Обратимся теперь к задаче представления всех канонических подстановок в параметрической форме. Рассмотрим прежде всего случай
\[
|\mathfrak{B}|=\left|\varkappa_{k \eta_{l}}\right|
eq 0 .
\]

Тогда $n$ уравнений $x_{k}=x_{k}(\xi, \eta, t)$ определяют $\eta_{l}$ как функции $x, \xi, t$, и соответствующий функциональный определитель $\left|\eta_{k x_{l}}\right|$ также отличен от нуля. Воспользуемся уравнением $(2 ; 18)$, которое дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы подстановка была канонической, и выразим $v(\zeta, t)$ как функцию $x, \xi, t$. Если положить
\[
v=v(\zeta, t)=w(x, \xi, t)
\]

TO
\[
\frac{d v}{d t}=w_{t}+\sum_{k=1}^{n}\left(w_{x_{k}} \dot{x}_{k}+w_{\xi_{k}} \dot{\xi}_{k}\right),
\]

и $(2 ; 18)$ дает при сравнении коэффишиентов соотношения
\[
y_{k}=w_{x_{k}}, \quad \eta_{k}=-w_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n), \quad \mathbf{E}=E+w_{t} .
\]

Из условия $\left|\eta_{k x_{l}}\right|
eq 0$ получим, что
\[
\left|w_{\xi_{k} x_{l}}\right|
eq 0 \text {. }
\]

Если, наоборот, $w$ является функцией $x, \xi, t$, удовлетворяющей условию (3), то решение второго уравнения (2) дает $x$ как функцию от $\xi, \eta, t$, и тогда первое из уравнений (2) после подстановки дает $y$ как функцию от $\xi, \eta, t$. При этом выполнено и условие (1). Впрочем, при выполнении условия (3) можно получить, наоборот, из первого уравнения (2) $\xi$ как функцию $x, y, t$, тогда второе уравнение даст после подстановки $\eta$ как функцию $x, y, t$. Если определить еще $\mathbf{E}$ третьим уравнением (2), то равенство $(2 ; 18)$ будет выполнено. Итак, полученное преобразование является каноническим и удовлетворяет условию $|\mathfrak{B}|
eq 0$. Система (2) дает все канонические преобразования, для которых $|\mathfrak{B}|
eq 0$, причем $\mathbf{E}$ определяется третьим уравнением.
В качестве примера рассмотрим функцию
\[
w=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \xi_{k}
\]

условие (3) здесь выполнено и преобразование $x_{k}=-\eta_{k}, y_{k}=\xi_{k}$ $(k=1, \ldots, n)$ будет каноническим с функциональной матрицей $\mathfrak{M}=$ $=-\mathfrak{I}=\mathfrak{I}^{-1}$. Естественно, существуют канонические преобразования и с $|\mathfrak{B}|=0$, например тождественное преобразование $z=\zeta$, для которого $\mathfrak{M}$ является единичной матрицей. В этом случае можно в предположении
\[
|\mathfrak{U}|=\left|x_{k \xi_{l}}\right|
eq 0
\]
провести рассмотрение, аналогичное использованному для случая $|\mathfrak{B}|
eq 0$, однако проще привести этот случай к уже рассмотренному при помощи подстановки $\xi=-\eta^{*}, \eta=\xi^{*}$. Тогда функциональная матрица от $z$ как функции $\zeta^{*}$ будет равна

здесь вместо $\mathfrak{B}$ стоит – $\mathfrak{U}$, и формулы (2) будут справедливыми, если в них вместо $\xi, \eta$ использовать $\xi^{*}, \eta^{*}$. Отсюда получаются равенства
\[
y_{k}=w_{x_{k}}, \quad \xi_{k}=w_{\eta_{k}} \quad(k=1, \ldots, n), \quad \mathbf{E}=E+w_{t},
\]

причем $w=w(x, \eta, t)$ и
\[
\left|w_{\eta x_{l}}\right|
eq 0 .
\]

Таким образом, мы получили все канонические преобразования с $|\mathfrak{U}|
eq 0$. В частности,
\[
w=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \eta_{k}
\]

соответствует тождественному преобразованию $z=\zeta$. Мы не будем рассматривать случай, когда оба определителя $|\mathfrak{U}|$ и $|\mathfrak{B}|$ равны 0; заметим только, что каждое каноническое преобразование можно составить из двух таких же с $|\mathfrak{U}|
eq 0$ или $|\mathfrak{B}|
eq 0$.

Наша дальнейшая цель – возможно более упростить с помощью соответствующего канонического преобразования систему Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Наиболее простой вид преобразованная система Гамильтона
\[
\dot{\xi}_{k}=\mathbf{E}_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-\mathbf{E}_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

будет иметь в том случае, если $\mathbf{E}(\xi, \eta, t)=0$. Допустим, что этого можно достигнуть с помощью некоторого преобразования, для которого $|\mathfrak{U}|
eq 0$; тогда условие (4) выполнено, и для производящей функции $w=w(x, \eta, t)$ получается уравнение в частных производных Гамильтона – Якоби
\[
E\left(x, w_{x}, t\right)+w_{t}=0,
\]

причем, кроме того, $\left|w_{x_{k} \eta_{l}}\right|
eq 0$. Наоборот, если можно найти решение $w(x, \eta, t)$ уравнения (6), которое еще зависит от $n$ параметров $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ таким образом, что определитель $\left|w_{x_{k} \eta_{l}}\right|$ отличен от нуля, то определенное уравнениями (4) каноническое преобразование приводит заданную систему Гамильтона (5) к виду
\[
\dot{\xi}_{k}=0, \quad \dot{\eta}_{k}=0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Дифференциальные уравнения (7) тотчас же интегрируются, и $\xi_{k}, \eta_{k}$ становятся константами интегрирования. Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона приводится к решению дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби. Однако при этом не следует забывать, что необходимо взять не общее решение уравнения (6), а только решение с $n$ параметрами $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$, которое удовлетворяет условию $\left|w_{x_{k} \eta_{l}}\right|
eq 0$. Это также является упрощением, так как полное решение дифференциальных уравнений Гамильтона (5) требует прежде всего $2 n$ постоянных интегрирования.

