Чтобы доказать лемму, которой мы пользовались в предыдущем параграфе, мы должны построить преобразование $U$, вид которого указан в $(1 ; 12)$, и вывести требуемые оценки. Выбор $U$ мотивирован желанием преобразовать отображение $M$ вида $(1 ; 3)$ в закручивающее отображение $\xi_{1}=\xi+\eta, \eta_{1}=\eta$; как легко проверить, это эквивалентно тому, что функции $u, v$ в $(1 ; 12)$ удовлетворяют функциональным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
u(\xi+\eta, \eta)=u+v+f(\xi+u, \eta+v), \\
v(\xi+\eta, \eta)=v+g(\xi+u, \eta+v) .
\end{array}
\]

Эти уравнения, однако, нелинейны и в явном виде не решаются. Поэтому мы заменим их линейными уравнениями
\[
\left\{\begin{array}{l}
u(\xi+\omega, \eta)-u(\xi, \eta)-v(\xi, \eta)=f(\xi, \eta) \\
v(\xi+\omega, \eta)-v(\xi, \eta)=g(\xi, \eta)-g^{*}(\eta)
\end{array}\right.
\]

которые вскоре решим и используем для определения $U$. Здесь $g^{*}$ обозначает среднее значение $(2 \pi)^{-1} \int_{0}^{2 \pi} g(\xi, \eta) d \xi$, которое мы вычли из правой части второго уравнения для того, чтобы оно стало разрешимым. Конечно, после такого упрощения отображение $U^{-1} M U$ больше уже не будет закручивающим, но аппроксимирует его достаточно хорошо, так что имеет место оценка $(1 ; 14)$.

Изучение системы (1) немедленно приводит к разностному уравнению
\[
w(x+\omega)-w(x)=h(x),
\]

где функции $w, h$ предполагаются аналитическими при $|\operatorname{Im} x|<r$ и имеющими период $2 \pi$ по $x$. Это уравнение, очевидно, только тогда имеет решение $w$, когда среднее значение $h^{*}$ функции $h$ обращается в нуль. При этих предположениях мы решаем (2) посредством разложения в ряд Фурье. Подставляя
\[
h=\sum_{k
eq 0} h_{k} e^{i k x}, \quad w=\sum_{k
eq 0} w_{k} e^{i k x},
\]

получаем из (2) соотношение
\[
w_{k}=\frac{h_{k}}{e^{i k \omega}-1},
\]

после чего нужно только проверить сходимость ряда для $w$. Так как $\omega$ удовлетворяет условию $(1 ; 6)$, то знаменатели $e^{i k \omega}-1$ не обращаются в нуль при $k
eq 0$ и даже допускают оценку
\[
\left|e^{i k \omega}-1\right|=2\left|\sin \frac{k \omega}{2}\right| \geqslant 4 c_{0}|k|^{-\mu} .
\]

С другой стороны, так как $h$ – вещественно-аналитическая функция, то ее коэффициенты Фурье $h_{k}$ экспоненциально убывают. Действительно,
\[
h_{k}=\frac{1}{2 \pi} \int h(x) e^{-i k x} d x
\]

где интеграл берется по пути $\operatorname{Im} x=r^{\prime}, 0 \leqslant \operatorname{Re} x \leqslant 2 \pi$ и, согласно теореме Коши, не зависит от $r^{\prime}$ при $\left|r^{\prime}\right|<r$. Если $|h|<K$ при $|\operatorname{Im} x|<r$, To
\[
\left|h_{k}\right| \leqslant K e^{k r^{\prime}}
\]

и устремляя $r^{\prime} \mathrm{K} \pm r$, мы получаем оценку
\[
\left|h_{k}\right| \leqslant K e^{-|k| r} .
\]

В силу (3), (4) сходимость ряда Фурье для $w$ при $|\operatorname{Im} x|<r$ становится очевидной. Кроме того, в более узкой полосе $|\operatorname{Im} x|<\rho$ $(0<\rho<r)$ мы имеем неравенство
\[
|w| \leqslant \sum_{k
eq 0}\left|\frac{h_{k}}{e^{i k \omega}-1} e^{i k x}\right| \leqslant \frac{K}{c_{0}} \sum_{k=1}^{\infty} k^{\mu} e^{-k(r-\rho)},
\]

