Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Чтобы доказать лемму, которой мы пользовались в предыдущем параграфе, мы должны построить преобразование $U$, вид которого указан в $(1 ; 12)$, и вывести требуемые оценки. Выбор $U$ мотивирован желанием преобразовать отображение $M$ вида $(1 ; 3)$ в закручивающее отображение $\xi_{1}=\xi+\eta, \eta_{1}=\eta$; как легко проверить, это эквивалентно тому, что функции $u, v$ в $(1 ; 12)$ удовлетворяют функциональным уравнениям Эти уравнения, однако, нелинейны и в явном виде не решаются. Поэтому мы заменим их линейными уравнениями которые вскоре решим и используем для определения $U$. Здесь $g^{*}$ обозначает среднее значение $(2 \pi)^{-1} \int_{0}^{2 \pi} g(\xi, \eta) d \xi$, которое мы вычли из правой части второго уравнения для того, чтобы оно стало разрешимым. Конечно, после такого упрощения отображение $U^{-1} M U$ больше уже не будет закручивающим, но аппроксимирует его достаточно хорошо, так что имеет место оценка $(1 ; 14)$. Изучение системы (1) немедленно приводит к разностному уравнению где функции $w, h$ предполагаются аналитическими при $|\operatorname{Im} x|<r$ и имеющими период $2 \pi$ по $x$. Это уравнение, очевидно, только тогда имеет решение $w$, когда среднее значение $h^{*}$ функции $h$ обращается в нуль. При этих предположениях мы решаем (2) посредством разложения в ряд Фурье. Подставляя получаем из (2) соотношение после чего нужно только проверить сходимость ряда для $w$. Так как $\omega$ удовлетворяет условию $(1 ; 6)$, то знаменатели $e^{i k \omega}-1$ не обращаются в нуль при $k С другой стороны, так как $h$ — вещественно-аналитическая функция, то ее коэффициенты Фурье $h_{k}$ экспоненциально убывают. Действительно, где интеграл берется по пути $\operatorname{Im} x=r^{\prime}, 0 \leqslant \operatorname{Re} x \leqslant 2 \pi$ и, согласно теореме Коши, не зависит от $r^{\prime}$ при $\left|r^{\prime}\right|<r$. Если $|h|<K$ при $|\operatorname{Im} x|<r$, To и устремляя $r^{\prime} \mathrm{K} \pm r$, мы получаем оценку В силу (3), (4) сходимость ряда Фурье для $w$ при $|\operatorname{Im} x|<r$ становится очевидной. Кроме того, в более узкой полосе $|\operatorname{Im} x|<\rho$ $(0<\rho<r)$ мы имеем неравенство приводящее к оценке Решение, которое мы построили, было нормализовано так, чтобы его среднее значение равнялось нулю; ясно, что уравнение (2) определяет решение $w$ с точностью до аддитивной постоянной. Последнее утверждение имеет место даже в классе непрерывных функций. Действительно, уравнение $w(x+\omega)-w(x)=0$ приводит к тому, что $w(k \omega)=w(0)$ для всех целых $k$, и так как множество чисел $k \omega$ по $\bmod 2 \pi$ всюду плотно, то непрерывное решение однородного уравнения есть константа. Обозначим нормализованное решение уравнения (2) со средним значением нуль через $w=L h$; тогда найденная выше оценка примет вид Эти утверждения могут быть распространены на разностное уравнение в котором $y$ присутствует в качестве параметра. В этом случае мы опять имеем единственное решение $w$ со средним значением нуль, обозначаемое через $L h$, и оценка для него выводится очевидным образом. Чтобы решить уравнения (1), мы начинаем со второго уравнения, решение которого представляется в виде с произвольным средним значением $v^{*}(\eta)$. Найденные функции мы используем для определения $U$ при помощи $(1 ; 12)$. Заметим, что $u, v$ — вещественно-аналитические функции, имеющие период $2 \pi$ по $\xi$, и остается проверить требуемую оценку $(1 ; 15)$ для $u, v$, равно как и оценку $(1 ; 14)$ для соответствующих функций $\varphi, \psi$. Сохраняя предположения и обозначения