Всегда ли существует вообще такое каноническое преобразование, которое заданную систему (5) переводит в нормальную форму (7)? Как будет далее показано, на этот вопрос следует ответить утвердительно.

Рассмотрим сначала вообще систему дифференциальных уравнений первого порядка
\[
\dot{z}_{k}=g_{k}(z, t) \quad(k=1, \ldots, m)
\]

с $m$ неизвестными функциями $z_{k}=z_{k}(t)$. Для заданных начальных значений $t=\tau, z=\zeta$ по теореме существования обязательно существует единственное решение $z=z(\zeta, t)$, если выполнены условия Липшица и область изменения переменных в достаточной мере ограничена. Закрепим $\tau$ и рассмотрим $\zeta, t$ как независимые переменные. В силу дифференциальных уравнений при $z=z(\zeta, t)$ имеем
\[
z_{k t}=g_{k}(z, t),
\]

и, следовательно, также
\[
z_{k t \zeta_{l}}=\sum_{r=1}^{m} g_{k z_{r}} z_{r \zeta_{l}} \quad(k=1, \ldots, m, l=1, \ldots, m) .
\]

Если положить еще
\[
z_{\zeta}=\left\|z_{k \zeta_{l}}\right\|=\mathfrak{M}, \quad g_{z}=\left\|g_{k z_{l}}\right\|=\mathfrak{G},
\]

то отсюда для функциональной матрицы $\mathfrak{M}$ как функции $t$ при постоянном $\zeta$ получается однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка
\[
\mathfrak{M}_{t}=\mathfrak{G} \mathfrak{M} .
\]

Так как соотношение $z(\zeta, \tau)=\zeta$ справедливо тождественно относительно $\zeta$, то $\mathfrak{M}=\mathfrak{G}$ для $t=\tau$.
В системе Гамильтона $\dot{z}=\mathfrak{I} E_{z}$ имеем $m=2 n$, и
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{I} E_{z z}=\mathfrak{I}\left(E_{z_{k} z_{l}}\right),
\]

следовательно, матрица
\[
\mathfrak{I} \mathfrak{G}=-E_{z z}
\]

симметрична. Тогда из (9) следует симметрия матрицы
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I} \mathfrak{M}=\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{J M}{ }_{t}
\]

и соотіошение
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I} \mathfrak{M}_{t}=\left(\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I} \mathfrak{M}_{t}\right)^{\prime}=\mathfrak{M}_{t}^{\prime} \mathfrak{I}^{\prime} \mathfrak{M}=-\mathfrak{M}_{t}^{\prime} \mathfrak{I M} .
\]

Таким образом, $\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}$ не зависит от $t$; так как $\mathfrak{M}=\mathfrak{E}$ для $t=\tau$, то справедливо равенство
\[
\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{I M}=\mathfrak{I} .
\]

Следовательно, преобразование $z=z(\zeta, t)$ будет каноническим. В соответствии с $(2 ; 21)$ и (8) оно переводит, с другой стороны, данную систему в $\dot{\zeta}=0$. Если $t$ достаточно близко к $\tau$, определитель $|\mathfrak{U}|=\left|x_{k \xi_{l}}\right|$ отличен от нуля, так как он для $t=\tau$ равен 1 . Поэтому преобразование $z=z(\zeta, t)$ может быть получено решением дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби (6) вместе с уравнениями (4).

Если не удается прямо найти интеграл $w(x, \eta, t)$ дифференциального уравнения Гамильтона – Якоби, то иногда задачу можно упростить следующим образом. Пусть функция Гамильтона $E(x, y, t)$ состоит из двух слагаемых:
\[
E(x, y, t)=F(x, y, t)+G(x, y, t)
\]

и пусть соответствующее первому слагаемому уравнение ГамильтонаЯкоби
\[
F\left(x, w_{x}, t\right)+w_{t}=0
\]

имеет интеграл $w(x, \eta, t)$ с $\left|w_{x_{k} \eta_{l}}\right|
eq 0$. При соответствующем каноническом преобразовании (4) имеем тогда
\[
\mathbf{E}=E+w_{t}=F+G+w_{t}=G,
\]

и заданная система (5) переходит в систему
\[
\dot{\xi_{k}}=G_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-G_{\xi_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $G$ нужно рассматривать как функцию от $\xi, \eta, t$. При известных условиях эту систему можно прямо решить; в противном случае функцию $G$ можно опять подходящим образом разложить и тем самым провести процесс преобразования еще раз. Весьма возможно, что подобным способом удастся разложить функцию $E(x, y, t)$ на конечное или бесконечное количество таких слагаемых, что соответствующие им уравнения Гамильтона-Якоби можно будет каждый раз разрешить. Если даже при бесконечном количестве шагов этот процесс не будет сходиться, то может все-таки случиться, что прекращение этого процесса на определенной стадии даст нам приемлемое приближенное решение.

В предшествующих исследованиях теорему существования для неявных функций мы использовали без точного определения области изменения переменных. Было только отмечено условие, согласно которому некоторые функциональные определители должны быть отличными от нуля; результаты имели поэтому только локальный характер. В каждом конкретном случае для получения соответствующих величин необходимо проводить дополнительно особое рассмотрение.