5.7.3. Связь между блочными кодами

Обобщим вопросы кодирования, изложенные в предыдущих разделах, и поясним связи между некоторыми из рассмотренных кодов, схематично показанные на рис. 5.6. В прямоугольниках указаны длины , размерности , кодовые расстояния , обозначены порождающие  и проверочные  матрицы анализируемых кодов. Стрелками указаны операции, с помощью которых можно от одного кода перейти к другому. Эти операции можно рассматривать как способы построения новых кодов из заданных. Перечислим некоторые из таких способов.

Расширение кода означает добавление к кодовому слову проверочного символа, равного сумме всех символов преобразуемого кодового слова. Новый проверочный символ есть общая проверка на четкость. В результате все слова имеют четное число единиц, и кодовое расстояние увеличивается на единицу, если оно были нечетным числом. При четном кодовом расстоянии расширение не увеличивает кодового расстояния, так как для векторов с минимальным четным весом общая проверка на четность равна 0, и вес расширенного вектора не изменяется.

Проверочная матрица расширенного кода Хэмминга образуется путем введения в матрицу  исходного кода нулевого столбца и строки из единиц:

Выкалывание символов является операцией, обратной расширению.

Удлинение кода означает добавление в базис кода вектора  и выполнение операции расширения. Порождающая матрица удлиненного кода  может быть записана в виде:

Увеличение числа векторов в базисе означает увеличение размерности кода на 1, а добавление единичного вектора – включение в код дополнительно всех инверсий кодовых слов, что, конечно, не может увеличить минимального расстояния. Понятно, что если кодовое расстояние исходного кода было четным, то в результате удлинения оно не изменится.

Укорочение кода – операция обратная удлинению. Она состоит в выборе из кода тех слов, у которых первый символ равен 0, и последующему исключения этого равного для всех слов символа.

Из рис.5.6 видно, что расширенный код Хэмминга и код Рида-Маллера, а также код Хэмминга и симплексный код дуальны, так как проверочные матрицы  первых кодов в каждой паре являются порождающими  для вторых и наоборот.

При замене двоичных символов 0 на (+1), а 1 на (–1) совокупность слов Рида-Маллера преобразуется в множество биортогональных сигналов, включающее все функции Уолша и противоположные им. Если при замене двоичных символов ограничиться подпространством кода Рида-Маллера при , то получим множества ортогональных сигналов. Применение указанной замены двоичных символов на (+1) и (–1) в ненулевых словах симплексного кода дает -последовательности разных сдвигов.