приводящее к оценке
\[
|w| \leqslant c_{1} K(r-\rho)^{-\mu-1}(|\operatorname{Im} x|<\rho) .
\]

Решение, которое мы построили, было нормализовано так, чтобы его среднее значение равнялось нулю; ясно, что уравнение (2) определяет решение $w$ с точностью до аддитивной постоянной. Последнее утверждение имеет место даже в классе непрерывных функций. Действительно, уравнение $w(x+\omega)-w(x)=0$ приводит к тому, что $w(k \omega)=w(0)$ для всех целых $k$, и так как множество чисел $k \omega$ по $\bmod 2 \pi$ всюду плотно, то непрерывное решение однородного уравнения есть константа. Обозначим нормализованное решение уравнения (2) со средним значением нуль через $w=L h$; тогда найденная выше оценка примет вид
\[
|L h| \leqslant c_{1} K(r-\rho)^{-\mu-1}(|\operatorname{Im} x|<\rho, 0<\rho<r) .
\]

Эти утверждения могут быть распространены на разностное уравнение
\[
w(x+\omega, y)-w(x, y)=h(x, y)-h^{*}(y),
\]

в котором $y$ присутствует в качестве параметра. В этом случае мы опять имеем единственное решение $w$ со средним значением нуль, обозначаемое через $L h$, и оценка для него выводится очевидным образом.

Чтобы решить уравнения (1), мы начинаем со второго уравнения, решение которого представляется в виде
\[
v(\xi, \eta)=v^{*}(\eta)+L g
\]

с произвольным средним значением $v^{*}(\eta)$.
Для того чтобы первое уравнение было разрешимо, полагаем $-v^{*}=f^{*}$. Отсюда $v=-f^{*}+L g$, и в качестве решения первого уравнения мы получаем функцию $u=L(v+f)=L^{2} g+L f$.
Таким образом, решения (1) даются формулами
\[
u=L f+L^{2} g, \quad v=-f^{*}+L g .
\]

Найденные функции мы используем для определения $U$ при помощи $(1 ; 12)$.

Заметим, что $u, v$ – вещественно-аналитические функции, имеющие период $2 \pi$ по $\xi$, и остается проверить требуемую оценку $(1 ; 15)$ для $u, v$, равно как и оценку $(1 ; 14)$ для соответствующих функций $\varphi, \psi$. Сохраняя предположения и обозначения предыдущего параграфа, мы имеем в области $\mathfrak{A}$ неравенство $|f|+|g|<d$, так что последовательно применяя (5) с $r-\frac{r-\rho}{16}$ и $r-\frac{r-\rho}{8}$ вместо $\rho$, получим из (6) оценку
\[
|u|+|v|<c_{2}(r-\rho)^{-2 \mu-2} d, \quad\left(|\operatorname{Im} \xi|<r-\frac{r-\rho}{8},|\eta-\omega|<s\right)
\]

с константой $c_{2}$, зависящей только от $c_{0}, \mu$. Используя оценку Коши для производных $u, v$ в области $\mathfrak{A}^{(1)}$, определенной в $(1 ; 9)$, имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|u_{\xi}\right|+\left|v_{\xi}\right|<c_{3}(r-\rho)^{-2 \mu-3} d, \\
\left|u_{\eta}\right|+\left|v_{\eta}\right|<c_{3}(r-\rho)^{-2 \mu-2} \frac{d}{s},
\end{array}
\]

где $c_{3}>c_{2}$; здесь мы также использовали, что $3 \sigma<s$. С помощью этой константы $c_{3}$ определяем
\[
\theta=c_{3}(r-\rho)^{-2 \mu-2} \frac{d}{s}
\]

так же, как в $(1 ; 11)$, и, используя $(1 ; 10)$, переписываем предыдущие неравенства, справедливые в $\mathfrak{A}^{(1)}$, в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
|u|+|v|<\theta s, \\
\left|u_{\xi}\right|+\left|v_{\xi}\right|<\theta \frac{s}{r-\rho}<\theta, \quad\left|u_{\eta}\right|+\left|v_{\eta}\right|<\theta .
\end{array}\right.
\]

