak{A}^{\tau}=\mathfrak{B}
\]

измеримо, и мера $V(\mathfrak{B})$ конечна. Точки $\mathfrak{p}$ множества $\mathfrak{B}$ характеризуются тем свойством, что траектории $\mathfrak{p}^{t}$ для всех положительных $t$ остаются в $\mathfrak{A}$. Мы будем говорить, что множество $\mathfrak{B}$ является множеством точек, остающихся в будущем в $\mathfrak{A}^{1}$
${ }^{1}$ В оригинале трудная для перевода фраза «Wir wollen sagen, die Menge $\mathfrak{B}$ ist $\mathfrak{A}$ zuküftig treu». Оборот «zuküftig treu» перекликается с «inhaltstreu» – coxраняющее объем. – Прим. ред.

Тогда для каждого $\tau>0$ определяется множество $\mathfrak{B}^{\tau}=S_{\tau} \mathfrak{B}$ и для его точек $\mathfrak{p}$ имеем $\mathfrak{p}^{t} \in \mathfrak{A}(t \geqslant-\tau)$. Поэтому $\mathfrak{B}^{\tau}$ является измеримым подмножеством $\mathfrak{B}$, и опять $\mathfrak{B}^{\tau_{2}} \subset \mathfrak{B}^{\tau_{1}}$ при $0<\tau_{1}<\tau_{2}$. Следовательно, множество
\[
\bigcap_{\tau>0} \mathfrak{B}^{\tau}=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \mathfrak{B}^{\tau}=\mathfrak{D}
\]

также является измеримым подмножеством множества $\mathfrak{B}$. Но из сохранения объема при отображении методом, использованным для доказательства соотношения (4), получаем
\[
V(\mathfrak{B}-\mathfrak{D})=0 .
\]

Точки $\mathfrak{p}$ из $\mathfrak{D}$ характеризуются тем свойством, что траектории $\mathfrak{p}^{t}$ для всех действительных $t$ целиком остаются в $\mathfrak{A}$.

Иными словами, множество $\mathfrak{D}$ остается в $\mathfrak{A}$ все время ${ }^{1}$. Таким образом, формула (10) утверждает, что множество точек, сохраняющихся в будущем в $\mathfrak{A}$, превосходит множество точек, остающихся в течение всего времени в $\mathfrak{A}$, на множество меры нуль. Чтобы это утверждение не было бессодержательным, нужно, конечно, в каждом отдельном случае доказать, что $V(\mathfrak{P})>0$, а это может явиться существенной трудностью.

Применим все это к задаче $n$ тел, используя обозначения §5. Через $q_{k}(k=1, \ldots, 3 n)$ обозначим прямоугольные координаты $n$ материальных точек $P_{1}, \ldots, P_{n}$, со сквозной нумерацией, через $p_{k}$ обозначим соответствующие импульсы. По теореме о движении центра инерции можно принять, что центр инерции покоится в начале координат. В § 7 для задачи трех тел были введены относительные координаты, и теперь можно аналогично положить $x_{k}=q_{k}-q_{3 n-3+\varkappa}, y_{k}=p_{k}$ ( $k=1, \ldots, 3 n-$ $-3)$, причем $\varkappa=1,2,3$ есть вычет $k$ по модулю 3 . Функция Гамильтона есть $H=T-U$, где силовая функция $U$ задана выражением $(5 ; 2)$, а живая сила $T$ – выражением $(5 ; 10$ ). Тогда в $6 n-6$ новых координатах $x_{k}, y_{k}$ уравнения движения образуют соответствующую каноническую систему, для которой выполнено условие (2). Если опять обозначить через $r_{k l}(k, l=1, \ldots, n)$ взаимные расстояния между материальными точками $P_{k}, P_{l}(k
eq l)$, то $H$ регулярна относительно рассматриваемых переменных, если все $r_{k l}>0$. Для произвольно большого числа $s>1$
${ }^{1} \mathrm{~B}$ оригинале оборот, аналогичный отмеченному в сноске на стр. $362 ; \mathfrak{D}$ ist $\mathfrak{A}$ dauernd treu». – Прим. ред.

построим множество $\mathfrak{A}(s)$, состоящее из всех точек $x, y$ в пространстве $6 n-6$ измерений, координаты которых удовлетворяют неравенствам
\[
s^{-1}<r_{k l}<s \quad(1 \leqslant k<l \leqslant n), \quad-s<H<s .
\]

Это множество открытое. Далее, функция $U$ на $\mathfrak{A}(s)$ ограничена, а значит, ограничена и $T$, так как $T=H+U$. Следовательно, $\mathfrak{A}(s)$ имеет конечную меру и предыдущая теорема оказывается применимой. Таким образом, множество $\mathfrak{B}(s)$ всех точек, которые в будущем остаются в $\mathfrak{A}(s)$, только на множество меры нуль превосходит множество $\mathfrak{D}(s)$ точек, которые остаются все время в $\mathfrak{A}(s)$. Далее, для $s_{1}<s_{2}$ будет $\mathfrak{A}\left(s_{1}\right) \subset \mathfrak{A}\left(s_{2}\right), \mathfrak{B}\left(s_{1}\right) \subset \mathfrak{B}\left(s_{2}\right), \mathfrak{D}\left(s_{1}\right) \subset \mathfrak{D}\left(s_{2}\right)$, так что можно образовать $\lim _{s \rightarrow \infty} \mathfrak{A}(s)=\mathfrak{A}, \lim _{s \rightarrow \infty} \mathfrak{B}(s)=\mathfrak{B}, \lim _{s \rightarrow \infty} \mathfrak{D}(s)=\mathfrak{D}$ и получить соответствующее утверждение относительно $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{D}$. В этом случае $\mathfrak{B}$ есть множество тех точек $\mathfrak{p}$, для которых существует такое $s>1$, не зависящее от $t$, что траектория $\mathfrak{p}^{t}$ при всех $t \geqslant 0$ остается в области (11), причем $s$ должно еще зависеть от $\mathfrak{p}$, а для точек из $\mathfrak{D}$ неравенство (11) справедливо при всех действительных $t$. Так как $H$ является интегралом, высказанное утверждение говорит о том, что для $\mathfrak{B}$ все расстояния $r_{k l}$ для всех будущих моментов времени, а для $\mathfrak{D}$ для всех будущих и прошедших моментов времени остаются между двумя положительными границами, но эти границы должны еще зависеть от начальной точки $\mathfrak{p}$. Траектории, начинающиеся в точках множества $\mathfrak{B}$, можно назвать слабо устойчивыми в будущем, и для $\mathfrak{D}$ – абсолютно слабо устойчивыми. Таким образом получаем, что почти все решения задачи $n$ тел, слабо устойчивые в будущем, должны быть абсолютно слабо устойчивыми, т. е. слабо устойчивыми и в будущем, и в прошедшем.

Если основываться на недоказанном предположении, что планетная система абсолютно слабо устойчива, то можно сделать следующее заключение. Если планетная система захватывает материальную точку, приходящую из бесконечности, например, частицу пыли, то система, образованная добавлением этой частицы, не будет более абсолютно слабо устойчивой. Отсюда следует, что новая система не будет также слабо устойчивой в будущем, если исключить некоторое множество начальных значений, имеющее меру нуль. Следовательно, тогда пылевая частица – или планета, или Солнце, – должны быть опять выброшены, или же произойдет столкновение. Но для обсуждения важности этого результата нужно все же задуматься, действительно ли образуют абсолютно слабо устойчивые решения задачи $n$ тел при $n>2$ множество положительной меры.