предыдущего параграфа, мы имеем в области $\mathfrak{A}$ неравенство $|f|+|g|<d$, так что последовательно применяя (5) с $r-\frac{r-\rho}{16}$ и $r-\frac{r-\rho}{8}$ вместо $\rho$, получим из (6) оценку с константой $c_{2}$, зависящей только от $c_{0}, \mu$. Используя оценку Коши для производных $u, v$ в области $\mathfrak{A}^{(1)}$, определенной в $(1 ; 9)$, имеем где $c_{3}>c_{2}$; здесь мы также использовали, что $3 \sigma<s$. С помощью этой константы $c_{3}$ определяем так же, как в $(1 ; 11)$, и, используя $(1 ; 10)$, переписываем предыдущие неравенства, справедливые в $\mathfrak{A}^{(1)}$, в виде Первое неравенство в (7) совпадает с $(1 ; 15)$, откуда также следует, что $U$ отображает $\mathfrak{B}$ в $\mathfrak{A}^{(3)}$. В самом деле, если $|\operatorname{Im} \xi|<\rho,|\eta-\omega|<\sigma$, то для точки $(x, y)$ — образа точки $(\xi, \eta)$ — имеем оценку и для доказательства того, что ( $x, y$ ) лежит в $\mathfrak{A}^{(3)}$, придется только проверить, что Эти же неравенства сразу следуют из $(1 ; 10)$ при условии, что $\theta<\frac{1}{6}$. Аналогично, чтобы проверить, что $M$ отображает $\mathfrak{A}^{(3)}$ в $\mathfrak{A}^{(2)}$, мы, используя $(1,3),(1,9)$, находим, что так что остается только проверить неравенства Второе из них является очевидным следствием $(1 ; 10)$; в свою очередь из него, используя снова $(1 ; 10)$, мы получаем что и требовалось. Мы должны показать, что $\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right)$ остается в $\mathfrak{A}^{(1)}$. Для $k=0$ это очевидно; предполагая, что это утверждение будет верно для ( $\left.\xi_{ и, следовательно, По предположению $\theta<\frac{1}{7}$, а значит последняя величина меньше, чем $\frac{s}{6}$. Как и раньше, проверяются неравенства которые гарантируют, что $\left(\xi_{k+1}, \eta_{k+1}\right) \in \mathfrak{A}^{(1)}$. Теперь перейдем к основной части леммы — а именно к проверке оценки $(1 ; 14)$. Здесь мы будем уже существенно использовать свойство пересечения, а именно при доказательстве того, что добавочный член $g^{*}$, введенный в (1), достаточно мал и не влияет на соответствующую оценку. Напомним, что отображение $(1 ; 13)$, которое мы обозначаем символически через $N$, задается формулой $N=U^{-1} M U$, и уравнение $U N=$ $=M U$ в подробной записи имеет вид где $u_{1}=u(\xi+\eta+\varphi, \eta+\psi), v_{1}=v(\xi+\eta+\varphi, \eta+\psi)$. Упрощая эти выражения, приходим к уравнениям которые неявно определяют функции $\varphi, \psi$ в области $\mathfrak{B}$. Учитывая уравнения (1), определяющие $u, v$, мы получаем равенства на которых основываем наши оценки. Предполагается, конечно, что переменные $(\xi, \eta)$ меняются в $\mathfrak{B}$ и поэтому удовлетворяют неравенствам $(1 ; 8)$. Вклад функций $u, v$ в правые части уравнений системы (8) может быть оценен при помощи теоремы о среднем значении, а именно: где верхние грани частных производных $u, v$ берутся в $\mathfrak{A}^{(1)}$, а последнее неравенство следует из (7). Точно такая же конечная оценка получается для соответствующего вклада функции $v$. Вспоминая, что $|f|+|g|<d$ в $\mathfrak{A}$, мы можем, используя неравенства Коши, оценить по модулю производные функций $f, g$ в $\mathfrak{A}^{(3)}$ величиной $2 \frac{d}{s}$, так что, применяя опять теорему о среднем значении и оценку (7), получим неравенство и такую же оценку для соответствующего вклада функции $g$. Неприятное среднее значение $g^{*}(\eta)$ аппроксимируем линейной функцией которую мы оценим позднее, используя свойство пересечения. Из (8) и предыдущих оценок теперь имеем Так как $2 \theta<\frac{1}{3}<1$, то можно исключить $|\varphi|+|\psi-h|$ из правой части и, вспоминая, что $|\eta-\omega|<\sigma<s$, переписать это неравенство в виде Для того чтобы получить предварительные оценки функций $h(\eta)$ и $\left|g^{*}-h\right|$, заметим, что при $|\eta-\omega|<s$ будет $\left|g^{*}(\eta)\right|<d$ и поэтому, согласно неравенству Коши, $\left|g_{\eta}^{*}(\omega)\right|<d / s$, в то время как при $|\eta-\omega|<\sigma$ будет $\left|g_{\eta \eta}^{*}\right|<2 d /(s-\sigma)^{2}$. Следовательно, используя неравенство $3 \sigma<s$, имеем при $|\eta-\omega|<\sigma$ и Комбинируя эти оценки с предыдущими, мы теперь получим неравенство которое с учетом соотношения $(1 ; 11)$ для $\theta$ преобразуется к виду где правая часть неравенства является также определением $Q$. Следовательно, полагая в определении $h$ сначала $\eta=\omega$, а затем устремляя $\eta$ к $\omega+\sigma$, мы получим соответственно неравенства $\left|g^{*}(\omega)\right|<Q$ и так что Отсюда мы заключаем, что для комплексного $\eta$ в круге $|\eta-\omega|<\sigma$ выполняется оценка из которой, согласно (9), следует, что Это приводит к оценке $(1 ; 14)$ с константой $c_{6}=4 c_{5}\left(c_{3}+1\right)$ и завершает доказательство леммы, а следовательно, и теоремы о существовании инвариантной кривой для случая $\gamma=1$. Доказательство теоремы для общего случая $0<\gamma \leqslant 1$ проводится точно таким же путем. Однако при этом приходится следить за тем, как $\gamma$ входит в различные оценки. Прежде всего, чтобы найти $\omega$ в интервале длины $\gamma$ нужно модифицировать неразенство $(1 ; 6)$. Если, для примера, этот интервал содержит целое число $p$, то неравенство $(1 ; 6)$ исключает все $\omega$, находящиеся на расстоянии, меньшем $2 \pi c_{0}$ от $2 \pi p$; а если к тому же $\gamma<2 \pi c_{0}$, то весь интервал $\Delta$ будет исключен. Поэтому мы заменяем $(1 ; 6)$ неравенством где $c_{0}$ — положительная константа, не зависящая от $\gamma$. Покажем, что при $\mu>1$ и достаточно малом $c_{0}$ в любом интервале длины $\gamma$ существует число $\omega$, обладающее свойством (10). Для этого рассмотрим дополнительное множество $\Sigma$ тех $\omega$ в $\Delta$, в которых (10) нарушается по крайней мере для одной пары целых чисел $p, q$ с $q \geqslant 1$. Чтобы оценить лебегову меру $\Sigma$, мы зафиксируем $q$ и рассмотрим все $p$, для которых интервал пересекает $\Delta$. Так как длина $\Delta-$ число $\gamma \leqslant 1$, то ясно, что при достаточно малом $c_{0}$ будет самое большее $q+1$ таких цельх $P$, так что мера $\Sigma$ может быть оценена величиной которая может быть сделана меньше чем $\gamma=m(\Delta)$, если выбрать $c_{0}$ достаточно малым. Следовательно, множество $\Delta-\Sigma$ не пусто и в $\Delta$ существуют $\omega$, обладающие свойством (10). После замены $(1 ; 6)$ на (10) нам придется заменить (5) на и (6) на Однако, если мы введем $f_{0}=\gamma^{-1} f, g_{0}=\gamma^{-1} g, L_{0}=\gamma L$, то эти соотношения могут быть выражены в форме не содержащей $\gamma$. Проведенное выше доказательство со всеми оценками переносится на этот случай, если мы заменим функции $f, g$ на $\gamma^{-1} f$, $\gamma^{-1} g$ и аналогично функции $\varphi, \psi$ на $\gamma^{-1} \varphi, \gamma^{-1} \psi$. Условие $|f|+|g|<\delta$ для $\gamma=1$ тогда, конечно, придется заменить условием $|f|+|g|<\gamma \delta$ для $0<\gamma \leqslant 1$. После этого доказательство легко распространяется на общий случай. В заключение мы заметим, что если отображение $(1 ; 3)$ зависит непрерывно от действительного параметра $\lambda$, т. е. если $f=f(x, y, \lambda)$, $g=g(x, y, \lambda), \gamma=\gamma(\lambda)
|
1 |
Оглавление
|