5.3.2. Группы

Определение группы

Группой  называется множество элементов, для которых определена некоторая операция  и выполняются следующие аксиомы:

1. G.1. Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы, т.е., если  и , то .
2. G.2. Для любых трех элементов ,  и  из  .
3. G.3. В  существует единичный элемент , т.е. такой, что  для любого .
4. G.4. Для любого элемента  существует обратный элемент  такой, что .

Аксиома G.1 определяет замкнутость операции в группе. Обычно операции над элементами записывают в виде  и называют сложением или в виде  и называют умножением, даже если они не являются обычными сложением и умножением. В соответствии с двумя записями операций различают аддитивную и мультипликативную группы.

Свойство операции, сформулированное в виде аксиомы G.2, называют ассоциативностью. Она означает, что порядок выполнения операций несущественен, и поэтому скобки не нужны.

Аксиома G.3 постулирует обязательное существование единичного элемента. Для аддитивной группы единичный элемент называют нулем, обозначают 0 и определяют из уравнения . Для мультипликативной группы единичный элемент называют единицей и определяют из уравнения .

Аксиома G.4 требует для каждого элемента группы существования обратного элемента. Если групповая операция – сложение, то элемент, обратный , обозначается  и находится из уравнения . Для мультипликативной группы обратный к  элемент обозначается  и находится из уравнения .

Группа называется коммутативной или абелевой, если кроме аксиом G.1 – G.5 выполняется следующая аксиома коммутативности.

G.5. Для двух произвольных элементов  и  из  справедливо .

Примеры групп

Пример 5.3. Одна из простейших аддитивных групп состоит из двух элементов, одним из которых является единичный элемент 0. Второй элемент обозначим через . В соответствии с G.4 должен существовать обратный элемент, такой, что . Значит, , и правило сложения записывается в виде: ; ; . При  имеем правило сложения по модулю .

Пример 5.4. Совокупность всех действительных чисел образует группу относительно операции обычного сложения. Единичным элементом группы (нулем) является число 0.

Пример 5.5. Совокупность всех действительных чисел без нуля образует мультипликативную группу. Единичным элементом при этом является 1, а обратным – число .

Пример 5.6. Совокупность двоичных -символьных комбинаций образует группу из  элементов, если в качестве групповой операции используется посимвольное сложение по модулю 2. Так, если , , то . Единичным является элемент , а обратный элемент равен самому элементу, т.к. .

Пример 5.7. Полная система вычетов по модулю 6  является группой с операцией сложения по модулю 6. Единичным элементом этой группы является 0, а обратный элемент находится из равенства . Так, если , то  и т.д.

Все рассмотренные в примерах группы являются абелевыми.

Теорема 5.1. Группа содержит один единичный элемент, и каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент.

Легко видеть, что в примерах 1 – 5 утверждения теоремы выполняются.

Число элементов в группе называется порядком группы. Если порядок конечен, группа называется конечной, в противном случае – бесконечной группой. В примерах 1.3, 1.6 и 1.7 рассмотрены конечные группы 2-го, -го и 6-го порядков, а в примерах 1.4 и 1.5 – бесконечные группы.

Подгруппы

Подмножество элементов группы  называется подгруппой , если оно удовлетворяет всем аксиомам группы. Для того чтобы определить, является ли  подгруппой , надо проверить только замкнутость операции и наличие обратных элементов. Подгруппами группы, рассмотренной в примере 2, являются множества: целых чисел, чисел, делящихся на 3, и т. д.

Смежные классы

Пусть задана конечная группа  содержащая подгруппу . Табл. 5.1 составлена следующим образом. Первая строка состоит из элементов подгруппы: она начинается с единичного элемента , и каждый элемент подгруппы появляется в строке только один раз. Первым элементом второй строки может быть любой элемент группы, не вошедший в первую строку, а все остальные элементы получаются путем применения групповой операции . Аналогично образуются третья, четвертая и т.д. строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор, пока каждый элемент группы не войдет в таблицу.

Таблица 5.1 Разложение группы на смежные классы

Полученная таблица задает разложение группы на смежные классы. Совокупность элементов в каждой строке называется левым смежным классом, а элемент в первом столбце строки называется образующим смежного класса.

Число смежных (т.е. неперекрывающихся) классов  в разложении группы по подгруппе называется индексом  в .

Правые смежные классы получаются, если для нахождения элементов строк применить операцию . Для коммутативной группы левый и правый смежные классы совпадают.

Отметим основные свойства смежных классов.

1. Смежные классы не имеют общих элементов. Если у двух смежных классов оказался общий элемент, то такие смежные классы совпадают.

2. Левый (правый) смежный класс содержит столько элементов, каков порядок группы .

3. Порядок  конечной группы  есть произведение порядка  подгруппы  на ее индекс  в группе  (на число смежных классов).

Группу  можно рассматривать как объединение неперекрывающихся смежных классов.

Циклические группы

Пусть  – один из элементов конечной группы  порядка . Обозначим элементы  через  (при использовании операции сложения элементы можно обозначать также ) и рассмотрим последовательность элементов  Так как группа  конечна, то существуют такие числа  и , что  Но тогда  и  (единичный элемент группы). Минимальное целое положительное число  такое, что , называют порядком элемента .

Очевидно, если  – порядок элемента , то все  элементов  различны. Доказано, что множество элементов  является подгруппой группы . Такая подгруппа называется циклической подгруппой, порожденной элементом .

Если в группе  существует элемент  такой, что его порядок совпадает с порядком группы , т.е. , то сама группа называется циклической. При этом элемент  называется порождающим элементом группы.

Теорема 5.2. Если  – порождающий элемент циклической группы порядка , то  – порождающий элемент этой же группы, где  – число взаимно простое с .

В примере 1.7 рассмотрена аддитивная циклическая группа 6-го порядка. Порождающими элементами этой группы являются 1 или 5. Циклическая группа с порождающим элементом  приведена в примере 1.3.