Обратимся теперь к задаче представления всех канонических подстановок в параметрической форме. Рассмотрим прежде всего случай
$$|\mathfrak{B}|=\left|{\varkappa }_{k{\eta }_l}\right|eq0.$$

Тогда $n$ уравнений $x_k=x_k(\xi ,\eta ,t)$ определяют ${\eta }_l$ как функции $x,\xi ,t$, и соответствующий функциональный определитель $\left|{\eta }_{k{x}_l}\right|$ также отличен от нуля. Воспользуемся уравнением $(2;18)$, которое дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы подстановка была канонической, и выразим $v(\zeta ,t)$ как функцию $x,\xi ,t$. Если положить
$$v=v(\zeta ,t)=w(x,\xi ,t)$$

TO
$$\frac{dv}{dt}=w_t+\sum _{k=1}^n(w_{x_k}{\dot{x}}_k+w_{{\xi }_k}{\dot{\xi }}_k),$$

и $(2;18)$ дает при сравнении коэффишиентов соотношения
$$y_k=w_{x_k},{\eta }_k=-w_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,n),\mathbf{E}=E+w_t.$$

Из условия $\left|{\eta }_{k{x}_l}\right|eq0$ получим, что
$$\left|w_{{\xi }_k{x}_l}\right|eq0\text{. }$$

Если, наоборот, $w$ является функцией $x,\xi ,t$, удовлетворяющей условию (3), то решение второго уравнения (2) дает $x$ как функцию от $\xi ,\eta ,t$, и тогда первое из уравнений (2) после подстановки дает $y$ как функцию от $\xi ,\eta ,t$. При этом выполнено и условие (1). Впрочем, при выполнении условия (3) можно получить, наоборот, из первого уравнения (2) $\xi$ как функцию $x,y,t$, тогда второе уравнение даст после подстановки $\eta$ как функцию $x,y,t$. Если определить еще $\mathbf{E}$ третьим уравнением (2), то равенство $(2;18)$ будет выполнено. Итак, полученное преобразование является каноническим и удовлетворяет условию $|\mathfrak{B}|eq0$. Система (2) дает все канонические преобразования, для которых $|\mathfrak{B}|eq0$, причем $\mathbf{E}$ определяется третьим уравнением.
В качестве примера рассмотрим функцию
$$w=\sum _{k=1}^n{x}_k{\xi }_k$$

условие (3) здесь выполнено и преобразование $x_k=-{\eta }_k,y_k={\xi }_k$ $(k=1,\dots ,n)$ будет каноническим с функциональной матрицей $\mathfrak{M}=$ $=-\mathfrak{I}={\mathfrak{I}}^{-1}$. Естественно, существуют канонические преобразования и с $|\mathfrak{B}|=0$, например тождественное преобразование $z=\zeta$, для которого $\mathfrak{M}$ является единичной матрицей. В этом случае можно в предположении
$$|\mathfrak{U}|=\left|x_{k{\xi }_l}\right|eq0$$
провести рассмотрение, аналогичное использованному для случая $|\mathfrak{B}|eq0$, однако проще привести этот случай к уже рассмотренному при помощи подстановки $\xi =-{\eta }^{\ast },\eta ={\xi }^{\ast }$. Тогда функциональная матрица от $z$ как функции ${\zeta }^{\ast }$ будет равна

здесь вместо $\mathfrak{B}$ стоит — $\mathfrak{U}$, и формулы (2) будут справедливыми, если в них вместо $\xi ,\eta$ использовать ${\xi }^{\ast },{\eta }^{\ast }$. Отсюда получаются равенства
$$y_k=w_{x_k},{\xi }_k=w_{{\eta }_k}(k=1,\dots ,n),\mathbf{E}=E+w_t,$$

причем $w=w(x,\eta ,t)$ и
$$\left|w_{\eta x_l}\right|eq0.$$

Таким образом, мы получили все канонические преобразования с $|\mathfrak{U}|eq0$. В частности,
$$w=\sum _{k=1}^n{x}_k{\eta }_k$$

соответствует тождественному преобразованию $z=\zeta$. Мы не будем рассматривать случай, когда оба определителя $|\mathfrak{U}|$ и $|\mathfrak{B}|$ равны 0; заметим только, что каждое каноническое преобразование можно составить из двух таких же с $|\mathfrak{U}|eq0$ или $|\mathfrak{B}|eq0$.

Наша дальнейшая цель — возможно более упростить с помощью соответствующего канонического преобразования систему Гамильтона
$${\dot{x}}_k=E_{y_k},{\dot{y}}_k=-E_{x_k}(k=1,\dots ,n).$$

Наиболее простой вид преобразованная система Гамильтона
$${\dot{\xi }}_k={\mathbf{E}}_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-{\mathbf{E}}_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,n)$$

будет иметь в том случае, если $\mathbf{E}(\xi ,\eta ,t)=0$. Допустим, что этого можно достигнуть с помощью некоторого преобразования, для которого $|\mathfrak{U}|eq0$; тогда условие (4) выполнено, и для производящей функции $w=w(x,\eta ,t)$ получается уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби
$$E(x,w_x,t)+w_t=0,$$

причем, кроме того, $\left|w_{x_k{\eta }_l}\right|eq0$. Наоборот, если можно найти решение $w(x,\eta ,t)$ уравнения (6), которое еще зависит от $n$ параметров ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ таким образом, что определитель $\left|w_{x_k{\eta }_l}\right|$ отличен от нуля, то определенное уравнениями (4) каноническое преобразование приводит заданную систему Гамильтона (5) к виду
$${\dot{\xi }}_k=0,{\dot{\eta }}_k=0(k=1,\dots ,n).$$

Дифференциальные уравнения (7) тотчас же интегрируются, и ${\xi }_k,{\eta }_k$ становятся константами интегрирования. Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона приводится к решению дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. Однако при этом не следует забывать, что необходимо взять не общее решение уравнения (6), а только решение с $n$ параметрами ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$, которое удовлетворяет условию $\left|w_{x_k{\eta }_l}\right|eq0$. Это также является упрощением, так как полное решение дифференциальных уравнений Гамильтона (5) требует прежде всего $2n$ постоянных интегрирования.