Первое неравенство в (7) совпадает с $(1 ; 15)$, откуда также следует, что $U$ отображает $\mathfrak{B}$ в $\mathfrak{A}^{(3)}$. В самом деле, если $|\operatorname{Im} \xi|<\rho,|\eta-\omega|<\sigma$, то для точки $(x, y)$ – образа точки $(\xi, \eta)$ – имеем оценку
\[
|\operatorname{Im} x|<\rho+\theta s, \quad|y-\omega|<\sigma+\theta s,
\]

и для доказательства того, что ( $x, y$ ) лежит в $\mathfrak{A}^{(3)}$, придется только проверить, что
\[
\theta s<\frac{r-\rho}{4}, \quad \theta s<\frac{s-\sigma}{4} .
\]

Эти же неравенства сразу следуют из $(1 ; 10)$ при условии, что $\theta<\frac{1}{6}$. Аналогично, чтобы проверить, что $M$ отображает $\mathfrak{A}^{(3)}$ в $\mathfrak{A}^{(2)}$, мы, используя $(1,3),(1,9)$, находим, что
\[
\begin{aligned}
\left|\operatorname{Im} x_{1}\right| & <r^{(3)}+|\operatorname{Im} y|+d<r^{(3)}+s^{(3)}+d, \\
\left|y_{1}-\omega\right| & <s^{(3)}+d,
\end{aligned}
\]

так что остается только проверить неравенства
\[
s^{(3)}+d<\frac{r-\rho}{4}, \quad d<\frac{s-\sigma}{4} .
\]

Второе из них является очевидным следствием $(1 ; 10)$; в свою очередь из него, используя снова $(1 ; 10)$, мы получаем
\[
s^{(3)}+d=s-\frac{3(s-\sigma)}{4}+d<s<\frac{r-\rho}{4},
\]

что и требовалось.
Наконец, мы покажем, что $U^{-1}$ определено в области $\mathfrak{A}^{(2)}$ и отображает ее в $\mathfrak{A}^{(1)}$. Другими словами, предположив, что $(x, y) \in \mathfrak{A}^{(2)}$, мы должны построить решение $(\xi, \eta)$ уравнения $(1 ; 12)$ в $\mathfrak{A}^{(1)}$. Для этой
цели используем обычную итерационную схему; определяем $\xi_{k}, \eta_{k}$ по индукции, начиная с $\xi_{0}=x, \eta_{0}=y$ и полагая
\[
\xi_{k+1}=x-u\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right), \quad \eta_{k+1}=y-v\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right), \quad(k=0,1, \ldots) .
\]

Мы должны показать, что $\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right)$ остается в $\mathfrak{A}^{(1)}$. Для $k=0$ это очевидно; предполагая, что это утверждение будет верно для ( $\left.\xi_{
u}, \eta_{
u}\right)$ с $
u \leqslant k$, находим из (7), что
\[
\left|\xi_{k+1}-\xi_{k}\right|+\left|\eta_{k+1}-\eta_{k}\right|<\theta\left(\left|\xi_{k}-\xi_{k-1}\right|+\left|\eta_{k}-\eta_{k-1}\right|\right) \quad(k=1,2, \ldots)
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\left|\xi_{k+1}-x\right|+\left|\eta_{k+1}-y\right| & \leqslant \sum_{n=0}^{k}\left(\left|\xi_{n+1}-\xi_{n}\right|+\left|\eta_{n+1}-\eta_{n}\right|\right) \leqslant \\
& \leqslant \frac{1}{1-\theta}(|u|+|v|)<\frac{\theta}{1-\theta} s .
\end{aligned}
\]

По предположению $\theta<\frac{1}{7}$, а значит последняя величина меньше, чем $\frac{s}{6}$. Как и раньше, проверяются неравенства
\[
\frac{s}{6}<\frac{r-\rho}{4}, \frac{s-\sigma}{4},
\]

которые гарантируют, что $\left(\xi_{k+1}, \eta_{k+1}\right) \in \mathfrak{A}^{(1)}$.
Таким образом, все итерации $\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right.$ ) остаются в $\mathfrak{A}^{(1)}$, и так как $\theta<1$, то они сходятся в той же области к решению $(\xi, \eta)$. Ясно, что это решение единственно, и наше утверждение о том, что $U^{-1}$ отображает $\mathfrak{A}^{(2)}$ в $\mathfrak{A}^{(1)}$, доказано.

