Перенесем теперь определение устойчивости равновесного решения на любые другие решения системы дифференциальных уравне-
${ }^{1}$ Как показано в работе Ю.А.Рябова [Acmp. Журн., XXXIII, 1956, №6 (1936)], эти малые планеты – троянцы – имеют весьма малое отношение к треугольным точкам либрации. – Прим. перев.

ний $\dot{x}_{k}=f_{k}(x)(k=1, \ldots, m)$. Пусть $m$ функций $f_{k}(x)$ удовлетворяют условиям Липшица в области $\mathfrak{R} m$-мерного действительного $x$-пространства и пусть $x=x(t)$ – некоторое решение нашей системы, которое для всех действительных моментов времени остается в $\mathfrak{R}$. Под окрестностью этого решения будем понимать открытое подмножество $\mathfrak{U}$ множества $\mathfrak{R}$, которое содержит внутри себя всю рассматриваемую траекторию $x=x(t)$. Может случиться, что траектория проходит произвольно близко к каждой точке $\mathfrak{R}$, так что само $\mathfrak{R}$ будет единственной такой окрестностью. Чтобы устранить эту и другие подобные ей трудности, определим устойчивость только для периодических решений $x(t)$. Назовем такое периодическое решение устойчивым, если для каждой окрестности $\mathfrak{U}$ его траектории можно найти такую другую окрестность $\mathfrak{B}$, что траектория, начинающаяся в произвольной точке $\mathfrak{B}$, лежит полностью в $\mathfrak{U} ;$ при этом очевидно, что $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{U}$. Соответственно можно обобщить данные в $\S 23$ определения неустойчивости и смешанного случая. В частности, если периодическое решение является равновесным решением, то новые определения совпадают со старыми.
Для системы Гамильтона
\[
\dot{x}_{k}=E_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-E_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

можно дать более слабое определение устойчивости периодического решения $x=x(t), y=y(t)$. Пусть для этого исходного решения $E=\gamma$ и пусть $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{U}$ определены так же, как и выше. Под окрестностями мы теперь понимаем $(2 n-1)$-мерные сечения $\mathfrak{U}_{\gamma}$ множества $\mathfrak{U}$ поверхностью $E=\gamma$. В соответствии с этим можно говорить об изоэнергетической устойчивости, если для каждой окрестности $\mathfrak{U}_{\gamma}$ заданной замкнутой траектории существует такая окрестность $\mathfrak{B}_{\gamma}$, что траектория, начинающаяся в любой точке $\mathfrak{B}_{\gamma}$, остается в $\mathfrak{U}_{\gamma}$. Совершенно ясно, что из устойчивости следует изоэнергетическая устойчивость. Соответственно можно определить изоэнергетическую неустойчивость и смешанный случай.

Будем далее рассматривать систему Гамильтона (1) только для $n=2$ и предположим, что $E$ будет аналититической на $\mathfrak{R}$. Как и в $\S 20$, для периодического решения системы можно определить сохраняющее объем аналитическое отображение $S$, имеющее начало координат своей неподвижной точкой. Вопрос о наличии изоэнергетической устойчивости, неустойчивости или смешанного случая для исходного решения, очевидно, сводится к вопросу о том, будет ли отображение $S$ в начале координат устойчивым, неустойчивым или смешанным. Напишем аналитическое отображение $S$, сохраняющее объем, в виде
\[
\left.\begin{array}{r}
x_{1}=g(x, y)=a x+b y+\ldots, \\
y_{1}=h(x, y)=c x+d y+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где степенные ряды для $g(x, y)$ и $h(x, y)$ сходятся в некоторой окрестности начала координат и имеют действительные коэффициенты. Для собственных значений $\lambda$ и $\mu$ матрицы линейной части отображения (2) будем иметь $\lambda \mu=1$, поскольку $a d-b c=1$.

В гиперболическом случае $\lambda$ и $\mu$ будут действительными и различными. Для этого случая неустойчивость $S$ была уже доказана в §21. Обобщение этого результата на случай числа измерений, большего двух, было сделано Леви-Чивита [1] и представляет собой аналог первой части теоремы Ляпунова.