Всегда ли существует вообще такое каноническое преобразование, которое заданную систему (5) переводит в нормальную форму (7)? Как будет далее показано, на этот вопрос следует ответить утвердительно.

Рассмотрим сначала вообще систему дифференциальных уравнений первого порядка
$${\dot{z}}_k=g_k(z,t)(k=1,\dots ,m)$$

с $m$ неизвестными функциями $z_k=z_k(t)$. Для заданных начальных значений $t=\tau ,z=\zeta$ по теореме существования обязательно существует единственное решение $z=z(\zeta ,t)$, если выполнены условия Липшица и область изменения переменных в достаточной мере ограничена. Закрепим $\tau$ и рассмотрим $\zeta ,t$ как независимые переменные. В силу дифференциальных уравнений при $z=z(\zeta ,t)$ имеем
$$z_{kt}=g_k(z,t),$$

и, следовательно, также
$$z_{kt{\zeta }_l}=\sum _{r=1}^m{g}_{k{z}_r}{z}_{r{\zeta }_l}(k=1,\dots ,m,l=1,\dots ,m).$$

Если положить еще
$$z_{\zeta }=\Vert z_{k{\zeta }_l}\Vert =\mathfrak{M},g_z=\Vert g_{k{z}_l}\Vert =\mathfrak{G},$$

то отсюда для функциональной матрицы $\mathfrak{M}$ как функции $t$ при постоянном $\zeta$ получается однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка
$${\mathfrak{M}}_t=\mathfrak{G}\mathfrak{M}.$$

Так как соотношение $z(\zeta ,\tau )=\zeta$ справедливо тождественно относительно $\zeta$, то $\mathfrak{M}=\mathfrak{G}$ для $t=\tau$.
В системе Гамильтона $\dot{z}=\mathfrak{I}{E}_z$ имеем $m=2n$, и
$$\mathfrak{G}=\mathfrak{I}{E}_{zz}=\mathfrak{I}\left(E_{z_k{z}_l}\right),$$

следовательно, матрица
$$\mathfrak{I}\mathfrak{G}=-E_{zz}$$

симметрична. Тогда из (9) следует симметрия матрицы
$${\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{I}\mathfrak{M}={\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{J}\mathfrak{M}{}_t$$

и соотіошение
$${\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{I}{\mathfrak{M}}_t={\left({\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{I}{\mathfrak{M}}_t\right)}^{\prime }={\mathfrak{M}}_t^{\prime }{\mathfrak{I}}^{\prime }\mathfrak{M}=-{\mathfrak{M}}_t^{\prime }\mathfrak{I}\mathfrak{M}.$$

Таким образом, ${\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{I}\mathfrak{M}$ не зависит от $t$; так как $\mathfrak{M}=\mathfrak{E}$ для $t=\tau$, то справедливо равенство
$${\mathfrak{M}}^{\prime }\mathfrak{I}\mathfrak{M}=\mathfrak{I}.$$

Следовательно, преобразование $z=z(\zeta ,t)$ будет каноническим. В соответствии с $(2;21)$ и (8) оно переводит, с другой стороны, данную систему в $\dot{\zeta }=0$. Если $t$ достаточно близко к $\tau$, определитель $|\mathfrak{U}|=\left|x_{k{\xi }_l}\right|$ отличен от нуля, так как он для $t=\tau$ равен 1 . Поэтому преобразование $z=z(\zeta ,t)$ может быть получено решением дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби (6) вместе с уравнениями (4).

Если не удается прямо найти интеграл $w(x,\eta ,t)$ дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби, то иногда задачу можно упростить следующим образом. Пусть функция Гамильтона $E(x,y,t)$ состоит из двух слагаемых:
$$E(x,y,t)=F(x,y,t)+G(x,y,t)$$

и пусть соответствующее первому слагаемому уравнение ГамильтонаЯкоби
$$F(x,w_x,t)+w_t=0$$

имеет интеграл $w(x,\eta ,t)$ с $\left|w_{x_k{\eta }_l}\right|eq0$. При соответствующем каноническом преобразовании (4) имеем тогда
$$\mathbf{E}=E+w_t=F+G+w_t=G,$$

и заданная система (5) переходит в систему
$$\dot{{\xi }_k}=G_{{\eta }_k},{\dot{\eta }}_k=-G_{{\xi }_k}(k=1,\dots ,n),$$

где $G$ нужно рассматривать как функцию от $\xi ,\eta ,t$. При известных условиях эту систему можно прямо решить; в противном случае функцию $G$ можно опять подходящим образом разложить и тем самым провести процесс преобразования еще раз. Весьма возможно, что подобным способом удастся разложить функцию $E(x,y,t)$ на конечное или бесконечное количество таких слагаемых, что соответствующие им уравнения Гамильтона-Якоби можно будет каждый раз разрешить. Если даже при бесконечном количестве шагов этот процесс не будет сходиться, то может все-таки случиться, что прекращение этого процесса на определенной стадии даст нам приемлемое приближенное решение.

В предшествующих исследованиях теорему существования для неявных функций мы использовали без точного определения области изменения переменных. Было только отмечено условие, согласно которому некоторые функциональные определители должны быть отличными от нуля; результаты имели поэтому только локальный характер. В каждом конкретном случае для получения соответствующих величин необходимо проводить дополнительно особое рассмотрение.