Теперь перейдем к основной части леммы – а именно к проверке оценки $(1 ; 14)$.

Здесь мы будем уже существенно использовать свойство пересечения, а именно при доказательстве того, что добавочный член $g^{*}$, введенный в (1), достаточно мал и не влияет на соответствующую оценку.

Напомним, что отображение $(1 ; 13)$, которое мы обозначаем символически через $N$, задается формулой $N=U^{-1} M U$, и уравнение $U N=$ $=M U$ в подробной записи имеет вид
\[
\begin{aligned}
\xi+\eta+\varphi+u_{1} & =\xi+u+\eta+v+f(\xi+u, \eta+v), \\
\eta+\psi+v_{1} & =\eta+v+g(\xi+u, \eta+v),
\end{aligned}
\]

где $u_{1}=u(\xi+\eta+\varphi, \eta+\psi), v_{1}=v(\xi+\eta+\varphi, \eta+\psi)$.

Упрощая эти выражения, приходим к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\varphi=u-u_{1}+v+f(\xi+u, \eta+v), \\
\psi=v-v_{1}+g(\xi+u, \eta+v),
\end{array}
\]

которые неявно определяют функции $\varphi, \psi$ в области $\mathfrak{B}$. Учитывая уравнения (1), определяющие $u, v$, мы получаем равенства
\[
\left\{\begin{array}{l}
\varphi=u(\xi+\omega, \eta)-u_{1}+f(\xi+u, \eta+v)-f(\xi, \eta), \\
\psi=v(\xi+\omega, \eta)-v_{1}+g(\xi+u, \eta+v)-g(\xi, \eta)+g^{*}(\eta),
\end{array}\right.
\]

на которых основываем наши оценки. Предполагается, конечно, что переменные $(\xi, \eta)$ меняются в $\mathfrak{B}$ и поэтому удовлетворяют неравенствам $(1 ; 8)$.

Вклад функций $u, v$ в правые части уравнений системы (8) может быть оценен при помощи теоремы о среднем значении, а именно:
\[
\begin{aligned}
\left|u(\xi+\omega, \eta)-u_{1}\right| & \leqslant \sup \left|u_{\xi}\right|(|\eta-\omega|+|\varphi|)+\sup \left|u_{\eta}\right||\psi|< \\
& <\theta \frac{s}{r-\rho}|\eta-\omega|+\theta(|\varphi|+|\psi|),
\end{aligned}
\]

где верхние грани частных производных $u, v$ берутся в $\mathfrak{A}^{(1)}$, а последнее неравенство следует из (7). Точно такая же конечная оценка получается для соответствующего вклада функции $v$. Вспоминая, что $|f|+|g|<d$ в $\mathfrak{A}$, мы можем, используя неравенства Коши, оценить по модулю производные функций $f, g$ в $\mathfrak{A}^{(3)}$ величиной $2 \frac{d}{s}$, так что, применяя опять теорему о среднем значении и оценку (7), получим неравенство
\[
|f(\xi+u, \eta+v)-f(\xi, \eta)|<2 \frac{d}{s}(|u|+|v|)<2 \theta d
\]

и такую же оценку для соответствующего вклада функции $g$. Неприятное среднее значение $g^{*}(\eta)$ аппроксимируем линейной функцией
\[
h(\eta)=g^{*}(\omega)+g_{\eta}^{*}(\omega)(\eta-\omega),
\]

которую мы оценим позднее, используя свойство пересечения. Из (8) и предыдущих оценок теперь имеем
\[
\begin{aligned}
|\varphi|+|\psi-h|<2 \theta(|\varphi|+|\psi-h|)+ & 2 \theta|h|+ \\
& +2 \theta \frac{s}{r-\rho}|\eta-\omega|+4 \theta d+\left|g^{*}-h\right| .
\end{aligned}
\]

Так как $2 \theta<\frac{1}{3}<1$, то можно исключить $|\varphi|+|\psi-h|$ из правой части и, вспоминая, что $|\eta-\omega|<\sigma<s$, переписать это неравенство в виде
\[
|\varphi|+|\psi-h|<c_{4}\left\{\theta \frac{s}{r-\rho} s+\theta|h|+\theta d+\left|g^{*}-h\right|\right\} .
\]