В параболическом случае $\lambda=\mu= \pm 1$. Случай $\lambda=\mu=-1$ можно свести к случаю $\lambda=\mu=1$, если рассматривать вместо $S$ преобразование $S^{2}$. Леви-Чивита также исследовал этот случай и установил условие для коэффициентов квадратичных членов преобразования $S$, которое является необходимым для устойчивости.

В эллиптическом случае $|\lambda|=1, \lambda^{2}
eq 1$. Рассмотрим прежде всего тот частный случай, когда $\lambda$ является корнем целой степени из единицы. Пусть $\lambda^{q}=1$ и $\lambda^{k}
eq 1 \quad(k=1, \ldots, q-1)$, следовательно, $\lambda$ будет примитивным $q$-м корнем из единицы и $q>2$. Если мы рассмотрим $S^{q}$ вместо $S$, то придем опять к параболическому случаю $\lambda=\mu=1$. Но простое рассуждение показывает, что для преобразования $S^{q}$ выпадают все члены степеней от второй до ( $q-2$ )-й, и в соответствии с этим только что упомянутый результат Леви-Чивита дает для $q>3$ лишь тривиальное следствие. Иначе обстоит дело для $q=3$; для этого случая Леви- Чивита также рассмотрел ограниченную задачу трех тел. Отображение, сохраняющее объем, которое следует при этом рассматривать, было введено еще в конце в $\S 22$. Если обозначить период исходного решения через $\tau=2 \pi|\omega|^{-1}$, то будем иметь $\lambda=e^{i \tau}$ и, в частности, для $\omega=3$ получим также $q=3$. Леви-Чивита определил квадратичные члены преобразования $S^{3}$ при $\omega=3$ и установил, что соотношение, выражающее условие устойчивости, не выполняется, и, следовательно, устойчивости здесь не будет.

Можно даже доказать, что для случая $q=3$ имеет место неустойчивость $S$, если не выполнено некоторое простое условие для коэффициентов квадратичных членов. Запишем отображение $S$ в комплексной форме
\[
z_{1}=\lambda z+a z^{2}+b z \bar{z}+c \bar{z}^{2}+\ldots \quad z=x+i y, \quad z_{1}=x_{1}+i y_{1},
\]

где степенной ряд относительно $z$ и $\bar{z}$ сходится при достаточно малых значениях $r^{2}=x^{2}+y^{2}=z \bar{z}$, и докажем, что при $c
eq 0$ будет неустойчивость. При этом даже не надо предполагать, что $S$ сохраняет объем. В силу соотношения $\lambda^{2}+\lambda+1=0$ для итераций $S$ получим
\[
\begin{array}{l}
z_{2}=\lambda^{2} z+\left(\lambda^{2}+\lambda\right) a z^{2}+(\lambda+1) b z \bar{z}+2 \lambda c \bar{z}^{2}+\ldots, \\
z_{3}=z+3 \lambda^{2} c \bar{z}^{2}+\ldots, \quad z_{3}^{3}=z^{3}+9 \lambda^{2} c(z \bar{z})^{2}+\ldots,
\end{array}
\]

и, заменяя $z, z_{1}$ на $\rho z, \rho z_{1}$, где $\rho \bar{\rho}^{-2}=9 \lambda^{2} c$, будем иметь
\[
z_{3}^{3}=z^{3}+(z \bar{z})^{2}+\ldots=z^{3}+(z \bar{z})^{2}(1+\eta r),
\]

где $|\eta| r<\frac{1}{2}$ для достаточно малых $r<r_{0}$. Положим еще
\[
\begin{array}{c}
S^{n} z=z_{n}, \quad z_{3 n}^{3}=Z_{n}=X_{n}+i Y_{n}, \\
\left|z_{3 n}\right|^{3}=\left|Z_{n}\right|=R_{n} \quad(n=0, \pm 1, \ldots),
\end{array}
\]

и пусть для $z=z_{0}$ при всех $n$ будет $\left|z_{n}\right|<r_{0}$. Тогда, согласно (4), получим
\[
X_{n+1} \geqslant X_{n}+\frac{1}{2} R_{n}^{4 / 3} \geqslant X_{n},
\]

