9.5. Алгоритмы цифровой обработки сигналов

9.5.1. Дискретные сигналы и их спектры

Дискретизация непрерывного сигнала. С аналитической точки зрения процедуру получения дискретизированного (дискретного) сигнала  удобно рассматривать как непосредственное умножение непрерывного сигнала  на вспомогательную последовательность  дискретизирующих прямоугольных импульсов единичной амплитуды

Длительность дискретизирующих импульсов  должна быть много меньше интервала дискретизации .

Принцип формирования дискретного сигнала показан на рис. 7.7, б…в, где изображены графики функций . При этом реальный дискретный сигнал  имеет вид импульсно-модулированного колебания, т. е. АИМ-сигнала.

Рис.9.14. Дискретизация сигналов

Спектр дискретного сигнала. Чтобы дать оценку требованиям к длительности дискретизирующих импульсов, определим спектральный состав дискретного сигнала . Пусть некоторый непрерывный сигнал  имеет спектральную плотность . Представим последовательность дискретизирующих прямоугольных импульсов  рядом Фурье, в котором частота :

где

Подставив формулу (9.25) в (9.24), получим

Проанализируем первое и второе слагаемые этого выражения отдельно. Первому слагаемому соответствует спектральная плотность  исходного сигнала . К произведению  второго слагаемого применим прямое преобразование Фурье. Используя формулу Эйлера и проведя несложные математические выкладки, запишем

В этом выражении первый интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала  на частотах а второй - ту же спектральную плотность, но на частотах . Поэтому

Следовательно, дискретному сигналу вида (9.27) соответствует спектральная плотность

Поскольку при  коэффициент , запишем

График спектра дискретного сигнала, полученного из непрерывного, показан на рис.9.15,б.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

• спектральная плотность  дискретного сигнала  представляет собой бесконечную последовательность спектральных плотностей  исходного непрерывного сигнала , сдвинутых друг относительно друга на частоту ;
• огибающая спектральной плотности  дискретного сигнала  с точностью до коэффициента  повторяет огибающую спектральной плотности дискретизирующего прямоугольного импульса.

Чтобы восстановить непрерывный сигнал  из дискретного , достаточно выделить центральную часть спектра . На практике это осуществляют с помощью идеального ФНЧ, имеющим коэффициент передачи

Вместе с тем известно, что идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для пояснения принципа восстановления непрерывного сигнала на основе теоремы Котельникова. Реальный ФНЧ имеет частотную характеристику, которая либо охватывает несколько лепестков спектра (штрих - пунктирная линия на рис. 9.15,б), либо имеет конечную крутизну ската характеристики и не полностью охватывает центральный лепесток. В практических схемах интервал дискретизации, определяемый формулой , уменьшают в 2...5 раз. В этом случае отдельные составляющие спектра дискретного сигнала не перекрываются, как это и показано на рис. 9.15, б, и могут быть разделены фильтрами.

При уменьшении длительности дискретизирующего импульса , амплитуды спектральных составляющих с ростом частоты убывают медленнее. В предельном случае, при  спектр дискретного сигнала будет представлять собой бесконечную последовательность «копий» спектров исходного сигнала, имеющих равную амплитуду. Если одновременно с уменьшением длительности увеличивать амплитуду импульса так, чтобы его площадь оставалась неизменной и равной единице, то дискретизирующие сигналы преобразуются в последовательность дельта-функций:

.

В этом случае формула (9.24) запишется следующим образом:

Спектральная плотность дискретного сигнала в этом случае примет вид:

Пример 9.1. Непрерывный сигнал, имеющий форму прямоугольного импульса напряжения с единичной амплитудой и длительностью , дискретизирован 10 отсчетами. Определить спектр дискретного сигнала.

Решение. Для нахождения спектра воспользуемся формулой (9.33). В ней частота , а интервал дискретизации . Тогда

.

Возможность представления дискретных сигналов  в форме (9.32) существенно упрощает их анализ. В частности, спектральную плотность  можно вычислить непосредственно по совокупности временных отсчетов . Действительно, применив прямое преобразование Фурье  к соотношению (9.32) для отсчетов только с положительными номерами , со, получим с учетом фильтрующего свойства дельта-функции:

При этом существенно сокращается время обработки реальных непрерывных сигналов.