Для того чтобы получить предварительные оценки функций $h(\eta)$ и $\left|g^{*}-h\right|$, заметим, что при $|\eta-\omega|<s$ будет $\left|g^{*}(\eta)\right|<d$ и поэтому, согласно неравенству Коши, $\left|g_{\eta}^{*}(\omega)\right|<d / s$, в то время как при $|\eta-\omega|<\sigma$ будет $\left|g_{\eta \eta}^{*}\right|<2 d /(s-\sigma)^{2}$. Следовательно, используя неравенство $3 \sigma<s$, имеем при $|\eta-\omega|<\sigma$
\[
|h(\eta)|<d+\frac{d}{s} \sigma<2 d
\]

и
\[
\left|g^{*}-h\right| \leqslant \frac{\sigma^{2}}{2} \sup \left|g_{\eta \eta}^{*}\right|<\left(\frac{\sigma}{s-\sigma}\right)^{2} d<3\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d .
\]

Комбинируя эти оценки с предыдущими, мы теперь получим неравенство
\[
\begin{aligned}
& |\varphi|+|\psi-h|<c_{4}\left\{\theta \frac{s}{r-\rho} s+2 \theta d+\theta d+3\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d\right\}= \\
= & c_{4}\left\{\frac{\theta}{r-\rho}\left(s^{2}+3(r-\rho) d\right)+3\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d\right\} \leqslant c_{5}\left\{\frac{\theta}{r-\rho}\left(s^{2}+d\right)+\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d\right\},
\end{aligned}
\]

которое с учетом соотношения $(1 ; 11)$ для $\theta$ преобразуется к виду
\[
|\varphi|+|\psi-h|<c_{5}\left\{c_{3}(r-\rho)^{-2 \mu-3}\left(s d+\frac{d^{2}}{s}\right)+\left(\frac{\sigma}{s}\right)^{2} d\right\}=Q,
\]

где правая часть неравенства является также определением $Q$.
Предварительная оценка для $|h|$ константой $2 d$, однако, недостаточна для достижения необходимой малости остаточного члена, и чтобы получить лучшую оценку, мы используем свойство пересечения, которым обладают преобразования $M$ и $N=U^{-1} M U$. В силу этого свойства каждая кривая $\eta=$ const пересекается со своим образом относительно преобразования $N$; в точке пересечения $\eta_{1}=\eta$ или $\psi=0$, так что для каждого действительного $\eta$ в кольце $|\eta-\omega|<\sigma$ существует действительное $\xi=\xi_{0}(\eta)$, такое, что $\psi\left(\xi_{0}(\eta), \eta\right)=0$. Применяя (9) в такой точке $\left(\xi_{0}(\eta), \eta\right)$, мы находик, что
\[
|h(\eta)|<Q \quad(\omega-\sigma<\eta<\omega+\sigma) .
\]

Следовательно, полагая в определении $h$ сначала $\eta=\omega$, а затем устремляя $\eta$ к $\omega+\sigma$, мы получим соответственно неравенства $\left|g^{*}(\omega)\right|<Q$ и
\[
\left|g^{*}(\omega)+g_{\eta}^{*}(\omega) \sigma\right| \leqslant Q,
\]

так что
\[
\left|g_{\eta}^{*}(\omega) \sigma\right|<2 Q .
\]

Отсюда мы заключаем, что для комплексного $\eta$ в круге $|\eta-\omega|<\sigma$ выполняется оценка
\[
|h(\eta)| \leqslant\left|g^{*}(\omega)\right|+\left|g_{\eta}^{*}(\omega)\right||\eta-\omega|<3 Q,
\]

из которой, согласно (9), следует, что
\[
|\varphi|+|\psi|<4 Q .
\]

Это приводит к оценке $(1 ; 14)$ с константой $c_{6}=4 c_{5}\left(c_{3}+1\right)$ и завершает доказательство леммы, а следовательно, и теоремы о существовании инвариантной кривой для случая $\gamma=1$.