что означает монотонность последовательности $X_{n}$. Так как эта последовательность в силу неравенства $\left|X_{n}\right| \leqslant\left|Z_{n}\right|<r_{0}^{3}$ ограничена, то, в частности, разность $X_{n+1}-X_{n}$ стремится к нулю, как для $n \rightarrow \infty$, так и для $n \rightarrow-\infty$, следовательно, в силу (5) $R_{n} \rightarrow 0$, а поэтому $X_{n} \rightarrow 0$, следовательно, $X_{n}=0$ для всех $n$ и вместе с тем $R_{n}=0$ для всех $n$. Поэтому обязательно $z=0$, что и доказывает неустойчивость. Впрочем, легко видеть, что для сохраняющего объем отображения $S$, вообще говоря, $c
eq 0$.

Подобным же образом для произвольного $q>0$ можно рассмотреть пример неустойчивого отображения, сохраняющего объем [2], при котором $\lambda$ будет примитивным корнем $q$-й степени из единицы. Как было показано в § 21, двумерное отображение, сохраняющее объем, можно представить с помощью производящей функции $w=w(x, \eta)$ в виде
\[
y=w_{x}, \quad \xi=w_{\eta},
\]

если $w_{x \eta}
eq 0$. Мы примем сначала, что $q
eq 4$, следовательно, $\lambda^{2}
eq-1$, и положим
\[
\begin{array}{c}
\mu=\bar{\lambda}, \quad 2 \sigma=\lambda+\mu
eq 0, \quad \sigma u=x+i \lambda \eta, \quad \sigma v=x-i \mu \eta, \\
2 i w=\frac{\sigma}{2}\left(\mu u^{2}-\lambda v^{2}\right)+f(u, v) .
\end{array}
\]

Пусть при этом $f(u, v)$ будет многочленом от $u$ и $v$, начинающимся с членов третьей степени и удовлетворяющим условию $f(v, u)=$ $=-\bar{f}(u, v)$. Тогда $w$ будет многочленом от $x$ и $\eta$ с действительными коэффициентами и $w_{x \eta}=1+\ldots$; следовательно, $w_{x \eta}
eq 0$ при $x=0$, $\eta=0$. С помощью производящей функции $w$, согласно (6), получаем формулы
\[
2 i y=\mu u-\lambda v+\sigma^{-1}\left(f_{u}+f_{v}\right), \quad 2 \xi=u+v+\sigma^{-1}\left(\lambda f_{u}-\mu f_{v}\right),
\]

и, далее, $2 i \eta=u-v, 2 x=\mu u+\lambda v$. Полагая $z=x+i y, \zeta=\xi+i \eta$, напишем преобразование в комплексной форме
\[
\left.\begin{array}{c}
z=\mu u+\frac{1}{2 \sigma}\left(f_{u}+f_{v}\right), \quad \bar{z}=\lambda v-\frac{1}{2 \sigma}\left(f_{u}+f_{v}\right), \\
\zeta=u+\frac{1}{2 \sigma}\left(\lambda f_{u}-\mu f_{v}\right), \quad \bar{\zeta}=v+\frac{1}{2 \sigma}\left(\lambda f_{u}-\mu f_{v}\right),
\end{array}\right\}
\]

Поэтому $\lambda$ и $\mu$ будут собственными значениями рассматриваемого отображения. Рассмотрим частный случай
\[
f(u, v)=q^{-1} u v\left(u^{q}-v^{q}\right),
\]

который и дает функцию с нужными свойствами. Если обозначить через $A_{l}$ и $B_{l}$ сходящиеся степенные ряды относительно $z$ и $\bar{z}$, которые начинаются с членов степени $l$, то, обращая формулы (8), получим
\[
u=\lambda z+A_{q+1}, \quad v=\mu \bar{z}+B_{q+1} .
\]

Так как $\lambda^{q}=1$, то
\[
f_{v}=q^{-1} u\left[u^{q}-(q+1) v^{q}\right]=q^{-1} \lambda z\left[z^{q}-(q+1) z^{q}\right]+A_{2 q+1},
\]

и соотношение (9) дает тогда в явном виде преобразование
\[
\zeta=\lambda z\left\{1+q^{-1}\left[(q+1) \bar{z}^{q}-z^{q}\right]\right\}-A_{2 q+1} .
\]

Нужно доказать, что $S$ неустойчиво в точке $z=0$.

