1.4.2. Представление сигналов и помех рядом Фурье

Рассмотрим спектральное разложение периодического сигнала. Будем считать, что периодический сигнал определен на бесконечном интервале и может представлен в виде ряда Фурье:

где ,  - частота основной гармоники, ;

 () – высшие гармоники;  (включая ) и  – коэффициенты Фурье.

Постоянную составляющую (среднее значение)  функции  удобно вычислять по отдельному выражению полученному из  при :

Очевидно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени , то в тригонометрической записи ряда Фурье (1.14) остаются только косинусоидальные составляющие , так как коэффициенты  обращаются в нуль. Для сигнала  определяемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффициенты , и ряд содержит синусоидальные составляющие

Часто выражение (1.15) удобно представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

где    ,     - амплитуда, - начальная фаза  - ой гармоники.

На рис. 1.10 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов  конечным числом слагаемых () ряда Фурье.

Для функции  (рис.1.10) разложение имеет вид

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов  представляется как результат сложения постоянной составляющей  и синусоидальных сигналов с частотами , причем период синусоиды с частотой  совпадает с периодом последовательности импульсов . Для удобства  можно представить в виде .

Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.

Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины из амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис.1.11), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.

В точках оси частот отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.

Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (1.16) воспроизводит форму графика функции  очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией . Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления  возрастает.

На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 1.11). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.

Пример 1.1. Разложим в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, , ) (рис. 1.12), четную относительно точки :

            .

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (1.12). Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса. Действительно, в этом случае и в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk=0.

По формулам (1.14) находим коэффициенты:

, ,

позволяющие записать ряд Фурье:

,

где - скважность импульсной последовательности.

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных полагаем  и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра при , ,  и 8  сведены в табл. 1.1 и построены спектральные диаграммы на рис.1.13.

Таблица 1.1. Амплитуды спектральных составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из приведенного примера следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды.

Выбор количества спектральных составляющих зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Плавное изменение формы сигнала потребует меньше числа гармоник при той же точности представления, чем для скачкообразного сигнала. Для приближенного представления прямоугольных импульсов на практике обычно считают, что достаточно трех - пяти гармоник.