Доказательство теоремы для общего случая $0<\gamma \leqslant 1$ проводится точно таким же путем. Однако при этом приходится следить за тем, как $\gamma$ входит в различные оценки. Прежде всего, чтобы найти $\omega$ в интервале
\[
\Delta: a \gamma<\omega<b \gamma
\]

длины $\gamma$ нужно модифицировать неразенство $(1 ; 6)$. Если, для примера, этот интервал содержит целое число $p$, то неравенство $(1 ; 6)$ исключает все $\omega$, находящиеся на расстоянии, меньшем $2 \pi c_{0}$ от $2 \pi p$; а если к тому же $\gamma<2 \pi c_{0}$, то весь интервал $\Delta$ будет исключен. Поэтому мы заменяем $(1 ; 6)$ неравенством
\[
\left|\frac{\omega}{2 \pi} q-p\right| \geqslant \gamma \frac{c_{0}}{q^{\mu}},
\]

где $c_{0}$ – положительная константа, не зависящая от $\gamma$. Покажем, что при $\mu>1$ и достаточно малом $c_{0}$ в любом интервале длины $\gamma$ существует число $\omega$, обладающее свойством (10). Для этого рассмотрим дополнительное множество $\Sigma$ тех $\omega$ в $\Delta$, в которых (10) нарушается по крайней мере для одной пары целых чисел $p, q$ с $q \geqslant 1$. Чтобы оценить лебегову меру $\Sigma$, мы зафиксируем $q$ и рассмотрим все $p$, для которых интервал
\[
\left|\frac{\omega}{2 \pi}-\frac{p}{q}\right|<\gamma \frac{c_{0}}{q^{\mu+1}}
\]

пересекает $\Delta$. Так как длина $\Delta-$ число $\gamma \leqslant 1$, то ясно, что при достаточно малом $c_{0}$ будет самое большее $q+1$ таких цельх $P$, так что мера $\Sigma$ может быть оценена величиной
\[
m(\Sigma)<\sum_{q=1}^{\infty}(q+1) 2 \gamma \frac{c_{0}}{q^{\mu+1}}<4 \gamma c_{0} \sum_{q=1}^{\infty} \frac{1}{q^{\mu}},
\]

которая может быть сделана меньше чем $\gamma=m(\Delta)$, если выбрать $c_{0}$ достаточно малым. Следовательно, множество $\Delta-\Sigma$ не пусто и в $\Delta$ существуют $\omega$, обладающие свойством (10). После замены $(1 ; 6)$ на (10) нам придется заменить (5) на
\[
|L h| \leqslant \gamma^{-1} c_{1} K(r-\rho)^{-\mu-1}
\]

и (6) на
\[
u=L f+\gamma L^{2} g, \quad v=-\gamma^{-1} f^{*}+L g .
\]

Однако, если мы введем $f_{0}=\gamma^{-1} f, g_{0}=\gamma^{-1} g, L_{0}=\gamma L$, то эти соотношения могут быть выражены в форме
\[
u=L_{0} f_{0}+L_{0}^{2} g_{0}, \quad v=-f_{0}^{*}+L_{0} g_{0},
\]

не содержащей $\gamma$. Проведенное выше доказательство со всеми оценками переносится на этот случай, если мы заменим функции $f, g$ на $\gamma^{-1} f$, $\gamma^{-1} g$ и аналогично функции $\varphi, \psi$ на $\gamma^{-1} \varphi, \gamma^{-1} \psi$. Условие $|f|+|g|<\delta$ для $\gamma=1$ тогда, конечно, придется заменить условием $|f|+|g|<\gamma \delta$ для $0<\gamma \leqslant 1$. После этого доказательство легко распространяется на общий случай.

В заключение мы заметим, что если отображение $(1 ; 3)$ зависит непрерывно от действительного параметра $\lambda$, т. е. если $f=f(x, y, \lambda)$, $g=g(x, y, \lambda), \gamma=\gamma(\lambda)
eq 0$ – непрерывные функции от $\lambda$, например при $|\lambda| \leqslant 1$, то инвариантная кривая также непрерывно зависит от $\lambda$. Это следует просто из того факта, что наши приближения будут сходиться равномерно относительно $\lambda$. Это наблюдение окажется полезным в последующих параграфах, в которых мы применяем теорему существования к вопросам устойчивости. Доказательство, данное в этом и предыдущем параграфах, является переложением на аналитический случай содержания работы [1], где аналогичная теорема доказана для отображений, имеющих только конечное число производных ${ }^{1}$.