Из формулы (10) следует
\[
\zeta^{q}=z^{q}\left[1+(q+1) \bar{z}^{q}-z^{q}\right]+A_{3 q},
\]

откуда, используя сокращенные обозначения
\[
\begin{array}{c}
z_{n}=S^{n} z, \quad z_{n}^{q}=Z_{n}=X_{n}+i Y_{n}, \\
R_{n}=\left|Z_{n}\right|=\left|z_{n}\right|^{q} \quad(n=0, \pm 1, \ldots),
\end{array}
\]

при достаточно малом $\delta>0$ получим оценку
\[
X_{n+1} \geqslant X_{n}+(q+1) R_{n}^{2}-R_{n}^{2}-\left|A_{3 q}\left(z_{n}, \bar{z}_{n}\right)\right| \geqslant X_{n}+\frac{1}{2} R_{n}^{2},
\]

если $R_{n}<\delta$. Отсюда можно заключить, как и из неравенства (5), что преобразование (10) неустойчиво.

При замене (7) существенно, чтобы было $q
eq 4$, так как иначе $\sigma=0$. Но если предыдущее отображение $S$ построить для $q=8$, то собственные значения для $S^{2}$ будут примитивными корнями четвертой степени из единицы, и оба преобразования будут, очевидно, одинаково вести себя в смысле устойчивости. Таким образом, показано, что для каждого собственного значения $\lambda$ : являющегося корнем из единицы, существует сохраняющее объем отображение с собственными значениями $\lambda, \bar{\lambda}$, которое будет неустойчивым. Данное отображение имеет и дополнительное свойство, а именно оно является алгебраическим.

Остается рассмотреть случай, когда $|\lambda|=1$, но $\lambda$ не является корнем из единицы. Как показано в $\$ 21$, в этом случае отображение (2) с помощью сохраняющей объем подстановки $C$, выраженной формальными степенными рядами, можно привести к нормальной форме
\[
U=C^{-1} S C, \quad \xi_{1}=u \xi, \quad \eta_{1}=v \eta .
\]

При этом $u=\lambda+\ldots, v=\mu+\ldots$ будут формальными степенными рядами по $\omega=\xi \eta$; далее, $u v=1$, и условие вещественности $v=\bar{u}$ выполнено. В случае сходимости ряда для $C$ действительным значениям первоначальных переменных $x, y$ соответствуют комплексно сопряженные значения $\xi, \eta=\bar{\xi}$, и тогда формулы (12) показывают, что $\left|\xi_{1}\right|=|\xi|$. Следовательно, при этом отображении сохраняются все концентрические окружности в плоскости $\xi$ с центром в точке $\xi=0$. Отсюда видно, что в случае сходимости ряда для преобразования к нормальной форме $U$, отображение $S$ будет обязательно устойчиво в точке $x=0, y=0$.

Но относительно сходимости ряда для подстановки $C$ имеет место положение, аналогичное рассмотренному в § 28 в связи с вопросом о существовании нормальной формы системы Гамильтона. Именно, можно дать примеры сохраняющих объем эллиптических отображений, для которых $C$ расходится, и можно даже установить необходимое условие для сходимости $C$ в виде бесконечного числа независимых аналитических уравнений для коэффициентов разложений (2) функций $g(x, y)$ и $h(x, y)$. Это показывает, что, как правило, встречается случай расходимости, а случай сходимости является исключением. При изучении теоретико-функциональной проблемы центра было показано, что из устойчивости вытекает сходимость ряда Шрёдера, следовательно, сходимость ряда для преобразования конформного отображения к нормальной форме. Но метод доказательства § 23 нельзя перенести на рассматриваемый случай, так как для сохраняющих объем отображений нет теоремы, аналогичной теореме Римана в теории конформных отображений. Дифференциальное уравнение $\varphi_{x} \psi_{y}-\varphi_{y} \psi_{x}=1$ не имеет столь хорошо развитой теории, как система $\varphi_{x}=\psi_{y}, \varphi_{y}=-\psi_{x}$. Нужно еще заметить, что неизвестен пример эллиптического преобразования $S$ с $\lambda^{n}
eq 1(n=3,4, \ldots)$, в котором не была бы доказана устойчивость.

Предположим теперь, что формальный степенной ряд, участвующий в нормальной форме (12), не сводится к постоянной, т.е. что не тождественно $u=\lambda$. Тогда теорема Биркгофа о неподвижной точке, доказанная в $\S 22$, гласит, что в каждой окрестности $\mathfrak{U}$ начала координат и для каждого достаточно большого натурального $n>n^{0}(\mathfrak{U})$ можно найти отличные от начала координат неподвижные точки преобразования $S^{n}$, все образы которых при $S^{k}(k=1,2, \ldots, n)$ также лежат в $\mathfrak{U}$. Но отсюда, в частности, следует, что $S$ не является неустойчивым. Следовательно, вообще не будет неустойчивости, если степенной ряд $u$ не равен тождественно постоянной. Остается открытым вопрос о том, имеет ли в этом случае место устойчивость или смешанный случай. Как уже было замечено, не известно примера для смешанного случая, и не известно, будет ли при $u=\lambda$ действительно неустойчивость. Если бы это удалось доказать, то был бы получен пример со сходящимся рядом $u$ и расходящейся подстановкой $C$; не известно также, возможно ли такое сочетание.

Если мы выразим произведение переменных $\omega=\xi \eta$, входящих в нормальную форму (12), через старые переменные $x$ и $y$, то получим формальный степенной ряд $\omega=\varphi(x, y)$, который в силу тождества $\xi_{1} \eta_{1}=\xi \eta$ остается инвариантным при данном отображении $S$. Следовательно, $\varphi(x, y)$ является аналогом интеграла дифференциальных уравнений. Аналогично теореме Дирихле можно легко показать, что $S$ всегда будет устойчивым в окрестности начала координат, когда существует сходящийся степенной ряд по $x$ и $y$, инвариантный при $S$, который имеет в начале координат экстремум в строгом смысле. Конечно, опять-таки существуют примеры эллиптических отображений, сохраняющих объем с $\lambda^{n}
eq 1(n=3,4, \ldots)$, для которых вообще не существует таких инвариантных сходящихся рядов.

Таким образом, для случая $|\lambda|=1, \lambda^{n}
eq 1(n=1,2, \ldots)$ еще отсутствуют удовлетворительные методы исследования проблемы устойчивости плоского отображения, сохраняющего объем. Прогресс в этом направлении имел бы значение также для вопросов устойчивости систем Гамильтона с произвольным числом степеней свободы. Следует упомянуть еще о нескольких попытках, которые также не были успешными.

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат $\mathfrak{U}$ лежит односвязная инвариантная относительно $S$ окрестность $\mathfrak{B}$. Примем теперь, что $\mathfrak{B}$ имеет границу, которую можно представить уравнением $F(x, y)=0$. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей $\mathfrak{U}=\mathfrak{U}_{\gamma}$, зависящих от параметра $\gamma$, то получится семейство уравнений $F(x, y, \gamma)=0$. Если эти уравнения удастся разрешить относительно $\gamma$ и если уравнение $\varphi(x, y)=\gamma$, кроме того, будет аналитическим по $x$ и $y$, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении $S$ каждая граница $\varphi(x, y)=\gamma$ переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование $S$ не имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже не доказано, что границей $\mathfrak{B}$ является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что $\mathfrak{B}$ будет при достаточно малой окрестности $\mathfrak{U}$ звездообразной, если формальный степенной ряд $u$, входящий в нормальную форму (12), не сводится только к свободному члену, и что тогда граница $\mathfrak{C}$ области $\mathfrak{B}$ может быть представлена в полярных координатах $r, \vartheta$ с помощью сходящегося ряда Фурье
\[
r=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\vartheta n i} .
\]

Если использовать инвариантность $\mathfrak{C}$ при отображении $S$, то для коэффициентов Фурье $c_{n}$ получится система из бесконечного числа аналитических уравнений с бесконечным числом неизвестных, и притом эта система должна иметь бесконечно много решений, так как можно выбирать произвольно малую окрестность $\mathfrak{U}$. Однако удовлетворительной трактовки этой системы уравнений не найдено.

Дадим набросок еще одной неудачной попытки. Пусть все произведения степеней $x^{k} y^{l}(k+l>0)$ расположены в каком-либо фиксированном порядке по возрастающим степеням и объединены в вектор-столбец $\mathfrak{z}$ с бесконечно многими составляющими. Пусть соответственно $\mathfrak{z}_{1}$ будет столбцом из произведений $x_{1}^{k} y_{1}^{l}$, которые получаются из $x^{k} y^{l}$ преобразованием $S$. Тогда $\mathfrak{z}_{1}=\mathfrak{M}_{\mathfrak{z}}$, где $\mathfrak{M}-$ некоторая бесконечная матрица с постоянными элементами. В случае устойчивости существует бесконечная последовательность содержащихся друг в друге инвариантных областей интегрирования $\mathfrak{B}_{\gamma},(\gamma=1,2, \ldots)$, которые стягиваются к началу координат. Если положить
\[
\iint_{\mathfrak{B}_{\gamma}} \mathfrak{z} d x d y=\mathfrak{c}_{\gamma},
\]

TO
\[
\mathfrak{c}_{\gamma}=\mathfrak{M} c_{\gamma} \quad(\gamma=1,2, \ldots),
\]

поскольку $S$ сохраняет объем и $\mathfrak{B}_{\gamma}$ инвариантно. Таким образом, задача приводится к исследованию собственных векторов матрицы $\mathfrak{M}$, а здесь и появляются нерешенные вопросы.

Наконец, следует привести еще два простых примера сохраняющих объем эллиптических отображений, более тщательное изучение которых, быть может, приведет к новым точкам зрения на проблему устойчивости. Составим $S=T R$ из двух отображений $T$ и $R$, сохраняющих объем. Пусть $R$ будет вращением, которое запишем в комплексной форме $\zeta=\lambda z \mathrm{c}|\lambda|=1$; пусть, далее, $T$ имеет в действительных координатах вид $\xi=x+f(y), \eta=y$, где $f(y)$ обозначает сходящийся степенной ряд по $y$ с действительными коэффициентами, начинающийся с членов второго порядка. Очевидно, что $S$ имеет собственные значения $\lambda$ и $\mu=$ $=\bar{\lambda}$ и будет сохранять объем, поскольку $T$ и $R$ также его сохраняют. Если выбрать, в частности, $f(y)=-4 y^{2}$, то $T$ можно записать в комплексной форме $\zeta=z+(z-\bar{z})^{2}$. При этом для $S$ получается формула
\[
\zeta=\lambda z+(\lambda z-\mu \bar{z})^{2},
\]

а для $S^{-1}-$ формула
\[
\lambda z=\zeta-(\zeta-\bar{\zeta})^{2}
\]

таким образом, речь идет об обратимом целом рациональном, сохраняющем объем отображении $S$, и все степени $S^{n}(n= \pm 1, \pm 2, \ldots)$ являются многочленами по обеим переменным $x$ и $y$. При $\lambda=1$ будем иметь $S=T$, тогда, очевидно, получается смешанный случай. При $\lambda=-1$ отображение $S^{2}$ тождественно, и стало быть, $S$ устойчиво. При $\lambda^{3}=1$, $\lambda
eq 1$ преобразование (13) имеет вид (3) с $c=\lambda
eq 0$; следовательно, будет неустойчивость. Пусть теперь $\lambda^{2}
eq 1, \lambda^{3}
eq 1$. Подсчитывая нормальную форму $(21 ; 31)$ до кубических членов, найдем
\[
\gamma_{1}=2 i(\lambda+1)\left(2 \lambda^{2}+\lambda+2\right)\left(\lambda^{3}-1\right)^{-1}
eq 0,
\]

если дополнительно предположить, что $2 \lambda^{2}+\lambda+2
eq 0$; следовательно, здесь, во всяком случае, не будет неустойчивости. Но даже в этом простом примере нельзя установить, имеют ли место устойчивость или смешанный случай. Другой простой пример
\[
\zeta=\lambda z+\frac{\lambda+\bar{\lambda}}{4}\left(\frac{\bar{z}+x^{2}}{1+x}\right)^{2} ;
\]

здесь отображение рационально и сохраняет площадь, но не является бирациональным.